数值计算方法复习题7
数值计算方法试题及答案
计算机数值计算方法试题 计算机数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(24x l x xk k n k k( )。
,5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k k x ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
数值计算方法总结计划试卷试题集及答案
一、选择题（每题2分，共20分）1.数值计算的基本思想是（）。
A.精确求解B.近似求解C.解析表达D.图像显示2.下列哪种方法不属于数值计算方法？（）A.有限差分法B.有限元法C.插值法D.微积分3.在数值计算中，为避免数值计算误差，通常采用（）方法。
A.精确计算B.误差分析C.误差校正D.舍入运算4.下列哪种数值方法适用于求解偏微分方程？（）A.欧拉法B.龙格-库塔法C.有限差分法D.牛顿法5.下列哪种方法不属于求解线性方程组的数值方法？（）A.高斯消元法B.追赶法C.迭代法D.矩阵分解法二、填空题（每题2分，共20分）6.数值计算方法是利用计算机求解科学和工程问题的_______方法。
7.数值计算的主要目的是将_______问题转化为_______问题。
8.在数值计算中，通常需要对实际问题进行_______，以简化计算过程。
9.有限差分法的核心思想是将偏微分方程转化为_______方程。
10.牛顿法是一种_______方法，适用于求解非线性方程组。
三、判断题（每题2分，共20分）11.数值计算方法只能解决线性问题。
（）12.在数值计算中，误差只能通过增加计算精度来减小。
（）13.迭代法求解线性方程组时，需要预先知道方程组的解。
（）14.数值计算方法在实际应用中具有较高的可靠性。
（）15.有限元法适用于求解所有类型的偏微分方程。
（）四、简答题（每题10分，共30分）16.请简要说明数值计算的基本思想及其应用范围。
17.请简要介绍有限差分法的原理及应用。
18.请简要说明牛顿法求解非线性方程组的原理。
五、计算题（每题10分，共50分）2x+3yz=14xy+5z=2-x+2y+z=3y'=-y+e^x，初始条件y(0)=1答案：一、选择题1.B2.D3.B4.C5.A二、填空题6.近似7.连续离散8.简化9.差分10.迭代三、判断题11.×12.×13.×14.√15.×四、简答题16.数值计算的基本思想是将实际问题转化为数学问题，再通过计算机求解。
数值计算方法试题和答案解析
数值计算方法试题一一、 填空题(每空1分,共17分) 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( )次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件就是α取值在( )。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 就是三次样条函数,则a =( ),b =( ),c =( )。
4、)(,),(),(10x l x l x l n Λ就是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数,则∑==nk kx l0)(( ),∑==nk k jk x lx 0)(( ),当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 与节点,,2,1,0,2/Λ==k k x k 则=],,,[10n x x x f Λ 与=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ,5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ就是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0=x ϕ,则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时,SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 就是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ,当∈a ( )时,必有分解式T LL A =,其中L为下三角阵,当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足( )条件时,这种分解就是唯一的。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分)1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分（ ）次.2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =（ )，b =（ ),c =( ）.4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk k x l)(( ），∑==nk k j kx lx 0)(（ ）,当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿—柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=104)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数,当a 满足 ，且20<<ω时，SOR迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ,当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =,其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时,这种分解是唯一的。
《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》试题集及答案《计算方法》期中复习试题一、填空题：1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：，2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+5、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；7、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n ab )；8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )；11、两点式高斯型求积公式?1d )(xx f ≈(++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为 199920012+ 。
13、用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为，1 ,进行两步后根的所在区间为，。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=104)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
《数值计算方法》试题集及答案
枯藤老树昏鸦，小桥流水人家，古道西风瘦马。
夕阳西下，断肠人在天涯。
《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎢⎢⎢⎣⎡--=15401411A 3、)3(,2)2(,1)1(=-=f f f 答案：-1，2(21)(2-=x x L 4* 2 )位有效数字； 5( )；答案6 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7舍入 )误差；8a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+n )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。
14、 求解方程组⎩⎨⎧=+=+042.01532121x x x x，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ15、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则1l 插值多项式为 (716)(2+=x x x x N 16、 求积公式⎰∑=≈ba k nk k x f A x x f )(d )(0的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具21内的根精确到三位小数，需对分（ 10 ）次。
22≤≤≤≤3110x c x 是三次样条函数，则a =( ）。
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习题七
1. 判断下列方程有几个实根，并求出其隔根区间。
；（2）
（1）
；（4）
（1），，；（2）；
（3），，；（4）为根。
在区间（3，4）中有一实根，若用二
2. 方程
分法求此根，使其误差不超过
分法求此根。
6
3. 下列方程各有一实根，判别能否直接将其写成迭代格式而后求解？如不能，将方程变形，给出一个收敛的迭代格式。
（1）
；（2）
（1）能；（2）不能，
4. 求方程
的隔根区间，对方程的下列四种等价变形，判
断各迭代格式的收敛性，选一种收敛最快的迭代格式，求出具有四位有效数字的近似根。
（1）（2）（3）
（4）（1.4,1.5）；（1）收敛；（2）收敛；（3）发散；（4）发散； 1.465573
5. 考察方程
有几个根，选择合适的迭代格式求这些根，允
许误差
－1.989761；0.3758122
6. 用牛顿法求出的方程
根的迭代结果见表2-6，试估计所求根
的重数。
表2-6
；；
7. 用二分法求方程的正根，使误差小于0.05.
解使用二分法先要确定有根区间。
本题f(x)=x2-x-1=0,因f(1)=-1,f(2)=1,故区间[1,2]为有根区间。
另一根在[-1,0]内，故正根在[1,2]内。
用二分法计算各次迭代值如表。
其误差
8.求方程在=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价
形式，并建立相应迭代公式.
(1) ，迭代公式
.
(2) ,迭代公式
.
(3)
，迭代公式
.
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4
位有效数字的近似根.
解：（1）取区间且，在且
，在中，则L<1，满足收敛定理条件，故迭代收敛。
（2），在中，且，在
中有，故迭代收敛。
（3），在附近，故迭代法发散。
在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小，故它比（1）收敛快。
用（2）迭代，取，则
9.设方程的迭代法
(1) 证明对,均有,其中为方程的根.
(2) 取=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过,并列出各次迭
代值.(3) 此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论.
解：（1）迭代函数，对有
，
（2）取，则有各次迭代值
取，其误差不超过
（3）
故此迭代为线性收敛。
10．给定函数，设对一切x,存在，而且.证明对
的任意常数,迭代法均收敛于方程的根. 解：由于，为单调增函数，故方程的根是唯一的（假定方
程有根）。
迭代函数，。
令，则
，由递推有
，即
11.用Steffensen方法计算第12题中(2)、(3)的近似根，精确到
解:在(2)中,令,,则有
令,得
,与第2题中(2)的结果一致,可取,则满足精度要求.
原迭代不收敛.现令
对(3)有
,
令
12用Newton法求下列方程的根，计算准确到4位有效数字.
(1)在=2附近的根.
(2)在=1附近的根.
解：（1）
Newton迭代法
取，则，取
（2）
令，则，取
13.应用Newton法于方程,求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性.
解：方程的根为，用Newton迭代法
此公式迭代函数，则
，故迭代法2阶收敛。
还可证明迭代法整体收敛性。
设，对
一般的，当时有
这是因为当时成立。
从而
，即，表明序列单调递减。
故对，迭代序列收敛于。