圆(下)精品拓展

⑵∵ ∠C = ∠E ， ∠CAF = ∠EBF ，∴ △ACF ∽△BEF ， ∵ AC 是⊙O 的直径，∴ ∠ABC = 90° ，
在 Rt△BFA 中， cos ∠BFA = BF = 2 ， AF 3
S△BEF S△ ACF
=
⎛ ⎜⎝
BF AF
2
⎞ ⎟ ⎠
=
4， 9
又∵ S△BEF = 8 ，∴ S△ACF = 18 。
以 OB2 为对角线作正方形 OA2B2C2，又以 O 为圆心、OA2 为半径作弧 A2C2 交 OB2
于点 B3，设弧 A2C2 与边 A2B2、B2C2 围成的阴影部分面积为 S2 ；…，按此规律继
续 作 下 去 ， 设 弧 AnCn 与 边 An Bn 、 BnCn 围 成 的 阴 影 部 分 面 积 为 Sn 。 则
B E
D
A
F
O
C
【解析 4】⑴
S
=
1 4
( S1
−立．
S
=
1 4
S1
−
1 4
S2
=
1 4
( S1
−
S2
)
。
⑶ 提示：连接 OB 、 OC 。
易证 △BOG ≌△COH ，
S△OBG = S△COH
∴ S△BOG + S△BOH = SBOC
∴
S
=
1 4
( S1
−
S2
)
。
D
C
N
F OH
G
A
S1 =
， Sn =
。
演练 3
(2009 延 庆 二 模 ) 点 D 是 ⊙O 的 直 径 CA 延 长 线 上 一 点 ， 点 B 在 ⊙O 上 ， 且 AB = AD = AO 。 ⑴求证： BD 是⊙O 的切线。 ⑵若点 E 是劣弧 BC 上一点， AE 与 BC 相交于点 F ，且 △BEF 的面积为 8 ，
⑵如图，弦 HQ 交 x 轴于点 P，且 DP∶PH＝3∶2，求 cos∠QHC 的值；
2
⑶如图，点 K 为线段 EC 上一动点(不与 E、C 重合)，连接 BK 交⊙M 于点 T，弦 AT 交 x 轴于点 N。是否存在一个常数 a，始终满足 MN·MK＝a，如果存在，请 求出 a 的值；如果不存在，请说明理由。
拓展提高
【例 6】⑴阅读理解： ①如图在已知△ABC 所在平面上存在一点 P，使它到三角形三顶点的距离之和最 小，则称点 P 为△ABC 的费马点，此时 PA＋PB＋PC 的值为△ABC 的费马距 离。
②如图，若四边形 ABCD 的四个顶点在同一圆上，则有 AB·CD＋BC·DA＝AC· BD
此为托勒密定理。
cos ∠BFA = 2 ，求 △ACF 的面积。 3
B E
D
A
F
O
C
6
演练 4
(2010 湖南邵阳)阅读下列材料，然后解答问题。 经过正四边形(即正方形)各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形 的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形。 如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，⊙O 的面积为 S1，正方形 ABCD 的面积为 S2。 以圆心 O 为顶点作∠MON，使∠MON＝90°。将∠MON 绕点 O 旋转，OM、ON 分
测试题
演练 1
⑴(2010 平谷一模)如图，已知 ⊙O 是以数轴的原点 O 为圆心，半径为 1 的圆，
∠AOB = 45° ，点 P 在数轴上运动，若过点 P 且与 OA 平行的直线与⊙O 有公共
点，设 OP = x ，则 x 的取值范围是
。
⑵(2009 浙江舟山)如图， DB 为半圆的直径， A 为 BD 延长线上一点， AC 切半圆 于点 E ， BC ⊥ AC 于点 C ，交半圆于点 F 。已知 BD = 2 ，设 AD = x ， CF = y ，
圆（下）
圆中的综合问题
【例 4】⑴(2010 通州一模)如图，如果从半径为 9cm 的圆形纸片剪去 1 圆周的一个扇形，将 3
留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为(
)
A．6cm
B． 3 5 cm
C．8cm
D． 5 3 cm
⑵(2010 房山二模)将圆柱形纸筒沿 AB 剪开铺平，得到一个矩形(如图)。如果将这
个纸筒沿线路 B→M→A 剪开铺平，得到的图形是(
)
A．平行四边形
B．矩形
C．三角形
D．半圆
⑶(2010 昌平二模)如图，将半径为 1 的圆形纸板，沿长、宽分别为 8 和 5 的矩形的
外侧滚动一周并回到开始的位置，则圆心所经过的路线长度是(
)
A．13
B．26
C．13＋π
D．26＋2π
1
⑷(2010 延庆二模)如图，P1 是一块半径为 1 的半圆形纸板，在 P1 的左下端剪去一 个半径为 1 的半圆后得到图形 P2，然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一 2 个被剪掉半圆的半径)得图形 P3， P4，…，Pn，…，记纸板 Pn 的面积为 Sn，
第二步：在 B�C 是任取一点 P′连结 P′A、P′B、P′C、P′D，易知 P′A＋P′B＋P′C
＝P′A＋(P′B＋P′C)＝P′A＋
；
第三步：请你根据⑴①中定义，在图中找出△ABC 的费马点 P，并请指出线
段
的长度即为△ABC 的费马距离。
4
⑶知识应用： 2010 年 4 月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、 畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水。已 知三村庄 A、B、C 构成了如图所示的△ABC(其中∠A、∠B、∠C 均小于 120°)， 现选取一点 P 打水井，使从水井 P 到三村庄 A、B、C 所铺设的输水管总长度最 小，求输水管总长度的最小值。
别与⊙O 交于点 E、F，分别与正方形 ABCD 的边交于点 G、H。设由 OE、OF、⌒ EF
及正方形 ABCD 的边围成的图形(阴影部分)的面积为 S。
⑴当 OM 经过点 A 时(如图①)，则 S、S1、S2 之间的关系为：
(用含 S1、
S2 的代数式表示)；
⑵当 OM⊥AB 于 G 时(如图②)，则⑴中的结论仍然成立吗？请说明理由；
7
【解析3】⑴ 证明：连接 BO ， ∵ AB = AD ，∴ ∠D = ∠ABD ， ∵ AB = AO ，∴ ∠ABO = ∠AOB 又∵在 △OBD 中， ∠D + ∠DOB + ∠ABO + ∠ABD = 180° ∴ ∠OBD = 90° ，即 BD ⊥ BO ， ∴ BD 是⊙O 的切线。
B
E
M
8
则 y 关于 x 的函数解析式是____________。
C
F E
AD
O
B
5
演练 2 (2010 东城二模) 如图，正方形 OA1B1C1 的边长为 2，以 O 为圆心、OA1 为半径作弧
A1C1 交 OB1 于点 B2，设弧 A1C1 与边 A1B1、B1C1 围成的阴影部分面积为 S1 ；然后
试计算求出 S3 − S2 ＝
；
并猜想得到 Sn − Sn−1 ＝
(n≥ 2)
【例 5】(2010 深圳)如图，以点 M(-1，0)为圆心的圆与 y 轴、x 轴分别交于点 A、B、C、D，
直线 y = − 3 x − 5 3 与⊙M 相切于点 H，交 x 轴于点 E，交 y 轴于点 F。
3
3
⑴请直接写出 OE、⊙M 的半径 r、CH 的长；
⑶当∠MON 旋转到任意位置时(如图③)，则⑴中的结论仍然成立吗？请说明理由。
D
C
O
A
B
(E) M
(F) N
图①
D
C
O HF N
G
A
B
E
M 图②
D
C
O H FN
G
A
B
E M
图③
答案
【解析 1】⑴ − 2 ≤ x ≤ 2 且 x ≠ 0 。⑵
【解析
2】
4
−
π
，
23−n
−
π 2n−1
。
y= x 。 x +1
3
⑵知识迁移： ①请你利用托勒密定理，解决如下问题： 如图，已知点 P 为等边△ABC 外接圆的 B�C 上任意一点。求证：PB＋PC＝PA。
②根据⑵①的结论，我们有如下探寻△ABC(其中∠A、∠B、∠C 均小于 120 度) 的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图在△ABC 的外部以 BC 为边长作等边△BCD 及其外接圆；