江苏省扬州中学2015届高三1月质量检测数学 Word版含答案

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江苏省扬州中学2015届高三双周练数学Word版含

江苏省扬州中学 2015 届高三 4 月双周练数学 Word 版含答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2高三双周练数学试卷2015.4.18.一、填空题：1．已知会合 A { x x 0} ， B { 1，0，1，2} ，则 A I B 等于▲．2．已知虚数 z 知足 2z z 1 6i ，则 | z |▲ ．3．抛物线 y 2 x 2 的准线方程为▲．4．函数 f ( x)x 2ln x 的单一递减区间为 ▲．5．某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x ， 10，8 环的成绩，已知这组数据的均匀数为 9，则这组数据的标准差是 ▲ ． 6．已知直线 3x 4 y3 0 与直线 6 x my 14 0 平行，则它们之间的距离是▲．7．角的极点在座标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P(1,2) ，则 cos( )的值是 ▲ ． 8．若一个正四棱锥的底面边长为2cm ，侧棱长为 3cm ，则它的体积为 ▲cm 3.a b 2 0 ，则 a 2b的最大值为 _____▲____.9．若实数 a, b 知足 b a 1a 12a b10．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6）先后投掷两次得到的点数 m 、 n 分别作为点 P 的横、纵坐标，则点不在直线 x y 5 下方的概率P．．为 ▲.11.已知函数 f ( x)2x 2ax 1，若存在( , ) ，使 f (sin ) f (cos ) ，则实数 a4 2的取值范围 ____▲ _____.12．已知点 A( 2,0), B(4,0) ，圆 C : ( x4) 2 ( y b) 2 16, 点 P 是圆 C 上随意一点，若PA为定值，则 b ____▲____.PB13．在正项等比数列 { a n } 中， a 4 a 3 a 2 a 1 5 ，则 a 5 a 6 的最小值为 ____▲ ___.14.已知函数 f ( x) x sin x ，不等式 f ( x) ax cos x 在 [0, ] 上恒建立，则实数 a 的取值2范围为 _____▲ ______.二、解答题：本大题共 6 小题，共90 分．15． (本小题满分14 分 )如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是平行四边形.（1）若 CF⊥ AE， AB⊥ AE，求证：平面 ABFE⊥平面 CDEF；（2）求证： EF//平面 ABCD.E FD CA B16． (本小题满分14 分 )已知函数 f (x)2cos(x)(0x5) ，点A, B分别是函数y f ( x)图象上的最高点和6 3最低点．（1）求点A, B的坐标以及OA OB 的值；（2）设点A, B分别在角, ( ,[0,2 ]) 的终边上，求sin(2) 的值．217． (本小题满分14 分 )在平面直角坐标系xoy 中，椭圆 C ：x2 y 2 1( a b 0) 的离心率为1，右焦点 F（ 1,0），a 2 b2 2点 P 在椭圆 C 上，且在第一象限内，直线PQ 与圆 O：x2 y 2 b 2相切于点M.（1）求椭圆 C 的方程；（2）求 |PM| ·|PF| 的取值范围；（3）若 OP⊥ OQ，求点 Q 的纵坐标 t 的值 .y PMO F x18． (本小题满分16 分 )如图（ 1），有一块形状为等腰直角三角形的薄板，腰AC的长为a 米（ a 为常数），此刻斜边AB 上选一点D，将△ ACD沿 CD折起，翻扣在地面上，做成一个遮阳棚，如图（ 2）. 设△ BCD 的面积为S，点 A 到直线 CD 的距离为 d. 实践证明，遮阳成效y 与 S、 d 的乘积 Sd 成正比，比率系数为k（k 为常数，且k>0） .（1）设∠ ACD=，试将S表示为的函数；（2）当点 D 在哪处时，遮阳成效最正确（即y 获得最大值）？CDS C BA DB A图图19．（本小题满分16 分）关于函数 f ( x), g (x) ，假如它们的图象有公共点P，且在点P 处的切线同样，则称函数 f (x) 和g ( x) 在点P处相切，称点P为这两个函数的切点. 设函数f ( x) ax2 bx(a 0) , g( x) ln x .（1）当a 1 , b 0 时, 判断函数 f ( x) 和g( x) 能否相切？并说明原因；（2）已知 a b， a 0，且函数 f ( x) 和g( x) 相切，求切点P 的坐标；（3）设a 0 ，点P 的坐标为(1 ,1)，问能否存在切合条件的函数ef (x) 和g ( x) ，使得它们在点 P 处相切？若点P 的坐标为(e2,2)呢？（结论不要求证明）20．（本小题满分16 分）设数列{ a n }的通项公式为 a npn q (n N , p0) ，数列{ b n }定义以下：关于正整数m ，b m 是使得不等式a nm 建立的全部n 中的最小值.（1）若p1, q1，求b 3 ;23（2）若p2, q1，求数列{b m } 的前2m 项和公式;（3）能否存在p 和 q ，使得b m3m2 (mN ) ？假如存在，求p 和q 的取值范围？如果不存在，请说明原因.附带题部分：21B ．选修 4—2：矩阵与变换号 3 36 的一个特点向量为 1 1 的已知矩阵 A ＝，若矩阵 A 属于特点值 α1＝，属于特点值学c d1一个特点向量为 α2＝3 ．求矩阵 A ，并写出 A 的逆矩阵．－ 2___21C ．选修 4—4：极坐标与参数方程___已知圆的极坐标方程为：24 2 cosπ6 0 ．_4 __（1）将极坐标方程化为一般方程；____x ＋ y 的最大值和最小值．__（2）若点 P(x ， y)在该圆上，求___ _ __ __名_ _姓 _ ______22． (此题满分10 分 )为加强市民的节能环保意识,某市道向全市征召义务宣传志愿者，从切合条件的500 名志愿者中随机抽取100 名志愿者 , 其年纪频次散布直方图以下图，此中年纪分组区间是：20,25 , 25,30 , 30,35 , 35,40 , 40,45 ．（1）求图中x的值并依据频次散布直方图预计这 500 名志愿者中年纪在35,40岁的人数；（2）在抽出的 100 名志愿者中按年纪采纳分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣传活动，再从这20 名中采纳简单随机抽样方法选用 3 名志愿者担当主要负责人，记这3 名志愿者中“年纪低于35 岁”的人数为X ，求 X 的散布列及数学希望．23. (此题满分 10 分 )若一个正实数能写成n 1n (n N *) 的形式，则称其为“兄弟数”.求证：（ 1）若x为“兄弟数”，则 x2 也为“兄弟数”；（ 2）若x为“兄弟数”， k 是给定的正奇数，则x k也为“兄弟数”.数学试卷参照答案及评分标准2015.41． 1,2 2． 5 3 ．y 16．2 7．5 4 7 74．(0,2) 5．158．39．8 510．511. (2, 2 2) 12. 13.20 14. a 2 615．（ 1）∵四边形 ABCD是平行四边形∴ AB//CD ，又∵ AB⊥AE，∴AE⊥ CD又∵ AE⊥ CF，CD∩CF=C， CD、CF 平面 CDEF，∴ AE⊥平面 CDEF，又∵ AE 平面ABFE，∴平面 ABFE⊥平面 CDEF 7分（2）∵四边形 ABCD是平行四边形∴ AB//CD又∵ AB 平面 CDEF， CD 平面 CDEF，∴ AB// 平面 CDEF又∵ AB 平面 ABFE，平面 ABFE∩平面 CDEF=EF，∴ AB//EF又∵ EF 平面 ABCD， AB 平面 ABCD，∴ EF//平面 ABCD. 14分c 1 17.（1）a 2 ⋯⋯⋯⋯2分c 1∴ c=1，a=2，∴ b3 ，∴ 方程x 2y 2 1⋯⋯⋯⋯4分43（2） P( x 0 , y 0 ) ，x 0 2y 0 2 1(0 x 02)43PM= 2y 0 23233x 0 231x 0 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 x 0x 042PF=2 1 x 0 ⋯⋯⋯⋯8分∴PM ·PF= 1 x 0 (4 x 0 )1 ( x 0 2)2 1，244∵ 0x 02 ，∴ |PM| ·|PF| 的取范是（0,1） . ⋯⋯⋯⋯ 分10（3）法一：①当PM ⊥ x ， P (3,3) ， Q ( 3,t ) 或 (3,t ) ，2由 OP OQ 0 解得 t2 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分12② 当 PM 不垂直于 x ，P( x 0 , y 0 ) ， PQ 方程y y 0 k( xx 0 ) ，即kx y kx 0y 0∵PQ 与 O 相切，∴| kx 0y 0 |3 ，∴ (kx 0y 0 ) 2 3 k 23k 2 1∴2kx 0 y 0223k3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯分 13k 2 x 0 y 0 2又 Q ( t y 0 kx 0 , ) ，所以由 OP OQ 0 得 tx 0 ( y 0 kx 0 )⋯⋯ 分k tx 0 ky 0 142kx 0 ) 22y 0 )2∴ t 2x 0 ( y 0x 0 (kx 0( x 0ky 0 )2x 0 2k 2y 0 22kx 0 y 0x 0 2 (3k 2 3) =x 0 2 (3k 23)=12 ，x 0 222 k 2 2 2 3k 2 32232ky 0x 0y 0224x(1 k ) x 0 (1 k )(3) 3k3∴ t2 3 ⋯⋯ 16分法二：( x 0 , y 0 ) ，直： y x 0 x ，∴ Q( y 0t, t) ，POQy 0x 0∵OP ⊥ OQ ，∴ OP ·OQ=OM · PQ22y 0 2yt ) 2∴ x 0 y 02 t2t23( x 0( y 0 t ) 2 ⋯⋯⋯ 12分x 0x 0∴ x 0 22t 2 2 y 2) 3 x 02y0 2t 2y 2t 23 x 0 2 y 0 2 2 2) y 0 x 0 2 ( x 0 0 x 0 2 0x 0 2 ( x 0t∴ (x 0 2y 0 2 )t 2 3( x 0 2 t 2 ) ，∴ t 223x 0 2 23 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯分 14x 0 y 0223x 0 22x 0y 023 ，∴ t23x 012 ，∴ t2 3 ⋯⋯⋯⋯⋯ 分16∵1，∴ y 04341x 0 2418. （ 1）△ BCD 中BCCD，sin CDB sin B∴aCD ，∴ CDa⋯⋯⋯⋯4分45 ) sin 45 2 sin(sin(45 )∴ S1BC CD sin BCD2a 2 cos ， 090 ⋯⋯6分（此中范 1 分）2 4 sin( 45 )（2） d asin ⋯⋯⋯⋯8分y kSd2ka 3 sin cos ka 3 sin cos ⋯⋯⋯⋯⋯⋯分 104sin( 45 )2(sincos)令 sincost ， t(1, 2 ] ， sincos t 212ka 3 (t 2ka 3∴ y1)(t 1) 在区 (1,2 ] 上增， ⋯⋯⋯⋯ 分134t4 t∴当 t2 y 获得最大，此4，即 D 在 AB 的中点，遮阳成效最正确 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯分1619.（1）：当 a1, b0 , 函数 f (x) 和 g( x) 不相切 .⋯ 1 分原因以下：由条件知 f (x)x 2 ，由 g(x)ln x ，得 x0 ，又因 f (x) 2x ， g ( x)1 ，1x所以当 x0 ， f (x)2x 0 ，g ( x)0 ，所以于随意的 x0， f ( x)g (x) .x当 a 1 , b0 , 函数 f (x) 和 g( x) 不相切 .⋯ 3 分（ 2）若 ab ， f (x)2ax a ， g ( x)1，切点坐( s, t) ，此中s 0, 由意，1x1得 as 2 as ln s①， 2as a② ，由②得 a，ss(2 s 1)代入①得函数令 F ( x)a1s 1s(2 s因2s ln s .（ * ）1F( x)x 1 ln x ， x ( 1, ) ，2x 120 ，解得 x1 或 x 1 (舍 ).4，所以 s 1.1)，且 s2(4 x 1)( x1)F ( x)x(2 x 1) 2 .⋯8 分当 x 化， F ( x) 与 F ( x) 的化状况以下表所示，x 1 ,1)1(1, )(F ( x) 2F ( x)↗↘所以当 x 1 ， F (x) 取到最大 F (1) 0 ，且1 ,1)U (1, ) F (x) 0 .当 x (2所以，当且仅当 x 1 时 F (x).所以方程（ * ）有且仅有一解 s 1.于是 tln s 0 ，所以切点 P 的坐标为 (1,0) .12 分（3）当点 P 的坐标为 ( 1, 1)时，存在切合条件的函数f ( x) 和 g( x) ，使得它们在点 P 处相切；14 分 e当点 P 的坐标为 (e 2,2) 时，不存在切合条件的函数f (x) 和g (x) ，使得它们在点P 处相切.16 分20.（ 1）由题意，得 a n1 1 1 1 3 ，则 n2011 n ，解n3，所以n3 建立的所232323有 n 中的最小整数为 7，即 b 3 7 .（2）由题意，得 a n 2n1，关于正整数由 a nm ，得 nm 12 ,依据 b m 的定义可知，当 m 2k 1时，b mk( kN )当m 2k 时，b m k 1(N )k∴ b 1 b 2L b 2m (b 1 b 3 L b 2m 1 ) (b 2b 4 L b 2m )= (1 2 3 L m) [2 3 4 L ( m 1)] m 2 2m（3）假定存在p 和 q 知足条件，由不等式 pnq m 及 p 0 得 nm qp∵ b m 3m 2(m N ) ，依据 b m 的定义可知，关于随意正整数的都有3m 1 m q 3m 2 即 2 pq (3 p 1)m p q 对随意的正整数 m 都建立 .p当 3p 1 0（或 3 p 1 0 ）时，得p qm 2 p q或 ( p qm2 p q )3 p 13p 1 3 p 1 3p 1这与上述结论矛盾 .当 3p 10 即 p1时，2 q 0 1q ，∴ 2 q 13 3 3 3 3∴所以存在 p 和 q ，使得知足条件的 p ， q ，且 p ， q 的取值范围分别是：p1,q [ 2 , 1] . 3 3 3数学附带题参照答案21B ．解：由矩阵 A 属于特点值 6 的一个特点向量为 α1＝ 1可得，13 3 1 1 ，即 c ＋ d ＝ 6，c d 1 ＝ 61由矩阵 A 属于特点值 1 的一个特点向量为 3α2 ＝，－ 2可得 3 3 3 ＝ 3 ，即 3c －2d ＝－ 2，c d －2 － 22 1c ＝ 2，3 33 － 2解得 d ＝ 4．即 A ＝ 2 4 ，所以 A 的逆矩阵是1 1 ．－ 3 2C ．解：（ 1） x 2y 24x 4y 6 0 ；x 2 2cos , y 42sin，（ 2）圆的参数方程为22sin 所以 xy,4那么 x ＋ y 最大值为 6，最小值为 2．22．解：（ 1）由于小矩形的面积等于频次，所以除35,40 外的频次和为 0.70，所以 x1 0.70 0.06 ，所以 500 名志愿者中，年纪在35,40 岁的人数为50.06 5 500 150(人 )； 3 分（ 2）用分层抽样的方法，从中选用 20 名，则此中年纪 “低于 35 岁 ”的人有 12 名， “年纪不低于 35 岁 ”的人有 8 名．故 X 的可能取值为 0,1,2,3 ，P X0 C 83141C 121C 8228C 203， P XC 203，28595P X2 C 122C 81 443C 12311C 20395 ， P XC 203,故 X 的散布列为：57X1 2 3P142844 11285959557所以 EX 014 1 28 2 44 3 11171 9．10 分285 9595 5795 523.证明：（ 1）设 x n 1n (n N *) ，则 x 22n 1 2 n(n 1)4n 2 4n 14n 2 4n ，是 “兄弟数 ”（2）设 xn 1n, yn 1n (n N *) ，则 xy 1kk而 x kC k i ( n 1)k i ( n )i , y kC k i ( n 1) k i (n )ii 0i 0kk故 x ky kC k i ( n 1) k i ( n )iC k i ( n 1) k i ( n )ii 0i 02[C k 0 ( n 1)k C k 2 (1)k 2C k 4 ( n 1)k4n 2C k k 1k 1n n Ln 1 n 2 ] ，不如记： x ky k 2a n1, a N *kk同理：由 x ky kC k i ( n 1) k i ( n)iC k i ( n 1) k i (n)i ，不如记：i 0i 0x ky k2b n, b N *从而， 2x k 4a 2(n 1)4b 2n ，即 x k a 2 ( n 1) b 2 n又 4a 2 ( n 1) 4b 2n ( x k y k )2( x k y k )2 4 x k y k4 ，故 a 2 (n 1) b 2n 1所以 x kb 2 n 1b 2n 亦为 “兄弟数 ”.。

江苏省扬州中学高三数学月考试卷解析版

江苏省扬州中学高三数学月考试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1. 已知集合M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |lg(2x ＋1)＞0}，则M ∩N ＝．(0,1)2. 复数z ＝a ＋i 1－i 为纯虚数，则实数a 的值为．13. 不等式|x ＋1|·(2x ―1)≥0的解集为． {x |x ＝―1或x ≥12}4. 函数f (x )＝13x －1＋a （x ≠0），则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）．充要5. m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5必过定点_________．(9,－4)6. 向量a ＝(1,2)、b ＝(－3,2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k ＝_________．由题意知，a 与b 不共线，故k ∶1＝1∶(－3)，∴k ＝－137. 关于x 的方程cos 2x ＋4sin x －a ＝0有解，则实数a 的取值范围是．[－4,4]8. 已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．4解：x ＋2y ＝8－x ·(2y )≥8－⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22，整理得(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，即(x ＋2y －4) (x＋2y ＋8)≥0．又x ＋2y ＞0，∴x ＋2y ≥4．9. 已知点x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y ≤2，若ax ＋y ≤3恒成立，则实数a 的取值范围是__________．(－∞,3]10. 已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足→AB ＋12·→AC ＝→AD ，且|→CD |＝3，那么→DA ·→DC＝． 311. 若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是_________．[12,＋∞)解：f '(x )＝2mx ＋1x －2≥0对x ＞0恒成立，2mx 2＋1－2x ≥0∴2m ≥2x －1x 2＝－1x 2＋2x ，令t＝1x ＞0∴2m ≥－t 2＋2t ，∵()－t 2＋2t max ＝1，∴2m ≥1，∴m ≥12． 12. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋ax (x ≤1)2ax －5(x ＞1)，若∃x 1, x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是． (－∞,4)13. 将y ＝sin2x 的图像向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图像仍过点⎝⎛⎭⎫π3，32，则φ的2015.10最小值为_______．解法一：点代入y ＝sin(2x －2φ)∴sin(2π3－2φ)＝32∴－2φ＋2π3＝2k π＋π3或－2φ＋2π3＝2k π＋2π3∴φ＝－k π＋π6或φ＝－k π∴φ的最小值为π6．解法二：结合函数y ＝sin2x 的图形．14. 已知函数f (x )满足f (x )＝f (1x )，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ，若在区间[13,3]内，函数g (x )＝f (x )－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是．⎣⎡ln33,⎭⎫1e 二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分14分）已知直线1:(2)(3)50l m x m y +++-=和2:6(21)5l x m y +-=．问：m 为何值时，有：（1）12l l ；（2）12l l ⊥．解：（1）∵12l l ，∴(2)(21)618m m m +-=+，得4m =或52m =-；当m ＝4时，l 1：6x ＋7y －5＝0，l 2：6x ＋7y ＝5,即l 1与l 2重合，故舍去．当25-=m 时，1211:50,:665,22l x y l x y -+-=-=即12l l∴当25-=m 时，12l l ．………7分（2）由6(2)(3)(21)0m m m +++-=得1m =-或92m =-；∴当1m =-或92m =-时，12l l ⊥．………14分16. （本小题满分14分）已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M ⎝⎛⎭⎫π3，12，且与x 轴两个相邻的交点的距离为π．（1）求f (x )的解析式；（2）在△ABC 中，a ＝13，f (A )＝35，f (B )＝513，求△ABC 的面积．解：（1）依题意知，T ＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)∵f (π3)＝sin(π3＋φ)＝12，且0＜φ＜π ∴π3＜π3＋φ＜4π3 ∴π3＋φ＝5π6 即φ＝π2∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ． ………6分（2）∵f (A )＝cos A ＝35，f (B )＝cos B ＝513， ∴A ,B ∈(0,π2)∴sin A ＝45，sin B ＝1213 ………8分∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665………10分∵在△ABC 中a sin A ＝bsin B ∴b ＝15. ………12分∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×13×15×5665＝84． ………14分17. （本小题满分15分）已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为120º，当k 为何值时，（1）k a －b 与a －k b 垂直；（2）|k a －2b |取得最小值？并求出最小值．解：（1）∵k a －b 与a －k b 垂直，∴(k a －b )·(a －k b )＝0．∴k a 2－k 2a ·b －b ·a ＋k b 2＝0．∴9k －(k 2＋1)×3×2·cos120°＋4k ＝0．∴3k 2＋13k ＋3＝0．∴k ＝－13±1336． ………7分（2）∵|k a －2b |2＝k 2a 2－4k a ·b ＋4b 2＝9k 2－4k ×3×2·cos120°＋4×4 ＝9k 2＋12k ＋16＝(3k ＋2)2＋12．∴当k ＝－23时，|k a －2b |取得最小值为23． ………15分18. （本小题满分15分）如图①，一条宽为1km 的两平行河岸有村庄A 和供电站C ，村庄B 与A 、C 的直线距离都是2km ，BC 与河岸垂直，垂足为D ．现要修建电缆，从供电站C 向村庄A 、B 供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元/km 、4万元/km ．（1）已知村庄A 与B 原来铺设有旧电缆，但旧电缆需要改造，改造费用是0.5万元/km ．现决定利用此段旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．（2）如图②，点E 在线段AD 上，且铺设电缆的线路为CE 、EA 、EB ．若∠DCE ＝θ(0≤θ≤ π3)，试用θ表示出总施工费用y (万元)的解析式，并求y 的最小值．解：（1）由已知可得△ABC 为等边三角形，∵AD ⊥CD ，∴水下电缆的最短线路为CD .过D 作DE ⊥AB 于E ，可知地下电缆的最短线路为DE 、AB . ………3分又CD ＝1，DE ＝32，AB ＝2，故该方案的总费用为1×4＋32×2＋2×0.5＝5＋ 3 （万元）． …………6分（2）∵∠DCE ＝θ (0≤θ≤ π3)∴CE ＝EB ＝1cos θ，ED ＝tan θ，AE ＝3－tan θ.则y ＝1cos θ×4＋1cos θ×2＋(3－tan θ)×2＝2×3－sin θcos θ＋2 3 ……9分令f (θ)＝3－sin θcos θ (0≤θ≤ π3)则f '(θ)＝－cos 2θ－(3－sin θ)(－sin θ)cos 2θ＝3sin θ－1cos 2θ，……11分∵0≤θ≤ π 3，∴0≤sin θ≤32，记sin θ0＝13，θ0∈(0, π3)当0≤θ＜θ0时，0≤sin θ＜13，∴f '(θ)＜0当θ0＜θ≤ π 3时，13＜sin θ≤32，∴f '(θ)＞0∴f (θ)在[0,θ0)上单调递减，在(θ0, π3]上单调递增．……13分∴f (θ)min ＝f (θ0)＝3－13223＝22，从而y min ＝42＋23，此时ED ＝tan θ0＝24，答：施工总费用的最小值为（42＋23）万元，其中ED ＝24. ……15分19. （本小题满分16分）已知a 为实数，函数f (x )＝a ·ln x ＋x 2－4x ．（1）是否存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值？证明你的结论；（2）若函数f (x )在[2, 3]上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围；（3）设g (x )＝2a ln x ＋x 2－5x －1＋a x ，若存在x 0∈[1, e]，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，求实数a的取值范围．解：（1）函数f (x )定义域为(0,＋∞)，f '(x )＝ax ＋2x －4＝2x 2－4x ＋a x假设存在实数a ，使f (x )在x ＝1处取极值，则f '(1)＝0，∴a ＝2， ……2分此时，f '(x )＝2(x －1)2x，∴当0＜x ＜1时，f '(x )＞0，f (x )递增；当x ＞1时，f '(x )＞0，f (x )递增． ∴x ＝1不是f (x )的极值点．故不存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值． ………4分（2）f '(x )＝2x 2－4x ＋a x ＝2(x －1)2＋a －2x，①当a ≥2时，∴f '(x )≥0，∴f (x )在(0,＋∞)上递增，成立； ………6分②当a ＜2时，令f '(x )＞0，则x ＞1＋1－a 2或x ＜1－1－a2，∴f (x )在(1＋1－a2,＋∞)上递增，∵f (x )在[2, 3]上存在单调递增区间，∴1＋1－a2＜3，解得：6＜a ＜2综上，a ＞－6． ………10分（3）在[1,e]上存在一点x 0，使得()()00f x g x <成立，即在[1,e]上存在一点0x ，使得()00h x <，即函数()1ln a h x x a x x+=+-在[1,e]上的最小值小于零．有22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==①当1a e +≥，即1a e ≥-时， ()h x 在[]1e ，上单调递减，所以()h x 的最小值为()h e ，由()10ah e e a e+=+-<可得211e a e +>-，因为2111e e e +>--，所以211e a e +>-； ………12分 ②当11a +≤，即0a ≤时，()h x 在[]1e ，上单调递增，所以()h x 最小值为()1h ，由()1110h a =++<可得2a <-； ………14分③当11a e <+<，即01a e <<-时，可得()h x 最小值为()()12ln 1h a a a a +=+-+，因为()0ln 11a <+<，所以，()0ln 1a a a <+<，故()()12ln 12h a a a a +=+-+> 此时不存在0x 使()00h x <成立．综上可得所求a 的范围是：211e a e +>-或2a <-． ………16分解法二：由题意得，存在x ∈[1, e]，使得a (ln x －1x )＞x ＋1x成立．令m (x )＝ln x －1x ，∵m (x )在[1, e]上单调递增，且m (1)＝－1＜0, m (e)＝1－1e ＞0故存在x 1∈(1,e)，使得x ∈[1, x 1)时，m (x )＜0；x ∈(x 1, e]时，m (x )＞0 故存在x ∈[1, x 1)时，使得a ＜x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆)或存在x ∈(x 1, e]时，使得a ＞x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆☆) ………12分记函数F (x )＝x 2＋1x ln x －1，F(x )＝(x 2－1)ln x －(x ＋1)2(x ln x －1)2当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＝(x 2－1)·⎝⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x －1 ∵G (x )＝ln x －x ＋1x －1＝ln x －2x －1－1递增，且G (e)＝－2e －1＜0∴当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＜0，即F (x )＜0∴F (x )在[1, x 1)上单调递减，在(x 1, e]上也是单调递减， ………14分 ∴由条件(☆)得：a ＜F (x )max ＝F (1)＝－2 由条件(☆☆)得：a ＞F (x )min ＝F (e)＝e 2＋1e －1综上可得，a ＞e 2＋1e －1或a ＜－2． ………16分20. （本小题满分16分）已知常数a ＞0，函数f (x )＝13ax 3－4(1－a )x ，g (x )＝ln(ax ＋1)－2xx ＋2．（1）讨论f (x )在(0,＋∞)上的单调性；（2）若f (x )在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上存在两个极值点x 1、x 2，且g (x 1)＋g (x 2)＞0，求实数a 的取值范围．解：（1）由题意可知：f '(x )＝ax 2－4(1－a )当a ≥1时，f '(x )＞0，此时，f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增．当0＜a ＜1时，由f '(x )＝0得：x 1＝2a (1－a )a （x 2＝－2a (1－a )a ＜0舍去）当x ∈(0, x 1)时，f '(x )＜0；当x ∈(x 1,＋∞)时，f '(x )＞0.故f (x )在区间(0, x 1)上单调递减，在区间(x 1,＋∞)上单调递增．综上所述，当a ≥1时，f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增；当0＜a ＜1时，f (x )在区间(0,2a (1－a )a )上单调递减，在区间(2a (1－a )a,＋∞)上单调递增． ………6分（2）由（1）知，当a ≥1时，f '(x )≥0，此时f (x )不存在极值点，因而要使得f (x )有两个极值点，必有0＜a ＜1.又∵f (x )的极值点只可能是x 1＝2a (1－a )a 和x 2＝－2a (1－a )a，由g (x )的定义可知，x ＞－1a 且x ≠－2，∴－2a (1－a )a ＞－1a 且2a (1－a )a x ≠2解得：0＜a ＜12或12＜a ＜1 【定义域在这里很重要】 ………8分此时，由（*）式易知，x 1, x 2分别是f (x )的极小值点和极大值点．而g (x 1)＋g (x 2)＝ln(ax 1＋1)(ax 2＋1)－2x 1x 1＋2－2x 2x 2＋2＝ln[a 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1]－4x 1x 2＋4(x 1＋x 2)x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝ln(2a －1)2－4(a －1)2a －1＝ln(2a －1)2－22a －1－2………10分令x ＝2a －1，由0＜a ＜12且a ≠12知，当0＜a ＜12时，－1＜x ＜0；当12＜a ＜1时，0＜x＜1 ，记h (x )＝ln x 2＋2x－2．①当－1＜x ＜0时，h (x )＝2ln(－x )＋2x －2，设t ＝－x ∈(0,1)，(t )＝2ln t －2t－2单调递增 ∴(t )＜(1)＝－4＜0∴h (x )＜－4＜0，故当0＜a ＜12时，g (x 1)＋g (x 2)＜0，不合题意，舍去．②当0＜x ＜1时，h (x )＝2ln x ＋2x－2，∴h(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2＜0，∴h (x )在(0,1)上单调递减，∴h (x )＞h (1)＝0，故当12＜a ＜1时，g (x 1)＋g (x 2)＞0．综上，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1．………16分附加题(考试时间：30分钟总分：40分)2015.1021.（选修4—2：矩阵与变换）（本小题满分10分)已知矩阵312221⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A（1）求1-A ；（2）满足AX ＝1-A 二阶矩阵X解：(1) 12143A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦………5分(2)852013X -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦………10分22．（选修4—4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分)在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝3t(t 为参数)，求直线l 被曲线C 所截得的弦长．解：曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0，圆心为(1，1)，半径为2，(3分)直线的直角坐标方程为3x －y －3＝0，(5分)所以圆心到直线的距离为d ＝||3－1－32＝12，(8分) 所以弦长＝22－14＝7.(10分)23.（本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝AC ＝4，AA 1⊥平面ABC ； AB ⊥AC ，（1）求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；（2）在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，求BDBC 1的值．解：（1）如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ,则B (0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4), 设平面A 1BC 1的法向量为,,)x y z n =(,则11100A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即34040y z x -=⎧⎨=⎩,令3z =,则0x =,4y =,所以(0,4,3)n =.1A 1B 1C ABC同理可得,平面BB 1C 1的法向量为(3,4,0)m =, 所以16cos 25⋅==n m n,m |n ||m |.由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角, 所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625. ………5分（2）设D (,,)x y z 是直线BC 1上一点,且1BD BC λ=. 所以(,3,)(4,3,4)x y z λ-=-.解得4x λ=,33y λ=-,4z λ=. 所以(4,33,4)AD λλλ=-.由1·0AD A B =,即9250λ-=.解得925λ=. 因为9[0,1]25∈,所以在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B .此时,1925BD BC λ==. ………10分 24.（本小题满分10分)（1）证明：①111r r r n n n C C C ++++=；②122212n nn n C C +++=（其中,,01,n r N r n *∈≤≤-）；（2）某个比赛的决赛在甲、乙两名运动员之间进行，比赛共设21n +局，每局比赛甲获胜的概率均为12p p ⎛⎫>⎪⎝⎭，首先赢满1n +局者获胜（n N *∈）. ①若2n =，求甲获胜的概率；②证明：总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）. 解：（1）①()()()()()()()()()111!1!!!()!1!(1)!1!()!1!1!11!r r n nr n n r n r n n C C r n r r n r r n r n C r n r +++++-⎡⎤⎣⎦+=+=-+--+-+==++-+……2分②由①1+122212121=+2n n n nn n n n C C C C +++++=……3分（2）①若2n =，甲获胜的概率()10156)1()1(2322242233+-=-+-+=p p p p p pC p p pC p P ……5分②证明：设乙每一局获胜的概率为q ，则210,1<<=+q q p ．记在甲最终获胜的概率为n P ，则()nn nn n n n n nn n nn n n n n n n n qC q Cq Cpq p pC q p pC q p pC p P 2221122211...1...++++=++++=++++++所以，()()()()()[]()()[()][][]()()()0122)()()(...)1()1()11(......1...1...11...1...1 (112111212111212211122211212211122211212211211221)3221211212231321211222131222211112221312222111122213122222111<-=-=-=+--=+--+-+++-++-+-=+++++++++-++++=++++--++++=++++-++++=-++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++q C q p C qC q p C qC q p C qC C q p C q C C q C C C q C C q C C q p qC q C q C q q C q C q C qC q C q C p q C q C q C q qC q C q C p q C q C q C p q C q C q C p P P n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n所以1+<n n P P即总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）． ………10分。

江苏省扬州市2015届高三上学期期末考试数学试题

江苏省扬州市2015届高三上学期期末考试数学试题一、填空题（70分）1、集合A ＝{－1,0，2}，B ＝{x ｜｜x ｜＜1}，则A B ＝＿＿＿＿＿＿2、已知i 是虚数单位，则21(1)ii +－的实部为＿＿＿＿＿3、命题P ：“2,230x R x x ∀∈+-≥”，命题P 的否定：＿＿＿＿＿4、在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为＿＿5、如图是一个算法流程图，输出的结果为＿＿＿＿＿6、已知样本6，7，8，9，m 的平均数是8，则标准差是＿＿＿＿7、实数x ，y 满足24011x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为＿＿＿8、已知4(0,),cos 5απα∈=-，则tan()4πα+＝＿＿＿＿ 9、已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线l ：3x y +＝0垂直，且C 的一个焦点到l 的距离为2，则C 的标准方程为＿＿＿＿10、设函数22,2(),2x a x f x x a x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩，若f （x ）的值域为R ，是实数a 的取值范围是＿＿＿＿11、已知A （,A A x y ）是单位圆（圆心为坐标极点O ，半径为1）上任一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转3π到OB 交单位圆于点B （,B B x y ），已知m ＞0，若2A B my y -的最大值为3，则m ＝＿＿＿＿ 12、设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是＿＿＿＿ 13、设数列{n a }的前n 项和为Sn ，且114()2n n a -=+-，若对任意*n N ∈，都有1(4)3n p S n ≤-≤，则实数p 的取值范围是＿＿＿＿＿14、已知A （0,1），曲线C ：y ＝log a x 恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且AB AP 的最小值为2，则a ＝＿＿＿＿＿二、解答题（90分）15、（14分）已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<部分图象如图所示。

江苏省扬州中学2015届高三12月月考理科数学试题 Word版含答案(已解析)

江苏省扬州中学2014-2015学年第一学期质量检测高三数学 [理] 2014.12 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1.已知集合},2|{},1|{≤=->=x x B x x A 那么=⋃B A _________. 【答案】R【解析】由并集的运算律可得=⋃B A R ，故答案为R 故答案为：R【考点】集合的运算【难度】12.函数)42cos(2)(π+-=x x f 的最小正周期为_________.【答案】π【解析】由正余弦函数的周期公式22|||2|T p p p w ===-，故答案为π 故答案为：π【考点】周期性和对称性【难度】1 3.复数1z i =+，且)(1R a zai∈-是纯虚数，则实数a 的值为_________. 【答案】1【解析】因为复数1z i =+，1111=122ai ai a ai z i ---+=-+，若为纯虚数，则实数a =1 故答案为：1【考点】复数综合运算【难度】 14.已知双曲线)0(1322>=-m y m x 的一条渐近线方程为,21x y =则m 的值为_______.【答案】12【解析】双曲线)0(1322>=-m y m x 的一条渐近线方程为y x =?，其中一条为：,21x y =12=，解得m=12．故答案为：12．故答案为：12【考点】双曲线【难度】 25.在ABC ∆中，,2,105,4500===BC C A 则AC =________.【答案】1【解析】∵0045,105A C ==，∴030B =，∵BC ，∴由正弦定理sin sin BC ACA B=得：1sin 1sin 2BC BAC A==故答案为：1【考点】正弦定理【难度】26.“N M >”是“N M 22log log >”成立的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”). 【答案】必要不充分条件【解析】∵当N M >时，不确定两个数字的正负，不一定得到N M 22log log >，即前者不一定推出后者；当N M 22log log >时，根据对数函数的单调性知有N M >，即后者可以推出前者，∴“N M >”是“N M 22log log >”成立的必要不充分条件故答案为：必要不充分条件【考点】充分条件与必要条件【难度】27.若n S 为等差数列}{n a 的前n 项和,,104,36139-=-=S S 则5a 与7a 的等比中项为_______. 【答案】24±【解析】解析：∵n S 为等差数列}{n a 的前n 项和,,104,36139-=-=S S 则由等比数列的性质可得57936,13104a a =-=-．解得 574,8a a =-=-，则5a 与7a的等比中项为??24±故答案为：24± 【考点】等比数列【难度】28.若正四棱锥的底面边长为,22cm 体积为,83cm 则它的侧面积为_______. 【答案】224【解析】∵正四棱锥的底面边长为,22cm 体积为,83cm ∴设四棱锥的高为h，∴(2183h ?，∴3h =，=则此四棱椎的侧面积142S =创故答案为：224【考点】空间几何体的表面积与体积【难度】29.在平面直角坐标系xoy 中，记不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-+≥-06207203y x y x y 表示的平面区域为.D 若对数函数)1(log >=a x y a 的图像与D 有公共点，则a 的取值范围是__________.【答案】【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：若a ＞1，当对数函数图象经过点A 时，满足条件，此时30270y x y ì-=ïí+-=ïî，解得23x y ì=ïí=ïî，即()2,3A ，此时log 23a =，解得a =∴当1a <?∴实数a 的取值范围是1a <?故答案为：【考点】线性规划【难度】 210.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且),()3(x f x f =+当)0,2(-∈x 时，,2)(x x f =则=++)2013()2014()2015(f f f _________.【答案】0【解析】∵),()3(x f x f =+∴f （x ）的周期T=3；∴=++)2013()2014()2015(f f f f （671×3+2）+f （671×3+1）+f （671×3+0） =f （2）+f （1）+f （0）=f （﹣1）+f （1），又∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴f （﹣1）+f （1）=0，故答案为：0【考点】函数综合【难度】 311.在边长为1的正ABC ∆中，向量,x =,y =0,0>>y x ，且,1=+y x 则⋅的最大值为________.【答案】38-【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则点1,02A 骣琪-琪桫，1,02B 骣琪琪桫，C 骣琪琪桫；设点()1,0D x ，()22,E x y ，∵,x =∴()11,01,02x x 骣琪-=-琪桫，∴112x x =-+；∵,y =∴221,,222x y y 骣骣琪琪-=--琪琪桫桫，∴212x y =-，2y y -；∴⋅=12212211,,22x x y x x y 骣骣骣琪琪琪-?=--琪琪琪桫桫桫=111222222x y y 骣骣琪琪琪-+?---琪琪琪桫桫桫 =()2111131222228x yxy x y 骣+琪++-Ｗ-=-琪桫，当且仅当12x y ==时取“=”；故答案为：38-．故答案为：38-【考点】平面向量坐标运算【难度】 312.若在给定直线t x y +=上任取一点,P 从点P 向圆8)2(22=-+y x 引一条切线，切点为.Q 若存在定点,M 恒有,PQ PM =则t 的范围是_______.【答案】),6[]2,(+∞⋃--∞∈t【解析】设),,(),,(t x x P n m M +若恒有,PQ PM = 则有,8)2()()(2222--++=-++-t x x n t x m x即有R x t nt n m x n m ∈∀=++-+--+,0)442()422(22恒成立，∴,0442042222⎩⎨⎧=++-+=-+t nt n m n m 消去,m 得.0)42()2(2=+++-t n t n ∴0)42(4)2(2≥+-+=∆t t ，∴),6[]2,(+∞⋃--∞∈t . 故答案为：),6[]2,(+∞⋃--∞∈t 【考点】直线与圆的位置关系【难度】313.已知数列}{n a ,}{n b 中，,1a a =}{n b 是公比为32的等比数列.记),(12*N n a a b n n n∈--=若不等式1+>n n a a 对一切*N n ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________.【答案】2a > 【解析】∵),(12*N n a a b n n n ∈--=∴.12--=n n n b b a ∴1212111-----=-+++n n n n n n b b b b a a ,0)1)(321(31)1)(1(1111111<---=---=---=+++n n nn n n n n n b b b b b b b b b解得23>n b 或.10<<n b若23>n b ，则23)32(11>-n b 对一切正整数n 成立，显然不可能；若,10<<n b 则1)32(011<<-n b 对一切正整数n 成立，只要101<<b 即可，即,112011<--<a a ，解得.21>=a a 故答案为：2a > 【考点】数列的递推公式【难度】314.已知0,,≠∈b R b a ，曲线 bx ax x y --=23 和直线 b ax y +=有交点Q ()n m ,()Z n m ∈,，则b a ,满足的等量关系式为______________. (不能含其它参量) 【答案】082=+-b a【解析】由题意可得：Q ()n m ,在曲线 bx ax x y --=23 和直线 b ax y +=上，所以32331n m am bm m n m nm n m n am b ⎧=--⇒=-⇒=⎨+=+⎩ ()32111111m n m m m m +-⇒==-+-++，∵m,n ∈Z ，∴m=0或-2，当m=0时，n=0代回原方程得b=0不成立；当m= -2时，n=8代回原方程得8=-2a+b,即082=+-b a 。

2015江苏高考一模数学试题及答案(淮安宿迁连云港徐州四市)

高三年级第一次模拟考试数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题(第1-14题)、解答题(第15题一第20题).本卷满分160分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名，准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔，注意字体工整，笔迹清楚.4.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一、填空题：本大题共1 4小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上，1．己知集合 {}{}0,1,2,3,2,3,4,5A B ==，则 AB 中元素的个数为_______．2．设复数z 满足 (4)32i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为_______．3．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为_______． 4．某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1入被录用的概率为 _______．5．如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2，则输出y 的值为_____．6. 已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为 ______.7. 已知 ()f x 是定义在R 上的奇函数，当 0x <时 2()log (2)f x x =-，则(0)(2)f f +的值为_____.8. 在等差数列{}n a 中，已知2811a a +=，则3113a a +的值为______.9. 若实数,x y 满足40x y +-≥，则226210z x y x y =++-+的最小值为_______.10. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点12,,,A B B F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 2AB 与直线 1B F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为______.11．将函数 2sin()(0)4y x πωω=->的图象分别向左、向右各平移 4π个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则 ω的最小值为______．12．己知a ，b 为正数，且直线 60ax by +-=与直线 2(3)50x b y +-+=互相平行，则2a+3b 的最小值为________.13．已知函数 22,0,()2,0x x f x x x x +⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则不等式 (())3f f x ≤的解集为______.14．在△ABC 中，己知 3,45AC A =∠=，点D 满足 2CD BD =，且 AD =BC 的长为_______ ．二、解答题：本大题共6小题．15～17每小题1 4分，18～20每小题1 6分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）己知向量 (1,2sin ),(sin(),1)3a b πθθ==+， R θ∈．(1)若 a b ⊥，求 tan θ的值：(2)若 //a b ，且 (0,)2πθ∈，求 θ的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P- ABC 中，已知平面PBC ⊥平面ABC ． (1)若AB ⊥ BC ，CD ⊥ PB ，求证：CP ⊥ PA ：(2)若过点A 作直线l 上平面ABC ，求证：l //平面PBC ．17.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，己知点 (3,4),(9,0)A B - ，C ， D 分别为线段OA ， OB 上的动点，且满足AC=BD.（1）若AC=4，求直线CD 的方程;（2）证明：∆ OCD 的外接圈恒过定点(异于原点O).18.(本小题满分16分)如图，有一个长方形地块ABCD ，边AB 为2km ， AD 为4 km.，地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC 是以直线AD 为对称轴，以A 为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC 上一点P 的直线型隔离带EF ，E ，F 分别在边AB ，BC 上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点P 到边AD 的距离为t(单位:km)，△BEF 的面积为S(单位: 2km ). (I)求S 关于t 的函数解析式，并指出该函数的定义域;(2)是否存在点P ，使隔离出的△BEF 面积S 超过3 2km ?并说明理由.19.(本小题满分16分)在数列 {}n a 中，已知 12211,2,n n n a a a a a n N λ*++==+=+∈，λ为常数. (1)证明: 14,5,a a a 成等差数列;(2)设 22n n a a n c +-=，求数列的前n 项和 n S ；（3）当0λ≠时，数列 {}1n a -中是否存在三项 1111,1,1s t p a a a +++---成等比数列，且,,s t p 也成等比数列?若存在，求出,,s t p 的值；若不存在，说明理由.20.(本小题满分16分)己知函数 21()ln ,2f x x ax x a R =-+∈(1)若 (1)0f =，求函数 ()f x 的单调递减区间;(2)若关于x 的不等式 ()1f x ax ≤-恒成立，求整数 a 的最小值:(3)若 2a =-，正实数 12,x x 满足 1212()()0f x f x x x ++=，证明: 1212x x +≥高三年级第一次模拟考试数学II(附加题部分)注意事项1.本试卷共2页，均为解答题(第21题~第23题，共4题).本卷满分为40分，考试时间为30分钟。

江苏省扬州中学2015届高三数学上学期10月质量检测新人教A版

江苏省扬州中学2014-2015学年第一学期质量检测高三数学一、填空题（共计14小题，每小题5分，共计70分）1．设全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{ 1,3,4}，则∁UA ＝ .2．写出命题:“若2x >，则1x >”的否命题: .3.复数(1)(2)i i ++的模等于 .4.设a R ∈，则“2a =-”是“直线1:210l ax y +-=与直线2:(1)40l x a y +++=平行”的条件.5. 已知向量a ，b 满足|a|＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R)，则|λ|＝________．6.曲线C ：cos ln 2y x x =++在2π=x 处的切线斜率为____ ____.7.8.圆心在曲线2(0)y x x =>上，且与直线210x y ++=相切的面积最小的圆的方程为 .9. 已知函数()f x =22,03,0x ax x bx x x ⎧+≥⎪⎨-<⎪⎩为奇函数，则不等式()4f x <的解集为 .10.实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为 .11．设a R ∈,若0x >时均有2[(1)1](1)0a x x ax ----≥，则a = .…………题………………12．设函数()xf x m π=，若存在f(x)的极值点x0满足x20＋[f(x0)]2＜m2，则m 的取值范围是 .13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x2＋y2－6x ＋5＝0，点A ，B 在圆C 上，且AB ＝23，则|OA →＋OB →|的最大值是 .14. 已知x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1，x2＋y2＋z2＝3，则xyz 的最大值是________．二、解答题（共计6小题，第15,16,17题每题14分，第18,19,20题每题16分，共计90分）15（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，()0f C =，若s i n 2s i n B A =，求a b ，的值．16．在直角坐标系xOy 中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x ，y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上． (1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R)，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 17. 已知二次函数2()23f x mx x =--，关于实数x 的不等式()0f x ≤的解集为(1,)n - （1）当0a >时，解关于x 的不等式：21(1)2ax n m x ax ++>++；（2）是否存在实数(0,1)a ∈，使得关于x 的函数1()3x x y f a a +=-（[1,2]x ∈）的最小值为5-？若存在，求实数a 的值；若不存在，说明理由。

2015-2016学年江苏省扬州中学高三(上)开学数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年江苏省扬州中学高三（上）开学数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{x|＞0}，则A∩B＝．2．（5分）已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，则¬p为．3．（5分）若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a＝．4．（5分）记不等式x2+x﹣6＜0的解集为集合A，函数y＝lg（x﹣a）的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为．5．（5分）袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为．6．（5分）曲线y＝x﹣cos x在点（，）处的切线方程为．7．（5分）已知（+）n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n＝．8．（5分）若函数f（x）＝是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为．9．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α＝．10．（5分）若函数f（x）＝2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于．11．（5分）已知知函数f（x）＝，x∈R，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是．12．（5分）已知函数f（x）＝若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是．13．（5分）已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣1，函数g（x）＝x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）＝f（x1），则实数m的取值范围是．14．（5分）已知函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+＝0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知，求值：（1）tanα；（2）．16．（14分）已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1＝0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x2+4（m﹣2）x+1＝0无实根．（1）命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题q为真命题时，m的取值集合为N．当M∪N＝M时，求实数m的取值范围．17．（14分）设f（x）＝sin x cos x﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．18．（16分）如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP＝10，MP＝6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设∠POF＝θ（rad），将S表示成θ的函数；（ii）设MN＝x（m），将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？19．（16分）已知函数f（x）＝+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）＝•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．20．（16分）设函数f（x）＝lnx，g（x）＝（m＞0）．（1）当m＝1时，函数y＝f（x）与y＝g（x）在x＝1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y＝f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．【选修4-4：坐标系与参数方程】21．（10分）在平面直角坐标xOy中，已知曲线C的参数方程为（t为参数），曲线与直线l：y＝x相交于A，B两点，求线段AB的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）在极坐标系中，求圆ρ＝2cosθ的圆心到直线2ρsin（θ+）＝1的距离．23．（10分）一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C，D，E五种商品有购买意向．已知该网民购买A，B两种商品的概率均为，购买C，D 两种商品的概率均为，购买E种商品的概率为．假设该网民是否购买这五种商品相互独立．（1）求该网民至少购买4种商品的概率；（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．24．（10分）设P n＝（1﹣x）2n﹣1，Q n＝1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2，x∈R，n∈N*（1）当n≤2时，试指出P n与Q n的大小关系；（2）当n≥3时，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论．2015-2016学年江苏省扬州中学高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．【解答】解：∵集合A＝{x||x|＜2}＝（﹣2，2）B＝{x|＞0}＝（﹣1，+∞）∴A∩B＝（﹣1，2）＝{x|﹣1＜x＜2}故答案为：{x|﹣1＜x＜2}2．【解答】解：已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，因为否命题是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定．则¬p为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．即答案为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．3．【解答】解：复数＝＝﹣ai+1，∵Z的实部与虚部相等，∴﹣a＝1，解得a＝﹣1．故答案为：﹣1．4．【解答】解：由x2+x﹣6＜0得﹣3＜x＜2，即A（﹣3，2），由x﹣a＞0，得x＞a，即B＝（a，+∞），若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，即a≤﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3]5．【解答】解：从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，故从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率P＝＝；故答案为：．6．【解答】解：y＝x﹣cos x的导数为y′＝1+sin x，即有在点（，）处的切线斜率为k＝1+sin＝2，则曲线在点（，）处的切线方程为y﹣＝2（x﹣），即为2x﹣y﹣＝0．故答案为：2x﹣y﹣＝0．7．【解答】解：展开式中前三项的系数分别为1，，，由题意得2×＝1+，∴n＝8或1（舍）．故答案为：8．8．【解答】解：f（x）为奇函数；∴f（﹣x）＝﹣f（x）；即；∴1﹣a•2x＝a﹣2x；∴a＝1；∴；①x＞0时，x增大时，2x﹣1增大，从而f（x）减小；∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；∴由f（x）＞3得，f（x）＞f（1）；解得0＜x＜1；②x＜0时，2x﹣1＜0，∴f（x）＜1；∴不满足f（x）＞3；综上所述，使f（x）＞3的x的取值范围为（0，1）．故答案为：（0，1）．9．【解答】解：∵，两边平方得：1+sin2α＝，∴sin2α＝﹣，①∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣sin2α＝，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα＝，②∴cos2α＝﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）＝（﹣）×＝．故答案为：．10．【解答】解：因为f（1+x）＝f（1﹣x），所以，f（x）的图象关于直线x＝1轴对称，而f（x）＝2|x﹣a|，所以f（x）的图象关于直线x＝a轴对称，因此，a＝1，f（x）＝2|x﹣1|，且该函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，又因为函数f（x）在[m，+∞）上单调递增，所以，m≥1，即实数m的最小值为1．故答案为：1．11．【解答】解：当x≥0时，f（x）＝＝1，当x＜0时，f（x）＝＝﹣1﹣，作出f（x）的图象，可得f（x）在（﹣∞，0）上递增，不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）即为或，即有或，解得≤x＜2或1＜x＜，即有1＜x＜2．则解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．12．【解答】解：当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，则此时a≤0．当x≤0时，根据﹣x2+2x的取值为（﹣∞，0]，|f（x）|＝x2﹣2x≥ax，x＝0时左边＝右边，a取任意值．x＜0时，有a≥x﹣2，即a≥﹣2．综上可得，a的取值为[﹣2，0]，故答案为[﹣2，0]．13．【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，∴f（0）＝0，当x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣1∈（0，3]，则当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣3，3]，若对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）＝f（x1），则等价为g（x）max≥3且g（x）min≤﹣3，∵g（x）＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2+m﹣1，x∈[﹣2，2]，∴g（x）max＝g（﹣2）＝8+m，g（x）min＝g（1）＝m﹣1，则满足8+m≥3且m﹣1≤﹣3，解得m≥﹣5且m≤﹣2，故﹣5≤m≤﹣2，故答案为：[﹣5，﹣2]14．【解答】解：当0≤x≤2时，y＝﹣x2递减，当x＞2时，y＝﹣（）x﹣递增，由于函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，则f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递减，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递增，当x＝0时，函数取得极大值0；当x＝±2时，取得极小值﹣1．当0≤x≤2时，y＝﹣x2∈[﹣1，0]．当x＞2时，y＝﹣（）x﹣∈[﹣1，﹣）要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+＝0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，设t＝f（x），则t2+at+＝0的两根均在（﹣1，﹣）．则有，即为，解得＜a＜．即有实数a的取值范围是（，）．故答案为：（，）．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．【解答】解：（1）由题意，可得，解得tanα＝﹣（2）＝＝由（1）tanα＝﹣，∴＝＝﹣16．【解答】解：（1）若方程x2+mx+1＝0有两不等的负根，则，解得：m＞2，即命题p：m＞2，若方程4x2+4（m﹣2）x+1＝0无实根，则△＝16（m﹣2）2﹣16＝16（m2﹣4m+3）＜0解得：1＜m＜3．即命题q：1＜m＜3．由题意知，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真．∴或，解得：m≥3或1＜m≤2．（2）∵M∪N＝M，∴N⊆M，∵M＝（m﹣5，m），N＝（1，3），∴，解得：3≤m≤6．17．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）＝sin2x﹣＝sin2x﹣＝sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）＝sin A﹣＝0，可得sin A＝，由题意知A为锐角，所以cos A＝，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：1+bc＝b2+c2≥2bc，即bc，且当b＝c时等号成立．因此S＝bc sin A≤，所以△ABC面积的最大值为．18．【解答】解：（1）由题意知，OF＝OP＝10，MP＝6.5，故OM＝3.5．（i）在Rt△ONF中，NF＝OF sinθ＝10sinθ，ON＝OF cosθ＝10cosθ．在矩形EFGH中，EF＝2MF＝20sinθ，FG＝ON﹣OM＝10cosθ﹣3.5，故S＝EF×FG＝20sinθ（10cosθ﹣3.5）＝10sinθ（20cosθ﹣7）．即所求函数关系是S＝10sinθ（20cosθ﹣7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0＝．（ii）因为MN＝x，OM＝3.5，所以ON＝x+3.5．在Rt△ONF中，NF＝＝＝．在矩形EFGH中，EF＝2NF＝，FG＝MN＝x，故S＝EF×FG＝x．即所求函数关系是S＝x，（0＜x＜6.5）．（2）方法一：选择（i）中的函数模型：令f（θ）＝sinθ（20cosθ﹣7），则f′（θ）＝cosθ（20cosθ﹣7）+sinθ（﹣20sinθ）＝40cos2θ﹣7cosθ﹣20．由f′（θ）＝40cos2θ﹣7cosθ﹣20＝0，解得cosθ＝，或cosθ＝﹣．因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ＝．设cosα＝，且α为锐角，则当θ∈（0，α）时，f′（θ）＞0，f（θ）是增函数；当θ∈（α，θ0）时，f′（θ）＜0，f（θ）是减函数，所以当θ＝α，即cosθ＝时，f（θ）取到最大值，此时S有最大值．即MN＝10cosθ﹣3.5＝4.5m时，通风窗的面积最大．方法二：选择（ii）中的函数模型：因为S＝，令f（x）＝x2（351﹣28x﹣4x2），则f′（x）＝﹣2x（2x﹣9）（4x+39），因为当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x＝时，f（x）取到最大值，此时S有最大值．即MN＝x＝4.5m时，通风窗的面积最大．19．【解答】解：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，所以函数的定义域为[﹣1，1]，又[f（x）]2＝2+2∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[，2]，所以函数值域为[，2]；（2）因为F（x）＝＝a++，令t＝f（x）＝+，则＝﹣1，∴F（x）＝m（t）＝a（﹣1）+t＝，t∈[，2]，由题意知g（a）即为函数m（t）＝，t∈[，2]的最大值．注意到直线t＝﹣是抛物线m（t）＝的对称轴．因为a＜0时，函数y＝m（t），t∈[，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，①若t＝﹣∈（0，]，即a≤﹣，则g（a）＝m（）＝；②若t＝﹣∈（，2]，即﹣＜a≤﹣，则g（a）＝m（﹣）＝﹣a﹣；③若t＝﹣∈（2，+∞），即﹣＜a＜0，则g（a）＝m（2）＝a+2，综上有g（a）＝，（3）易得，由﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）＝恒成立，⇒m2﹣2tm≥0，令h（t）＝﹣2mt+m2，对所有的t∈[﹣1，1]，h（t）≥0成立，只需，解得m的取值范围是m≤﹣2或m＝0，或m≥2．20．【解答】解：（1）当m＝1时，，∴y＝g（x）在x＝1处的切线斜率，由，∴y＝f（x）在x＝1处的切线斜率k＝1，∴，∴n＝5．（2）易知函数y＝f（x）﹣g（x）的定义域为（0，+∞），又，由题意，得的最小值为负，∴m（1﹣n）＞4，由m＞0，1﹣n＞0，∴，∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4，∴m﹣n＞3或m﹣n＜﹣5，（舍去，理由由m＞0，1﹣n＞0）；（3）解法一、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）＝，其中x＞0，a＞0，则θ'（x）＝，设，∴δ（x）在（0，+∞）单调递减，δ（x）＝0在区间（0，+∞）必存在实根，不妨设δ（x0）＝0，即，可得（*）θ（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以θ（x）max＝θ（x0），θ（x0）＝（ax0﹣1）•ln2a﹣（ax0﹣1）•lnx0，代入（*）式得，根据题意恒成立．又根据基本不等式，，当且仅当时，等式成立即有，即ax0＝1，即．代入（*）式得，，即，解得．解法二、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）＝ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a＝（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0根据条件对任意正数x恒成立，即（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，∴且，解得且，即时上述条件成立，此时．解法三、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）＝ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a＝（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0要使得（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，等价于（ax﹣1）（2a﹣x）≤0对任意正数x恒成立，即对任意正数x恒成立，设函数，则φ（x）的函数图象为开口向上，与x正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与x轴有一个交点，即，所以．【选修4-4：坐标系与参数方程】21．【解答】解：∵，∴x＝（4y）2，即x＝8y2，∴方程组，解得或，所以，故AB＝＝．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．【解答】解：将圆ρ＝2cosθ化为ρ2＝2ρcosθ，普通方程为x2+y2﹣2x＝0，圆心为（1，0），又，即，∴直线的普通方程为，故所求的圆心到直线的距离．23．【解答】解：（1）记“该网民购买i种商品”为事件A i，i＝4，5，则：，，…（2分）所以该网民至少购买4种商品的概率为．答：该网民至少购买4种商品的概率为．…（3分）（2）随机变量η的可能取值为0，1，2，3，4，5，，，＝，＝，，．…（8分）所以：随机变量η的概率分布为：故．…（10分）24．【解答】解：（1）当n ＝1时，P n ＝1﹣x ，Q n ＝1﹣x ，则P n ＝Q n ；当n ＝2，x ＝0时，P n ＝1，Q n ＝1，则P n ＝Q n ；当n ＝2，x ＞0时，P n ＝（1﹣x ）3＝1﹣3x +3x 2﹣x 3，Q n ＝1﹣3x +3x 2，则P n ﹣Q n ＝﹣x 3＜0，所以P n ＜Q n ；当n ＝2，x ＜0时，P n ﹣Q n ＝﹣x 3＞0，所以P n ＞Q n ；（2）当n ≥3时，①当x ＝0时，P n ＝Q n ；②当x ≠0时，令F （x ）＝1﹣（2n ﹣1）x +（n ﹣1）（2n ﹣1）x 2，则F ′（x ）＝﹣（2n ﹣1）（1﹣x ）2n ﹣2+（2n ﹣1）﹣2（n ﹣1）（2n ﹣1）x ，F ″（x ）＝（2n ﹣1）（2n ﹣2）（1﹣x ）2n ﹣3﹣2（n ﹣1）（2n ﹣1）＝（2n ﹣1）（2n ﹣2）（1﹣x ）2n ﹣3﹣1．当x ＞0时，F ″（x ）＜0．F ″（x ）单调递减；当x ＜0时，F ″（x ）＞0．F ″（x ）单调递增； ∴F ′（x ）＜F ′（0）＝0， ∴F （x ）单调递减；当x ＞0时，F （x ）＜F （0）＝0，当x ＜0时，F （x ）＞F （0）＝0， ∴当x ＞0时，P n ＜Q n ．当x＜0时，P n＞Q n．。

2015届江苏省扬州市高三上学期期末理科数学试卷(带解析)

绝密★启用前2015届江苏省扬州市高三上学期期末理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：171分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）第II卷（非选择题）一、填空题（题型注释）1、设数列{}的前n项和为Sn，且，若对任意，都有，则实数p的取值范围是2、设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是3、已知是单位圆上任一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交单位圆于点,已知若的最大值为3，则4、设函数，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是5、已知双曲线C：的一条渐近线与直线l：＝0垂直，且C的一个焦点到l的距离为2，则C的标准方程为6、已知，则＝7、实数x，y满足，则的最小值为8、已知样本6，7，8，9，m的平均数是8，则标准差是9、如图是一个算法流程图，输出的结果为10、在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为11、命题P ：“”，命题P 的否定：12、已知i 是虚数单位，则的实部为13、集合A ＝{－1,0，2}，B ＝{x ｜｜x ｜＜1}，则AB ＝14、已知A （0,1），曲线C ：y ＝log a x 恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且的最小值为2，则a ＝二、解答题（题型注释）15、对于给定的大于1的正整数n ，设，其中，且记满足条件的所有x 的和为，（1）求（2）设，求16、射击测试有两种方案，方案1：先在甲靶射击一次，以后都在乙靶射击；方案2：始终在乙靶射击，某射手命中甲靶的概率为，命中一次得3分；命中乙靶的概率为，命中一次得2分，若没有命中则得0分，用随机变量表示该射手一次测试累计得分，如果的值不低于3分就认为通过测试，立即停止射击；否则继续射击，但一次测试最多打靶3次，每次射击的结果相互独立。

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二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、．．．．．．．

（Ⅰ）若 f (B)＝2，求角 B；（Ⅱ）若 f (B)－m＜2 恒成立，求实数 m 的取值范围．
16. 正方形 ABCD 所在的平面与三角形 CDE 所在的平面交于 CD，且 AE⊥平面 CDE．（1）求证：AB∥平面 CDE；（2）求证：平面 ABCD⊥平面 ADE．
a
3
3
3
3
mx 20. 已知函数 f (x)＝ 2 (m,n∈R)在 x＝1 处取到极值 2． x ＋n （1）求 f (x)的解析式； 1 1 （2）设函数 g(x)＝ax－lnx，若对任意的 x1∈[2, 2]，总存在唯一的．．．x2∈[e2, e](e 为自然对数的底)，使得 g(x2)＝f (x1)，求实数 a 的取值范围．
B A
C
E D
17. 如图，某兴趣小组测得菱形养殖区 ABCD 的固定投食点 A 到两条平行河岸线 l1、l2 的距离分别为 4 米、8 米，河岸线 l1 与该养殖区的最近点 D 的距离为 1 米，l2 与该养殖区的最近点 B 的距离为 2 米．（1）如图甲，养殖区在投食点 A 的右侧，若该小组测得∠BAD＝60º，请据此算出养殖区的面积 S，并求出直线 AD 与直线 l1 所成角的正切值；（2）如图乙，养殖区在投食点 A 的两侧，试求养殖区面积 S 的最小值，并求出取得最小值时∠BAD 的余弦值．
高三数学试卷
2015.1 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分． 1. 2. x＋3 设集合 M＝{x| ＜0}，N＝{x|(x－1)(x－3)＜0}，则集合 M∩N＝________． x－2 复数 z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|＜|z2|，则实数 a 的取值范围是_______． 3. 某公司生产三种型号 A、B、C 的轿车，月产量分别为 1200、6000、2000 辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，则型号 A 的轿车应抽取________辆． 4. 有红心 1、2、3 和黑桃 4、5 共 5 张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是__________． 5. 右图是一个算法的流程图，则输出 S 的值是________． 6. 设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列 {an}是递增数列”的_________条件． 7. 取正方体的六个表面的中心，这六个点所构成的几何体的体积记为 V1，该正方体的体积为 V2，则 V1∶V2＝________. 8. 如图，在△ABC 中，∠BAC＝120º，AB＝AC＝2， →→ → → D 为 BC 边上的点，且 AD ·BC ＝0， CE ＝2 EB ， →→ 则 AD ·AE ＝_______. 9.
命题、校对：王喜、蒋红慧
„„„„„„密„„„„„封„„„„„线„„„„„内„„„„„不„„„„„要„„„„„答„„„„„题„„„„„„
附加题
1. 已知矩阵 M＝
2 0 1 a c 2 ，N＝，且 MN＝， b 1 0 d －2 0
l1
D A
C
l1
D A
C
l2
B
l2
B
（图甲）
（图乙）
x2 y2 1 18. 已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)经过点(0, 3)，离心率为2，经过椭圆 C 的右焦点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点，点 A、F、B 在直线 x＝4 上的射影依次为 D、K、E．（1）求椭圆 C 的方程； → → → → （2）若直线 l 交 y 轴于点 M，且 MA ＝λ AF ， MB ＝μ BF ，当直线 l 的倾斜角变化时，探究 λ＋μ 是否为定值？若是，求出 λ＋μ 的值；若不是，说明理由；（3）连接 AE、BD，试探索当直线 l 的倾斜角变化时，直线 AE 与 BD 是否相交于一定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
13. 若实数 a,b,c 成等差数列，点 P(－1,0)在动直线 ax＋by＋c＝0 上的射影为 M，点 N(3,3)，则线段 MN 长度的最大值是__________． 14. 定义：若函数 f (x)为定义域 D 上的单调函数，且存在区间(m,n)⊆D(m＜n)，使得当 x∈(m,n) 时，f (x)的取值范围恰为(m,n)，则称函数 f (x)是 D 上的“正函数” ．已知函数 f (x)＝ax (a ＞1)为 R 上的“正函数” ，则实数 a 的取值范围是证明过程或演算步骤． π B 15. 在△ABC 中，A、B、C 为三个内角，f (B)＝4sinB· cos24－2＋cos2B．．
y F x
(0＜x≤10) lgx 1 11. 已知函数 f (x)＝，若 a,b,c 互不相等，且 f (a)＝f (b)＝f (c)， |6－2x| (x＞10)

则 a＋b＋c 的取值范围为
．
π 12. 若函数 f (x)＝sin(ωπx－4)（ω＞0）在区间(－1,0)上有且仅有一条平行于 y 轴的对称轴，则 ω 的最大值是___________．
B E D
C
开始 S←1 n←1
S←S＋2n S≥33 Y 输出S 结束
n← y＝－x＋b 都不是曲线 y＝x3－3ax 的切线，则实数 a 的取值范围是 ________．
x2 y2 10. 如图，已知抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点恰好是椭圆a2＋b2＝1 (a＞b＞0)的右焦点 F，且两条曲线的交点连线也过焦点 F，则该椭圆的离心率为． O
y
A
O
F
M B
D K x E
19. 设数列{an}的各项都是正数，且对任意 n∈N*，都有a1＋a2＋a3＋· · · ＋an＝(a1＋a2＋a3＋· · · ＋ an)2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若 bn＝3n＋(－1)n−1· λ· 2 n (λ 为非零常数，n∈N*)，问是否存在整数 λ，使得对任意 n ∈N*，都有 bn＋1＞bn．