1-2 分数加减法速算与巧算(解析)

本讲知识点属于计算板块的部分，难度并不大。

要求学生熟记加减法运算规则和运算律，并在计算中运用凑整的技巧。

一、基本运算律及公式
一、加法
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，他们的和不变。

即：a ＋b ＝b ＋a
其中a ，b 各表示任意一数．例如，7＋8＝8＋7＝15.
总结：多个数相加，任意交换相加的次序，其和不变．
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再与第一个数相加，他们的和不变。

即：a ＋b ＋c ＝（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）
其中a ，b ，c 各表示任意一数．例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8).
总结：多个数相加，也可以把其中的任意两个数或者多个数相加，其和不变。

二、减法
在连减或者加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时要带数字前面的运算符号“搬家”．例如：a －b －c ＝a －c －b ，a －b ＋c ＝a ＋c －b ，其中a ，b ，c 各表示一个数．
在加减法混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“－”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”．
如：a ＋（b －c ）＝a ＋b －c
a －（
b ＋
c ）＝a －b －c
a －（
b －
c ）＝a －b ＋c
在加、减法混合运算中，添括号时：如果添加的括号前面是“＋”，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“－”，那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”。

如：a ＋b －c ＝a ＋（b －c ）
a －
b ＋
c ＝a －（b －c ）
a －
b －
c ＝a －（b ＋c ）
二、加减法中的速算与巧算
速算巧算的核心思想和本质：凑整
常用的思想方法：
1、 分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有
相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一
分数加减法速算与巧算 知识点拨 教学目标
个数叫做另一个数的“补数”．
2、加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．
3、数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加．
4、“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把
多加的数减去，把少加的数加上）
【例 1】 1
14
104
1004
2282082008+++=_____
【考点】分数约分 【难度】1星 【题型】计算
【关键词】希望杯，五年级，一试
【解析】 原式=1
1
1
1
=22222+++
【答案】2
【例 2】 如果1
1
1
207265009A +=，则A =________（4级）
【考点】分数约分 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】希望杯，六年级，一试
【解析】 111112591207265009873773725125920082008+=+=⨯=⨯⨯⨯⨯，所以A =2008.
【答案】2008
模块一：分组凑整思想
【例 3】 11211232112199511222333331995199519951995+++++++++++++++
【考点】分组凑整 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 观察可知分母是1的和为1；分母是2的和为2；分母是3的和为3；……依次类推；分母是1995
的和为1995.这样，此题简化成求1231995++++的和.
1
1
2
1
1
232112199511222333331995199519951995+++++++++++++++
12341995119951995299819951991010=+++++=+⨯÷=⨯=()
【答案】1991010
【例 4】 11
11222233318181923420345204520192020⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【考点】分组凑整 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 观察可知分母是2分子和为1分母是3分子和为12+；分母是4分子和为123++；……依次类
推；分母是20子和为12319++++.
原式()1
1
1
1
(12)(123)1231923420=+⨯++⨯++++⨯++++
()1
1
1
1
(12)22(13)3211919223420=+⨯+⨯÷+⨯+⨯÷++⨯+⨯÷
1
2
319
952222=++++=
例题精讲
【例 1】 分母为1996的所有最简分数之和是_________
【考点】分组凑整 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 因为1996=2×2×499。

所以分母为1996的最简分数，分子不能是偶数，也不能是499的倍数，
499与3×499。

因此，分母为1996的所有最简真分数之和是
1
1995
319935011495997999
()()()()11149819961996199619961996199619961996++++++++=++⋯+=
【答案】498
【巩固】 所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是__________。

【考点】分组凑整 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 小于30的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共十个，分母为17的真分数相加，和
等于 1162
15
3
14
89
()()()()81717171717171717++++++++==171
2−。

类似地，可以求出其它分母为质数的分数的和。

因此，所求的和是
1
31
51
71
111
131
171191231291
2222222222−−−−−−−−−+++++++++
1
1
123568911145922=+++++++++=
【答案】1
592
模块二、位值原理
【例 5】 44444
99999999999999955555++++
【考点】位值原理 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 原式
444
4
4
99999999999999955555=+++++++++4
4
4
4
4
99999999999999955555=+++++++++
4
10100100010000100000555=++++−+⨯111109=
【答案】111109
【例 6】 111
1
123102612110++++= ．
【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式()1111123102612110⎛⎫
=+++++++++ ⎪⎝⎭ 1
1
1
1
1
11551223341011⎛⎫
=+−+−+−++− ⎪⎝⎭
155111⎛⎫
=+− ⎪⎝⎭
10
5511=
【答案】10
5511
【巩固】 1
1
1
11119931992199119901232323−+−++−
【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 本题需要先拆分在分组，然后在做简单的等差数列求和
1
11111199319921991199012323231111
111993199219911990102323231
1
1111
1993199219911990102323231111
(199319921991199010)2323−+−++−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−+++−++++−+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+−−++−−+++−−=−+−++−+−+−1994299711231997199711(111)9979972323÷=⎛⎫
++− ⎪⎝⎭
⨯⨯⎛⎫⎛⎫
=++++−=+⨯− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
个
997
11
9979971661163666=+=+=
【答案】1
11636
【巩固】 1111
12342346+−+=_______
【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式1
1
1
1
12342364=+−++++−
11
41444=+−=
【答案】1
44。