交大附中2016学年高一上期中数学卷答案版
上海交大附中高一上学期期中考试(数学).doc
上海交大附中高一上学期期中考试（数学）（满分100 分， 90 分钟完成，同意使用计算器，答案一律写在答题纸上）一．填空题：（共12 小题，每题 3 分）1.A={1},B={x|x A} ，用列举法表示会集 B 的结果为 _________ 。
2.已知会集 A={(x,y)|y=x+3}， B={(x,y)|y=3x-1} ，则 A ∩B=________ 。
3.写出 x>1 的一个必要非充分条件__________ 。
4.不等式11 的解集为_____________。
（用区间表示） x5.命题“已知 x、 y∈ R，若是 x+y ≠ 2，那么 x≠ 0 或 y≠ 2. ”是 _____ 命题。
（填“真”或“假”）6.2会集 A={x|(a-1)x+3x-2=0} 有且仅有两个子集，则a=_________ 。
7.若不等式 |ax+2|<6的解集为（ -1 ， 2），则实数 a 等于 _________ 。
8.不等式4x x2>x 的解集是 ____________ 。
9.已知 a2 +b 2=1 ，则a 1 b2的最大值为 ___________ 。
10.19和各代表一个自然数，且满足+ =1 ，则当这两个自然数的和取最小值时，=_______, =_______.11.已知会集A={-1 ， 2} ， B={x|mx+1>0}，若 A ∪ B=B ，则实数 m 的取值范围是 _________ 。
12.若是关于x 的三个方程 x2 +4ax-4a+3=0 ， x2+(a-1)x+a2=0 ， x 2+2ax-2a=0 中，有且只有一个方程有实数解，则实数 a 的取值范围是_______________ 。
二．选择题：（共 4 小题，每题 3 分）13.设命题甲为“0<x<5 ”，命题乙为“|x-2|<3 ”，那么甲是乙的：（）（ A ）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（ C）充要条件；（D）既非充分又非必要条件14. 以下命题中正确的选项是：（）（ A ）若 ac>bc ，则 a>b(B)若 a2>b 2，则 a>b11(D)若 a b ，则a<b（ C）若，则 a<ba b15.设x>y>0，则以下各式中正确的选项是：（）（ A ） x> xy> xy >y （ B ） x> xy >xy>y22（ C ） x>xy> y >xy （ D ） x> xy > y >x y2216. 以下每 中两个函数是同一函数的 数共有：（）（ 1 ） f(x)=x 2 +1 和 f(v)=v 2+1（２） y1 x2 和 y1 x 2| x 2 | x 2（３） y=2x ， x ∈ {0,1} 和 y= 1 x 2 5 x 1， x ∈ {0,1}6 6 （４） y=1 和 y=x 0（５） y=x 1 x 2 和 yx 2 3x 2（ 6 ） y=x 和 y 3x 3（A ）1（B ）3（C ） 2 （D ）4三．解答题： （共 5 小 ，本大 要有必要的 程）17. （本 8 分）已知会集A x x a 1 ， Bx x 2 5x 4 0 ，且 AB ，求 数 a 的取 范 。
陕西省西安交大附中2016-2017学年高一下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2016-2017学年陕西省西安交大附中高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若，则角B 等于（）A．B．C．D．2．已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．83．函数y=sin（﹣2x+）的单调递增区间是（）A．[﹣+2kπ， +2kπ]（k∈Z） B．C．[﹣+kπ， +kπ]（k∈Z）D．4．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=1，b=，∠A=30°C．a=1，b=2，∠A=100°D．b=c=1，∠B=45°5．若cos（﹣α）=，则sin2α=（）A．B．C．﹣ D．﹣6．已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则公差d等于（）A．1 B．C．2 D．37．将函数y=2cos2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为（）A．y=cos2x B．y=﹣2cosx C．y=﹣2sin4x D．y=﹣2cos4x8．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，若sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，则△ABC 的形状是（）A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形10．△ABC的三边分别为a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为（）A．5 B． C． D．11．若函数f（x）为R上的奇函数，且在定义域上单调递减，又f（sinx﹣1）＞﹣f（sinx），x∈[0，π]，则x的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，若S16＞0，S17＜0，则当S n最大时n的值为（）A．8 B．9 C．10 D．16二、填空题（每小题5分，共20分）13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．14．已知数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1•a n=a n+1﹣a n，则数列的通项公式a n=．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三角形的面积，则角C=．16．下面有四个命题：①函数y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；②（﹣）﹣（﹣）=③把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度得到y=3sin2x的图象；④等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为170．其中真命题的编号是（写出所有真命题的编号）三、解答题（共70分）17．设向量满足及，（Ⅰ）求夹角θ的大小； （Ⅱ）求的值．18．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cosC （acosB +bcosA ）=c ．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c=，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长．19．已知函数．（I ）求函数f （x ）的单调递增区间和对称中心；（II ）设△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，若向量与向量垂直，求a ，b 的值．20．如图，A ，B 两个小岛相距21海里，B 岛在 A 岛的正南方，现在甲船从 A 岛出发，以9海里/时的速度向 B 岛行驶，而乙船同时以6海里/时的速度离开 B 岛向南偏东60°方向行驶，行驶多少时间后，两船相距最近？并求出两船的最近距离．21．在△ABC 中，已知：，且cos （A ﹣B ）+cosC=1﹣cos2C ．（1）判断△ABC 的形状，并证明；（2）求的取值范围．22．在等差数列{a n }中，a 9=﹣36，a 16+a 17+a 18=﹣36，其前n 项和为S n ． （1）求S n 的最小值；（2）求出S n ＜0时n 的最大值； （3）求T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |．2016-2017学年陕西省西安交大附中高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若，则角B 等于（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．【分析】直接利用正弦定理化简可得答案．【解答】解：由，正弦定理，可得：2sinBsinA=sinA．∵0＜A＜π，∴sinA≠0．∴sinB=．∵0＜B＜，∴B=．故选：B．2．已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案．【解答】解：∵向量=（1，m），=（3，﹣2），∴+=（4，m﹣2），又∵（+）⊥，∴12﹣2（m﹣2）=0，解得：m=8，故选：D．3．函数y=sin（﹣2x+）的单调递增区间是（）A．[﹣+2kπ， +2kπ]（k∈Z） B．C．[﹣+kπ， +kπ]（k∈Z）D．【考点】H5：正弦函数的单调性．【分析】本题即求y=sin（2x﹣）的单调递减区间，再利用正弦函数的单调性求得结果．【解答】解：函数y=sin（﹣2x+）=﹣sin（2x﹣）的单调递增区间，即y=sin （2x﹣）的单调递减区间．令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数y=sin（﹣2x+）=﹣sin（2x﹣）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故选：D．4．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=1，b=，∠A=30°C．a=1，b=2，∠A=100°D．b=c=1，∠B=45°【考点】HQ：正弦定理的应用．【分析】A无解，因为三角形任意两边之和大于第三边，而这里a+b=c．B有2个解，由正弦定理可得sinB=，故B=45°，或B=135°．C无解，由于a＜b，∴A=100°＜B，∴A+B＞200°，这与三角形的内角和相矛盾．D有唯一解，∵b=c=1，∠B=45°，∴∠C=45°，∴∠A=90°．【解答】解：A无解，因为三角形任意两边之和大于第三边，而这里a+b=c，故这样的三角形不存在．B有2个解，由正弦定理可得，∴sinB=，故B=45°，或B=135°．C无解，由于a＜b，∴A=100°＜B，∴A+B＞200°，这与三角形的内角和相矛盾．D有唯一解，∵b=c=1，∠B=45°，∴∠C=45°，∴∠A=90°，故有唯一解．故选D．5．若cos（﹣α）=，则sin2α=（）A．B．C．﹣ D．﹣【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】法1°：利用诱导公式化sin2α=cos（﹣2α），再利用二倍角的余弦可得答案．法°：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sinα+cosα的值，再平方，即得sin2α的值【解答】解：法1°：∵cos（﹣α）=，∴sin2α=cos（﹣2α）=cos2（﹣α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，法2°：∵cos（﹣α）=（sinα+cosα）=，∴（1+sin2α）=，∴sin2α=2×﹣1=﹣，故选：D．6．已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则公差d等于（）A．1 B．C．2 D．3【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】设出等差数列的首项和公差，由a3=6，S3=12，联立可求公差d．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a3=6，S3=12，得：解得：a1=2，d=2．故选C．7．将函数y=2cos2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为（）A．y=cos2x B．y=﹣2cosx C．y=﹣2sin4x D．y=﹣2cos4x【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用导公式以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可以求得变换后的函数的解析式．【解答】解：将函数y=2cos2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=2cos[2（x﹣）]=2cos（2x﹣π）=﹣2cos2x的图象；再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的函数y=﹣2cos4x的图象，故选：D．8．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．【考点】9N：平面向量数量积的含义与物理意义．【分析】先求出向量、，根据投影定义即可求得答案．【解答】解：，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，故选A．9．在△ABC中，若sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，则△ABC 的形状是（）A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【考点】GZ：三角形的形状判断．【分析】由sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，结合两角和的正弦公式即可得A，B的关系，从而可判断【解答】解：∵sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，∴sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB∴A=B（A+B=π舍去），是等腰三角形故选B10．△ABC的三边分别为a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为（）A．5 B． C． D．【考点】HQ：正弦定理的应用．【分析】由a，sinB和面积的值，利用三角形的面积公式求出c的值，然后由a，c及cosB的值，利用余弦定理，求出b的值，利用正弦定理可得△ABC的外接圆的直径．=2，【解答】解：∵a=1，B=45°，S△ABC∴由三角形的面积公式得：S=acsinB=×1×c×=2，∴c=4，又a=1，cosB=，根据余弦定理得：b2=1+32﹣8=25，解得b=5．∴△ABC的外接圆的直径为==故选B．11．若函数f（x）为R上的奇函数，且在定义域上单调递减，又f（sinx﹣1）＞﹣f（sinx），x∈[0，π]，则x的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】H5：正弦函数的单调性；3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】本题可根据函数奇函数的性质与函数的单调性将抽象不等式转化为三角不等式，解三角不等式求出x的取值范围，即f（sinx﹣1）＞﹣f（sinx），f（sinx ﹣1）＞f（﹣sinx），再由函数递减性质得sinx﹣1＜﹣sinx，解出其在[0，π]上的解集即可选出正确答案．【解答】解：∵函数f（x）为R上的奇函数，又f（sinx﹣1）＞﹣f（sinx），∴f（sinx﹣1）＞﹣f（sinx），∴f（sinx﹣1）＞f（﹣sinx），又在定义域上单调递减，∴sinx﹣1＜﹣sinx，∴sinx＜又0，π]，∴x∈故选C．12．已知等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，若S16＞0，S17＜0，则当S n最大时n的值为（）A．8 B．9 C．10 D．16【考点】8E：数列的求和．【分析】根据所给的等差数列的S16＞0且S17＜0，根据等差数列的前n项和公式，看出第九项小于0，第八项和第九项的和大于0，得到第八项大于0，这样前8项的和最大．【解答】解：∵等差数列{a n }中，S 16＞0且S 17＜0 ∴a 8+a 9＞0， a 9＜0， ∴a 8＞0，∴数列的前8项和最大 故选A二、填空题（每小题5分，共20分）13．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．【考点】HX ：解三角形．【分析】运用同角的平方关系可得sinA ，sinC ，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB ，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值．【解答】解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin （A +C ）=sinAcosC +cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．14．已知数列{a n }中，a 1=﹣1，a n +1•a n =a n +1﹣a n ，则数列的通项公式a n = ．【考点】8H ：数列递推式．【分析】把a n +1•a n =a n +1﹣a n 两边除以a n +1•a n 得，由，知，由此能求出数列的通项公式a n．【解答】解：∵a n+1•a n=a n+1﹣a n，∴两边除以a n+1•a n得，即，∵a1=﹣1，∴∴{}是以﹣1为首项，以﹣1为公差的等差数列，∴，∴．故答案为：﹣．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三角形的面积，则角C=．【考点】HP：正弦定理．【分析】利用余弦定理a2+b2﹣c2=2abcosC，即可得出．【解答】解：由=absinC．余弦定理：a2+b2﹣c2=2abcosC，可得：．∴tanC=．∵0＜C＜π．∴C=．故答案为：．16．下面有四个命题：①函数y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；②（﹣）﹣（﹣）=③把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度得到y=3sin2x的图象；④等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为170．其中真命题的编号是①③（写出所有真命题的编号）【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①根据三角函数的周期公式进行化简即可．②根据向量的基本运算进行判断．③根据三角函数的图象关系进行判断．④根据等差数列的性质进行判断．【解答】解：①函数y=sin4x﹣cos4x=（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）=﹣cos2x，则最小正周期是π；故①正确，②（﹣）﹣（﹣）=﹣=≠，故②错误，③把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度得到y=3sin[2（x﹣）+]=3sin2x，故③正确，④等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，设它的前3m项和为x．则满足30，100﹣30，x﹣100成等差数列，即30，70，x﹣100，则30+x﹣100=2×70=140．解得x=210，故④错误，故真命题的编号为①③，故答案为：①③三、解答题（共70分）17．设向量满足及，（Ⅰ）求夹角θ的大小；（Ⅱ）求的值．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）把已知的等式两边平方，把向量模的平方转化为向量的平方，代入数量积公式求得向量夹角θ的大小；（Ⅱ）把的平方转化为向量的平方，展开后代入向量的数量积运算，然后开方即可．【解答】解：（Ⅰ）由，得，即，∵，∴．∴，cosθ=．又∵θ∈[0，π]，∴夹角θ=；（Ⅱ）∵=9+6||||+1=．∴=．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】HX：解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．19．已知函数．（I）求函数f（x）的单调递增区间和对称中心；（II）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若向量与向量垂直，求a，b的值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；9R：平面向量数量积的运算．【分析】（I）利用二倍角和辅助角公式将函数化简，结合三角函数的性质求解单调递增区间和对称中心即可．（II）根据f（C）=3，求出C角大小；向量与向量垂直，建立关系，求出角A，B的关系，利用余弦定理即可求出a，b的值．【解答】解：（I）函数．化简可得：，令，得：，∴函数f（x）的单调递增区间为．∵对称中心横坐标：，k∈Z，∴，∴对称中心：，k∈Z．（II）由题意可知，，∴，∵0＜C＜π，∴或，即C=0（舍）或．又∵与垂直，∴2sinA﹣sinB=0，即2a=b…①．由余弦定理：…②．由①②解得，a=1，b=2．故得a的值为1，b的值为2．20．如图，A，B 两个小岛相距21海里，B 岛在A 岛的正南方，现在甲船从A 岛出发，以9海里/时的速度向 B 岛行驶，而乙船同时以6海里/时的速度离开 B 岛向南偏东60°方向行驶，行驶多少时间后，两船相距最近？并求出两船的最近距离．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】设行驶th后，甲船行驶了9t海里到达C处，乙船行驶了6t海里到达D处，分类讨论，利用余弦定理，即可求出行驶2h后，甲、乙两船相距最近为3海里．【解答】解：设行驶th后，甲船行驶了9t海里到达C处，乙船行驶了6t海里到达D处．①当9t＜21，即t＜时，C在线段AB上，此时BC=21﹣9t．在△BCD 中，BC=21﹣9t，BD=6t，∠CBD=180°﹣60°=120°，由余弦定理知CD2=BC2+BD2﹣2BC•BD•cos120°=（21﹣9t）2+（6t）2﹣2×（21﹣9t）•6t•（﹣）=63t2﹣252t+441=63（t﹣2）2+189．∴当t=2时，CD取得最小值3．②当t=时，C与B重合，则CD=6×=14＞3．③当t＞时，BC=9t﹣21，则CD2=（9t﹣21）2+（6t）2﹣2•（9t﹣21）•6t•cos60°=63t 2﹣252t+441=63（t﹣2）2+189＞189．综上可知，当t=2时，CD取最小值3．答：行驶2h后，甲、乙两船相距最近为3海里．21．在△ABC中，已知：，且cos（A﹣B）+cosC=1﹣cos2C．（1）判断△ABC的形状，并证明；（2）求的取值范围．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）利用正弦定理和三角形内角和公式结合和与差公式可得a，b，c关系，即可判断△ABC的形状．（2）利用正弦定理，把边转化为角，利用三角函数的有界限即可求出范围．【解答】解：（1）△ABC为直角三角形，证明：在△ABC中，∵，根据正弦定理，得，∴b2﹣a2=ab…①∵cos（A﹣B）+cosC=1﹣cos2C，∴cos（A﹣B）﹣cos（A+B）=2sin2C，化简得sinAsinB=sin2C，由正弦定理，得ab=c2，…②将②代入①中得b2﹣a2=c2，即a2+c2=b2，故△ABC是直角三角形；（2）由（1）知，则，即，故．根据正弦定理，得．∵，∴，∴，即的取值范围是．22．在等差数列{a n}中，a9=﹣36，a16+a17+a18=﹣36，其前n项和为S n．（1）求S n的最小值；（2）求出S n＜0时n的最大值；（3）求T n=|a1|+|a2|+…+|a n|．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】（1）根据条件建立方程关系求出首项和公差，结合等差数列前n项和公式的公式即可求S n的最小值；（2）解不等式S n＜0，即可求n的最大值；（3）讨论a n的符号，结合等差数列前n项和的公式即可求T n=|a1|+|a2|+…+|a n|．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，∵a16+a17+a18=3a17=﹣36，∴a17=﹣12，∴，∴a9=a1+8×3=﹣36，解得a1=﹣60，∴，∴当n=20或n=21时，S n取最小值﹣630．（2）∵∴n＜41∴n的最大值为40．（3）∵a1=﹣60，d=3，∴a n=﹣60+（n﹣1）×3=3n﹣63，由a n=3n﹣63≥0，得n≥21，∵a20=3×20﹣63=﹣3＜0，a21=3×21﹣63=0，∴数列{a n}中，前20项小于0，第21项等于0，以后各项均为正数，当n≤21时，．当n＞21时，．综上，2017年6月23日。
2015-2016-高一上期中-上大附中
2015-2016学年上海师大附中高一（上）期中数学试卷一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）设集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是．2．（4分）命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是．3．（4分）已知函数，g（x）=x﹣3，，则f（x）g（x）+h（x）=．4．（4分）已知集合A={y|y=x2﹣2x﹣3}，集合B={y|y=﹣x2+2x+13}，则A∩B=．5．（4分）设常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，则f（1）=．6．（4分）已知全集U={0，1，2，3，4，5}，且B∩∁U A={1，2}，A∩∁U B={5}，∁U A∩∁U B={0，4}，则集合A=．7．（4分）已知集合A={a|关于x的方程有唯一实数解，a∈R}，用列举法表示集合A=．8．（4分）对于集合A，B，定义运算：A﹣B={x|x∈A且x∉B}，A△B=（A﹣B）∪（B﹣A）．若A={1，2}，B={x||x|＜2，x∈Z}，则A△B=．9．（4分）设全集为R，对a＞b＞0，集合M=，，则M∩C R N=．10．（4分）已知关于x的不等式ax2+2x+c＞0的解集为，其中a，c∈R，则关于x的不等式﹣cx2+2x﹣a＞0的解集是．11．（4分）对于实数x，若n≤x＜n+1，规定[x]=n，（n∈Z），则不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0的解集是．12．（4分）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣3＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是．13．（4分）定义关于x的不等式|x﹣A|＜B（A∈R，B＞0）的解集称为A的B邻域．若a+b﹣3的a+b邻域是区间（﹣3，3），则a2+b2的最小值是．14．（4分）给出下列四个命题：（1）若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c；（2）若a2x＞a2y，则x＞y；（3）a＞b，则；（4）若，则ab＜b2．其中正确命题是．（填所有正确命题的序号）二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15．（5分）下列每组中的两个函数是同一函数的是（）A．f（x）=1与g（x）=x0B．与g（x）=xC．f（x）=x与D．f（x）=x与16．（5分）若a＞0，b＞0，则不等式﹣b＜＜a等价于（）A．＜x＜0或0＜x＜B．﹣＜x＜C．x＜﹣或x＞D．x＜或x＞17．（5分）下列说法正确的是（）A．“若x2=1，则x=1”的否命题是“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要非充分条件C．“a+b≠3”是“a≠1或b≠2”的充分非必要条件D．“”是“a＞2且b＞2”的充分必要条件18．（5分）若x＞0，y＞0，且+≤a恒成立，则a的最小值是（）A．2 B．C．2 D．1三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．19．（12分）解关于x的不等式：mx2﹣（2m+1）x+2＞0（m∈R）．20．（14分）已知集合，集合B={x||x+2a|≤a+1，a∈R}．（1）求集合A与集合B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．21．（14分）设A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|x2+2x﹣8=0}（1）A∩B=A∪B，求a的值；（2）若∅⊊（A∩B）且A∩C=∅，求a的值；（3）A∩B=A∩C≠∅，求a的值．22．（16分）我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S（平方米）的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知∠ACB=60°，|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（k为正常数）．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）求总造价T关于面积S的函数T=f（S）；（3）如何选取|AM|，使总造价T最低（不要求求出最低造价）．23．（18分）已知M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），使得对函数f（x）定义域内的任意两个自变量x1、x2，均有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立．（1）已知函数f（x）=x2+1，，判断f（x）与集合M的关系，并说明理由；（2）已知函数g（x）=ax+b∈M，求实数a，b的取值范围；（3）是否存在实数a，使得，x∈[﹣1，+∞）属于集合M？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由．2015-2016学年上海师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（2015秋•上海校级期中）设集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是7．【解答】解：∵集合A={x|0≤x＜3且x∈N}={0，1，2}，∴集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数为23﹣1=7，故答案为：7．2．（4分）（2011•湘西州一模）命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数．【解答】解：∵“a，b都是奇数”的否命题是“a，b不都是奇数”，“a+b是偶数”的否命题是“a+b不是偶数”，∴命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是“若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数”．故答案为：若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数．3．（4分）（2015秋•上海校级期中）已知函数，g（x）=x﹣3，，则f（x）g（x）+h（x）=x（x≠±3）．【解答】解：由得：x≠±3，又∵函数，g（x）=x﹣3，，∴f（x）g（x）+h（x）=+=x（x≠±3），故答案为：x（x≠±3）4．（4分）（2015秋•上海校级期中）已知集合A={y|y=x2﹣2x﹣3}，集合B={y|y=﹣x2+2x+13}，则A∩B=[﹣4，14] ．【解答】解：由A中y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4≥﹣4，得到A=[﹣4，+∞）；由B中y=﹣x2+2x+13=﹣（x﹣1）2+14≤14，得到B=（﹣∞，14]，则A∩B=[﹣4，14]，故答案为：[﹣4，14]5．（4分）（2014•上海）设常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，则f（1）=3．【解答】解：常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，∴1=|2﹣1|+|22﹣a|，∴a=4，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣4|，∴f（1）=|1﹣1|+|12﹣4|=3，故答案为：3．6．（4分）（2015秋•上海校级期中）已知全集U={0，1，2，3，4，5}，且B∩∁U A={1，2}，A∩∁U B={5}，∁U A∩∁U B={0，4}，则集合A={3，5} ．【解答】解：全集U={0，1，2，3，4，5}，且B∩∁U A={1，2}，A∩∁U B={5}，∁U A∩∁U B={0，4}，由韦恩图可知A={3，5}故答案为：{3，5}7．（4分）（2015秋•上海校级期中）已知集合A={a|关于x的方程有唯一实数解，a∈R}，用列举法表示集合A=．【解答】解：若关于x的方程有唯一实数解，则x+a=x2﹣1有一个不为±1的解，或x+a=x2﹣1有两解，其中一个为1或﹣1，当x+a=x2﹣1有一个解时，△=1+4a+4=0，此时a=，x=，满足条件；若x+a=x2﹣1有两解，其中一个为1时，a=﹣1，x=0，或x=1，满足条件；若x+a=x2﹣1有两解，其中一个为﹣1时，a=1，x=2，或x=﹣1，满足条件；综上所述：A=，故答案为：8．（4分）（2015秋•上海校级期中）对于集合A，B，定义运算：A﹣B={x|x∈A且x∉B}，A△B=（A﹣B）∪（B﹣A）．若A={1，2}，B={x||x|＜2，x∈Z}，则A△B={﹣1，0，2} ．【解答】解：∵A={1，2}，B={x||x|＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，∴A﹣B={2}，B﹣A={﹣1，0}，∴A△B={﹣1，0，2}，故答案为：{﹣1，0，2}9．（4分）（2015秋•上海校级期中）设全集为R，对a＞b＞0，集合M=，，则M∩C R N={x|b＜x≤} ．【解答】解：由a＞b＞0，可得＞b，＜a，由基本不等式可得，＞，由补集的运算可得C R N={x|x≤或x≥a}，由交集的意义，可得M∩C R N={x|b＜x≤}．10．（4分）（2015秋•上海校级期中）已知关于x的不等式ax2+2x+c＞0的解集为，其中a，c∈R，则关于x的不等式﹣cx2+2x﹣a＞0的解集是（﹣2，3）．【解答】解：∵关于x的不等式ax2+2x+c＞0的解集为（﹣，），∴﹣，是一元二次方程ax2+2x+c=0的两实数根，且a＜0；即，解得a=﹣12，c=2；∴不等式﹣cx2+2x﹣a＞0化为﹣2x2+2x+12＞0，即x2﹣x﹣6＜0，化简得（x+2）（x﹣3）＜0，解得﹣2＜x＜3，该不等式的解集为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．11．（4分）（2015秋•上海校级期中）对于实数x，若n≤x＜n+1，规定[x]=n，（n∈Z），则不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0的解集是[2，4）．【解答】解：不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0，求得＜[x]＜，2≤x＜4，故答案为：[2，4）．12．（4分）（2015秋•上海校级期中）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣3＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（﹣1，2] ．【解答】解：当a=2时，不等式化为﹣3＜0，对x∈R恒成立，当时，即，解得﹣1＜a＜2，不等式也恒成立；综上，实数a的取值范围是（﹣1，2]．故答案为：（﹣1，2]．13．（4分）（2015秋•上海校级期中）定义关于x的不等式|x﹣A|＜B（A∈R，B＞0）的解集称为A的B邻域．若a+b﹣3的a+b邻域是区间（﹣3，3），则a2+b2的最小值是．【解答】解：由题意可得|x﹣（a+b﹣3）|＜a+b的解集为（﹣3，3），|x﹣（a+b﹣3）|＜a+b 等价于（﹣3，2（a+b）﹣3），∴2（a+b）﹣3=3，求得a+b=3，∴a2+b2≥=，故a2+b2的最小值为，故答案为：．14．（4分）（2015秋•上海校级期中）给出下列四个命题：（1）若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c；（2）若a2x＞a2y，则x＞y；（3）a＞b，则；（4）若，则ab＜b2．其中正确命题是（1）（2）（4）．（填所有正确命题的序号）【解答】解：（1）由c＞d，得﹣d＞﹣c，又a＞b，则a﹣d＞b﹣c．故（1）正确；（2）若a2x＞a2y，则a2≠0，则，∴x＞y．故（2）正确；（3）若a＞0＞b，则a﹣b＞a＞0，则．故（3）错误；（4）若，则b＜a＜0，∴ab＜b2 ．故（4）正确．故答案为：（1）（2）（4）．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15．（5分）（2015秋•上海校级期中）下列每组中的两个函数是同一函数的是（）A．f（x）=1与g（x）=x0B．与g（x）=xC．f（x）=x与D．f（x）=x与【解答】解：∵f（x）=1的定义域为R，g（x）=x0的定义域为{x|x≠0}，两函数的定义域不同，不是同一函数；=x，g（x）=x，两函数为相同函数；f（x）=x的定义域为R，g（x）=的定义域为[0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数；f（x）=x，=|x|，两函数对应关系不同，不是相同函数．故选：B．16．（5分）（2006•江西）若a＞0，b＞0，则不等式﹣b＜＜a等价于（）A．＜x＜0或0＜x＜B．﹣＜x＜C．x＜﹣或x＞D．x＜或x＞【解答】解：故选D．17．（5分）（2015秋•上海校级期中）下列说法正确的是（）A．“若x2=1，则x=1”的否命题是“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要非充分条件C．“a+b≠3”是“a≠1或b≠2”的充分非必要条件D．“”是“a＞2且b＞2”的充分必要条件【解答】解：A．“若x2=1，则x=1”的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；B．由x2﹣5x﹣6=0解得x=﹣1或6．∴“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分非必要条件，因此不正确；C．由a=1且b=2⇒a+b=3，且逆否命题为：若“a+b≠3”，则“a≠1或b≠2”，因此“a+b≠3”是“a≠1或b≠2”的充分非必要条件，正确．D．由“a＞2且b＞2”⇒“”，反之不成立，例如a=1，b=5，因此“”是“a＞2且b＞2”的必要非充分条件，不正确．故选：C．18．（5分）（2015秋•上海校级期中）若x＞0，y＞0，且+≤a恒成立，则a的最小值是（）A．2 B．C．2 D．1【解答】解：∵≤2（x+y），x＞0，y＞0，且+≤a恒成立，∴，∴a的最小值是．故选：B．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．19．（12分）（2015秋•上海校级期中）解关于x的不等式：mx2﹣（2m+1）x+2＞0（m∈R）．【解答】解：（1）当m=0时，原不等式可化为﹣x+2＞0，即x＜2；…（2分）（2）当m≠0时，分两种情形：①当m＞0时，原不等式化为（mx﹣1）（x﹣2）＞0，即；若时，即时，不等式的解集为；…（4分）若时，即时，不等式的解集为；…（6分）若时，即时，不等式的解集为（﹣∞，2）∪（2，+∞）；…（8分）②当m＜0时，原不等式化为；显然，不等式的解集为；…（10分）综上所述：当m=0时，解集为（﹣∞，2）；当时，解集为；当时，解集为；当m＜0时，解集为．…（12分）20．（14分）（2015秋•上海校级期中）已知集合，集合B={x||x+2a|≤a+1，a∈R}．（1）求集合A与集合B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由A中方程变形得：（x﹣3）（x+2）（x+1）≤0，解得：x≤﹣2或﹣1＜x≤3，即A=（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，3]，当a+1＜0时，即a＜﹣1时，B=∅；当a+1≥0时，即a≥﹣1时，B=[﹣3a﹣1，﹣a+1]；（2）∵A∩B=B，∴B⊆A，当a＜﹣1时，B=∅满足题意；当a≥﹣1时，B=[﹣3a﹣1，﹣a+1]，此时有：﹣a+1≤﹣2或，解得，a≥3或﹣1≤a＜0，综上所述，a∈（﹣∞，0）∪[3，+∞）．21．（14分）（2015秋•上海校级期中）设A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|x2+2x﹣8=0}（1）A∩B=A∪B，求a的值；（2）若∅⊊（A∩B）且A∩C=∅，求a的值；（3）A∩B=A∩C≠∅，求a的值．【解答】解：（1）∵B={x|x2﹣5x+6=0}={ 2，3 }，A∩B=A∪B，∴A=B．∴2和3是方程x2﹣ax+a2﹣19=0 的两个根，∴2+3=a，∴a=5．（2）∵∅⊊（A∩B）且A∩C=∅，∴A与B有公共元素而与C无公共元素，∴3∈A∴9﹣3a+a2﹣19=0，解得a=﹣2，或a=5．当a=﹣2时，A={3，﹣5}满足题意；当a=5时，A={2，3}此时A∩C={2}不满足题意，∴a=﹣2（3）A∩B=A∩C≠∅，∴2∈A，∴4﹣2a+a2﹣19=0解得a=﹣3，a=5．当a=﹣3时，A={2，﹣5}满足题意；当a=5时，A={2，3}不满足题意，故a=﹣3．故答案为：a=﹣3．22．（16分）（2015秋•上海校级期中）我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S（平方米）的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知∠ACB=60°，|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（k为正常数）．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）求总造价T关于面积S的函数T=f（S）；（3）如何选取|AM|，使总造价T最低（不要求求出最低造价）．【解答】解：（1）在Rt△PMC中，显然|MC|=30﹣x，∠PCM=60°，∴，矩形AMPN的面积，x∈[10，20]，由x（30﹣x）≤（）2=225，当x=15时，可得最大值为225，当x=10或20时，取得最小值200，于是为所求．（2）矩形AMPN健身场地造价T1=，又△ABC的面积为，即草坪造价T2=，由总造价T=T1+T2，∴，．（3）∵，当且仅当即时等号成立，此时，解得x=12或x=18，答：选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低．23．（18分）（2015秋•上海校级期中）已知M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），使得对函数f（x）定义域内的任意两个自变量x1、x2，均有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立．（1）已知函数f（x）=x2+1，，判断f（x）与集合M的关系，并说明理由；（2）已知函数g（x）=ax+b∈M，求实数a，b的取值范围；（3）是否存在实数a，使得，x∈[﹣1，+∞）属于集合M？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）任取，∵，∴﹣1≤x1+x2≤1，∴0≤|x1+x2|≤1∴|x1+x2||x1﹣x2|≤|x1﹣x2|即|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立，f（x）属于集合M…（4分）（2）∵g（x）=ax+b∈M，∴使得任意x1、x2∈R，均有|g（x1）﹣g（x2）|≤|x1﹣x2|成立．即存在|g（x1）﹣g（x2）|=|a||x1﹣x2|≤|x1﹣x2|∴…（10分）（3）若p（x）∈M，则|p（x1）﹣p（x2）|≤|x1﹣x2|对任意的x1、x2∈[﹣1，+∞）都成立．即，∴|a|≤|（x1+2）（x2+2）|∵x1、x2∈[﹣1，+∞），∴|（x1+2）（x2+2）|≥1，∴|a|≤1，﹣1≤a≤1∴当a∈[﹣1，1]时，p（x）∈M；当a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，p（x）∉M．…（18分）。
数学---上海市交通大学附中2016-2017学年高一(下)期中试卷(解析版)
上海市交通大学附中2016-2017学年高一（下）期中数学试卷一、填空题1．（3分）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，其终边上有一点P（5，﹣12），则secα=．2．（3分）arc cos（﹣）=．3．（3分）已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm2，则该扇形的弧长为cm．4．（3分）设sinα=，α∈（，π），则tanα的值为．5．（3分）函数的最小正周期为．6．（3分）若cos x cos y+sin x sin y=，则cos（2x﹣2y）=．7．（3分）函数y=sin x+arc sin x的值域是．8．（3分）关于x的方程cos2x+sin x+a=0在上有解，则a的取值范围是．9．（3分）设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=．10．（3分）已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=．11．（3分）已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△A1B1C1是△ABC的一个“对偶”三角形，若等腰△ABC存在“对偶”三角形，则其底角的弧度数为．12．（3分）已知函数y=k cos（kx）在区间单调递减，则实数k的取值范围为．二、选择题13．（3分）方程tan x=2的解集为（）A．{x|x=2kπ+arctan2，k∈Z} B．{x|x=2kπ±arctan2，k∈Z }C．{x|x=kπ+arctan2，k∈Z } D．{x|x=kπ+（﹣1）k arctan2，k∈Z }14．（3分）已知函数y=A sin（ωx+φ）+m（A＞0，ω＞0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是（）A．B．C．D．15．（3分）函数y=2sin（﹣2x），（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，] B．[，] C．[，] D．[，π]16．（3分）已知α，β，γ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据：①sinα，sinβ，sinγ；②sin2α，sin2β，sin2γ；③；④分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组三、解答题17．设，且α，β满足（1）求的值．（2）求cos（α+β）的值．18．如图，等腰三角形ABC中，∠B=∠C，D在BC上，∠BAD大小为α，∠CAD大小为β．（1）若，求；（2）若，求∠B．19．某景区欲建两条圆形观景步道M1，M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M与AB，AD分别相切于点B，D，圆M2与AC，AD 分别相切于点C，D．（1）若，求圆M1，M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1，M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当∠BAD多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知=4cos B cos C．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的取值范围；（3）若sin B=p sin C，试确定实数p的取值范围，使△ABC是锐角三角形．21．已知集合P是满足下述性质的函数f（x）的全体：存在非零常数M，对于任意的x∈R，都有f（x+M）=﹣Mf（x）成立．（1）设函数g（x）=sinπx，试证明：g（x）∈P；（2）当M=1时，试说明函数f（x）的一个性质，并加以证明；（3）若函数h（x）=sinωx∈P，求实数ω的取值范围．【参考答案】一、填空题1．【解析】由题意可得x=5，y=﹣12，r=|OP|=13，∴cosα==，∴secα=．故答案为：．2．【解析】===．故答案为：．3．6【解析】设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为S，则：r2===9．解得r=3∴扇形的弧长为l=rα=3×2=6l=rα=3×2=6cm．故答案为：6．4．﹣【解析】∵sinα=，α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣，∴tanα===﹣．故答案为：﹣．5．π【解析】函数=2﹣1+1=﹣cos（2x+）+1 的最小正周期为=π，故答案为：π．6．﹣【解析】∵cos x cos y+sin x sin y=cos（x﹣y）=，∴cos（2x﹣2y）=cos2（x﹣y）=2cos2（x﹣y）﹣1=﹣．故答案为：﹣．7．[﹣sin1﹣，sin1+]【解析】函数y=sin x+arc sin x的定义域为[﹣1，1]，且在此定义域内单调递增，故当x=﹣1时，函数y=sin x+arc sin x有最小值﹣sin1+（﹣）=﹣sin1﹣．故当x=1时，函数y=sin x+arc sin x有最大值sin1+，故函数y=sin x+arc sin x的值域是[﹣sin1﹣，sin1+]，故答案为[﹣sin1﹣，sin1+]．8．【解析】由cos2x+sin x+a=0，转化为：1﹣sin2x+sin x+a=0，即（sin x﹣）2=∵上，sin x∈（0，1）∴sin x﹣∈（，]则（sin x﹣）2∈[0，]∴∴a的取值范围是．故答案为．9．2【解析】由题可知t=sin x∈[﹣1，1]，则y=f（x）=1+，令z=，则当t=0时z=0，且函数z为奇函数，所以z max+z min=0，又因为M+m=（1+z max）+（1+z min），所以M+m=2+（z max+z min）=2，故答案为：2．10．2﹣4【解析】sinα=3sin（α+）=3sinαcos+3cosαsin=sinα+cosα，∴tanα=．又tan=tan（﹣）===2﹣，∴tan（α+）====﹣=2﹣4，故答案为：2﹣4．11．【解析】设A=B，由已知得sin A1=sin B1，cos A=sin A1，cos B=sin B1，cos C=sin C1，则A1=B1，所以A+A1=，B+B1=，C+C1=（舍）或A+A1=，B+B1=，C=C1﹣，解得C=，A=B==．故答案是：．12．[﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12}【解析】当k＞0时，令2mπ≤kx≤π+2mπ，解得≤x≤+，m∈Z，∵函数y=k cos（kx）在区间单调递减，∴，解得，m∈Z，∴0＜k≤3或8≤k≤9．当k＜0时，令﹣π+2mπ≤﹣kx≤2mπ，解得﹣≤x≤﹣，m∈Z，∵函数y=k cos（kx）在区间单调递减，∴，解得，m∈Z，∴﹣6≤k≤﹣4，或k=﹣12，综上，k的取值范围是[﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12}．故答案为：[﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12}．二、选择题13．C【解析】由tan x=2，根据正切函数图象及周期可知：x=kπ+arct an2．14．D【解析】由题意可得A+m=4，A﹣m=0，解得A=2，m=2．再由最小正周期为，可得=，解得ω=4，∴函数y=A sin（ωx+φ）+m=2sin（4x+φ）+2．再由x=是其图象的一条对称轴，可得4×+φ=kπ+，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=，故符合条件的函数解析式是y=2sin（4x+）+2，15．C【解析】∵y=2sin（﹣2x）=﹣2sin（2x﹣），∴只要求y=2sin（2x﹣）的减区间，∵y=sin x的减区间为[2kπ+，2kπ+]，∴令2x﹣∈[2kπ+，2kπ+]，解得x∈[kπ+，kπ+]，又x∈[0，π]，∴x∈[，]．16．B【解析】∵α，β，γ是某三角形的三个内角，设α，β，γ的对边分别为a，b，c，不妨令α≤β≤γ，则a≤b≤c，则a+b＞c．则①中，sinα=，sinβ=，sinγ=；则+＞，故一定能构成三角形；②中，sin2α=，sin2β=，sin2γ=，由+＞仅在a2+b2﹣c2＞0，即cosγ＞0时成立，故不一定能构成三角形．③中，+﹣=+＞0恒成立．恒成立，故一定能构成三角形，故③正确．④中，当α=β=30°时γ=120°，tan+tan﹣tan＜0，故不一定能构成三角形，故①③正确，三、解答题17．解（1）∵5sinα+5cosα=8，∴10（sinα+cosα）=8，即sin（α+）=，∵α∈（0，），∴α+∈（，），∴cos（α+）==；（2）又∵sinβ+cosβ=2，∴2（sinβ+cosβ）=2，即sin（β+）=，∵β∈（，），∴β+∈（，），∴cos（β+）=﹣，∴cos（α+β）=sin[+（α+β）]=sin[（α+）+（β+）]=sin（α+）cos（β+）+cos（α+）sin（β+）=×（﹣）+×=﹣．18．解（1）在△ABD中，由正弦定理得，在△ACD中，由正弦定理得，∵∠B=∠C，∴，∴==．（2）由（1）知==，又β=α+，∴sinβ=sin（）=sinα+cosα，∴sinα+cosα=2sinα，即cosα=3sinα，∴tanα=，∴α=，β=，∴B=（π﹣α﹣β）=．19．解（1）连结M1M2，AM1，AM2，∵圆M1与AB，AD相切于B，D，圆M2与AC，AD分别相切于点C，D，∴M1，M2⊥AD，∠M1AD=∠BAD=，∠M2AD=，∴M1B=AB tan∠M1AB=60×=20≈34.6（米），∵tan==，∴tan=2﹣，同理可得：M2D=60×tan=60（2﹣）≈16.1（米）．（2）设∠BAD=2α（0＜α＜），由（1）可知圆M1的半径为60tanα，圆M2的半径为60tan（45°﹣α），设观景步道总造价为y千元，则y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α）=96πt anα+108π•，设1+tanα=x，则tanα=x﹣1，且1＜x＜2．∴y=96π（x﹣1）+108π（）=12π•（8x+﹣17）≥84π≈263.8，当且仅当8x=即x=时取等号，当x=时，tanα=，∴α≈26.6°，2α≈53.2°．∴当∠BAD为53.2°时，观景步道造价最低，最低造价为263.8千元．20．解（1）∵=4cos B cos C，∴3sin B sin C+cos B cos C﹣sin B cos C﹣cos B sin C，∴﹣sin（B+C）=3cos（B+C），∴tan（B+C）=﹣，∴tan A=，∴A=，（2）由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc cos A，∴4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，当且仅当b=c时取等号，∴S△ABC=bc sin A≤×4×=，∴△ABC面积的取值范围为（0，]，（3）sin B=p sin C，∴p===+，∵△ABC为锐角三角形，A=，∴＜C＜，∴tan C＞，∴＜p＜2，即p的范围为21．解（1）取M=1 对于任意x∈R，g（x+M）=sin（πx+π）=﹣sinπx=﹣g（x）=Mf（x）∴g（x）∈P（2）M=1时，f（x+1）=﹣f（x）f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x）∴f（x）是一个周期函数，周期为2；（3）∵h（x）=sinωx∈P∴存在非零常数M，对于对于任意的x∈R，都有h（x+M）=﹣Mh（x）成立．既sin（ωx+ωM）=﹣M sinωx若|M|＞1，取sinωx=1，则sin（ωx+ωM）=﹣M对x∈R恒成立时不可能的．若|M|＜1，取sin（ωx+ωM）=1，则对x∈R也不成立．∴M=±1 当M=1时sin（ωx+ω）=﹣sinωx，sin（ωx+ω）+sinωx=0，（x∈R），解得：ω=2kπ+π（k∈Z）；当M=﹣1时sin（ωx﹣ω）=sinωx，sin（ωx﹣ω）﹣sinωx=0，（x∈R），解得：ω=2kπ,k∈Z综上可得ω=kπ（k∈Z）。
上海市交大附中高一(上)期中数学试卷含答案
10. 满足条件{1,3，5} ∪ 퐴 ∪ {3，5，7} = {1，3，5，7，9}的所有集合 A 的个数是______
个．
11.
已知不等式푥푥2
+ +
2푥
2푎
≤
0的解集为
A，且2
∈
퐴，3 ∉ 퐴，则实数 a 的取值范围是
______．
12. 若函数푓(푥) = 푥2−1 + 푎−푥2为偶函数且非奇函数，则实数 a 的取值范围为
푥
+
4 푥
+
3푎,푥
> 0，且푓(0)为푓(푥)的最小值，则实数 a
的取值范围
是______． 16. 若方程푎푥2−(4−푎2)푥 + 2 = 0 在(0,2)内恰有一解，则实数 a 的取值范围为
______．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分）
17.
己知集合퐴
2푥 −1 = {푥|푥 + 1 ≤ 1,푥
12.【答案】푎 > 1
【解析】解： ∵ 函数푓(푥) = 푥2−1 + 푎−푥2为偶函数且非奇函数， ∴ 푓(−푥) = 푓(푥)，且푓(−푥) ≠ −푓(푥)，
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{푥2−1 ≥ 0
又 푎−푥2 ≥ 0， ∴ 푎 ≥ 1． 푎 = 1，函数푓(푥) = 푥2−1 + 푎−푥2为偶函数且奇函数， 故答案为：푎 > 1． 利用函数푓(푥) = 푥2−1 + 푎−푥2为偶函数且非奇函数，结合函数的定义域，即可求出
万元．源消耗费用之和． (Ⅰ)求 k 的值及푓(푥)的表达式． (Ⅱ)隔热层修建多厚时，总费用푓(푥)达到最小，并求最小值．
2023-2024学年北京交大附中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京交大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0，1}，N ＝{x |﹣3≤x ＜0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣2}D ．{﹣2，﹣1}2．命题“∃x 0∈（0，+∞），x 02+1≤2x 0”的否定为（ ） A ．∀x ∈（0，+∞），x 2+1＞2x B ．∀x ∈（0，+∞），x 2+1≤2x C ．∀x ∈（﹣∞，0]，x 2+1≤2xD ．∀x ∈（﹣∞，0]，x 2+1＞2x3．已知关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0的两根同号，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≤1B ．m ≤0C ．0＜m ≤1D ．0≤m ≤14．已知函数f （x ）={x 2−2x(x ＜1)−x +1(x ≥1)，则f （f （﹣1））的值为（ ）A ．3B ．0C ．﹣1D ．﹣25．已知a ∈R ，则“a ＞1”是“1a＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增且是奇函数的是（ ） A ．y =√xB ．y ＝x 2C ．y ＝|x |D ．y =x −1x7．已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．b ﹣a ＜c +aB ．c 2＜abC ．cb＞caD ．|b |c ＜|a |c8．设f （x ）为R 上的奇函数，且当x ＜0时，f （x ）＝3x ﹣1，则f （0）+f （4）＝（ ） A ．12B ．﹣12C ．13D ．﹣139．已知当x ＞0时，不等式x 2﹣mx +16＞0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，8）B ．（﹣∞，8]C ．[8，+∞）D ．（6，+∞）10．（多选）对于全集U 的子集A 定义函数f A （x ）={1(x ∈A)0(x ∈∁U A)为A 的特征函数，设A ，B 为全集U 的子集，则下列结论中正确的是（ ） A ．若A ⊆B ，则f A （x ）≤f B （x ） B ．f ∁U A （x ）＝1﹣f A （x ）C ．f A ∩B （x ）＝f A （x ）•f B （x ）D ．f A ∪B （x ）＝f A （x ）+f B （x ）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上） 11．函数f(x)=2√x−1的定义域是 ． 12．如图，函数f （x ）的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f （x ）≤2的解集为 ．13．定义在R 上的函数f （x ），给出下列三个论断： ①f （x ）在R 上单调递增；②x ＞1；③f （x ）＞f （1）．以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题： ． 14．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”．计算方法如表：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为 ． 15．设函数f(x)={x 2+4x +3，x ≤0−1x ，x ＞0．给出下列四个结论：①函数f （x ）的值域是R ；②∀x 1，x 2∈（﹣2，+∞）（x 1≠x 2），有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0；③∃x 0＞0，使得f （﹣x 0）＝f （x 0）；④若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则x 1+x 2+x 3的取值范围是（﹣3，+∞）． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（12分）设关于x 的不等式|x ﹣a |＜2的解集为A ，不等式x 2﹣x ﹣6＜0的解集为B ． （1）求集合A ，B ；（2）若A ⊆B ，求实数a 的取值范围． 17．（12分）已知函数f(x)=2x−3x+1．（1）用函数单调性的定义证明：f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在区间[1，4]上的值域．18．（12分）已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3．（1）求f（x）的解析式；（2）若当x∈[﹣3，﹣1]时，y＝f（x）的图象恒在y＝2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．19．（12分）为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：P=3m4x+5(x∈R，0≤x≤8)．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．（1）求m的值及用x表示S；（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值．20．（12分）已知f（x）是定义域为R的函数，若对任意x1，x2∈R，x1﹣x2∈S，均有f（x1）﹣f（x2）∈S，则称f（x）是S关联．（1）判断和证明函数f（x）＝2x+1是否是[0，+∞）关联？是否是[0，1]关联？（2）若f（x）是{3}关联，当x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x，解不等式：2≤f（x）≤3．2023-2024学年北京交大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0，1}，N ＝{x |﹣3≤x ＜0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣2}D ．{﹣2，﹣1}解：集合M ＝{﹣2，﹣1，0，1}，N ＝{x |﹣3≤x ＜0}，则M ∩N ＝{﹣2，﹣1}． 故选：D ．2．命题“∃x 0∈（0，+∞），x 02+1≤2x 0”的否定为（ ） A ．∀x ∈（0，+∞），x 2+1＞2x B ．∀x ∈（0，+∞），x 2+1≤2x C ．∀x ∈（﹣∞，0]，x 2+1≤2x D ．∀x ∈（﹣∞，0]，x 2+1＞2x解：否定：否定量词，否定结论，所以把任意改成存在，x 02+1≤2x 0改为x 2+1＞2x ， 即∀x ∈（0，+∞），x 2+1＞2x 故选：A ．3．已知关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0的两根同号，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≤1B ．m ≤0C ．0＜m ≤1D ．0≤m ≤1解：关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0的两根同号，则判别式大于等于0且两根之积大于零， 则有{Δ=4−4m ≥0m ＞0，解得0＜m ≤1．故选：C ． 4．已知函数f （x ）={x 2−2x(x ＜1)−x +1(x ≥1)，则f （f （﹣1））的值为（ ）A ．3B ．0C ．﹣1D ．﹣2解：因为函数f （x ）={x 2−2x(x ＜1)−x +1(x ≥1)，所以f （﹣1）＝1+2＝3，则f （f （﹣1））＝f （3）＝﹣3+1＝﹣2． 故选：D ．5．已知a ∈R ，则“a ＞1”是“1a ＜1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由1a＜1，可得a＞1或a＜0，故由a＞1，能够推出1a ＜1，故a＞1是1a＜1的充分条件，由1a ＜1，不能够推出a＞1，故a＞1是1a＜1的不必要条件，综上所述，a＞1是1a＜1的充分不必要条件，故选：A．6．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增且是奇函数的是（）A．y=√x B．y＝x2C．y＝|x|D．y=x−1x 解：对于A，函数y=√x的定义域为[0，+∞），关于原点不对称，故函数y=√x为非奇非偶函数，故A不符题意；对于B，函数y＝f（x）＝x2的定义域为R，因为f（﹣x）＝x2＝f（x），所以函数y＝x2为偶函数，故B不符题意；对于C，函数y＝f（x）＝|x|的定义域为R，因为f（﹣x）＝|x|＝f（x），所以函数y＝|x|为偶函数，故C不符题意；对于D，函数y=f(x)=x−1x的定义域为{x|x≠0}，因为f(−x)=−x+1x=−f(x)，所以函数f（x）为奇函数，又因为函数y=x，y=−1x在区间（0，+∞）上都单调递增，所以函数y=x−1x在区间（0，+∞）上单调递增，故D符合题意．故选：D．7．已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A．b﹣a＜c+a B．c2＜ab C．cb ＞caD．|b|c＜|a|c解：（法1）根据数轴可得c＜b＜a＜0且|c|＞|b|＞|a|，对于A：因为c＜b，a＜0，所以c+a＜c，b﹣a＞b，则c+a＜c＜b﹣a，即c+a＜b﹣a，故A错误；对于B：因为c＜b＜a＜0，|c|＞|b|＞|a|，所以c2＞b2＞a2，且b2＞ab，所以c2＞b2＞ab，则c2＞ab，故B 错误；对于C ：因为b ＜a ＜0，所以1b＞1a，则cb＜ca，故C 错误；对于D ：因为|b |＞|a |，且c ＜0，所以|b |c ＜|a |c ，故D 正确， （法2）不妨令c ＝﹣5，b ＝﹣4，a ＝﹣1，则c +a ＝﹣6＜b ﹣a ＝﹣3，故A 错误；c 2＝25＞ab ＝4，故B 错误；cb =54＜c a=5，故C 错误；故选：D ．8．设f （x ）为R 上的奇函数，且当x ＜0时，f （x ）＝3x ﹣1，则f （0）+f （4）＝（ ） A ．12B ．﹣12C ．13D ．﹣13解：根据题意，当x ＜0时，f （x ）＝3x ﹣1，则f （﹣4）＝3×（﹣4）﹣1＝﹣13， 又由f （x ）为R 上的奇函数，则f （0）＝0，f （4）＝13， 则f （0）+f （4）＝13． 故选：C ．9．已知当x ＞0时，不等式x 2﹣mx +16＞0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，8）B ．（﹣∞，8]C ．[8，+∞）D ．（6，+∞）解：根据题意当x ＞0时，不等式x 2﹣mx +16＞0恒成立，则m ＜x 2+16x =x +16x恒成立，只需m ＜（x +16x ）min即可． 易知当x ＞0时，由基本不等式可得需x +16x ≥2√x ⋅16x=8，当且仅当x ＝4时取等号； 所以（x +16x ）min＝8，即m ＜8，所以m 的取值范围是（﹣∞，8）． 故选：A ．10．（多选）对于全集U 的子集A 定义函数f A （x ）={1(x ∈A)0(x ∈∁U A)为A 的特征函数，设A ，B 为全集U 的子集，则下列结论中正确的是（ ） A ．若A ⊆B ，则f A （x ）≤f B （x ） B ．f ∁U A （x ）＝1﹣f A （x ）C ．f A ∩B （x ）＝f A （x ）•f B （x ）D ．f A ∪B （x ）＝f A （x ）+f B （x ）解：对于A ，∵A ⊆B ，可得x ∈A 则x ∈B ，因为f A （x ）={1(x ∈A)0(x ∈∁U A)，f B (x)={1，x ∈B 0，x ∈∁U B ，当x ∈A 时，f A （x ）＝f B （x ）＝1，当x ∉A 但x ∈B 时，f A （x ）＝0，f B （x ）＝1，当x∉B，f A（x）＝f B（x）＝0∴f A（x）≤f B（x），故A正确；对于B，f∁U A (x)={1，x∈∁U A0，x∈A，所以f∁U A(x)=1−f A(x)，故B正确；对于C，当x∈A∩B时，f A∩B（x）＝f A（x）＝f B（x）＝1，当x∈A，x∉B时，f A∩B（x）＝f B（x）＝0，f A（x）＝1，当x∉A，x∈B时f A∩B（x）＝f A（x）＝0，f B（x）＝1，当x∉A∪B时，f A∩B（x）＝f A（x）＝f B（x）＝0，以上情况均满足f A∩B（x）＝f A（x）•f B（x），故C正确；对于D，当x∈A∩B时f A∪B（x）＝1，f A（x）+f B（x）＝1+1＝2≠f A∪B（x），故D错误．故选：ABC．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11．函数f(x)=2√x−1的定义域是{x|x＞1}解：要使f（x）=2√x−1有意义，则x﹣1＞0，∴x＞1；∴f（x）的定义域为{x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．12．如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（x）≤2的解集为[1，4]．解：由图象可知，f（x）≤2的解集为[1，4]．故答案为：[1，4]．13．定义在R上的函数f（x），给出下列三个论断：①f（x）在R上单调递增；②x＞1；③f（x）＞f（1）．以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：①②推出③．解：由题意，若f（x）为定义在R上的单调递增函数，根据单调性，可知，当x＞1时，很明显有f（x）＞f（1）成立．故已知①②可以推出③．故答案为：①②推出③．14．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”．计算方法如表：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为 20m 3 ． 解：设用水量为x 立方米，水价为y 元，则y ={3x ，0≤x ≤1236+6(x −12)，12＜x ≤1872+9(x −18)，x ＞18，整理得y ={3x ，0≤x ≤126x −36，12＜x ≤189x −90，x ＞18当0≤x ≤12时，0≤y ≤36，x ＞18；当0≤x ≤12时，0≤y ≤36；12＜x ≤18 时，36＜y ≤72； 故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米， 令9x ﹣90＝90，则x ＝20（立方米）， 故答案为：20m 3． 15．设函数f(x)={x 2+4x +3，x ≤0−1x ，x ＞0．给出下列四个结论：①函数f （x ）的值域是R ；②∀x 1，x 2∈（﹣2，+∞）（x 1≠x 2），有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0；③∃x 0＞0，使得f （﹣x 0）＝f （x 0）；④若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则x 1+x 2+x 3的取值范围是（﹣3，+∞）． 其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．解：因为f(x)={x 2+4x +3，x ≤0−1x ，x ＞0，作出函数图像，如图所示：由图像可知f （x ）∈R ，①正确；∀x 1，x 2∈（﹣2，+∞）（x 1≠x 2），f （x ）不具有统一单调性，②错误；作出y =1x ，（x ＜0）的图像，如虚线所示，因为y =1x与f （x ）＝x 2+4x +3，x ≤3有交点，所以∃x 0＞0，使得f （﹣x 0）＝f （x 0），故③正确；由图像易知当x ＞0且f （x ）＝﹣1，解得x ＝1，则若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则x 1+x 2＝﹣4，x 3＞1，则x 1+x 2+x 3＞﹣3，④正确． 故答案为：①③④．三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（12分）设关于x 的不等式|x ﹣a |＜2的解集为A ，不等式x 2﹣x ﹣6＜0的解集为B ． （1）求集合A ，B ；（2）若A ⊆B ，求实数a 的取值范围． 解：（1）因为A ＝{x ||x ﹣a |＜2}， 所以﹣2＜x ﹣a ＜2，即a ﹣2＜x ＜a +2， 所以A ＝{x |a ﹣2＜x ＜a +2}， 因为x 2﹣x ﹣6＜0，所以（x +2）（x ﹣3）＜0，即﹣2＜x ＜3， 所以B ＝{x |﹣2＜x ＜3}．（2）因为A ⊆B ，且a ﹣2＜a +2恒成立，所以A ≠∅， 所以{a −2≥−2a +2≤3，解得0≤a ≤1，故a 取值范围为[0，1]．17．（12分）已知函数f(x)=2x−3x+1．（1）用函数单调性的定义证明：f （x ）在（﹣1，+∞）上是增函数； （2）求函数f （x ）在区间[1，4]上的值域． 解：（1）任取x 1，x 2∈（﹣1，+∞），且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=2x 1−3x 1+1−2x 2−3x 2+1=(2x 1−3)(x 2+1)−(2x 2−3)(x 1+1)(x 1+1)(x 2+1)=5(x 1−x 2)(x 1+1)(x 2+1)，因为x 1，x 2∈（﹣1，+∞），x 1＜x 2，所以x 1﹣x 2＜0，x 1+1＞0，x 2+1＞0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， 所以f （x ）在（﹣1，+∞）上是增函数． （2）由（1）知f （x ）在区间[1，4]上单调递增， 所以f(x)min =f(1)=−12，f （x ）max ＝f （4）＝1， 所以函数f （x ）在区间[1，4]上的值域为[−12，1]．18．（12分）已知二次函数f （x ）的最小值为1，且f （0）＝f （2）＝3． （1）求f （x ）的解析式；（2）若当x ∈[﹣3，﹣1]时，y ＝f （x ）的图象恒在y ＝2x +2m +1的图象上方，试确定实数m 的取值范围． 解：（1）设f （x ）＝a （x ﹣0）（x ﹣2）+3，则f （x ）＝ax 2﹣2ax +3，二次函数f （x ）的最小值为1， ∴12a−4a 24a=3−a =1，∴a ＝2，∴f （x ）＝2x 2﹣4x +3．（2）x ∈[﹣3，﹣1]时，y ＝f （x ）的图象恒在y ＝2x +2m +1的图象上方， 可得2x 2﹣4x +3＞2x +2m +1恒成立， 即m ＜x 2﹣3x +1在x ∈[﹣3，﹣1]时恒成立． 所以m ＜（x 2﹣3x +1）min ＝f （﹣1）＝5 即m ＜5．19．（12分）为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：P =3m4x+5(x ∈R ，0≤x ≤8)．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S 为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．（1）求m 的值及用x 表示S ；（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S 达到最小，并求最小值．解：（1）设隔热层厚度x ，依题意，每年的能源消耗费用为：P =3m4x+5，而当x ＝0时，P ＝9， 则3m 5=9，解得m ＝15，显然建造费用为8x ，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为： S =40P +8x =40×454x+5+8x =18004x+5+8x （0≤x ≤8）． （2）由（1）知S =18004x+5+8x =18004x+5+2(4x +5)−10＞2√10004x+2⋅2(4x+5)−10=2×60−10=110，当且仅当18004x+5=2(4x+5)，即x＝6.25时取等号，所以当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用S取得最小值110万元．20．（12分）已知f（x）是定义域为R的函数，若对任意x1，x2∈R，x1﹣x2∈S，均有f（x1）﹣f（x2）∈S，则称f（x）是S关联．（1）判断和证明函数f（x）＝2x+1是否是[0，+∞）关联？是否是[0，1]关联？（2）若f（x）是{3}关联，当x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x，解不等式：2≤f（x）≤3．解：（1）函数f（x）＝2x+1是[0，+∞）关联，证明如下：证明：任取x1，x2∈R，若x1﹣x2∈[0，+∞），则f（x1）﹣f（x2）＝2（x1﹣x2）∈[0，+∞），所以函数f（x）＝2x+1是[0，+∞）关联；函数f（x）＝2x+1不是[0，1]关联，证明如下：证明：若x1﹣x2∈[0，1]，则f（x1）﹣f（x2）＝2（x1﹣x2）∈[0，2]，所以函数f（x）＝2x+1不是[0，1]关联．（2）因f（x）是{3}关联，则x1﹣x2＝3，有f（x1）﹣f（x2）＝3，即f（x+3）﹣f（x）＝3，当x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1∈[﹣1，3），而2≤f（x）≤3，即2≤x2﹣2x≤3，解得1+√3≤x≤3，于是得1+√3≤x＜3，当x+3∈[0，3）时，x∈[﹣3，0），f（x）＝f（x+3）﹣3＝（x+2）2﹣4∈[﹣4，0），不等式无解；当x﹣3∈[0，3）时，x∈[3，6），f（x）＝f（x﹣3）+3＝（x﹣4）2+2∈[2，6），而2≤f（x）≤3，即2≤（x﹣4）2+2≤3，解得3≤x≤5，则有3≤x≤5，当x﹣6∈[0，3）时，x﹣3∈[3，6），x∈[6，9），f（x）＝f（x﹣3）+3＝f（x﹣6）+6＝（x﹣7）2+5∈[5，9），不等式无解，把函数f（x）从x∈[0，3）起每3个单位向右按f（x+3）﹣f（x）＝3变换，图象上升，从x∈[0，3）起每3个单位向左按f（x+3）﹣f（x）＝3变换，图象下降，综上得1+√3≤x≤5，所以不等式2≤f（x）≤3的解集为[1+√3，5]．第11页（共11页）。
上海交大附中2016学年第一学期高二年级数学期中试卷2016
上海交大附中2016学年第一学期高二年级数学期中试卷2016.11.11一、填空题1.系数矩阵为1221⎛⎫⎪⎝⎭，且解为11x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的一个线性方程组是___________. 2.已知两条直线：12:,:0,l y x l ax y a R =-=∈,当这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭内变动时，a 的取值范围是___________.3.已知直线l 经过点()5,0-且方向向量为()2,1-,则原点O 到直线l 的距离为___________. 4.方程212410139x x =-的解为___________.5.若矩阵11122122aa a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足:{}11122122,,,1,1a a a a ∈-,且111221220a a a a =,则这样的互不相等的矩阵共有___________个.6.在平面直角坐标系xOy 中,设()11,,0,12OM ON ⎛⎫== ⎪⎝⎭,动点(),P x y 同时满足0101OP OM OP ON ⎧≤⋅≤⎪⎨≤⋅≤⎪⎩,则z x y =+的最大值是___________.7.设122016,,,A A A 是平面中给定的2016个不同的点,则使1220160MA MA MA +++=成立的点M 的个数为___________个.8.已知函数()arcsin +5f x x x =,如果()()2110f a f a -+-<,则实数a 的取值范围是___________. 9.将一张坐标纸折叠，使得点()1,2与点()0,1重合,且点()2016,2017与点(),m n 重合,则m n -的值为___________.10.已知平面上的线段l 及点P ,在l 上取一点Q ,线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(),d P l ，则点()1,1P 到线段():3035l x y x --=≤≤的距离(),d P l =___________.11.已知O 是ABC ∆的外心，2,3,21,AB AC x y ==+=若()0AO xAB y AC xy =+≠，则cos BAC ∠=___________.12.已知向量序列123,,,,n a a a a 满足如下条件：112,21a a d =⋅=-且()12,3,4n n a a d n --==，若10ka a ⋅=，则k =___________.13.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120︒，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB上变动，若OC xOA yOB =+,其中,x y R ∈，则x y +的最大值是_________.14.已知向量,,αβγ满足()()1,,0ααββαγβγ=-=-⋅-=,若对每一确定的β，γ的最大值和最小值分别为,m n ，则对任意β，m n -的最小值是_________. 二、选择题（2045=⨯分）15，已知()111,b a P 与()222,b a P 是直线2+=kx y （k 是常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组⎩⎨⎧=+=+112211y b x a y b x a 的解得情况是（） A.无论21,,p p k 如何，总是无解B 无论21,,p p k 如何，总有唯一解 C.存在21,,p p k 如何，使之恰有两解D 存在21,,p p k 如何，使之有无穷多解16.定义平面向量之间的一种运算""*如下：对于任意的()(),,,,q p b n m a ==令np mq b a -=*，以下四个命题：A.若与共线，则0=*B.a b b a *=*C.对于任意的,R ∈λ有()()b a b a *=*λλD.()()22=⋅+*（b a ⋅指的是a 与b 数量积）17.设321,,a a a 是单位向量，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=36,331a 是()6,3321=++a a a 的（）A 充分不必要B 。
2016-2017年上海市交大附中高一(下)期中数学试卷和答案
2016-2017学年上海市交大附中高一（下）期中数学试卷一、填空题1．（3分）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，其终边上有一点P（5，﹣12），则secα=．2．（3分）arccos（﹣）=．3．（3分）已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm2，则该扇形的弧长为cm．4．（3分）设sinα=，α∈（，π），则tanα的值为．5．（3分）函数的最小正周期为．6．（3分）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x﹣2y）=．7．（3分）函数y=sinx+arcsinx的值域是．8．（3分）关于x的方程cos2x+sinx+a=0在上有解，则a的取值范围是．9．（3分）设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=．10．（3分）已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=．11．（3分）已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△A1B1C1是△ABC的一个“对偶”三角形，若等腰△ABC存在“对偶”三角形，则其底角的弧度数为．12．（3分）已知函数y=kcos（kx）在区间单调递减，则实数k的取值范围为．二、选择题13．（3分）方程tanx=2的解集为（）A．{x|x=2kπ+arctan2，k∈Z}B．{x|x=2kπ±arctan2，k∈Z}C．{x|x=kπ+arctan2，k∈Z}D．{x|x=kπ+（﹣1）k arctan2，k∈Z}14．（3分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+m（A＞0，ω＞0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是（）A．B．C．D．15．（3分）函数y=2sin（﹣2x），（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，]B．[，]C．[，]D．[，π] 16．（3分）已知α，β，γ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据：①sinα，sinβ，sinγ；②sin2α，sin2β，sin2γ；③；④分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组三、解答题17．设，且α，β满足（1）求的值．（2）求cos（α+β）的值．18．如图，等腰三角形ABC中，∠B=∠C，D在BC上，∠BAD大小为α，∠CAD 大小为β．（1）若，求；（2）若，求∠B．19．某景区欲建两条圆形观景步道M1，M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M与AB，AD分别相切于点B，D，圆M2与AC，AD分别相切于点C，D．（1）若，求圆M1，M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1，M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当∠BAD 多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知=4cosBcosC．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的取值范围；（3）若sinB=psinC，试确定实数p的取值范围，使△ABC是锐角三角形．21．已知集合P是满足下述性质的函数f（x）的全体：存在非零常数M，对于任意的x∈R，都有f（x+M）=﹣Mf（x）成立．（1）设函数g（x）=sinπx，试证明：g（x）∈P；（2）当M=1时，试说明函数f（x）的一个性质，并加以证明；（3）若函数h（x）=sinωx∈P，求实数ω的取值范围．2016-2017学年上海市交大附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，其终边上有一点P（5，﹣12），则secα=．【解答】解：由题意可得x=5，y=﹣12，r=|OP|=13，∴cosα==，∴secα=．故答案为：．2．（3分）arccos（﹣）=．【解答】解：===．故答案为：．3．（3分）已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm2，则该扇形的弧长为6cm．【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为S，则：r2===9．解得r=3∴扇形的弧长为l=rα=3×2=6l=rα=3×2=6cm．故答案为：6．4．（3分）设sinα=，α∈（，π），则tanα的值为﹣．【解答】解：∵sinα=，α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣，∴tanα===﹣．故答案为：﹣．5．（3分）函数的最小正周期为π．【解答】解：函数=2﹣1+1=﹣cos（2x+）+1 的最小正周期为=π，故答案为：π．6．（3分）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x﹣2y）=﹣．【解答】解：∵cosxcosy+sinxsiny=cos（x﹣y）=，∴cos（2x﹣2y）=cos2（x﹣y）=2cos2（x﹣y）﹣1=﹣．故答案为：﹣．7．（3分）函数y=sinx+arcsinx的值域是[﹣sin1﹣，sin1+] ．【解答】解：函数y=sinx+arcsinx的定义域为[﹣1，1]，且在此定义域内单调递增，故当x=﹣1时，函数y=sinx+arcsinx有最小值﹣sin1+（﹣）=﹣sin1﹣．故当x=1时，函数y=sinx+arcsinx有最大值sin1+，故函数y=sinx+arcsinx的值域是[﹣sin1﹣，sin1+]，故答案为[﹣sin1﹣，sin1+]．8．（3分）关于x的方程cos2x+sinx+a=0在上有解，则a的取值范围是．【解答】解：由cos2x+sinx+a=0，转化为：1﹣sin2x+sinx+a=0，即（sinx﹣）2=∵上，sinx∈（0，1）∴sinx﹣∈（，]则（sinx﹣）2∈[0，]∴∴a的取值范围是．故答案为．9．（3分）设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=2．【解答】解：由题可知t=sinx∈[﹣1，1]，则y=f（x）=1+，令z=，则当t=0时z=0，且函数z为奇函数，所以z max+z min=0，又因为M+m=（1+z max）+（1+z min），所以M+m=2+（z max+z min）=2，故答案为：2．10．（3分）已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=2﹣4．【解答】解：∵sinα=3sin（α+）=3sinα•+3cosα•，∴tanα=，∴tan=tan（﹣）===2﹣，∴tan（α+）====2﹣4，故答案为：2﹣4．11．（3分）已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△A1B1C1是△ABC的一个“对偶”三角形，若等腰△ABC存在“对偶”三角形，则其底角的弧度数为．【解答】解：设A=B，由已知得sinA1=sinB1，cosA=sinA1，cosB=sinB1，cosC=sinC1，则A1=B1，所以A+A1=，B+B1=，C+C1=（舍）或A+A1=，B+B1=，C=C1﹣，解得C=，A=B==．故答案是：．12．（3分）已知函数y=kcos（kx）在区间单调递减，则实数k的取值范围为[﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12} ．【解答】解：当k＞0时，令2mπ≤kx≤π+2mπ，解得≤x≤+，m ∈Z，∵函数y=kcos（kx）在区间单调递减，∴，解得，m∈Z，∴0＜k≤3或8≤k≤9．当k＜0时，令﹣π+2mπ≤﹣kx≤2mπ，解得﹣≤x≤﹣，m∈Z，∵函数y=kcos（kx）在区间单调递减，∴，解得，m∈Z，∴﹣6≤k≤﹣4，或k=﹣12，综上，k的取值范围是[﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12}．故答案为：[﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12}．二、选择题13．（3分）方程tanx=2的解集为（）A．{x|x=2kπ+arctan2，k∈Z}B．{x|x=2kπ±arctan2，k∈Z}C．{x|x=kπ+arctan2，k∈Z}D．{x|x=kπ+（﹣1）k arctan2，k∈Z}【解答】解：由tanx=2，根据正切函数图象及周期可知：x=kπ+arctan2．故选：C．14．（3分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+m（A＞0，ω＞0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得A+m=4，A﹣m=0，解得A=2，m=2．再由最小正周期为，可得=，解得ω=4，∴函数y=Asin（ωx+φ）+m=2sin（4x+φ）+2．再由x=是其图象的一条对称轴，可得4×+φ=kπ+，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=，故符合条件的函数解析式是y=2sin（4x+）+2，故选：D．15．（3分）函数y=2sin（﹣2x），（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，]B．[，]C．[，]D．[，π]【解答】解：∵y=2sin（﹣2x）=﹣2sin（2x﹣），∴只要求y=2sin（2x﹣）的减区间，∵y=sinx的减区间为[2kπ+，2kπ+]，∴令2x﹣∈[2kπ+，2kπ+]，解得x∈[kπ+，kπ+]，又x∈[0，π]，∴x∈[，]．故选：C．16．（3分）已知α，β，γ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据：①sinα，sinβ，sinγ；②sin2α，sin2β，sin2γ；③；④分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【解答】解：∵α，β，γ是某三角形的三个内角，设α，β，γ的对边分别为a，b，c，不妨令α≤β≤γ，则a≤b≤c，则a+b＞c．则①中，sinα=，sinβ=，sinγ=；则+＞，故一定能构成三角形；②中，sin2α=，sin2β=，sin2γ=，由+＞仅在a2+b2﹣c2＞0，即cosγ＞0时成立，故不一定能构成三角形．③中，+﹣=+＞0恒成立．恒成立，故一定能构成三角形，故③正确．④中，当α=β=30°时γ=120°，tan+tan﹣tan＜0，故不一定能构成三角形，故①③正确，故选：B．三、解答题17．设，且α，β满足（1）求的值．（2）求cos（α+β）的值．【解答】解：（1）∵5sinα+5cosα=8，∴10（sinα+cosα）=8，即sin（α+）=，（3分）∵α∈（0，），∴α+∈（，），∴cos（α+）==；（4分）（2）又∵sinβ+cosβ=2，∴2（sinβ+cosβ）=2，即sin（β+）=，（6分）∵β∈（，），∴β+∈（，），∴cos（β+）=﹣，（7分）∴cos（α+β）=sin[+（α+β）]=sin[（α+）+（β+）]=sin（α+）cos（β+）+cos（α+）sin（β+）=×（﹣）+×=﹣．（12分）18．如图，等腰三角形ABC中，∠B=∠C，D在BC上，∠BAD大小为α，∠CAD 大小为β．（1）若，求；（2）若，求∠B．【解答】解：（1）在△ABD中，由正弦定理得，在△ACD中，由正弦定理得，∵∠B=∠C，∴，∴==．（2）由（1）知==，又β=α+，∴sinβ=sin（）=sinα+cosα，∴sinα+c osα=2sinα，即cosα=3sinα，∴tanα=，∴α=，β=，∴B=（π﹣α﹣β）=．19．某景区欲建两条圆形观景步道M1，M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M与AB，AD分别相切于点B，D，圆M2与AC，AD分别相切于点C，D．（1）若，求圆M1，M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1，M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当∠BAD 多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）【解答】解：（1）连结M1M2，AM1，AM2，∵圆M1与AB，AD相切于B，D，圆M2与AC，AD分别相切于点C，D，∴M1，M2⊥AD，∠M1AD=∠BAD=，∠M2AD=，∴M1B=ABtan∠M1AB=60×=20≈34.6（米），∵tan==，∴tan=2﹣，同理可得：M2D=60×tan=60（2﹣）≈16.1（米）．（2）设∠BAD=2α（0＜α＜），由（1）可知圆M1的半径为60tanα，圆M2的半径为60tan（45°﹣α），设观景步道总造价为y千元，则y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α）=96πtanα+108π•，设1+tanα=x，则tanα=x﹣1，且1＜x＜2．∴y=96π（x﹣1）+108π（）=12π•（8x+﹣17）≥84π≈263.8，当且仅当8x=即x=时取等号，当x=时，tanα=，∴α≈26.6°，2α≈53.2°．∴当∠BAD为53.2°时，观景步道造价最低，最低造价为263.8千元．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知=4cosBcosC．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的取值范围；（3）若sinB=psinC，试确定实数p的取值范围，使△ABC是锐角三角形．【解答】解：（1）∵=4cosBcosC，∴3sinBsinC+cosBcosC﹣sinBcosC﹣cosBsinC，∴﹣sin（B+C）=3cos（B+C），∴tan（B+C）=﹣，∴tanA=，∴A=，（2）由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，∴4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，当且仅当b=c时取等号，∴S=bcsinA≤×4×=，△ABC∴△ABC面积的取值范围为（0，]，（3）sinB=psinC，∴p===+，∵△ABC为锐角三角形，A=，∴＜C＜，∴tanC＞，∴＜p＜2，即p的范围为21．已知集合P是满足下述性质的函数f（x）的全体：存在非零常数M，对于任意的x∈R，都有f（x+M）=﹣Mf（x）成立．（1）设函数g（x）=sinπx，试证明：g（x）∈P；（2）当M=1时，试说明函数f（x）的一个性质，并加以证明；（3）若函数h（x）=sinωx∈P，求实数ω的取值范围．【解答】解：（1）取M=1 对于任意x∈R，g（x+M）=sin（πx+π）=﹣sinπx=﹣g（x）=Mf（x）∴g（x）∈P（2）M=1时，f（x+1）=﹣f（x）f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x）∴f（x）是一个周期函数，周期为2；（3）∵h（x）=sinωx∈P∴存在非零常数M，对于对于任意的x∈R，都有h（x+M）=﹣Mh（x）成立．既sin（ωx+ωM）=﹣Msinωx若|M|＞1，取sinωx=1，则sin（ωx+ωM）=﹣M对x∈R恒成立时不可能的．若|M|＜1，取sin（ωx+ωM）=1，则对x∈R也不成立．∴M=±1当M=1时sin（ωx+ω）=﹣sinωx，sin（ωx+ω）+sinωx=0，（x∈R），解得：ω=2kπ+π（k∈Z）；当M=﹣1时sin（ωx﹣ω）=sinωx，sin（ωx﹣ω）﹣sinωx=0，（x∈R），解得：ω=2kπk∈Z综上可得ω=kπ（k∈Z）。
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交大附中2016学年高一上期中数学卷答案版一.填空题(本题满分56分，每小题4分)：1.已知{}240,2,a a ∈，则实数______a =.【答案】-22.已知集合{}2|210,A x ax x x R =++=∈中有且仅有一个元素，则实数______a =.【答案】0或13. 已知{}2|30A x x x =-=，{}02|=-=ax x B ，且A B A = ，则实数______a =.【答案】0或234. 设集合(){}22,||1A x y x y =+=，(){}1|,+==x y y x B ，那么______A B =.【答案】{})0,1(),1,0(-5. 不等式21131x x -≥+的解集为A ，不等式42x x ->解集为B ，则()R C ______A B =.【答案】)34,31[)2,(---∞6. 已知函数()211y kx k x =+++，[2,)x ∈+∞是单调减函数，则实数k 的取值范围是__________. 【答案】]51,(--∞7. 已知函数(),y f x x R =∈是奇函数，当0x >时，()12f x x x=++，则当0x ≤时，()f x 的解析式是________.【答案】⎪⎩⎪⎨⎧<-+==0,210,0)(x x x x x f9. 关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<212|x x x 或，求02>+-c bx ax 的解集是__________. 【答案】)2,21(10. 已知()f x 为定义在区间[2,2]-上的偶函数，且当[0,2]x ∈时，()f x 递减. 如果(1)()f m f m -<，则实数m 的取值范围_________.【答案】)21,1[-11. 若对任意x R ∈不等式1x +ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________. 【答案】]1,0[12. 设集合3|12b a b a ⎧⎫+≤≤≤⎨⎬⎩⎭中的最大和最小元素分别是M 、m ，则M m +=__________. 【答案】325+ 13. 集合A 、B 满足条件AB =∅，{}1,2,3,4,5A B =，当A B ≠时，我们将(),A B 和(),B A 视为两个不同的集合对，则满足条件的集合对(),A B 共有________对. 【答案】3214. 设不等式222xy ax y ≤+对于区间[]2,3中的,x y 恒成立，则实数a 的取值范围是________. 【答案】),92[+∞-二.选择题（本题满分20分，每小题5分）:15. 下列各组函数中，()f x 与()g x 表示同一个函数的是（ B ）（A ）()()2,f x x g x ==（B ）()()()22,xf xg x x==（C ）()()()01,1f x g x x ==- （D ）()()29,33x f x g x x x -==-+ 16. 以下四个命题中，正确的是( A )（A ）若22ac bc > ，则a b > （B ）若a b c d >>， ，则a c b d ->- （C ）若a b c d >>， ，则ac bd > （D ）若a b > ，则11a b>17. 设条件p ：20a a +≠，条件q ：0a ≠； 那么p 是q 的（ A ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件18. 用二分法求函数()32452169140f x x x x =-+-在区间()3,4上的零点的近似值（精确到0.1），需要n 次不断的取相应区间的中点，则n 的最小值为（ B ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 三.解答题：（本题满分74分）19. (本题满分12分,第一小题5分,第二小题7分) 已知函数()2|1|1,f x x x x R =+-+∈.(1)讨论()f x 的奇偶性； (2)求()f x 的最小值. 【答案】（1）2)1(=f ，4)1(=-f ，)1()1(f f ≠-，……………………………………2分 )1()1(f f -≠-，……………………………………2分 )(x f ∴为非奇非偶函数。
……………………………………1分（2）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥+=1,21,)(22x x x x x x x f …………………………………………………………1分1°当1≥x 时，41)21()(2-+=x x f 2≥（当1=x 时“=”成立），………………2分 2°当1<x 时，47)21()(2+-=x x f 47≥（当21=x 时“=”成立），………………2分 ∴当21=x 时，47min =f 。
……………………………………2分（最小值点未写扣一分）。
20. (本题满分14分,第一小题6分,第二小题8分)已知函数()21-x r x x=，（1）求不等式()1r x >的解集；（2）判断()r x 在区间(),0-∞上的单调性，并用定义证明. 【答案】（1）0)1(01111)(222<-+⇔<-+⇔>-⇔>x x x xx x x x x r ，………………2分数轴标根法得解集为)251,0()251,(+----∞ 。
……………………………4分 （2）()r x 在区间(),0-∞上单调递减。
………………………………………………2分 证明：xx x r 1)(+-=， 任取021<<x x ，0)1)((11)()(212121112212<+-=-++-=-x x x x x x x x x x x r x r ， )(x r ∴在区间(),0-∞上单调递减。
…………………………………………6分21. (本题满分14分,第一小题7分,第二小题7分)某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈由两条平行线段（图中的AB ，CD ）和两个半圆构成，设AB x = m ，且x ≥80．（1）若内圈周长为400m ，则x 取何值时，矩形ABCD 的面积最大？（2）若景观带的内圈所围成区域的面积为m 2，则x 取何值时，内圈周长最小？ 【答案】解：设y AD = m ，（1）4002=+y x π，……………………………………………………………………1分πππππ2000021)22(2122=⋅+≤⋅⋅==y x y x xy S ABCD ，………………………4分 “=”成立当且仅当100=x ，π200=y 。
………………………………………2分 ∴当100=x 时，矩形ABCD 时有最大面积π20000平方米。
（2）42250022500)2(2yy x yxy ππππ-=⇒=+ 由x ≥80得π1800≤<y ，………………………………………………………2分内圈周长2450002450002y y y y y y x C ππππππ+=+-=+=，在]180,0(π上单调递 减，……………………………………………………………………………………3分 当π180=y ，即80=x 时，340min =C m 。
…………………………………1分22. (本题满分16分,第一小题5分,第二小题5分,第三小题6分)已知k 是实数，()424211x kx f x x x ++=++，（1）当0k =时，求()f x 函数的值域；（2）若()f x 在区间[]1,2上单调递增，求实数k 的取值范围；（3）对任意三个实数,,a b c ，均存在一个以()()(),,f a f b f c 为三边长的三角形，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）0=k ，11)(244+++=x x x x f 1°当0=x ，1)(=x f ；…………………………………………………………1分2°当0≠x ，111111)(22242++-=++-=x x x x x x f ，02>x ，31122≥++x x ，31111022≤++<x x ，111113222<++-≤xx ， )1,32[)(∈x f ，…………………………………………………………………3分综上，)(x f 的值域为]1,32[。
………………………………………………………1分（2）]2,1[∈x ，11111)1(1)(22242++-+=++-+=xx k x x x k x f ， ]4,1[2∈x ，]16273,3[1122∈++x x 11)(22++=x x x u 在]2,1[上单调递增，1111)(22++-+=xx k x f 在]2,1[上单调递增， ∴u k 11-+在]16273,3[上单调递增，1<∴k 。
…………………………………5分（3）对任意三个实数,,a b c ，有)()()(c f b f a f >+，……………………………2分 当0=x ，1)(=x f ；当0≠x ，1111)(22++-+=xx k x f ， 1°当1=k ，1)(=x f ，成立；…………………………………………………1分 2°当0>k ，当0=x ，1)(=x f ；当0≠x ，]31,0(11122-∈++-k xx k ，]32,1()(+∈k x f 。
]32,1[)(+∈∴k x f ， 40322<<⇒+>k k 。
………………………………………………………1分 3°当0<k ，当0=x ，1)(=x f ；当0≠x ，]0,31(11122-∈++-k xx k ，]1,32()(+∈k x f 。
]1,32[)(+∈∴k x f0211342<<-⇒>+k k 。
……………………………………………………1分 综上，)4,21(-∈k 。
………………………………………………………………1分23.（本题满分18分，第一小题5分；第二小题6分，第三小题7分）如果存在非零常数c ，对于函数()y f x =定义域R 上的任意实数x ，都有()()f x c f x +>，那么称函数()()y f x x R =∈为“Z 函数”.（1）证明：若函数()()y f x x R =∈是单调减函数，则它是“Z 函数”； （2）求证：函数||y x =不是“Z 函数”；（3）若函数()32g x ax bx =+是“Z 函数”，求实数,a b 满足的条件.【答案】（1）令1-=c 。