高中必修第一册《1.1 集合的概念》优质课教案教学设计
教学设计5：1.1.1 集合的概念
1.1.1 集合的概念
【教学目标】
知识目标：
（1）理解集合、元素及其关系；
能力目标：
通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.
【教学重点】
集合的概念．
【教学难点】
集合的概念．
【教学设计】
（1）通过生活中的实例导入集合与元素的概念；
（2）引导学生自然地认识集合与元素的关系；
（3）通过练习，巩固知识．
（4）依照学生的认知规律，顺应学生的学习思路展开，自然地层层推进教学．【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
1课时．(45分钟)
【教学过程】
的解集．
强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
）本次课学了哪些内容？
）通过本次课的学习，你会解决哪些新问题了？
）在学习方法上有哪些体会？。
1.1集合的概念教学设计-高一上学期数学人教A版
集合的概念教学设计一、课标分析在高中数学课程中，集合是刻画一类事物的语言和工具。
本单元的学习，可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流，积累数学抽象的经验。
二、教材分析本节内容选自高中数学人教A版必修第一册第一章第1节，也是高中数学学习的第一节。
本节内容是在小学和初中的基础上，引入集合的含义及其表示。
为学生在解决之后的数学问题时，能够更加简洁，准确地表述数学对象及研究范围作铺垫。
三、学情分析本节内容属于高中数学的“预备知识”，定位是帮助学生完成初高中数学学习的过渡。
在初中学生基础的集合知识较为零散，在本节课中，学生首次系统学习描述数学内容的语言和工具。
通过学习，学生能够在现实情境或数学情境中概括出数学对象的一般特征，并用集合语言予以表达、初步学会用三种语言——自然语言、符号语言表达数学研究对象、并进行交流。
因此在本节教学中特别注重通过抽象的数学符号语言的学习，提升学生表达抽象的层次，从而做好初高中数学学习的过渡。
四、教学目标1.了解集合的含义，能判断给定元素组成的全体是否是集合;理解素与集合“属于”与“不属于”的关系;熟记常用数集专用符号;掌握集合的表示法并根据情况选择。
2.在小组交流中深刻理解集合元素间的确定性，互异性与无序性。
3.密切数学与生活之间的联系，感受集合语言的作用。
五、教学重、难点重点：集合元素的三个特征；元素与集合的关系；集合的表示方法。
难点：用描述法表示集合。
六、评价设计1.任务一：通过让学生判断下列元素的全体是否组成集合来了解学生对元素与集合关系的掌握程度。
（采取学生互评，学生所评题目对的举手检验）2.任务二：请用描述法表示奇数集、偶数集、有理数集。
（学生互评）3.任务三：用适当的方法描述下列集合，课本练习3（请学生上黑板写，老师查看下面学生的回答情况）七、教学过程八、板书设计§1.1集合的概念1、含义:研究对象称为元素，用a、b、c表示；把一些元素组成的总体叫做集合用A、B、C表示。
高一数学必修一教学设计 1.1 第1课时 集合的含义
第1课时集合的含义明目标、知重点 1.通过实例理解并掌握集合的有关概念.2.初步理解集合中元素的三个特征.3.体会元素与集合的属于关系.4.掌握常用数集及其专用记号，初步认识用集合语言表示有关数学对象．1．集合与元素的概念一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．2．元素的特性集合元素的特性有：确定性、互异性、无序性．3．常用数集及表示符号非负整数集(自然数集)：N，正整数集：N*或N＋，整数集：Z，有理数集：Q，实数集：R. 4．元素a与集合A的关系如果a是集合A的元素，记作a∈A，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，记作a A或a∈A，读作“a不属于A”．5．集合相等的概念如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．[情境导学]军训前学校通知：今天上午八点高一年级在体育场集合进行军训动员；那么这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生呢？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合．探究点一集合概念的形成过程思考1在初中，我们学过哪些集合？用集合描述过什么？答在初中代数里学习数的分类时，学过自然数的集合，正数的集合，负数的集合，有理数的集合．在学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．思考2数学中的“集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？答数学中的“集合”与我们日常生活中“全体”、“一类”、“一群”、“所有”、“整体”等意义相近．思考3你在和朋友聊天时，往往会向朋友介绍你的家庭、原来读书的学校、现在的班级情况，那么像“家庭”、“学校”、“班级”、“男生”、“女生”等概念有什么共同的特征？答它们都含有一定范围内某些确定的、不同的对象．思考4通过以上讨论，你能给集合及元素下个定义吗？答一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．例1判断下列每组对象能否构成一个集合．(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某校2013年在校的所有高个子同学；(4)3的近似值的全体．解(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；(2)能构成集合；(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．反思与感悟判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练1考察下列每组对象能否构成一个集合．(1)中国的大城市；(2)young中的字母；(3)高一(3)班16岁以下的学生；(4)高一(3)班所有个子高的学生．解(1)不能构成一个集合；(2)“young中的字母”能构成一个集合，该集合的元素是“y，o，u，n，g”；(3)“高一(3)班16岁以下的学生”能构成一个集合；(4)“高一(3)班所有个子高的学生”不能构成一个集合，个子高这个标准不可量化．探究点二集合与集合中的元素的关系及表达思考1集合及集合中的元素用怎样的字母来表示？答我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合；用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．思考2集合与元素之间的关系如何表示？答如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A或a∈A，读作“a不属于A”．思考3常用的数集有哪些？如何表示？答自然数集记作N；正整数集记作N*或N＋；整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R.例2下面有三个命题，正确命题的个数为________．(1)集合N中最小的数是1；(2)若－a不属于N，则a属于N；(3)若a∈N，b∈N*，则a＋b的最小值为2.答案0解析(1)最小的数应该是0，(2)反例：－0.5N，且0.5N，(3)当a＝0，b＝1时，a＋b＝1.反思与感悟集合可以用大写的字母表示，但自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集有专用字母表示，一定要牢记，以防混淆．跟踪训练2用符号“∈”或“”填空．(1)－3________N；(2)3.14________Q；(3)3______Q；(4)1________N*；(5)π________R.答案∈∈∈探究点三集合元素的特征思考1某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合定义中“某些确定的”含义是什么？答某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准，高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定．“某些确定的”含义是：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．思考2集合定义中“不同的对象”含义是什么？答一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，这就是集合的互异性．思考3“中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：北京、上海、天津、重庆；乙同学说：上海、北京、重庆、天津，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？答两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的，由此说明集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性，只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的．思考4通过思考3的讨论，你能给两个集合相等下个定义吗？答如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A 的元素)，那么称这两个集合相等．例3已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．答案－1解析若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝－1或1.(1)当a＝1时，集合A的元素是1和1，不符合集合元素的互异性，故a≠1.(2)当a＝－1时，集合A含有两个元素1和－1，符合集合元素的互异性．故a＝－1.反思与感悟(1)集合元素特性中的互异性，指的是一个集合中不能有两个相同的元素，利用其可以解决一些实际问题，如三角形中的边长问题及元素能否组成集合问题．(2)求解字母的取值范围：当一个集合中的元素含有字母，求解字母的取值范围时，一般可先利用集合中元素的确定性解出集合中字母的所有可能的值或范围，再根据集合元素的互异性进行检验．跟踪训练3已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若a∈A，则实数a的值是________．答案 1解析若a∈A，则a＝a－3或a＝2a－1，当a ＝a －3时，有0＝－3，不成立；当a ＝2a －1时，有a ＝1，此时集合A 含有两个元素－2,1符合题意．综上可知a ＝1.1．下列所给关系正确的个数是________．①π∈R ；②3Q ；③0∈N *；④|－4| N *.答案 2解析 ∵π是实数，3是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.2．下列各条件中能构成集合的是________．①世界著名科学家；②在数轴上与原点非常近的点；③所有等腰三角形；④全班成绩好的同学．答案 ③解析 在①、②、④中，由于都没有确定的标准，因此不能构成集合．3．一个小书架上有十个不同品种的书各3本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有________个元素．答案 10解析 由集合元素的互异性知：集合中的元素必须是互不相同的(即没有重复现象)，相同的元素在集合中只能算作一个，因此书架上的书组成的集合中有10个元素．4．方程x 2－4x ＋4＝0的解集中，有________个元素．答案 1解析 易知方程x 2－4x ＋4＝0的解为x 1＝x 2＝2，由集合元素的互异性知，方程的解集中只有1个元素．5．已知由1，x ，x 2三个实数构成一个集合，求x 应满足的条件．解 根据集合元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠1x 2≠1x ≠x 2，所以x ∈R 且x ≠±1，x ≠0.[呈重点、现规律]1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2．集合中元素的三个特性(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系.一、基础过关1．下列各项中，不可以组成集合的是________．①所有的正数②等于2的数③接近于0的数④不等于0的偶数答案③解析由于无法判断一个数是否接近于0，故接近于0的数不能组成一个集合．2．集合A中只含有元素a，则下列各式正确的是________．①0∈A②a∉A③a∈A④a＝A答案③解析由题意知A中只有一个元素a，∴0A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合，最多含元素的个数为________．答案 2解析由于|x|＝±x，x2＝|x|，－3x3＝－x，并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素．4．由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号)①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．答案 ①④解析 ①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④.5．如果有一集合含有三个元素1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________．答案 x ≠0,1,2，1±52. 解析 由集合元素互异性可得x ≠1，x 2－x ≠1，x 2－x ≠x ，解得x ≠0,1,2，1±52. 6．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加2012年伦敦奥运会的所有国家构成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素； (4)某校的年轻教师．解 (1)正确．因为参加2012年伦敦奥运会的国家是确定的，明确的．(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一个元素，故这个集合含有三个元素．(4)不正确．因为年轻没有明确的标准．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .解 由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32. 当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3， ∴a ＝－32. 二、能力提升8．已知集合S 中三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是下面给出的________．①锐角三角形 ②直角三角形③钝角三角形 ④等腰三角形答案 ④解析 由元素的互异性知a ，b ，c 均不相等．9．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 等于________．答案 3解析 由2∈A 可知：若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，这与m 2－3m ＋2≠0相矛盾； 若m 2－3m ＋2＝2，则m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，与m ≠0相矛盾，当m ＝3时，此时集合A 的元素为0,3,2，符合题意．10．方程x 2－2x －3＝0的解集与集合A 相等，若集合A 中的元素是a ，b ，则a ＋b ＝________. 答案 2解析 方程x 2－2x －3＝0的两根分别是－1和3，由集合相等的概念知a ＋b ＝－1＋3＝2.设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？ 解 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8；当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个．12．已知集合M 是由三个元素－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4组成的，若2∈M ，求x . 解 当3x 2＋3x －4＝2时，即x 2＋x －2＝0，则x ＝－2，或x ＝1.经检验，x ＝－2，x ＝1均不合题意．当x 2＋x －4＝2时，即x 2＋x －6＝0，则x ＝－3或2.经检验，x ＝－3或x ＝2均合题意．∴x ＝－3或x ＝2.三、探究与拓展13．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集．证明 (1)若a ∈A ，则11－a∈A . 又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A . ∵－1∈A ，∴11－(－1)＝12∈A . ∵12∈A ，∴11－12＝2∈A . ∴A 中另外两个元素为－1，12.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴集合A不可能是单元素集．。
人教版高中数学必修1第1章1.1.1 集合的含义与表示(1)教案
第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示（一）教学目标分析：知识目标：1、了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。
2、掌握集合中元素的特性。
3、能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。
过程与方法：通过实例，从集合中的元素入手，正确表示集合，结合集合中元素的特性，学会观察、比较、抽象、概括的思维方法，领悟分类讨论的数学思想。
情感目标：在运用集合语言解决问题的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学会用数学思维方法解决问题。
重难点分析：重点：集合的含义与表示方法。
难点：集合表示方法的恰当选择及应用。
互动探究：一、课堂探究：1、情境引入军训前学校通知：8月13日上午8点，高一年级学生在学校操场集合前往军训基地；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
2、集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。
在学习集合之前，我们先来简单了解这位著名数学家的生平。
1845年3月3日，乔治••康托尔生于俄国的一个丹麦——犹太血统的家庭。
1856年康托尔和他的父母一起迁到德国的法兰克福。
像许多优秀的数学家一样，他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感，并不时得出令人惊奇的结论。
他的父亲力促他学工，因而康托尔在1863年带着这个目的进入了柏林大学。
这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心。
康托尔很早就向往这所由外尔斯特拉斯占据着的世界数学中心之一。
所以在柏林大学，康托尔受了外尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学。
他在1869年取得在哈勒大学任教的资格，不久后就升为副教授，并在1879年被升为正教授。
1874年康托尔在克列勒的《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章。
高中数学必修一 《1 1 集合的概念》优质课教案教学设计
《集合的概念》教案教材分析集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础．许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上．此外，集合理论的应用也变得更加广泛．教学目标【知识与能力目标】1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；2．知道常用数集及其专用记号；3．了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；4．会用集合语言表示有关数学对象；5．培养学生抽象概括的能力．【过程与方法目标】1．让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．2．让学生归纳整理本节所学知识．【情感态度价值观目标】使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣．教学重难点【教学重点】集合的含义与表示方法．【教学难点】对待不同问题，表示法的恰当选择．课前准备学生通过预习，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．教学过程（一）创设情景，揭示课题请分析以下几个实例：1．正整数1，2，3， ；2．中国古典四大名著；3．2018足球世界杯参赛队伍；4．《水浒》中梁山108好汉；5．到线段两端距离相等的点．在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体．（二）研探新知1．集合的有关概念（1）一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）．思考：上述5个实例能否构成集合？如果是集合，那么它的元素分别是什么？练习1：下列指定的对象，是否能构成一个集合？①很小的数②不超过30的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④π的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2的整数⑧正三角形全体（2）关于集合的元素的特征（a）确定性：设A一个给定的集合，对于一个具体对象a，则a或者是集合A的元素，或者不是集合A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（b）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．（c）无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的，跟顺序无关．（3）思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题．答案：（a）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合．（b）不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的．（4）元素与集合的关系；（a）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A（b）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a∉A例如：A表示方程x2＝1 的解．2∉A，1∈A（5）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合．（a）列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列表法．如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；思考2，引入描述法答案：（1）1~9内所有偶数组成的集合（2）不能，因为集合中元素的个数是无穷多个．说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．（b）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．如：{x|x-3>2}，{（x，y）|y=x2+1}，{直角三角形}，…；思考3：描述法表示集合应注意集合的代表元素{（x，y）|y= x2+3x+2}与{y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z．（6）常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}．下列写法{实数集}，{R}也是错误的．如果写{实数}是正确的．说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．（7）集合的分类问题2：我们看这样一个集合：{ x |x2＋x＋1＝0}，它有什么特征？显然这个集合没有元素．我们把这样的集合叫做空集，记作∅．练习：（1）0 ∅（填∈或∉）（2）{ 0 } ∅（填＝或≠）集合的分类：（1）按元素多少分类：有限集、无限集；（2）按元素种类分类：数集、点集等（三）例题讲解例1．用集合表示：①x 2－3＝0的解集；②所有大于0小于10的奇数；③不等式2x －1＞3的解．例2．已知集合S 满足：1S ∉，且当a S ∈时11S a ∈-，若2S ∈，试判断12是否属于S ，说明你的理由．例3．设由4的整数倍加2的所有实数构成的集合为A ，由4的整数倍再加3的所有实数构成的集合为B ，若,x A y B ∈∈，试推断x +y 和x -y 与集合B 的关系．（四）归纳小结本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法．。
高中数学必修1公开课教案1.1.1集合的含义与表示
模块纵览课标要求1.知识与技能认识和理解集合、映射、函数、幂函数、指数函数、对数函数等概念,认识和理解它们的有关性质和运算 .具有一定的把函数应用于实际的能力.2.过程与方法通过背景的给出 ,通过经历、体验和实践探索过程的展现 ,通过数学思想方法的渗透 ,让学生体会过程的重要 ,并在过程中学习知识 ,同时领会一定的数学思想和方法 .3.情感、态度与价值观教育的根本目的是育人 .通过对本模块内容的教学 ,使学生在学习和运用知识的过程中提高对数学学习的兴趣 ,并在初中函数的学习基础上 ,对数学有更深刻的感受 ,提高说理、批判和质疑精神 ,形成锲而不舍追求真理的科学态度和习惯 ,树立良好的情感态度和价值观 .内容概述本模块共三章 :第一章集合与函数概念 ;第二章基本初等函数 (Ⅰ );第三章函数的应用 . 本模块为了用集合与对应的语言刻画函数概念,先在第一章给出集合的有关概念、表示、关系和运算等 ;然后从函数实例出发深化函数概念及其表示,并研究映射概念 ; 进而又给出了函数的性质 :单调性、最值、奇偶性 ,这也是对函数的深化 ;接下来再回到特殊的函数——几个基本初等函数 ,继续认识函数 ,本模块重点涉及了指数函数、对数函数、幂函数 ;最后专门给出了函数在数学和实际中的一些应用实例,使函数的价值得到体现 ,也是进一步巩固函数的概念 ,更加强了数学应用 .概括地说 ,本模块的核心内容是“函数”函.数是描述现实世界最重要、最常用的数学模型,是贯穿整个高中数学的纽带 ,是学生进一步学习的准备 ,是未来公民的必需 ,因此 ,整个模块以函数作为中心 ,以函数思想作为指导思想 .本模块无论是数还是形都用函数观点来研究,研究它们的变化及其规律 .对方程的认识和研究也是从函数出发 ,把它与两个函数相结合 ,把它的解看成两个函数图象的交点的横坐标.这里把函数作为整体来认识 ,方程则被看成是包含于函数的局部.教学建议教师 ,对数学应该有自己深入的想法 ,只有教师深入了才能有教学的浅出;教师 ,对于教学也应该有自己的想法 ,唯其有自己的想法 ,才能发挥自己的特长 ,教出具有独到想法的学生 .1.抓住核心 ,重点突破由于函数是本模块的重点和核心,因此教师要重视函数的教学 ,向学生贯彻函数的数学思想 ,逐步让学生掌握学会函数 ,更会用函数的思想去解决数学和实际问题.函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质,教学中可引导学生联系生活常识,尝试列举具体函数 ,构建函数的一般定义 .要注意：①构成函数的要素和相同函数的含义,②函数的三种表示法的联系、区别与适用性 ,③分段函数的意义 ,④映射的概念和判断 .教学中应强调对函数概念本质的理解 ,在求函数定义域、值域时 ,要控制难度 .2.用课本教 ,而非教课本《普通高中数学课程标准》是在《基础教育课程改革纲要 (试行 )》的指导下编写的 ,是数学学科教育目标的具体化 ,体现数学学科对学生最起码的要求 ,是编制高考大纲的依据 ,是数学教学和培养学生数学素质的主要依据,具有指导性 .《普通高中数学课程标准》的目标是包含“双基”在内的三维发展目标 :知识与技能 ,过程与方法 ,情感、态度与价值观 .在这种教学过程中, 课本仅仅是一种学习工具 ,是课程标准的具体化 ,课本内容仅仅是帮助学生实现三维发展目标的一种载体 ,并不要求学生将课本内容全部掌握 .由于高中数学课本版本的多样化 ,高考数学只能依据高中数学课程标准而不是某个版本的课本来命题 .因此在处理新课标课本时 ,首先要考虑高中数学课程标准的培养目标和具体要求.就课本来说 ,版本不同 ,对课程标准的理解就有不同,其处理的方式也就不同 ,因此,在教学中 ,要深入钻研课程标准、课本、学生,找准三者的连接点 .这样在新课程改革的形势下 ,课本仅仅是教学的素材 ,在教学过程中 ,以课本为依托 , 把课本当作指导教学的素材和蓝本,创造性地使用、改造课本 ,最终突破课本 ,即变“教课本”为“用课本教”树,立“用课本教”的课本观 .同时这也要求提醒学生 ,不要把课本看得过于神圣 .3.把学生当成学习的主人独立自主地思考是学习数学的需要,但是合作交流更不能少 .在课堂上 ,教师尽量不要大包大揽 ,以先知先觉出现 ,把结论告诉学生 ,而是推出判断 ,引导学生独立思考 ,并在此基础上进行合作和交流 ,努力实现师生的互动 ,这是课标的要求也是时代发展的必然.4.强调应用 ,突出提出、分析和解决问题的能力数学是美的 ,这正是数学使人兴趣盎然、乐此不疲之处 .数学的美 ,有两个方面 :一是其中的思维之美 ,内在的逻辑和运用逻辑的机智 ,外在的形式 ,莫不充满着思维之美 ;另一方面则是它的作用 ,它在方方面面的应用 .新课标要求强化数学应用 ,在应用中 , 应该特别重视实践能力和创造能力的培养 ;在教学中 ,要重视动手和一题多解的能力 .第一章集合与函数概念本章教材分析通过本章的学习 ,使学生会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象 ,并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换 ,体会用集合语言表达数学内容的简洁性、准确性,帮助学生学会用集合语言描述数学对象 ,发展学生运用数学语言进行交流的能力 .通过本章的学习 ,使学生不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还会用集合与对应的语言刻画函数,为后续学习奠定基础 .函数是高中数学的核心概念 ,本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习 ,强调结合实际问题 ,使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法,从而发展学生对变量数学的认识 ,培养学生的抽象概括能力 ,增强学生应用数学的意识 . 课本力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识,通过列举丰富的实例 ,强调从实例出发 ,让学生对集合和函数概念有充分的感性认知基础,再用集合与对应语言抽象出函数概念.课本突出了集合和函数概念的背景教学,这样比较符合学生的认识规律 .教学中要高度重视数学概念的背景教学 .课本尽量创设使学生运用集合语言和数学符号进行表达和交流的情境和机会, 并注意运用 Venn 图表达集合的关系及运算 ,用图象表示函数 ,帮助学生借助直观图示认识抽象概念 .课本在例题、习题的教学中注重运用集合和函数的观点研究、处理数学问题,这一观点 ,一直贯穿到以后的数学学习中 .在例题和习题的编排中 ,渗透了分类讨论思想 ,让学生体会到分类讨论思想在生活中和数学中的广泛运用 ,这是学生在初中阶段所缺少的 .函数的表示是本章的主要内容之一 ,课本重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法）,目的是丰富学生对函数的认识 , 帮助理解抽象的函数概念 .在教学中 ,既要充分发挥图象的直观作用,又要适当地引导学生从代数的角度研究图象,使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.课本将函数推广到了映射 ,体现了由特殊到一般的思维规律 ,有利于学生对函数概念学习的连续性.在教学中 ,要坚持循序渐进 ,逐步渗透数形结合、分类讨论这方面的训练 .对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解 ,而对定义域、值域的繁难计算 ,特别是人为的过于技巧化的训练不作提倡 ,要准确把握这方面的要求 ,防止拔高教学 .重视函数与信息技术整合的要求 ,通过电脑绘制简单函数动态图象 ,使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用.为了体现课本的选择性 ,在练习题安排上加大了弹性 ,教师应根据学生实际情况 ,合理地取舍 . 本章教学时间约需 13课时,具体分配如下（仅供参考）:1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示整体设计教学分析集合论是现代数学的一个重要的基础.在高中数学中 ,集合的初步知识与其他内容有着密切的联系,是学习、掌握和使用数学语言的基础 .课本从学生熟悉的集合（自然数的集合、有理数的集合等）出发 ,结合实例给出元素、集合的含义 ,课本注重体现逻辑思考的方法 ,如抽象、概括等.值得注意的问题 :由于本小节的新概念、新符号较多 ,建议教学时先引导学生阅读课本 ,然后进行交流 ,让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用.在信息技术条件较好的学校可以利用网络平台让学生交流学习概念后的认识;也可以由教师给出问题 ,让学生读后回答问题,再由教师给出评价 .这样做的目的是培养学生主动学习的习惯,提高阅读与理解、合作与交流的能力 .在处理集合问题时 ,根据需要 ,及时提示学生运用集合语言进行表述. 三维目标1.通过实例了解集合的含义 ,体会元素与集合的“属于”关系 ,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题 ,提高语言转换和抽象概括能力 ,树立用集合语言表示数学内容的意识.2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号 ,并能够用其解决有关问题 ,提高学生分析问题和解决问题的能力 ,培养学生的应用意识 .重点难点教学重点 :集合的基本概念与表示方法 .教学难点 :选择恰当的方法表示一些简单的集合.课时安排1 课时设计方案（一）教学过程导入新课思路 1.军训前学校通知 :8月15日 8点,高一年级学生到操场集合进行军训 .试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里 ,集合是我们常用的一个词语 ,我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体 ,而不是个别的对象 ,为此 ,我们将学习一个新的概念——集合.思路 2.首先教师提出问题 :在初中 ,我们已经接触过一些集合 ,你能举出一些集合的例子吗 ?引导学生回忆、举例和互相交流自己举的例子 .与此同时 ,教师对学生的活动给予评价 .接着教师指出 :那么,集合的含义是什么呢 ?这就是我们这一堂课所要学习的内容.推进新课新知探究提出问题①请我们班的全体女生起立！接下来问 : “咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？”②下面请班上身高在 1.75 以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？③其实 ,生活中有很多东西能构成集合 ,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等. 那么 ,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义 .④如果用 A 表示高一（3）班全体学生组成的集合 ,用 a 表示高一（3）班的一位同学 ,b 是高一（4）班的一位同学 ,那么 a、b与集合 A 分别有什么关系 ?由此看见元素与集合之间有什么关系？⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？⑥世界上的高山能不能构成一个集合？⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？⑧由实数 1、 2、 3、1 组成的集合有几个元素？⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？⑩由实数 1、2、3组成的集合记为 M,由实数 3、1、2 组成的集合记为 N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？讨论结果：①能.②能.③我们把研究的对象统称为“元素”那,么把一些元素组成的总体叫“集合”.④a是集合 A的元素,b不是集合 A的元素 .学生得出元素与集合的关系有两种 :属于和不属于 . ⑤能 ,是珠穆朗玛峰 .⑥不能 .⑦确定性 .给定的集合 ,它的元素必须是明确的 ,即任何一个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中 ,这就是集合的确定性 .⑧3 个 .⑨互异性 .一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的,这就是集合的互异性 .⑩集合 M 和 N 相同 .这说明集合中的元素具有无序性 ,即集合中的元素是没有顺序的 .可以发现: 如果两个集合中的元素完全相同 ,那么这两个集合是相等的 .提出问题阅读课本 P3中 :数学中一些常用的数集及其记法 .快速写出常见数集的记号 . 活动：先让学生阅读课本 ,教师指定学生展示结果 .学生写出常用数集的记号后 ,教师强调 :通常情况下 ,大写的英文字母 N、Z、 Q、 R 不能再表示其他的集合 ,这是专用集合表示符号 ,类似于 110、 119 等专用电话号码一样 .以后 , 我们会经常用到这些常见的数集 ,要求熟练掌握 . 讨论结果：常见数集的专用符号 .N:非负整数集（或自然数集）（全体非负整数的集合）;N*或 N+:正整数集（非负整数集 N 内排除 0 的集合）;Z:整数集（全体整数的集合）; Q:有理数集（全体有理数的集合）;R:实数集（全体实数的集合）. 提出问题①前面所说的集合是如何表示的？②阅读课本中的相关内容 ,并思考 : 除字母表示法和自然语言之外,还能用什么方法表示集合？③集合共有几种表示法 ?活动：①学生回顾所学的集合并作出总结.教师提示可以用字母或自然语言来表示.②教师可以举例帮助引导 :例如 ,24 的所有正约数构成的集合,把 24 的所有正约数写在大括号“{} ”内 ,即写出为{1,2,3,4,6,8,12,24} 的形式 ,这种表示集合的方法是列举法 .注意：大括号不能缺失 ;有些集合所含元素个数较多 , 元素又呈现出一定的规律 ,在不至于发生误解的情况下 ,亦可用列举法表示 , 如: 从 1 到 100 的所有整数组成的集合 :{1,2,3, ⋯,100}自, 然数集 N:{0,1,2,3,4, ⋯,n, ⋯区};分 a 与{a}:{a} 表示一个集合 ,该集合只有一个元素 ,a 表示这个集合的一个元素 ; 用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序 ;相同的元素不能出现两次 .又例如 ,不等式 x-3>2 的解集 ,这个集合中的元素有无数个 ,不适合用列举法表示 .可以表示为 {x ∈ R|x-3>2} 或{x|x-3>2}, 这种表示集合的方法是描述法 .③让学生思考总结已经学习了的集合表示法 .讨论结果：①方法一（字母表示法）:大写的英文字母表示集合 ,例如常见的数集 N、 Q,所有的正方形组成的集合记为 A 等等 ;方法二（自然语言）:用文字语言来描述出的集合 ,例如“所有的正方形”组成的集合等等 .②列举法 :把集合中的全部元素一一列举出来,并用大括号“{} 括”起来表示集合 ,这种表示集合的方法叫做列举法 ;描述法 :在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值（或变化）范围 ,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 .这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法 .注 :在不致混淆的情况下 ,也可以简写成列举法的形式 ,只是去掉竖线和元素代表符号 ,例如 :所有直角三角形的集合可以表示为 {x|x 是直角三角形 }, 也可以写成 {直角三角形 }.③表示一个集合共有四种方法 : 字母表示法、自然语言、列举法、描述法.应用示例思路 11.下列各组对象不能组成集合的是（）A.大于 6 的所有整数B.高中数学的所有难题1C.被 3 除余 2 的所有整数D.函数 y= 图象上所有的点x活动：学生先思考、讨论集合元素的性质,教师指导学生此类选择题要逐项判断.判断一组对象能否构成集合 ,关键是看是否满足集合元素的确定性 .在选项 A、C、D中的元素符合集合的确定性 ;而选项 B 中,难题没有标准 ,不符合集合元素的确定性 ,不能构成集合答案： B变式训练1. 下列条件能形成集合的是 （ ） A.充分小的负数全体 C.中国的富翁 答案： D2.2007 浙江宁波高三第一次 “十校联考 ”理, 1 在数集 {2x,x 2-x} 中 ,实数 x 的取值范围是 .分析 :实数 x 的取值满足集合元素的互异性 ,则 2x ≠x 2-x,解得 x ≠0且 x ≠ 3∴,实数 x 的取值范围 是 {x|x<0 或 0<x<3 或 x>3}.答案： {x|x<0 或 0<x<3 或 x>3}B.爱好足球的人D.某公司的全体点评： 本题主要考查集合的含义和元素的性质 .当所指的对象非常明确时就能构成集合 ,若元素不明确 ,没有判断的标准就不能构成集合 .2. 用列举法表示下列集合 :(1) 小于 10 的所有自然数组成的集合 ;(2) 方程 x 1 2=x 的所有实数根组成的集合 ;(3) 由 1~20 以内的所有质数组成的集合 .活动：学生先思考或讨论列举法的形式 ,展示解答过程 .当学生出现错误时 ,教师及时加以纠正 利用相关的知识先明确集合中的元素 ,再把元素写入大括号 “{} 内” ,并用逗号隔开 .所给的集合均是用自然语言给出的 .提示学生注意以下方面 :(1) 自然数中包含零 ;(2) 解一元二次方程有公式法和分解因式法 ,方程 x 2=x 的根是 x=0,x=1;(3) 除去 1 和本身外没有其他约数的正整数是质数 ,1~20 以内的所有质数是 2、3、5、7、11、1 所有绝对值等于 8 的数的集合 A;2 所有绝对值小于 8 的整数的集合 B. 答案： (1)A={-8,8};(2) B={-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7}.3. 试分别用列举法和描述法表示下列集合 :(1) 方程 x 2-2=0 的所有实数根组成的集合 ;(2) 由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合 .活动： 先让学生回顾列举法表示集合的步骤 ,思考描述法的形式 ,再找学生到黑板上书写 .当学生出现错误时 ,教师指导学生书写过程 .用描述法表示集合时 ,要用数学符号表示集合元素的 特征 .大于 10 小于 20 的所有整数用数学符号可以表示为 10<x<20,x ∈ Z.(重点引导用描述法表示集合 )用描述法表示集合时 ,用一个小写英文字母表示集合中的元素 ,作为集合中元素的代表符号找到集合中元素的共同特征 ,并把共同特征用数学符号来表达 ,然后写在大括号 “{} 内”,在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值 (或变化 )范围 ,再画一条竖线 ,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 .在(1) 中利用条件中现有元素代表符号 x,集合中元素的共同特征就是满足方程x 2-2=0.13、 17、19. 解： (1)设小于 10的所有自然数组成的集合为A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (2) 设方程 x 2=x 的所有实数根组成的集合为 A={0,1}.(3) 设由 1~20 以内的所有质数组洁性和严谨性 ,以后我们尽量用集合来表示数学内容 如果一个集合是有限集 ,并且元素的个数较少时 表示出了集合中的元素 ,是常用的表示法 ; 列举法表示集合的步骤 :(1) 用字母表示集合 大括号 “{}内”,并写成 A={⋯⋯}的形式 . 变式训练 用列举法表示下列集合 :成的集合为C={2,3,5,7,11,13,17,19}.点评：本题主要考查集合表示法中的列举法A,那么B,那么C,那么.通过本题可以体会利用集合表示数学内容的简,通常选择列举法表示 ,其特点是非常显明地 ;(2) 明确集合中的元素 ;(3)把集合中所有元素写在在 (2)的条件中没有元素代表符号 ,故要先设出 ,用一个小写英文字母表示即可 ;集合中元素的 共同特征有两个 : 一是大于 10 小于 20(用不等式表示 ),二是整数 (用元素与集合的关系符号 “∈”来表示 ).解： (1)设方程 x 2-2=0 的实根为 x,它满足条件 x 2-2=0,因此,用描述法表示为 A={x ∈R|x 2-2=0}.方程 x 2-2=0 的两个实数根为 2 , 2 ,因此 ,用列举法表示为 A={ 2 , 2 }.(2) 设大于 10 小于 20 的整数为 x,它满足条件 x ∈Z,且 10<x<20,因此 ,用描述法表示为 B={x ∈ Z |10<x<20}.大于 10 小于 20 的整数有 11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此 ,用列举法表示为 B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.描述法表示集合的步骤 :(1) 用字母分别表示集合和元素 ;(2)用数学符号表达集合元素的共同 特征 ;(3) 在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值 (或变化 )范围 ,再画一条竖线 ,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 .并写成 A={⋯| ⋯}的形式 .描述法适合表示有无数个元素的集合 .注意： 当集合中的元素个数较少时 ,通常用列举法表示 ,否则用描述法表示 .思路 21. (1)A={1,3}, 判断元素 3,5 和集合 A 的关系 ,并用符号表示 . (2) 所有素质好的人能否表示为集合 ? (3) A={2,2,4} 表示是否准确 ?(4) A={ 太平洋 ,大西洋 },B={ 大西洋 ,太平洋 } 是否表示同一集合 ? 活动： 如果学生没有解题思路 ,让学生思考以下知识 : (1) 元素与集合的关系及其符号表示 ; (2) 集合元素的性质 ; (3) 两个集合相同的定义 .解：(1)根据元素与集合的关系有两种 :属于(∈)和不属于 ( ),知3属于集合 A,即 3∈A,5 不属 于集合 A, 即 5 A. (2) 由于素质好的人标准不可量化 ,不符合集合元素的确定性 ,故 A 不能表示为集合 (3) 表示不准确 ,不符合集合元素的互异性 ,应表示为 A={2,4}. (4) 因其元素相同 ,A 与 B 表示同一集合 . 变式训练 1.数集{3,x,x 2-2x}中,实数 x满足什么条件 ? 解： 集合元素的特征说明 {3,x,x 2-2x} 中元素应满足x 3, x 3, x 3,x 2 x 2x,即 2 x 3x,也就是 x 0, 即满足 x ≠-1,0,33 2 x2x, 2 x 2x 3 0, x 1, 2.方程 ax 2+5x+c=0 的解集是{ 11, }, 则___,c= ____ .231 11 1 分析 :方程 ax 2+5x+c=0 的解集是 { , }, 那么 、 是方程的两根2 32 31 15,2 3 a a -6,即有 2 3 a得那么 a=-6,c=-1.1 ?1 c, c -1,2?3 a,答案： 6 -13.集合 A 中的元素由关于 x 的方程 kx2-3x+2=0 的解构成 ,其中 k∈ R,若 A 中仅有一个元素 ,求 k 的值 .解：由于 A 中元素是关于 x 的方程 kx2-3x+2=0(k ∈R)的解,2若 k=0, 则 x= ,知 A 中有一个元素 ,符合题设 ;3若 k≠ 0则, 方程为一元二次方程 ,9当Δ=9-8k=0 即 k= 时 ,kx2-3x+2=0 有两相等的实数根 ,此时 A 中有一个元素 .89综上所述 k=0 或 k= .84.2006山东高考 ,理1定义集合运算 :A ⊙B={z|z=xy(x+y),x ∈A,y∈B}, 设集合A={0,1},B={2,3}, 则集合 A ⊙ B 的所有元素之和为⋯( )A.0B.6C.12D.18 分析 :∵x∈ A, ∴ x=0 或 x=1.当 x=0,y ∈B 时 ,总有 z=0;当 x=1 时 ,若 x=1,y=2 时 ,有 z=6;当 x=1,y=3 时 ,有 z=12.综上所得 ,集合 A ⊙ B 的所有元素之和为 0+6+12=18.答案： D注意：①判断元素与此集合的关系时 ,用列举法表示的集合 ,只需观察这个元素是否在集合中即可 .用符号∈ , 表示 ,注意这两个符号的左边写元素 ,右边写集合 ,不能互换它们的位置 ,否则没有意义 .②如果有明确的标准来判断元素在集合中,那么这些元素就能构成集合 ,否则不能构成集合 .③用列举法表示的集合 ,直接观察它们的元素是否完全相同,如果完全相同 , 那么这两个集合就相等 ,否则不相等 .2.用列举法表示下列集合 :(1)小于 5 的正奇数组成的集合 ;(2)能被 3整除且大于 4 小于 15的自然数组成的集合 ;(3)方程 x2-9=0 的解组成的集合 ;(4){15 以内的质数 };6(5){x| 6∈Z,x∈Z}.3x活动：教师指导学生思考列举法的书写格式,并讨论各个集合中的元素 .明确各个集合中的元素,写在大括号内即可 .提示学生注意：(2)中满足条件的数按从小到大排列时 ,从第二个数起 ,每个数比前一个数大 3; (4)中除去 1 和本身外没有其他的约数的正整数是质数 ;(5)中 3-x 是 6 的约数 ,6 的约数有±1, ±2, ±3, ±6.解： (1)满足题设条件小于 5的正奇数有 1、3,故用列举法表示为 {1,3};(2)能被 3 整除且大于 4 小于 15 的自然数有 6、9、12,故用列举法表示为{6,9,12};(3)方程 x2-9=0 的解为 -3、 3,故用列举法表示为 {-3,3};(4)15 以内的质数有 2、 3、5、7、11、13,故该集合用列举法表示为{2,3,5,7,11,13};(5)满足6∈Z 的 x 有 3-x=±1、±2、±3、±6,解之,得 x=2、4、1、5、0、 6、-3、9,故用列3x举法表示为 {2,4,1,5,0,6,-3,9}. 变式训练用列举法表示下列集合 :(1)x 2-4 的一次因式组成的集合 ;(2){y|y=-x 2-2x+3,x ∈R,y∈N};(3)方程 x2+6x+9=0 的解集 ;(4){20 以内的质数 };(5){(x,y)|x 2+y2=1,x∈ Z ,y∈ Z };(6){ 大于 0 小于 3 的整数 };(7){x ∈ R |x2 +5x-14=0};(8){(x,y)|x ∈N 且 1≤ x<4,y-2x=0};(9){(x,y)|x+y=6,x ∈ N,y∈N}.思路分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素 ,要注意不重不漏,不计次序地用“,隔”开放在大括号内 .解： (1)因 x2-4=(x-2)(x+2), 故符合题意的集合为 {x-2,x+2};(2)y=-x 2-2x+3=-(x+1) 2+4,即 y≤ 4又. y∈N,∴y=0、1、2、3、4, 故{y|y=-x 2-2x+3,x ∈R,y∈N}={0,1,2,3,4};(3)由 x2+6x+9=0 得 x1=x2=-3,∴方程 x2+6x+9=0 的解集为 {-3};(4){20 以内的质数 }={2,3,5,7,11,13,17,19};(5)因 x∈Z ,y∈ Z ,则 x=-1、0、1 时,y=0、1、-1, 那么 {(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z}={(-1,0),(0,1),(0,-1),(1,0)};(6){ 大于 0 小于 3 的整数 }={1,2};(7)因 x2+5x-14=0 的解为 x1=-7,x 2=2,则{x ∈ R |x2+5x-14=0}={-7,2};(8)当 x∈N 且 1≤x<4时,x=1、2、3,此时 y=2x,即 y=2、4、6,那么 {(x,y)|x ∈N 且 1≤x<4,y-2x=0}={(1,2),(2,4),(3,6)};(9){(x,y)|x+y=6,x ∈ N,y∈N}={(0,6)(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}. 点评：本题主要考查集合的列举法表示 .列举法适用于元素个数有限个并且较少的集合.用列举法表示集合 :先明确集合中的元素 ,再把元素写在大括号内并用逗号隔开, 相同的元素写成一个.3.用描述法分别表示下列集合 :(1)二次函数 y=x2图象上的点组成的集合 ;(2)数轴上离原点的距离大于 6 的点组成的集合 ;(3)不等式 x-7<3 的解集 . 活动：让学生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐标。
1.1集合的概念(第二课时)教学设计高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
高一数学教案科目数学授课时间2023年秋第1周主备人课题第1节集合的概念（第二课时）教学目标数学核心素养1. 了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系；熟记常用数集专用符号．2. 深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题．3. 会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。
感受集合语言的意义和作用。
教学重点集合的两种表示方法，会正确表述和理解集合的含义；教学难点用描述法表示集合教学过程教学实施记要环节一【新知引入】1．列举法把集合的元素出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．点睛：列举法表示集合时的 4 个关注点：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开(2)集合中的元素必须是明确的.(3)集合中的元素不能重复(4)集合中的元素可以是任何事物.2．描述法(1)定义：用集合所含元素的表示集合的方法．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的及，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的．[点睛]描述法表示集合时的3 个关注点(1)写清楚集合中元素的符号。
如数或点等(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等(3)不能出现未被说明的字母用列举法表示集合的步骤及注意点（1）分清元素：用列举法表示集合，要分清是数集还是点集，或是其他元素.（2）书写集合：列元素时要做到不重复、不遗漏.提醒:二元方程组的解集、函数的图象上的点形成的集合都是点的集合，一定要写成有序实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开.环节二例1 用列举法表示下列集合：（1）单词“<m>s ee</m>”中的字母组成的集合；（2）所有正整数组成的集合；（3）直线<m>y=x</m>与<m>y=2x−1</m>的交点组成的集合. 例2 用描述法表示下列集合：（1）函数<m>y=−x</m>图象上的点组成的集合；（2）数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合；（3）不等式<m>x−2<3</m>的解组成的集合.环节三【小组合作与展示】1.集合{x|x2−4x+3=0}用列举法表示为( @54 ).A. {1,3}B. {(1,3)}C. {x2−4x+3=0}D. {x=1,x=3}2.方程组{x+y=3,x−y=−1的解集不能表示为( @56 ).A. {(x,y)∣{x+y=3,x−y=−1} B. {(x,y)∣{x=1,y=2}C. {1,2}D. {(x,y)|x=1,y=2}3、用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合；(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．课堂小结1、列举法2、描述法3、例举法和描述法需要注意的问题板书设计1、元素与集合的关系符号书写2、集合的表示方法：列举法和描述法3、注意事项作业布置1、用描述法表示抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合．变式1．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{x|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？变式2．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{y|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？2、用描述法表示下列集合：(1)被3除余1的正整数的集合；(2)坐标平面内第一象限的点的集合；(3)大于4的所有偶数．教学反思。
人教版高中必修1(B版)1.1.1集合的概念教学设计
人教版高中必修1(B版)1.1.1集合的概念教学设计一、教学目标1.理解集合的概念、元素和符号表示方法。
2.能够根据集合的定义和运算规则解决简单的集合问题。
3.培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。
二、教学重点和难点1.集合的概念、元素和符号表示方法。
2.集合的包含关系和运算规则。
三、教学内容1. 集合的引入教师用故事引入集合的概念，如小明家有3个苹果，4个橘子和2个葡萄，这些水果可以构成一个集合，集合的元素就是这些水果。
然后教师引领学生发现集合可以用花括号{}表示，如集合{苹果，橘子，葡萄}。
2. 集合的定义教师引导学生从实际中发现集合的概念，如一所学校所有学生构成一个集合，或者全国所有男生和女生分别构成两个集合。
然后教师引导学生发现集合的定义：将一些确定的对象组成的整体叫做集合，其中的每一个对象都叫做集合的元素。
例如，{1，2，3，4}是一个集合，1，2，3，4是集合的元素。
3. 集合的符号表示法教师在黑板上写出集合的符号表示法，如集合A={1，2，3}，集合B={x|x是小于5的偶数}。
然后教师引导学生理解符号表示法的意义和用途。
4. 集合的包含关系教师引导学生发现集合的包含关系，如一个集合A包含另一个集合B，当且仅当A中所有的元素都属于B。
例如，{1，2，3}包含{1，2}和{}，但不包含{1，2，3，4}。
然后教师引导学生理解子集和真子集的概念。
5. 集合的运算规则教师引导学生发现集合的运算规则，包括集合的并、交、差和补等。
然后教师提供简单的例题，让学生应用集合的定义和运算规则解决问题。
四、教学方法1.演示法：用故事、图示等形式演示集合的概念和运算规则。
2.体验法：让学生通过实际操作，感受集合的定义和运算规则。
3.对话法：通过对话，引导学生理解集合的概念和运算规则。
4.问题导向法：提出问题，让学生应用集合的知识解决问题。
五、教学评价1.在教学过程中，教师要注意观察学生的学习情况，及时调整教学策略。
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《集合的概念》教案
教材分析
集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础．许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上．此外，集合理论的应用也变得更加广泛．
教学目标
【知识与能力目标】
1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；
2．知道常用数集及其专用记号；
3．了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；
4．会用集合语言表示有关数学对象；
5．培养学生抽象概括的能力．
【过程与方法目标】
1．让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．
2．让学生归纳整理本节所学知识．
【情感态度价值观目标】
使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣．
教学重难点
【教学重点】
集合的含义与表示方法．
【教学难点】
对待不同问题，表示法的恰当选择．
课前准备
学生通过预习，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．
教学过程
（一）创设情景，揭示课题
请分析以下几个实例：
1．正整数1，2，3， ；
2．中国古典四大名著；
3．2018足球世界杯参赛队伍；
4．《水浒》中梁山108好汉；
5．到线段两端距离相等的点．
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体．
（二）研探新知
1．集合的有关概念
（1）一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）．
思考：上述5个实例能否构成集合？如果是集合，那么它的元素分别是什么？
练习1：下列指定的对象，是否能构成一个集合？
①很小的数②不超过30的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④π的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2的整数
⑧正三角形全体
（2）关于集合的元素的特征
（a）确定性：设A一个给定的集合，对于一个具体对象a，则a或者是集合A的元素，或者不是集合A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．
（b）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．
（c）无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的，跟顺序无关．
（3）思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题．
答案：（a）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合．（b）不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的．
（4）元素与集合的关系；
（a）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A
（b）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a∉A
例如：A表示方程x2＝1 的解．2∉A，1∈A
（5）集合的表示方法
我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列
举法和描述法来表示集合．
（a）列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列表法．
如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；
思考2，引入描述法
答案：（1）1~9内所有偶数组成的集合（2）不能，因为集合中元素的个数是无穷多个．说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．
（b）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
如：{x|x-3>2}，{（x，y）|y=x2+1}，{直角三角形}，…；
思考3：描述法表示集合应注意集合的代表元素
{（x，y）|y= x2+3x+2}与{y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z．
（6）常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），记作N
正整数集，记作N*或N+；
整数集，记作Z
有理数集，记作Q
实数集，记作R
辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}．下列写法{实数集}，{R}也是错误的．如果写{实数}是正确的．
说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．
（7）集合的分类
问题2：我们看这样一个集合：{ x |x2＋x＋1＝0}，它有什么特征？
显然这个集合没有元素．我们把这样的集合叫做空集，记作∅．
练习：（1）0 ∅（填∈或∉）
（2）{ 0 } ∅（填＝或≠）
集合的分类：（1）按元素多少分类：有限集、无限集；
（2）按元素种类分类：数集、点集等
（三）例题讲解
例1．用集合表示：
①x 2－3＝0的解集；
②所有大于0小于10的奇数；
③不等式2x －1＞3的解．
例2．已知集合S 满足：1S ∉，且当a S ∈时11S a ∈-，若2S ∈，试判断12是否属于S ，说明你的理由．
例3．设由4的整数倍加2的所有实数构成的集合为A ，由4的整数倍再加3的所有实数构成的集合为B ，若,x A y B ∈∈，试推断x +y 和x -y 与集合B 的关系．
（四）归纳小结
本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法．。