运筹学复习资料(1)
运筹学复习资料
一、单选题1.排队系统的状态转移速度矩阵中（）元素之和等于零A、每一列B、每一行C、对角线D、次对角线答案： B2.设有一单人打字室，顾客的到达为普阿松流，平均到达时间间隔为20分钟，打字时间服从指数分布，平均时间为15分钟，顾客在打字室内平均等待时间为（）.A、1.5小时B、0.75小时C、2.5小时D、3小时答案： B3.以下哪项是面向决策结果的方法的程序（）.A、收集信息→确定目标→提出方案→方案优化→决策B、确定目标→收集信息标→决策→提出方案→优化方案C、确定目标→收集信息标→提出方案→方案优化→决策D、确定目标→提出方案→收集信息标→优化方案→决策答案： C4.某人要从上海搭乘汽车去重庆，他希望选择一条线路，经过转乘，使得车费最少。
此问题可以转化为（）.A、最大流量问题求解B、最短路问题求解C、最小树问题求解D、最小费用最大流问题求解答案： B5.为了使各因素之间进行两两比较得到量化的判断矩阵，引入（）的标度.A、1～7B、1～8C、1～9D、随便答案： C6.设有一单人打字室，顾客的到达为普阿松流，平均到达时间间隔为20分钟，打字时间服从指数分布，平均时间为15分钟，若顾客在打字室内的平均逗留时间超过1.25小时，则主人将考虑增加设备及打字员，问顾客的平均到达概率为（）时，主人才会考虑这样做？A、小于2B、大于2C、小于1.25D、大于1.25答案： D7.动态规划求解的一般方法是什么A、图解法B、单纯形法C、逆序求解D、标号法答案： C8.整数规划数学模型的组成部分不包括（）.A、决策变量B、目标函数C、约束条件D、计算方法答案： D二、判断题1.风险情况下采用EMV决策准则的前提是决策应重复相当大的次数.A、正确B、错误答案：正确2.正偏差变量应取正值，负偏差变量应取负值.A、正确B、错误答案：错误3.部分变量要求是整数的规划问题称为纯整数规划.A、正确B、错误答案：错误4.方案层在层次模型的最底层.A、正确B、错误答案：错误5.排队系统中，等待时间=逗留时间+服务时间.A、正确B、错误答案：错误6.银行储蓄所有四个服务窗口，到达顾客自选窗口排队，后该储蓄所改为按顾客到达先后发号排队等待，这种改变将有助于缩短顾客的平均等待时间.A、正确B、错误答案：正确7.判断矩阵的维数n越大，判断的一致性将越差，应放宽对高维判断矩阵一致性要求.A、正确B、错误答案：正确8.用层次分析法解决问题，构造好问题的层次结构图是解决问题的关键.A、正确B、错误答案：正确9.不平衡运输问题不一定有最优解.A、正确B、错误答案：错误10.根据决策者对物体之间两两相比的关系，主观做出比值的判断，这样得到的矩阵称作判断矩阵.A、正确B、错误答案：正确三、名词解释1.人工变量答案：亦称人造变量.求解线性规划问题时人为加入的变量。
运筹学复习考点
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• （4）动态规划的基本方程是将一个多阶段的决策问题转化为一系列具 有递推关系的单阶段决策问题。
• 正确。 • （5）建立动态规划模型时，阶段的划分是最关键和最重要的一步。 • 错误。 • （6）动态规划是用于求解多阶段优化决策的模型和方法，这里多阶段
• 错误。
• 唯一最优解时，最优解是可行域顶点，对应基本可行解；无穷多最优 解时，除了其中的可行域顶点对应基本可行解外，其余最优解不是可 行域的顶点。
• （12）若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划 问题最多具有有限个数的最优解。
• 错误。
• 如果在不止一个可行解上达到最优，它们的凸组合仍然是最优解，
结束时间不允许有任何延迟。 • 正确。 • （10）网络关键路线上的所有作业，其总时差和自由时差均为零。 • 正确。 • （11）任何非关键路线上的作业，其总时差和自由时差均不为零。 • 错误。
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• （12）若一项作业的总时差为零，则其自由时差一定为零。 • 正确。 • （13）若一项作业的自由时差为零，则其总时差比为零。 • 错误。 • （14）当作业时间用a,m,b三点估计时，m等于完成该项作业的期
既可以是时间顺序的自然分段，也可以是根据问题性质人为地将决策 过程划分成先后顺序的阶段。
• 正确。
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运筹学复习
第一章线性规划●线性规划模型的一般形式min f = ∑c j x j （或max f = ∑c j x j）--目标函数其中x j称为决策变量S.t. ∑ a ij x j = (≥, ≤) b i ，i = 1，... mX j = (≥, ≤) 0 j = 1，... n--约束条件可行解——满足约束条件的解X可行域——全体可行解的集合最优解——使目标函数取得最大（小）值的可行解最优值——最优解对应的目标函数值f*●标准型线性规划（LP）min f =∑c j x j 最小值S.t. ∑ a ij x j = b i ，i = 1，... m 等式约束X j ≥ 0 j = 1，... n 非负约束线性规划化为标准型：i. max →min max z = - min (-z)ii.不等式约束引进松弛变量x’（x’非负）∑ a ij x j ≥ b i 变为∑ a ij x j - x’ = b ；∑ a ij x j ≤ b i 变为∑ a ij x j +x’ = b ；iii. 决策变量为自由变量令xj = x’ - x’’（x’ x’’非负）iv. xj ≤ 0 令xj = - xj’（xj’非负）v. xj ≥ hj 令xj = xj’+hj （xj’非负）●线性规划的几何特征（图解法）Step 1 确定可行域Step 2 寻找最优解通过将等值线【线上所有点均对应相同目标函数值】沿目标函数（负）梯度方向移动寻找最值：沿梯度方向f增大；负梯度方向f减小；解的情况有：（见P8）1. 最优解存在且唯一2. 最优解存在且不唯一（等值线与边界重合）3. 可行解存在但规划无下界，最优值不存在4. 可行解不存在（线性规划不可行）结论：如果可行域K非空，则K必是第一卦限中一个凸集，必存在顶点；。
管理运筹学期末复习资料【韩伯棠】
运筹学（Operational Research）复习资料第一章绪论一、名词解释1.运筹学：运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
二、选择题1.运筹学的主要分支包括（ABDE ）A图论B线性规划C非线性规划D整数规划E目标规划2. 最早运用运筹学理论的是（ A ）A . 二次世界大战期间，英国军事部门将运筹学运用到军事战略部署B . 美国最早将运筹学运用到农业和人口规划问题上C . 二次世界大战期间，英国政府将运筹学运用到政府制定计划D . 50年代，运筹学运用到研究人口，能源，粮食，第三世界经济发展等问题上第二章线性规划的图解法一、选择题/填空题1.线性规划标准式的特点：（1）目标函数最大化（2）约束条件为等式（3 决策变量为非负（4 ) 右端常数项为非负2. 在一定范围内，约束条件右边常数项增加一个单位：（1）如果对偶价格大于0，则其最优目标函数值得到改进，即求最大值时，最优目标函数值变得更大，求最小值时最优目标函数值变得更小。
（2）如果对偶价格小于0，则其最优目标函数值变坏，即求最大值时，最优目标函数值变小了；求最小值时，最优目标函数值变大了。
（3）如果对偶价格等于0，则其最优目标函数值不变。
3.LP模型（线性规划模型）三要素：（1）决策变量（2）约束条件（3）目标函数4. 数学模型中，“s·t”表示约束条件。
5. 将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左端加上松弛变量。
6. 将线性规划模型化成标准形式时，“≥”的约束条件要在不等式左端减去剩余变量。
7．下列图形中阴影部分构成的集合是凸集的是A【解析】：如何判断是凸集？凸集：两点之间连线在图内凹集：两点之间连线在图外8. 线性规划问题有可行解且凸多边形无界，这时CA没有无界解 B 没有可行解 C 有无界解 D 有有限最优解9. 对于线性规划问题，下列说法正确的是（ D ）A. 线性规划问题可能没有可行解B. 在图解法上，线性规划问题的可行解区域都是“凸”区域C. 线性规划问题如有最优解，则最优解可在可行解区域顶点上到达D. 上述说法都正确第三章线性规划问题的计算机求解一、名词解释1.相差值：相应的决策变量的目标系数需要改进的数量，使得决策变量为正值。
运筹学 本(复习资料)
《运筹学》课程复习资料一、判断题：1.图解法与单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的。
[ ]2.线性规划问题的每一个基本解对应可行解域的一个顶点。
[ ]3.任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题。
[ ]4.已知y i*为线性规划的对偶问题的最优解，若y i*＞0，说明在最优生产计划中第i种资源已完全耗尽。
[ ] 5.运输问题是一种特殊的线性规划问题，因而其求解结果也可能出现下列四种情况之一：有惟一最优解，有无穷多最优解，无界解，无可行解。
[ ]6.动态规划的最优性原理保证了从某一状态开始的未来决策独立于先前已做出的决策。
[ ]7.如果线性规划问题存在最优解，则最优解一定可以在可行解域的顶点上获得。
[ ]8.用单纯形法求解Max型的线性规划问题时，检验数Rj＞0对应的变量都可以被选作入基变量。
[ ]9.对于原问题是求Min，若第i个约束是“＝”，则第i个对偶变量yi≤0。
[ ]10.用大M法或两阶段法单纯形迭代中若人工变量不能出基(人工变量的值不为0)，则问题无可行解。
[ ]11.如图中某点vi 有若干个相邻点,与其距离最远的相邻点为vj,则边[vi,vj]必不包含在最小支撑树内。
[ ]12.在允许缺货发生短缺的存贮模型中，订货批量的确定应使由于存贮量的减少带来的节约能抵消缺货时造成的损失。
[ ] 13.根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解。
[ ] 14.在线性规划的最优解中，若某一变量xj为非基变量，则在原来问题中，改变其价值系数cj，反映到最终单纯形表中，除xj的检验数有变化外，对其它各数字无影响。
[ ]15.单纯形迭代中添加人工变量的目的是为了得到问题的一个基本可行解。
[ ]16.订购费为每订一次货所发生的费用，它同每次订货的数量无关。
[ ]17.一个动态规划问题若能用网络表达时，节点代表各阶段的状态值，各条弧代表了可行方案的选择。
运筹学期末复习资料1
第三节 单纯形法 一,确定初始基可行解 (1)特殊情况 例1maxZ=2x1+3x2 x1+2x2 ≤ 8 4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 xj ≥ 0
(2)一般情况:大M法
maxZ=3x1-x2 -x3 x1-2x2+x3 ≤ 11 -4x1+x2+2x3 ≥ 3 -2x1+x3 =4 x1, x2 ,x3 ≥ 0
2.无界解
例maxZ=6x1+2x2 +10x3 +8x4 3x1-3x2 +2x3 +8x4 ≤ 25 5x1+6x2 -4x3 -4x4 ≤ 20 4x1-2x2 +x3 +3x4 ≤ 10 x1, x2 ,x3 , x4 ≥ 0 3.无穷多最优解
例maxZ= 4x1+14x2 2x1+7x2 ≤ 21 7x1+2x2 ≤ 21 xj ≥ 0
基本解:基变量XB == (x1, x2, …,xm)'
满足方程BXB=b,则XB=B-1 b,其余XN=0,则 称( x1, x2, …,xm,0…0)'为基本解. 基可行解:若B对应的基本解(XB,…0)'≥0, 则称该解为基可行解. 可行基:对应于基可行解的基为可行基.
例1.maxZ=2x1+3x2
练习: 练习:
maxZ=4x1+3x2 maxZ=-x1-x2 maxZ=10x1+x2 maxZ=x1+20x2 maxZ=-4x1+2x2 2x1+3x2 ≤ 6 -3x1+2x2 ≤ 3 2x2 ≤ 5 2x1+x2 ≤ 4 x1, x2 ≥ 0 ,
4
2 3 D
运筹学复习资料
试题结构：1、判断题（10×2`）2、单选题（10×2`）3、多选题（5 ×2`）4、计算题（5×10`）（第三、五、七、十一、十三章有计算题）第一张：绪论1.定义：运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为管理者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
2.研究内容：线性规划、整数线性规划、目标规划、图与网络模型、存储论、排队论、对策论、排序与统筹方法、决策分析、动态规划、预测3.运用运筹学解决问题的一般过程（课件答案）（课本答案）规定目标和明确问题认清问题收集数据和建立模型找出一些可供选择的方案求解模型和优化方案确定目标或评估方案的标准检验模型和评价方案评估各个方案方案实施和不断改进选出一个最优的方案执行此方案进行最后评估：问题是否得到圆满解决第二章：线性规划的图解方法1.怎样辨别一个模型是线性模型？其特征是：（1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值；（2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。
2.线性规划三个要素建模步骤决策变量、目标函数、约束条件3.LP 问题的标准型11max .1,2,,0,1,2,,nj jj nij ji j j Z c x a x b s t i m x j n ===⎧=⎪=⎨⎪≥=⎩∑∑ 特点：(1)目标函数求最大值(2)约束条件都为等式方程，且右端常数项b i 都大于或等于零 (3)决策变量x j 为非负。
一般形式目标函数： max （min ） z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + c n x n约束条件： s.t. a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n ≤ （ =, ≥ ）b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n ≤ （ =, ≥ ）b 2…… …… a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n ≤ （ =, ≥ ）b mx 1 ，x 2 ，… ，x n ≥ 0 标准形式目标函数： max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + c n x n 约束条件： s.t. a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n = b 2 …… …… a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n = b mx 1 ，x 2 ，… ，x n ≥ 0，b i ≥04.线性问题的性质与判断 （1 ）线性规划可行域为凸集（2）最优解在凸集上某一顶点达到（特殊情况下为凸集的某条边）（3 ）可行域有界，则一定有最优解5.图解法与解的状况（1）图解法使用范围：仅有两个决策变量的LP（2）基本步骤：a.建立平面直角坐标系；b.将约束条件图解，求得满足约束条件的解的集合；c.作出目标函数的等值线，并根据优化要求，平移目标函数等值线，求出最优解。
运筹学复习
例如:max z=3x1+4x2-2x3+5x4 s.t 4x1-x2+2x3-x4=4
x1+x2+3x3-x4≤14 -2x1+3x2-x3+2x4≥3 x1≥0,x2≥2,x3≤0,x4:unr
线性规划的图解
– 画约束直线 – 确定满足约束条件的半平面 – 所有半平面的交集—凸多边形—线性规划的
• Max z=4x1+5x2+x3 S.t 3x1+2x2+x3≥18
2x1+x2 ≤ 4 x1+x2-x3 =5
X1,x2,x3 ≥0
线形规划问题的应用
• 某车间有一批长度为180cm的钢管,且数量充足.为制造 零件的需要,要将其截成三种不同长度的管料,分别为 72cm,52cm,35cm.生产任务规定这三种不同的需要量分 别不少于100,150和100根.问如何下料才能使消耗的钢 管数量最少?试建立此问题的线形规划模型.
单纯形表的运算
Step 0 获得一个初始的单纯形表，确定基变量和非基变量
Step 1 检查基变量在目标函数中的系数是否等于0，在约束条件 中的系数是否是一个单位矩阵
Step 2 如果表中非基变量在目标函数中的系数全为负数，则已得 到最优解。停止。否则选择系数为正数且绝对值最大的变 量进基。
Step 3 如果进基变量在约束条件中的系数全为负数或0，可行域 开放，目标函数无界。停止。否则选取右边常数和正的系 数的最小比值，对应的基变量离基。
x4=0 6
x2=0 9
最优解（x1,x2,x3,x4）=（8,2,0,0）
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一、填空1、运筹学构建模型的五种方法是：（直接分析法）、（类比法）、（数据分析法）、（试验分析法）及（构想法）。
2、一个图由点和边构成的则称之为（无向）图；如果一个图由点和弧构成的则称之为（有向）图；若某个边的两个端点实际上是一个点则称此边为（环）；如果两个点之间有多于一条的边则称这些边为（多重边）。
3、不确定型的决策由决策者的主观态度不用可以分为四种准则：即（悲观主义）准则、（乐观主义）准则、（等可能）准则和（最小机会损失）准则。
风险决策中常用的两种准则是（最大期望收益决策）准则和（最小机会损失决策）准则。
二、单选题：1、单纯性表的C B B¯¹A—C项是：B、行向量2、单纯性表B¯¹b项是：C、列向量3、网络计划图是一种工具，其目的是计算工程项目的：D、关键路径4、若线性规划问题有2个最优解，则：A、一定有无穷多最优解5、对动态规划的求解，正确的说法是：C、可以使用顺推法或逆推法6、对于2个变量的线性规划问题，正确的说法是：B、图解法和单纯型法都可以7、网络计划技术的作用是：D、缩短工期8、对于运输问题，M个产地，N个销地，则独立约束方程的个数是：A、m+n-19、对偶线性规划问题的经济解释是：D、影子价格10、已知若干件物品的重量和价值，选择物品装入背包，在不超过背包装载上限的条件下，如何使背包中总价值为最高，此问题的类别属于：B、0-1整数规划11、图的“一笔画”问题有解的必要条件是：A、只有2个奇点12、对于运输问题，下边说法正确的是：C、一定有最优解13、Dijkstra法解单源最短路径问题，下边结论正确的是：C、只能计算各点到源点间的距离14、沿公路铺设光纤将几个城市连接起来，如何使光纤长度最小，属于：A、最小支撑树问题15、下面方法中不是解决最小支撑树问题的为：D、标号法三、名词解释：1、动态规划中所说的决策：决策表示当过程处于某个阶段的某个状态时，可以做出不同的决定（或选择），从而确定下一阶段的状态。
2、动态规划中所说的策略：策略是一个按顺序排列的决策组成的集合。
3、松弛变量：为使不等式变为等式所加入的非负变量。
4、影子价格：资源增加单位量时，目标函数的增量。
5、虚工作：不占用时间和资源的工作。
四、叙述题：（看分、写字）1、简述运筹学应用中的6个原则：①合伙原则。
是指运筹学工作者要和各方面人，尤其是同实际部门工作者合作。
②催化原则。
在多学科共同解决某问题时，要引导人们改变一些常规的看法。
③互相渗透原则。
要求多部门彼此渗透地考虑问题，而不是只局限于本部门。
④独立原则。
在研究问题时，不应受某人或某部门的特殊政策所左右，应独立从事工作。
⑤宽容原则。
解决问题的思想要宽，方法要多，而不是局限于某种特定的方法。
⑥平衡原则。
要考虑各种矛盾的平衡，关系的平衡。
2、简述对偶线性规划中影子价格的算法和经济意义：用单纯法解线性问题，检验数中对应于非基变量的数值就是对偶线性规划问题的解，即影子价格，其经济意义是约束方程的约束值增加一个单位时，目标函数的增量。
3、试述不确定性决策中的Laplace准则：Laplace认为：在没有什么确切理由来说明这一事件比那一事件有更多发生机会时，只能认为各事件发生的机会是均等的，即每一事件发生的概率都是1/事件数。
4、叙述动态规划的基本思想：动态规划方法的关键在于正确地写出基本的递推关系式和恰当的边界条件（简言之为基本方程），要做到这一点，必须先将问题的过程分成几个相互联系的阶段，恰当地选取状态变量和决策变量及定义最优值函数，从而把一个大问题化成一族同类型的子问题，然后逐个求解。
即从边界条件开始，逐渐递推导优，在每一个子问题的求解中，均利用了它前面的子问题的最优化结果，依次进行，最后一个子问题所得的最优解，就是整个问题的最优解。
5、试述运筹学近年来的发展趋势：①软运筹学，软系统方法论，战略选择，问题结构法，超过策，生存模型等②软计算，遗传算法，模拟退火，神经网络，模糊逻辑，进化算法等五、计算题：3个分厂，个分厂得到设备后的盈利如下表:解：首先，取BC为组合：假设给BC组合1台机器：max﹛2，3﹜=3[0，1]假设给BC组合2台机器：max﹛4，2+3，6﹜=6[0，2]假设给BC组合3台机器：max﹛6，4+3，2+6，9﹜=9[0，3]假设给BC组合4台机器：max﹛8，6+3，4+6，2+9，9﹜=11[1，3]台分给A和BC组合：A，[BC]：max﹛9，7+3，4+6，3+9，11﹜=12[1，3]得:A=1，[BC]=3又因假设给BC组合3台机器：max﹛6，4+3，2+6，9﹜=9[0，3] 得：B=0，C=3答：A=1，B=0，C=3盈利值最大。
最大值max为12.解施工方案，使光缆总长度为最小（作对一种方法不给分）解1：避圈法由图得出：②，②-③，①-⑤；不选①-③，③-④，④-⑤。
得：权之和S=9+10+12+21=52。
答：选边①-④，①-②，②-③，①-⑤权之和为52 Array解2：破圈法任选一个封闭的回路①②③，在此回路中去掉一条最长的边①-③再选一个封闭的回路①④⑤，在此回路中去掉一条最长的边④-⑤最后一个封闭的回路①②③④，在此回路中去掉一条最长的边③-④图中已无回路，故已是最小支撑树得：权之和S=10+12+9+21=52答：选边①-④，①-②，②-③，①-⑤权之和为52。
解施工方案，使光缆总长度为最小（作对一种方法不给分）解1：避圈法 由图得：从最小权选取，避免连成一个完成的圈，故选①-③，④-⑥，②-⑤，③-⑥，③-⑤；不选①-④，①-②，⑤-⑥，③-④，②-③。
得：权之和S=1+2+3+4+5=15 答：选①-③，④-⑥，②-⑤，③-⑥，③-⑤，权之和为52。
（此图需画）解2：破圈法任选一个封闭的回路①④③，在此回路中去掉一条最长的边④-③ 再选一个封闭的回路①②③，在此回路中去掉一条最长的边②-③ 再选一个封闭的回路③⑤⑥，在此回路中去掉一条最长的边⑤-⑥ 再选一个封闭的回路①④⑥③，在此回路中去掉一条最长的边①-④ 最后一个封闭的回路①③⑤②，在此回路中去掉一条最长的边①-② 图中已无回路，故已是最小支撑树 得：权之和S=1+2+3+4+5=15答：选①-③，④-⑥，②-⑤，③-⑥，③-⑤，权之和为52。
4求下面网络图的关键线路及完工时间：（红色箭头及方格需要写的，写在图上就可以）答：关键路线①②⑤⑦。
完工时间18天。
5、从甲乙两个矿山向A 、B 、C 三个钢厂供应铁矿石，供应量、需求量和运费见表，求运费最小的运输方案及最小运费值（单位：T ）根据表格，选择最便宜的运输费用优先运输，得出方案见下表（表1）：找出数字格对应运费，见下表：1 2 3 R 1 R 2由上表可得：R1+K2=10 R1+K3=7 R2+K1=17 R2+K2=18 令R1=0 故，得出：K2=10,K3=7,R2=8,K1=9 根据运价表得：C11=14,C23=12， C11-R1-K1=14-0-9=5 C23-R2-K3=12-8-7=-3 故得下表：1 2 3 R 1=0 R 2=8因表中C23格数字为负，所以表1方案不是最优运输方案。
根据上表调整运输方案，见下表（表2）：1 2 3 R 1 R 2由上表可得：R1+K2=10 R1+K3=7 R2+K1=17 R2+K3=12 令R1=0 故，得出：K2=10,K3=7,R2=5,K1=12 根据运价表得：C11=14,C22=18， C11-R1-K1=14-0-12=2 C22-R2-K2=18-5-10=3 故得下表：1 2 3 R 1=0 R 2=5因上表中已无负数，故表2方案已是最优运输方案。
S=2500*10+1500*7+1000*17+2000*12=25000+10500+17000+24000=76500答：运费最小的运输方案为表2方案，甲往B 地运2500吨、往C 地运1500吨，乙往A 地运1000吨、往C 地运2000吨。
最小运费值为76500元。
6、 从A 、B 两个城市采购甲、乙、丙三种商品，商品的供应量、需求量和利润见表，求利润最大的方案 运价表：解：利用位势检查上表方案是否为最优解。
找出数字格对应运费，见下表：K 1 K 2 K 3 R 1 R 2由上表可得：R1+K3=15 R2+K1=16 R2+K2=11 R2+K3=14 令R2=0 故，得出：K1=16,K2=11,K3=14，R1=1 根据运价表得：C11=12,C12=13， C11-R1-K1=12-1-16=-5 C12-R1-K2=13-1-11=1 故得下表：1 2 3 R 1=1 R 2=0因表中C22格数字为正，所以表1方案不是最优运输方案。
根据上表调整运输方案，见下表（表2）：利用位势，检验表2是否为最优解：1 2 3 R 1 R 2由上表可得：R1+K2=13 R1+K3=15 R2+K1=16 R2+K3=14 令R1=0 故，得出：K2=13，K3=15，R2=-1,K1=17 根据运价表得：C11=12,C22=11， C11-R1-K1=12-0-17=-5C22-R2-K2=11-（-1）-13=-1 故得下表：K 1=17 K 2=13 K 3=15 R 1=0 R 2=-1因上表中已无正数，故表2方案已是最优运输方案。
S=150*13+50*15+100*16+200*14=1950+750+1600+2800=7100答：运费最小的运输方案为表2方案， A 城市采购乙产品150吨、C 产品50，B 城市采购甲产品100、C 产品200。
最小运费值为7100元。
7、求线性规划问题：maxZ=2X1+5X2X1≤4X2≤3X1+2X2≤8X1、X2≥0解：已知X1≤4，故X1最大值为4已知X2≤3，故X2最大值为3所以，在图中标出X2=3,X1=4两条直线有已知X1+2X2≤8所以：X1+2X2=8为X1+2X2的最大值（为画出X1+2X2，所以：）令X1=0，得X2=4 令X2=0，得X1=8所以连接（0，4）（8，0）两点因为Z=2X1+5X2所以导出：X2=Z/5-2/5*X1令X2=Y，X1=X；得出：Y=Z/5-2/5*X得出斜率为-2/5所以Z=2X1+5X2是斜率为-2/5的一条直线因为X1≤4X2≤3X1+2X2≤8所以maxZ=2X1+5X2（Z的最大值）在X1=4,X2=3,X1+2X2=8,3条直线之内由于Z=2X1+5X2斜率为-2/5X1+2X2=8 也同样令X2=Y，X1=X得出X+2Y=8，得出Y=4-1/2*X,斜率为-1/2X1+2X2=8斜率大于Z=2X1+5X2斜率所以，Z=2X1+5X2最大值为与X2的焦点由图可得，此线与X2=3的焦点为最大值所以根据X1+2X2≤8得X1+2*3=8（把X2=3带入）得：X1=2X2=3代于Z=2X1+5X2 Z=2*2+3*5=19 答：……。