【备战2014】高考数学 高频考点归类分析 周期(循环)数列(扩展)的运用(真题为例)

周期（循环）数列（扩展）的运用
对于数列{An}，如果存在一个常数T,对于任意整数n>N ，使得对任意的正整数恒有Ai=A(i+T)成立，则称数列{An}是从第n 项起的周期为T 的周期数列。

典型例题：
例1. （2012年全国课标卷文5分）数列{}n a 满足n n 1n a (1)a 2n 1+＋－
＝－，则{}n a 的前60项和为【 】
（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830 【答案】D 。

【考点】分类归纳（数字的变化类），数列。

【解析】求出{}n a 的通项：由n n 1n a (1)a 2n 1+＋－
＝－得， 当n=1时，21a 1a =+；当n =2时，321a 3a =2a =--；当n =3时，
431a 5a =7a
=+-； 当n=4时，541
a 7a =a =-；当n =5时，651a 9a =9a =++；当n =6时，761a 11a =2
a =--； 当n=7时，761a 13a =15a =+-；当n=8时，871a 15a =a =-；······ 当n=4m+1时，4m 21a 8m 1a +=++；当n=4m+2时，4m 21a 2a +=-；当n=4m+3时，
4m 41a 8m 7a +=+-；
当n=4m+4时，4m 51a a +=（m=0,1,2⋅⋅⋅⋅⋅⋅，）。

∵4m 4m 51a a a +==， ∴
n {a }
的四项之和为
()()()4m 14m 24m 34m 41111a a a a =a 8m 1a 2a 8m 7a =16m 10
+++++++++++-++-+（m=0,1,2⋅⋅⋅⋅⋅⋅，）。

设m 4m 14m 24m 34m 4b a a a a =16m 10++++=++++（m=0,1,2⋅⋅⋅⋅⋅⋅，）。

则n {a }的前60项和等于m {b }的前15项和，而m {b }是首项为10，公差为16的
等差数列，
∴n {a }的前60项和=m {b }的前15项和=
()
101614101518302
+⨯+⨯=。

故选D 。

例
2. （2012
年湖南省文
5
分）
对于n N
*
∈，将n 表示为
1101102222k k k k n a a a a --=⨯+⨯++⨯+⨯ ,当i k =时1i a =，当01i k ≤≤-时i a 为0
或1，定义n b 如下：在n 的上述表示中，当01,a a ，a 2，…，a k 中等于1的个数为奇数时，
b n =1；否则b n =0.[中国教#*育&出版^网@]
（1）b 2+b 4+b 6+b 8= ▲ .；
（2）记c m 为数列{b n }中第m 个为0的项与第m +1个为0的项之间的项数，则c m 的最大值是 ▲ ..
【答案】（1）3；（2）2。

【考点】数列问题。

【解析】（1）观察知0
00112,1,1a a b =⨯==；1
10221202,1,0,1a a b =⨯+⨯===；
依次类推1
331212,0b =⨯+⨯=；2
1
44120202,1b =⨯+⨯+⨯=；
21055120212,0b =⨯+⨯+⨯=；2106121202=⨯+⨯+⨯，60b =；
781,1b b ==；
∴b 2+b 4+b 6+b 8=３。

（2）由（1）知c m 的最大值为２。

例3. （2012年上海市文18分）对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =（1,2,...,k m =），即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5
（1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a （4分） （2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1,2,...,k m =），求证：
k k b a =（1,2,...,k m =）（6分）
（3）设100m =，常数1,12a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，若()+122
(1)
n n n a an n =--，{}n b 是{}n a 的控制数列，
求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +-（8分）
【答案】解：（1）数列}{n a 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5。

（2）证明：∵},,,max {21k k a a a b =，},,,,max {1211++=k k k a a a a b ，∴k k b b ≥+1。

∵C b a k m k =++-1，C b a k m k =+-+1，∴011≥-=--+-+k m k m k k b b a a ，
即k k a a ≥+1。

∴k k a b =。

（
3
）
对
25
,,2,1 =k ，
)
34()34(234-+-=-k k a a k ；
)24()24(224-+-=-k k a a k ；
)14()14(2
14---=-k k a a k ；)4()4(2
4k k a a k -=。

比较大小，可得3424-->k k a a 。

∵
1
12
a <<， ∴0)38)(1(2414<--=---k a a a k k ，即1424-->k k a a ；
0)14)(12(2244>--=--k a a a k k ，即244->k k a a 。

又∵k k a a 414>+，∴3434--=k k a b ，2424--=k k a b ，2414--=k k a b ，
k k a b 44=。

∴)()()(1001002211a b a b a b -++-+-
=)()()()()(9999141410107733a b a b a b a b a b k k -++-++-+-+---
=)()()()()(999814241097632a a a a a a a a a a k k -++-++-+-+---
=
∑=---25
1
142
4)(k k k a a
=∑=--25
1
)38()1(k k a =)1(2525a -。

【考点】数列的应用。

【解析】（1）根据题意，可得数列{}n a 。

（2）依题意可得k k b b ≥+1，又C b a k m k =++-1，C b a k m k =+-+1，从而可得
011≥-=--+-+k m k m k k b b a a ，整理即证得结论。

（3）根据()
+12
2
(1)
n n n a an n =--，可发现，)34()34(234-+-=-k k a a k ；
)24()24(224-+-=-k k a a k ；
)14()14(214---=-k k a a k ；)4()4(24k k a a k -=。

通过比较大小，可得1424-->k k a a ，
244->k k a a ，而414
2(1)(83)k k a a a k ---=--，从而可求得)()()(1001002211a b a b a b -++-+- 的值。