关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用
2021年中考复习讲义初中几何典型模型一：一线三垂直模型
初中数学典型模型之一： “三垂直模型”介绍总体解题思路：只要出现此典型图形，一般都要证三角形全等或相似，再根据全等或相似性质解题.（一）基本图形： 1.“三垂”例1.如图，矩形ABCD 中，E 在AD 上，且EF ⊥EC ，EF=EC ，DE=2，矩形的周长为16，则AE=__ 解析：如图1，典型的“三垂直模型”，由于有等边（EF=EC ）先证△AEF ≌△DCE ， ∴AE=DC ，∴AD-DC=2，∵AD+DC=8，∴AD=5，DC=3，∴AE=3例2.一块矩形木板ABCD ，长AD=3cm,宽AB=2cm,小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C 上，另一条直角边与AB 边交于点E ，三角板的直角顶点P 在AD 边上移动（不含端点A,D ），当线段BE 最短时，AP=_______解析：如图1，典型的“三垂直模型”，由于没有等边，先证△AEP ∽△DPC ， ∴AP CD=AE PD。
当题目出现线段最值时，初三的数学中有两种解题方法：①几何论证方法；②代数论证方法-----通过设未知数，把几何中的线段关系转化成二次函数形式，运用二次函数求最值的方法解题；（详见“动态问题下求线段长”），此题可采用代数论证方法，设BE =y,AP =x ，∴x2=2−y 3−x, ∴y =x 2−3x +4=(x −32)2+74, ∴a =1>0 , ∴x =32时，y 最小值=742.两种变化图形（1）“交叉型”三垂直模型 （2）“L 型”三垂直模型A BC DEF 图1PA BCD E 证明：∵∠1+∠2=90°，∠2+∠A=90°，∴∠1=∠A 又∵∠B=∠C ，若其中有一组边相等，则证ABE ≅ECD;若没有边相等，则证ABE ~ECD;21AB CED证明：∵∠1+∠2=90°，∠2+∠A=90°，∴∠1=∠A 又∵∠B=∠C ，若其中有一组边相等，则证ABE ≅FCD;若没有边相等，则证ABE ~FCD;21A BF E DC(1)若有等边，则△ABE≌△BDC（AAS ）(2)若无等边，则△ABE∽△BDC（AA ）EDCBA例3.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且AE=BF=1，则OC= ．解析：求线段长，要么用勾股定理，要么用相似，不管走勾股定理，还是相似，都绕不过先求出∠DOC=90°，当把这个90°标在图形时，就出现“三垂直模型的变化图形—交叉型三垂直模型”，如图1，由于有等边（BC=CD ），先证△BCE ≌△CDF ，∴∠BCE =∠CDF ，∵∠BCE +∠OCD =90°，∴∠CDF +∠OCD =90°，∴∠DOC =90°；这时图形又出现了第二个典型图形：“双垂型图形”，如图2，便易得这个典型图形的一个典型的用途----两直角边的乘积会等于斜边乘以斜边上的高。
专题04 “一线三垂直”模型及其变形的应用(专项训练)(解析版)
专题04 “一线三垂直”模型及其变形的应用（专项训练）1．如图，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB ＝4，则BD的长为．【解答】解：∵BE⊥AD，∴∠EBD＝∠CAD＝90°，∴∠BDE+∠ADC＝90°，∠BDE+∠E＝90°，∴∠E＝∠ADC，在△ACD和△BDE中，，∴△ACD≌△BDE（AAS），∴BE＝AD，∴BD＝AD﹣AB＝BE﹣AB＝7﹣4＝3，故答案为：3．2．如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵△AEF是等腰直角三角形，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠FEC+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，在△ABE和△ECF中，，∴△ABE≌△ECF（AAS），∴AB＝CE，BE＝CF，∵点F是CD的中点，∴CF＝CD，∴BE＝CF＝AB，∵BE+CE＝BC＝12，∴AB+AB＝12，∴AB＝8，故答案为：8．3．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN 于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE．在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，DC＝BE，∴DE＝DC+CE＝BE+AD；（2）证明：在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，DC＝BE，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）DE＝BE﹣AD．易证得△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，DC＝BE，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．4．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE上，且∠BDA＝∠BAC ＝∠AEC＝90°，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．应用：（1）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA．（2）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求点C到AB边的距离．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，∴∠BCE+∠ACD＝180°，∵AD⊥ED，BE⊥ED，∴∠BEC＝∠CDA＝90°，∠EBC+∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△BEC和△CDA中，，∴△BEC≌△CDA（AAS）；（2）解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CE⊥AB于，交BA的延长线于点E，∵∠DBA＝∠DAB，∴AD＝BD，∴AF＝BF＝AB＝，∵∠CAD＝90°，∴∠DAF+∠CAE＝90°，∵∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠CAE＝∠ADF，在△CAE和△ADF中，，∴△CAE≌△ADF（AAS），∴CE＝AF＝，即点C到AB的距离为；5．如图，△ACB在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AC的中点，点A的坐标是（1，2），则点B的坐标为．【解答】解：过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作x轴的平行线交AE的延长线于点F，则四边形DCFE是矩形，∵点A的坐标是（1，2），∴OE＝1，AE＝2，∵CD⊥BD，AE⊥OE，∴∠ODC＝∠AEO＝90°，∵∠AOE＝∠DOC，OA＝OC，∴△AOE≌△COD（AAS），∴AE＝DC＝2，OE＝OD＝1，∴DE＝CF＝2，∵∠ACB＝∠AFC＝90°，∠BOC＝∠AOE，∴∠CBD＝∠CAF，又∵BC＝AC，∴△BCD≌△ACF（AAS），∴BD＝AF，CD＝CF＝2，∴AF＝4，∴BD＝4，∴OB＝BD+DO＝4+1＝5，∴B（﹣5，0）．故答案为：（﹣5，0）．6．已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC上一点，CE⊥AD于E，若CE＝2，则S△BEC＝．【解答】解：如图，过点B作BH⊥CE交CE的延长线于点H，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCH＝90°，∵BH⊥CE，∴∠BHC＝90°，∴∠HBC+∠BCH＝90°，∴∠HBC＝∠ACE，在△BHC与△CEA中，，∴△BHC≌△CEA（AAS），∴BH＝CE＝2，．故答案为：2．7．在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A（0，5），点C（﹣2，0），点B在第四象限．（1）如图1，求点B的坐标；（2）如图2，若AB交x轴于点D，BC交y轴于点M，N是BC上一点，且BN＝CM，连接DN，求证CD+DN＝AM；（3）如图3，若点A不动，点C在x轴的负半轴上运动时，分别以AC，OC为直角边在第二、第三象限作等腰直角△ACE与等腰直角△OCF，其中∠ACE＝∠OCF＝90°，连接EF交x轴于P点，问当点C在x轴的负半轴上移动时，CP的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度．【解答】（1）解：如图1，过B作BF⊥x轴于F，则∠BFC＝90°，∵点A（0，5），点C（﹣2，0），∴OA＝5，OC＝2，∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠ABC＝45°，∠FCB+∠OCA＝90°，∵∠COA＝90°，∴∠OAC+∠OCA＝90°，∴∠OAC＝∠FCB，∵∠COA＝∠BFC＝90°，∴△CFB≌△AOC（AAS），∴FB＝OC＝2，FC＝OA＝5，∴OF＝FC﹣OC＝5﹣2＝3，∴点B的坐标为（3，﹣2）；（2）证明：如图2，过B作BE⊥BC交x轴于E，则∠CBE＝90°＝∠ACM，由（1）得：BC＝CA，∠ECB＝∠MAC，∴△BCE≌△CAM（ASA），∴CE＝AM，BE＝CM，∵BN＝CM，∴BE＝BN，∵∠CBE＝90°，∠ABC＝45°，∴∠DBE＝90°﹣45°＝45°，∴∠DBE＝∠DBN＝45°，又∵BD＝BD，∴△BDE≌△BDN（SAS），∴DE＝DN，∵CD+DE＝CE，∴CD+DN＝CE，∴CD+DN＝AM；（3）解：CP的长度不变化，CP＝，理由如下：如图3，过E作EG⊥x轴于G，则∠EGC＝90°＝∠COA，∴∠GEC+∠GCE＝90°，∵△ACE是等腰直角三角形，∠ACE＝90°，∴CE＝AC，∠GCE+∠OCA＝90°，∴∠GEC＝∠OCA，∴△GEC≌△OCA（AAS），∴GC＝OA＝5，GE＝OC，∵△OCF是等腰直角三角形，∠OCF＝90°，∴OC＝CF，∠FCP＝90°，∴GE＝CF，∠EGP＝∠FCP，又∵∠EPG＝∠FPC，∴△EPG≌△FPC（AAS），∴GP＝CP＝GC＝．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交BC的延长线于点H，求点M的坐标；（3）点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6；（2）由（1）得，点C（0，6），设直线BC的解析式为y＝kx+c，∵直线BC经过点B（3，0），C（0，6），∴，解得：∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，设点M的坐标为（m，﹣2m+6）（0＜m＜3），如图1，过点M作MN⊥y轴于点N，过点H作HK⊥y轴于点K，则∠MNO＝∠OKH＝90°，∵OH⊥OM，∴∠MOH＝90°，∵∠OMB＝45°，∴△MOH是等腰直角三角形，∴OM＝OH．∵∠MON+∠KOH＝90°，∠OHK+∠KOH＝90°，∴∠MON＝∠OHK，∴△OMN≌△HOK（AAS），∴MN＝OK，ON＝HK．∴H（﹣2m+6，﹣m），∵点H（﹣2m+6，﹣m）在直线y＝﹣2x+6上，∴﹣2（﹣2m+6）＝﹣m，解得：m＝，把m＝代入y＝﹣2x+6得：y＝，∴当∠OMB＝45°时，点M的坐标为（）；（3）存在，理由如下：∵抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，顶点为D，∴点D的坐标为（1，8），分两种情况讨论：①当CD为菱形的边时，如图2，过C作CE⊥DQ于E∵C（0，6），D（1，8），∴CD＝＝，∴DQ＝CD＝，∴Q点的坐标为（1，8﹣）或（1，8+）；②当CD为菱形的对角线时，如图3，设点Q（1，m），P（0，n），∵C（0，6），D（1，8），∴m+n＝6+8＝14，∴n＝14﹣m，∴P（0，14﹣m），∴PC＝14﹣m﹣6＝8﹣m，∵CQ＝＝，PC＝CQ，∴8﹣m＝，解得：m＝，∴点Q的坐标为（1，）；综上所述，点Q的坐标为（1，8﹣）或（1，8+）或（1，）．9．在数学探究活动中，小美将矩形ABCD纸片先对折，展开后折痕是EF，点M为BC边上一动点，连接AM，过点M作MN⊥AM交CD于点N．将△MCN沿MN翻折，点C恰好落在线段EF上，已知矩形ABCD中AB＝4，BC＝6，那么BM的长为．【解答】解：连接CC′交MN于点G，由折叠得：MN是CC′的垂直平分线，∴∠MGC＝90°，CN＝C′N，设BM＝x，则CM＝BC﹣BM＝6﹣x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝4，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∵MN⊥AM，∴∠AMN＝90°，∴∠AMB+∠CMN＝90°，∴∠BAM＝∠CMN，∴△ABM∽△MCN，∴＝，∴＝，∴CN＝，∴CN＝C′N＝，由折叠得：CF＝CD＝2，∠CFE＝90°，∴FN＝CF﹣CN＝2﹣＝，∵∠BCC′+∠C′CF＝90°，∠BCC′+∠CMN＝90°，∴∠C′CF＝∠CMN，∴∠C′CF＝∠BAM，∵∠B＝∠CFC′＝90°，∴△ABM∽△CFC′，∴＝，∴＝，∴FC′＝x，在Rt△FNC′中，C′F2+FN2＝C′N2，∴（x）2+（）2＝（）2，∴x＝4或x＝，∴BM的长为：4或，故答案为：4或．10．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）已知AB＝3，AD＝5，求tan∠DAE的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴∠BAF+∠AFB＝90°，由折叠可得：∠D＝∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝180°﹣∠AFE＝90°，∴∠BAF＝∠EFC，∴△ABF∽△FCE；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，由折叠可得：AD＝AF＝5，∴BF＝＝＝4，∴CF＝BC﹣BF＝1，∵△ABF∽△FCE，∴＝，∴＝，∴CE＝，∴DE＝CD﹣CE＝3﹣＝，∴tan∠DAE＝＝＝，∴tan∠DAE的值为．11．已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上．（1）如图1，填空：当点G在CD上，且DG＝1，AE＝2，则EG＝；（2）如图2，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：∠AEF＝∠FEN；（3）如图3，若AE＝AD，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2＝MN•MD．【解答】（1）解：∵∠EFG＝90°，∴∠AFE+∠DFG＝90°，∵∠AEF+∠AFE＝90°，∴∠AEF＝∠DFG，又∵∠A＝∠D＝90°，EF＝FG，∴△AEF≌△DFG（AAS），∴AE＝FD＝2，∴FG＝，∴EG＝FG＝，故答案为：；（2）证明：延长EA、NF交于点M，∵点F为AD的中点，∴AF＝DF，∵AM∥CD，∴∠M＝∠DNF，∠MAD＝∠D，∴△MAF≌△NDF（AAS），∴MF＝FN，∵EF⊥MG，∴ME＝GE，∴∠MEF＝∠FEN；（3）证明：如图，过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，∴∠P＝90°，同（1）同理得，△AEF≌△PFG（AAS），∴AF＝PG，PF＝AE，∵AE＝AD，∴PF＝AD，∴AF＝PD，∴PG＝PD，∵∠P＝90°，∴∠PDG＝45°，∴∠MDG＝45°，在Rt△EFG中，EF＝FG，∴∠FGE＝45°，∴∠FGE＝∠GDM，∵∠GMN＝∠DMG，∴△MGN∽△MDG，∴，∴MG2＝MN•MD．12．问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽AD＝6．动手实践：（1）如图1，腾飞小组将矩形纸片ABCD折叠，点A落在DC边上的点A'处，折痕为DE，连接A'E，然后将纸片展平，得到四边形AEA'D．试判断四边形AEA'D的形状，并加以证明．（2）如图2，永攀小组在矩形纸片ABCD的边BC上取一点F，连接DF，使∠CDF＝30°，将△CDF沿线段DF折叠，使点C正好落在AB边上的点G处．连接DG，GF，将纸片展平，①求△DFG的面积；②连接CG，线段CG与线段DF交于点M，则CG＝．深度探究：（3）如图3，探究小组将图1的四边形AEA'D剪下，在边A'D上取一点N，使DN：A'N ＝1：2，将△AND沿线段AN折叠得到△AND'，连接A'D'，探究并直接写出A'D'的长度．【解答】解：（1）四边形AEA'D是正方形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，由折叠的性质得：∠DA'E＝∠A＝90°，AD＝A'D，∴∠A＝∠DA'E＝∠ADC＝90°，∴四边形AEA'D是矩形，又∵AD＝AD'，∴四边形AEA'D是正方形；（2）①由折叠的性质得：DC＝DG，CF＝GF，∠CDF＝∠GDF＝30°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AB＝DC，BC＝AD＝6，∴∠ADG＝90°﹣∠CDF﹣∠GDF＝30°，∴AG＝DG，∴AG＝DC＝AB，∴AG＝BG，在Rt△ADG中，由勾股定理得：AG2+AD2＝DG2，即（DG）2+62＝DG2，解得：DG＝4（负值已舍去），∴AG＝2，在Rt△BGF中，由勾股定理得：BF2+BG2＝GF2，∵BG＝AG＝2，BF＝6﹣CF＝6﹣GF，∴（6﹣GF）2+（2）2＝GF2，解得：GF＝4，∴S△DFG＝GF•DG＝×4×4＝8；②由①得：∠GDF＝∠CDF＝30°，CD＝DG，∴∠CDG＝60°，∴△CDG是等边三角形，∴CG＝DG，∴CG＝4，故答案为：4；（3）过D'作PQ∥AD，交A'D于P，交AE于Q，如图3所示：则PQ⊥A'D，PQ⊥AE，∴PQ＝AD＝6，DP＝AQ，∠D'PN＝∠D'P A＝∠D'QA＝90°，∵四边形AEA'D是正方形，∴A'D＝AD＝6，∵DN：A'N＝1：2，∴DN＝2，A'N＝4，设D'P＝x，则D'Q＝6﹣x，由折叠的性质得：DN＝D'N，∠AD'N＝∠D＝90°，∴∠PD'N+∠AD'Q＝90°，∵∠PD'N+∠D'NP＝90°，∴∠AD'Q＝∠D'NP，∴△D'NP∽△AD'Q，∴＝＝，即＝＝＝，解得：AQ＝3x，NP＝2﹣x，∵DP＝AQ，∴2+2﹣x＝3x，解得：x＝，∴DP＝AQ＝3x＝，∴A'P＝A'D﹣DP＝6﹣＝，∴A'D'＝＝＝．。
立体几何：三垂线定理及其简单应用
立体几何：三垂线定理及其简单应用新课标高中数学中，淡化了“三垂线定理及逆定理”，但我们认为：三垂线定理还是非常好用的。
至少用它来证明有关题目，会简捷得多！（一）温故知新，引入课题大家已经学习了直线和平面的垂直关系，学新课之前，让我们作个简单的回顾：1．直线和平面垂直的定义？2．直线和平面垂直的判定定理?许兴华数学图片（二）猜想推测，激发兴趣（三）层层推进，证明定理我们在讨论立体空间时，通常会想把空间的问题转化为平面问题，那有没有什么方法可以帮助我们将空间与平面联系在一起呢? · 今天我们学习的内容，就可以把空间垂直的问题转化为平面垂直的问题。
这就是:三垂线定理与三垂线逆定理 .我们先来看一下三垂线定理及逆定理的描述。
1、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
具体在图中体现为：我们将OP称为平面的斜线，PA是平面的垂线，AO是OP在平面内的射影，a是平面内的一条直线，若a与AO垂直，则l也与PO垂直，反之亦然。
其实三垂线定理从证明的角度看可以认为是线面垂直转化关系的一个常用推论.这是一个标准的从线线垂直（一般是共面）转化为线面垂直又转化为新的线线垂直（一般是异面）的立体几何推理过程。
但换一个观点和角度来看，三垂线定理的价值在于将一个需要进行多次转化而且模式基本确定的证明过程以定理的形式规范下来，这使得在相关的证明（之后还有计算）过程中书写难度得到有效降低，在部分复杂题目中更是如此。
而从很多立体几何题目设计的思路来看，经常会出现两条看似无关直线（一般是异面）的关系问题，一般方法是让他们在不同平面中分别找关系，然后利用一个桥梁进行沟通；三垂线定理正是提供了这样一个可以进行简便沟通的方式。
而更为重要的是，在三垂线定理中，最重要的其实并不是斜线或者射影（尽管它们分别是条件和结论），而是平面的垂线！有了这个垂线的存在，才会使得两条异面直线建立关系；有了这个垂线，才能形成相应的平面和直角三角形从而便于计算；而同样也是因为有了这条垂线，使得直线和平面所称的角，以及升级版的平面和平面所成的角（二面角）出现并有了用平面角度量其大小的方式。
初中8大几何模型——一线三等角模型、三垂直模型
初中8大几何模型——一线三等角模型、三垂直模型
初中8大几何模型——一线三等角模型、三垂直模型，九年级同学必须掌握的几何技巧，中考满分秘籍精选内容！
目录
“一线三等角”,一条直线上有三个相等的角，一般就会存在相似三角形，当对应边也相等时，就会有全等三角形，即：“一线三等角，全等相似两边找”。
学会用“一线三等角”基本模型，解决全等三角形、相似三角形中的相关问题。
难点在于“一线三等角”基本模型的提炼、构造和运用。
三垂直模型的构造方法:
一般情况下，碰到斜着放置的直角，要想到在直角顶点所在的直线上构造三垂直模型，可能是全等型，也可能是相似型。
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“三垂足一线”基本图形的特征与应用
图 ｌ 是以 Ｂ 一１ Ｃ为直角腰的直角梯形Ａ Ｃ 图 １ Ｂ Ｄ， —
２是 以 Ｂ Ｃ为直角腰的折直角梯形 Ａ Ｃ ． Ｂ Ｄ 由于三垂足 ， Ｇ Ｐ在一条直线上 ， ， 故命名为“ 三垂足一线 ” 基本图形． 不难 看 出 图 中 有 一 对 相 似 三 角 形 ， △ 即
Ｏ Ｃ边上选取适当的点 层， 连结 Ｅ ， ＡＥ Ｆ沿 Ｅ Ｆ， Ｆ将 Ｏ Ｆ折 叠， 使点 ０落在 Ａ Ｂ边上 的点 Ｄ处． 当点 Ｆ与点 ｃ重合
图 ２— １ 图 ２— ２
如图 １ Ｂ Ｌ ＣＤ ． ＣＡ ＿Ｐ 且 Ｐ在直线 Ｂ ， ＿Ｂ ，ＣＬ ，Ｐ Ｌ Ｄ， Ａ Ｂ Ｃ上．
解
根据轴对称 图形 的性 质 ， 由折叠可 得 ／Ａ Ｅ＝ ＿Ｆ
／Ａ Ｅ： ０ ， 由已知的两个垂直条件， Ｄ ９ 。再 可得到“ 三垂足
一
线” 基本 图形 （ 如图 ２— ） 直接 由性 质得到 Ａ ・ Ｅ ２， Ｂ Ｃ
在 ＡＡ Ｐ 和 ＡＰ Ｄ 中 ， Ａ Ｐ： Ｐ Ｄ： ０ ， Ｂ Ｐ Ｂ Ｃ Ｌ Ｂ ｃ ９。 Ａ
Ｒ ＡＤ Ｃ 运用勾股定理 可求 出 Ｂ ６ 则 Ａ ４ Ａ ｔ Ｂ 中， Ｄ＝ ， Ｄ＝ ． Ｅ
・
复习参考 ．
中’擞－ （］年 ２ 初 版 ７ ２Ｏ 第 期ｒ 中 ） Ｏ
求 ｂ的最小值．
４ ５
上Ｂ Ａ Ａ，Ｂ上Ｂ ，Ｄ上Ｆ Ａ， Ｂ在同一直线上 ， ＣＥ Ｄ， Ｄ， 得到“ 三
垂足一线” 基本 图形 （ 图 ３～ ） 由性 质 ， 得 Ａ ・ Ｃ 如 ２ ， 则 Ｅ Ｂ ＝ Ｄ ・ Ｄ所 以Ａ ３则 Ｏ ５ Ａ Ｂ Ｅ＝ ， Ｅ＝ ．
２ ２ 函 数 与 动 点 问题 。
２ １ 矩 形 折 叠 问题 ．
初中数学经典几何模型03-一线三垂直模型构造全等三角形(含答案)
初中数学经典几何模型专题03 一线三垂直模型构造全等三角形【专题说明】一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转900，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。
【知识总结】过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。
过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）常见的两种图形：图1 图21、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=3，设∠BCD=α，以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.当α=45°时，求△EAD的面积.当α=30°时，求△EAD的面积当0°＜α＜90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系，若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式，若无关，请证明结论.2、如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE,正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG 交于点P，求证：BC=2AP3、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是多点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于点E.当直线AE处于如图1的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由.当直线AE处于如图2的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由.4、如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点F是△ABC的高AD、BE的交点，已知CD=4，AF=2，则线段BC 的长为（）5、如图所示，直线α经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B,D作DE⊥α于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为（）6、如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC,EF=EC,DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（）7、如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E，求BD证：CE=12【基础训练】1、如图，在平面直角坐标系中，等腰R t△ABC有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.2、已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于点B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点.如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上，且PM=PN，求证BM=CN.在（1）的条件下，直接写出线段AM、CN与AC的数量关系_______3、如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B,C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E.当DC等于多少是，△ABD≌△DCE?请证明你的结论.4、如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=90°，点D在线段BC上，∠BDE=1∠C,BE⊥DE，垂足为E，DE与AB2DF.交于点F，求证：BE=125、已知：在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,E是AC边上的点，AF⊥BE交BC于点D,如果AE=CD 证明：BF平分∠ABC证明：AB+AE=BC【巩固提升】1、如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC,AP⊥PC,求证：△ABP≌△PDC2、如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB 为边在x轴上作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E。
“三垂足一线”基本图形的特征与应用
“三垂足一线”基本图形的特征与应用北京市东方培新学校黄清华100025北京市教育学院朝阳分院吴江媛100026初中几何研究的是平面图形的性质，而这些千变万化的图形都是由一些最简单、最基本的图形组合而成的，“能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系，利用直观来进行思考”正是义务教育《数学课程标准》在几何方面对学习的学习要求．笔者在八年级全等三角形及九年级相似三角形的教学中，发现“三垂足一线”基本图形的性质在解题中应用很广，尤其近几年在中考模拟题中，也出现了由此基本图形引发的综合问题。
下面就举例说明“三垂足一线”基本图形的性质及其应用．一、“三垂足一线”基本图形及其基本特征1．基本图形及其特征如图1，AB⊥BC，DC⊥BC，AP⊥PD，且P在直线BC上．图1由于三垂足B、C、P在一条直线上，故命名为“三垂足一线”基本图形．不难看出图中有一对相似三角形，即△ABP∽△PCD.由此我们得到如下性质：2．“三垂足一线”基本图形的性质性质：若AB⊥BC，DC⊥BC，AP⊥PD，且P在直线BC上．则AB·CD= PB·PC.证明：因为AB⊥BC，所以∠APB+∠BAP=90°，因为AP⊥PD，且P在直线BC上，所以∠APB+∠CPD=90°，所以∠BAP=∠CPD．在△ABP和△PCD中，∠ABP=∠PCD=90°，∠BAP=∠CPD,所以△ABP∽△PCD．所以AB BPPC CD=，所以 AB CD PC PB ⋅=⋅． 二、“三垂足一线”基本图形在解题中的应用 1．矩形折叠问题例1 如图2，矩形纸片ABCD 中，AB=4,沿AE 对折△ADE ，使点D 落在BC 上的点F 处，BF=3,FC=2求CE 的长．FD ABCE234F A BCE图2 图3根据轴对称图形的性质，由折叠可得∠AFE=∠ADE=90°，再由已知的两个垂直条件，可得到“三垂足一线”基本图形（如图3），直接由性质得到AB CE FC FB ⋅=⋅，即432CE ⋅=⨯，所以32342CE ⨯==． 例2 如图4，将边长OA=8，OC=10的矩形OABC 放在平面直角坐标系中，顶点O 为原点，顶点C 、A 分别在x 轴和y 轴上.在OA 、OC 边上选取适当的点E 、F ，连接EF ，将△EOF 沿EF 折叠，使点O 落在AB 边上的点D 处．当点F 与点C 重合时，求OE 的长度．y xEBA C(F)OD图4 图5解析：根据轴对称图形的性质，由折叠可得△EOF ≌△EDF ，知∠EDC=∠EOC=90°，OC=DC=10，在直角三角形DBC 中，运用勾股定理可求出BD=6，则AD=4．AE ⊥BA ，AB ⊥BC ，ED ⊥FD ，A 、D 、B 在同一直线上，得到“三垂足一线”基本图形（如图5），由性质，则得AE·BC=AD·BD 所以AE=3，则OE=5．2．函数与动点问题例3 如图6，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴的正半轴上，OA ＝3，OC ＝2.动点D 在线段BC 上移动（不与B 、C 重合），连结OD ，作DE ⊥OD 交边AB 于点E ，连结OE .设CD 的长为t .8106 4（1）当t ＝1时，求点E 的坐标；（2）设梯形COEB 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；y x2t图6 图7解析：（1）由已知OC ⊥CB ，EB ⊥BC ，ED ⊥OD ，C 、D 、B 在同一直线上，得到“三垂足一线”基本图形（如图7），由性质，则得OC·BE=CD·BD ，1212CD BD BE OC ⋅⨯===，从而AE=1．点E 的坐标为（3，1）． （3）由已知S=21(BE+CO)BC ，CO 、BC 已知，问题转化为求BE ．由（1）得OC·BE=CD·BD ．即：2BE=t(3—t ），∴ 232t tBE -+=．∴ 2139()3244S BE CO BC t t =+⋅=-++．自变量t 的取值范围是：0＜t ＜3．例4 如图8，平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC ，O 为坐标原点，A 点坐标为（10，0），C 点坐标为（0，6），D 是BC 边上的动点（与点B 、C 不重合）．如图,将△COD 沿OD 翻折，得到△FOD ；再在AB 边上选取适当的点E ，将△BDE 沿DE 翻折，得到△GDE ，并使直线DG ，DF 重合．设E （10，b ），求b 的最小值．y x6-b 6图8 图9解析：据已知对折可知：∠CDO =∠FDO ，∠BDE =∠GDE ，由于∠CDO +∠FDO +∠BDE +∠GDE =180° ，所以 ∠CDO +∠BDE =90°，于是∠ODE =90°，得到OD ⊥DE ．又 ∵OC ⊥CB ，EB ⊥CB ，垂足C 、D 、B 在一条直线上，就得到一个“三垂足一线基本图形”（如图9）．据已知BE=6-b，设CD=m可知：BD=10-m，由性质，得CD·BD= OC·BE，即m（10—m）=6（6—b），于是b=16m 2—53m+6=16（m—5）2+116，所以当m=5时，b最小值= 116．从几何图形中直接分离出基本图形，运用基本性质相对容易，如何从几何图形中构造出基本图形进行运用，才是难点所在。
八年级数学上册：一线三等角模型及应用
八年级数学上册：一线三等角模型及应用【知识导航】“一线三等角”在初中几何中出现得比较多，是一种常见的全等或相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成全等或相似图形．这三个等角可以是直角也可以是锐角或钝角，可以是在直线的同侧，也可以是在直线的异侧． 一、“一线三等角”的基本构图：321132CEB ADDCBEll二、“一线三等角”的基本性质：1．如果∠1＝∠2＝∠3，那么∠D ＝∠CBE ，∠ABD ＝∠E ．2．如果图中△ABD 与△CEB 中有一组对应边相等，则有△ABD ≌△CEB ． 三、“一线三等角”的基本应用：本讲主要学习“一线三等角”与全等．对于八年级而言，“一线三等角”主要应用于导角证三角形的全等，最常见的是直角型“一线三等角”，其次是60°角和45°角及一般的角． 【方法技巧】用法：若一线三等角都具备则直接应用；若一线三等角不完全具备，则需要构造出一线三等角．【板块一】 直角型“一线三等角”——“三垂直”【知识导航】直角型“一线三等角”又称“三垂直”或“K ”形图，是“一线三等角”问题中最为常见的一种．认识“三垂直”模型：直线绕直角顶点旋转，由外到内，由一般到特殊．【例1】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，过点A 作直线l ,过B ，C 分别作BD ⊥l 于D ，CE ⊥l 于E ．（1）如图1，当直线l 在△ABC 的外部时，求证：DE ＝BD ＋CE ； （2）当直线l 在△ABC 的内部如图2所示时，求证：DE ＝BD －CE ；（3）当直线l 在△ABC 的内部如图3所示时，直接写出DE ，BD ，CE 三者之间的数量关系式为___________．lBBCBC图1 图2 图3【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为BC 上一点，连接AE ，作AF ⊥AE 且AF ＝AE ，BF 交AC 于D ．（1）如图1，求证：点D 为BF 中点； （2）如图1，求证：BE ＝2CD ； （3）如图2，若BE CE ＝23，则ADCD＝____． 图2图1E CBAFDEAC F针对练习11．（1）如图1，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，A （0，3），C （1，0），求点B 的坐标． （2）如图2，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，A （－1，0），C （1，3），求点B 的坐标．（3）如图3，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，B （2，2），C （4，－2），求点A 的坐标．图1图2图3【板块二】等边三角形中的“一线三等角”【例3】如图，△ABC为等边三角形，D，E，F分别AB，BC，AC上的点，∠DEF=60°，BD=CE，求证：BE=CFAB DFE C针对练习21．如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是BC，AC上的点BE，AD交于F，∠AFE＝60°．求证：AD＝BEEA B D FC【板块三】等腰直角三角形中的“一线三等角”【例4】如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为AB，BC上的点，且CD=DE，∠CDF=45°，求证：BD＝BCA B CDE针对练习31．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°，BC＝7，AD＝4，过点A作AE⊥AB，垂足为A，且AE＝AB，连接DE，求△ADE的面积。
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关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用 “一线三垂直 ”模型是 “一线三等角 ”模型的特殊情况， （关于 “一线三等角 ”模型详见 比 例与相似高级教程 （六） ：相似三角形的 “一线三等角 ”模型 ），即三个等角角度为 90o， 于是有三组边相互垂直，所以称为 “一线三垂直 ”模型。 “一线三垂直 ”的性质： 1，模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长； 2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。 “一线三垂直 ”模型在平面几何中有着及其重要的地位，常出现的图例有以下几种：
其中，在 “变形 2”模型下，根据相似原理，推理出了著名的 “射影定理 ”这里主要讨论 有一对对应边相等的情况。
【例 1】如图， 在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB=Rt ∠，AC=BC ，AE ⊥CE 于点 E， BD ⊥CE 于点 D，AE=5cm ，BD=2cm ，则 DE 的长为多少？【 提 示 】 根 据 “一 线 三 垂 直 ”模 型 的 性质， △ ACE ≌ △ CBD ， 于 是 CD=AE=5cm ， CE=BD=2cm ， DE=5-2=3 （ cm）
【例 2】如图，在△ ABC 中， CA=CB ，点 D为BC 中点， CE⊥ AD 于点 E，交 AB 于 点 F，连接DF。求证：AD=CF+DF.
【解析】此题乍一看起来和【例 1】相同，却不能照搬照抄。 从要证明的结论来看，需要把AD 这条线段“转化”到直线 CF 上。如图，过点 B 作 BG ⊥ CB ，交 CF 的延长线于点 G。
则易证△ ACD ≌ △ CBG ，于是 AD=CG=CF+FG ； BG=CD=BD ， BF=BF ，∠ DBF= ∠ GBF=45o ， 故△ BDF ≌ △ BGF ，于是 FD=FG ，所以 AD=CF+DF 。关于“一线三垂直” 模型及其在平面几何中的应用（二） “一线三垂直 ”的性质： 1，模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长； 2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。 【例 3】如图，在△ABC 中， AB=AC ，∠ BAC=90o ，分别过 B，C 向过 A 点的直线作 垂线，垂足分别为 E， F。 （1）如图 1，过点 A 的直线与斜边 BC 不相交时，求证： EF=EB+CF ； （2）如图 2，过点 A 的直线与斜边 BC 相交时，其他条件不变，若 BE=10 ， CF=3. 求 EF 的长。
【提示】（ 1）图 1 是 “一线三垂直 ”的基础模型，△ABE ≌ CAF ； （2）图 2 是 “一线三垂直 ”的变形 4，和【例 1】相同。
【例 4】如图，已知△AEB 中，∠ AEB=90o ，以 AB 为边向外作正方形 ABCD ，连接 AC 、 BD ，交于点 O，连接EO 。若 BE=2 ， EO=3√2 ，求五边形 AEBCD 的面积。
【解析】因为∠ ABC= ∠ AEB=90o ，故构造 “一线三垂直 ”模型，如图。过点 C 作 CP⊥ EB ，交 EB 延长线于点 P，连接OP。 则根据 “一线三垂直 ”模型的性质，△ AEB ≌ △ BPC ， ∴BP=AE ； ∵∠ AOB= ∠ AEB=90o ， ∴A 、 E、 B、 O 四点共圆（详见“四点共圆 ”在解题中的妙用（一） ）， ∴∠ BEO= ∠ BAO=45o ； 同理∠ BPO= ∠ BCO=45o ，故△ EOP 为等腰直角三角形； ∵EO=3√2 ，∴ EP=6 ， BP=4 ， 根据勾股定理， AB2=16+4=20 ，即 S 正方形 ABCD=20 ， S△ AEB=4× 2÷2=4 ，∴ S 五边形 AEBCD=20+4=24.关于“一线三垂直” 模型及其在平面几何中的应用 （三） 【例 5】已知△ ABC 中，∠ ACB=90o ，AC=BC ， CD 为 AB 边上的中线，点 E 为 BC 边上任意一点（不与A 、 D、 B 重合）， BF ⊥CE 于点 F，交 CD 于点 G，AH ⊥CE， 交 CE 延长线于点 H，交 CD 延长线于点 M 。 求证：（ 1） CG=AE ；（ 2） DE=DM 。
【提示】（ 1）根据 “一线三垂直 ”模型，△ ACH ≌ △ CBF ， ∴∠ ACE= ∠ CBG ，又∠ CAE= ∠ BCG=45o ， AC=BC ， ∴△ ACE ≌ △ BCG ； （2）由 “一线三垂直 ”模型可知，∠ ACE= ∠ CBG ，BF=CH ， ∴∠ HCM= ∠ FBE ，又∠ BFE= ∠ CHM=90o ， ∴△ CHM ≌ △ BFE ， BE=CM ，从而 DE=DM 。 同时我们也应该注意到：△ ACM ≌ △ CBE ； △ADM ≌ △ CDE ≌ △ BDG ；△ AHE ≌ △ CFG ； DM=DG=DE ； △ GEM 为等腰直角三角形等。
构造 “一线三垂直 ”模型，是作辅助线常用的一种手段。 【例 6】如图，直线 l1∥ l2∥ l3，且 l1 到 l2 的距离为 3， l2 到 l3 的距离为 4，等腰直 角△ ABC 的直角顶点 C 在 l2 上，点 A 、 B 分别在 l1、 l3 上。求△ ABC 的面积。
【提示】过点 C 作 l2 的垂线，分别交 l1 和 l3 于点 D、 E，构造 “一线三垂直 ”模型， 则CD=3 ， AD=CE=4 ， AC=5.关于“一线三垂直” 模型及其在平面几何中的应用（四） 【例 7】（ 2018 初二希望杯练习题）如图，四边形 ABCD 为直角梯形， AD ∥ BC， ∠BCD=90o ，AB=BC+AD ，∠DAC=45 o ，E 为 CD 上一点， 且∠ BAE=45 o ，若 CD=4 ， 求△ ABE 的面积。
【解析】如图，过点 E 作 EG⊥ AE ，交 AB 延长线于点 G，过点 G 作 GH⊥ DC，交 DC 延长线于点 H，构造 “一线三垂直 ”模型；过点 G 作 GK ⊥ BC 于点 K，过点 B 作 BF ⊥ AD 于点 F。
则△ ADE ≌ △ EHG ， DE=GH ；AD=EH=CD ， ∴DE=CH ，故四边形 CKGH 为正方形。 AF=4-BC ， AB=4+BC ， BF=4 ， ∴（ 4+BC ） 2=（ 4-BC ） 2+42， 解得： BC=1 ，所以 AB=5 ； 设DE=x ，则 BK=1-x ， GK=x ， AE2=x2+42
∵△ AEG 为等腰直角三角形，∴ AG2 =2AE2 ， （5+BG ） 2=2（ x2+42），将 BG 代入，化简得： （7x-4 ） 2=0 ， x=4/7 ， ∴△ ABE 面积 =梯形 ABCD 面积 -△ADE 面积 -△ BCE 面积 =（ 1+4 ） ×4÷2-4 ×4/7 ÷2-1 ×(4-4/7) 2÷=50/7 。
在直角坐标系中构造 “一线三垂直 ”模型，是解决坐标问题的一种有效手段。 【例 8】如图，在直角坐标系中，点 A （ 1，2），点 B（ 0，-1），已知△ ABC 为等腰 直角三角形，求点 C 的坐标。【解析】设C（ m， p）。 （1）当∠ BAC 为直角时： ①当点 C 在 AB 右侧时， 如图1。过点 A 作 DE ∥ x 轴，交 y 轴于点 D，过点 C 作 CE ⊥DE 于点 E。根据 “一线三垂直 ”模型， △ ABD ≌ △ ACE ， ∴DB=AE ， CE=DA ，即： m-1=3 ， 2-p=1 ， 解得： m=4 ， p=1 ，∴ C（ 4， 1）；
②当点 C 在 AB 左侧时， 如图2。过点 A 作 DE ∥ x 轴，交 y 轴于点 D，过点 C 作 CE ⊥DE 于点 E。根据 “一线三垂直 ”模型， △ ABD ≌ △ ACE ，∴ DB=AE ，CE=DA ，即：1-m=3 ，p -2=1 ，解得： m=-2 ， p=3 ，∴ C（ -2， 3）； （或者用下列方法：此时，点 C 和①中的 C 关于点 A 对称，故m=2× 1-4=-2 ， p=2×2 －1=3. ）
（2）当∠ ABC 为直角时： ①当点 C 在 AB 右侧时， 如图3。过点 A 作 AE ∥ x 轴，交 y 轴于点 E，过点 C 作 CD ⊥ y 轴于点 D。根据 “一线三垂直 ”模型， △ABE ≌ △ BCD ，∴ DB=AE ，BE=CD ，即 ：-1-p=1 ， m=3 ，解得： m=3 ， p=-2 ，∴ C（ 3， -2）；②当点 C 在 AB 左侧时，如图 4。 过点 B 作 DE ∥ x 轴，过点 C 作 CD ⊥ DE 于点 D，过点 A 作 AE ⊥ DE 于点 E。 根据 “一线三垂直 ”模型， △ ABE ≌ △ BCD ， ∴BE=CD ， BD=AE ，即： 0-m=3 ， p - （ -1 ）=1 ， 解得： m=-3 ， p=0 ，∴ C（ -3， 0）； （或者用下列方法：此时，点 C 和①中的 C 关于点 B 对称，故 m=2× 0-3=-3 ， p=-1×2 －（ -2） =0. ）
（3）当∠ ACB 为直角时： ①当点 C 在 AB 右侧时，如图 5。过点 C 作 CD ∥ x 轴，过点 A 作 AD ⊥ CD 于点 D， CD 交 y 轴于点 E。 根据 “一线三垂直 ”模型， △ ACD ≌ △ CBE ， ∴BE=CD ， CE=DA ，即： m=2-p ， p-（ -1 ）=m-1 ， 解得： m=2 ， p=0 ，即 CD 与 x 轴重合，点 E 与 O 重合， ∴C（ 2， 0）；
②当点 C 在 AB 左侧时，如图 6。过点 C 作 CD ∥ x 轴，过点 A 作 AD ⊥ CD 于点 D， CD 交 y 轴于点 E。 根据 “一线三垂直 ”模型， △ ACD ≌ △ CBE ， ∴BE=CD ， CE=DA ，即： 1-m= p- （ -1）， 2-p = 0-m ， 解得： m=-1 ， p=1 ，∴ C（ -1， 1）。 （或者用下列方法：此时，点 C 和①中的 C 关于 AB 的中点对称， AB 的中点坐标为 （0.5 ， 0.5），故 m=2× 0.5-2=-1 ， p=0.5×2－0=1. ） 综上所述：符合条件的点 C 的坐标有6 个： （4， 1）；（ -2， 3）；（ 3， -2）； （ -3， 0）；（ 2， 0）；（ -1， 1）。