高考数学第20讲 数列的顺序性

第20讲 数列的顺序性
题一：如果1112
,1,1
n n n C C C C C ++=
>-+，试证：对于任意自然数n
，或者都满足
212,n n C C -><
；或者都满足212,n n C C -<>
求证：2234
n a <≤．
题三：已知等差数列{a n }满足：a n +1＞a n (n ∈N +)，a 1＝1，该数列的前三项分别加上1、1、3后顺次成为等比数列{b n }的前三项． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)设T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n
b n (n ∈N +)，若T n ＋2n ＋32n －1n ＜
c (c ∈Z )恒成立，求c 的最小值．
题四：已知数列{b n }满足：b n +1＝
12b n ＋14，且b 1＝7
2
，T n 为{b n }的前n 项和． (1)求证：数列⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫b n －12是等比数列，并求{b n }的通项公式；
(2)如果对任意n ∈N +，不等式12k
12＋n －2T n
≥2n －7恒成立，求实数k 的取值范围．
第20讲 数列的顺序性
题一：见详解． 详解：12
1111
n n n n C C C C ++==+++，∵11C >-，∴1n C >-，
又1
C ≠
2,,n C C ≠≠，
∵2122121(1(01
n n n n C C C C -----=
<+，
∴212,n n C C -><
212,n n C C -<>
题二：见详解．
因为234k a <≤，所以22233163k k a a ≤-<
，
即2192163k a +≤<，从而22
1212189333k k a a ++<-≤ 即222189k a +<≤，因为18934<
题三：（1）a n ＝2n －1，b n ＝2n
(n ∈N +
)；（2）3．
详解：(1)设d 、q 分别为数列{a n }的公差、数列{b n
}的公比．
由题意知，a 1＝1，a 2＝1＋d ，a 3＝1＋2d ，分别加上1、1、3得2、2＋d 、4＋2d ， ∴(2＋d )2
＝2(4＋2d )，∴d ＝±2．∵a n ＋1＞a n ，∴d ＞0，∴d ＝2，∴a n ＝2n －1(n ∈N +)，
由此可得b 1＝2，b 2＝4，∴q ＝2，∴b n ＝2n
(n ∈N +)．
(2) T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝12＋322＋5
23＋…＋2n －12n ，①
∴12T n ＝122＋323＋5
24＋…＋2n －12
n +1． ② 由①－②得12T n ＝12＋12＋122＋123＋…＋1
2n +1－2n －12n +1．
∴T n ＝1＋1－1
2n -11－
12
－2n －12n ＝3－12n -2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，∴T n ＋2n ＋32n －1n ＝3－1
n ＜3．
∴使T n ＋2n ＋32n －1
n
＜c (c ∈Z )恒成立的c 的最小值为3．
题四：（1）见详解；（2）k ≥
332
． 详解：(1)对任意n ∈N +，都有b n +1＝12b n ＋14，所以b n +1－
1
2＝
1
2
()b n
－12，
则{}
b n －1
2是等比数列，首项为b 1－12＝3，公比为12
，
所以b n －12＝3×12⎛⎫ ⎪⎝⎭n -1，即b n ＝3×12⎛⎫
⎪⎝⎭
n -1＋12．
(2)因为b n ＝3×12⎛⎫
⎪⎝⎭
n -1＋12，
所以T n ＝3⎝
⎛⎭⎫1＋12＋122＋…＋1
2n －1＋
2
n ＝3×()1－1
2n
1－12
＋2
n ＝6
()
1－
12n ＋
2
n ． 因为不等式12k
12＋n －2T n ≥2n －7，化简，得k ≥2n －72n ，对任意n ∈N ＋恒成立，
设c n ＝
2n －72n ，则c n +1－c n ＝2(n ＋1)－72n +1－2n －72n ＝9－2n
2
n +1， 当n ≥5时，c n +1≤c n ，数列{c n }为单调递减数列； 当1≤n ＜5时，c n +1＞c n ，数列{c n }为单调递增数列． 而
116＝c 4＜c 5＝332，所以n ＝5时，c n 取得最大值332
． 所以要使k ≥2n －72
n 对任意n ∈N ＋
恒成立，k ≥3
32
．。