自旋和角动量
量子力学中的自旋与角动量
量子力学中的自旋与角动量量子力学作为一门独特的物理学分支，研究微观粒子的行为和性质。
其中，自旋与角动量是量子力学中的重要概念之一。
本文将探讨自旋和角动量的基本原理、数学描述以及一些相关应用。
1. 自旋的概念与性质自旋是微观粒子特有的一种内禀角动量，不同于经典力学中的角动量。
它与粒子的自旋量子数有关，一般以s表示。
常见粒子，如电子、质子和中子，其自旋量子数s分别为1/2、1/2和1/2。
自旋具有一些独特性质。
首先，自旋不仅表现为一个量子态，还表现为自旋向上和自旋向下两个本征态，分别用|↑⟩和|↓⟩表示。
其次，自旋具有叠加的性质，即一个粒子的自旋可以处于上述两个态之一，或者两个态的叠加态。
2. 自旋的数学描述量子力学中，自旋量子态可以用狄拉克符号表示。
对于自旋1/2的粒子，其量子态可以表示为：|ψ⟩= α|↑⟩+ β|↓⟩其中α和β为复数，满足|α|^2 + |β|^2 = 1，且满足归一化条件。
该量子态描述了粒子自旋的量子信息。
自旋算符是描述自旋性质的数学工具。
对于自旋1/2粒子，Pauli自旋算符可以表示为σ=(σx, σy, σz)，其中σx，σy和σz分别为泡利矩阵。
通过对泡利矩阵与相应自旋态的乘积进行测定，可以获得自旋在不同方向上的测量结果。
3. 角动量的概念与性质角动量是描述粒子旋转和运动的物理量。
在量子力学中，角动量具有一些特殊性质。
首先，量子角动量是离散的，其取值受限于角动量量子数。
其次，角动量具有量子态的性质，可处于不同的本征态或叠加态。
最后，角动量操作满足比较特殊的代数关系，被称为角动量代数。
4. 自旋与角动量的关系自旋与角动量之间存在一种特殊的关系，称为自旋-角动量耦合。
在量子力学中，自旋-角动量耦合描述了自旋与轨道角动量之间的相互作用。
自旋和轨道角动量的耦合可以导致总角动量的量子态的复杂性。
通过自旋-角动量耦合，可以推导出多种多样的总角动量态，如自旋单重态、自旋三重态等。
通过自旋-角动量耦合，还可以研究粒子系统的态矢量演化、角动量守恒等问题。
量子力学中的自旋与角动量
量子力学中的自旋与角动量引言量子力学是研究微观世界的物理学理论，自旋和角动量是其中的重要概念之一。
本文将介绍自旋和角动量的基本概念以及它们在量子力学中的应用。
自旋自旋是描述粒子围绕其自身轴旋转的属性。
与传统的经典物理学不同，自旋并不是指粒子实际的旋转，而是描述粒子的量子态。
自旋可以用一个量子数来描述，通常用符号$s$表示。
自旋量子数$s$可以取非负半整数或整数值，如$0, \frac{1}{2}, 1,\frac{3}{2}, \ldots$。
自旋对于描述粒子的性质和相互作用非常重要。
例如，在原子物理中，自旋决定了电子在原子中的能级分布和化学性质。
角动量角动量是描述粒子旋转运动的物理量。
在量子力学中，角动量同样被量子化，即取离散值。
角动量量子数通常用符号$j$来表示。
角动量量子数$j$可以是非负半整数或整数值，如$0,\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, \ldots$。
对于给定的$j$值，角动量可以有$2j+1$个可能的取向。
自旋与角动量关系在量子力学中，自旋和角动量之间存在一种对应关系。
根据施特恩-格拉赫实验的结果，自旋和角动量都是离散的，且它们之间的关系可以用自旋角动量矢量模型来描述。
自旋和角动量之间的关系可以表示为：$$J = L + S$$其中，$J$表示总角动量，$L$表示动量轨道角动量，$S$表示自旋角动量。
结论自旋和角动量是量子力学中的重要概念。
它们的量子化特性与经典物理学中的角动量有所不同，但在描述微观世界中粒子的性质和相互作用时起着关键作用。
了解自旋和角动量的基本概念对于深入理解量子力学是非常重要的。
希望本文对您理解量子力学中的自旋和角动量有所帮助。
参考文献:- Griffiths, D. J. (2005). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall.- Liboff, R. L. (2003). Introductory Quantum Mechanics (4th ed.). Addison-Wesley.。
自旋与角动量
自旋与角动量自旋是粒子的一种固有性质，类似于物体的自转。
它是微观粒子的一个基本属性，在量子力学中有重要的地位。
角动量是描述物体旋转运动的物理量，它可以分为轨道角动量和自旋角动量。
在本文中，我们将探讨自旋与角动量的关系，以及它们在物理学中的应用。
一、自旋的概念及特性自旋是描述微观粒子内部旋转运动的性质，它不同于粒子的轨道运动。
自旋量子数通常用s表示，可以是整数或半整数。
对于自旋为半整数的粒子，如电子，其自旋量子数为1/2。
自旋存在两个可能的取向，分别用↑和↓表示，也可表示为|+1/2>和|-1/2>。
二、自旋与角动量的关系自旋与角动量是密切相关的。
在量子力学中，自旋角动量被视为一种特殊的角动量，它遵循角动量的代数运算规则，并满足角动量算符的对易关系。
自旋与轨道角动量的总角动量可用来描述系统的完整角动量。
三、自旋的应用1. 磁学自旋是物质磁性的重要原因之一。
自旋角动量与磁矩之间存在着强烈的耦合关系。
通过研究自旋相互作用，可以揭示物质中的磁性行为，如铁磁、反铁磁和顺磁等。
2. 粒子物理学粒子物理学中的基本粒子，如电子、质子和中子等，都具有自旋。
自旋在描述粒子的内禀性质时起着重要作用，并且与粒子的相互作用和性质之间有着密切关联。
3. 核物理学自旋也在核物理学中具有重要地位。
核自旋是核能级结构、核反应和核聚变等核现象的重要参量。
在核物理实验中，通过测量核的自旋，可以研究核的内部结构和核反应的性质。
4. 量子计算与量子信息自旋是量子计算和量子信息科学中的重要基础之一。
通过操作自旋系统，可以实现量子比特之间的相互作用并进行量子计算和量子通信。
总结：自旋作为微观粒子的固有性质，与角动量密不可分。
自旋的存在丰富了物理学领域的理论和实验研究，并在磁学、粒子物理学、核物理学和量子计算等领域具有广泛的应用。
对于我们深入理解粒子性质和微观世界的本质，自旋与角动量的研究具有重要的意义。
原子轨道角动量 自旋角动量表示
原子轨道角动量自旋角动量表示
原子轨道角动量和自旋角动量是量子力学中描述粒子角动量的两个相关概念。
原子轨道角动量是指电子绕原子核运动的角动量。
根据量子力学的原理，电子在原子中只能存在于一些特定的能级和轨道上。
每个轨道有其特定的轨道角动量量子数l，其取值范围为整数
值或半整数值，从- l 到 + l，表示角动量的大小和方向。
自旋角动量是指电子固有的自旋运动所带来的角动量。
电子自旋有两个可能的取向，分别记为上自旋（↑）和下自旋（↓）。
自旋角动量量子数 s 取值为 1/2，表示角动量的大小和方向。
原子轨道角动量和自旋角动量的总角动量记为 j，其大小和方
向由原子轨道角动量量子数 l 和自旋角动量量子数 s 决定。
总
角动量 j 的取值范围为 l - s 到 l + s。
例如，当 l = 1 和 s = 1/2 时，j 的取值范围为 1/2 和 3/2，表示电子的总角动量可以是
1/2 或 3/2。
总结起来，原子轨道角动量和自旋角动量可以组合成总角动量，其取值范围由 l 和 s 确定。
这些角动量在量子力学中有着重要
的应用，如解释原子能级结构和光谱现象等。
量子力学中的角动量与自旋
量子力学中的角动量与自旋量子力学是研究微观领域中粒子行为的理论框架，角动量是其中一个重要的物理量，而自旋则是角动量的一种形式。
在本文中，我将详细介绍量子力学中的角动量与自旋的概念、特性以及在不同领域中的应用。
一、角动量的概念及数学表达在经典物理中，角动量通常被定义为物体围绕某一轴转动的物理量。
然而，在量子力学中，角动量的定义更加复杂。
根据量子力学的原理，角动量是由角动量算符来表示的，而角动量算符有两个重要的分量，即轨道角动量算符和自旋角动量算符。
1. 轨道角动量算符轨道角动量算符由三个独立的分量组成，分别是L_x、L_y和L_z。
它们满足角动量的代数关系，即[L_x, L_y] = iħL_z， [L_y,L_z] = iħL_x，以及[L_z, L_x] = iħL_y。
这些关系体现了角动量算符之间的非对易性质。
2. 自旋角动量算符除轨道角动量外，自旋角动量是粒子的固有属性，用s来表示。
自旋角动量算符由三个分量组成，通常表示为S_x、S_y和S_z。
它们也满足非对易性质的代数关系，即[S_x, S_y] = iħS_z， [S_y,S_z] = iħS_x，以及[S_z, S_x] = iħS_y。
二、角动量与自旋的特性及量子数角动量和自旋都具有一些特殊的性质和量子数，这些性质和量子数决定了它们在量子力学中的角色和行为。
1. 角动量的量子数轨道角动量的量子数由轨道量子数l来表示，它决定了角动量的大小。
轨道量子数l可以取整数或半整数，并满足l = 0,1,2,3,...。
对于给定的轨道量子数l，轨道角动量的大小可以用以下公式表示：L = ħ√(l(l+1))。
2. 自旋的量子数自旋的量子数由自旋量子数s来表示，它决定了自旋角动量的大小。
自旋量子数s通常取半整数值，可以是1/2, 3/2, 5/2等，并满足s = 1/2, 3/2, 5/2,...。
自旋角动量的大小可以用以下公式表示：S = ħ√(s(s+1))。
自旋态与角动量守恒
自旋态与角动量守恒自旋态与角动量守恒是量子力学中的重要概念和原理。
自旋是粒子的一种内禀性质，类似于粒子的自旋角动量，而角动量守恒是表示系统总角动量在时间变化过程中保持不变的定律。
本文将详细探讨自旋态与角动量守恒的相关原理和应用。
一、自旋态的基本概念自旋是粒子的内禀角动量，与经典物理中的角动量概念有所不同。
自旋可以用量子力学的数学形式来描述，有两种可能的取值：上自旋（通常表示为|↑⟩）和下自旋（通常表示为|↓⟩）。
自旋态就是粒子处于上自旋或下自旋的状态。
对于自旋1/2的粒子，其可能的自旋态有四种，分别为|↑↑⟩、|↑↓⟩、|↓↑⟩和|↓↓⟩。
二、自旋态的组合对于多个粒子组成的系统，其自旋态通过将各个粒子的自旋态进行组合来描述。
当系统中只有两个粒子时，其自旋态可以表示为|↑↑⟩、|↑↓⟩、|↓↑⟩和|↓↓⟩的线性组合。
这些组合态同时涉及两个粒子的自旋取向，且量子力学中的量子纠缠效应使得这些组合态在测量后表现出非经典的相关性。
三、自旋的运动和角动量守恒自旋不仅仅是一个内禀属性，它也参与了粒子的运动。
在量子力学中，粒子的角动量是一个守恒量，意味着系统总角动量在不受外力作用时保持不变。
对于自旋角动量而言，其守恒性质更加特殊，即便粒子没有实际旋转运动，自旋角动量仍然守恒。
这意味着在特定情况下，粒子的自旋态可以在运动过程中改变，但其总角动量保持不变。
四、自旋态与实际应用自旋态与角动量守恒的原理在现代物理学的许多领域具有重要应用。
例如，在核磁共振成像（MRI）技术中，利用核自旋与外加磁场相互作用的原理，可以对人体内部的结构进行成像，用于医学诊断。
另外，自旋态与角动量守恒的概念也可以应用于量子计算和量子通信中，用于实现更加高效和安全的信息处理。
总结自旋态与角动量守恒是量子力学中的重要概念和原理。
自旋表示粒子的内禀性质，可以通过组合来描述多粒子系统的自旋态。
自旋角动量在各种物理过程中保持不变，这一原理在核磁共振成像等实际应用中具有重要作用。
量子力学的自旋与角动量
量子力学的自旋与角动量量子力学是描述微观世界最基本的理论之一，它涉及到许多奇特且难以理解的现象。
其中之一就是自旋和角动量的概念，它们在量子力学中起着重要的作用。
本文将探讨自旋和角动量的定义、性质以及它们在物理学中的应用。
一、自旋的定义与性质自旋是描述微观粒子内禀旋转的概念，它与经典物理学中的角动量有所不同。
自旋是量子力学的基本概念之一，它没有经典物理学中的经典对应物。
自旋的大小以及取向由一个量子数来描述，通常用s表示，它可以是整数或者半整数。
自旋的取值通常为s=0、1/2、1、3/2等。
自旋具有以下一些重要性质。
首先，自旋是一个内禀的性质，与空间方向无关。
其次，自旋不同于经典物理中的旋转，它是一种纯粹的量子性质，不能用经典的图像来描述。
最后，自旋是许多重要效应的基础，如泡利不相容原理和磁性现象。
二、角动量的定义与性质角动量是描述物体旋转状态的物理量，它包括轨道角动量和自旋角动量两部分。
轨道角动量是由物体围绕某一轴进行转动而产生的，而自旋角动量是由物体内部的自旋旋转而产生的。
在经典物理学中，角动量是一个矢量量，具有大小、方向和旋转性质。
在量子力学中，角动量的定义与经典物理学有所不同。
量子力学中的角动量是由对应的算符来描述的，其中包括了轨道角动量算符和自旋算符。
这两个算符的本征值与对应的物理量有关，比如角动量大小和取向。
量子力学中的角动量算符满足一系列的代数性质，如对易关系和角动量的叠加原理。
三、自旋和角动量的应用自旋和角动量在物理学中有许多重要的应用。
首先，自旋和角动量是理解原子结构和电子行为的关键概念。
例如，通过自旋量子数可以解释为什么氧原子的基态是一个三重态，而利用轨道角动量可以解释原子光谱的特征。
此外，自旋和角动量还在核物理、粒子物理以及凝聚态物理等领域中得到广泛的应用。
在核物理中，角动量的守恒定律是解释核衰变和核反应的基础。
在粒子物理中，自旋被用来标记基本粒子的性质，如费米子具有半整数自旋，玻色子具有整数自旋。
粒子物理学中的角动量与自旋
粒子物理学中的角动量与自旋粒子物理学是研究微观世界中构成物质的基本粒子及其相互作用的学科。
在这个领域中，角动量和自旋是两个重要的概念。
本文将介绍粒子物理学中的角动量和自旋的基本概念和性质。
一、角动量的定义与性质在粒子物理学中，角动量是描述粒子自身旋转状态的物理量。
它是经典力学和量子力学中重要的物理量之一。
角动量不仅包含了粒子旋转的快慢，还包含了旋转的方向。
对于经典力学而言，角动量的定义可以表述为J=r×p，其中r是粒子到某一固定点的矢量，p是粒子的线性动量。
角动量的单位是[kg·m^2/s]，它是一种矢量。
在量子力学中，角动量是由角动量算符表示的。
角动量算符可以分为轨道角动量算符L和自旋角动量算符S两部分。
轨道角动量算符描述了粒子围绕某一轴的运动。
自旋角动量算符则描述了粒子自身固有的旋转状态。
具体而言，轨道角动量算符L与位置和动量算符之间的关系可以表示为L=r×p，而自旋角动量算符S则与粒子的内禀自旋有关。
二、自旋与角动量自旋是描述粒子固有性质的物理量。
它与粒子的旋转和内部结构有关，但并不是物体自转的经典概念。
在粒子物理学中，自旋被视为一种内禀角动量，它与粒子的质量和电荷等性质密切相关。
自旋可以是整数或半整数，分别对应于玻色子和费米子。
例如，光子的自旋为1，电子的自旋为1/2。
自旋在粒子物理学中起着重要的作用。
它决定了粒子的性质和行为，例如粒子的稳定性、相互作用方式等。
在量子力学中，自旋角动量算符S与自旋矢量之间的关系可以表示为S=sħ，其中s为自旋量子数，ħ为约化普朗克常数。
三、角动量守恒在粒子物理学中，角动量守恒是一个基本原理。
根据角动量守恒定律，一个封闭系统的总角动量在时间上是守恒的。
这意味着在一个过程中，如果没有外力或外界扰动作用，粒子系统的总角动量将保持不变。
这一原理在粒子物理学中具有广泛的应用。
四、角动量与粒子的识别粒子物理学中，角动量也被用于粒子的识别。
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第六章 自旋和角动量非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功。
用薛定谔方程算出的谱线频率,谱线强度也和实验结果相符。
但是，更进一步的实验事实发现，还有许多现象，如光谱线在磁场中的分裂，光谱线的精细给构等，用前面几章的理论无法解择，根本原因在于，以前的理论只涉及轨道角动量。
新的实验事实表明，电子还具有自旋角动量。
在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加的量子数引入的。
本章只是根据电子具有自旋的实验事实，在定薛谔方程中硬加入自旋。
本章的理论也只是局限在这样的框架内。
以后在相对论量子力学中，将证明，电子的自旋将自然地包含在相对论的波动方程—狄拉克方程中。
电子轨道角动量在狄拉克方程中不再守恒，只有轨道角动量与自旋角动量之和，总角动量才是守恒量。
本章将先从实验上引入自旋，分析自旋角动童的性质，建立包含自旋在内的非相对论量子力学方程—泡利方程。
然后讨论角动量的藕合，并进一步讨论光错线在场中的分裂和精细结构，此外还会对电子在磁场中的一些其他的有趣的重要现象作些探讨。
§6. 1电子自旋施特恩(Stern)一盖拉赫(Gerlach)实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一，如图6.1.1，由K 源射出的处于s 态的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场，照射到底片PP 上，结果发现射线束方向发生偏转，分裂成两条分立的线.这说明氢原子具有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生偏转.由于这是处于s 态的氢原子，轨道角动量为零,s 态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生，这是一种新的磁矩.另外，由于实验上只发现只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中只有两种取向，是空间量子化的，而且只取两个值。
假定原子具有的磁矩为M ，则它在沿z 方向的外磁场 中的势能为U= -M =M cos θ (6.1.1)θ为外磁场与原子磁矩之间的夹角。
按(6.1.1)式，原子在z 方向所受的力是F z =-ZU ∂∂=Mz∂∂cos θ (6.1.2)实验证明，这时分裂出来的两条谱线分别对应于cos θ=+1和-1两个值。
为了解释旋特恩一格拉赫实验，乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)提出了电子具有自旋角动量的说法，他们认为:(1) 每个电子都具有自旋角动量S,S 在空间任何方向上的投影只能取两个值.若将空间的任意方向取为z 方向，则S z =± /2 (6.1.3)(2) 每个电子均具有自旋磁矩M s ，它与自旋角动量之间的关系是 M s =-S me (SI) 或 M s =-S mce (CGS) (6.1.4.)式中(SI)表示国际单位，CGS 表示CGSE 单位。
由于在许多量子力学参考书及文献中常用CGSE 单位，为方便读者，我们主要用CGSE 单位但将SI 单位的结果也写在这里。
(6.1.4)式中，电子带的电荷是—e,质量是m 。
由于s 取值量子化，因此，M s 在空间任意方向上的投影也只能取两个值。
B szM me M±=±=2 （SI ） 或 BszMmce M±==2 （CGS ） (6.1.5)M B 是玻尔磁子。
由(6.1.5)式可见，电子自旋磁矩和自旋角动量之比是me S Mzsz-= （SI ）；mce S Mzsz-= （CGS ） (6.1.6）这个比值称为电子自旋的回转磁比率。
另外，由于轨道角动量和轨道磁矩满足 L me ML-= (SI)；L mce ML-= （CGS ） (6.1.7)因而轨道运动的回转磁比率是me 2-(SI),或mce 2-(CGS )。
自旋回转磁比率是轨道运动回转磁比率的两倍。
自旋是电子的一种固有的属性。
千万不要认为，电子自旋是因为电子在作机械的自转引起。
可以证明，如果将电子想象成为一个电荷均匀分布的小球，由于电子的半径约为2.8⨯10-13cm ，要想使它的磁矩由于自转而达到一个玻尔磁子，则它的表面旋转速度将超过光速。
这当然是不可能的。
(请读者自己证明)电子自旋是一个新的自由度，与电子的空间运动完全无关。
电子自旋是电子的内禀属性.电子的自旋磁矩是内禀磁矩。
事实上，随着人们认识的深入，越来越发现对于某些粒子，除了时空自由度还有其他的自由度。
例如质子和中子，除时空、自旋外，还有同位旋。
夸克则还具有“味”和“色”等自由度。
不过，自旋自由度是除时空自由度外的第一个新发现。
值得指出的是，电子自旋角动量与轨道角动量不同，电子自旋的取值是±2/ ,而不是 的整数倍。
电子自旋的g 因子||s g 是2,轨道的||l g 为1.当然，自然界中也存在着自旋取 整数值的粒子。
我们在全同粒子一章中再作讨论。
§6. 2 电子的自旋算符和自旋函数电子具有自旋，这个新的自由度具有下述特色:(1)它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间等变量表示。
(2)它完全是一种量子效应，没有经典的对应量。
也可以说，当0→ 时，自旋效应消失这可以从(6.1.3)式看出。
(3)它是角动量，满足角动量算符的最一般的对易关系.而且电子自旋在空间中任何方向的投影只取±2/ 两个值。
根据电子自旋的上述特点，可以找出自旋算符的矩阵表示，以及自旋算符的本征函数。
首先，自旋既然是个物理量，在量子力学中，它应该用线性厄米算符表示。
其次，既然是算符，它的性质就应该由算符所满足的对易关系决定。
由于自旋具有角动量性质，而角动量算符J 满足的对易关系是J i J Jˆˆˆ =⨯ (6.2.1) 在量子力学中，千万不要有一种误解，即角动量就是p r ⨯，p r ⨯只是轨道角动量，是角动量的一种，它也满足(6.2.1)式。
在量子力学中，角动量的定义是通过对易子给出的。
按定义，凡满足对易关系(6.2.1)式的算符称为角动量。
自旋既然是角动量，自旋算符必须满足S i S Sˆˆˆ =⨯ (6.2.2) 写成分量形式是⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-y z x x z x y z z y z x y y x S i S S S S S i S S S S S i S S S S ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ (6.2.3)由于S ˆ在空间中任意方向的投影只能取±2/ 两个值。
因此，任意选定x 、y 、z 坐标后，x S ˆ、y S ˆ、z S ˆ三个算符的本征值都是±2/ ；2xS 、2y S 、2z S 的值都是4/2 ，即 4/2222 ===z y x S S S (6.2.4)2222243 =++=zy x S S S S(6.2.5)若将任何角动量平方算符的本征值记为22)1( +=j j J ，j 称为角动量量子数，则自旋角动量量子数s 满足2/1,43)1(222==+=s s s S(6.2.6)为方便起见，引入算符σˆ，令σˆ2ˆ =S(6.2.7) 即x x S σˆ2ˆ = ，y y S σˆ2ˆ = ，z zS σˆ2ˆ = (6.2.8)由公式(6.2.2)及(6.2.7)式可得σˆ满足的对应关系是σσσˆ2ˆˆi =⨯ (6.2.9)写成分量形式是⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-y z x x z x y z z y z x y y x i i i σσσσσσσσσσσσσσσˆ2ˆˆˆˆˆ2ˆˆˆˆˆ2ˆˆˆˆ (6.2.10)由(6.2.7)式可见，x σˆ、y σˆ、z σˆ的本征值为1±，而且2xσ=2yσ=2zσ=1 （6.2.11）定义任何算符Aˆ和B ˆ的反对易关系为 []A B B A B ,Aˆˆˆˆˆˆ+=+（6.2.12）由(6.2.10)式得[]x y yx y x σσσσσσ+=+ˆ,ˆ)ˆˆˆˆ(ˆ21ˆ)ˆˆˆˆ(21y z z y y y y z z y iiσσσσσσσσσσ-+-==0 （6.2.13）同理，[]0ˆ,ˆ=+z yσσ (6.2.14)[]0ˆ,ˆ=+x z σσ (6.2.15)x σˆ、y σˆ、z σˆ之间相互反对易。
现在来找在特定表象下，x σˆ、y σˆ、z σˆ算符的矩阵形式。
由于2ˆS 与zS ˆ对易（或称2ˆσ与z σˆ 对易），在它们的共同表象中，zS ˆ的矩阵必然是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10012 z S (6.2.16) 这是因为z S ˆ只有两个本征值，因而它对应的矩阵只能是2×2的矩阵，而且在z S ˆ自身表象中，z S ˆ对应对角矩阵，且矩阵对角线上的元素就是它的本征值。
由于(6.2.7)式，zσ的矩阵是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001zσ(6.2.17)为求出 、在 表象的矩阵形式，注意 与 反对易， 与也只能是 矩阵，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d cb a xσ(6.2.18) a 、b 、c 、是待求的矩阵元。
由于xS ˆ厄米，因此x σˆ也厄米，在(6.2.18)式中必有*=b c ,再由 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+**d b b a d b b axz z x 10011001σσσσ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--**d b b ad bb a =0 (6.2.19) 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡===*00,0,0b b d a xσ（6.2.20）又因12=xσ, 故有100222=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=b b xσ(6.2.21) 即2b =1，αi e b =,若取0=α，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110xσ(6.2.22) 利用(6.2.17)式、(6.2.22)及 (6.2.10)式,可求得y σ为)(21z x xz y i σσσσσ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10010*********0121i ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=00ii (6.2.23) 综合上述,最后得出⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110x σ, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=00ii y σ, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001zσ (6.2.24)相应地⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01102 xS ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=002ii S y ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10012 z S (6.2.25) 表示式(6.2.24)的x σ、y σ、z σ称为泡利矩阵。
应该指出，泡利矩阵只是满足σˆ算符对易关系(6.2.9)式，在z σ表象中给出的一种可能的矩阵。
它不是唯一的。
在(6.2.21)式中，αi e b =泡利矩阵固定了0=α，这只是一种最方便的取法，而不是唯一的取法。
事实上，只取定z σˆ，只固定了z 轴，在x-y 平面中没有确定,还具有相角不确定性。
角度α是相角不确定性的反映。
泡利矩阵选定了0=α，是一种特定的选择。
另外，还应该指出，泡利矩阵非常有用。
因为任何2×2的厄米矩阵都可以表示为单位矩阵及x σ、y σ、z σ三个矩阵的线性组合。