2018年高考数学(文)二轮复习课件：第1部分+重点强化专题+专题5+突破点11 直线与圆
最新-2018高考数学二轮复习 专题六：第一讲直线与圆 文 课件 精品
④了解柱坐标系、球坐标系中表示空间点的位置的方法， 并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它 们的区别．
2．参数方程 ①了解参数方程，了解参数的意义． ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方 程．
基础梳理
1．极坐标系： 设M是平面上的任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线 OX为始边，射线OM为终边所成的角．那么有序数对________称 为点M的极坐标．其中ρ称为________，θ称为________. 约定：极点的极坐标是ρ＝0，θ可以取任意角． 2．直角坐标与极坐标的互化
的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0
B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0
D．x＋2y－1＝0
答案：(1)A (2)A
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两点间距离公式及点到直线的距离 公式的应用问题
掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条 平行直线间的距离．
基础梳理
二、两点间距离和点到直线的距离
1．两点间的距离公式
3xy3xy＝2yx2yx?
x＝
26y，所以ABDC＝3xy＝
6 6.
答案：(1)
6 6
(2)5
27
选考内容《坐标系与参数方程》
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1．坐标系 ①了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化 情况． ②能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解极坐标系 和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和 直角坐标的互化． ③能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点 或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标和平 面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适 当坐标系的意义．
Δ＞0
整合训练
高考数学二轮复习 第1部分 专题5 第1讲 直线与圆课件 理
5－－1 又kBD＝ ＝－1， 1－7 ∴直线BD的方程为y－5＝－(x－1)， 即x＋y－6＝0.②
2x－y＝0， 由①②得 x＋y－6＝0， x＝2， ∴ y＝4，
∴M(2,4)．
【答案】
(1)C
(2)(2,4)
若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线 4x－3y＝0和x轴相切，则圆C的标准方程是( A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－1)2＋(y－2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－1)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1 )
5．(圆的方程)(2013· 江西高考)若圆C经过坐标原点和点 (4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．
【解析】 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过
点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m)．又因为圆与直线y＝1 相切，所以 4－22＋0－m2 ＝|1－m|，所以m2＋4＝m2－
【答案】 C
R2－d2 ＝2，故直
4．(两直线的位置关系)已知直线l1：x－2my＋3＝0，直 线l2的方向向量为a＝(1,2)，若l1⊥l2，则m的值为________．
【解析】 由直线l2的方向向量为a＝(1,2)，知直线l2的
1 斜率k2＝2，∵l1⊥l2，∴直线l1的斜率存在，且k1＝2m， 1 由k1· k2＝－1，即2m· 2＝－1，得m＝－1. 【答案】 －1
32 25 3 2 2m＋1，解得m＝－ ，所以圆的方程为(x－2) ＋y＋2 ＝ . 2 4
【答案】
(x－2)
2
32 25 ＋y＋2 ＝ 4
(1)(2013· 济南调研)设a∈R，则“a＝1”是“直 线l1：ax＋2y＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( A．充分不必要条件 C．充分必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 )
2018高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆课件
又直线 l 经过 PQ 的中点(2，3)， 所以直线 l 的方程为 y－3＝x－2，即 x－y＋1＝0. 答案：(1)A (2)A
2．(2016· 山东卷)已知圆 M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0) 截直线 x＋y＝0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N： (x－1)2＋(y－1)2＝1 的位置关系是( A．内切 ) D．相离
B．相交 C．外切
解析：圆 M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)可化为 x2＋(y－ a a) ＝a ，由题意可知圆 M 到直线 x＋y＝0 的距离 d＝ ， 2
热点 1 直线方程 1．两条直线平行与垂直 若两条不重合的直线 l1， l2 的斜率 k1， k2 存在， 则 l1∥l2 ⇔k1＝k2， l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母 系数，则要考虑斜率是否存在．
2．求直线方程 要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式要 求直线不能与 x 轴垂直， 两点式方程不能表示垂直于坐标 轴的直线，截距式方程不能表示过原点的直线，也不能 表示垂直于坐标轴的直线．
(2)(2017· 山东实验中学二模)过点 P(2，3)的直线 l 与 x 轴，y 轴正半轴分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点， 则 S△OAB 的最小值为________．
解析：(1)当 a＝－2 时，l1：－2x＋2y－1＝0，l2：x －y＋4＝0，显然 l1∥l2. 当 l1∥l2 时，由 a(a＋1)＝2 得 a＝1 或 a＝－2， 所以 a＝－2 是 l1∥l2 的充分不必要条件．
2 2
2 a 所以有 a2＝ ＋2，解得 a＝2. 2
所以圆 M：x2＋(y－2)2＝22，圆心距为 2，半径和为 3，半径差为 1，所以两圆相交． 答案：B
2018届高考数学二轮复习 第一部分 层级二 75分的重点保分题精析精研 保分专题(八)直线与圆讲义 文
(2)(2016·浙江高考)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y ＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
[解析] 由二元二次方程表示圆的条件可得 a2＝a＋2，解 得 a＝2 或－1.当 a＝2 时，方程为 4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0， 即 x2＋y2＋x＋2y＋52＝0，配方得x＋122＋(y＋1)2＝－54＜0， 不表示圆；
[典例] (1)“c＝5”是“点(2,1)到直线 3x＋4y＋c＝0 的距离
为 3”的
()
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 [ 解 析 ] 由 点 (2,1)到 直 线 3x＋ 4y＋ c＝ 0 的 距 离 d ＝
|6＋324＋＋4c2|＝3，解得 c＝5 或 c＝－25，故“c＝5”是“点(2,1)
A．3条 B．2条 C．1条 D．0条
解析：由题意可设直线l的方程为 xa
＋
y b
＝1(a<0，b>0)，
于是
－a2＋2b＝1，
12－a·b＝8，
解得－a＝b＝4，故满足条件的
直线l一共有1条． 答案：C
3．已知a≠0，直线ax＋(b＋2)y＋4＝0与直线ax＋(b－2)y－3
＝0互相垂直，则ab的最大值为
＝2 3 ，点C到直线y＝x＋2a，即x－y＋2a＝0的距离d＝
|0－a＋2a|＝ 2
|a2| ，由勾股定理得2
2
32＋
|a2| 2＝a2＋2，解得a2
＝2，所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.
[答案] 4π
(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：x－ 3 y＋6＝0与圆x2＋y2 ＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D 两点，则|CD|＝________.
南京市2018届高三数学二轮专题复习资料专题11直线与圆圆与圆
专题11：直线与圆、圆与圆问题归类篇类型一：圆的方程一、前测回顾1.经过三点A (4，3)，B (5，2)，C (1，0)的圆的方程为 ．2.一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 ．3.已知圆C 的圆心位于第二象限且在直线y ＝2x ＋1上，若圆C 与两个坐标轴都相切，则圆C 的标准方程是 ______.答案：1. x 2＋y 2－6x －2y ＋5＝0 2. (x ±32) 2＋y 2＝254; 3. ⎝⎛⎭⎫x ＋132＋⎝⎛⎭⎫y －132＝19 二、方法联想求圆的方程方法1：三点代入圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，求解D 、E 、F ． 方法2：三角形两边的垂直平分线交点为圆心． 方法3：直角三角形外接圆的直径为斜边．优先判断三角形是否为直角三角形，若为直角三角形，用方法3；若只涉及圆心，可用方法2；方法1可直接求出圆心和半径． 三、归类巩固*1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点C (t ，2t )(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆过原点O,直线2x ＋y －4＝0 与圆C 交于M,N 两点，若OM ＝ON,则圆C 的标准方程为 .(利用直线OC 与已知直线垂直求出圆心，利用线圆位置关系舍一解 ) 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝5.**2．在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ，则C 的方程是________．(三点代入圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，求解D 、E 、F ；设而不求法求外接圆方程) 答案： x 2＋y 2＋2x －( b ＋1) y ＋b ＝0***3．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点M (4,0)，过原点的直线(不与 x 轴重合)与圆O 交于A ，B 两点，则△ABM 的外接圆的面积的最小值为________． (求外接圆半径的最值) 答案：254π类型二：直线与圆相切问题一、 前测回顾1.过点P (1，0)作圆C ： (x －4)2＋(y －2)2＝9的两条切线，切点分别为A 、B ，则切线方程为 ； 切线长P A 为 ；直线AB 的方程为 ．2.经过点A (4，－1)，且与圆：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0相切于点B (1，2)的圆的方程为 ．3.圆C 1:x 2＋y 2＝16与C 2:(x －4)2+(y ＋3)2＝r 2(r >0)在交点处的切线互相垂直,则r ＝ ． 答案：(1) x ＝1或5x ＋12y －5＝0；2；3x ＋2y －7＝0． (2)(x －3)2＋(y －1)2＝5．(3)3 二、方法联想 相切问题 (1) 位置判断：方法1：利用d ＝r ；方法2：在已知切点坐标的情况下，利用圆心和切点的连线与切线垂直．(2)如图，在Rt △P AC 中，切线长P A ＝PC 2－R 2； 当圆外一点引两条切线时，(1)P 、A 、B 、C 四点共圆(或A 、B 、C 三点共圆)，其中PC 为直径； (2)两圆的方程相减可得切点弦的直线方程．(3)PC 为∠APB 的平分线，且垂直平分线段AB ． 三、归类巩固*1．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．(已知直线与圆相切，圆心到直线的距离即为半径，求半径的最值；或者紧扣直线过定点解题) 答案：(x －1)2＋y 2＝2．**2.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 的长的取值范围是________．(直线与圆相切时，利用所得到的直角三角形，向点与圆心的距离问题转化)答案：[2314,22)**3 .已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点．若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 横坐标的取值范围是__________． (∠BAC 最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题) 答案：[1，5]***4.平面直角坐标系xOy 中，点P 在x 轴上，从点P 向圆C 1：x 2＋(y －3)2＝5引切线，切线长为d 1，从点P 向圆C 2：(x －5)2＋(y ＋4)2＝7引切线，切线长为d 2，则d 1＋d 2的最小值为_____．(求切线长问题再利用数形结合思想解决最值问题)答案：5 2解：设点P (x ，0)，则d 1＝x 2＋(－3)2－5，d 2＝(x －5)2＋42－7，d 1＋d 2＝x 2＋4＋(x －5)2＋9， 几何意义：点P (x ，0)到点M (0，2)，N (5，－3)的距离和．当M ，P ，N 三点共线时，d 1＋d 2有最小值52，此时P (2，0) 类型三：直线与圆的相交问题 一、 前测回顾1.已知过定点P (1，2)的直线l 交圆O ：x 2＋y 2＝9于A ，B 两点，若AB ＝42，则直线l 的方程为 ； 当P 为线段AB 的中点时，则直线l 的方程为 ．2.已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(－1，4)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 ．答案：＝1或3x －4y ＋5＝0；x ＋2y －5＝0．;二、方法联想 相交弦问题直线与圆的位置关系判断方法： 代数法和几何法.(1) 圆心角θ、弦长L 、半径R 和弦心距d 中三个量可以建立关系式．如：(L2)2＋d 2＝R 2，d ＝R cos θ2，L 2＝R sin θ2．(2)相交弦的垂直平分线过圆心．(3)过圆内一定点，最长的弦为直径，最短的弦与过定点的直径垂直． 三、归类巩固*1.直线l 1：y ＝kx ＋3与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若MN ≥23，则k 的的取值范围是________．(已知弦长范围，求参数取值范围)答案： [－33,33]*2.过点P (－4,0)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝5相交于A ,B 两点,若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为________．(已知弦的性质，求直线方程) 答案：x ±3y ＋4＝0**3.已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线交x 轴于C ，D 两点，若AB ＝23，则CD ＝ ． (已知弦长，求直线方程及有关量的取值) 答案：4***4.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x ＋1)2＋(y －6)2＝25，圆C 2：(x －17)2＋(y －30)2＝r 2.若圆C 2上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆C 1依次交于点A ，B ，满足P A ＝2AB ，则半径r 的取值范围是________．(已知两弦长关系求参数范围问题) 答案：[5，55]类型四：圆上点到直线或点的距离问题一、 前测回顾1.已知实数x,y 满足x 2＋y 2＝4， 则(x －3)2＋(y －4)2的范围是 .2.圆C ：x 2＋(y －2)2＝R 2(R ＞0)上恰好存在2个点，它到直线y ＝3x －2上的距离为1，则R 的取值范围为 ．答案：1. [9，49]; ＜R ＜3． 二、方法联想 圆上的点到直线的距离(1)当直线与圆相离时，圆上点到直线距离，在点A 处取到最大值d ＋R ，在点B 取到最小值d －R ．(2)当直线与圆；在圆外时，圆上的点到点的最大距离是d ＋R ，最小距离是d －R ．(1) 当点在圆内时，圆上的点到点的最大距离是d ＋R ，最小距离是R －d . 圆上的点到点的距离(1)当已知点在圆外时，圆上点到已知点距离最大值d ＋R ，最小值d －R ．(2) 当已知点在圆内时，圆上的点到点的最大距离是d ＋R ，最小距离是R －d . 三、 归类巩固 *1.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2=4上有且仅有四个点到直线12x -5y +c =0的距离为1，则实数c 的取值范围是 .答案：（－13，13）(已知圆上点到直线距离求参数范围)**2.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5 ，圆C 与y 轴交于点O,B ，其中O 为原点．设P 为直线l:x ＋y ＋2＝0上的动点，Q 为圆C 上的动点，求PB+PQ 的最小值及此时点P 的坐标．答案：PB+PQ 的最小值为25,此时P 点坐标为(－43，－23)(考查点圆距离与点线距离的综合问题)类型五：两圆的位置关系问题一、 前测回顾1.已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若两圆相交，实数C B Am 的取值范围为 ．2.已知圆O 1：x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，圆O 2：x 2＋y 2－6x ＋2y ＋6＝0，则两圆的公共弦长度为 ．答案：1.－5＜m ＜－2或－1＜m ＜2;．二、方法联想位置关系 d 与r 1，r 2的关系公切线条数外离 d ＞r 1＋r 2 4 外切 d ＝r 1＋r 2 3 相交 |r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 22 内切 d ＝|r 1－r 2| 1 内含0＜d ＜|r 1－r 2|两圆相交问题(1)两圆的方程相减可得相交弦的直线方程．(2)两圆相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦． 两圆相切问题两圆相切时，两圆圆心的连线过两圆的切点． 三、归类巩固*1. 若两点A (1，0)，B (3，23)到直线l 的距离均等于1，则直线l 的方程为 ． (转化为两圆位置关系看公切线条数或者研究直线与线段A B 平行和过线段A B 中点两种情况) 答案：3x －y ＋2－3＝0或3x －y －2－3＝0或x －3y ＋1＝0或x －2＝0.**2.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A ，B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为________．(已知两圆位置关系，求参数取值范围) 答案：[－34,＋∞)***3.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线x ＋3y －b ＝0上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B ，若满足PB ＝2P A 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．(已知两圆切线长的关系，求参数取值范围) 答案： (－203,4)综合应用篇一、例题分析例1．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 上一点P （0，2）到椭圆C 的右焦点的距离为6． *（1）求椭圆C 的方程；***（2）过点P 作互相垂直的两条直线l 1，l 2，且l 1交椭圆C 于A ，B 两点，直线l 2交圆Q 于C ，D 两点，且M 为CD 的中点，求△MAB 的面积的取值范围．解：(1)x 28＋y 24＝1(2) 记△MAB 的面积为S ，当直线l 1的斜率不存在时，可求得S ＝4.当直线l 1的斜率存在时，设为k (k ≠0),则l 1:y ＝kx ＋2，l 2:y ＝－1k x ＋ 2 设A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2) 由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1y ＝kx ＋2得(1＋2k 2)x 2＋42kx －4＝0 ，则x 1＋x 2＝－42k 1＋2k 2，x 1x 2＝－41＋2k 2， AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝4(1＋k 2)(4k 2＋1)2k 2＋1又圆心Q (2，2)到l 2的距离d 1＝21＋k2＜2 ，得k 2＞1又MP ⊥AB ，QM ⊥CD ，所以M 点到AB 的距离等于Q 点到AB 的距离，设为d 2，即 d 2＝|2k －2＋2|1＋k 2＝2|k |1＋k2所以△MAB 面积S ＝12|AB |d 2＝4|k |4k 2＋12k 2＋1＝4k 2(4k 2＋1)(2k 2＋1)2令t ＝2k 2＋1∈(3，＋∞)，，则1t∈(0，13)，S ＝42t 2－3t ＋12t 2＝412(1t －32)2－18∈(453，4)， 综上，MAB ∆面积的取值范围为(453，4].〖教学建议〗（1）问题归类与方法： 1.相交弦问题直线与圆的位置关系判断方法： 代数法和几何法.○1圆心角θ、弦长L 、半径R 和弦心距d 中三个量可以建立关系式． 如：(L2)2＋d 2＝R 2，d ＝R cos θ2，L 2＝R sin θ2．○2相交弦的垂直平分线过圆心． 2.直线与椭圆的位置关系 3.换元法求函数的最值（2）方法选择与优化：本题计算面积时求高的方法不同，导致解题的繁简程度不同，答案中巧妙的运用圆的几何性质避开求M 点坐标，也可以利用勾股定理求高22,MQ PM PQ MQ =-即是点Q 到PD 的距离，此题也可以设直线PD 的斜率为k ，简化PM 的形式.例2．在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知A 1、A 2、B 1、B 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的四个顶点，△A 1B 1B 2是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆M.* (1) 求椭圆C 及圆M 的方程；(2) 若点D 是圆M 劣弧A 1B 2︵上一动点(点D 异于端点A 1、B 2)，直线B 1D 分别交线段A 1B 2、椭圆C 于点E 、G ，直线B 2G 与A 1B 1交于点F.* * * (ⅰ) 求GB 1EB 1的最大值；* * (ⅱ) 试问：E 、F 两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．解：(1) 由题意知，B 2(0，1)，A 1(－3，0)， 所以b ＝1，a ＝3，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.易得圆心M ⎝⎛⎭⎫－33，0，A 1M ＝233，所以圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋332＋y 2＝43. (2) 设直线B 1D 的方程为y ＝kx －1⎝⎛⎭⎫k ＜－33，与直线A 1B 2的方程y ＝33x ＋1联立，解得点E(233k －1，3k ＋13k －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 23＋y 2＝1，消去y 并整理，得(1＋3k 2)x 2－6kx ＝0，解得点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 3k 2＋1，3k 2－13k 2＋1，(ⅰ) GB 1EB 1＝|x G ||x E |＝|6k 3k 2＋1||233k －1|＝3k 2－3k3k 2＋1＝1－3k ＋13k 2＋1＝1＋1－（3k ＋1）＋2－（3k ＋1）＋2≤1＋122＋2＝2＋12，当且仅当k ＝－6＋33时，取“＝”，所以GB 1EB 1的最大值为2＋12.(ⅱ) 直线B 2G 的方程为y ＝3k 2－13k 2＋1－16k 3k 2＋1x ＋1＝－13k x ＋1，与直线A 1B 1的方程y ＝－33x －1联立，解得点F(－6k 3k －1，3k ＋13k －1)， 所以E 、F 两点的横坐标之和为233k －1＋－6k 3k －1＝－2 3.故E 、F 两点的横坐标之和为定值，该定值为－2 3.〖教学建议〗 （1） 问题归类与方法： 1.求圆的方程方法1：三点代入圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，求解D 、E 、F ． 方法2：三角形两边的垂直平分线交点为圆心． 方法3：直角三角形外接圆的直径为斜边． 2.联立两直线方程求交点坐标 3.共线或平行的弦长比转化为坐标之比 4.利用基本不等式求函数最值（2）方法选择与优化：（1）问中求圆的方程方法1与2都可以，考虑到正三角形直接求重心即圆心，得圆标准方程比较快些，本问椭圆易错成“a ＝2”；（2）问中斜率k 的范围易错，以斜率k 为自变量时，利用基本不等式求函数最值，或者导数法.也可以借助椭圆参数方程设G (3cos α，sin α)(π2＜α＜π) , 上面的方法中的k ＝k GB 1＝sin α＋13cos α，最后GB 1EB 1＝sin α－cos α＋12＝2sin(α－π4)＋12形式比较简洁,此法也可以参考.例3.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E :x 22＋y 2＝1 ，如图，动直线l ：13y k x =交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且122k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率. 解：设A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1y ＝k 1x －32得(4k 21＋2)x 2－43k 1x －1＝0，由题意知△＞0，且x 1＋x 2＝23k 12k 21＋1，x 1x 2＝－12(2k 21＋1)，所以|AB |＝1＋k 21|x 1－x 2|＝21＋k 211＋8k 212k 21＋1 .由题意可知圆M 的半径r 为r ＝2231＋k 121＋8k 122k 12＋1由题设知k 1k 2＝24，所以k 2＝24k 1因此直线OC 的方程为y ＝24k 1x .联立方程⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1y ＝24k 1x 得x 2＝8k 211＋4k 21，y 2＝11＋4k 21，因此|OC |＝x 2＋y 2＝1＋8k 211＋4k 21. 由题sin ∠SOM ＝r r ＋OC＝11＋OC rOC r ＝OC 23AB ＝1＋8k 211＋4k 21·32121＋k 211＋8k 212k 21＋1＝322k 21＋14k 21＋12k 21＋2 ≥322k 21＋1(4k 21＋1)＋(2k 21＋2)2＝32×23＝1 当且仅当4k 21＋1＝2k 21＋2 即k 1＝±22取等 当OC r ＝1 时，(sin ∠SOM )max ＝12 ，y ＝sin x 在(0，π2) 上单调增，(∠SOT )max ＝π6(∠SOT )max ＝π3综上∠SOT 最大值为π3 ，取得最大值时直线l 的斜率为±22.〖教学建议〗（1）问题归类与方法： 1.相切问题如图，当圆外一点引两条切线时，在Rt △P AC 中. PC 为∠APB 的平分线，且垂直平分线段AB ． 2. 直线与二次曲线的弦长公式.3.利用换元法或基本不等式法等求函数最值.（2）方法选择与优化：求函数最值时可以通过换元法令t ＝1＋2k 21(t ＞1) 最终化为OC r ＝321－(1t －12)2＋94 此方法比较基本.当然也可以分子分母展开后利用分离常数法求最值。
2018届高考数学二轮复习直线与圆专题突破讲义学案文(全国通用)
第1讲 直线与圆考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.热点一 直线的方程及应用 1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． 3．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2(A 2＋B 2≠0)． (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(A 2＋B 2≠0)．例1 (1)(2017届咸阳二模)已知命题p ：“m ＝－1”，命题q ：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”，则命题p 是命题q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 命题q 中，直线x ＋m 2y ＝0 的斜率是－1, 所以－1m2＝－1，解得m ＝±1.所以命题p 是命题q 成立的充分不必要条件．故选A.(2)(2017届南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为________． 答案 3 2解析 由题意，得直线l 1：kx －y ＋2＝0的斜率为k ，且经过点A ()0，2，直线l 2：x ＋ky －2＝0的斜率为－1k，且经过点B ()2，0，且直线l 1⊥l 2，所以点P 落在以AB 为直径的圆C 上，其中圆心坐标为C ()1，1，半径为r ＝2， 则圆心到直线x －y －4＝0的距离为d ＝||1－1－42＝22，所以点P 到直线x －y －4＝0的最大距离为d ＋r ＝22＋2＝3 2.思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况． (2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．跟踪演练1 (1)(2017²杭州质检)设k 1, k 2分别是两条直线l 1, l 2的斜率，则“l 1∥l 2”是“k 1＝k 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 因为l 1，l 2是两条不同的直线，所以若l 1∥l 2， 则k 1＝k 2，反之，若k 1＝k 2，则l 1∥l 2.故选C.(2)已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( ) A ．0或－12 B.12或－6C ．－12或12D ．0或12答案 B解析 依题意，得|3m ＋5|m 2＋1＝|－m ＋7|m 2＋1，所以|3m ＋5|＝|m －7|. 所以(3m ＋5)2＝(m －7)2， 整理得2m 2＋11m －6＝0. 所以m ＝12或m ＝－6.热点二 圆的方程及应用 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．例2 (1)(2017届重庆市第八中学月考)若圆C 与y 轴相切于点P (0，1)，与x 轴的正半轴交于A ，B 两点，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程是( ) A.()x ＋22＋()y ＋12＝2B.()x ＋12＋()y ＋22＝2C.()x －22＋()y －12＝2D.()x －12＋()y －22＝2答案 C解析 设AB 的中点为D ，则|AD |＝|CD |＝1， ∴r ＝|AC |＝2，∴C ()2，1，故选C.(2)若圆C 过点(0，1)，(0，5)且圆心到直线x －y －2＝0的距离为22，则圆C 的标准方程为______________．答案 (x －9)2＋(y －3)2＝85或(x －1)2＋(y －3)2＝5解析 依题意，设圆C 的方程为(x －a ) 2＋(y －3) 2＝r 2(r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4＝r 2，||a －52＝22，解得a ＝9，r 2＝85或a ＝1, r 2＝5，故圆C 的方程为(x －9)2＋(y －3)2＝85或(x －1)2＋(y －3)2＝5.思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法(1)几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． (2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数． 跟踪演练2 (1)圆心为()4，0且与直线3x －y ＝0相切的圆的方程为( ) A.()x －42＋y 2＝1 B.()x －42＋y 2＝12C.()x －42＋y 2＝6 D.()x ＋42＋y 2＝9答案 B解析 由题意可知，圆的半径为点到直线的距离，即r ＝d ＝||3³4－03＋1＝2 3 ，结合圆心坐标可知，圆的方程为()x －42＋y 2＝12 .(2)(2016²浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________． 答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆． 热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法． (1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d <r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d >r ⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0. 2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21，圆C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22，两圆心之间的距离为d ，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下： (1)d >r 1＋r 2⇔两圆外离． (2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切． (3)|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆相交． (4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切． (5)0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．例3 (1)(2017²天津市河东区二模)若a ，b ∈R ，直线l ：y ＝ax ＋b ，圆C ：x 2＋y 2＝1.命题p ：直线l 与圆C 相交；命题q ：a >b 2－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 因为直线与圆相交，所以圆心到直线的距离小于半径，即||b a 2＋1<1 ，可得|b |<a 2＋1 ，此时a >b 2－1不一定成立(a 可能为负数)；若a >b 2－1 ，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2≥1，a 2>b 2－1，即b 2<a 2＋1⇒|b |<a 2＋1，即直线l 与圆C 相交．所以p 是q 的必要不充分条件，故选B.(2)(2017²银川模拟)已知圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：x 2＋y 2＋6x －8y ＋16＝0，则圆C 1和圆C 2的位置关系是( )A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切 答案 B解析 化圆C 2的方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝9，则圆C 1与C 2的圆心距为32＋42＝5＝r 1＋r 2，所以圆C 1和圆C 2外切，故选B.思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．跟踪演练3 (1)圆C: ()x ＋12＋y 2＝6与直线x ＋y ＋3＝0相交于A ，B 两点，则||AB 等于( )A ．2B ．4 C. 2 D ．2 2 答案 B解析 因为圆心坐标为C ()－1，0，半径r ＝6，所以圆心到直线x ＋y ＋3＝0的距离d ＝||－1＋0＋32＝2，由弦心距、半径、弦长之间的关系可得弦长 ||AB ＝2()62－(2)2＝4，故选B.(2)(2017²西宁复习检测)如果圆(x －a ) 2＋(y －a ) 2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是( )A.(－3，－1)∪(1，3)B.(－3，3)C.[－1，1]D.[－3，－1]∪[1，3]答案 D解析 圆心()a ，a 到原点的距离为||2a ，半径r ＝22，圆上的点到原点的距离为d .因为圆()x －a 2＋()y －a 2＝8上总存在点到原点的距离为2，则圆()x －a 2＋()y －a 2＝8与圆x2＋y 2＝2有公共点，r ′＝2，∴r －r ′≤||2a ≤r ＋r ′，即1≤||a ≤3，解得1≤a ≤3或。
2018年高考数学二轮复习专题五第1讲直线与圆案文
第1讲 直线与圆高考定位 1.直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考的重点；2.考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题.真 题 感 悟1.(2016²全国Ⅱ卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A.－43B.－34C. 3D.2解析 圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0化为标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故圆心为(1，4). 由题意得d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.答案 A2.(2016²山东卷)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切D.相离解析 圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)可化为x 2＋(y －a )2＝a 2， 由题意，d ＝a2，所以有a 2＝a 22＋2，解得a ＝2.所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝22，圆心距为2，半径和为3，半径差为1，所以两圆相交. 答案 B3.(2016²全国Ⅰ卷)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.解析 圆C 的标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，点C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆C的面积为π(a 2＋2)＝4π. 答案 4π4.(2017²天津卷)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________. 解析 由题意知该圆的半径为1，设圆心C (－1，a )(a >0)，则A (0，a ). 又F (1，0)，所以AC → ＝(－1，0)，AF →＝(1，－a ).由题意知AC → 与AF → 的夹角为120°，得cos 120°＝－11³1＋a2＝－12，解得a ＝ 3. 所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1. 答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝1考 点 整 合1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.(2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r .(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F2.4.直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离.(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离.热点一 直线的方程【例1】 (1)设a ∈R ，则“a ＝－2”是直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2017²山东省实验中学二模)过点P (2，3)的直线l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则S △OAB 的最小值为________.解析 (1)当a ＝－2时，l 1：－2x ＋2y －1＝0，l 2：x －y ＋4＝0，显然l 1∥l 2. 当l 1∥l 2时，由a (a ＋1)＝2且a ＋1≠－8得a ＝1或a ＝－2， 所以a ＝－2是l 1∥l 2的充分不必要条件.(2)依题意，设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0). ∵点P (2，3)在直线l 上.∴2a ＋3b＝1，则ab ＝3a ＋2b ≥26ab ，故ab ≥24，当且仅当3a ＝2b (即a ＝4，b ＝6)时取等号. 因此S △AOB ＝12ab ≥12，即S △AOB 的最小值为12.答案 (1)A (2)12探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.【训练1】 (1)(2017²贵阳质检)已知直线l 1：mx ＋y ＋1＝0，l 2：(m －3)x ＋2y －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________.解析 (1)“l 1⊥l 2”的充要条件是“m (m －3)＋1³2＝0⇔m ＝1或m ＝2”，因此“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件.(2)当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大. ∵A (1，1)，B (0，－1)，∴k AB ＝－1－10－1＝2.∴两平行直线的斜率k ＝－12.∴直线l 1的方程是y －1＝－12 (x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案 (1)A (2)x ＋2y －3＝0 热点二 圆的方程【例2－1】 (1)(2016²天津卷)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________.(2)(2015²全国Ⅰ卷)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.解析 (1)∵圆C 的圆心在x 的正半轴上，设C (a ，0)，且a >0. 则圆心C 到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2a －0|5＝455，解得a ＝2.∴圆C 的半径r ＝|CM |＝（2－0）2＋（0－5）2＝3，因此圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9. (2)由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，(－4，0)，(4，0).由圆心在x 轴的正半轴上知圆过顶点(0，2)，(0，－2)，(4，0). 设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，（4－m ）2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254，所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254探究提高 1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.2.待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值.温馨提醒 解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.【训练2】 (1)(2017²河南部分重点中学联考)圆心在直线x ＝2上的圆与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则该圆的标准方程为________________.(2)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得的弦的长为23，则圆C 的标准方程为________.解析 (1)易知圆心的纵坐标为－4＋（－2）2＝－3，所以圆心坐标为(2，－3).则半径r ＝（2－0）2＋[（－3）－（－2）]2＝5， 故所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.(2)设圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2(a >0)，半径为a .由勾股定理得(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝a 2，解得a ＝2.所以圆心为(2，1)，半径为2，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案 (1)(x －2)2＋(y ＋3)2＝5 (2)(x －2)2＋(y －1)2＝4. 热点三 直线与圆的位置关系 命题角度1 圆的切线问题【例3－1】 (2017²郑州调研)在平面直角坐标系xOy 中，以点A (1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________.解析 直线mx －y －2m －1＝0恒过定点P (2，－1)，当AP 与直线mx －y －2m －1＝0垂直，即点P (2，－1)为切点时，圆的半径最大，∴半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2. 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2. 答案 (x －1)2＋y 2＝2命题角度2 圆的弦长相关计算【例3－2】 (2017²全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1).当m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. (1)解 不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足方程x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1²－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况.(2)证明 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m2， ①y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22， ②又x 22＋mx 2－2＝0，③由①②③解得x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.探究提高 1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.2.与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.【训练3】 (1)(2017²泉州质检)过点P (－3，1)，Q (a ，0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为______.(2)(2016²全国Ⅲ卷) 已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________. 解析 (1)点P (－3，1)关于x 轴的对称点为P ′(－3，－1)， 所以直线P ′Q 的方程为x －(a ＋3)y －a ＝0. 依题意，直线P ′Q 与圆x 2＋y 2＝1相切. ∴|－a |12＋（a ＋3）2＝1，解得a ＝－53. (2)由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0，0)，半径r ＝23， ∴圆心(0，0)到直线x －3y ＋6＝0的距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3. ∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0，∴直线l 的倾斜角∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°，因此|CD |＝|CE |sin 60°＝23sin 60°＝4.答案 (1)－53(2)41.解决直线方程问题应注意：(1)要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直.而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线. (2)求直线方程要考虑直线斜率是否存在.(3)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性. 2.求圆的方程两种主要方法：(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程.(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程.3.直线与圆相关问题的两个关键点(1)三个定理：切线的性质定理、切线长定理和垂径定理.(2)两个公式：点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2，弦长公式|AB |＝2r 2－d 2(弦心距d ). 4.直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量.研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离与半径的比较来实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较.(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理计算.一、选择题1.(2017²昆明诊断)已知命题p ：“m ＝－1”，命题q ：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”，则命题p 是命题q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要解析 “直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”的充要条件是1³1＋ (－1)²m 2＝0⇔m ＝±1.∴命题p 是命题q 的充分不必要条件. 答案 A2.过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A.2x ＋y －5＝0B.2x ＋y －7＝0C.x －2y －5＝0D.x －2y －7＝0解析 依题意知，点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点. ∵圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为12，所以切线的斜率k ＝－2.故圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. 答案 B3.(2017²济南调研)若直线x －y ＋m ＝0被圆(x －1)2＋y 2＝5截得的弦长为23，则m 的值为( ) A.1 B.－3 C.1或－3D.2解析 ∵圆(x －1)2＋y 2＝5的圆心C (1，0)，半径r ＝ 5. 又直线x －y ＋m ＝0被圆截得的弦长为2 3. ∴圆心C 到直线的距离d ＝r 2－（3）2＝2， 因此|1－0＋m |12＋（－1）2＝2，∴m ＝1或m ＝－3.答案 C4.(2015²全国Ⅱ卷)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213C.253D.43解析 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∴⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，因此圆心到原点的距离d ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.答案 B5.(2017²衡水中学模拟)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，则过点P (2，－1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )A.1031B.921C.1023D.911解析 易知最长弦为圆的直径10，又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC |＝2， ∴最短弦的长为2r 2－|PC |2＝225－2＝223， 故所求四边形的面积S ＝12³10³223＝1023.答案 C 二、填空题6.(2017²广安调研)过点(1，1)的直线l 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，当|AB |＝4时，直线l 的方程为________.解析 易知点(1，1)在圆内，且直线l 的斜率k 存在，则直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即kx －y ＋1－k ＝0.又|AB |＝4，r ＝3，∴圆心(2，3)到l 的距离d ＝32－22＝ 5. 因此|k －2|k 2＋（－1）2＝5，解得k ＝－12.∴直线l 的方程为x ＋2y －3＝0. 答案 x ＋2y －3＝07.(2017²北京卷)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO → ²AP →的最大值为________.解析 法一 由题意知，AO → ＝(2，0)，令P (cos α，sin α)，则AP →＝(cos α＋2， sin α).AO → ²AP → ＝(2，0)²(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，故AO → ²AP →的最大值为6. 法二 由题意知，AO →＝(2，0)，令P (x ，y )，－1≤x ≤1，则AO → ²AP → ＝(2，0)²(x ＋2，y )＝2x ＋4≤6，故AO → ²AP →的最大值为6. 答案 68.(2017²菏泽二模)已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线l ：y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦长最短时，直线l 方程为________. 解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝9， ∴圆C 的圆心C (4，1)，半径r ＝3.又直线l ：y ＝a (x －3)过定点P (3，0)，则当直线y ＝a (x －3)与直线CP 垂直时，被圆C 截得的弦长最短.因此a ²k CP ＝a ²1－04－3＝－1，∴a ＝－1. 故所求直线l 的方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.答案 x ＋y －3＝0三、解答题9.已知点A (3， 3)，B (5，2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程.解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P (1，2). ①若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB .而k AB ＝3－23－5＝－12， 由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)， 即x ＋2y －5＝0.②若点A ，B 分别在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52， 由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1， 即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0.10.(2015²全国Ⅰ卷)已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点.(1)求k 的取值范围；(2)若OM → ²ON → ＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73. 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM → ²ON →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1， 所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.11.(2016²江苏卷节选)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4).(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程. 解 (1)圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6，7)，半径为5，(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0).因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2³6－7＋m |5＝|m ＋5|5.因为|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，又|MC |2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22，所以25＝（m ＋5）25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.。
高三数学二轮复习直线与圆课件(共34张PPT)
y2
10 3
ax
a2
0
①
又因为AD是 A 的平分线，所以 BD AB 2 , D（a , 0）
DC AC
3
又 AD kAC ,而 AC2 （x a)2 y2， AD2 （x a )2 y2
k2
AD2 AC 2
(x a)2 y2 3
(x a)2 y2
②
3
y A
①代入②化简得 k 2 2 2a ， 3x
例4、在 ABC 中,AB=2AC,AD是∠A的平分线.且AD=kAC，求k的取值范围.
解法1（常规）：设AC=1,则AB=2,AD=k,由三角形内角平分线的性质可
得, BD 2 BC, CD 1 BC .
3
3
由余弦定理可得, 4 BC2 4 k2 4k cos A
1
，
BC
2
1 k 2 2k cos A
直线、圆或将两种元素结合在一起综合考查。如： 直线的平行或垂直判定，直线系方程，直线的对 称问题，直线与圆的相切、相交等问题。
如:
• 1.（2016年全国Ⅲ卷16题）已知直线 ax y 1 0 与圆 x2 y2 12 交于A、 B两点，过A、B分别作L的垂线 与x轴交于C、D两点.若 AB 2 3 ，则 CD =________.
2
故 SABC
的最
大值为 2 2
y C
A
x
OB
小结：
解法1用余弦定理将面积转化为边长的齐二次函 数，再用二次函数最值求解，运算复杂；解法2 看出三角题中隐藏着阿波罗尼斯圆，应用面积最 大即高取圆的半径时最大，巧妙化解难点，使原 本复杂的运算变得简单。解法1是常规解法，但 解法2更本质，充分体现了在解小题时要多想少 算。