2018届高考数学艺术生短期集训专题知识突破_考点9幂函数

考点九幂函数知识梳理1．幂函数的概念如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．注意区分幂函数与指数函数：幂函数的一般形式是y＝xα，幂函数中自变量x处在底数位置，幂指数为常数；指数函数的一般形式是y＝αx，指数函数中自变量x处在指数位置，底数为常数．2．五个简单幂函数的图象和性质(1)图象比较(2)性质比较函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R 且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R 且y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞) 时，减；x∈(－∞，0)时，减典例剖析题型一幂函数的概念例1下列函数中是幂函数的是________．①y＝2x②y＝2x③y＝x2④y＝答案③解析根据幂函数的定义y＝xα，α是常数，得出y＝x2是幂函数，y＝2x、y＝2x、y＝不是幂函数．变式训练下列函数：①y＝x2+1；②；③y＝2x2；④；⑤，其中幂函数是________．答案②④解析根据幂函数的定义y＝xα，α是常数，得出②④是幂函数，例2已知幂函数f(x)的图象经过(9，3)，则f(2)－f(1)＝________．答案解析设幂函数f(x)＝x a，它的图象经过(9，3)，所以3＝9a，∴a＝，幂函数为f(x)＝，所以f(2)－f(1)＝变式训练函数y＝(m2－m+1)是幂函数，且f(－x)＝f(x)，则实数m的值为________．答案 1解析因为函数y＝(m2－m+1)是幂函数，所以m2－m+1＝1，解得m＝1或m＝0．因为f(－x)＝f(x)，所以函数是偶函数，当m＝0时，幂函数为y＝x－3．函数表示奇函数，当m＝1时y＝x－4．函数是偶函数．解题要点(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．题型二幂函数的图象例3下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是()答案①②③④解析图①说明函数定义域为R，有，且观察图象可知图②为，则图①为；又图③中函数定义域为，所以其对应，综上可知：①②③④.变式训练下列命题中正确的是________．①幂函数的图象一定过点(0，0)和点(1，1)②若函数f(x)＝x n是奇函数，则它在定义域上单调递增③幂函数的图象上的点一定不在第四象限④幂函数的图象不可能是直线答案③解析幂函数y＝x－1的图象不过点(0，0)，它在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，于是①，②都不正确．幂函数y＝x的图象是直线，④不正确．当x>0时，f(x)＝xα>0必成立，所以，幂函数的图象上的点一定不在第四象限，答案为③．解题要点若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.熟记5个简单幂函数的图象是解题的关键．题型三幂函数有关的大小比较问题例4已知，则a，b，c从小到大用“﹤”号排列为．答案解析 因为幂函数在单调递增，且，所以，即.又，又因为对数函数在单调递减，所以，因此.变式训练 设，则的大小关系是________．答案 a >c >b 解析 因为在上是增函数，所以又因为在上是减函数，所以.解题要点 同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性．同指数的两个数比较大小，考虑用幂函数的单调性：若指数大于0，对应的幂函数在上是增函数；若指数小于0，对应的幂函数在上是减函数．若指数和底数都不相同，则可借助中间值0或1比较．当堂练习1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过(4，2)点，则＝________．答案解析 ∵已知幂函数y ＝x α的图象过点(4，2)， 则4α＝2，∴α＝，故函数的解析式为y ＝f (x )＝，∴ ＝.2．当x ∈(0，+∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)x －5m －3为减函数，则实数m 的值为________．答案 m ＝2解析 因为函数y ＝(m 2－m －1)x －5m －3既是幂函数又是(0，+∞)的减函数， 所以解得：m ＝2．3. 设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 a >c >b解析 ∵y ＝x 25(x >0)为增函数，∴a >c .∵y ＝⎝⎛⎭⎫25x(x ∈R )为减函数，∴c >b ，∴a >c >b . 4．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，22，则f (4)的值为________． 答案 125．若幂函数的图象过点(2，14)，则它的单调递增区间是________．答案 (－∞，0)解析 设y ＝x a ，则14＝2a ，∴a ＝－2，∴y ＝x －2.课后作业一、 填空题1．在函数y ，y ＝2x 2，y ＝x 2+x ，y ＝1中，幂函数的个数是 ．答案 1解析 ∵幂函数的定义是“形如y ＝x α，α∈R 的函数，叫做幂函数”，∴在函数y ＝，y ＝2x 2，y ＝x 2+x ，y ＝1中，只有一个y ＝＝x－2符合定义，是幂函数；2．已知幂函数f (x )＝x m 的图象经过点(4，2)，则f (16)＝ ． 答案 4解析 由于知幂函数f (x )＝x m 的图象经过点(4，2)，则有4m ＝2，解得m ＝，故f (16)＝4．3．若函数是幂函数，则m 的值为 ．答案 －1 解析 ∵是幂函数，∴2m +3＝1，∴m ＝－1．4．已知幂函数y ＝f (x )的图象过(36，6)，则此函数的解析式是 ． 答案解析 设幂函数y ＝f (x )＝x α，由于它的图象过(36，6)，故有36α＝6，α＝，故此函数的解析式是．5．在同一坐标系中，函数的图象可能是．①②③④答案④解析对①，没有幂函数的图象，不符合题目要求；对②，中中，不符合题意；对③，中中，不符合题意；对④，中中，符合题意.6．设，则的大小关系是．答案解析由函数的性质得到所以，.7．已知幂函数y＝f(x)的图象过点()，则log4f(2)的值为．答案解析由设f(x)＝x a，图象过点()，∴()a＝，解得a＝∴log4f(2)＝．8．对于幂函数f(x)＝xα(α是有理数)给出以下三个命题：①存在图象关于原点中心对称的幂函数；②存在图象关于y轴轴对称的幂函数；③存在图象与直线y＝x不重合，但关于直线y＝x对称的幂函数．其中真命题的是．答案③解析幂函数y＝x3是奇函数，所以，结论①正确；幂函数y＝x2是偶函数，所以，结论②正确；幂函数y＝的图象关于直线y＝x对称，所以，结论③正确．9．下列函数(1)y＝x3，(2)y＝x2，(3)y＝，(4)y＝，在(－∞，0)上是增函数的是．答案(1)解析由幂函数的图象和性质得(1)是奇函数，在(－∞，0)上递增．(2)是偶函数，在(－∞，0)上递减．(3)奇函数，在(－∞，0)上递减．(4)在(－∞，0)上无意义，故区间(－∞，0)不是函数的单调区间．故答案是(1)．10．函数f(x)＝x n+1恒过一个定点，这个定点坐标是．答案(1，2)解析由于函数y＝x n恒过一个定点(1，1)，故函数f(x)＝x n+1恒过一个定点(1，2)，故答案为(1，2)．11．比较大小(填“＞”“＜”或“＝”)：(1)；(2)(－π)3(－3)3．答案(1)＞(2)＜解析(1)因为幂函数y＝x0.5在区间[0，+∞)上是增函数，又＞，所以＞；(2)因为幂函数y＝x3在区间(－∞，+∞)上是增函数，又－π＜－3，所以(－π)3＜(－3)3．二、解答题12．比较大小：(1) ；(2)(－1.2)3，(－1.25)3；(3)5.25－1,5.26－1,5.26－2.在[0，＋∞)上是增函数，1.5<1.7，解析(1)∵y＝x12∴；(2)∵y＝x3在R上是增函数，－1.2>－1.25，∴(－1.2)3>(－1.25)3；(3)∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，∴5.25－1>5.26－1；∵y＝5.26x是增函数，－1>－2，∴5.26－1>5.26－2.综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2.13．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点A().(1)数α的值;(2)求证：f(x)在区间(0，+∞)是减函数.解析(1)解：∵f(x)＝xα的图象经过点A()，∴()α＝，即2－α＝，解得α＝－；(2)证明：任取x1，x2∈(0，+∞)，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝. ∵x2>x1>0，∴x1－x2<0，，于是f(x2)－f(x1)<0. 即f(x2)<f(x1)，所以f(x)＝在区间(0，+∞)是减函数.。