陕西省西安市八校2018届高三上学期第一次联考数学(理)试题含答案
2018届高三上学期第一次联考数学试卷(理科) Word版含解析
2018届高三上学期第一次联考试卷数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集U=R ，集合A={x|x 2﹣2x ＜0}，B={x|x ﹣1≥0}，那么A ∩∁U B=（ ） A ．{x|0＜x ＜1} B ．{x|x ＜0} C ．{x|x ＞2} D ．{x|1＜x ＜2}2．已知复数，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则|a+bi|=（ ）A ．﹣1﹣3iB ．C ．10D ．3．已知命题p ：∃c ＞0，方程x 2﹣x+c=0 有解，则￢p 为（ ） A ．∀c ＞0，方程x 2﹣x+c=0无解 B ．∀c ≤0，方程x 2﹣x+c=0有解 C ．∃c ＞0，方程x 2﹣x+c=0无解 D ．∃c ＜0，方程x 2﹣x+c=0有解4．函数的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5．等比数列{a n }中，a 3=9，前3项和为，则公比q 的值是（ ）A ．1B ．C ．1或D ．﹣1或6．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x 的取值范围是（ ）A．[0，2）B．[2，7] C．[2，4] D．[0，7]7．设向量=（，1），=（x，﹣3），且⊥，则向量﹣与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°8．已知函数y=a x，y=x b，y=logcx的图象如图所示，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a9．如图在直角梯形ABCD中AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，，F为AE的中点，则=（）A．B．C． D．10．已知函数f（x）=ax2﹣x，若对任意x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=cos4x+sin2x，下列结论中错误的是（）A．f（x）是偶函数B．函数f（x）最小值为C．函数f（x）在（0，）内是减函数D．是函数f（x）的一个周期12．已知函数f（x）的定义域为R．∀a，b∈R，若此函数同时满足：（i）当a+b=0时，有f（a）+f（b）=0；（ii）当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，则称函数f（x）为Ω函数．在下列函数中是Ω函数的是（）①y=x+sinx；②y=3x﹣（）x；③y=．A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题：本题共4小题，每小题5分13．函数f（x）=的定义域为．14．（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a= ．15．若实数x，y满足约束条件，且z=x+2y有最大值8，则实数k= ．16．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知，其中ω＞0，若f（x）的最小正周期为4π．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数y=f（x）图象上各点向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，当x∈（﹣π，π）时，求函数g（x）的值域．18．已知数列{an }是公差为2的等差数列，数列{bn满足bn+1﹣bn=an，且b2=﹣18，b3=﹣24．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求bn取得最小值时n的值．19．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若a=2，AC边上的垂直平分线交边AB于点D且△DBC的面积为，求边c 的值．20．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．21．已知函数f（x）=e x（x2﹣a），a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，试求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）的最小值为﹣2e，试求a的值．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．2018届高三上学期第一次联考试卷数学（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩∁B=（）UA．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，由B中的不等式解得：x≥1，即B={x|x≥1}，∵全集U=R，B={x|x＜1}，∴∁UB）={x|0＜x＜1}．则A∩（∁U故选：A．2．已知复数，其中a，b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=（）A．﹣1﹣3i B．C．10 D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵，∴由，得﹣a﹣2i=1+bi，∴，则a=﹣1，b=﹣2．∴|a+bi|=|﹣2﹣i|=．故选：B．3．已知命题p：∃c＞0，方程x2﹣x+c=0 有解，则￢p为（）A．∀c＞0，方程x2﹣x+c=0无解B．∀c≤0，方程x2﹣x+c=0有解C．∃c＞0，方程x2﹣x+c=0无解D．∃c＜0，方程x2﹣x+c=0有解【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p ：∃c ＞0，方程x 2﹣x+c=0 有解，则￢p 为∀c ＞0，方程x 2﹣x+c=0无解． 故选：A ．4．函数的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】正弦函数的图象．【分析】结合函数的图象，由周期求出ω，再由函数图象经过点（，2），代入解析式Φ的值．【解答】解：由函数的图象可知，周期T=，可得T=π，∴ω=2函数图象经过点（，2），可得2=2sin （2×+Φ），∵Φ＜，∴Φ=．故选B ．5．等比数列{a n }中，a 3=9，前3项和为，则公比q 的值是（ ）A ．1B ．C ．1或D ．﹣1或 【考点】等比数列的通项公式；定积分．【分析】=3×=17=，a 3=9=，联立解出即可得出．【解答】解： =3×=27=，a=9=，3解得q=1或﹣．故选：C．6．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x的取值范围是（）A．[0，2）B．[2，7] C．[2，4] D．[0，7]【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的是什么，由此得出解答来．【解答】解：根据题意，得当x∈（﹣2，2）时，f（x）=2x，∴1≤2x≤8，∴0≤x≤3；当x∉（﹣2，2）时，f（x）=x+1，∴1≤x+1≤8，∴0≤x≤7，∴x的取值范围是[0，7]．故选：D．7．设向量=（，1），=（x，﹣3），且⊥，则向量﹣与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先根据向量的垂直求出x的值，再根据向量的夹角公式即可求出．【解答】解：向量=（，1），=（x，﹣3），且⊥，∴x﹣3=0，解得x=，∴﹣=（，1）﹣（，﹣3）=（0，4），∴|﹣|=4，||=2，（﹣）•=4，设向量﹣与的夹角为θ，∴cosθ===，∵0°≤θ≤180°，∴θ=60°．故选：B．8．已知函数y=a x，y=x b，y=logcx的图象如图所示，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据指数函数、对数函数与幂函数的图象与性质，用特殊值即可判断a、b、c的大小．【解答】解：根据函数的图象知，函数y=a x是指数函数，且x=1时，y=a∈（1，2）；函数y=x b是幂函数，且x=2时，y=2b∈（1，2），∴b∈（0，1）；函数y=logc x是对数函数，且x=2时，y=logc2∈（0，1），∴c＞2；综上，a、b、c的大小是c＞a＞b．故选：C．9．如图在直角梯形ABCD中AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，，F为AE的中点，则=（）A．B．C． D．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】如图所示，利用向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理可得【解答】解：如图所示：=+， =， =﹣， =+， =，∴=﹣+（+﹣）=﹣+，故选：C10．已知函数f（x）=ax2﹣x，若对任意x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】对进行化简，转化为a（x1+x2）﹣1＞0恒成立，再将不等式变形，得到a＞，从而将恒成立问题转变成求的最大值，即可求出a的取值范围【解答】解：不妨设x2＞x1≥2，====a（x1+x2）﹣1，∵对任意x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，＞0恒成立，∴x2＞x1≥2时，a（x1+x2）﹣1＞0，即a＞恒成立∵x2＞x1≥2∴∴a，即a的取值范围为[，+∞）故本题选D11．已知函数f（x）=cos4x+sin2x，下列结论中错误的是（）A．f（x）是偶函数B．函数f（x）最小值为C．函数f（x）在（0，）内是减函数D．是函数f（x）的一个周期【考点】三角函数的化简求值．【分析】将函数化成只有一个函数名，结合三角函数的性质求解即可．【解答】解：函数f（x）=cos4x+sin2x=（1﹣sin2x）2+sin2x=sin4x﹣sin2x+1=（sin2x﹣）+．∵f（﹣x）=[（﹣sinx）2﹣]+=f（x），∴f（x）是偶函数．∴A选项对．当sin2x=时，函数f（x）取得最小值为．∴B选项对．当x=和时，f（x）的值相等，函数f（x）在（0，）不是单调函数，．∴C 选项不对．由f（x）的解析式可得，是函数f（x）的一个周期．．∴D选项对．故选：C12．已知函数f（x）的定义域为R．∀a，b∈R，若此函数同时满足：（i）当a+b=0时，有f（a）+f（b）=0；（ii）当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，则称函数f（x）为Ω函数．在下列函数中是Ω函数的是（）①y=x+sinx；②y=3x﹣（）x；③y=．A．①②B．①③C．②③D．①②③【考点】分段函数的应用．【分析】容易判断函数①②为奇函数，且在定义域R上为增函数，可设y=f（x），容易得出这两函数满足Ω函数的两条，而函数③是奇函数，不是增函数，这样显然不能满足Ω函数的第②条，这样即可找出为Ω函数的函数序号．【解答】解：容易判断①②③都是奇函数；y′=1﹣cosx≥0，y′=ln3（3x+3﹣x）＞0；∴①②都在定义域R上单调递增；③在定义域R上没有单调性；设y=f（x），从而对于函数①②：a+b=0时，a=﹣b，f（a）=f（﹣b）=﹣f（b）；∴f（a）+f（b）=0；a+b＞0时，a＞﹣b；∴f（a）＞f（﹣b）=﹣f（b）；∴f（a）+f（b）＞0；∴①②是Ω函数；对于函数③，a+b＞0时，得到a＞﹣b；∵f（x）不是增函数；∴得不到f（a）＞f（﹣b），即得不出f（a）+f（b）＞0．故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分13．函数f（x）=的定义域为（0，）∪（2，+∞）．【考点】对数函数的定义域．【分析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零，分母不为0，对数的真数大于零，列出不等式组，进行求解再用集合或区间的形式表示出来．【解答】解：要使函数有意义，则∵∴log2x＞1或log2x＜﹣1解得：x＞2或x所以不等式的解集为：0＜x或x＞2则函数的定义域是（0，）∪（2，+∞）．故答案为：（0，）∪（2，+∞）．14．（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a= ．【考点】二项式系数的性质．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为 Tr+1=•x10﹣r•a r，令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．15．若实数x，y满足约束条件，且z=x+2y有最大值8，则实数k= ﹣4 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，∵z=x+2y有最大值8，∴平面区域在直线x+2y=8的下方，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大为x+2y=8，由，得，即B（0，4），同时B也在2x﹣y=k上，∴﹣y=4，解得k=﹣4，故答案为：﹣416．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第24 天，两马相逢．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{an }，其中a1=193，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn }，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm=193m++97m+=290m+×12.5≥2×3000，化为5m2+227m﹣1200≥0，解得m≥，取m=24．故答案为：24．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知，其中ω＞0，若f（x）的最小正周期为4π．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数y=f（x）图象上各点向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，当x∈（﹣π，π）时，求函数g（x）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）化简函数，利用正弦函数的单调性，求函数f（x）的单调递增区间；（2）求出g（x）=sin（+），即可求出当x∈（﹣π，π）时，函数g（x）的值域．【解答】解：（1）=sin2ωx+cosωx=sin（2ωx+）…最小正周期为4π，∴=4π，∴ω=，∴f（x）=sin（+），由…得4kπ﹣≤x≤4kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[4kπ﹣，4kπ+]，k∈Z…（2）由（1）知f（x）=sin（2ωx+），将函数y=f（x）图象上各点向左平移个单位长度后，得到函数y=g（x）的图象，∴g（x）=sin（+）…∵，∴…10分∴函数g（x）的值域为…18．已知数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn满足bn+1﹣bn=an，且b2=﹣18，b3=﹣24．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求bn取得最小值时n的值．【考点】数列递推式．【分析】（Ⅰ）由已知求得a2，结合公差求得首项，则数列{an}的通项公式可求；（Ⅱ）把数列{an}的通项公式代入bn+1﹣bn=an，利用累加法求得bn，结合二次函数求得bn取得最小值时n的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知d=2，再由bn+1﹣bn=an，且b2=﹣18，b3=﹣24，得a2=b3﹣b2=﹣6，则a1=a2﹣d=﹣6﹣2=﹣8，∴an=﹣8+2（n﹣1）=2n﹣10；（Ⅱ）bn+1﹣bn=2n﹣10，∴b2﹣b1=2×1﹣10，b3﹣b2=2×2﹣10，…bn﹣bn﹣1=2（n﹣1）﹣10（n≥2），累加得：bn=b1+2[1+2+…+（n﹣1）]﹣10（n﹣1）=b2﹣a1+2[1+2+…+（n﹣1）]﹣10（n﹣1），=﹣10+=．∴当n=5或6时，bn取得最小值为b5=b6=﹣30．19．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若a=2，AC边上的垂直平分线交边AB于点D且△DBC的面积为，求边c 的值．【考点】余弦定理；三角函数的化简求值；正弦定理．【分析】（I）利用正弦定理、和差公式即可得出．（II）利用三角形面积计算公式、余弦定理即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵，…∴，…∴3sinBcosC+sinBsinC=3sinBcosC+3sinCcosB，∴，∵sinC≠0．∴，即，∴．…（Ⅱ）由，∴BD=1，…∴在△DBC中，，…∴，∴．…20．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（Ⅱ）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（20）=1200，然后在区间[20，200]上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．21．已知函数f（x）=e x（x2﹣a），a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，试求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）的最小值为﹣2e，试求a的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数求出x=0处的切线斜率，根据点斜式写出切线方程；（2）函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，即当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立．要使得“当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立”，等价于即所以a≥3．（3）根据函数的单调性，得出函数f（x）的最小值只能在处取得．【解答】解：由题意可知f'（x）=e x（x2+2x﹣a）．（Ⅰ）因为a=1，则f（0）=﹣1，f'（0）=﹣1，所以函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣（﹣1）=﹣（x﹣0）．即x+y+1=0．（Ⅱ）因为函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，所以当x∈（﹣3，0）时，f'（x）=e x（x2+2x﹣a）≤0恒成立．即当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立．显然，当x∈（﹣3，﹣1）时，函数g（x）=x2+2x﹣a单调递减，当x∈（﹣1，0）时，函数g（x）=x2+2x﹣a单调递增．所以要使得“当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立”，等价于即所以a≥3．（Ⅲ）设g（x）=x2+2x﹣a，则△=4+4a．①当△=4+4a≤0，即a≤﹣1时，g（x）≥0，所以f'（x）≥0．所以函数f（x）在（﹣∞，+∞）单增，所以函数f（x）没有最小值．②当△=4+4a＞0，即a＞﹣1时，令f'（x）=e x（x2+2x﹣a）=0得x2+2x﹣a=0，解得当x∈时，．所以．所以f（x）=e x（x2﹣a）＞0．又因为函数f（x）的最小值为﹣2e＜0，所以函数f（x）的最小值只能在处取得．所以．所以．易得．解得a=3．以下证明解的唯一性，仅供参考：设因为a＞0，所以，．设，则．设h（x）=﹣xe x，则h'（x）=﹣e x（x+1）．当x＞0时，h'（x）＜0，从而易知g（a）为减函数．当a∈（0，3），g（a）＞0；当a∈（3，+∞），g（a）＜0．所以方程只有唯一解a=3．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1： +y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．。
陕西省西安市2018届高三上学期第一次考试数学(理)试题word版有答案
市一中高三第一次模拟考试数学（理）试题命题人：孙丽荣一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知i 为虚数单位，复数z 满足（1+i ）z=（1﹣i ）2，则|z|为（ ） A ．2B ．1C ．21D ．222.若M={x|﹣2≤x ≤2}，N={x|y=log 2（x ﹣1）}，则M ∩N=（ ） A ．{x|﹣2≤x ＜0} B ．{x|﹣1＜x ＜0} C ．{﹣2，0} D ．{x|1＜x ≤2}3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4+2πB ．8+2πC ．4+πD ．8+π4.下列命题中：①“∃x 0∈R ，x 02﹣x 0+1≤0”的否定； ②“若x 2+x ﹣6≥0，则x ＞2”的否命题； ③命题“若x 2﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题； 其中真命题的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5.设f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-2x ),1x (log 2x ,e 2231x ，则f （f （2））的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36.执行右上如图的程序框图，若程序运行中输出的一组数是（x ，﹣12），则x 的值为（ ）A ．27B ．81C ．243D ．729 7.已知函数f （x ）=cos （2x ﹣）+2cos 2x ，将函数y=f （x ）的图象向右平移个单位，得到函数y=g （x ）的图象，则函数y=g （x ）图象的一个对称中心是（ ） A ．（﹣，1） B ．（﹣，1） C ．（，1） D ．（，0）8.已知向量与的夹角为，||=，则在方向上的投影为（ ）A ．B ．C ．D ．9.已知实数x ，y 满足不等式组，若目标函数z=kx+y 仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k 的取值范围是 （ ）A ．（﹣1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1）C ．（1，+∞）D ．（﹣∞，1） 10.四个大学生分到两个单位，每个单位至少分一个的分配方案有（ ） A ．10种 B ．14种 C ．20种 D ．24种11.在区间[0，1]上随机选取两个数x 和y ，则y ＞2x 的概率为（ ） A ．41 B ．21 C ．43 D ．3112.已知双曲线1by a x 2222=-（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，且F 2为抛物线y 2=24x 的焦点，设点P 为两曲线的一个公共点，若△PF 1F 2的面积为366，则双曲线的方程为（ ）A ．127y 9x 22=-B ．19y 27x 22=-C ．19y 16x 22=-D ．116y 9x 22=-二、填空题（每小题5分，共20分） 13.已知幂函数y=x a 的图象过点（3，9），则的展开式中x 的系数为 ．14.已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 2+a 3=8，则数列{a n }的前n 项和S n = ．为 ． 16.定积分⎰-10(2x 1-+x)dx 的值为 ．三、解答题（每小题12分，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分12分） 在锐角△ABC 中， =（1）求角A ； （2）若a=，求bc 的取值范围．18. （本小题满分12分）如图，三棱锥P ﹣ABC 中，PA=PC ，底面ABC 为正三角形． （Ⅰ）证明：AC ⊥PB ；（Ⅱ）若平面PAC ⊥平面ABC ，AC=PC=2，求二面角A ﹣PC ﹣B 的余弦值． 19.（本小题满分12分）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。
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西安市部分重点中学2018级高三联考数学试题（2018.10）一、选择题：1、已知方程20.1316x x ⨯=-的解为0x ，则0x 属于（ ）A 、（3，4）B 、（4，5）C 、（5，6）D 、（6，7） 2、直线(1)20a x y a -+-=与圆2240x y y +-=的位置关系是（ ）A 、相交B 、相离C 、相切D 、相交或相切 3、若,z C ∈且(3A 、3i - 4、三个12cm ×（1）把6AB（1） A 、2163cm 5、数列{}n a 满足（ ）A 、6、把函数(y f x =12x y -+=A 、22log (1)x -+ B 、22log (1)x -- C 、2log (1)x -+ D 、2log (1)x -- 7、有五名应聘者同时参加某单位的招聘考试，按成绩排成第一名到第五名的名次，甲、乙两名应聘者去询问考试结果，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第一名。
”对乙说：“你当然也不是最后一名”。
那么这五人的名次排列一共有几种不同的情况（ ）A 、72 B 、60 C 、54 D 、488、四棱锥VA B C D -的底面是边长为4的菱形，且120BAD ∠=︒VA ABCD ⊥面，V A=3,则异面直线BD 和VC 的距离为（ ）A 、32B 、52C 、5D 、659、已知函数 9()93xx f x =+，则 123456()()()()()()777777f f f f f f +++++的 值是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、410、若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点12,F F ，且P 是两条曲线的一个交点，则12PF PF ⋅的值为（ ）A 、m a -B 、1()2m a - C 、22m a - D11、若1a >，则不等式22112log 2log x x x a a a a x x x--+>+-的解集（ ）：A 、(0,2)B 、(2,)+∞C 、(1,2)D 、(1,)+∞ 12、已知函数()y f x =（定义域为D ，值域为A ）有反函数1()y f x-=，则方程()0f x =有解x a =，且()()f x x x A >∈的充要条件是1()y f x -=满足（ ）A 、1(0)f a -=B 、1()f x x -<C 、1()y f x -=的图象位于y x =的下方D 、1()f x x ->且与y 轴的交点为（0，a ） 二、填空题13、已知sin cos 2((,))2παααπ=∈，则tg α=14、若函数22lg(2)y x x a =++的值域为 ，则实数a 的取值范围15、在二项式(13)n x +和(25)n x +的展开式中，各项系数之和记为,,n n a b n 是正整数，则2lim 34n nn n na b a b →∞--= 16、已知集合A ，B ，C ，ABA={直线}，B={平面}，C=A ⋃B ，若,,,a A b B c C ∈∈∈在下列命题中 ①,a b a c c b ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ②,a b a c c b ⎧⇒⊥⎨⊥⎩③ ,a b a c c b ⎧⇒⎨⎩ ④,a b a c c b ⊥⎧⇒⊥⎨⎩ 正确命题的序号是_______________（把你认为正确的序号都填上）三、解答题：17、(11分)在∆ABC 中，求：cos sin sin cos sin sin cos sin sin B A C A C B CA B ++的值．18、(11分)解关于x的不等式：2log 22a x x ---<19、(12分)如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB=AD=a ，BC=3a ，E 是BC 边上一动点，以DE 为棱把△CDE 折起，使其成为直二面角C —DE —A ，求四棱锥C —ABED 体积的最大值。
陕西西安八校2019高三联考试题-数学理
陕西西安八校2019高三联考试题-数学理2018届高三年级联考数 学 试 题〔理〕本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分，共150分，考试时间120分钟。
本卷须知1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上。
2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性〔签字〕笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清晰。
3、请按照题号在各题的答题区域〔黑色线框〕内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持纸面清洁，不折叠，不破损。
5、假设做选考题时，考生应按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题纸上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷〔选择题 共50分〕【一】选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕 1、全集U 和集合A ，B 如下图，那么()U C A B =〔 〕A 、{5，6}B 、{3，5，6}C 、{3}D 、{0，4，5，6，7，8}2、复数2(1)1i z i+=-的共轭复数是 〔 〕A 、-1-iB 、-1+iC 、1122i + D 、1122i - 3、双曲线2214x y -=的一个焦点坐标是〔 〕A 、(5,0)-B 、(2,0)-C 、3,0)D 、〔1，0〕4、函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0,()2x x f x >=时，那么(3)f -的值是〔 〕A 、18B 、18-C 、8D 、-8〔〕A 、假设,,,m n m n n αβαβαβ⊥=⊥⊥⊥则或B 、假设m 不垂直于α，那么m 不可能垂直于α内的许多条直线C 、假设,//,,,//m n m n n n αβαβαβ=⊄⊄且则且n//D 、假设,//,,//m n n m αββα⊥⊥则6、实数a 、b ，那么“2ab ≥”是“224a b +≥”的 〔〕 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、即不充分也不必要条件7、函数32()22f x x x =-+，那么以下区间必存在零点的是〔〕A 、3(2,)2-- B 、3(,1)2-- C 、1(1,)2-- D 、1(,0)2- 8、设函数()sin ()f x x x x R =∈在0x x =处取得极值，那么200(1)(1cos 2)x x ++的值为 〔〕A 、12B 、2C 、14D 、49、程序框图如下：假如上述程序运行的输出结果为132S =， 那么判断框中应填入 〔〕 A 、10k ≤ B 、9k ≤C 、10k <D 、9k <10、函数①()3ln ;f x x =②cos ()3x f x e =；③()3;x f x e =④()3cos .f x x =其中关于()f x 定义域 内的任意一个自变量1x ，都存在唯一一个自变量2x ，使12()()3f x f x =成立的函数是 〔〕A 、①②④B 、②③C 、③D 、④第II 卷〔非选择题共100分〕【二】填空题〔本大题共5小题，每题5分，共25分。
最新陕西省2018年高三教学质量检测试题(一)理数试题+Word版含答案
陕西省2018年高三教学质量检测试题(一)理数试题+W o r d版含答案2018年陕西省高三教学质量检测试题（一）数学（理）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合2{|90}A x x =-<，{|}B x x N =∈，则AB 中元素的个数（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2i e 表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x >；:q “1x >”是“2x >”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ∧⌝4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3512a a =，20a =.若10a >，则20S =（ ）A ．420B ．340 C.-420 D ．-340 5.设x R ∈，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数()||sgn f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ． C.D ．6.将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）A ．12种B ．10种 C.9种 D ．8种7.若变量,x y 满足约束条件1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．4B ．3 C.2 D ．18.已知ABC ∆与BCD ∆均为正三角形，且4AB =.若平面ABC 与平面BCD 垂直，且异面直线AB 和CD 所成角为θ，则cos θ=（ ）A ．154-B ．154 C. 14- D ．149.运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数a y x =，[0,)x ∈+∞是增函数的概率为（ ）A ．47B ．45 C. 35 D ．3410.已知P 为ABC ∆所在平面内一点，0AB PB PC ++=，||||||2AB PB PC ===，则ABC ∆的面积等于（ ）A 3．2333．4311.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率是（ ）A 2B 3 C.2 D 512.若函数2()ln f x ax x x =--存在极值，且这些极值的和不小于4ln2+，则a 的取值范围为（ ）A ．[2,)+∞B ．)+∞ C. )+∞ D ．[4,)+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题，每小题5分，共20分）13.若直线20x y c -+=是抛物线24x y =的一条切线，则c = ．14.若函数()f x ax b =+，[4,]x a a ∈-的图像关于原点对称，则函数()a g x bx x=+，[4,1]x ∈--的值域为 ．15.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao ）.已知在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，2MA AB BC ===，则该鳖臑的外接球的表面积为 ．16.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且222()a b c +-(cos cos )a B b A ⋅+abc =，若2a b +=，则c 的取值范围为 ．三、解答题（本大题分必考题和选择题两部分，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）（一）必考题（共5小题，每小题12分，共60分）17.已知在递增等差数列{}n a 中，12a =，3a 是1a 和9a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1(1)n nb n a =+，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求100S 的值. 18.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，AC BD O =，1AO ⊥底面ABCD ，2AB =，13AA =.（Ⅰ）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （Ⅱ）若60BAD ∠=︒，求二面角1B OB C --的余弦值.19.随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在A 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中随机抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关？（Ⅱ）①现从所抽取的30岁以上的网民中，按“经常使用”与“偶尔或不用”这两种类型进行分层抽样抽取10人，然后，再从这10人中随机选出3人赠送优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用共享单车的概率.②将频率视为概率，从A 市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用共享单车的人数为X ，求X 的数学期望和方差.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 参考数据：20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 和2F ，由4个点(,)M a b -，(,)N a b ，2F 和1F .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点1F 的直线和椭圆交于两点,A B ，求2F AB ∆面积的最大值.21.设函数()ln k f x x x=+，k R ∈. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线与直线20x -=垂直，求()f x 的单调递减区间和极小值（其中e 为自然对数的底数）；（Ⅱ）若对任何120x x >>，1212()()f x f x x x -<-恒成立，求k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos sin x t y αα=⎧⎨=⎩，（0,t α>为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标sin()34πθ+=.（Ⅰ）当1t =时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值；（Ⅱ）若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|21||1|f x x x =-++.（Ⅰ）解不等式()3f x ≤.（Ⅱ）记函数()()|1|g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明2313t t t+≥+.试卷答案一、选择题1-5:DBDDC 6-10:ABDCB 11、12：AC二、填空题13.-4 14. 1[2,]2-- 15. 12π 16. [1,2)三、解答题17.解：（Ⅰ）由{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1(1)n a a n d =+-.∵3a 是1a 和9a 的等比中项，∴2319a a a =，即2(22)2(28)d d +=+，解之，得0d =（舍），或2d =. ∴1(1)2n a a n d n =+-=. （Ⅱ）11111()(1)2(1)21n n b n a n n n n ===-+++. 12100n S b b b =+++=111111(1)2223100101-+-++-1150(1)2101101=-=. 18.（Ⅰ）证明：∵1AO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴1AO BD ⊥. ∵ABCD 是菱形，∴CO BD ⊥.∵1AO CO O =，∴BD ⊥平面1A CO .∵BD ⊂平面11BB D D ，∴平面1ACO ⊥平面11BB D D .（Ⅱ）∵1AO ⊥平面ABCD ，CO BD ⊥，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 方向为,,x y z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.∵2AB =，13AA =，60BAD ∠=︒，∴1OB OD ==，3OA OC ==22116OA AA OA -.则(1,0,0)B ，3,0)C ，(0,3,0)A -，16)A ， ∴11(0,3,6)BB AA ==，11(1,3,6)OB OB BB ++=.设平面1OBB 的法向量为(,,)n x y z =，∵(1,0,0)OB =，1(1,3,6)OB =， ∴0360x x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩. 令2y ，得(0,2,1)n =-.同理可求得平面1OCB 的法向量为(6,0,1)m =-.∴21cos ,73n m <>=⨯. 19.解：（Ⅰ）由列联表可知，22200(70406030) 2.19813070100100K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯. ∵2.198 2.072>，∴能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关. （Ⅱ）①依题意，可知所抽取的10名30岁以上网民中，经常使用共享单车的有60106100⨯=（人），偶尔或不用共享单车的有40104100⨯=（人）. 则选出的3人中至少2人经常使用共享单车的概率为21364633101023C C C P C C =+=. ②由22⨯列联表，可知抽到经常使用共享单位的频率为1301320020=， 将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人， 恰好抽到经常使用共享单车的市民的概率为1320. 由题意得13(10,)20X B ，∴1313()10202E X =⨯=；13791()10202040D X =⨯⨯=.20.解：（Ⅰ）由条件，得b=3a c +=. 又223a c -=，解得2a =，1c =.∴椭圆的方程22143x y +=. （Ⅱ）显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为1x my =-，直线与椭圆交于11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立方程221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得，22(34)690m y my +--=. ∵直线过椭圆内的点，无论m 为何值，直线和椭圆总相交.∴122634m y y m +=+，122934y y m =-+. ∴21212121||||||2F AB S F F y y y y ∆=-=-===令211t m =+≥，设1()9f t t t =+，易知1(0,)3t ∈时，函数()f t 单调递减，1(,)3t ∈+∞函数单调递增，∴当211t m =+=，设0m =时，min 10()9f t =，2F AB S ∆的最大值为3. 21.解：（Ⅰ）由条件得21'()(0)k f x x x x =->， ∵曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线与直线20x -=垂直，∴此切线的斜率为0，即'()0f e =，有210k e x -=，得k e =. ∴221'()(0)e x e f x x x x x-=-=>，由'()0f x <得0x e <<，由'()0f x >得x e >. ∴()f x 在(0,)e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增. 当x e =时，()f x 取得极小值()ln 2e f e e e =+=. 故()f x 的单调递减区间(0,)e ，极小值为2.（Ⅱ）条件等价于对任意120x x >>，1122()()f x x f x x -<-恒成立， 设()()ln (0)k h x f x x x x x x=-=+->， 则()h x 在(0,)+∞上单调递减.∴21'()10k h x x x=--≤在(0,)+∞上恒成立. 得2211()(0)24k x x x x ≥-+=--+>恒成立. ∴14k ≥（对14k =，'()0h x =仅在12x =时成立）. 故k 的取值范围是1[,)4+∞. 22.解：（Ⅰ）直线l 的直角坐标方程为30x y +-=，曲线22:1C x y +=.∴曲线C 为圆，且圆心O 到直线l 的距离d ==.∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为1+. （Ⅱ）∵曲线C 上的所有点均在直线l 的下方，∴对R α∀∈，有cos sin 30t αα+-<恒成立.)3αϕ-<（其中1tan tϕ=）恒成立.3.又0t >，∴解得0t <<∴实数t 的取值范围为.最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除精品好资料-如有侵权请联系网站删除 23.解：（Ⅰ）依题意，得3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩， 于是得1()333x f x x ≤-⎧≤⇔⎨-≤⎩，或11223x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩，或1233x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩， 解得11x -≤≤.即不等式()3f x ≤的解集为{|11}x x -≤≤.（Ⅱ）()()|1|g x f x x =++=|21||22||2122|3x x x x -++≥---=， 当且仅当(21)(22)0x x -+≤时，取等号，∴[3,)M =+∞.原不等式等价于2331t t t -+- 22233(3)(1)t t t t t t t-+--+==. ∵t M ∈，∴30t -≥，210t +>.∴2(3)(1)0t t t -+≥. ∴2313t t t+≥+.。
2018届 高三上学期第一次联考数学试卷(理科) Word版含解析
2018届 高三上学期第一次联考试卷数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知集合A={ x|≥1}，集合B={ x|log 2x ＜1}，则 A ∩B=（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，1）C ．（0，2）D ．（1，2）2．已知复数z=（i 为虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知sin α=，则cos （π﹣2α）=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．4．已知函数f （x ）=lg ，则f =（ ）A ．0B ．2C ．20D ．40345．若一个正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的正视图如图所示，则其体积等于（ ）A ．B ．C ．2D ．66．设ω＞0，函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．37．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于（ ）A ．2B ．C ．D ．8．已知a ＜0，则“ax 0=b ”的充要条件是（ ）A ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0B ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0C ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0D ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 09．设F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．210．已知直线l ：y=k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，过AB 分别作直线x=﹣1的垂线，垂足分别是M 、N ．那么以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都有可能11．已知函数f （x ）=x 3+2x ﹣1（x ＜0）与g （x ）=x 3﹣log 2（x+a ）+1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，）C ．（，2）D ．（0，2）12．函数f （x ）=（x 2﹣3）e x ，当m 在R 上变化时，设关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣=0的不同实数解的个数为n ，则n 的所有可能的值为（ ） A ．3 B ．1或3 C ．3或5 D ．1或3或5二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.13．设M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，，，则= ．14．如果不等式组表示的平面区域内存在点P （x 0，y 0）在函数y=2x +a 的图象上，那么实数a 的取值范围是 ．15．四面体A ﹣BCD 中，AB=AC=DB=DC=2，AD=BC=4，则它的外接球表面积等于 ．16．四边形ABCD 中，∠BAC=90°，BD+CD=2，则它的面积最大值等于 ．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =n 2﹣3n ． （I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）设b n =，数列{b n }的前n 项和T n （n ∈N*），当T n ＞时，求n 的最小值．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且asinA=（b ﹣c ）sinB+（c﹣b ）sinC ．（1）求角A 的大小；（2）若a=，cosB=，D 为AC 的中点，求BD 的长．19．如图，已知长方形ABCD 中，AB=2，AD=，M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM （Ⅰ）求证：AD ⊥BM（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E ﹣AM ﹣D 的余弦值为．20．已知椭圆M ： +=1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F （﹣1，0），离心率e=左右顶点分别为A 、B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点（与A 、B 不重合）． （I ）求椭圆M 的方程；（II ）记△ABC 与△ABD 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1﹣S 2|的最大值，并求此时l 的方程．21．设函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣x ﹣1，函数f′（x ）为f （x ）的导函数． （I ）求函数f′（x ）的单调区间和极值；（II ）已知函数y=g （x ）的图象与函数y=f （x ）的图象关于原点对称，证明：当x ＞0时，f （x ）＞g （x ）；（Ⅲ）如果x 1≠x 2，且f （x 1）+f （x 2）=0，证明：x 1+x 2＜0．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（I）求圆C的直角坐标方程；（II）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．2018届高三上学期第一次联考试卷数学（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.x＜1}，则 A∩B=（）1．已知集合A={ x|≥1}，集合B={ x|log2A．（﹣∞，2） B．（0，1）C．（0，2）D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合A和B，利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={ x|≥1}={x|1＜x≤2}，x＜1}={x|0＜x＜2}，集合B={ x|log2∴A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：D．2．已知复数z=（i为虚数单位），则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi的形式，即可推出结果．【解答】解： ==，故它所表示复平面内的点是（）．在复平面内对应的点，在第一象限．故选A．3．已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得cos（π﹣2α）的值．【解答】解：sinα=，则cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α﹣1=﹣，故选：B．4．已知函数f （x）=lg，则f =（）A．0 B．2 C．20 D．4034【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算性质可得f（﹣x）+f（x）=2，即可得出．【解答】解：f（﹣x）+f（x）=lg+==2，∴f =2．故选：B．5．若一个正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的正视图如图所示，则其体积等于（）A．B．C．2D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由正视图可得，正六边形的边长为，正六棱柱的高为1，即可求出其体积．【解答】解：由正视图可得，正六边形的边长为，正六棱柱的高为1，则体积为=2，故选C．6．设ω＞0，函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．B．C．D．3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据图象向左平移个单位后与原图象重合，得到是一个周期，写出周期的表示式，解出不等式，得到ω的最小值．【解答】解：∵图象向左平移个单位后与原图象重合∴是一个周期∴ω≥3 所以最小是3故选D．7．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于（）A．2B．C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】此五个正三角形的边长a形成等比数列：2，1，，，．再利用等比数列的求和n公式即可得出这五个正三角形的面积之和．【解答】解：此五个正三角形的边长a形成等比数列：2，1，，，．n∴这五个正三角形的面积之和=×==．故选：D．8．已知a ＜0，则“ax 0=b”的充要条件是（ ）A ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0B ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0C ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0D ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】a ＜0，令f （x ）=ax 2﹣bx ，利用导数可得：x=函数f （x ）的极大值点即最大值点，即可判断出结论．【解答】解：a ＜0，令f （x ）=ax 2﹣bx ，则f′（x ）=ax ﹣b ，令f′（x ）=0，解得x=．∴x=函数f （x ）的极大值点即最大值点，∴∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0，∴a ＜0，则“ax 0=b”的充要条件是：∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0， 故选：C ．9．设F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，运用双曲线的a ，b ，c 的关系和离心率公式即可求出双曲线的离心率． 【解答】解：依题意|PF 2|=|F 1F 2|，可知三角形PF 2F 1是一个等腰三角形， F 2在直线PF 1的投影是其中点，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长， 由勾股定理可知|PF 1|=4b ，根据双曲定义可知4b ﹣2c=2a ，整理得c=2b ﹣a ， 代入c 2=a 2+b 2整理得3b 2﹣4ab=0，求得=，即b=a ， 则c==a ，即有e==． 故选：A ．10．已知直线l ：y=k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，过AB 分别作直线x=﹣1的垂线，垂足分别是M 、N ．那么以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都有可能【考点】抛物线的简单性质．【分析】先由抛物线定义可知AM=AF ，可推断∠1=∠2；又根据AM ∥x 轴，可知∠1=∠3，进而可得∠2=∠3，同理可求得∠4=∠6，最后根据∠MFN=∠3+∠6，则答案可得． 【解答】解：如图，由抛物线定义可知AM=AF ，故∠1=∠2， 又∵AM ∥x 轴，∴∠1=∠3，从而∠2=∠3，同理可证得∠4=∠6， 而∠2+∠3+∠4+∠6=180°，∴∠MFN=∠3+∠6=×180°=90°，∴以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是相切， 故选B ．11．已知函数f （x ）=x 3+2x ﹣1（x ＜0）与g （x ）=x 3﹣log 2（x+a ）+1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，）C ．（，2）D ．（0，2）【考点】函数与方程的综合运用；函数的图象．【分析】设出对称点的坐标，代入两个函数的解析式，转化为方程有解，利用函数图象关系列出不等式求解即可．【解答】解：函数f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）与g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的图象上存在关于原点对称的点，设函数f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）上的一点为（m，n），m＜0，可得n=m3+2m﹣1，则（﹣m，﹣n）在g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的图象上，﹣n=﹣m3﹣log2（﹣m+a）+1，可得2m=log2（﹣m+a），即（m＜0）有解，即，t＞0有解．作出y=，与y=log2（t+a），t＞0的图象，如图：只需log2a＜1即可．解得a∈（0，2）．故选：D．12．函数f（x）=（x2﹣3）e x，当m在R上变化时，设关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0的不同实数解的个数为n，则n的所有可能的值为（）A．3 B．1或3 C．3或5 D．1或3或5【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求f（x）的导数，单调区间和极值，作出f（x）的图象，令t=f（x），则t2﹣mt﹣=0，由判别式和根与系数的关系可得方程有一正一负根，结合图象可得原方程实根的个数．【解答】解：函数f（x）=（x2﹣3）e x的导数为f′（x）=（x+3）（x﹣1）e x，当x＞1或x＜﹣3时，f′（x）＞0，f（x）递增；当﹣3＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有f（x）在x=1处取得极小值﹣2e；在x=﹣3处取得极大值6e﹣3，作出f（x）的图象，如图所示；关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0，由判别式为m2+＞0，方程有两个不等实根，令t=f（x），则t2﹣mt﹣=0，t1t2=﹣＜0，则原方程有一正一负实根．当t＞6e﹣3，y=t和y=f（x）有一个交点，当0＜t＜6e﹣3，y=t和y=f（x）有三个交点，当﹣2e＜t＜0时，y=t和y=f（x）有两个交点，当t＜﹣2e时，y=t和y=f（x）没有交点，则x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0的实根个数为3．故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.13．设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则= 2 ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量加法的平行四边形形法则和减法的三角形法则，可得以AB、AC为邻边的平行四边形ABDC为矩形，可得AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=，结合题中数据即可算出的值．【解答】解：∵∴以AB、AC为邻边作平行四边形，可得对角线AD与BC长度相等因此，四边形ABDC为矩形∵M是线段BC的中点，∴AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=∵，得2=16，即=4∴==2故答案为：214．如果不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y）在函数y=2x+a的图象上，那么实数a的取值范围是[﹣3，0] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，推出a的范围即可．【解答】解：不等式组表示的可行域如图：平面区域内存在点P（x0，y）在函数y=2x+a的图象上，可得a≤0，指数函数y=2x，向下平移a单位，经过可行域的A时，a可得最小值，由，可得A（2，1），此时1=22+a，解得a=﹣3，实数a的取值范围是：[﹣3，0]故答案为：[﹣3，0]．15．四面体A﹣BCD中，AB=AC=DB=DC=2，AD=BC=4，则它的外接球表面积等于32π．【考点】球的体积和表面积．【分析】如图，取BC、AD中点分别为E、F，连结DE，AE，EF，取EF中点O，AO=DO=OB=OC=2，即可得O为四面体A﹣BCD的外接球，半径R=2，【解答】解：如图，取BC、AD中点分别为E、F，连结DE，AE，EF，∵AB=AC=DB=DC=2，∴AE⊥BC，DE⊥BC，∴AE=DE，∴EF⊥AD，取EF中点O，OF=，∴AO=DO=，同理可得OB=OC=2，故O为四面体A﹣BCD的外接球，半径R=2，则它的外接球表面积等于4πR2=32π，故答案为：32π．16．四边形ABCD中，∠BAC=90°，BD+CD=2，则它的面积最大值等于．【考点】三角形中的几何计算．【分析】由题意，当D 在BC 的正上方时S △DBC 面积最大，A 为BC 的正下方时S △ABC 面积最大，设BC 为2x ，可求DH=，S四边形ABCD=x 2+x ，设x=sin θ，则利用三角函数恒等变换的应用化简可得S 四边形= [1+sin （2θ﹣）]，利用正弦函数的性质即可求得S 四边形的最大值．【解答】解：∵∠BAC=90°，BD+CD=2，∴D 在以BC 为焦点的椭圆上运动，A 在以BC 为直径的圆上运动，∴当D 在BC 的正上方时S △DBC 面积最大，A 为BC 的正下方时S △ABC 面积最大，此时，设BC 为2x ，则DH=，∴S 四边形ABCD =S △BCD +S ABC =x +=x 2+x，设x=sin θ，则=cos θ，∴S 四边形=sin 2θ+sin θcos θ=（2sin 2θ+2sin θcos θ）=（1﹣cos2θ+sin2θ）= [1+sin（2θ﹣）]，∴当sin （2θ﹣）=1时，即θ=时，S 四边形取得最大值，最大值为：．故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =n 2﹣3n ． （I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）设b n =，数列{b n }的前n 项和T n （n ∈N*），当T n ＞时，求n 的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）利用公式a n =S n ﹣S n ﹣1得出通项公式，再验证n=1是否成立即可；（2）化简bn，使用裂项法求和，解不等式得出n的范围即可．【解答】解：（I）∵Sn=n2﹣3n．∴当n=1时，S1=12﹣3×1=﹣2，即 a1=﹣2，当n≥2时，Sn﹣1=（n﹣1）2﹣3（n﹣1）=n2﹣5n+4∴an =Sn﹣Sn﹣1=2n﹣4，显然，n=1时，2n﹣4=﹣2=a1也满足上式，∴数列{an }的通项公式an=2n﹣4．（II）bn===﹣，∴Tn=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．令＞得 n＞2016，∵n∈N*，故n的最小值为2017．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinA=（b﹣c）sinB+（c ﹣b）sinC．（1）求角A的大小；（2）若a=，cosB=，D为AC的中点，求BD的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）由已知，利用正弦定理可得a2=（b﹣c）b+（c﹣b）c，化简可得2bc=（b2+c2﹣a2），再利用余弦定理即可得出cosA，结合A的范围即可得解A的值．（Ⅱ）△ABC中，先由正弦定理求得AC的值，再由余弦定理求得AB的值，△ABD中，由余弦定理求得BD的值．【解答】解：（I）∵，∴由正弦定理可得： a2=（b﹣c）b+（c﹣b）c，即2bc=（b2+c2﹣a2），∴由余弦定理可得：cosA==，∵A∈（0，π），∴A=．（Ⅱ）∵由cosB=，可得sinB=，再由正弦定理可得，即，∴得b=AC=2．∵△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠A，即10=AB2+4﹣2AB•2•，求得AB=32．△ABD中，由余弦定理可得BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠A=18+1﹣6•=13，∴BD=．19．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM（Ⅰ）求证：AD⊥BM（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质证明BM⊥平面ADM即可证明AD⊥BM（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夹角关系，解方程即可．【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM；（2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面AMD的一个法向量=（0，1，0），=+=（1﹣λ，2λ，1﹣λ），=（﹣2，0，0），设平面AME的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得x=0，z=，则=（0，1，），∵cos＜，＞==，∴求得，故E为BD的中点．20．已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），离心率e=左右顶点分别为A、B，经过点F的直线l与椭圆M交于C、D两点（与A、B不重合）．（I）求椭圆M的方程；（II）记△ABC与△ABD的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值，并求此时l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据离心率e及a，b，c的平方关系可求得a值；（Ⅱ）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x 1x2，|S1﹣S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值．【解答】解：（I）设椭圆M的半焦距为c，即c=1，又离心率e=，即=∴a=2，b2=a2﹣c2=3∴椭圆M的方程为（II ）设直线l 的方程为x=my ﹣1，C （x 1，y 2），D （x 2，y 2），联立方程组，消去x 得，（3m 2+4）y 2﹣6my ﹣9=0∴y 1+y 2=，y 1y 2=﹣＜0S 1=S △ABC =|AB|•|y 1|，S 2=S △ABD =|AB|•|y 2|，且y 1，y 2异号∴|S 1﹣S 2|=|AB|•|y 1+y 2|=×4×|y 1+y 2|==∵3|m|+≥4，当且仅当3|m|=，即m=±时，等号成立∴|S 1﹣S 2|的最大值为=此时l 的方程为x ±2y+=021．设函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣x ﹣1，函数f′（x ）为f （x ）的导函数． （I ）求函数f′（x ）的单调区间和极值；（II ）已知函数y=g （x ）的图象与函数y=f （x ）的图象关于原点对称，证明：当x ＞0时，f （x ）＞g （x ）；（Ⅲ）如果x 1≠x 2，且f （x 1）+f （x 2）=0，证明：x 1+x 2＜0． 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可； （Ⅱ）令F （x ）=f （x ）﹣g （x ），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出F （x ）＞F （0），证出结论即可；（Ⅲ）要证x 1+x 2＜0，即证x 1＜﹣x 2，根据函数的单调性只需证﹣f （x 2）=f （x 1）＜f （﹣x 2），即f （x 2）+f （﹣x 2）＞0，结合（Ⅱ）得出结论． 【解答】解：（I ）f′（x ）=e x ﹣x ﹣1，f′′（x ）=e x ﹣1 当x ＜0时，f′′（x ）＜0，当x ＞0时，f′′（x ）＞0∴f′（x ）在（﹣∞，0）上单调递减；在（0，+∞）上单调递增． 当x=0时，f′（0）=0为f′（x ）极小值，无极大值．（II）证明：由题意g （x）=﹣f （﹣x）=﹣e﹣x+x2﹣x+1，令F （x）=f （x）﹣g （x）=f （x）+f （﹣x）=e x+e﹣x﹣x2﹣2（x≥0），F′（x）=e x﹣e﹣x﹣2x，F′′（x）=e x+e﹣x﹣2≥0因此，F′（x）在[0，+∞）上单调递增，从而有F′（x）≥F′（0）=0；因此，F （x）在[0，+∞）上单调递增，当x＞0时，有F （x）＞F （0）=0，即f （x）＞g （x）．（III）证明：由（I）知，f′（x）≥0，即f （x）在R上单调递增，且f （0）=0．因为x1≠x2，不妨设x1＜x2，于是有x1＜0，x2＞0，要证x1+x2＜0，即证x1＜﹣x2．因为f （x）单调递增，f （x1）+f （x2）=0故只需证﹣f （x2）=f （x1）＜f （﹣x2），即f （x2）+f （﹣x2）＞0因为x2＞0，由（II）知上不等式成立，从而x1+x2＜0成立．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（I）求圆C的直角坐标方程；（II）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由圆的极坐标方程ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，即可求圆C的直角坐标方程；（II）设A、B点所对应的参数分别为t1，t2，把直线l的参数方程代入圆C的方程，利用参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（I）由圆的极坐标方程ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，∴x 2+y 2=2y ，∴圆C 的直角坐标方程为，x 2+y 2﹣2y=0（II ）设A 、B 点所对应的参数分别为t 1，t 2，把直线l 的参数方程代入圆C 的方程 则t 1，t 2是下面方程的根（3+t ）2+（+t ）2﹣2（+t ）=0整理得，t 2+3t+4=0所以，t 1+t 2=﹣3，t 1t 2=4（t 1，t 2同号）∵直线l 过P （3，）∴根据t 的几何意义可知|PA|=|t 1|，|PB|=|t 2|∴|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=3[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）=|x ﹣|+|x+m|（m ＞0） （1）证明：f （x ）≥4；（2）若f （2）＞5，求m 的取值范围． 【考点】带绝对值的函数．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质：绝对值的和不小于差的绝对值，利用基本不等式即可证得结论．（2）若f （2）＞5，即|2﹣|+|2+m|＞5，即有|2﹣|＞3﹣m ，即2﹣＞3﹣m 或2﹣＜m ﹣3．转化为二次不等式，解出即可，注意m ＞0．【解答】（1）证明：∵f （x ）=|x ﹣|+|x+m|≥|（x ﹣）﹣（x+m ）|=|﹣﹣m|=+m （m ＞0）又m ＞0，则+m ≥4，当且仅当m=2取最小值4． ∴f （x ）≥4；（2）解：若f （2）＞5，即|2﹣|+|2+m|＞5，即有|2﹣|＞3﹣m ，即2﹣＞3﹣m或2﹣＜m﹣3．由于m＞0，则m2﹣m﹣4＞0或m2﹣5m+4＞0，解得m＞或m＞4或0＜m＜1．故m的取值范围是（，+∞）∪（0，1）．。
《首发》陕西省西安市长安区2018届高三上学期质量检测大联考(一)数学(理)试题Word版含答案
2018届高三质量检测同一大联考数学（理）联考试卷（一）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合22{|40},{|log 1}A x x x B x x =-<=>，则A B =A ．(2,4)B ．(0,2)C ．(1,4)D ．(0,4)2、若命题:2,2p k k Z πϕπ=+∈，命题():sin()(0)q f x wx w ϕ=+≠是偶函数，则p 是q 的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3、已知函数()24,[,5]f x x x x m =-+∈的值域是[5,4]-，则实数m 的取值范围是 A ．(,1)-∞- B ．(1,2]- C ．[1,2]- D ．[2,5]4、已知()lg ,0,0x x x f x a b x ->⎧=⎨+≤⎩且(0)2,(1)4f f =-=，则((2))f f -=A ．-1B ．2C ．3D ．-35、下列命题中，真命题是A ．220001,sin ()cos ()333x x x R ∃∈+= B ．(0,),sin cos x x x π∀∈> C ．2000,2x R x x ∃∈+=- D ．(0,),1x x e x ∀∈+∞>+6、若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是伙伴关系集合，集合11{1,0,,,2,3}23M =-的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是A ．31B ．7C ．3D ．17、若2)4n x dx π=+，则2()n y y+的展开式中常数项为 A ．8 B ．16 C ．24 D ．608、把函数sin()6y x π=+的图象上个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为A ．(,0)2π-B ．(,0)2πC ．(,0)8πD ．(,0)4π9、执行如图所示的程序框图，如果输入3,2a b ==，那么输出a 的值为A ．16B ．256C ．3log 626D ．656110、已知直线0(0)x y k k +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原点，且有43OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是A ．)+∞B ．)+∞C ．D ．11、设α为锐角，若1cos()63πα+=-，则sin(2)12πα+的值为A ．725B ．818C ．50-D ．5 12、已知定义在R 上的函数()f x 满足()(3)f x f x -=-，在区间3[0,]2上是增函数，且函数(3)y f x =-为奇函数，则A ．()31(84)(13)f f f -<<B ．()(84)(13)31f f f <<-C ．()13(84)(31)f f f <<-D ．()31(13)(84)f f f -<<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、一个正方体消去一个角所得的几何体的三视图如图所示（图中三个四边形都是边长为3的正方形），则该几何体外接球的表面积为14、曲线12y x=+，直线1,x x e ==和x 轴所围成的区域的 面积是15、已知ABC ∆中角C 为直角，D 是边BC 上一点，M 是AD 上一点， 且1,CD DBM DMB CAB =∠=∠=∠ ，则MA =16、已知函数()2(24)23,3,a x a x t f x x x x t-+-≤⎧=⎨-+>⎩，无论t 去何值，函数()f x 在区间(,)-∞+∞上总是不单调，则a 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（一）必考题，共60分17、（本小题满分10分）设函数()2sin()2cos 366x x f x πππ=--. （1）试说明()y f x =的图象由函数3y x π=的图象经过怎样的变化得到？并求()f x 的单调区间；（2）若函数()y g x =与()y f x =的图象关于直线2x =对称，当[0,1]x ∈时，求函数()y g x =的最值.18、（本小题满分12分）已知定义在区间(0,)+∞上的函数()f x 满足1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时，()0f x >.（1）求()1f 的值；（2）证明：()f x 为单调增函数；（3）若1()15f =-，求()f x 在1[,125]25上的最值.19、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112,420(2,)n n a S S n n N +-=--=≥∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log ,n n n b a T =为{}n b 前n 项和，求证：112nk n T =<∑.20、（本小题满分12分）某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组[)25,30，第2组[)30,35，第3组[)35,40，第4组[)40,45，第5组[]45,50，得到的频率分布图如图所示，下表是年龄的频率分布表.（1）现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄第1,2,3组人数分别是多少？（2）在（1）的条件下，从这6中随机抽取2参加社区宣传交流活动，X 表示第3组中抽取的人数，求X 的分布列和期望值21、（本小题满分12分）已知函数()1xx e f x xe =+ . （1）求()f x 的单调区间；（2）当0x >时，()21(0)1f x a ax >≥+，求a 的取值范围.请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22、（本小题满分10分） 选修4-4 坐标系与参数方程已知函数()32f x x ax bx c =+++，曲线()y f x =在点1x =-处的切线为:550l x y +-=，若23x =时，()y f x =有极值. （1）求,,a b c 的值；（2）求()y f x =在[3,2]-上的最大值和最小值.23、（本小题满分10分））选修4-5 不等式选讲 已知函数()f x x a =-.（1）若不等式()4f x ≤的解集为[1,7]-，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若0x R ∈，使得00()(5)4f x f x m ++<，求实数m 的取值范围.。
【数学】陕西省西安市八校2018届高三上学期第一次联考数学(文)试题 含解析
2018届高三年级数学（文科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵集合∴∵集合∴故选D.2. 已知复数，则（）A. 4B. 0C. 2D.【答案】C【解析】∵复数∴∴故选C.3. 设数列是等差数列，且是数列的前项和，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设等差数列的公差为.∵∴，即.∴∴，，∴，故选B.4. 若为对立事件，其概率分别为，则的最小值为（）A. 10B. 9C. 8D. 6【答案】B【解析】∵为对立事件，其概率分别为∴，即∴，当且仅当时取等号.故选B.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立；（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等；（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．5. 是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线为分别是双曲线的左、右焦点，若，则（）A. 9B. 2C. 10D. 2或10【答案】D【解析】∵双曲线的方程为∴，即.又∵双曲线的一条渐近线为∴，即∴，∵∴，即或.故选D.6. 已知实数满足，则的最小值为（）A. -10B. -4C. 4D. 6【答案】A【解析】画出不等式组表示的平面区域如图所示：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小.联立，解得，代入到目标函数得.故选A.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7. 在中，已知分别是边上的三等分点，则的值是（）A. B. C. 6 D. 7【答案】B【解析】∵，∴∴∵∴∴是等边三角形，即.∵分别是边上的三等分点∴，∴∵，，∴故选B.8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知几何体半球与半圆柱的组合体，半球的半径为1，半圆柱的底面半径为1，高为2.∴该几何体的体积为故选C.9. 三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的,则的值可以是（）（参考数据：）A. 2.6B. 3C. 3.1D. 3.14【答案】C【解析】模拟执行程序，可得：，，不满足条件，，，不满足条件，，，满足条件，退出循环，输出的值为.故.故选C．10. 如图，抛物线与圆交于两点，点为劣弧上不同于的一个动点，与轴平行的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，.由题意得圆的圆心为，半径为.∵抛物线∴抛物线的准线方程为，焦点为由抛物线的定义可得，则的周长为.联立抛物线与圆的方程，得或（舍去），故.∴，即的周长的取值范围是.故选A.11. 曲线上一点处的切线交轴于点（为原点）是以为顶点的等腰三角形，则切线的倾斜角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°【答案】C【解析】对曲线求导得，设切点，则点处的切线的斜率为.∴切线的方程为令，得.∵是以为顶点的等腰三角形∴，即∴∴切线的斜率为∴切线的倾斜角为故选C.12. 在平行四边形中，，且，若将其沿折起使平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在平行四边形中，，若将其沿折起使平面平面，可得如图所示的三棱锥：其中，三棱锥镶嵌在长方体中，即三棱锥的外接球与长方体的外接球相同.∵∴外接球的半径为∴三棱锥的外接球的表面积为故选D.点睛：本题主要考查三棱锥外接球的表面积的求法.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常用方法有：①若三棱棱两两垂直，则用（为三条棱的长）；②若平面（），则（为外接圆的半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设公比为的等比数列的前项和为，若，则__________．【答案】或-1【解析】∵公比为的等比数列的前项和为，且∴，即.∴或故答案为或.14. 从集合中任选一个元素，则满足的概率为__________．【答案】【解析】本题事件所包含的区域如图所示：全部事件区域是整个圆内部分，事件表示的在圆内并且位于直线右侧的部分．∴所求概率为圆在第一象限位于直线右侧的弓形部分面积除以整个圆的面积而得，即为.故答案为.点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．15. 函数在定义域内可导，若，且，若，则的大小关系是__________．【答案】【解析】∵∴函数的图象关于直线对称∴∵∴当时，，即在上为增函数；当时，，即在上为减函数.∴，即.故答案为.16. 设函数，则满足的的取值范围是__________．【答案】【解析】①当时，则.∴，即，此时无解②当，则.∴∵∴此时恒成立③当时，则.∴∵∴此时恒成立综上所示，满足的的取值范围是.故答案为.三、解答题（本大题共7小题，共70分.其中17-21题必作；22、23题选作.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数.（1）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（2）若，求的值.【答案】（1），最大值为2，最小值为-1.（2）.【解析】试题分析：（1）首先整理,由可得函数的最小正周期，由可得的范围,进而可得函数的最值；（2）由可得的值,由的范围可得的值,再由两角差的余弦公式可求得的值.试题解析：（1）由，得，所以函数的最小正周期为因为，所以，所以函数在区间上的最大值为2，则最小值为-1（2）解：由（1）可知，又因为，所以，由，得，从而，所以．考点：二倍角公式；两角和与差的正弦,余弦公式；三角函数的性质.18. 在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点为，又，点是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）见解析；（2）.试题解析：（1）在正中，，在中，因为，易证，所以为的中点，因为点是的中点，所以，因为平面，所以，因为，所以，因为，所以，即，因为，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）设到的距离为，在中，，所以，在，，所以，在中，，所以，由即，解得.19. 为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（1）根据表中数据写出甲公司员工在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（2）为了解乙公司员工的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为（单位：元），求的概率；（3）根据表中数据估算公司的每位员工在该月所得的劳务费．【答案】（1）平均数为36，众数为33；（2）；（3）4965元.【解析】试题分析：（1）由茎叶图能求出甲公司员工投递快递件数的平均数和众数；（2）由题意能求出时，的可能取值为44，42，42，42，即可求出相对应的概率；（3）由（2）可知劳务费可能的取值为136，147，154，189，203，结合表中数据，即可得估算公司的每位员工在该月所得的劳务费．试题解析：（1）甲公司员工投递快递件数的平均数为36，众数为33；（2）设为乙公司员工投递件数，则时，元，当时，元，令，得，则取值为44，42，42，42，所以的概率为；（3）根据表中数据，可估算甲公司的员工该月收入为元，由（2）可知劳务费可能的取值为136，147，154，189，203，∴乙公司的员工该月收入为元.20. 已知直线过椭圆的右焦点，抛物线的焦点为椭圆的上顶点，且交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线交轴于点，且，当变化时，证明：为定值；（3）当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）由题设条件求出椭圆的右焦点与上顶点坐标，即可得出、的值，再求出的值即可求得椭圆的方程；（2）设，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得出与，再根据及，从而可表示出，化简即可得证；（3））当时，易得与相交于点，可猜想：变化时，与相交于点，再证明猜想成立即可.试题解析：（1）∵过椭圆的右焦点，∴右焦点，即，又∵的焦点为椭圆的上顶点，∴，即，∴椭圆的方程；（2）由得，，设，则，∵，∴，∴，∴，综上所述，当变化时，的值为定值；（3）当时，直线轴，则为矩形，易知与是相交于点，猜想与相交于点，证明如下：∵，∵，∴，即三点共线.同理可得三点共线，则猜想成立，即当变化时，与相交于定点.点睛：（1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题；（2）求定值问题常见的方法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21. 设函数.（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）求函数的导数，当时，令，即可求得函数的单调递增区间；（2）令，则成立等价于，对进行分类讨论，若，可证恒成立；若时，求得的单调性及最大值，即可证明；若时，求得的单调性，即可证；从而可得实数的取值范围.试题解析：（1），由，令得：，所以当时，单调递增区间是；（2）令，则成立等价于，①若，当，则，而，即恒成立；②若时，则，当，由是减函数，，又，所以在上是减函数，此时当，；③若时，，，所以在有零点，在区间，设，所以在上是减函数，即在有唯一零点，且在上，，在为增函数，即在上，所以，不合题意，综上可得，符合题意的的取值范围是.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 以平面直角坐标系的坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【试题分析】（1）借助极坐标与直角坐标之间的互化关系进行求解；（2）先将直线的参数方程代入抛物线方程中，借助根与系数的关系及直线方程中的参数的几何意义求弦长：解：(1)由，既曲线的直角坐标方程为.(2)的参数方程为代入，整理的，所以，所以.23. 已知函数和的图象关于原点对称，且.（1）解关于的不等式；（2）如果对，不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由函数和的图象关于原点对称可得的表达式，再去掉绝对值即可解不等式；（2）对，不等式成立等价于，去绝对值得不等式组，即可求得实数的取值范围.试题解析：（1）∵函数和的图象关于原点对称，∴，∴原不等式可化为，即或，解得不等式的解集为；（2）不等式可化为：，即，即，则只需，解得，的取值范围是.。
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2018届高三年级数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|lg A y y x ==，集合{}|1B x y x ==-，则AB =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,+∞D ．(],1-∞ 2. 在ABC ∆中，“0AB BC >”是“ABC ∆是钝角三角形”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 若过点()3,0A 的直线l 与曲线()2211x y -+=有公共点，则直线l 斜率的取值范围为（ ）A．(3 B ．3,3⎡⎣ C ．3333⎛-⎝⎭ D ．3333⎡-⎢⎣⎦4. 已知函数()()()cos 0f x x θθπ=+<<在3x π=时取得最小值，则()f x 在[]0,π上的单调递增区间是（ ） A ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若675S S S >>，则满足10n n S S +<的正整数n 的值为（ ） A ． 10 B ． 11 C. 12 D ．136. 已知实数,x y 满足2022020x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则32z x y =-+的最小值为（ ）A ． -10B ． -4 C. 4 D ．6 7. 在ABC ∆中，已知9,3,3,2AB AC AC AB M N ===、分别是BC 边上的三等分点，则AM AN 的值是（ ） A ．112 B ． 132C. 6 D ．7 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ）A ．43π B ．53π C. 223π+ D ．243π+ 9.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n =,则p 的值可以是 （ ）（参考数据：000sin150.2588,sin7.50.1305,sin3.750.0654≈≈≈）A ．2.6B ． 3 C. 3.1 D ．3.1410. 已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的离心率为（ ）A 333D ．2 11. 已知球的直径4,SC A B =、是该球球面上的两点，030ASC BSC ∠=∠=，则棱锥S ABC -的体积最大为（ ） A ． 2 B ．833．2312. 已知函数()2ln f x x ax =-，若()f x 恰有两个不同的零点，则a 的取值范围为（ ） A ．1,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C. 10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,2e ⎛⎤⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若(),a bi a b R i+∈与()22i -互为共轭复数，则a b -= ． 14.在72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是 ．15.曲线2ln y x =在点()2e ,4处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ．16.数列{}n a 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且()21121,22nn n S a a n S -==≥，则这个数列前n 项和公式n S = ．三、解答题 （本大题共7小题，共70分.其中17-21题必作；22、23题选作.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数()()223sin cos 2cos 1f x x x x x R =+-∈. （1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （2）若()006,,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值. 18. 某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为了研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据“25周岁以上组”的频率分布直方图，求25周岁以上组工人日平均生产件数的中位数的估计值（四舍五入保留整数）；（2）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（3）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在年龄组有关”？附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++19.已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.（1）M 为AB 中点，在线段CB 上是否存在一点P ，使得//MP 平面1CNB ？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由；（2）求二面角11C NB C --的余弦值.20. 已知直线:1l x my =+过椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点F ，抛物线243x =的焦点为椭圆C 的上顶点，且l 交椭圆C 于A B 、两点，点A F B 、、在直线4x =上的射影依次为D K E 、、. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 交y 轴于点M ，且12,MA AF MB BF λλ==，当m 变化时，证明：12λλ+为定值； （3）当m 变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.21. 已知函数()f x x =，函数()()()sin g x f x x R λλ=+∈是区间[]1,1-上的减函数. （1）求λ的最大值；（2）若()21g x t t λ<++在[]1,1-上恒成立，求t 的取值范围； （3）讨论关于x 的方程()2ln 2xx ex m f x =-+的根的个数. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.以平面直角坐标系的坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系.已知直线l 的参数方程为2312x ty t =-⎧⎨=-+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，求AB .23. 已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且()22f x x x =+. （1）解关于x 的不等式()()1g x f x x ≥--；（2）如果对x R ∀∈，不等式()()1g x c f x x +≤--成立，求实数c 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DADAC 6-10: ABBCD 11、12：AC二、填空题13. -7 14. 84 15. 2e 16.121n - 三、解答题17.解：（1）∵())()232sin cos 2cos 132cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最小正周期为π， 又∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为-1. （2）∵()0062sin 265f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， ∴03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又∵0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴2004cos 21sin 2665x x ππ⎛⎫⎛⎫+=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴0000343cos2cos 2cos 2cos sin 2sin 66666610x x x x ππππππ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 18.解：由于采用分层抽样，则“25周岁以上”应抽取30010060300200⨯=+名，“25周岁以下”应抽取20010040300200⨯=+名.（1）由“25周岁以上组”的频率分布直方图可知，其中位数为0.50.050.3520701070730.357--+⨯=≈，综上，25周岁以上组工人日平均生产件数的中位数为73件.（2）由频率分布直方图可知，日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上共600.005103⨯⨯=名，设其分别为123,,m m m ；25周岁以下工人共400.005102⨯⨯=名，设其分别为12,n n . 记“至少抽到一名25周岁以下工人”为事件A . 所有基本事件分别为()()()()()()()()()()12131112232122313212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,m m m m m n m n m m m n m n m n m n n n ，共10个；事件A 包含的基本事件共7个. 由于事件A 符合古典概型，则()710P A =；（3）由频率分布直方图可知，25周岁以上的“生产能手”共()600.020.051015⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦名，25周岁以下的“生产能手”共()400.03250.0051015⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦名，则22⨯列联表如图所示.所以()221001525154525 1.786 2.7066040307014χ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，综上，没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”. 19.解：如图，建立空间直角坐标系B xyz -，则由该几何体的三视图可知：()()()()()()114,0,00,0,00,0,44,4,00,8,00,8,4A B C N B C 、、、、、.（1）设平面1CNB 的法向量(),,n x y z =， ∵()()14,4,4,4,4,0NC NB =--=-，∴14440440NC n x y z NB n x y ⎧=--+=⎪⎨=-+=⎪⎩， ∴令1x =，可解得平面1CNB 的一个法向量()1,1,2n =， 设()()0,0,04P a a ≤≤，由于()2,0,0M ，则()2,0,PM a =-， 又∵//MP 平面1CNB ，∴220PM n a =-=，即1a =，∴在线段CB 上存在一点P ，使得//MP 平面1CNB ，此时1BP =；（2）设平面11C NB 的法向量(),,m x y z '''=， ∵()()114,4,4,4,4,0NC NB =-=-，∴14440440NC n x y z NB n x y ⎧'''=-++=⎪⎨''=-+=⎪⎩ ∴令1x =，可解得平面11C NB 的一个法向量()1,1,0m =， ∴3cos ,62m n m n m n===. 由图可知，所求二面角为锐角，即二面角11C NB C --320.解：（1）∵:1l x my =+过椭圆C 的右焦点F ， ∴右焦点()1,0F ，即21c =，又∵243x y =的焦点(3为椭圆C 的上顶点， ∴b =222234b a b c ==+=、，∴椭圆C 的方程22143x y +=； （2）由22134120x my x y =+⎧⎨+-=⎩得，()2234690m y my ++-=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则121222693434m y y y y m m +=-=-++、， ∵121,,0,MA AF MB BF M m λλ⎛⎫==-⎪⎝⎭， ∴()()111112222211,1,y ,,1,x y x x y x y m m λλ⎛⎫⎛⎫+=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴1212111,1my my λλ=--=--， ∴1212221269822/34343y y m m my y m m λλ++=--=--=-++，综上所述，当m 变化时，12λλ+的值为定值83-；（3）当0m =时，直线l x ⊥轴，则ABED 为矩形，易知AE 与BD 是相交于点5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，猜想AE 与BD 相交于点5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，证明如下： ∵11112533,,,222AN x y my y NE y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∵()()121121222333369022223434m my y y y y my y m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-=---=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴//AN NE ，即A N E 、、三点共线. 同理可得B N D 、、三点共线，则猜想成立，即当m 变化时，AE 与BD 相交于定点5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭. 21.解：（1）∵()f x x =，∴()()sin sin g x f x x x x λλ=+=+， 又∵()g x 在[]1,1-上单调递减，∴()cos 0g x x λ'=+≤在[]1,1-恒成立， ∴()min cos 1x λ≤-=-， ∴故λ的最大值为-1；（2）∵()()max 1sin1g x g λ=-=--⎡⎤⎣⎦， ∴只需21sin1t t λλ++>--在[]1,1-上恒成立，既()()21sin1101t t λλ++++>≤-，令()()()21sin1101h t t λλλ=++++>≤-，则需则210sin10t t t +≤⎧⎨-+>⎩， 又∵2sin10t t -+>恒成立，∴1t ≤-； （3）由于()2ln ln 2x xx ex m f x x==-+，令()()212ln ,2x f x f x x ex m x ==-+，∵()121ln xf x x -'=， ∴当()0,x e ∈时，()10f x '≥，即()1f x 单调递增； 当[),x e ∈+∞时，()10f x '≤，即()1f x 单调递减， ∴()()11max1f x f e e==⎡⎤⎣⎦， 又∵()()222f x x e m e =-+-，∴当21m e e ->，即21m e e >+时，方程无解； 当21m e e -=，即21m e e =+时，方程有一个解；当21m e e -<，即21m e e<+时，方程有两个解.22.（1）∵由2sin 4cos ρθθ=，即22sin 4cos ρθρθ=， ∴曲线C 的直角坐标方程为24y x =；（2）∵l 的参数方程为代入24y x =，整理得24870t t +-=， ∴121272,4t t t t +=-=-， ∴()()222121212321341347143AB t t t t t =-+-=+-=+=23.解：（1）∵函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称， ∴()()22g x f x x x =--=-+，∴ 原不等式可化为212x x -≥，即212x x -≥或212x x -≤-， 解得不等式的解集为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）不等式()()1g x c f x x +≤--可化为：212x x c -≤-，即22212x c x x c -+≤-≤-，即()()22210210x x c x x c ⎧+-+≥⎪⎨-+-≥⎪⎩，则只需()()18101810c c ++≤⎧⎪⎨--≤⎪⎩，解得，c 的取值范围是9,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.11。