2018届高考数学艺术生短期集训专题知识突破_考点9幂函数
考点九幂函数知识梳理1．幂函数的概念如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．注意区分幂函数与指数函数：幂函数的一般形式是y＝xα，幂函数中自变量x处在底数位置，幂指数为常数；指数函数的一般形式是y＝αx，指数函数中自变量x处在指数位置，底数为常数．2．五个简单幂函数的图象和性质(1)图象比较(2)性质比较函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R 且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R 且y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞) 时，减；x∈(－∞，0)时，减典例剖析题型一幂函数的概念例1下列函数中是幂函数的是________．①y＝2x②y＝2x③y＝x2④y＝答案③解析根据幂函数的定义y＝xα，α是常数，得出y＝x2是幂函数，y＝2x、y＝2x、y＝不是幂函数．变式训练下列函数：①y＝x2+1；②；③y＝2x2；④；⑤，其中幂函数是________．答案②④解析根据幂函数的定义y＝xα，α是常数，得出②④是幂函数，例2已知幂函数f(x)的图象经过(9，3)，则f(2)－f(1)＝________．答案解析设幂函数f(x)＝x a，它的图象经过(9，3)，所以3＝9a，∴a＝，幂函数为f(x)＝，所以f(2)－f(1)＝变式训练函数y＝(m2－m+1)是幂函数，且f(－x)＝f(x)，则实数m的值为________．答案 1解析因为函数y＝(m2－m+1)是幂函数，所以m2－m+1＝1，解得m＝1或m＝0．因为f(－x)＝f(x)，所以函数是偶函数，当m＝0时，幂函数为y＝x－3．函数表示奇函数，当m＝1时y＝x－4．函数是偶函数．解题要点(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．题型二幂函数的图象例3下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是()答案①②③④解析图①说明函数定义域为R，有，且观察图象可知图②为，则图①为；又图③中函数定义域为，所以其对应，综上可知：①②③④.变式训练下列命题中正确的是________．①幂函数的图象一定过点(0，0)和点(1，1)②若函数f(x)＝x n是奇函数，则它在定义域上单调递增③幂函数的图象上的点一定不在第四象限④幂函数的图象不可能是直线答案③解析幂函数y＝x－1的图象不过点(0，0)，它在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，于是①，②都不正确．幂函数y＝x的图象是直线，④不正确．当x>0时，f(x)＝xα>0必成立，所以，幂函数的图象上的点一定不在第四象限，答案为③．解题要点若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.熟记5个简单幂函数的图象是解题的关键．题型三幂函数有关的大小比较问题例4已知，则a，b，c从小到大用“﹤”号排列为．答案解析 因为幂函数在单调递增，且，所以，即.又，又因为对数函数在单调递减，所以，因此.变式训练 设，则的大小关系是________．答案 a >c >b 解析 因为在上是增函数，所以又因为在上是减函数，所以.解题要点 同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性．同指数的两个数比较大小，考虑用幂函数的单调性：若指数大于0，对应的幂函数在上是增函数；若指数小于0，对应的幂函数在上是减函数．若指数和底数都不相同，则可借助中间值0或1比较．当堂练习1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过(4，2)点，则＝________．答案解析 ∵已知幂函数y ＝x α的图象过点(4，2)， 则4α＝2，∴α＝，故函数的解析式为y ＝f (x )＝，∴ ＝.2．当x ∈(0，+∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)x －5m －3为减函数，则实数m 的值为________．答案 m ＝2解析 因为函数y ＝(m 2－m －1)x －5m －3既是幂函数又是(0，+∞)的减函数， 所以解得：m ＝2．3. 设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 a >c >b解析 ∵y ＝x 25(x >0)为增函数，∴a >c .∵y ＝⎝⎛⎭⎫25x(x ∈R )为减函数，∴c >b ，∴a >c >b . 4．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，22，则f (4)的值为________． 答案 125．若幂函数的图象过点(2，14)，则它的单调递增区间是________．答案 (－∞，0)解析 设y ＝x a ，则14＝2a ，∴a ＝－2，∴y ＝x －2.课后作业一、 填空题1．在函数y ，y ＝2x 2，y ＝x 2+x ，y ＝1中，幂函数的个数是 ．答案 1解析 ∵幂函数的定义是“形如y ＝x α，α∈R 的函数，叫做幂函数”，∴在函数y ＝，y ＝2x 2，y ＝x 2+x ，y ＝1中，只有一个y ＝＝x－2符合定义，是幂函数；2．已知幂函数f (x )＝x m 的图象经过点(4，2)，则f (16)＝ ． 答案 4解析 由于知幂函数f (x )＝x m 的图象经过点(4，2)，则有4m ＝2，解得m ＝，故f (16)＝4．3．若函数是幂函数，则m 的值为 ．答案 －1 解析 ∵是幂函数，∴2m +3＝1，∴m ＝－1．4．已知幂函数y ＝f (x )的图象过(36，6)，则此函数的解析式是 ． 答案解析 设幂函数y ＝f (x )＝x α，由于它的图象过(36，6)，故有36α＝6，α＝，故此函数的解析式是．5．在同一坐标系中，函数的图象可能是．①②③④答案④解析对①，没有幂函数的图象，不符合题目要求；对②，中中，不符合题意；对③，中中，不符合题意；对④，中中，符合题意.6．设，则的大小关系是．答案解析由函数的性质得到所以，.7．已知幂函数y＝f(x)的图象过点()，则log4f(2)的值为．答案解析由设f(x)＝x a，图象过点()，∴()a＝，解得a＝∴log4f(2)＝．8．对于幂函数f(x)＝xα(α是有理数)给出以下三个命题：①存在图象关于原点中心对称的幂函数；②存在图象关于y轴轴对称的幂函数；③存在图象与直线y＝x不重合，但关于直线y＝x对称的幂函数．其中真命题的是．答案③解析幂函数y＝x3是奇函数，所以，结论①正确；幂函数y＝x2是偶函数，所以，结论②正确；幂函数y＝的图象关于直线y＝x对称，所以，结论③正确．9．下列函数(1)y＝x3，(2)y＝x2，(3)y＝，(4)y＝，在(－∞，0)上是增函数的是．答案(1)解析由幂函数的图象和性质得(1)是奇函数，在(－∞，0)上递增．(2)是偶函数，在(－∞，0)上递减．(3)奇函数，在(－∞，0)上递减．(4)在(－∞，0)上无意义，故区间(－∞，0)不是函数的单调区间．故答案是(1)．10．函数f(x)＝x n+1恒过一个定点，这个定点坐标是．答案(1，2)解析由于函数y＝x n恒过一个定点(1，1)，故函数f(x)＝x n+1恒过一个定点(1，2)，故答案为(1，2)．11．比较大小(填“＞”“＜”或“＝”)：(1)；(2)(－π)3(－3)3．答案(1)＞(2)＜解析(1)因为幂函数y＝x0.5在区间[0，+∞)上是增函数，又＞，所以＞；(2)因为幂函数y＝x3在区间(－∞，+∞)上是增函数，又－π＜－3，所以(－π)3＜(－3)3．二、解答题12．比较大小：(1) ；(2)(－1.2)3，(－1.25)3；(3)5.25－1,5.26－1,5.26－2.在[0，＋∞)上是增函数，1.5<1.7，解析(1)∵y＝x12∴；(2)∵y＝x3在R上是增函数，－1.2>－1.25，∴(－1.2)3>(－1.25)3；(3)∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，∴5.25－1>5.26－1；∵y＝5.26x是增函数，－1>－2，∴5.26－1>5.26－2.综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2.13．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点A().(1)数α的值;(2)求证：f(x)在区间(0，+∞)是减函数.解析(1)解：∵f(x)＝xα的图象经过点A()，∴()α＝，即2－α＝，解得α＝－；(2)证明：任取x1，x2∈(0，+∞)，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝. ∵x2>x1>0，∴x1－x2<0，，于是f(x2)－f(x1)<0. 即f(x2)<f(x1)，所以f(x)＝在区间(0，+∞)是减函数.。
高考数学复习考点知识讲解课件9 幂函数与二次函数
3．若 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当a>0， 时，恒有 f(x)>0；当a<0， 时，恒有 f(x)<0.
Δ<0
Δ<0Βιβλιοθήκη — 8—(新教材) 高三总复习•数学
诊断自测 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
1
(1)函数 y＝2x 3 是幂函数．( × ) (2)当 α>0 时，幂函数 y＝xα 在(0，＋∞)上是增函数．( √ ) (3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．( × ) (4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac4－a b2.( × )
[解析] 因为(a＋1)－2>(3－2a)－2，
|a＋1|<|3－2a|， 又 f(x)＝x－2 为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，所以a＋1≠0，
3－2a≠0，
解得
2 a<3
且 a≠－1 或 a>4，所以 a 的取值范围是(－∞，－1)∪－1，23∪(4，＋∞)．
— 19 —
(新教材) 高三总复习•数学
3
1
1
3．(2022·深圳福田区一模)已知 a＝24 ，b＝3 2 ，c＝4 3 ，则 a，b，c 的大小关系为( B )
A．a<b<c B．c<a<b
C．a<c<b D．c<b<a
3
1
1
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1
[解析] 因为 a＝24 ＝8 4 ，b＝3 2 ＝9 4 ，且函数 y＝x 4 在(0，＋∞)上单调递增，所
都有fxx11－ －fx2x2<0，等价于 f(x)在(－∞，0)上单调递减，∴f(x)＝(x－2)2＋1 满足③， 又 f(x)＝(x－2)2＋1≥1，满足①， 故 f(x)的解析式可以为 f(x)＝x2－4x＋5.
高考数学知识点：幂函数知识点_知识点总结
高考数学知识点：幂函数知识点_知识点总结定义：形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域性质：对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。
当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；排除了为0这种可能，即对于x0的所有实数，q不能是偶数；排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。
高考数学知识点 幂函数知识点_知识点总结
高考数学知识点幂函数知识点_知识点总结幂函数是高中数学中重要的知识点之一，它在高考数学考试中经常出现。
掌握幂函数的知识点对于顺利解决各类与幂函数相关的数学题目至关重要。
本文将对幂函数的相关知识点进行总结和归纳，帮助同学们理清思路，加强对该知识点的掌握。
一、幂函数的定义幂函数是指函数y = x^n，其中x为自变量，n为常数。
在幂函数中，x的指数是常数，y与x之间存在特定的关系。
二、幂函数的图像特点1. 当n为正整数时，幂函数的图像是以原点为中心的相似变换。
当n为正奇数时，函数具有奇对称性，图像关于坐标原点对称；当n为正偶数时，函数具有偶对称性，图像关于y轴对称，并且右侧都是正数部分；当n为正数时，函数图像都通过第一象限。
2. 当n为负整数时，幂函数的图像将关于x轴对称，并且经过第一象限和第三象限的两点。
3. 当n为0时，幂函数的图像为直线y = 1，是一个常数函数。
三、幂函数的性质1. 定义域：所有实数。
2. 值域：当n为正奇数时，函数的值域为(-∞, +∞)；当n为正偶数时，函数的值域为[0, +∞)；当n为负奇数时，函数的值域为(-∞, 0)；当n为负偶数时，函数的值域为[0, +∞)。
3. 单调性：当n为正数时，幂函数在定义域上是递增函数；当n为负数时，幂函数在定义域上是递减函数。
4. 对称性：当n为正奇数时，幂函数的图像关于原点对称；当n为正偶数时，幂函数的图像关于y轴对称；当n为负整数时，幂函数的图像关于x轴对称。
5. 渐近线：当n为正数时，幂函数的图像与x轴无交点；当n为负整数时，幂函数的图像与y轴无交点。
四、幂函数的应用幂函数广泛应用于数学中的各种实际问题中，比如面积、体积、变量关系等。
在解决这些问题时，我们可以通过列方程、求导等方法将其转化为幂函数的求解过程。
例如，求解一个正方形的面积与边长之间的关系。
我们可以将正方形的面积设为y，边长设为x，那么根据正方形的性质可得 y = x^2，这就是一个幂函数的表达式，通过对该函数进行数学分析，我们可以得出边长与面积之间的关系，并解决相关的数学问题。
幂函数——知识点、考点总结
精品PPT
求f x的解析式.
2.若幂函数y m2 3m 17 x4mm2的图象不过原点，求实数m的取值范围. 3.幂函数y m2 m 1 xm22m3,当x 0, 时为减函数，则实数m的值为
. A m 2; B m 1;C m 1或2;D m 1 5 .
2
精品PPT
题型三——幂函数的图象与性质的应用
-
2 3
-2
3
和
-
6
-2
3
的大小
练习：
7
例2.比较下列各组数的大小
5
5
1.32 和3.12；
7
2
.
8
7 8
和-
1 9
8
；
3.
2 3
2 3
和
-
6
-2 3
.
1.比较下列各组数的大小：1
-
.3
5 2
和3.1
5 2
;
2
.
8
7 8
和
1 9
பைடு நூலகம்
8
;
已知幂函数f
x
3 k 1 k2 x2 2
k
Z
Y=x
R
值域 R
奇偶性 奇
Y=x2 Y=x3 Y=x1/2 Y=x-1
R
〔0,+∞） 偶
R
R
〔0,+∞）
（-∞,0）∪（0,+∞）
奇
精非品P奇PT非偶 奇
单调性
过定点
（-∞，0〕 〔0，+∞）
〔0，+∞）
（1，1）
（-∞，0） （0，+∞）
6.高考中的题型： 题型一——幂函数值的大小比较
高考数学知识点幂函数知识点总结
高考数学知识点幂函数知识点总结幂函数是高考数学中的重要知识点之一。
它在求解各类问题中具有广泛的应用。
本文将对幂函数的定义、性质以及解题技巧进行总结，以帮助考生全面掌握相关知识。
一、幂函数的定义与性质1. 定义：幂函数是指形如f(x) = a^x的函数，其中a为实数且a>0且a≠1。
2. 幂函数的基本性质：(1) 当a>1时，幂函数是递增函数；(2) 当0<a<1时，幂函数是递减函数；(3) 幂函数的图象是关于y轴对称的；(4) 当x取整数时，幂函数的函数值为恒定值。
3. 幂函数的特殊情况：(1) 当a>1时，幂函数的图象在x轴正半轴上逼近y轴；(2) 当0<a<1时，幂函数的图象在x轴正半轴上逼近x轴；(3) 当a=1时，幂函数为常数函数。
二、幂函数的常见解题技巧1. 求解幂函数的零点：对于幂函数f(x) = a^x = 0，可以通过求解a^x = 0的条件来得到幂函数的零点。
由于指数函数a^x的定义域为实数集，而等式0^x没有意义，因此幂函数的零点不存在。
2. 求解幂函数的最值：当幂函数f(x) = a^x存在最值时，可以通过导数法求解。
具体步骤为：(1) 求得f'(x) = a^x * ln(a)，其中ln(a)表示以e为底的对数；(2) 令f'(x) = 0，解得x = ln(a)；(3) 将x = ln(a)带入幂函数，得到最值点或者端点的函数值；(4) 比较得到最值。
3. 幂函数与其他函数的复合：幂函数和其他常见函数的复合，如幂函数与线性函数、指数函数、对数函数的复合等，可以通过替换变量或者利用函数关系进行求解。
具体步骤需要根据题目的要求和已知条件进行灵活运用。
4. 幂函数在实际问题中的应用：幂函数在生活和工作中有广泛的应用，比如指数增长与衰减问题，利润与销售量关系的建模，物理中的涉及到指数增长和衰减的问题等，需要考生能够将幂函数与实际问题相结合，进行建模和求解。
高考数学知识点幂函数知识点知识点总结
高考数学知识点幂函数知识点知识点总结高考数学知识点：幂函数知识点总结在高中数学课程中，幂函数是一个重要的知识点。
幂函数的数学表达式为f(x) = ax^n，其中a和n分别代表常数，x代表自变量。
幂函数具有许多特殊性质和应用，下面将对幂函数的相关知识点进行总结。
一、定义和性质1. 幂函数的定义：幂函数是指具有形如f(x) = ax^n的函数，其中a和n为实数常数，且a≠0。
2. 幂函数的图像：根据a和n的取值不同，幂函数的图像可以表现为增函数、减函数或恒函数。
3. 幂函数的对称性：当幂函数的幂指数n为正偶数时，函数图像关于y轴对称；当n为正奇数时，函数图像关于原点对称；当n为负数时，函数图像关于x轴对称。
二、基本性质和运算法则1. 幂函数的基本性质：a) 当n>0时，幂函数是增函数；当n<0时，幂函数是减函数。
b) 当a>1时，幂函数递增速度大于直线函数y=x；当0<a<1时，幂函数递增速度小于直线函数y=x。
c) 当n=1时，幂函数是一次函数；当n=0时，幂函数是常值函数。
2. 幂函数的运算法则：a) 幂函数相乘：f(x) = ax^m * bx^n = abx^(m+n)。
b) 幂函数相除：f(x) = (ax^m) / (bx^n) = (a/b)x^(m-n)，其中b≠0。
c) 幂函数相乘的分配律：(a * b)x^n = a * bx^n，其中a和b为常数，n为指数。
d) 幂函数的复合：f(g(x)) = (ax^m)^n = a^n*x^(m*n)，其中a、g(x)和n为常数。
三、幂函数的应用1. 函数图像：通过掌握幂函数图像的特点，我们可以辨认各类函数的图像特征，帮助解题。
2. 变化率计算：由于幂函数在不同区间具有不同的递增、递减性质，可以用来计算变化率，例如速度、增长率等。
3. 经济学应用：幂函数可以描述经济学中的一些指数关系，如价格与需求量的关系等。
高考数学幂函数知识点总结
高考数学幂函数知识点总结一、幂函数的定义和性质幂函数是数学中一种常见的函数形式，它的定义形式为y = ax^n，其中a和n都为实数，x为自变量，y为因变量。
幂函数在数学中扮演着重要的角色，广泛应用于自然科学和工程技术领域。
下面我们来总结一些幂函数的重要性质和应用。
1. 幂函数的定义域和值域：幂函数y = ax^n的定义域为实数集R，值域则取决于a和n 的取值范围。
当a>0时，n为整数时，函数的值域为正实数集R+；当a<0时，n为奇数时，函数的值域为负实数集R-。
2. 幂函数的奇偶性：当n为偶数时，函数为偶函数；当n为奇数时，函数为奇函数。
具体而言，当n为偶数时，对于任意x，有f(-x)=f(x)；当n为奇数时，对于任意x，有f(-x)=-f(x)。
3. 幂函数的图像变换：幂函数y = ax^n在平面直角坐标系中的图像变换与参数a和n的取值相关。
当a>1时，函数图像沿y轴方向压缩，当0<a<1时，函数图像沿y轴方向拉伸；当n>1时，函数图像在原点左侧上升，当0<n<1时，函数图像在原点右侧上升。
4. 幂函数的极限：当a>1时，幂函数在正无穷大时趋于正无穷大；当0<a<1时，幂函数在正无穷大时趋于0。
若n>0，幂函数在负无穷大时趋于正无穷大；若n<0，幂函数在负无穷大时趋于0。
二、幂函数的常见应用幂函数因为其特殊的形式和性质，在科学和工程中有广泛的应用。
以下是幂函数在一些具体问题中的运用。
1. 物质的增长和衰减：在生物学和经济学中，常常需要研究物质的增长和衰减过程。
幂函数可用来描述这种过程。
例如，生物种群的增长可以用幂函数进行建模，其中a表示种群的初始数量，n表示增长率。
同样，经济学中的人口增长、环境污染以及经济发展等问题也可以利用幂函数进行分析。
2. 各种规律的描述：幂函数可以应用于描述一些规律和现象。
例如，光的强度随距离的关系、金融领域中财富分布的不平等系数、能量消耗与功率之间的关系等都可以用幂函数来表达。
数学高考知识点幂函数
数学高考知识点幂函数数学高考知识点：幂函数幂函数是高考数学中非常重要的一个知识点，它是指形如y=x^a的函数，其中a是一个实数。
在高考中，幂函数常常会与其他函数进行比较或者求解方程等相关问题，因此熟练掌握幂函数的性质和应用是非常重要的。
一、幂函数的性质1. 幂函数的定义域：幂函数y=x^a的定义域是所有使得x^a有意义的实数x。
2. 幂函数的奇偶性：当指数a为偶数时，幂函数具有关于y轴的对称性，即f(-x) = f(x)。
当指数a为奇数时，幂函数关于原点对称，即f(-x) = -f(x)。
3. 幂函数的单调性：当指数a大于0时，幂函数在定义域上是递增的；当指数a小于0时，幂函数在定义域上是递减的。
4. 幂函数的图像：幂函数的图像呈现出如下特点：当a>1时，幂函数在∞处增加，0处取到最小值；当0<a<1时，幂函数在∞处减小，0处取到最大值；当a<0时，幂函数在定义域上是奇函数，图像关于原点对称。
二、幂函数的应用1. 幂函数与对数函数的关系：幂函数和对数函数是互为反函数的，即y=x^a和y=loga(x)是一对反函数。
这一性质在解决指数方程和对数方程时非常有用。
2. 幂函数的极限：对于幂函数y=x^a，当x趋近于正无穷时，幂函数趋近于正无穷；当x趋近于负无穷时，幂函数趋近于零。
这一性质在求解极限时常常会被用到。
3. 幂函数的应用：幂函数在物理学、生物学、经济学等领域具有广泛的应用。
例如，在物理学中，速度和加速度的计算常常涉及到幂函数的运算。
三、幂函数在高考中的常见题型解析1. 求解方程：高考经常出现要求解幂函数方程的题目，在解这类问题时，我们可以利用幂函数和对数函数互为反函数的特性，将幂函数方程转化为对数方程进行求解。
2. 判断性质：高考中会出现判断幂函数性质的题目，例如给出一个函数的图像，要求判断该函数的奇偶性、单调性等。
在解这类问题时，我们需要运用幂函数的性质和图像特点进行分析。
高考数学复习知识点讲解教案第9讲 二次函数与幂函数
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[解析] 设.由，得 的图象关于直线对称，则，即①.设的图象与 轴交点的横坐标为,，则由题意得，得 ②.由已知得③.由①②③解得，，， ， .
探究点三 二次函数的图象与性质
例3（1） [2024·江苏南通模拟] 记函数在区间 上的最大值为，则 的最小值为( )
A
A. B. C. D.1
②
（ⅲ）当时，画出的大致图象，如图③④，当 时，，易知当时，，则在 上单调递增，在上单调递减，所以，当时， ，则在上单调递增，所以.所以当 时，.因为，所以综上可知， 的最小值为 .故选A.
③
④
（2） [2024·浙江名校协作体联考] 已知函数在区间 上单调递增，则 的取值范围为( )
变式题（1） [2024·黑龙江省实验中学月考] 函数是幂函数，对任意，，且 ，满足.若，，且，，则 的值( )
B
A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断
[解析] 因为函数对任意，，且，满足 ，所以在上单调递减.由 是幂函数，可得，解得或.当时，，在 上单调递增，不满足题意.当时，，在 上单调递减，满足题意，故，且为奇函数.因为，，所以 ，所以，所以，所以 .故选B.
[解析] 当时，函数在给定区间上单调递增，不符合题意；当 时，函数是二次函数，其图象的对称轴为直线，依题意知 解得 .
6.已知幂函数，若，则 的取值范围为_______.
[解析] 幂函数在定义域上单调递减，由 ，得解得 .
探究点一 幂函数的图象和性质
例1（1） 已知幂函数,,, 在第一象限内的图象如图所示，则( )
（2） 写出一个满足条件“函数的图象与轴、 轴没有交点，且关于原点对称”的幂函数: _ ___________________.
2018高考数学文科一轮复习讲义 2.3 第三节 幂函数
第三节 幂函数【考点点知】知己知彼，百战不殆幂函数在科学研究和工程中,应用非常广泛,是重要的函数应用模型, 新课标要求能够通过幂、指、对三个函数的学习,培养数学的应用意识和数学建模的思想, 激发学习数学的兴趣,发展的创新意识和实践能力.考点一: 幂函数的概念1.一般地，形如y x α=)(R a ∈的函数称为幂函数，其中x 是自变量, a 为常数．2.判断一个函数是否是幂函数首先判断其形式，x α前面系数一定为1，且a 应为实数（中学阶段仅研究a 为有理数） 幂函数求其定义域时，应先化成根式， 求得使根式有意义的x 的取值，即为所求.考点二: 幂函数的图像和性质1.常见的幂函数y =x, y =x 2, y =x 3,1y x=, 12y x =在同一坐标系中的图象如图所示.2.从图中可以观察得到幂函数的特征如下：3.幂函数的性质如下：（1)所有的幂函数在(0，＋∞）都有定义，并且图象都通过点（1，1)；（2)如果α>0,则幂函数的图象过原点，并且在区间［0，＋∞）上为增函数；(3)如果α<0，则幂函数图象在区间[0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋向于+∞时，图象在y 轴上方无限地逼近x 轴．(4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例 1.(基础·2007山东理,4)设1{1,1,,3}2a ∈-，则使函数ay x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为(A)1，3(B)1-，1 (C) 1-，3 (D) 1-，1，3思路透析:函数112,,y x y x y x -===,3y x =中定义域为R 且为奇函数的有3,y x y x ==,故应选A.点评:本题是一道开放题,其考查了幂函数的基础知识,形如y x α=)(R a ∈的函数称为幂函数,要注意这是一个幂函数的模型式.例2.(基础·2007江苏模)对于函数y ＝x 2，y ＝x 21有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图象关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点（0，0）（1，1）；⑥两个函数的图象都是抛物线型；⑦两个函数互为反函数．其中正确的有_________．思路透析:首先应当作出它们两个函数的草图, 先定下一个大的方向.从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较，填①②⑤⑥．点评: 幂函数与其它函数的研究方式是相同的,只是总的形式由于指数的变化而显得多样化,不要被这种多样的形式化所蒙蔽,要能够看清问题的本质,找准问题解决的通法去思考问题.例3.(综合)比较下列各组中两个数的大小： （1）535.1，537.1；（2）0.71.5，0.61.5；（3）32)2.1(－－，32)25.1(－－．思路透析:（1）考查幂函数y ＝53x 的单调性，在第一象限内函数单调递增， ∵1.5＜1.7，∴535.1＜537.1，（2）考查幂函数y ＝23x 的单调性，同理0.71.5＞0.61.5． （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， ∵32)2.1(－－＝322.1－，32)25.1(－－＝3225.1－，又322.1－＞3225.1－，∴32)2.1(－－＞3225.1－．点评:比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．例4.(综合·2007惠州市模拟)幂函数①1y x -=, ②y x =及直线③1y =，④1x =将直角坐标系第 一象限分成八个“卦限”：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ（如图所示），那么幂函数32y x-=的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ）A ．Ⅳ，ⅦB ． Ⅳ，Ⅷ Ｃ．Ⅲ，Ⅷ D ． Ⅲ，Ⅶ思路透析: 解法一:在第一象限内,1x >的右方,从下向上的幂函数的图象的指数的变化趋势为从小变大, 由312-<-,即得幂函数32y x -=在1x >的右方经过Ⅶ“卦限”, 所以过点(1,1)后与曲线1y x -=交叉后过经过Ⅲ“卦限”,故应选D. 解法二:取2x =可得, 3121222--=<=, 即得幂函数32y x -=在1x >的右方经过Ⅶ“卦限”, 所以过点(1,1)后与曲线1y x -=交叉后过经过Ⅲ“卦限”,故应选D.点评:本题考查了幂函数的图象作图及幂函数的性质比较研究.幂函数的图象均过点(1,1)且过点(1,1)同类曲线的位置关系相互交叉.例5.(创新探究·2007广东中山期末))利用幂函数图象，叙述作函数222221x x y x x ++=++的图象的变换步骤.思路透析:首先应将原函数化简为最精简的形式, 然后根据函数图象平移的公式进行平移变换.由 22222211112121(1)x x y x x x x x ++==+=++++++ 可得只需把函数21y x =的图象向左平移1个单位，得21(1)y x =+的图象,再向上平移1个单位可以得到函数122222++++=x x x x y 的图象.点评:要想得到函数的变换关系,关键在于将原函数分解为熟悉的函数, 然后再将其一步一步由具体的x , 作整体替换, 再对应于函数图象的平移即可.例6.(创新探究·2007山东期中))已知函数y ＝42215x x －－． （1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．思路透析:这是复合函数问题，利用换元法令t ＝15－2x －x 2，则y ＝4t ， （1）由15－2x －x 2≥0得函数的定义域为［－5，3］， ∴t ＝16－（x －1）2∈［0，16］．∴函数的值域为［0，2］． （2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数y ＝42215x x －－既不是奇函数也不是偶函数．（3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x ＝1，∴x ∈［－5，1］时，t 随x 的增大而增大；x ∈（1，3）时，t 随x 的增大而减小． 又∵函数y ＝4t 在t ∈［0，16］时，y 随t 的增大而增大，∴函数y ＝42215x x －－的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3］． 点评:幂函数在本题中只是一个本原, 很多数学问题研究的本原性问题往往是较为简单的问题, 如本题实质上就是由几个知识点交汇而得的一个问题,只要能够各个击破,问题就会迎刃而解.【画龙点睛】探索规律，豁然开朗 1.规律总结:(1)关于一般幂函数的图像对于幂函数()y x R αα=∈，当指数α=1时，y=x 的图像是直线；当指数α=0时，y=x 0=1的图像是直线（不包括（0，1）点）；其它一般情况的图像如下2.在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；3.研究幂函数y ＝αx ，首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，确定图象所在象限及曲线的类型，在α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，注意α＝0，±1三个曲线的形状；4.幂函数在第一象限的图象可用口诀记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型．2.学以致用:(1)下列函数中是幂函数的是 （ ）A. 23y x = B. 1()2x y = C. y x =1y x =+(2)在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f （x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是 A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x(3)幂函数()f x 的图象过点（，则()f x 的解析式是_____________(4)942--=a ax y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是答案:(1)C 解析:由幂函数的定义直接选择.A 中x 2前系数不为1；B 中x 不是底数；D 中函数为幂函数y =x 与常数函数y =1复合而成.故应选C .(2)A 解析:由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 符合不等式21［f （x 1）+f （x 2）］＜f （221x x +）,故应选A ．(3)()f x =: (),f x x α=图象过点（，34333,4αα===,∴()f x =(4)1,3,5或1-解析:由已知条件可得249a a --应为负偶数， 即22*49(2)132,()a a a k k N --=--=-∈，2(2)132,a k -=-当2k =时，5a =或1-；当6k =时，3a =或1 3.易错分析:(1)幂函数与其它函数的研究方式是相同的,只是总的形式由于指数的变化而显得多样化,不要被这种多样的形式化所蒙蔽,要能够看清问题的本质,找准问题解决的通法去思考问题.(2)函数的性质是多方面的,研究任何一个未曾见过的陌生函数均要从其注意从性质入手.(3)对幂函数的图象不能理解到位是解题出错的原因之一.【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.若)1(,,)1(,1,4,)21(,2522>==-=+====a a y x y x y x y x y y x y xx 上述函数是幂函数的个数是（ ）A 0个B 1个C 2个D 3个2.函数3yx =（ ）A 是奇函数，且在R 上是单调增函数B 是奇函数，且在R 上是单调减函数C 是偶函数，且在R 上是单调增函数D 是偶函数，且在R 上是单调减函数343.函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是（ ） A41B 1-C 4D 4- 4.幂函数的图象过点)3,3(，则它的单调递增区间是 （ ）A ．[)+∞-,1B ．[)+∞,0C ．),(+∞-∞D ．)0,(-∞5.如图所示的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象， 已知n 取±2，±21四个值，则相应于曲线c 1，c 2，c 3，c 4的n 依次是 ( )A.－2，－21,21，2 B.2，21,21-，－2C.－21，－2，2，21D.21，2，－2，－216.幂函数21322p p y x-++=(p Z ∈)为偶函数,且(1)(4)f f <,则实数p 的值为( )A ．0B ．1C ． 2D ． 3 二、填空题:7.若函数()x f 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是()x f =8.函数y ＝52x 的单调递减区间为 . 9.函数y ＝221m m x－－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是________．10.函数2223()(1)mm f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，则实数m =______三、解答题: 11.证明函数()f x =[2,)-+∞上是增函数12.求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域．13.讨论函数y ＝52x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．14.设函数f （x ）＝x 3， （1）求它的反函数；（2）分别求出f －1（x ）＝f （x ），f －1（x ）＞f （x ），f －1（x ）＜f （x ）的实数x 的范围．【能力训练】参考答案 一、选择题:1. C2. A3. C4. B5. B6. B 二、填空题:7.1x8. （－∞，0］ 9. －1 10. 2 三、解答题:11.证明：任取12,[2,)x x ∈-+∞，且12x x <，则12()()f x f x -===因为120x x -<>，得12()()f x f x <所以函数()f x =[2,)-+∞上是增函数12.解析：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）． 13.解析:函数y ＝52x 是幂函数．（1）要使y ＝52x ＝52x 有意义，x 可以取任意实数，故函数定义域为R ． （2）∵x ∈R ，∴x 2≥0．∴y ≥0．（3）f （－x ）＝52)(x －＝52x ＝f （x ）， ∴函数y ＝52x 是偶函数； （4）∵n ＝52＞0， ∴幂函数y ＝52x 在［0，＋∞］上单调递增． 由于幂函数y ＝52x 是偶函数，∴幂函数y ＝52x 在（－∞，0）上单调递减． （5）其图象如图所示．14.（1）由y ＝x 3两边同时开三次方得x ＝3y ，∴f －1（x ）＝x 31．（2）∵函数f （x ）＝x 3和f －1（x ）＝x 31的图象都经过点（0，0）和（1，1）．∴f －1（x ）＝f （x ）时，x ＝±1及0；在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知f－1（x）＞f（x）时，x＜－1或0＜x＜1；f－1（x）＜f（x）时，x＞1或－1＜x＜0．。