多边形及其内角和课件.ppt
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多边形及其内角和课件PPT课件优秀课件
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探究1
三角形的定义：
在同一平面内，由不在同一 条直线上的三条线段首尾顺次连 接而成的图形。
多边形的定义
在同一平面内，由不在同 一条直线上的一些线段首尾顺 次相接组成的图形叫做多边形 。
五边形
六边形
七边形
……
多边形按组成它的线段条数
分成三角形、四边形、五边形
1A
B
59;
θ
α Oδ
B'
βγ
C'
C 3
4 D
结论：
1， 2， 3， 4， D' 5的和等于
照猫画虎
我们也可以利用以上不同的方法分
割多边形，得到n边形的内角和公式
An
p
A1
A5
A4
An
A1
A5
A4
A2
A3
An
A5
A2
p
An
A3
A5
A1 A2
A4 A3
A1
A2 p
A4 A3
最终结论
n边形内角和等于 （n－2）× 180°
抢答
1、八边形的内角和等于多少度？ 十边形呢？
（8－2) ×180°= 1080° (10－2) ×180°= 1440°
……其中三角形是最简单的多边
形。
如果一个多边形由n条线段组
成，那么这个多边形就叫做n边
形。
n3
可表示为：五边形ABCDE或五边形AEDCB
A
内角
多
边
顶点
形
的 相B
E 外角
关
概
1
念边
D
C 对角线
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。
探究1
三角形的定义：
在同一平面内，由不在同一 条直线上的三条线段首尾顺次连 接而成的图形。
多边形的定义
在同一平面内，由不在同 一条直线上的一些线段首尾顺 次相接组成的图形叫做多边形 。
五边形
六边形
七边形
……
多边形按组成它的线段条数
分成三角形、四边形、五边形
1A
B
59;
θ
α Oδ
B'
βγ
C'
C 3
4 D
结论：
1， 2， 3， 4， D' 5的和等于
照猫画虎
我们也可以利用以上不同的方法分
割多边形，得到n边形的内角和公式
An
p
A1
A5
A4
An
A1
A5
A4
A2
A3
An
A5
A2
p
An
A3
A5
A1 A2
A4 A3
A1
A2 p
A4 A3
最终结论
n边形内角和等于 （n－2）× 180°
抢答
1、八边形的内角和等于多少度？ 十边形呢？
（8－2) ×180°= 1080° (10－2) ×180°= 1440°
……其中三角形是最简单的多边
形。
如果一个多边形由n条线段组
成，那么这个多边形就叫做n边
形。
n3
可表示为：五边形ABCDE或五边形AEDCB
A
内角
多
边
顶点
形
的 相B
E 外角
关
概
1
念边
D
C 对角线
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。
多边形及其内角和课件PPT课件
A2
An
A5
A4
A3
A5
An
A5
A1
A2
p
An
A4
A3
A5
A1 A2
A4
A1
A3
第二十六页，课件共有49页
A2 p
A4 A3
最终结论
n边形内角和等于
（n－2）× 180°
第二十七页，课件共有49页
抢答
1、八边形的内角和等于多少度？ 十 边形呢？
（8－2) ×180°= 1080° (10－2) ×180°= 1440°
0 1 23
分割出的三角形的个数：
1
2
34
n边形
n－3 n－2
第八页，课件共有49页
总结2 n边形从一个顶点出发的对角线条
数为：(n－3) 条(n≥3)
n边形共有对角线 n(n 3条) (n≥3) 2
第九页，课件共有49页
你能说出这两幅图形的异同点吗？
D
E
A
C
G
B （1）
F
（2）
H
第十页，课件共有49页
边形外角和？
A5
多边形的任何一个内角加上与它相邻的内
A4 角都等于180°（平角），n个外角连同它们的 各自相邻的内角，共有n个180°，总和为n× 180° ，再用它减去n个内角的和，剩下的就是
多边形的外角和了！
n 1800 (n 2) 1800
2 1800 3600
多边形的外角和等于360ْ
5
6
=108°
=120°
（8-2）×180° 8
=135°
……
正n边形
（n-2）×180° n
第二十九页，课件共有49页
An
A5
A4
A3
A5
An
A5
A1
A2
p
An
A4
A3
A5
A1 A2
A4
A1
A3
第二十六页，课件共有49页
A2 p
A4 A3
最终结论
n边形内角和等于
（n－2）× 180°
第二十七页，课件共有49页
抢答
1、八边形的内角和等于多少度？ 十 边形呢？
（8－2) ×180°= 1080° (10－2) ×180°= 1440°
0 1 23
分割出的三角形的个数：
1
2
34
n边形
n－3 n－2
第八页，课件共有49页
总结2 n边形从一个顶点出发的对角线条
数为：(n－3) 条(n≥3)
n边形共有对角线 n(n 3条) (n≥3) 2
第九页，课件共有49页
你能说出这两幅图形的异同点吗？
D
E
A
C
G
B （1）
F
（2）
H
第十页，课件共有49页
边形外角和？
A5
多边形的任何一个内角加上与它相邻的内
A4 角都等于180°（平角），n个外角连同它们的 各自相邻的内角，共有n个180°，总和为n× 180° ，再用它减去n个内角的和，剩下的就是
多边形的外角和了！
n 1800 (n 2) 1800
2 1800 3600
多边形的外角和等于360ْ
5
6
=108°
=120°
（8-2）×180° 8
=135°
……
正n边形
（n-2）×180° n
第二十九页，课件共有49页
多边形及其内角和ppt课件
∵ ∠7+∠ 8+∠9+ ∠10 +∠11+ ∠12 =（6－2）×180 °= 720°, ∴ ∠1+∠ 2+∠3+ ∠4 +∠5+ ∠6 = 6×180 °－720 ° = 360°.
对于 n 边形，结论仍然成立！
结论： 多边形的外角和等于
360°.
探索与思考
探索多边形的外角和
多边形边 数
多边形的 内角和
4、正方形的内角和是 3600 度，长方形的内 角和是 3600 度。
学习目标
1.掌握多边形的定义及有关概念，能区分凹凸多边形. 2.掌握正多边形的概念.（重点） 3.会求多边形的对角线的条数.（难点）
情境引入
导入新课
在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你 能找到由一些线段围成的图形吗？
5.若两个多边形的比是1:2，内角和的度数比是1:3，求这 两个多边形的边数。
课堂小结
(1)本节课学习了哪些主要内容? (2)我们是怎样得到多边形内角和公式的? (3)在探究多边形内角和公式的过程中， 连接对角线起到什么作用?
∠C=108°,∠D=144° A
B
例题讲解
3、过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这 个多边形分成5个三角形。这个多边形是几边形 ？它的内角和是多少？ 解：设这个多边形的边数为n，由题意得：
n-2=5 n=7 内角和=(n-2)x180°
=(5-2)x180° =900°
答：这个多边形是七边形，它的内角和是900°
从n边形的一个顶点可以引＿＿n＿-3＿＿对角线，把 多边形分成＿＿n-＿2＿个三角形．
n边形的内角和等于＿(n＿-2＿) ×＿1＿8＿00
对于 n 边形，结论仍然成立！
结论： 多边形的外角和等于
360°.
探索与思考
探索多边形的外角和
多边形边 数
多边形的 内角和
4、正方形的内角和是 3600 度，长方形的内 角和是 3600 度。
学习目标
1.掌握多边形的定义及有关概念，能区分凹凸多边形. 2.掌握正多边形的概念.（重点） 3.会求多边形的对角线的条数.（难点）
情境引入
导入新课
在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你 能找到由一些线段围成的图形吗？
5.若两个多边形的比是1:2，内角和的度数比是1:3，求这 两个多边形的边数。
课堂小结
(1)本节课学习了哪些主要内容? (2)我们是怎样得到多边形内角和公式的? (3)在探究多边形内角和公式的过程中， 连接对角线起到什么作用?
∠C=108°,∠D=144° A
B
例题讲解
3、过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这 个多边形分成5个三角形。这个多边形是几边形 ？它的内角和是多少？ 解：设这个多边形的边数为n，由题意得：
n-2=5 n=7 内角和=(n-2)x180°
=(5-2)x180° =900°
答：这个多边形是七边形，它的内角和是900°
从n边形的一个顶点可以引＿＿n＿-3＿＿对角线，把 多边形分成＿＿n-＿2＿个三角形．
n边形的内角和等于＿(n＿-2＿) ×＿1＿8＿00
《多边形及其内角和》ppt课件
证明过程
详细展示多边形内角和定理的证明过 程，帮助学习者深入理解定理的证明 思路。
03 多边形内角和的计算方法
公式法计算内角和
01
公式法是计算多边形内角和最常用的方法，通过公式可 以直接计算出多边形的内角和。
02
对于一个n边形，其内角和S可以通过公式计算：S = (n 2) * 180°。
03
这个公式基于多边形的定义和性质，通过数学推导得出 ，适用于任何凸多边形和凹多边形。
举例说明
通过具体实例，如四边形、五边形等，演示如何运用三角形内角和推导多边形内 角和。
内角和定理的应用
解决实际问题
多边形内角和定理可以应用于解 决实际问题，如计算多边形面积 、解决几何问题等。
拓展知识
介绍多边形内角和定理在其他领 域的应用，如建筑设计、计算机 图形学等。
内角和定理的证明
证明方法
介绍多边形内角和定理的证明方法， 包括几何证明、代数证明等。
多边形的分类
总结词
根据边的数量和形状，可以将多边形分为三角形、四边形、 五边形等。
详细描述
三角形是多边形中最简单的形式，由三条边组成。四边形由 四条边组成，五边形由五条边组成，以此类推。此外，根据 边的形状，多边形还可以分为凸多边形和凹多边形。
多边形的性质
总结词
多边形具有一些基本的几何性质，如内角和、外角和等。
建筑设计中的应用
建筑设计中的角度计算
多边形内角和在建筑设计中有广泛的应用，如角度计算、空间布局等。通过利用多边形 内角和的知识，设计师可以更加精确地计算出建筑物的角度和方向，从而更好地进行空
间布局和设计。
建筑光学与视觉效果
多边形内角和的知识还可以应用于建筑光学和视觉效果的设计。利用多边形的内角和性 质，可以调整建筑物的窗户、镜面等元素的角度，创造出更加舒适和美观的视觉效果。
详细展示多边形内角和定理的证明过 程，帮助学习者深入理解定理的证明 思路。
03 多边形内角和的计算方法
公式法计算内角和
01
公式法是计算多边形内角和最常用的方法，通过公式可 以直接计算出多边形的内角和。
02
对于一个n边形，其内角和S可以通过公式计算：S = (n 2) * 180°。
03
这个公式基于多边形的定义和性质，通过数学推导得出 ，适用于任何凸多边形和凹多边形。
举例说明
通过具体实例，如四边形、五边形等，演示如何运用三角形内角和推导多边形内 角和。
内角和定理的应用
解决实际问题
多边形内角和定理可以应用于解 决实际问题，如计算多边形面积 、解决几何问题等。
拓展知识
介绍多边形内角和定理在其他领 域的应用，如建筑设计、计算机 图形学等。
内角和定理的证明
证明方法
介绍多边形内角和定理的证明方法， 包括几何证明、代数证明等。
多边形的分类
总结词
根据边的数量和形状，可以将多边形分为三角形、四边形、 五边形等。
详细描述
三角形是多边形中最简单的形式，由三条边组成。四边形由 四条边组成，五边形由五条边组成，以此类推。此外，根据 边的形状，多边形还可以分为凸多边形和凹多边形。
多边形的性质
总结词
多边形具有一些基本的几何性质，如内角和、外角和等。
建筑设计中的应用
建筑设计中的角度计算
多边形内角和在建筑设计中有广泛的应用，如角度计算、空间布局等。通过利用多边形 内角和的知识，设计师可以更加精确地计算出建筑物的角度和方向，从而更好地进行空
间布局和设计。
建筑光学与视觉效果
多边形内角和的知识还可以应用于建筑光学和视觉效果的设计。利用多边形的内角和性 质，可以调整建筑物的窗户、镜面等元素的角度，创造出更加舒适和美观的视觉效果。
八年级数学上册第十一章11.3《多边形及其内角和》PPT课件
探究新知
素养考点 1 多边形的截角问题
例1 凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边 数可能是多少？画出图形说明．
解：∵六边形截去一个角的边数有增加1、减少1、不变三种情况， ∴新多边形的边数为7、5、6三种情况， 如图所示.
探究新知
归纳总结
一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能 增加了一条，也可能不变或减少了一条.
正三角形 正方形
正五边形 正六边形
探究新知 想一想 下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？
（四条边都相等）
（四个角都相等）
答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等；第二个图形不 符合各边都相等.
注意 判断一个多边形是不是正多边形，各边都相等，各角 都相等，两个条件必须同时具备.
巩固练习
4.下列属于正多边形的特征的有( B )
解析：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条， 则将多边形分割为3个三角形． 所以该多边形的内角和是3×180°=540°．
课堂检测
基础巩固题
1.下列多边形中，不是凸多边形的是（ B ）
A
B
C
D
2. 九边形的对角线有（ C ） A. 25条 C. 27条
B. 31条 D. 30条
课堂检测
基础巩固题
11.3 多边形及其内角和 11.3.1 多边形
导入新知
在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围 成的图形.观察图片，你能找到由一些线段围成的图形吗？
导入新知
导入新知
中国某一村远景图
五角大楼
素养目标
3. 掌握多边形对角线的定义及公式，并能运 用公式解决相关问题. 2. 了解什么是凸多边形和正多边形.
探究新知 思考 比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要 强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？ 这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，
多边形的内角和 (优质课)获奖课件
四、练习与小结 练习：教材练习． 教师布置练习，学生举手回答． 小结：谈谈你对三角形外角的认识． 教师引导学生谈谈对三角形外角的认识．主要从定义和 性质两个方面入手． 五、布置作业 习题11.2第5，6，8题，选做题：第11题．
通过三角形的内角和回顾引入，然后通过学生的预习，在 他们的理解基础上，去学习三角形的外角的定义，这样能 够加深他们对外角定义的理解，在探索三角形外角定理的 时候，我也是采取了学生去探索的思想，让他们自己大胆 猜想，然后同学们在老师的引导下去证明自己的猜想，这 样以后才能运用自如．
(二)五边形的内角和 问题1：你知道任意一个五边形的内角和是多少度吗？
问题2：你知道任意一个n边形的内角和是多少度吗？ (n－2)×180° 180°n－360° 180°(n－1)－180° 板书： 多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)×180°
补充例题：求十五边形内角和的度数． 1．教师提出问题，学生思考后分组活动． 2．教师深入小组，参与小组活动，及时了解学生探索的 情况． 3．让学生归纳借助辅助线将五边形分割成三角形的不同 分法． 4．探究五边形的边数与所分割的三角形个数间的关系， 进而得出五边形内角和与边数的关系． 5．根据以上分割三角形的方法，引导学生归纳n边形内 角和公式及不同公式间的联系，指明为了书写整齐，便 于记忆，我们选择(n－2)×180°这个公式． 6．通过计算，让学生巩固并掌握n边形内角和公式．
三、练习应用 1．教材练习． 补充： 2．问题：一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边 形？ 四、小结与作业 问题：谈谈本节课你有哪些收获？ 1．学生反思学习和解决问题的过程． 2．鼓励学生大胆表达，并对学生的进步给予肯定，树立 学生学好数学的自信心． 作业：习题11.3第2，4，5，6，7，8题，选做题：第9，10 题．
多边形的内角和与外角和共36张课件
第二十八页，共36页。
问题4：多边形的外角和是多少呢?
多边形的边数 3 4 5 6 7 … n
多边形的内角 与外角的总和
3180 4 180 5 180 6 180 7 180 …
540 720 900 1080 1260
n 180
多边形的内角和 1 8 0 3 6 0 5 4 0 7 2 0 9 0 0 … (n2)180
第二十二页，共36页。
2. 多边形内角和为1620°则它为_____边形，
3. 多边形每个内角都 等于120°，则它为_____边 形。
4. 四边形的内角的度数之比为２∶３∶5∶8，则
各角度数为 ____
第二十三页，共36页。
5.已知过m边形的一个顶点有7条对角线,n边 形没有对角线,p边形有p条对角线,求 ( m p )n 的
（3）你能否根据这样划分多边形的方法来说明 n边形的内角和等于 (n2)180 ？
当n＝6时，多边形的内角和为： 6180360 6 1802 180(62)180
第十六页，共36页。
方法三
在n边形某边上任取一点P，连结点P与多边形的每一个顶
点，可得多少个三角形？你能否根据这样划分多
边形的方法来说明n边形的内角和等于 (n2)180 ？ （图中取n＝5的情形）
每一条都重复计算一次，所以n边形一共有
n(n－3) 2
条对角线.
第十三页，共36页。
❖问题3. 三角形,四边形,五边形…...
❖
n边形的内角和是多少呢?
第十四页，共36页。
方 法 一
多边形的边数
3
分成的三角形个数 1
4 5 6 7… n 2 3 4 5 … n-2
多边形的内角和 1180 2 180
问题4：多边形的外角和是多少呢?
多边形的边数 3 4 5 6 7 … n
多边形的内角 与外角的总和
3180 4 180 5 180 6 180 7 180 …
540 720 900 1080 1260
n 180
多边形的内角和 1 8 0 3 6 0 5 4 0 7 2 0 9 0 0 … (n2)180
第二十二页，共36页。
2. 多边形内角和为1620°则它为_____边形，
3. 多边形每个内角都 等于120°，则它为_____边 形。
4. 四边形的内角的度数之比为２∶３∶5∶8，则
各角度数为 ____
第二十三页，共36页。
5.已知过m边形的一个顶点有7条对角线,n边 形没有对角线,p边形有p条对角线,求 ( m p )n 的
（3）你能否根据这样划分多边形的方法来说明 n边形的内角和等于 (n2)180 ？
当n＝6时，多边形的内角和为： 6180360 6 1802 180(62)180
第十六页，共36页。
方法三
在n边形某边上任取一点P，连结点P与多边形的每一个顶
点，可得多少个三角形？你能否根据这样划分多
边形的方法来说明n边形的内角和等于 (n2)180 ？ （图中取n＝5的情形）
每一条都重复计算一次，所以n边形一共有
n(n－3) 2
条对角线.
第十三页，共36页。
❖问题3. 三角形,四边形,五边形…...
❖
n边形的内角和是多少呢?
第十四页，共36页。
方 法 一
多边形的边数
3
分成的三角形个数 1
4 5 6 7… n 2 3 4 5 … n-2
多边形的内角和 1180 2 180
“多边形的内角和”课件(PPT)
多边形 的边数
图 形
从一个顶点 分割出的 出发的对角 三角形的 线条数 个数
多边形的 内 角 和
4 5 6
1 2 3
2 3 4
2×180º 3×180º 4×180º
n
…
…
n-3
…
n-2
…
(n-2)×180º
…
结论:n边形的内角和= （n-2）×180°
求十二边形内角和．
已知一个多边形的内角和为2160°， 求这个多边形的边数 ．
正三角形
正四边形
正五边形
正六边形
正八边形
因为正多边形的每个角相等，所以知道 正多边形的边数，就可以求出每一个内角的度数.
(n 2) 1800 正n边形每个内角的和 n
1. 多边形的内角和公式 n边形的内角和 ＝（n-2）• 180º ;
(n 2) 1800 法.
多边形的内角和
…… 三角形 四边形 五边形
由平面内不在同一直线上的 三条线段首尾顺次联结所组成的 封闭图形叫做三角形．
…… 三角形 四边形 五边形
由平面内不在同一直线上的 不在同一直线上 一些线段首尾顺次联结所组成的 首尾顺次联结 封闭图形 封闭图形叫做多边形．
三角形的内角和为180°
n 边形的内角和为几度？
如果一个多边形的边数增加1，那么它 的内角和将增加几度？
1.(1)填空：六边形的内角和为 (2)求十边形的内角和．
度．
2. 已知一个多边形的内角和为1260°, 求这个多边形的边数．
2x° 160° 90° 110°
3.求图中 x 的值.
x°
4.几边形的内角和是六边形内角和的2倍？
正多边形
正三角形
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为迎接2008奥运会,北京四家宾馆A 、B 、 C 、D
决定建一个停车场,使它到四个宾馆的距离和最小.请你
帮他们确定停车场的位置,并说
1.
从四边形的一个顶点出发,可以引 一 条对角线,它将四边形 分成 两 个三角形
2.
从五边形的一个顶点出发,可以引 两 条对角线,它将五边
形分成 三 个三角形.
了解一下
可表示为：五边形ABCDE或
五边形AEDCB
A
内角
E
外角 B
1
C
对角线：连接多边形不相邻的两个顶 点的线段。
D 对角线
比一比.画一画
请分别画出下列两个图形各边所在的直线,你能
得到什么结论？
D
E
A
C
G
B （1）
F
（2）
H
如图（1）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线 ，整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边
形就是凸多边形。本节我们只讨论凸多边形。
观察下面每个多边形的边、角有何特点？
在平面内，各个角都相等，各条 边也都相等的多边形叫做正多边形
1．下列不是凸多边形的是（C ）
A
B
C
D
2. 下列图形中∠1是外角的是（ D ）
１
１
１
１
A
B
C
D
3．下列说法正确的是（ B ）
A．一个多边形外角的个数与边数相同。 B. 一个多边形外角的个数是边数的二倍。 C．每个角都相等的多边形是正多边形。 D．每条边都相等的多边形是正多边形。
§7.3.1
多边形及其内角和
风 景 秀 丽 的 曼 哈 顿
美国国防部大楼——五角大楼
中国第一奇村诸葛八卦村
多边形的定义
三角形 长方形 四边形 六边形
在 你平 能面 仿内照三，角由形一的些定不义在给同出一多条边直形线的上 的 定线 义段 吗首？ 尾顺次相接组成的图形叫做 多边形。
八边形
五边形花坛,请你求出这个花坛的所有内角 的和.看谁的方法多!
拓展创新
1.从n边形的一个顶点出发,可以 引 n-3 条对角线.
2.从n边形的n个顶
点出发共可以引多
少条对角线？
Ａ2
n(n-3)
2
Ａ3
Ａ1
Ａn
Ａ5 Ａ4
3.
从六边形的一个顶点出发,可以引 三 条对角线,它将六边形
分成 四 个三角形.
…
从n边形的一个顶点出发,可以引 n-3条对角线,它将n边形 分成 n-2个三角形.
请你利用多边形设计一幅美丽的图 案吧,能写出一两句解说词吗?
通过这节课的学习我知道了
……
做一做：画出下面多边形的全部对角线.
议一议： 某实验中学的教学楼前要建一个