【全程复习方略】(湖北专用)2013版高中数学 7.7空间向量及其运算课件 理 新人教A版
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空间向量基本定理--课件(共25张PPT)
都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个
基底.
3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，
且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 ，，
表示.
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解
为三个向量xi，yj，zk，使a=xi+yj+zk，像这样，把一个空间向量
1 2
1
A. a- b+ c
2 3
2
1 1 1
C. a+ b- c
2 2 2
2 1
1
B.- a+ b+ c
3 2
2
2 2 1
D. a+ b- c
3 3 2
答案:B
1
2
2
1
1
解析:显然 = − = 2 ( + )-3 =-3a+2b+2c.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
应用空间向量基本定理证明线线位置关系
解析:只有不共面的三个向量才能作为一个基底，在三棱柱中，
，，1 不共面，可作为基底。
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误
的打“×”.
(1)空间向量的基底是唯一的.(
)
(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向
量.(
)
(3)已知A，B，M，N是空间四点，若, , 不能构成空间的
=
1 1 1
1
+ - · --
2 2 2
3
2 √10
√3× 3
=
基底.
3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，
且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 ，，
表示.
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解
为三个向量xi，yj，zk，使a=xi+yj+zk，像这样，把一个空间向量
1 2
1
A. a- b+ c
2 3
2
1 1 1
C. a+ b- c
2 2 2
2 1
1
B.- a+ b+ c
3 2
2
2 2 1
D. a+ b- c
3 3 2
答案:B
1
2
2
1
1
解析:显然 = − = 2 ( + )-3 =-3a+2b+2c.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
应用空间向量基本定理证明线线位置关系
解析:只有不共面的三个向量才能作为一个基底，在三棱柱中，
，，1 不共面，可作为基底。
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误
的打“×”.
(1)空间向量的基底是唯一的.(
)
(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向
量.(
)
(3)已知A，B，M，N是空间四点，若, , 不能构成空间的
=
1 1 1
1
+ - · --
2 2 2
3
2 √10
√3× 3
=
【全程复习方略】(湖北专用)2013版高中数学 7.8立体几何中的向量方法课件 理 新人教A版..
形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是________．
【解析】如图，建立坐标系Dxyz，
则A1(2,0,4)，A(2,0,0)，
B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，
AD1 =(-2,0,4), AB1 =(0,2,4), AA1=(0,0,4),设平面AB1D1
的一个法向量为 n =(x，y，z)，
C1(0,2,2)，BC1 =(－1,0,2)，
AE =(－1,2,1)，
cos BC1 , AE 30 . 10
BC1 (1)30°
(2) 30
10
4．点到平面的距离的向量求法
如图，设AB为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则
| AB n | 点B到平面α的距离d=_______. |n|
平面的
法向量
向量都可作为平面的法向量． 显然一个平面的法向量也不唯
一．
n a 0 ． n b 0
【即时应用】 (1)思考：在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量， 但只有两个方程，如何求法向量？ 提示：给其中某一变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解， 即可作为法向量的坐标．
(2)若 A(0, 2, 19 ), B(1, 1, 5 ),C( 2,1, 5 ) 是平面α内的三点，设平面α
8 8 8
的法向量 n =(x,y,z)，则x∶y∶z=__________.
7 7 【解析】AB (1， 3， )， AC ( 2, 1, ), 4 4
7 2 n AB x 3y z 0 x y 3 4 由 得 ． n AC 2x y 7 z 0 z 4 y 3 4
答案：(1)－10
空间向量及其运算 课件
共线向量与共面向量
1.共线向量 (1) 定 义 ： 表 示 空 间 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线 互__相__平__行__或__重__合__，则这些向量叫做_共__线__向__量___或平行向量； (2)共线向量定理：对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)， a∥b 的充要条件是存在实数 λ 使__a_＝__λ_b____.
【思路探究】 (1)空间向量中，零向量是怎样定义的？ (2)怎样判断两个向量相等？(3)四边形 ABCD 满足什么条件
时，才有A→B＋A→D＝A→C？ 【自主解答】 ①正确；②正确，因为A→C与A→1C1的大小
和方向均相同；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以 a 与 b 的 方向不能确定；④中只有当四边形 ABCD 是平行四边形时，
2．共面向量 (1)定义：平行于__同__一__个__平__面___的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)， 使_p_＝__x__a_＋__y_b__.
推论 空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有 序实数对(x，y)，使_A→_P__＝__x_A→_B_＋__y_A→_C__；或对空间任一定点 O，
才有A→B＋A→D＝A→C.
综上可知，正确命题为①②. 【答案】 ①②
1．在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向 量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同．
2．由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向 量有关概念问题时，通常抓住这两点来解决．
3．零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任 何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．
【思路探究】 (1)E→H与F→G共线吗？怎样证明？
空间向量及其运算课件 课件
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 , C(x, y)是AB的中点，则
x
y
x1 y1
2
x2 y2
2
空间向量
空间向量的坐标运算：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 );
a (x1, y1, z1), R;
空间向量
空间向量的夹角：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) cos a,b a • b
| a || b |
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
垂直与平行：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) a // b x1 y1 z1 (?)
(4)已知不共线的三点A、B、C，对平面 ABC外的任意一点O，若 OG 1 (OA OB OC) 则G是三角形ABC的重心 3
以上命题中，正确的是__________
已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b， OC=c，试用a , b , c 来表示OG.
(1)若AD是△ABC的中线，则有
平面的向量参数方程：
A, B,C是不共线的三点，P 平面ABC
存在唯一的实数对x, y，使 AP x
AB yAC
存在唯一的实数对x, y,使
OP (1 x y) OA yOC
存在唯一的实数对x, y, z
(x y z 1),使 OP x OA
yOB zOC
空间向量及其运算
• 空间向量的概念、表示、相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
x
y
x1 y1
2
x2 y2
2
空间向量
空间向量的坐标运算：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 );
a (x1, y1, z1), R;
空间向量
空间向量的夹角：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) cos a,b a • b
| a || b |
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
垂直与平行：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) a // b x1 y1 z1 (?)
(4)已知不共线的三点A、B、C，对平面 ABC外的任意一点O，若 OG 1 (OA OB OC) 则G是三角形ABC的重心 3
以上命题中，正确的是__________
已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b， OC=c，试用a , b , c 来表示OG.
(1)若AD是△ABC的中线，则有
平面的向量参数方程：
A, B,C是不共线的三点，P 平面ABC
存在唯一的实数对x, y，使 AP x
AB yAC
存在唯一的实数对x, y,使
OP (1 x y) OA yOC
存在唯一的实数对x, y, z
(x y z 1),使 OP x OA
yOB zOC
空间向量及其运算
• 空间向量的概念、表示、相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
【全程复习方略】(全国通用)高考数学 7.7 立体几何中的向量方法(一)证明空间中的位置关系课件
所以 AM =(-2,0,1), ON =(1,0,2), AMON =-2+0+2=0,所以AM⊥ON.
答案:垂直
3.真题小试
感悟考题
试一试
(1)(2015·珠海模拟)若直线l∥平面α ,直线l的方向向量为s、平面α
的法向量为n,则下列结论正确的是( )
4
为OA的中点,N为BC的中点.利用向量方法证明:
直线MN∥平面OCD.
【证明】作AP⊥CD于点P，连接OP，如图，分别以AB，AP，AO所在 直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
2 2 则 P(0， 2 ，， 0) D( ， ，， 0) 2 2 2
O(0，0，2)，M(0，0，1)，N(1 2 ， 2 ，， 0)
令x=1,则y=-1,z=-1,所以n=(1，-1，-1).
因为 MN·n=1+0-1=0，所以MN ⊥n.
又因为MN⊄平面A1BD,所以MN∥平面A1BD.
【一题多解】用向量法解答本题，你知道几种解法？ 解答本题，用向量法还有以下两种解法. 方法一：因为 DA1 =(2,0,2), MN =(1,0,1)， 所以 DA1 2MN,即DA1 MN,
所以 MN DA1 , 又因为MN与DA1不共线，所以MN∥DA1,
2
2
2
2
又因为MN⊄平面A1BD,A1D⊂平面A1BD,
所以MN∥平面A1BD.
【易错警示】解答本题有一点容易出错:
只证明 MN ⊥n,而忽视MN⊄平面A1BD的情况就下结论MN∥平面A1BD,而
2.教材改编
链接教材
练一练
(1)(选修2-1P104 T2改编)设 ,v分别是平面α ,β 的法向量, = (-2,2,5),当v=(3,-2,2)时,α 与β 的位置关系为 (4,-4,-10)时,α 与β 的位置关系为 . ; 当 v=
答案:垂直
3.真题小试
感悟考题
试一试
(1)(2015·珠海模拟)若直线l∥平面α ,直线l的方向向量为s、平面α
的法向量为n,则下列结论正确的是( )
4
为OA的中点,N为BC的中点.利用向量方法证明:
直线MN∥平面OCD.
【证明】作AP⊥CD于点P，连接OP，如图，分别以AB，AP，AO所在 直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
2 2 则 P(0， 2 ，， 0) D( ， ，， 0) 2 2 2
O(0，0，2)，M(0，0，1)，N(1 2 ， 2 ，， 0)
令x=1,则y=-1,z=-1,所以n=(1，-1，-1).
因为 MN·n=1+0-1=0，所以MN ⊥n.
又因为MN⊄平面A1BD,所以MN∥平面A1BD.
【一题多解】用向量法解答本题，你知道几种解法？ 解答本题，用向量法还有以下两种解法. 方法一：因为 DA1 =(2,0,2), MN =(1,0,1)， 所以 DA1 2MN,即DA1 MN,
所以 MN DA1 , 又因为MN与DA1不共线，所以MN∥DA1,
2
2
2
2
又因为MN⊄平面A1BD,A1D⊂平面A1BD,
所以MN∥平面A1BD.
【易错警示】解答本题有一点容易出错:
只证明 MN ⊥n,而忽视MN⊄平面A1BD的情况就下结论MN∥平面A1BD,而
2.教材改编
链接教材
练一练
(1)(选修2-1P104 T2改编)设 ,v分别是平面α ,β 的法向量, = (-2,2,5),当v=(3,-2,2)时,α 与β 的位置关系为 (4,-4,-10)时,α 与β 的位置关系为 . ; 当 v=
高考数学专题复习《空间向量及其运算》PPT课件
(3)a·b= x1x2+y1y2+z1z2
;
(4)|a|= ·=
(5)当 a≠0 且 b≠0
12 + 12 + 12
·
时,cos<a,b>=||||
;
=
1 2 +1 2 +1 2
12 +12 +12 22 +22 +22
.
9.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
第七章
7.5 空间向量及其运算
内
容
索
引
01பைடு நூலகம்
必备知识 预案自诊
02
关键能力 学案突破
【知识梳理】
1.空间向量
(1)定义:空间中既有 大小
又有 方向
(2)向量的模(或长度):向量的 大小
.
的量称为空间向量.
(3)表示方法:
①几何表示法:可以用 有向线段
来直观的表示向量,如始点为A终点
为B的向量,记为 ,向量的模用 | | 表示.
(ⅰ)当λ>0时,与a的方向 相同
;
(ⅱ)当λ<0时,与a的方向 相反
,而且λa的方向:
.
②当λ=0或a=0时,λa= 0 .
(4)空间向量的线性运算满足如下运算律:
对于实数λ与μ,向量a与b,有λa+μa=(λ+μ)a,λ(a+b)=λa+λb.
4.空间向量的数量积
(1)空间向量的夹角
非零
<a,b>
x2=λx1
(1)当 a≠0 时,a∥b⇔b=λa⇔(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)⇔ y2=λy1
;
(4)|a|= ·=
(5)当 a≠0 且 b≠0
12 + 12 + 12
·
时,cos<a,b>=||||
;
=
1 2 +1 2 +1 2
12 +12 +12 22 +22 +22
.
9.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
第七章
7.5 空间向量及其运算
内
容
索
引
01பைடு நூலகம்
必备知识 预案自诊
02
关键能力 学案突破
【知识梳理】
1.空间向量
(1)定义:空间中既有 大小
又有 方向
(2)向量的模(或长度):向量的 大小
.
的量称为空间向量.
(3)表示方法:
①几何表示法:可以用 有向线段
来直观的表示向量,如始点为A终点
为B的向量,记为 ,向量的模用 | | 表示.
(ⅰ)当λ>0时,与a的方向 相同
;
(ⅱ)当λ<0时,与a的方向 相反
,而且λa的方向:
.
②当λ=0或a=0时,λa= 0 .
(4)空间向量的线性运算满足如下运算律:
对于实数λ与μ,向量a与b,有λa+μa=(λ+μ)a,λ(a+b)=λa+λb.
4.空间向量的数量积
(1)空间向量的夹角
非零
<a,b>
x2=λx1
(1)当 a≠0 时,a∥b⇔b=λa⇔(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)⇔ y2=λy1
高中全程复习方略配套课件：77空间直角坐标系、向量的坐标表示和空间向量基本定理
(2)若b0为b的单位向量，称_a_·__b_0_=_|_a_|_c_o_s_〈__a_,_b_〉为向量a在向量 b上的投影. 向量的坐标等于它在_坐__标__轴__正__方__向__上的投影. (3)空间向量基本定理 如果向量e1,e2,e3是空间三个_不__共__面__的向量，a是空间任一向量， 那么存在唯一一组实数λ1,λ2,λ3，使得a=λ1e1+λ2e2+λ3e3. 空间中不共面的三个向量e1,e2,e3叫作这个空间的一个_____.
xy11
λx 2 λy2 ,
λ
R
_z_1___λz_2______;
(8)a⊥b⇔_a_·__b_=_0_⇔_x_1_x_2+_y_1_y_2_+_z_1z_2_=_0_.
【即时应用】 (1)已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3)，则 A B 与 C A 的夹角θ的大小是________． (2)已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t)，则｜b-a｜的最小值为 _________. (3)已知a=(λ+1,0,2λ),b=(6,2μ-1,2)，若a∥b，则 λμ=_________． (4)已知向量a=(1,1,0)，b=(-1,0,2)且ka+b与2a-b互相垂直， 则k=_________.
空间两点间的距离 【方法点睛】 1.求空间两点间距离的步骤 (1)建立坐标系，写出相关点的坐标； (2)利用公式求出两点间的距离. 2.两点间距离公式的应用 (1)求两点间的距离或线段的长度； (2)已知两点间距离，确定坐标中参数的值； (3)根据已知条件探求满足条件的点的存在性.
【例2】(1)已知点B是点A(3,7,-4)在xOz平面上的射影，则|OB|
高考数学总复习第讲空间向量及其运算优秀课件
三条侧棱 OA，OB，OC 两两垂直，且长度
均为 2. E，F 分别是 AB，AC 的中点，H 是
EF 的中点. 试建立适当的空间坐标系，表示
向量 AH ，BC 的坐标.
O
思路二：以底面ABC中心
G为坐标原点，建立空间
坐标系 ．
A
求解较繁！
C F
H
E
B
求解过程
解（选用思路一）如图以 O 为原点，建立空间直
试用向量a ，b，c 表示向量GH ．
HC
A G B
思路分析
例 1 如图，在空间四边形 OABC 中，G，H 分
别是△ ABC 和△ OBC 的重心，
O
设OA a，OB b，OC c ，
试用向量a ，b，c 表示向量GH ． 思路一（通法）：
HC
由空间向量基本定理，关键找
A
到一组有序数组（x，y，z），
F
C A
E 第3题 B
参考答案
1．证明 EF
1 2
BB1
1 2
BD
2．建立空间直角坐标系，证明向量间垂直，
（2）方法比较：方法一利用共面向量定理证明，侧 重于空间向量的计算，使几何问题数量化，方 法二与方法四需添加辅助线，侧重于推理．这 三种方法，各具特色，运用时因人、因题而 异. 思路三将平几类比到立几时没有注意两者的 差异，导致错误.
廓清疑点：两向量夹角的 确定
基础知识
1. 两向量的夹角 a ，b是空间两个非零向量，过空间任意一点 O，作 OA a，OB b，则∠AOB 叫做向量a 与向量b的夹角， 记作＜a ，b＞，并且规定 0≤＜a ，b＞≤ π . 2. 向量的数量积 设a ，b是空间两个非零向量，将数量 |a ||b|cos＜a ，b＞叫做向量a ，b的数量积，记作a b， 即a b＝|a ||b|cos＜a ，b＞.
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1.空间向量的有关概念及线性运算 (1)空间向量的概念
名称
零向量
概念
模为___ 0 的向量
1 的向量 长度（模）为___ 相同 且模_____ 相等 的向量 方向____ 相反 且模____ 相等 的向量 方向____
表示
0
单位向量
相等向量 相反向量 共线向量 共面向量
ab
a 的相反向量为 a
②减法： a b BC AC AB _____,
③数乘： a R . OP ___
(3)空间向量加法、数乘运算满足的运算律
ba ， ①交换律： a b ______
(2) 由题意得： b a =(1+t,2t-1,0)，
｜ b a｜
1 t 2t 1
2
2
0
1 2 9 5(t ) ， 5 5 ∴当t= 1 时，｜b a｜取得最小值为 3 5 . 5 5 2 答案:(1) (2)3 5 3 5
空间向量的线性运算 【方法点睛】
【解析】由向量加法知(1)正确；当a ∥b时，a 与 b 所在直线平
行或重合，故(2)是错误的；由于向量可平移，因此空间任意 两向量都可平移到同一起点，故空间任意两向量共面，即(3) 是正确的；a 所在的直线可能在平面α内，故(4)是错误的． 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．空间向量的有关定理
名称 内容
共线向
量定理
对于空间任意两个向量 a, b(b 0)， a ∥b 的充要条
a b ． 件是存在实数λ ，使_______
共面向
量定理
如果两个向量 a, b 不共线，则向量 p 与向量 a, b 共 面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y)，
p xa yb ． 使_________
②结合律： a (b c) ， (a b) c ________
a (λ ∈R,μ ∈R)， (a) ______
a b (λ ∈R). ③分配律： (a b) _______
【即时应用】
判断下列命题的正误.(请在括号内填“√”或“×”)．
【即时应用】 (1)思考：对于实数a,b，若ab=0，则一定有a=0或b=0，而对于 向量 a, b ，若 a b 0 ，则一定有 a 0 或 b 0 吗？ 提示：不一定，因为当a 0 且 b 0 时，若a b，也有a b 0．
(2)已知向量 a与b 的夹角为120°，且| a || b | 4 ，那么
空间向量线性运算的方法
几何表示 加法 减法 数乘 坐标表示
满足三角形法则和平行 对应坐标相加 四边形法则
满足三角形法则 与平面向量数乘类似 对应坐标相减 把每个坐标同乘以常数
空间向量的加法与数乘满足的运算律与平面向量的对应运算满 足的运算律相同．
【提醒】进行向量的加法运算时，若用三角形法则，必须使两
a, b, c 三个向量共面，则实数λ =____．
(2)已知 a =(λ +1,0,2λ ), b =(6,2μ -1,2)，若 a ∥b ，则 λ μ =______． (3)已知向量 a, b, c 是空间的一个单位正交基底，向量 a b ,
p 在基向量 a b, a b, c a b , 是空间的另一组基底，若向量 c
夹角
【即时应用】 (1)已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3)，则 AB 与
CA 的夹角θ 的大小是_____．
(2)已知 a =(1-t,1-t,t),b =(2,t,t)，则 | b a |的最小值为____.
【解析】(1)由题意知 AB=(-2,-1,3)， CA =(-1,3,-2)， ABCA 7 1 故 cos , 2 | AB || CA | 14 所以θ= 2 ． 3
ab
表示空间向量的有向线段所 平行或重合 的 在的直线互相__________ 向量
平面 的向量 平行于同一个____
(2)空间向量的加、减、数乘运算 空间向量的加、减、数乘运算是平面向量运算的推广． 如图，设 a , b 是空间任意两向量，若 OA AC a,AB b, P∈OC， ①加法： ab ， OB OA AB _____
1 1
2
答案： ① AA1 (或A1A)
1 1 ② AB AD AA1 2 2
(2) 2a 3b =2(3,5,-4)+3(2,1,8)= (6,10,-8)+(6,3,24)=(12,13,16)；
a1b1+a2b2+a3b3=0 a b a b 0 _______________ a1b1+a2b2+a3b3 a b _____________
空 间 向 量 坐 标 运 算
垂直
数量积 模
| a | a a a12 a 2 2 a 32
a b cos<a, b > | a || b | a1b1 a 2 b 2 a 3b3 a12 a 2 2 a 32 b12 b 2 2 b32
1 1 1
(2)(2012·中山模拟)向量 a =(3,5,-4),b =(2,1,8)．计算
2a 3b,3a 2b的值.
【解题指南】(1)用已知向量表示未知向量时，在转化时要结 合向量的线性运算.
(2)根据向量坐标运算的法则解题即可；
【规范解答】(1)①A O 1 AB 1 AD (A A AO) 1 AB 1 AD
b(2a b) 等于_________．
【解析】 b (2a b) 2b a b2 2 4 4cos120 42 0． 答案:0
4.空间向量的坐标运算
a =(a1,a2,a3), b =(b1,b2,b3).( a, b 均为非零向量)
共线
a ∥b a b a1 b1 ,a 2 b2 ,a 3 b3 ( R)
形法则或平行四边形法则，把未知向量用已知向量表示出来．
共线向量定理、共面向量定理的应用 【方法点睛】 1.证明点共线的方法 证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明 A,B,C三点共线，即证明 AB,AC 共线，亦即证明 AB AC (λ ≠0)．
下的坐标为( 3 , 1 ,3 )，则向量 p 在基底{ a, b, c }下的坐标为
2 2
________．
【解析】(1)由于 a, b, c三向量共面，所以存在实数m,n使得
7 2m n c ma nb，即 5 m 4n， 3m 2n 解得 m 33 , n 17 , 65 . 7 7 7 1 6k (2)由 a ∥b 得 a kb， 从而得 0 k 2 1 , 2 2k 解得 k 1 , 1 , 故 1 ． 5 2 10
向量首尾相接；若用平行四边形法则，必须使两向量共起
点．进行向量减法时，必须使两向量共起点．
【例1】(1)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中 点．①化简 A1O 1 AB 1 AD _________；
2 2
②用 AB, 表示 ，则 AD, AA OC OC =_________.
第七节
空间向量及其运算
„„„„„„三年10考 内 容
高考指数:★★★ 知识要求
了解(A) 理解(B) 掌握(C) √
空间向量的概念
空间向量基本定理
空间向量的正交分解及其坐标表示 空间向量的线性运算及其坐标表示 空间向量的数量积及其坐标表示 运用向量的数量积判断向量的共线 与垂直
√
√ √ √ √
1.空间向量的坐标表示是用空间向量解决空间平行、垂直、角 问题的基础． 2.以向量及其运算为工具证明平行、垂直以及求空间角是高考 的热点；题型多以解答题的形式出现，考查学生的运算能力及 分析问题、解决问题的能力．
夹角
范围
数量积
〈a, b〉 0≤ ≤π __________
（特殊情形< a, b >=
a b） 2
a b cos<a, b> a b =____________
运算律
(a b) a(b) (1)结合律： a b ____________
ba (2)交换律： a b ______; b a c (3)分配律： a _______ b c a
2 2 2 1 1 1 AA1 (AB AD) AB AD AA1． 2 2 2 1 ②方法一： OC1 OC CC1 AC CC1 2 1 1 1 AB AD AA1 AB AD AA1. 2 2 2 1 方法二： OC1 CC1 CO CC1 CA 2 1 1 1 1 CC1 AC AA1 AB AD AB AD AA1. 2 2 2 2
(3)由条件得p 3 (a b) 1 (a b) 3c a 2b 3c，故向量 p 在基
2 2
底{a, b, c }下的坐标为(1,2,3)．
答案:(1)65
7
(2) 1
10
(3)(1,2,3)