第2讲 一元二次不等式的解法

第2讲 一元二次不等式的解法[学生用书P107]1．三个“二次”间的关系(x －a )(x －b )>0或(x －a )(x －b )<0型不等式的解法判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) (5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( )答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)不等式(x ＋1)(x ＋2)<0的解集为( )A ．{x |－2<x <－1} B.{x |－1<x <2} C ．{x |x <－2或x >1} D ．{x |x <－1或x >2}答案：A(教材习题改编)不等式－2x 2＋x <－3的解集为( )A .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－32<x <1 B .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <32 C .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－32或x >1 D .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－1或x >32 解析：选D .－2x 2＋x <－3， 即为2x 2－x －3>0，Δ＝25>0，方程2x 2－x －3＝0的两实根为x 1＝－1，x 2＝32，所以2x 2－x －3>0的解集为 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－1或x >32.(教材习题改编)关于x 的不等式－12x 2＋mx ＋n >0的解集为{x |－1<x <2}，则m ＋n 的值为( )A ．－12B.－32C .12D ．32解析：选D .－12x 2＋mx ＋n >0，即为x 2－2mx －2n <0.由题意知，x 2－2mx －2n <0的解集为{x |－1<x <2}．所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝2m ，－1×2＝－2n .所以m ＝12，n ＝1.所以m ＋n ＝32，故选D .不等式x 2＋ax ＋4≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得Δ＝a 2－16≥0， 即a 2≥16，所以a 的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞) 不等式2x ＋1<1的解集是________．解析：2x ＋1<1⇒2－（x ＋1）x ＋1<0⇒x －1x ＋1>0⇒x >1或x <－1. 答案：{x |x >1或x <－1}一元二次不等式的解法(高频考点) [学生用书P108]一元二次不等式的解法是每年高考的重点，虽然考查的机会较少，但常与集合、分段函数、导数等内容综合考查，主要命题角度有：(1)不含参数的一元二次不等式； (2)含参数的一元二次不等式．[典例引领]角度一 不含参数的一元二次不等式求不等式－x 2＋8x －3>0的解集．【解】 因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13.又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}．角度二 含参数的一元二次不等式解关于x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a <0. 【解】 由x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0， 得(x －a )(x －1)＝0， 所以x 1＝a ，x 2＝1.①当a >1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |1<x <a }； ②当a ＝1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为∅； ③当a <1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |a <x <1}．将本例中的不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，如何求解？ 解：若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)>0， 解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. ①当a ＝1时，1a ＝1，⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0无解； ②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0， 得1a<x <1； ③当0<a <1时，1a >1，解⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0， 得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <1a 或x >1； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}； 当0<a <1时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ； 当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1a<x <1.一元二次不等式的解法(1)对于常系数一元二次不等式，可以用分解因式法或判别式法求解，题目简单，情况单一．(2)含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．①若二次项系数为常数，需先将二次项系数化为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．②若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式．③对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．(3)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰对应相应的一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．[注意] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．[通关练习]1．设实数a ∈(1，2)，关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)＜0的解集为( )A ．(3a ，a 2＋2) B.(a 2＋2，3a ) C ．(3，4)D ．(3，6)解析：选B .由x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)＜0，得(x －3a )·(x －a 2－2)＜0，因为a ∈(1，2)，所以3a ＞a 2＋2，所以关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)＜0的解集为(a 2＋2，3a )．故选B .2．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )的解集． 解：因为12x 2－ax >a 2， 所以12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0， 令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 得x 1＝－a 4，x 2＝a 3.当a >0时，－a 4<a3，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－a 4或x >a 3； 当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a <0时，－a 4>a3，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <a 3或x >－a 4. 综上所述，当a >0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－a 4或x >a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <a 3或x >－a 4.一元二次不等式恒成立问题(高频考点)[学生用书P109]一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．主要命题角度有：(1)在R 上的恒成立问题； (2)在给定区间上的恒成立问题； (3)给定参数范围的恒成立问题．[典例引领]角度一 在R 上的恒成立问题(1)若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3，0) B.[－3，0) C ．[－3，0]D ．(－3，0](2)设a 为常数，对于∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则a 的取值范围是( ) A ．(0，4) B.[0，4) C ．(0，＋∞)D ．(－∞，4)【解析】 (1)当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3，0]．(2)对于∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则必有⎩⎨⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0或a ＝0，所以0≤a <4. 【答案】 (1)D (2)B角度二 在给定区间上的恒成立问题设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1，3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．【解】 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1，3]上恒成立， 即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1，3]上恒成立． 有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]． 当m >0时，g (x )在[1，3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1，3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0， 所以m <6， 所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧m ⎪⎪⎭⎬⎫m <67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67， 所以只需m <67即可．所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧m ⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度三 给定参数范围的恒成立问题对任意m ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．【解】 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在m ∈[－1，1]上，g (m )的值恒大于零，所以⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）＝（x －2）×（－1）＋x 2－4x ＋4>0，g （1）＝（x －2）＋x 2－4x ＋4>0.解得x <1或x >3.故当x 的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1，1]，函数f (x )的值恒大于零．形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． (2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数范围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求参数的取值范围．(3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．[注意] 解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元，谁是参数．[通关练习]1．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．解析：作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）<0，f （m ＋1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0，解得－22<m <0. 答案：⎝⎛⎭⎫－22，0 2．已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0，是否存在实数m 对所有的实数x ，使不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：不等式mx 2－2x －m ＋1<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方． 当m ＝0时，1－2x <0， 则x >12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数． 需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎨⎧m <0，Δ＝4－4m （1－m ）<0，不等式组的解集为空集，即m 无解． 综上可知，不存在这样的m .一元二次不等式的应用[学生用书P110][典例引领]某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域． (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． 【解】 (1)由题意得y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0，得x ≤2.所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0，2]．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．[通关练习]汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2，问：甲、乙两车有无超速现象？解：由题意知，对于甲车，有0.1x ＋0.01x 2>12， 即x 2＋10x －1 200>0，解得x >30或x <－40(不合实际意义，舍去)， 这表明甲车的车速超过30 km/h .但根据题意刹车距离略超过12 m.由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，即x2＋10x－2 000>0，解得x>40或x<－50(不合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速.一元二次不等式的求解策略(1)化：把不等式化为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法[学生用书P291(单独成册)]1．不等式(x －2)(2x －3)<0的解集是( ) A .⎝⎛⎭⎫－∞，32∪(2，＋∞) B.R C .⎝⎛⎭⎫32，2D ．∅解析：选C .因为不等式(x －2)(2x －3)<0， 解得32<x <2，所以不等式的解集是⎝⎛⎭⎫32，2. 2．不等式1－x 2＋x ≥1的解集为( )A .⎣⎡⎦⎤－2，－12 B .⎝⎛⎦⎤－2，－12 C ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ D ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 解析：选B .1－x 2＋x ≥1⇔1－x 2＋x －1≥0⇔1－x －2－x2＋x ≥0⇔－2x －12＋x ≥0⇔2x ＋1x ＋2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（2x ＋1）（x ＋2）≤0x ＋2≠0⇔－2<x ≤－12.故选B . 3．已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <2}，则不等式bx 2－5x ＋a >0的解集是( )A .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－13<x <12B .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－12<x <13C .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－13或x >12 D .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－12或x >13 解析：选C .由题意得方程ax 2－5x ＋b ＝0的两根分别为－3，2，于是 ⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝－－5a ，－3×2＝b a ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝30. 则不等式bx 2－5x ＋a >0， 即为30x 2－5x －5>0， 即(3x ＋1)(2x －1)>0， ⇒x <－13或x >12.故选C .4．规定符号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是( )A ．(－1，1) B.(0，1) C ．(－1，0)D ．(0，2)解析：选A .因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，1⊙k 2<3，所以k 2＋1＋k 2<3， 化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1， 所以－1<k <1.5．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4，3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4，1] B.[－4，3] C ．[1，3]D ．[－1，3]解析：选B .原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a ，1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.6．若关于x 的不等式ax >b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a >0的解集为________．解析：由已知ax >b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，可知a <0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a >0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45<0，即x 2＋15x －45<0，即5x 2＋x －4<0，解得－1<x <45，故所求解集为⎝⎛⎭⎫－1，45. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，45 7．若关于x 的不等式x 2－ax ＋1≤0的解集中只有一个整数，且该整数为1，则a 的取值范围为________．解析：令f (x )＝x 2－ax ＋1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0f （2）＞0，解得2≤a ＜52.答案：[2，52)8．当且仅当a ∈(m ，n )时，2－ax ＋x 21－x ＋x 2<3对x ∈R 恒成立，则m ＋n ＝________．解析：因为1－x ＋x 2>0恒成立，所以原不等式等价于2－ax ＋x 2<3(1－x ＋x 2)， 即2x 2＋(a －3)x ＋1>0恒成立．所以Δ＝(a －3)2－8<0，3－22<a <3＋22. 依题意有m ＝3－22，n ＝3＋22，所以m ＋n ＝6. 答案：69．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0，当x ∈(－3，2)时，f (x )>0.(1)求f (x )在[0，1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围． 解：(1)因为当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0， 当x ∈(－3，2)时，f (x )>0.所以－3，2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝8－ba ，－3×2＝－a －aba ，所以a ＝－3，b ＝5. 所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18 ＝－3⎝⎛⎭⎫x ＋122＋754.因为函数图象关于x ＝－12对称且抛物线开口向下，所以f (x )在[0，1]上为减函数， 所以f (x )max ＝f (0)＝18，f (x )min ＝f (1)＝12，故f (x )在[0，1]内的值域为[12，18]．(2)由(1)知不等式ax 2＋bx ＋c ≤0可化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3<0，Δ＝b 2－4ac ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－2512. 10．解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2<0(a ∈R )． 解：原不等式可化为(ax －1)(x －2)<0.(1)当a >0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a <0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －1a <0. 因为方程(x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0<a <12时，2<1a ，则原不等式的解集是⎩⎨⎧x⎪⎪⎭⎬⎫2<x <1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅； 当a >12时，1a <2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1a <x <2. (2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)<0， 解得x >2，即原不等式的解集是{x |x >2}． (3)当a <0时，原不等式可以化为 a (x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a <0， 根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －1a >0， 由于1a<2，故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <1a或x >2. 综上所述，当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <1a 或x >2； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >2}； 当0<a <12时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2<x <1a ； 当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a >12时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1a <x <2.1．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B.(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A .不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4) 内有解等价于a <(x 2－4x －2)max . 令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1，4)， 所以g (x )<g (4)＝－2， 所以a <－2，故选A .2．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(3，4) B.(－2，－1)∪(3，4) C ．(3，4]D ．[－2，－1)∪(3，4]解析：选D .由题意得，原不等式化为 (x －1)(x －a )<0.当a >1时，解得1<x <a ，此时解集中的整数为2，3， 则3<a ≤4；当a <1时， 解得a <x <1，此时解集中的整数为0，－1， 则－2≤a <－1.故a ∈[－2，－1)∪(3，4]，故选D .3．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对x ∈R 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2－x －1≥(a －2)(a ＋1)对x ∈R 恒成立， 因为x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54≥－54， 所以(a －2)(a ＋1)≤－54，解得－12≤a ≤32，所以a max ＝32.答案：324．函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax 对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：因为x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋ax >0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立．即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )恒成立． 设g (x )＝－(x 2＋2x )，而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3.所以，实数a 的取值范围是(－3，＋∞)． 答案：(－3，＋∞)5．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围． 解：将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9. 因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以 (1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去． (2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.所以x 的取值范围是{x |x <2或x >4}．6．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a ，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )．当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0， 即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， 因为a >0，且0<x <m <n <1a ，所以x －m <0，1－an ＋ax >0. 所以f (x )－m <0，即f (x )<m .。