湖南衡阳市2018高二数学上学期第一次月考(实验班)理
湖南省衡阳市第八中学高二数学上学期第一次月考试题(
衡阳八中2016年下期高二年级第一次月考试卷数学（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高二年级文科实验班第一次月考试卷，分两卷。
其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.如果命题“p∨q”为假命题，则A．p，q均为假命题B．p，q中至少有一个真命题C．p，q均为真命题D．p，q中只有一个真命题2.给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中不正确的命题的个数是A．4 B．3 C．2 D．13.在△ABC中，设命题p：，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p 是命题q的A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．即不充分也不必要条件4.运行如图的程序，若x=1，则输出的y等于A．8 B．7 C．6 D．55.椭圆的焦距为2，则m的值等于（）A．5或3 B．8 C．5 D．或6.如图所示，程序框图的输出结果是s=，那么判断框中应填入的关于n的判断条件是A．n≤8？B．n＜8？C．n≤10？ D．n＜10？7.点P在边长为2的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为A．B．C．D．8.设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）9.设F1，F2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为A．B．C． D．210.某办公室刚装修一新，放些植物花草可以清除异味，公司提供绿萝、文竹、碧玉、芦荟4种植物供员工选择，每个员工只能任意选择1种，则员工甲和乙选择的植物不同的概率为A．B．C．D．11.已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是A．（0，] B．（0，] C．[，1）D．[，1）12.已知圆M：（x+）2+y2=36，定点N（，0），点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满足=2，•=0，则点G的轨迹方程为A．+=1 B．+=1C．﹣=1 D．﹣=1第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m= ．14.袋中有若干个小球,分别为红球、黑球、黄球、白球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或白球的概率是，则得到白球的概率 .15.给出下列四个命题：①命题“若θ=﹣，则tanθ=﹣”的否命题是“若θ≠﹣，则tanθ≠﹣”；②在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB的充分不必要条件”；③定义：为n个数p1，p2，…，p n的“均倒数”，已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1；④在△ABC中，BC=，AC=，AB边上的中线长为，则AB=2．以上命题正确的为（写出所有正确的序号）16.已知椭圆的左右焦点分别为,离心率为,直线,为点关于直线对称的点,若为等腰三角形,则的值为．三.解答题（共6题，共70分）17.（本题满分10分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，集合B={y|y=x2﹣2x+a}，集合C={x|x2﹣ax﹣4≤0}，命题p：A∩B≠∅，命题q：A⊆C．（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围．（2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．18.（本题满分12分）为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况，从这两学校中分别随机抽取30名高三年级的地理成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为0.15，求乙校高三年级学生总人数；（Ⅱ）根据茎叶图，分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中地理成绩；（Ⅲ）从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格（低于60分为不及格）的学生中随机抽取2人，求至少抽到一名乙校学生的概率．19.（本题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量得到如图所示的频率分布直方图1，从左到右各组的频数依次记为A1、A2、A3、A4，A5．（1）求图1中a的值；（2）图2是统计图1中各组频数的一个算法流程图，求输出的结果S；（3）从质量指标值分布在[80，90）、[110，120）的产品中随机抽取2件产品，求所抽取两件产品的质量指标之差大于10的概率．20.（本题满分12分）已知椭圆E：过点（0，﹣1），且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆E的顶点，M是椭圆E上除顶点外的任意一点，直线DM交x轴于点Q，直线AD交BM于点P，设BM的斜率为k，PQ的斜率为m，则点N（m，k）是否在定直线上，若是，求出该直线方程，若不是，说明理由．21.（本题满分12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）焦点为F（1，0），过F作斜率为k 的直线交抛物线C于A、B两点，交其准线l于P点．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）设|PA|+|PB|=λ|PA|•|PB|•|PF|，若，求实数λ的取值范围．22.（本题满分12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P、Q两点，求△PQF1的内切圆半径r的最大值．13.14.0.2515.①③④16.17.（1）A={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，B={y|y=x2﹣2x+a}={y|y=（x﹣1）2+a﹣1≥a﹣1}={y|y≥a﹣1}，若命题p为假命题，即A∩B=∅，则a﹣1＞2，得a＞3．（2）若命题p∧q为真命题，则A∩B≠∅，且A⊆C．则，得，得0≤a≤3．18.（ I）因为每位同学被抽取的概率均为0.15，则高三年级学生总数（ I I）由茎叶图可知甲校有22位同学分布在60至80之间，乙校也有22位同学分布在70至80之间，乙校的总体成绩分布下沉且较集中即成绩的平均数较大，方差较小．所以，乙校学生的成绩较好．（III）由茎叶图可知，甲校有4位同学成绩不及格，分别记为：1、2、3、4；乙校有2位同学成绩不及格，分别记为：5、6．则从两校不及格的同学中随机抽取两人有如下可能：（1，2）、（13）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6），总共有15个基本事件．其中，乙校包含至少有一名学生成绩不及格的事件为A，则A包含9个基本事件，如下：（1，5）、（1，6）、（2，5）、（2，6）、（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6）．…（10分）所以，19.（1）依题意，（2a+0.02+0.03+0.04）×10=1解得：a=0.005（2）A1=0.005×10×20=1，A2=0.040×10×20=8，A3=0.030×10×20=6，A4=0. 020×10×20=4，A5=0.005×10×20=1故输出的S=A2+A3+A4=18（3）记质量指标在[110，120）的4件产品为x1，x2，x3，x4，质量指标在[80，90）的1件产品为y1，则从5件产品中任取2件产品的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，x4），（x1，y1），（x2，x3），（x2，x4），（x2，y1），（x3，x4），（x3，y1），（x4，y1）共10种，记“两件产品的质量指标之差大于10”为事件A，则事件A中包含的基本事件为：（x1，y1），（x2，y1），（x3，y1），（x4，y1）共4种所以可得：P（A）==．即从质量指标值分布在[80，90）、[110，120）的产品中随机抽取2件产品，所抽取两件产品的质量指标之差大于10的概率为20.（1）依题意，b=1，，又a2=b2+c2，∴3a2=4c2=4（a2﹣b2）=4a2﹣4，即a2=4．∴椭圆E的方程为：；（2）由（1）知，A（﹣2，0），B（2，0），D（0，1），∴直线AD的方程为y=，由题意，直线BP的方程为y=k（x﹣2），k≠0且k，由，解得P（），设M（x1，y1），则由，消去y整理得（4k2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．∴，即，．即M（），设Q（x2，0），则由M，D，Q三点共线得：k DM=k DQ，即，∴，则，∴PQ的斜率m=．∴2k+1=4m，即点N（m，k）在定直线4x﹣2y﹣1=0上．21.（Ⅰ）因为焦点F（1，0），所以，解得p=2；（Ⅱ）由题可知：直线AB的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），准线l的方程为 x=﹣1．设A（x1，y1），B（x2，y2），则．由消去y得，k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，故．由|PA|+|PB|=λ|PA|•|PB|•|PF|得，，解得．因为，所以．22.（1）直线AB 的方程为，即bx﹣ay﹣ab=0由题意得=，①∵②a2=b2+c2③解得∴椭圆的方程为（2）设PQ：x=ty+代入并整理得设P（x1，y1），Q（x2，y2）则，∴==当即t2=1时，∴又∴∴。
湖南省衡阳八中2017-2018学年高二上学期第一次月考数学试卷(理科)(实验班) Word版含解析
2017-2018学年湖南省衡阳八中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）（实验班）R一、选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的．b1．当m∈N*，“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否是（）cA．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞01B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0JC．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0wD．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0J2．已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若“p∧q”是真，则实数a的取值范围是（）wA．（﹣∞，﹣2]∪{1}B．（﹣∞，﹣2]∪[1，2]C．[1，+∞）D．[﹣2，1]o3．如图，若下列程序执行的结果是2，则输入的x值是（）2A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0C4．执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）fA．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x75．已知Ω={（x，y）|}，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若P（M）∈[，1]，则实数m的取值范围（）gA．[，1]B．[0，] C．[，1] D．[0，1]m6．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）WA．B．C．D．27．抛物线y=2x2上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1•x2=﹣，则m等于（）8A．B．2 C．D．3e8．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）AA．B．C．D．/9．已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）AA．24 B．20 C．16 D．12=10．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知=，且a2﹣c2=2b，则b=（）=A．4 B．3 C．2 D．111．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f （x2）的取值范围为（）A． B．C．D．=a m+a n+mn，则等12．数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N*都有a m+n于（）A．B．C．D．二.填空题（每题5分，共20分）13．若“∃x∈R，x2+2mx+m≤0”是假，则实数m的取值范围是．14．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F2且垂直于x轴的直线与双曲线相交于A、B两点，若，则双曲线的离心率为．15．平面内两定点M（0，﹣2）和N（0，2），动点P（x，y）满足||•||=m（m≥4），动点P的轨迹为曲线E，给出以下五个：①存在m，使曲线E过坐标原点；②对于任意m，曲线E与x轴有三个交点；③曲线E关于y轴对称，但不关于x轴对称；④若P、M、N三点不共线，则△PMN周长的最小值为2+4；⑤曲线E上与M、N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H，则四边形GMHN的面积不大于m．其中真的序号是（填上所有正确的序号）．16．已知过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心离e的取值范围是．三.解答题（共6题，共70分）17．已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0（1）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．（1）求n的值；（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．19．某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“|m﹣n|＞10”概率．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上一动点，求线段PM的中点Q的轨迹方程；（3）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，探究：直线AB是否过定点，并说明理由．21．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（，）是C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+m（|k|≤）与椭圆C相交于A、B两点，M为椭圆C上任意一点，且线段OM的中点与线段AB的中点重合，求|OM|的取值范围．22．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）过点A（1，），其焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），则椭圆在其上一点A（x0，y0）处的切线方程为+=1，试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1），点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求△OCD面积的最小值；（ii）如图（2），过椭圆C2： +=1上任意一点P作C1的两条切线PM和PN，切点分别为M，N．当点P在椭圆C2上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．2016-2017学年湖南省衡阳八中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）（实验班）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的．1．当m∈N*，“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否是（）A．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0C．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0D．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0【考点】四种间的逆否关系．【分析】直接利用逆否的定义写出结果判断选项即可．【解答】解：由逆否的定义可知：当m∈N*，“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否是：若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0．故选：D．2．已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若“p∧q”是真，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪{1}B．（﹣∞，﹣2]∪[1，2]C．[1，+∞）D．[﹣2，1]【考点】四种的真假关系．【分析】据复合的真假与简单真假的关系，得到p，q全真；p真即不等式恒成立转化成求最值，q真即二次方程有根，△≥0【解答】解：∵“p∧q”为真，∴得p、q为真，若p为真则有a≤（x2）min=1；若q为真则有△=4a2﹣4（2﹣a）≥0．故得a≤﹣2或a=1．故选项为A3．如图，若下列程序执行的结果是2，则输入的x值是（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可得，该程序的功能是利用条件结构计算并输出分段函数y==|x|的值，进而得到答案．【解答】解：由已知中的程序框图可得，该程序的功能是利用条件结构计算并输出分段函数y==|x|的值，若输出结果为2，则|x|=2，则x=2或x=﹣2，故选：C4．执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C5．已知Ω={（x，y）|}，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若P（M）∈[，1]，则实数m的取值范围（）A．[，1]B．[0，] C．[，1] D．[0，1]【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），结合概率范围可知直线与圆的关系，直线以（﹣2，0）点为中心顺时针旋转至与x轴重合，从而确定直线的斜率范围．【解答】解：画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），圆是上半圆，直线过（﹣2，0），（0，2）时，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），此时P（M）=，当直线与x轴重合时，P（M）=1；直线的斜率范围是[0，1]．故选D．6．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，根据离心率进而求得长半轴，最后根据b2=c2﹣a2求得b，则双曲线的方程可得．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），双曲线的方程为故选D7．抛物线y=2x2上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1•x2=﹣，则m等于（）A．B．2 C．D．3【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】先利用条件得出A、B两点连线的斜率k，再利用A、B两点的中点在直线y=x+m 求出关于m以及x2，x1的方程，再与已知条件联立求出实数m的值．【解答】解：由条件得A（x1，y1）、B（x2，y2）两点连线的斜率k=，而y2﹣y1=2（x22﹣x12）①，得x2+x1=﹣②，且（，）在直线y=x+m上，即=+m，即y2+y1=x2+x1+2m ③又因为A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，所以有2（x22+x12）=x2+x1+2m，：即2[（x2+x1）2﹣2x2x1]=x2+x1+2m ④，把①②代入④整理得2m=3，解得m=故选A．8．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A．B．C．D．【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【分析】根据题意，分析可得，这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件，而两个零件是否加工为一等品相互独立，进而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，即仅第一个实习生加工一等品（A1）与仅第二个实习生加工一等品（A2）两种情况，则P（A）=P（A1）+P（A2）=，故选B．9．已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A．24 B．20 C．16 D．12【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域②z为目标函数纵截距四倍③画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）时z有最大值【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+4y，可看成是直线z=2x+4y的纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过A（2，4）点时z有最大值20故选B．10．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知=，且a2﹣c2=2b，则b=（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】运用余弦定理，化简=，可得a2﹣c2=b2，再由a2﹣c2=2b，解方程即可得到b．【解答】解：=，即为3ccosA=acosC，即有3c•=a•，即有a2﹣c2=b2，又a2﹣c2=2b，则2b=b2，解得b=4．故选A．11．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f （x2）的取值范围为（）A． B．C．D．【考点】函数的零点；函数的值域；不等关系与不等式．【分析】根据函数的解析式画出函数的图象，根据题意数形结合求得x1•f（x2）的取值范围．【解答】解：①当0≤x＜时，≤f（x）=x+＜1．故当x=时，f（x）=．②当≤x≤1时，≤f（x）=3x2≤3，故当x=时，f（x）=1．若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2）=k，则≤x1 ＜≤x2 ＜1，如图所示：显然当k=f（x1）=f（x2）=时，x1•f（x2）取得最小值，此时，x1=，x2=，x1•f（x2）的最小值为=．显然，当k=f（x1）=f（x2）趋于1时，x1•f（x2）趋于最大，此时，x1趋于，x2趋于，x1•f（x2）趋于=．故x1•f（x2）的取值范围为，故选C．=a m+a n+mn，则等12．数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N*都有a m+n于（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】数列{a n }满足a 1=1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m +n =a m +a n +mn ，可得a n +1﹣a n =1+n ，利用“累加求和”可得a n ，再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵数列{a n }满足a 1=1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m +n =a m +a n +mn ， ∴a n +1﹣a n =1+n ，∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1 =n +（n ﹣1）+…+2+1=．∴=．则=2++…+=2=．故选：A ．二.填空题（每题5分，共20分）13．若“∃x ∈R ，x 2+2mx +m ≤0”是假，则实数m 的取值范围是 （0，1） ． 【考点】的真假判断与应用．【分析】本题先利用原是假，则的否定是真，得到一个恒成立问题，再利用函数图象的特征得到一元二次方程根的判别式小于或等于0，解不等式，得到本题结论． 【解答】解：∵“∃x ∈R ，使得x 2+2mx +m ≤0”，∴“∃x ∈R ，使得x 2+2mx +m ≤0”的否定是“∀x ∈R ，使得x 2+2mx +m ＞0”． ∵“∃x ∈R ，使得x 2+2mx +m ≤0”是假， ∴“∀x ∈R ，使得x 2+2mx +m ＞0”是真．∴方程x 2+2mx +m=0的判别式：△=4m 2﹣4m ＜0． ∴0＜m ＜1． 故答案为：（0，1）．14．双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过焦点F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，若，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】因为，所以AF 1与BF 1互相垂直，结合双曲线的对称性可得：△AF 1B是以AB 为斜边的等腰直角三角形．由此建立关于a 、b 、c 的等式，化简整理为关于离心率e 的方程，解之即得该双曲线的离心率．【解答】解：根据题意，得右焦点F 2的坐标为（c ，0）联解x=c 与，得A （c ，），B （c ，﹣）∵∴AF1与BF1互相垂直，△AF1B是以AB为斜边的等腰Rt△由此可得：|AB|=2|F1F2|，即=2×2c∴=2c，可得c2﹣2ac﹣a2=0，两边都除以a2，得e2﹣2e﹣1=0解之得：e=（舍负）故答案为：15．平面内两定点M（0，﹣2）和N（0，2），动点P（x，y）满足||•||=m（m≥4），动点P的轨迹为曲线E，给出以下五个：①存在m，使曲线E过坐标原点；②对于任意m，曲线E与x轴有三个交点；③曲线E关于y轴对称，但不关于x轴对称；④若P、M、N三点不共线，则△PMN周长的最小值为2+4；⑤曲线E上与M、N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H，则四边形GMHN的面积不大于m．其中真的序号是①④⑤（填上所有正确的序号）．【考点】的真假判断与应用；轨迹方程．【分析】利用平面内两定点M（0，﹣2）和N（0，2），动点P（x，y）满足||•||=m（m≥4），可得•=m，对选项进行分析，即可得出结论．【解答】解：∵平面内两定点M（0，﹣2）和N（0，2），动点P（x，y）满足||•||=m （m≥4），∴•=m①（0，0）代入，可得m=4，∴①正确；②令y=0，可得x2+4=m，∴对于任意m，曲线E与x轴有三个交点，不正确；③曲线E关于x轴对称，关于y轴对称，故不正确；④若P、M、N三点不共线，||+||≥2=2，所以△PMN周长的最小值为2+4，正确；⑤曲线E上与M、N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H，则四边形GMHN的面=|GM||GN|sin∠MGN≤m，∴四边形GMHN的面积最大为不大于m，正确．积为2S△MNG故答案为：①④⑤．16．已知过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心离e的取值范围是（1，）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】要使直线与双曲线的右支有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜1，求得a和b的不等式关系，进而根据b=转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．【解答】解：要使直线与双曲线的右支有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan45°=1即b＜a∵b=∴＜a，整理得c＜ a∴e=＜∵双曲线中e＞1故e的范围是（1，）故答案为（1，）三.解答题（共6题，共70分）17．已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0（1）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】复合的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）先解出p，q下的不等式，从而得到p：，q：a≤x≤a+1，所以a=时，p：．由p∧q为真知p，q都为真，所以求p，q下x取值范围的交集即得实数x的取值范围；（2）由p是q的充分不必要条件便可得到，解该不等式组即得实数a的取值范围．【解答】解：p：，q：a≤x≤a+1；∴（1）若a=，则q：；∵p∧q为真，∴p，q都为真；∴，∴；∴实数x的取值范围为；（2）若p是q的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p；∴，∴；∴实数a的取值范围为．18．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．（1）求n的值；（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．【考点】程序框图；古典概型及其概率计算公式；几何概型．【分析】（1）根据分层抽样可得，故可求n的值；（2）求出高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件，确定a和b至少有一人上台抽奖的基本事件，根据古典概型的概率公式，可得a和b至少有一人上台抽奖的概率；（3）确定满足0≤x≤1，0≤y≤1点的区域，由条件得到的区域为图中的阴影部分，计算面积，可求该代表中奖的概率．【解答】解：（1）由题意可得，∴n=160；（2）高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为=；（3）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，由条件得到的区域为图中的阴影部分由2x﹣y﹣1=0，令y=0可得x=，令y=1可得x=1∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为=∴该代表中奖的概率为=．19．某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“|m﹣n|＞10”概率．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）先算出频率分布直方图成绩大于或等于60且小于80的频率，再利用频数等于频率×样本总数即可解得全班学生中成绩合格的人数．（2）欲求事件“|m﹣n|＞10”概率，根据古典概型，算出基本事件的总个数n和算出事件事件“|m﹣n|＞10”中包含的基本事件的个数m；最后算出事件A的概率，即P（A）=．【解答】解：（I）由直方图知，成绩在[60，80）内的人数为：50×10×（0.18+0.040）=29．所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人．（II）由直方图知，成绩在[50，60）内的人数为：50×10×0.004=2，设成绩为x、y成绩在[90，100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a、b、c，若m，n∈[50，60）时，只有xy一种情况，若m，n∈[90，100]时，有ab，bc，ac三种情况，m n506090100事件“|m﹣n|＞10”所包含的基本事件个数有6种∴．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上一动点，求线段PM的中点Q的轨迹方程；（3）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，探究：直线AB是否过定点，并说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形，可求几何量，从而可求椭圆方程；（2）确定点P、PM的中点坐标之间的关系，利用点P是椭圆C上一动点，即可求得线段PM的中点Q的轨迹方程；（3）若直线AB的斜率存在，设AB方程代入椭圆方程，利用韦达定理及k1+k2=8，可得直线AB的方程，从而可得直线AB过定点；若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，求出直线AB的方程，即可得到结论．【解答】解：（1）由已知可得b=2，，…∴所求椭圆方程为．…（2）设点P（x1，y1），PM的中点坐标为Q（x，y），则…由，得x1=2x，y1=2y﹣2代入上式得…（3）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，依题意m≠±2．设A（x3，y3），B（x2，y2），则将直线方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．…则，．∵k1+k2=8，∴+=8，∴2k+（m﹣2）×=8．…∴k﹣=4，整理得m=．故直线AB的方程为y=kx+，即y=k（x+）﹣2．所以直线AB过定点（，﹣2）．…若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，设A（x0，y0），B（x0，﹣y0），由已知+=8，得x0=﹣．此时AB方程为x=﹣，显然过点（，﹣2）．综上，直线AB过定点（，﹣2）．…21．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（，）是C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+m（|k|≤）与椭圆C相交于A、B两点，M为椭圆C上任意一点，且线段OM的中点与线段AB的中点重合，求|OM|的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由于以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F，可得=0，再由点P（，）在椭圆上，联立可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程和椭圆方程，求出A，B中点坐标，得到M坐标，把M坐标代入椭圆方程，可得m与k的关系，把|OM|化为含有k的代数式，结合已知k的范围求得|OM|的取值范围．【解答】解：（1）A（0，b）．∵以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F，∴PF⊥AF，∴=（c﹣，﹣）•（c，﹣b）=c（c﹣）+=0．把点P（，）代入椭圆C： +=1，得，解得a2=4，∴b2+c2=4，可得b2=4﹣c2，代入c（c﹣）+，解得c=，b=．∴椭圆C的方程为；（2）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0．△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣4）=32k2﹣8m2+16＞0，即4k2﹣m2+2＞0 ①．，∴=．∴AB中点G（），则M（），∵M在椭圆上，∴，整理得：．把代入①得，恒成立．∴|OM|====．∵|k|≤，∴1≤2k2+1≤2，则，∴|OM|的取值范围为．22．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）过点A（1，），其焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），则椭圆在其上一点A（x0，y0）处的切线方程为+=1，试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1），点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求△OCD面积的最小值；（ii）如图（2），过椭圆C2： +=1上任意一点P作C1的两条切线PM和PN，切点分别为M，N．当点P在椭圆C2上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）依题意得：椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），由椭圆定义知：2a=|AF1|+|AF2|，即可求出a，b，从而可求椭圆C1的方程；（Ⅱ）（i）确定，再结合基本不等式，即可求△OCD面积的最小值；（ii）先求出直线MN的方程，再求出原点O到直线MN的距离，即可得出结论．【解答】解：（I）依题意得：椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），由椭圆定义知：2a=|AF1|+|AF2|，∴，所以椭圆C1的方程为．…（II）（ⅰ）设B（x2，y2），则椭圆C1在点B处的切线方程为令x=0，，令，所以…又点B在椭圆的第一象限上，所以，∴…∴，当且仅当所以当时，三角形OCD的面积的最小值为…（ii）设P（m，n），则椭圆C1在点M（x3，y3）处的切线为：又PM过点P（m，n），所以，同理点N（x4，y4）也满足，所以M，N都在直线上，即：直线MN的方程为…所以原点O到直线MN的距离=，…所以直线MN始终与圆相切．…2016年10月18日。
2012018学年高二数学上学期第一次月考试题实验班文2
2016年下期高二年级第一次月考试卷数学（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高二年级文科实验班第一次月考试卷，分两卷。
其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.下列命题中为真命题的是（）A．若x≠0，则x+≥2B．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1C．“a=1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件D．若命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＞02.“∃x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3.如图所示程序框图，输出结果是（）A．5 B．6 C．7 D．8 4.齐王与田忌赛马，每人各有三匹马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，共进行三场比赛，每次各派一匹马进行比赛，马不能重复使用，三场比赛全部比完后胜利场次多者为胜，则田忌获胜的概率为（）A．B．C．D．5.已知命题p：∃x0∈R，使log2x0+x0=2017成立，命题q：∀a∈（﹣∞，0 ），f（x）=|x|﹣ax（x∈R）为偶函数，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．¬p∧q C．p∧¬q D．¬p∧¬q6.已知在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点．在边AB上任取一点F，则△ADF与△BFE的面积之比不小于1的概率是（）A．B．C．D．7.交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对酒驾的了解情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员216人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，24，43．则这四社区驾驶员的总人数N为（）A．2160 B．1860 C．1800 D．14408.广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（）A．101.2B．108.8 C．111.2 D．118.29.若过椭圆+=1的上顶点与右焦点的直线l，则该椭圆的左焦点到直线l的距离为（）A．1 B． C． D．210.椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．﹣1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣211.设F1、F2是椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．12.椭圆x2+=1短轴的左右两个端点分别为A，B，直线l过定点（0，1）交椭圆于两点C，D．设直线AD，CB的斜率分别为k1，k2，若k1：k2=2：1，则直线l斜率k的值为（）A．k=2 B．k=3 C．.k=或3 D．k=2或第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.已知命题“∀x∈R，sinx﹣2a≥0”是真命题，则a的取值范围是．14.设，若函数g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4不同的零点，则a的取值范围为．15.正方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球半径，过AC作外接球截面，当截面圆最小时，其半径为．16.已知△ABC的顶点A（﹣3，0）和顶点B（3，0），顶点C在椭圆+=1上，则= ．三.解答题（共6题，共70分）17.（本题满分10分）命题p：“∀x∈（0，+∞），有9x+≥7a+1，其中常数a＜0”，若命题q：“∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0”若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．18.（本题满分12分）某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（Ⅱ）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．19.（本题满分12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积．20.（本题满分12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点（a，b）在直线x（sinA﹣sinB）+ysinB=csinC上（1）求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形且满足=+，求实数m的最小值．21.（本题满分12分）已知数列{a n}满足a1=，a n=（n≥2）．（1）求证：{﹣1}为等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）若b n=，求{b n}的前n项和S n．22.（本题满分12分）设椭圆C ： =1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．）≥=|6a|=，（真时，则，∴BC•CD•sin∠===．（12分）20.（1）由题得a（sinA﹣sinB）+bsinB=csinC，由正弦定理得a（a﹣b）+b2=c2，即a2+b2﹣c2=ab．∴余弦定理得cosC==，∵C∈（0，π），∴C=．（4分）（2）∵，∴=+===，（7分）即mcosC=，有m===，（9分）∵0＜A＜，﹣＜2A﹣＜，∴﹣＜sin（2A﹣）≤1，∴sin（2A﹣）+≤，∴m min==2．（12分）21.（1）∵数列{a n}满足a1=，a n=（n≥2），∴=，n≥2∴，n≥2，（3分）又，∴{﹣1}为首项为1，公比为2的等比数列，（5分）∴，，∴．（6分）（2）∵b n===（2n﹣1）（2n﹣1+1）=（2n﹣1）•2n﹣1+2n﹣1，（8分）∴{b n}的前n项和：S n=1+3•2+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1+2（1+2+3+…+n）﹣n=1+3•2+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1+2×﹣n=1+3•2+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1+n2，①2S n=2+3•22+5•23+…+（2n﹣1）•2n+2n2，②②﹣①，得S n=﹣1﹣（22+23+…+2n）+（2n﹣1）•2n+n2=﹣1﹣+（2n﹣1）•2n+n2=（2n﹣3）•2n+3+n2．∴{b n}的前n项和S n=（2n﹣3）•2n+3+n2．（12分）22.（Ⅰ）∵椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，△PQF1的周长为短轴长的2倍，△PQF1的周长为4a…（2分）∴依题意知，即…（3分）∴C的离心率…（4分）（Ⅱ）设椭圆方程为，直线的方程为y=x ﹣c，代入椭圆方程得…设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，…（6分）设M（x0，y0），则①…（7分）由得…（8分）代入①得…（9分）因为，，所以②…（10分）而…（11分）从而②式不成立．故不存在点M，使成立…（12分）。
湖南省衡阳市2018届高三数学上学期第一次质检试题实验班文201712200164
2018届高三年级实验班第一次质检试卷文科数学（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第一次质检试卷，分两卷。
其中共23题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，3] C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）2.复数的虚部（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣13.已知实数a=1.70.3，b=0.90.1，c=log25，d=log0.31.8，那么它们的大小关系是（）A．c＞a＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞b＞a＞d D．c＞a＞d＞b4.已知数列{a n}为等差数列，S n为前n项和，公差为d，若﹣=100，则d的值为（）A．B．C．10 D．205.设函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）A．f（x）在（0，）单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增6.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为（）A．B．C．D．7.已知关于x的函数f（x）=x2﹣2，若点（a，b）是区域内的随机点，则函数f（x）在R上有零点的概率为（）A．B．C．D．8.在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（）A．4 3B．6 C．4 2D．2 59.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）A．2 B．3 C．4 D．510.对正整数n，有抛物线y2=2（2n﹣1）x，过P（2n，0）任作直线l交抛物线于A n，B n两点，设数列{a n}中，a1=﹣4，且a n= （其中n＞1，n∈N），则数列{a n}的前n项和T n=（）A．4n B．﹣4n C．2n（n+1）D．﹣2n（n+1）x y2211.已知点分别是椭圆的左，右焦点，过且垂直于轴的直F,F221(a b0)F1x12a b线与椭圆交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围（）(A) (0,2-1)(B) (2-1,1)(C) (0,3-1)(D) (3-1,1)12.已知函数f（x）=lnx﹣x 3与g（x）=x3﹣ax的图象上存在关于x轴的对称点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e）B．（﹣∞，e] C．D．二.填空题（每题5分，共20分）13.在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=．14.已知（a＞0，b＞0），且A，B，C三点在同一条直线上，则的最小值为．15.三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知PA，PB，PC两两垂直，且PA=1，16.已知函数f（x）的定义域是R，f（x）= （a为小于0的常数）设x1＜x2 且f′（x1）=f′（x2），若x2﹣x1 的最小值大于5，则a的范围是．三.解答题（共8题，共70分）17.（本题满分12分）已知，其中向量（x∈R），（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f （A）=2，a= ，b= ，求边长c的值．18.（本题满分12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，侧面BB1C1C是矩形，D、E分别是线段BB1、AC1的中点．（1）求证：DE∥平面A1B1C1；（2）若平面ABC⊥平面BB1C1C，BB1=4，求三棱锥A﹣DCE的体积．19.（本题满分12分）2016年1月6日北京时间上午11时30分，朝鲜中央电视台宣布“成功进行了氢弹试验”，再次震动了世界．朝鲜声明氢弹试验对周边生态环境未产生任何负面影响，未提及试验地点．中国外交部发表措辞严厉的声明对朝鲜核试验“坚决反对”，朝鲜“氢弹试验”事件引起了我国公民热议，其中丹东市（丹东市和朝鲜隔江）某QQ聊天群有300名网友，新疆乌鲁木齐某微信群由200名微信好友．为了了解不同地区我国公民对“氢弹试验”事件的关注度，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名好友，先分别统计了他们在某时段发表的信息条数，再将两地网友留言信息条数分成5组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求丹东市网友的平均留言条数（保留整数）；（2）为了进一步开展调查，从样本中留言条数不足50条的网友中随机抽取2人，求至少抽到一名乌鲁木齐市网友的概率；（3）规定：“留言条数”不少于70条为“强烈关注”．①请根据已知条件完成下列2×2的列联表；强烈关注非常强烈关注合计丹东市乌鲁木齐市合计②判断是否有90%的把握认为“强烈关注”与网友所在的地区有关？附：临界值表及参考公式K2= ，n=a+b+c+dP（k2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82820.已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点为F1，F2，点M为椭圆C 上的任意一点，的最小值为2．（I）求椭圆C的标准方程；（II）已知椭圆C的左、右顶点为A，B，点D（a，t）为第一象限内的点，过F2作以BD为直径的圆的切线交直线AD于点P，求证：点P在椭圆C上．21.（本题满分12分）已知函数．（Ⅰ）当0＜a≤1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a，使得至少有一个x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．选做题请考生从22、23题中任选一题作答，共10分。
高二数学上学期第一次月考试题
2019届高二第一学期第一次月考数学试卷一、选择题1．已知集合{10}{lg(1)}M x x N x y x =+>==-，，则M N =（）A ．{11}x x -<<B ．{1}x x >C ．{11}x x -≤<D ．{1}x x ≥-2．函数21)(--=x x x f 的定义域为（） （A ）[1，2）∪（2，+∞）（B ）（1，+∞） （C ）[1，2）（D ）[1，+∞）3．执行如图所示的程序框图，输出的T =（）（A ）29 （B ）44 （C ）52 （D ）624．已知0x >，0y >，且231x y +=，则23x y+的最小值为（ ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．2565．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） A．3π+ B．23π+ C．π D．2π6．已知平面向量(12)=，a ，(32)=-，b ，若k +a b 与3-a b 垂直，则实数值为（） （A ）13-（B ）119（C ）（D ）7．已知函数()()cos (0)f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论错误的是（）A. 函数()f x 的最小周期为23πB. 函数()f x 的图象关于,012π⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称C. 函数()f x 的图象关于直线12x π=对称D. 函数()f x 的最小值为8．在数列{}n a 中，11a =，12n n a a +=，22221234n S a a a a =-+-+…22212n n a a -+-等于（）A.()1213n - B. ()41125n - C. ()1413n - D. ()1123n - 9．若sin()cos(2)1sin cos()2πθθπθπθ-+-=++，则tan θ=（）A ．B ．C ．D ．10.已知y x z c y x y x x y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≥++-≤+≥302,42,且目标函数满足的最小值是5，则z 的最大值是（）A ．10B ．12C ．14D ．1511.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为，，是线段11B D 上的两个动点，且2EF =，则下列结论错误．．的是（） A. AC BF ⊥B. 直线AE 、BF 所成的角为定值C. EF ∥平面ABCDD. 三棱锥A BEF -的体积为定值12．已知直线0x y k +-=(0)k >与圆224x y +=交于不同的两点、，是坐标原点，且有3||||OA OB AB+≥，那么的取值范围是（） A.)+∞B.C.)+∞D. 二、填空题13．在ABC ∆中，角，，所对的边分别为，，，若60C ∠=，2b =，c =，则__________． 14．数列{}n a 的前项和*23()n n S a n N =-∈，则数列{}n a 的通项公式为n a =．15．函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________. 16．在底面边长为2 的正三棱锥V-ABC 中，E 是BC 的中点，若VAE ∆的面积是41，则该正三棱锥的体积为__________________三、解答题 17．化简或求值： （1）1242--（2）2(lg 2)lg 2lg5+ 18．xx x f 1)(+=已知 (1) 判断并证明f(x)的奇偶性； (2) 证明f(x)在),1[+∞的单调性。
湖南省衡阳市第八中学2018届高三实验班上学期第一次月
衡阳八中2017年下期高三年级第一次月考试卷文数/理数（试题卷）考试范围：集合，函数与导数，三角函数，平面向量，数列，不等式注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第一次月考试卷，分两卷。
其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
[第1-8题为文理科必做试题，第9-12题文科考生选做文科试题，理科考生选做理科试题] 1.设偶函数f（x）满足f（x）=2﹣x﹣4（x≤0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜﹣2或x＞2}C．{x|x＜0或x＞4} D．{x|x＜0或x＞6}2.已知sinα=，且tanα＜0，则cos（π+α）=（）A．﹣B．C．D．﹣3.复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4.已知偶函数f（x）在（0，+∞）上递减，已知a=0.2，b=log0.2，c=0.2，则f（a），f（b），f（c）大小为（）A．f（a）＞f（b）＞f（c）B．f（a）＞f（c）＞f（b）C．f（b）＞f（a）＞f（c）D．f（c）＞f（a）＞f（b）5.已知函数y=f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a20），则{a n}的前25项之和为（）A．0 B．C．25 D．506.已知△ABC中，AB=，AC=1，∠CAB=30°，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．7.已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=（）A．0 B．πC．π2D．98.已知函数f（x）=cos（2x+φ），|φ|≤，若f（﹣x）=﹣f（x），则要得到y=sin2x 的图象只需将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位9.[文科]若实数x、y满足条件，则z=2x+y的最大值为（）A．1 B．C．2 D．3[理科]动点P（x，y）满足，点Q为（1，﹣1），O为原点，λ||=，则λ的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．10.[文科]数列{a n}满足a n+1=，若a1=，则a2016的值是（）A．B．C．D．[理科]已知数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），则a10=（）A．e26B．e29C．e32D．e3511.[文科]设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=2x2，在（0，+∞）上f′（x）＞2x，若f（2﹣m）+4m﹣4≥f（m），则实数m的取值范围为（）A．﹣1≤m≤1 B．m≤1 C．﹣2≤m≤2 D．m≥2[理科]定义在R上的可导函数f（x）满足f（1）=1，且2f′（x）＞1，当x∈[﹣，]时，不等式f（2cosx）＞﹣2sin2的解集为（）A．（，）B．（﹣，）C．（0，）D．（﹣，）12.[文科]已知函数f（x）=|x|•e x（x≠0），其中e为自然对数的底数，关于x的方程有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（）A． B．C．D．[理科]已知函数f（x）=，方程f2（x）﹣af（x）+b=0（b≠0）有六个不同的实数解，则3a+b的取值范围是（）A．[6，11] B．[3，11] C．（6，11）D．（3，11）第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）[文理科]（）15.已知向量，满足||=2||≠0，且函数在f（x）=在R上有极值，则向量，的夹角的取值范围是16.已知函数f（x）=|x+﹣ax﹣b|（a，b∈R），当x∈[，2]时，设f（x）的最大值为M（a，b），则M（a，b）的最小值为．三.解答题（共6题，共70分）17.(本题满分10分)[文科]已知P：﹣x2+8x+20≥0，q：﹣x2﹣2x+1﹣m2≤0（Ⅰ）若m＞0，且p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若“￢p”是“￢q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．[理科]已知命题p：函数在区间（m，m+1）上单调递减，命题q：实数m满足方程表示的焦点在y轴上的椭圆．（1）当p为真命题时，求m的取值范围；（2）若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求m的取值范围．18.（本题满分12分）[文理科]如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=．D为AC延长线上一点，且CD=+1．（Ⅰ）求∠BCD的大小；（Ⅱ）求BD的长及△ABC的面积．19.（本题满分12分）[文科]已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S6=S3+14，a6=10﹣a4，a4＞a3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}中，b n=log2a n，求数列{a n•b n}的前n项和T n．[理科]已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且点P（a n，S n）（其中n≥1且n∈N*）在直线4x﹣3y﹣1=0上，数列是首项为﹣1，公差为﹣2的等差数列．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和T n．20.（本题满分12分）[文科]对定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数C，使得对任意的x∈[a，b]都有f（x）=C，且对任意的x∉[a，b]都有f（x）＞C恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“U型”函数．（1）求证：函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|是R上的“U型”函数；（2）设f（x）是（1）中的“U型”函数，若不等式|t﹣1|+|t﹣2|≤f（x）对一切的x∈R 恒成立，求实数t的取值范围；（3）若函数g（x）=mx+是区间[﹣2，+∞）上的“U型”函数，求实数m和n 的值．[理科]对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“等域区间”．（1）求证：函数不存在“等域区间”；（2）已知函数（a∈R，a≠0）有“等域区间”[m，n]，求实数a的取值范围．21.（本题满分12分）[文理科]已知函数f（x）=4sin（ωx﹣）•cosωx在x=处取得最值，其中ω∈（0，2）．（1）求函数f（x）的最小正周期：（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．若α为锐角．g（α）=，求cos α22.（本题满分12分）[文科]定义：若曲线y=f（x）与y=g（x）都和直线y=kx+b相切，且满足：f（x）≤kx+b ≤g（x）或g（x）≤kx+b≤f（x）恒成立，则称直线y=kx+b为曲线y=f（x）与y=g（x）的“内公切线”．已知f（x）=﹣x2，g（x）=ex．（1）试探究曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在“内公切线”？若存在，请求出内公切线的方程；若不存在，请说明理由；（2）g′（x）是函数g（x）的导设函数，P（x1，g（x1）），Q（x2，g（x2））是函数y=g（x）图象上任意两点，x1＜x2，且存在实数x3，使得g′（x3）=，证明：x1＜x3＜x2．[理科]已知函数f（x）=2lnx﹣x2+ax（a∈R）．（1）若函数f（x）的图象在x=2处切线的斜率为﹣1，且不等式f（x）≥2x+m在上有解，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，求证：（其中f′（x）是f（x）的导函数）．衡阳八中2017年下期高三实验班第一次月考文数/理数参考答案13.14.a n=2•4n﹣115.（，π）16.17.（文科）（1）解﹣x2+8x+20≥0得：﹣2≤x≤10，若m＞0，则解﹣x2﹣2x+1﹣m2≤0得：1﹣m≤x≤1+m，若p是q充分不必要条件，则[﹣2，10]是[1﹣m，1+m]的真子集．∴，解得：m≥9．（2）∵“非p”是“非q”的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件．①当m＞0时，由（1）得：，解得：0＜m≤3．②当m=0时，Q：x=1，符合，③当m＜0时，﹣3＜m≤0，∴实数m的取值范围为﹣3≤m≤3．（理科）（1）∵∴，当x∈（0，3）时，f′（x）＜0，函数为减函数，当p为真命题时，，解得：0≤m≤2（2）若q为真命题，则：5﹣m＞m﹣1＞0，解得：1＜m＜3若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则命题p，q一真一假，故，或解得：0≤m≤1或2＜m＜318.（文理科）（Ⅰ）在△ABC中，因为，，由正弦定理可得，即，所以．因为∠ACB为钝角，所以．所以．（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可知BD2=CB2+DC2﹣2CB•DC•cos∠BCD，即，整理得BD=2．在△ABC中，由余弦定理可知BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA，即，整理得．解得．因为∠ACB为钝角，所以AC＜AB=2．所以．所以△ABC的面积．19.（文科）（Ⅰ）由已知a4+a5+a6=14，∴a5=4，又数列{a n}成等比，设公比q，则+4q=10，∴q=2或（与a4＞a3矛盾，舍弃），∴q=2，a n=4×2n﹣5=2n﹣3；（Ⅱ）b n=n﹣3，∴a n•b n=（n﹣3）×2n﹣3，T n=﹣2×2﹣2﹣1×2﹣1+0+…+（n﹣3）×2n﹣3，2T n=﹣2×2﹣1﹣1×20+0+…+（n﹣3）×2n﹣2，相减得T n=2×2﹣2﹣（2﹣1+20+…+2n﹣3）+（n﹣3）×2n﹣2=﹣（2n﹣2﹣）+（n﹣3）×2n﹣2 =（n﹣4）×2n﹣2+1，（理科）（1）解：由点P（a n，S n）在直线4x﹣3y﹣1=0上，∴4a n﹣3S n﹣1=0即3S n=4a n﹣1，又3S n﹣1=4a n﹣1﹣1（n≥2），两式相减得a n=4a n﹣1，∴，∴{a n}是以4为公比的等比数列，又a1=1，∴，∵是以为首项，以﹣2为公差的等差数列，∴，∴．（2）由（1）知，，∴，∴，以上两式相减得，==+，∴T n=．20.（文科）（1）当x∈[1，3]时，f1（x）=x﹣1+3﹣x=2，当x∉[1，3]时，f1（x）=|x﹣1|+|x﹣3|＞|x﹣1+3﹣x|=2故存在闭区间[a，b]=[1，3]⊆R和常数C=2符合条件，所以函数f1（x）=|x﹣1|+|x﹣3|是R上的“U型”函数…（2）因为不等式|t﹣1|+|t﹣2|≤f（x）对一切x∈R恒成立，所以|t﹣1|+|t﹣2|≤f（x）min由（1）可知f（x）min=（|x﹣1|+|x﹣3|）min=2所以|t﹣1|+|t﹣2|≤2解得：（3）由“U型”函数定义知，存在闭区间[a，b]⊆[﹣2，+∞）和常数c，使得对任意的x ∈[a，b]，都有g（x）=mx+=c，即=c﹣mx所以x2+2x+n=（c﹣mx）2恒成立，即x2+2x+n=m2x2﹣2cmx+c2对任意的x∈[a，b]成立…所以，所以或①当时，g（x）=x+|x+1|．当x∈[﹣2，﹣1]时，g（x）=﹣1，当x∈（﹣1，+∞）时，g（x）=2x+1＞﹣1恒成立．此时，g（x）是区间[﹣2，+∞）上的“U型”函数②当时，g（x）=﹣x+|x+1|．当x∈[﹣2，﹣1]时，g（x）=﹣2x﹣1≥1，当x∈（﹣1，+∞）时，g（x）=1．此时，g（x）不是区间[﹣2，+∞）上的“U型”函数．综上分析，m=1，n=1为所求（理科）（1）证明：设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，∴[m，n]⊆（﹣∞，0），或[m，n]⊆（0，+∞），故函数在[m，n]上单调递增．若[m，n]是已知函数的“等域区间”，则故m、n是方程的同号的相异实数根．∵x2﹣3x+5=0无实数根，∴函数不存在“等域区间”．（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集，∵x≠0，∴[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数在[m，n]上单调递增．若[m，n]是已知函数的“等域区间”，则故m、n是方程，即a2x2﹣（2a+2）x+1=0的同号的相异实数根．∵，∴m，n同号，故只需△=（﹣（2a+2））2﹣4a2=8a+4＞0，解得，∴实数a的取值范围为．21.（文理科）（1）化简可得f（x）=4sin（ωx﹣）•cosωx=4（sinωx﹣sinωx）cosωx=2sinωxcosωx﹣2cos2ωx=sin2ωx﹣cos2ωx﹣=2sin（2ωx﹣）﹣，∵函数f（x）在x=处取得最值，∴2ω×﹣=kπ+，解得ω=2k+，k∈Z，又∵ω∈（0，2），∴ω=，∴f（x）=2sin（3x﹣）﹣，∴最小正周期T=；（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到y=2sin[3（x+）﹣]﹣=2sin （3x﹣）﹣的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2sin（x ﹣）﹣的图象．∵α为锐角，g（α）=2sin（α﹣）﹣=，∴sin（α﹣）=，∴cos（α﹣）==，∴cosα=cos[（α﹣）+]=cos（α﹣）﹣sin（α﹣）=﹣=22.（文科）（1）假设曲线与存在“内公切线”，记内公切线与曲线的切点为，则切线方程为：．又由可得：．由于切线也和曲线相切，所以．．当时，；当时，；当时，．所以，故公切线的方程为：．下面证明就是与内公切线，即证．∵，∴成立．设，则．令，得．当时，，当时，，∴在上为减函数，在上为增函数，所以，即．∴，即就是曲线与的内公切线．（2）∵，∴．要证明：，只需证明：，只需证明：，只需证明：，及，只需证明：，及．由（1）知：，所以及成立，∴．（理科）（1）解：由，得切线的斜率k=f'（2）=a﹣3=﹣1，∴a=2，故f（x）=2lnx﹣x2+2x，由f（x）≥2x+m，得m≤2lnx﹣x2，∵不等式f（x）≥2x+m在上有解，∴m≤（2lnx﹣x2）max ．令g（x）=2lnx﹣x2，则，∵x∈，故g′（x）=0时，x=1．当时，g'（x）＞0；当1＜x＜e时，g'（x）＜0．故g（x）在x=1处取得最大值g（1）=﹣1，∴m≤﹣1；（2）证明：∵f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），∴方程2lnx﹣x2+ax=0的两个根为x1，x2，则，两式相减得，又，则，要证，即证明，∵0＜x1＜x2，∴0＜t＜1，即证明在0＜t＜1上恒成立，∵，又0＜t＜1，∴u'（t）＞0，∴u（t）在（0，1）上是增函数，则u（t）＜u（1）=0，从而知．故，即成立．。
湖南衡阳第一中学2018-2019学年高二数学上学期第一次月考试题 理
2018年衡阳市一中下学期高二第一次月考理科数学试题一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的.）1．已知命题()()0)()(,,:121221≥--∈∀x x x f x f R x x p ，则p ⌝是（ D ） A ． ()()0)()(,,121221<--∉∀x x x f x f R x x B ． ()()0)()(,,121221<--∉∃x x x f x f R x x C ． ()()0)()(,,121221<--∈∀x x x f x f R x x D ． ()()0)()(,,121221<--∈∃x x x f x f R x x2．直线022=-+y x 与椭圆1422=+y x 的位置关系为 （ C ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定3．已知21,F F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，若1222=+B F A F ，则=AB （ B ）A ．5B ．8C ．15D ．204．已知命题()x x x p >+∞∈∀2,,0:，命题0210log 21,:0x R x q x =⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∃，则下列命题中的真命题为（ C ）A ．q ⌝B ．q p ∧C ．()q p ∧⌝D ．()q p ⌝∨5．不等式03522≥--x x 成立的一个必要不充分条件是（C ）A ．2≥xB ．21-≤x C ．20><x x 或D ．321≥-≤x x 或 6．若椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则实数=m ( A ) A ．3823或B ．8323或 C ．23 D ．837．P 是椭圆15922=+x y 上的动点，过点P 作椭圆长轴的垂线,垂足为点M ,则PM 的中点的轨迹方程为( A )A ．154922=+x yB ．159422=+x yC ．153622=+x yD ．120922=+x y 8．若点P 是椭圆14922=+y x 上的一动点，21,F F 是椭圆的两个焦点，则21cos PF F ∠最小值为(B) A ．95-B ．91-C ．91D ．959. 椭圆15622=+y x 内过点()1,2-P 的弦恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( D )A ．01335=-+y xB ．01335=++y xC ．01335=+-y xD ．01335=--y x10．在平面直角坐标系xOy 中，ABC ∆上的点C A ,的坐标分别为()()0,22,0,22-，若点B 在椭圆181622=+y x 上，则()=++C A CA sin sin sin ( A ) A.2B.22C.35D.5311．如图，焦点在x 轴上的椭圆)0(13222>=+a y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线P F 2与y 轴的正半轴交于A 点，1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若41=Q F ，则该椭圆的离心率为（ A ） A ．413B ．47C ．21D ．4112．已知F 是椭圆159:22=+y x C 的左焦点，P 为C 上一点，⎪⎭⎫ ⎝⎛34,1A ，则PF PA +的最小值为（B ） A ．4B ．313 C ．310D ．311二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．“1>x ”是“11<x”成立的____充分不必要______条件． 14．已知点()0,31-F 和()0,32F ，动点P 满足412=-PF PF ，则点P 的轨迹方程为____)0(15422<=-x y x ____________． 15．已知实数y x ,满足()()4332222=-++++y x y x ，则3-x y的最大值等于_______22_________． 16．已知函数12)(22+-=x a x x f ，xx g 3)(=，[]1,21--∈∀x ，[]1,22--∈∃x ，使)()(21x g x f =，则实数a 的取值范围为__⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,2222,1 ______． 三．解答题（本大题共6小题，共70分.应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17.（本题10分）已知双曲线过点()1,4P ，且它的两条渐近线方程为02=±y x ．求双曲线的方程；写出它的顶点坐标，焦点坐标，并求离心率．【解析】(1)根据题意，双曲线的两条渐近线方程为x±2y=0，设其方程为：x 2−4y 2=λ，(λ≠0)又由双曲线过点P(4,1)，有16−4=λ，解可得λ=12，∴双曲线的标准方程为：131222=-y x ； (2)由(1)可得15312,3,32=+===c b a ，其顶点坐标为()0,32±，焦点坐标为()015，±，离心率25==a c e ．18．（本题12分）已知命题141:22=-+-m y m x p 表示双曲线，命题142:22=-+-my m x q 表示椭圆．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围及双曲线的焦距长； （2）判断命题p 为真命题是命题q 为真命题的什么条件．【解析】（1）∵命题141:22=-+-m y m x p 表示双曲线为真命题，则()()041<--m m ， ∴41<<m ，3)4()1(=---=m m c∴双曲线的焦距长为32．（2）∵命题142:22=-+-my m x q 表示椭圆为真命题， 则⎪⎩⎪⎨⎧-≠->->-m m m m 420402，∴4332<<<<m m 或， ∵集合{}4332<<<<m m m 或是集合{}41<<m m 的真子集， ∴p 是q 的必要不充分条件19.（本题12分）已知椭圆的中心在坐标原点O ，长轴长为22，离心率22=e ，过右焦点F 的直线l 交椭圆于Q P ,两点．求椭圆的方程；当直线l 的斜率为1时，求OPQ ∆的面积．【解析】(1)由已知，椭圆方程可设为)0(12222>>=+b a by a x由题意22,222===a c e a ， 易得1,2===c b a ．∴所求椭圆方程为1222=+y x ． (2)∵直线l 过椭圆右焦点F(1,0)，且斜率为1，∴直线l 的方程为y=x −1． 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，联立⎩⎨⎧=+-=22122y x y x ，得01232=-+y y ， 解得31,121=-=y y ． ∴322121=-⋅=∆y y OF S ABC20．（本题12分）已知集合A 是函数()2820lg xx y -+=的定义域，集合B 是不等式)0(01222>≥-+-a a x x 的解集， B x q A x p ∈∈:,:.（1）若∅=B A ，求a 的取值范围；（2）若p ⌝是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围.【解析】（1）{}102<<-=x x A ， {}a x a x x B -≤+≥=11或．∅=B A ，则⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-≥+021101a a a ，解得9≥a ,所以a 的取值范围是9≥a ．（2）由（1）知210:-≤≥⌝x x p 或． ∵p ⌝是q 的充分不必要条件，∴{}210-≤≥x x x 或是{}a x a x x B -≤+≥=11或的真子集，即⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-<+⎪⎩⎪⎨⎧>->-≤+021*********a a a a a a 或，解得30≤<a ，∴a 的取值范围是30≤<a ．21.（本题12分）过椭圆1222=+y x 的左焦点1F 的直线l 交椭圆于B A ,两点．求10AF A ⋅的范围；若OB OA ⊥，求直线l 的方程． 【解析】(1)由椭圆方程有1,2===c b a ，()0,11-∴F设()00,y x A ，A 点在椭圆上，122020=+∴y x ()()00100,1,,y x y x ---=--=()21121121)21(200202002020021++=++=-++=++=⋅∴x x x x x x y x x AF AO又[]2,2-∈x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈⋅∴22,211AF AO(2)设B A ,两点的坐标为()()2211,,,y x B y x A当l 垂直于x 轴时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22,1,22,1B A ,此时021≠=⋅OB OA ，不符题意 即直线l 斜率必存在，设为k ，则直线l 方程为()1+=x k y联立()()022421221222222=-+++⎩⎨⎧=++=k x k x k y x x k y 得 222122212122,214k k x x k k x x +-=+-=+∴0,=⋅∴⊥OB OA()021421221)()1()1()1(2222222221221*********=++⋅-+-⋅+=++++=+⋅++=+k kk k k k k k x x k x x k x k x k x x y y x x解得2,22±=∴=k k故所求的直线方程为()12+±=x y22．（本题12分）椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23=e ，且椭圆与直线01=-+y x 相于Q P ,两点，且528=PQ . (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 经过椭圆C 的左焦点与椭圆C 相交于N M ,两点，A 为椭圆C 的右顶点，求AMN ∆面积的最大值.【解析】（1）由23==a c e ，得ab ac 21,23== ∴椭圆方程可化为2224a y x =+联立⎩⎨⎧=++-=22241ay x x y 得048522=-+-a x x 设()()2211,,,y x Q y x P ，则54,5822121a x x x x -==+由()5285445824122212212=-⋅-⎪⎭⎫⎝⎛⋅=-+⋅+=a x x x x k PQ 解得42=a ，∴所求椭圆方程为1422=+y x （2）由题意设直线l 方程为：3-=ty x ，()()4433,,,y x N y x M 联立⎩⎨⎧=+-=44322y x ty x 得()0132422=--+ty y t41,432243243+-=+=+∴t y y t t y y()()619113224)1(4432232212222243++++⋅+=+-⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+=-⋅=∆t tt t t y y AF S AMN当且仅当2,22±==t t 即时AMN ∆面积最大为3323+。
湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高二数学上学期第一次月考试题 文
湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高二数学上学期第一次月考试题 文一．选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的.请把正确答案涂在答题卡上.）平面内有两个定点 F1 , F2 和一动点M ，设命题甲： MF1 MF2 是定值，命题乙：点M 的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（ B ）A ．充分但不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件命题“若 a = ，则tan a 1 ”的逆否命题是（ C ） 4A.若a ≠ ，则tan a ≠1B. 若 a = ，则tan a ≠1 4 4 4已知命题p ：∃x ∈ 0 ， sin x 2 cos x ，命题q ：若 a2＜b2，则 a ＜b ，下，2列命题为真命题的是（ B ）p qC. 若tan a ≠1，则a ≠ 4 3.下列命题中的假命题是(C D. 若tan a ≠1，则 a =) A ．∃x 0∈R ，lg x 0>0 C ．∀x ∈R ，x 3>0 B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝1 D ．∀x ∈R ，2x >0解：命题 p 为真命题；当 a=1，b=﹣2 时，a2＜b2 成立，但 a＜b 不成立，故命题 q 为假命题，命题 p∧￢q 为真命题，故选：B．5. 已知命题 p: “∀ x ∈ [1,2],≥ 0 ” , 命题 q: “x0 R ,x 2 2ax 2 a 00 0”.若命题“( p)∧q”是真命题,则实数 a的取值范围是（ A ）A. a 1D. - 2 a 1解析过程：本题主要考查命题真假的判断、逻辑联结词、全称命题与特称命题. 因为∀x∈[1,2],x2－a≥0，所以 p: ，p：a＞1;因为∃x0 ∈ R, ＋ 2ax0 ＋ 2 －a＝ 0 ，所以, 则 q：,因为命题“( p)∧q”是真命题,所以p与 q均为真命题，则，所以 a＞1若椭圆 x163532y 21过点（－2， 3 ），则其焦距为（ D ）b2A.2 51如图，把椭圆 x2 y2 的长轴 AB 分成8 等份，过每个分点作 16 12 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 , P7 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则 P1F P2 F P3 F P4 F P5 F P6 F P7 F3( B )A. 48B.28C. 8D. 32已知点 p （4，3）在双曲线 C:（ C ）经典资料2x y2 1a2上，则此双曲线的离心率是A. 2 B. 2 552 2 2已知椭圆 C: x y 4 221 ，过点 P(1，－1)作直线交椭圆于 A，B 两点，弦 AB 恰好被 P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( D )A． x 2 y 1 0C． 5x 3 y 13 0B． 5x 3y 13 0D． x 2 y 3 0在平面直角坐标系 xOy中，△ABC上的点 A，C的坐标分别为(－ 22，0 ,0)，( 2yx2 22，0 ,0)，若点 B 在椭圆16 81 上，则sin A sin C sin A C＝( A ) A. B.22 3 5 设F1，F2 为双曲线x2 y21 16 9的两个焦点，点在双曲线上，且满足F PF 600 ，则 F PF3 3 3. 的面积为 （ C ） 1 2 1 2A. 3B. 6C. 9D.9如图，椭圆与双曲线有公共焦点 F1，F2，它们在第一象限的交点为 A ，且 AF1⊥AF2 ，∠AF1F2＝30°，则椭圆与双曲线 的离心率之积为( A ) A ．2 B 1 C. 2解析：选 A 设椭圆的长轴长为 2a1，双曲线的实轴长为 2a2，焦距为 2c,由椭圆与双曲线的定义可知， |AF1|＋|AF2|＝2a1, |AF1|－|AF2|＝2a2,在 Rt △AF1F2 中，∠AF1F2＝30°，1 3则|AF2|＝ |FF|21 ＝c |AF|1 ＝3D.2 3|F1F2|＝ 3c,2 2所以 2a1＝( 3＋1)c,2a2＝( 3－1)c，c 2即 e1＝＝3－1c 2，e2＝ ＝ ， a1 3＋1 a2 2 2所以 e1·e2＝3－13＋1即椭圆与双曲线的离心率之积为 2.二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把正确答案写在答题纸上.）已知 f (x)＝ x2 x m ，如果 f (1)>0 是假命题，则实数 m 的取值范围是m 2 ．x 2已知椭圆C : a 2b 21（ a ＞ b ＞0）的左焦点为 F ，右顶点为 A ，上顶点为 B ，若 AB BF , 则称其为“黄金椭圆”，那么“黄金椭圆”的离心率为5 -1 ．215.已知圆C ：x 4 2 y2 9,圆C : x 4 2 y2 1，动圆C 与定圆C C经典资料都外切则1 2动圆C3 的圆心 M 的轨迹方程为x 23 y2 1（x 1）152 1， 216.已知点P （m, n ）是椭圆 x y 4 321 上的一个动点，则m2n22m 的取值范围是0，8三．解答题（本大题共 6 小题，17 小题 10 分，其它各小题每题 12 分，共 70 分.） 17（本题 10 分）已知；不等式恒成立，若是的必要条件，求实数的取值范围.解：,即, 是的必要条件,是的充分条件, 不等式对恒成立, 对恒成立,,当且仅当时,等号成立. .18. （本题 12 分）已知m R, 命题P : 对x 0，1, 不等式2x 2 m2 3m恒成立;命题q : x 1,1。
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2017年下期高二年级第一次月考试卷数学（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高二年级理科实验班第一次月考试卷，分两卷。
其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.下列命题中错误的是（）A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件C．命题p：∃x0∈R，x02+x0﹣1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x ﹣1≥0D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”2.已知命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（）A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0 C．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0 D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞03.现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）A．B．C．D．4.已知2x=3y=5z，且x，y，z均为正数，则2x，3y，5z的大小关系为（）A．2x＜3y＜5z B．3y＜2x＜5zC．5z＜3y＜2x D．5z＜2x＜3y5.在区间中随机取一个实数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣3）2+y2=1相交”发生的概率为（）A．B．C．D．6.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表已知由表中4组数据求得回归直线方程=8x+14，则表中的a的值为（）A．37 B．38 C．39 D．407.设M是圆O：x2+y2=9上动点，直线l过M且与圆O相切，若过A（﹣2，0），B（2，0）两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点F的轨迹方程是（）A．﹣=1（y≠0）B．﹣=1（y≠0）C． +=1（y≠0）D． +=1（y≠0）8.双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2渐近线分别为l1，l2，位于第一象限的点P在l1上，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．9.已知数列{a n}通项公式为a n=，其前m项和为，则双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±xD．y=±x10.已知直线与抛物线y2=4x交于A，B两点（A在x轴上方），与x轴交于F点，，则λ﹣μ=（）A．B．C．D．11.已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数）A．（0，）B．[，）C．（0，）D．[，e]12.已知椭圆： +=1（a，b＞0）和圆O：x2+y2=b2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．若椭圆上存在点P，使得•=0，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．[，1） B.（0，] C.[，1）D．[，]第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，如果a=8，∠B=60°，∠C=75°，那么b等于．14.若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n，T n，已知=，则等于．15.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是．16.双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若在C上存在一点P，使得PO=|F1F2|（O为坐标原点），且直线OP的斜率为，则，双曲线C的离心率为．三.解答题（共6题，共70分）17.（本题满分10分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S6=S3+14，a6=10﹣a4，a4＞a3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}中，b n=log2 a n，求数列{a n•b n}的前n项和T n．18.（本题满分12分）如图，已知长方形ABCD中，AB=2AD，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证：AD⊥BM；（2）若点E是线段DB上的中点，四棱锥D﹣ABCM的体积为V ，求三棱锥E ﹣ADM 的体积．19.（本题满分12分）某食品安检部门调查一个养殖场的养殖鱼的有关情况，安检人员从这个养殖场中不同位置共捕捞出100条鱼，称得每条鱼的重量（单位：千克），并将所得数据进行统计得如表．若规定重量大于或等于1.20kg 的鱼占捕捞鱼总量的15%以上时，则认为所饲养的鱼有问题，否则认为所饲养的鱼没有问题．（1）根据统计表，估计数据落在[1.20，1.30）中的概率约为多少，并判断此养殖场所饲养的鱼是否有问题？ （2）上面所捕捞的100条鱼中，从重量在[1.00，1.05）和[1.25，1.30）的鱼中，任取2条鱼来检测，求恰好所取得鱼的重量在[1.00，1.05）和[1，.25，1.30）中各有1条的概率．20.（本题满分12分） 如图，已知椭圆M ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且经过过点P （2，1）． （1）求椭圆M 的标准方程；（2）设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是椭圆M 上异于顶点的任意两点，直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2=﹣．①求x 12+x 22的值；②设点B 关于x 轴的对称点为C （点C ，A 不重合），试求直线AC 的斜率．21.（本题满分12分）设点C （x ，y ）是平面直角坐标系的动点，M （2，0），以C 为圆心，CM 为半径的圆交y 轴于A ，B 两点，弦AB 的长|AB|=4．（Ⅰ）求点C 的轨迹方程；（Ⅱ）过点F （1，0）作互相垂直的两条直线l 1，l 2，分别交曲线C 于点P 、Q 和点K 、L ．设线段PQ ，KL 的中点分别为R 、T ，求证：直线RT 恒过一个定点．22.（本题满分12分）对于定义域为D 的函数y=f （x ），如果存在区间[m ，n]⊆D ，同时满足：①f （x ）在[m ，n]上是单调函数；②当定义域是[m ，n]时，f （x ）的值域也是[m ，n]． 则称[m ，n]是该函数的“等域区间”． （1）求证：函数不存在“等域区间”；（2）已知函数（a ∈R ，a ≠0）有“等域区间”[m ，n]，求实数a 的取值范围．7C C C B B C（与，==．（=0.11=．（= +=1，可得椭圆标准方程为+=1；（3分）（2）①由题意可得k1k2==﹣，即为x12x22=16y12y22，又点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，可得4y12=8﹣x12，4y22=8﹣x22，即有x12x22=（8﹣x12）（8﹣x22），化简可得x12+x22=8；（6分）②由题意可得C（x2，﹣y2），由4y12=6﹣x12，4y22=6﹣x22，可得y12+y22==，（8分）由x12+x22=（x1﹣x2）2+2x1x2=6，可得（x1﹣x2）2=6﹣2x1x2，由y12+y22=（y1+y2）2﹣2y1y2=，可得（y1+y2）2=+2y1y2=（3+4y1y2），（9分）由=﹣，即x1x2=﹣4y1y2，可得（x1﹣x2）2=6﹣2x1x2=6+8y1y2，（10分）则直线AC的斜率为k AC==±=±．（12分）21.（Ⅰ）设动点C的坐标为（x，y），由题意得，，化简得y2=4x，所以抛物线的标准方程为y2=4x．（3分）（Ⅱ）设P、Q两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点R的坐标为．显然直线l1斜率存在且不为0，由题意可设直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入椭圆方程得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．（5分）△=（2k2+4）2﹣4k4=16k2+16＞0，x1+x2=2+，y1+y2=k（x1+x2﹣2）=．所以点R的坐标为（1+，）．（6分）由题知，直线l2的斜率为﹣，同理可得点T的坐标为（1+2k2，﹣2k）．当k≠±1时，有，此时直线RT的斜率．（8分）所以，直线RT的方程为y+2k=（x﹣1﹣2k2），整理得yk2+（x﹣3）k﹣y=0，于是，直线RT恒过定点E（3，0）；（10分）当k=±1时，直线RT的方程为x=3，也过E（3，0）．综上所述，直线RT恒过定点E（3，0）（12分）22.（1）证明：设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，∴[m，n]⊆（﹣∞，0），或[m，n]⊆（0，+∞），故函数在[m，n]上单调递增．若[m，n]是已知函数的“等域区间”，则故m、n是方程的同号的相异实数根．∵x2﹣3x+5=0无实数根，∴函数不存在“等域区间”．（6分）（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集，∵x≠0，∴[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数在[m，n]上单调递增．若[m，n]是已知函数的“等域区间”，则故m、n是方程，即a2x2﹣（2a+2）x+1=0的同号的相异实数根．∵，∴m，n同号，故只需△=（﹣（2a+2））2﹣4a2=8a+4＞0，解得，∴实数a的取值范围为．（12分）。