大学物理课件14

因为内力的力矩两两相消，则： dL M Min 0 dt
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一、质点系角动量定理
质点系统所受外力矩之和等于系统总 角动量的变化率。
t M 外dt dL 或： t M 外dt L L0
0
注：内力矩不改变系统总角动量，但使得角 动量系统内部重新分配。
2.4.4
质点角动量守恒定律
若作用于质点的合力对参考点的力矩 M 0 ,
由
dL M＝ dt
即
，
得
dL 0 dt
L
恒矢量
若作用于质点的合力对参考点的力矩始终为零, 则质点对同一参考点的角动量将保持恒定。 注意：(1)这也是自然界普遍适用的一条基本规律。 (2) M = 0，可以是r = 0,也可以是F = 0, 还可能是r 与F 同向或反向，例如有心力情况。 1
二、若系统不受外力矩，或所受外力矩之和 为零，系统角动量守恒。
n L Li C
i 1
角动量守恒定律
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说明：
（1）可用角动量守恒定律推出牛顿第三定律。故牛 顿第三定律是牛顿第二定律同时与动量守恒定律、 角动量守恒定律协调一致的必然结果。 （2）若系统不是孤立系统（受外力不为零），但 系统所受外力对某点的外力矩之和为零，则系统动 量不守恒，但对该点的角动量守恒。 （3）角动量守恒定律只能在惯性系中使用，且守 恒过程中各质点角动量应是对同一参考点的。对 不同参考点的角动量之间的比较无意义。
m
a/2
o
质点系对o点的合外力矩为零，
a/2
m
m
V0
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设碰后杆转动的角速度为 ， 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2

a/2
o a/2
由角动量守恒定律，得：
V
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
=2v0/3a
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பைடு நூலகம்1 质量为m的小球系于细绳的一端，绳的另一端缚 在一根竖直放置的细棒上 , 小球被约束在水平面内 绕细棒旋转 , 某时刻角速度为 1 ，细绳的长度为 r 1 。
当旋转了若干圈后 , 由于细绳缠绕在细棒上 , 绳长
变为r2, 求此时小球绕细棒旋转的角速度2。 解 小球受力 绳子的张力FT ,指向细棒； 重力mg ，竖直向下；支撑力FN ,竖直向上。 FT 与绳子平行, 不产生力矩； FN 与 mg 平衡，力矩始终为零。所以, 作用于小 球的力对细棒的力矩始终等于零, 故小 球对细棒的角动量必定是守恒的。
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例2-19. 质量均为m的两个小钢球固定在一个长为a 的 轻质硬杆的两端，杆的中点有一轴使杆可在水平面内自 由转动。杆原来静止。另一泥球质量也是m，以水平速 度V0垂直于杆的方向与其中的一个钢球发生碰撞，碰后 两者粘在一起。求碰撞后杆转动的角速度。
解：选质点系: 两个钢球+泥球 碰撞过程， 系统角动量守恒.
必定越转越大, 即
2 1
。
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例2 半径为R的光滑圆环上A点
有一质量为m的小球，从静止开
始下滑，若不计摩擦力，求小球 到达B点时的角动量和角速度。 解1 小球受重力矩作用，由角动量定理：
R
θ Fn
v
B
A

dL M mgR cos dt d
dt 2 mR d d t L
m
m lim
v
r t
t 0
sin r
行星受力方向与矢径在一条 直线（有心力），故角动量守恒。
S 2m lim t 0 t dS 2m dt
3
例2-18
l0
o
l

v2
满足三个守恒
mv0 m mv1 子弹射入： 摆动：m mv1l0 m mv2l sin
(3)如果作用于质点的合力矩不为零，而合力矩沿Oz 轴的分量为零,则
l z 恒量 ( 当Mz = 0时 )
2
例 2-17
试用角动量守恒定律证明行星运动的开
普勒第二定律 : 对于任一行星，由太阳到行星的径
矢在相等的时间内扫过相等的面积。 L L r mv sin
S
r
r
r1 r2
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根据质点对轴的角动量守恒定律
mv1r 1 mv2 r2
式中v1是半径为r1时小球的线速度, v2是半径为 r2时小球的线速度。 而
v1 1r1 , v2 2 r2
2 mr 1 1
代入上式得

2 mr 2 2
r1 2 2 ( ) 1 解得 r2 可见, 由于细绳越转越短, r2 r1 , 小球的角速度
1 1 1 2 2 2 m m v1 m m v2 K l l0 2 2 2
v1
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2.4.5 质点系的角动量定理及其守恒定律 质点系对定点的角动量，等于各质点对该 点的角动量的矢量和。
L Li ri Pi i i dPi dL ri Fi f i M Min ri dt dt i i
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解2：由机械能守恒定律可得
且
mgh=½mv2 h=Rsinθ v=Rω
可得

又
2 g si n R
2
L mvR mR
得
L 2m R g sin
2 3
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, L mRv mR
2
mg
得到
L d L m gR cos d
2 3
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利用初始条件对上式积分

L
0
L d L m gR
2
3


0
cos d
L 2m R g sin
2 2 3
L
2
2m R g sin
2 3
L mR 2g si n R