【备战2019】(陕西版)高考数学分项汇编 专题16 选修部分 理科含解析
专题01 集合-备战2019高考高中理数6年高考真题分项版精解精析(原卷版)
【2019年高考真题】1. 【2019高考北京版理第1题】已知集合2{|20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则A B =（ ）A.{0} B ．{0,1} C ．{0,2} D ．{0,1,2}2. 【2019高考广东卷理第1题】已知集合{}1,0,1M =-，{}0,1,2N =，则M N =（ ）A.{}1,0,1-B.{}1,0,1,2-C.{}1,0,2-D.{}0,13. 【2019高考江苏卷第1题】已知集合{}2,1,3,4A =--，{}1,2,3B =-，则A B ⋂=4. 【2019辽宁高考理第1题】已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C A B =（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x <<5. 【2019全国1高考理第1题】已知集合{}{}22|,032|2<≤-=≥--=x x B x x x A ，则=B A （ ）A ．]1,2[--B ． )2,1[- C.．]1,1[- D ．)2,1[6. 【2019山东高考理第2题】设集合{}{}]2,0[,2|,2|1||∈==<-=x y y B x x A x，则=B A （ ）A. ]2,0[B. )3,1(C. )3,1[D. )4,1(7. 【2019四川高考理第1题】已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂=（ ）A ．{1,0,1,2}-B ．{2,1,0,1}--C ．{0,1}D ．{1,0}-8. 【2019浙江高考理第1题】设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ）A. ∅B. }2{C. }5{D. }5,2{ 9. 【2019重庆高考理第11题】 设全集{|110},{1,2,3,5,8},{1,3,5,7,9},()U U n N n A B A B =∈≤≤===则ð______.10. 【2019陕西高考理第1题】已知集合2{|0,},{|1,}M x x x R N x x x R =≥∈=<∈，则MN =（ ）.[0,1]A .[0,1)B .(0,1]C .(0,1)D 11. 【2019大纲高考理第2题】设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则MN = （ ）A ．(0,4] B ．[0,4) C ．[1,0)- D ．(1,0]-【2013年高考真题】（2013·新课标I 理）1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝， 则 ()A 、A∩B=∅B 、A B=RC 、B ⊆AD 、A ⊆B（2013·新课标Ⅱ理）（1）已知集合M=｛x|(x-1)2< 4,x ∈R ｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M ∩N=（ ）（A ）｛0，1，2｝ （B ）｛-1，0，1，2｝ （C ）{-1，0，2，3} （D ）{0，1，2，3}（2013·浙江理）2.设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ，则()R C S T =（ ）]1,2(- B. ]4,(--∞ C. ]1,(-∞ D.),1[+∞（2013·天津理）1. 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=（ ）(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2](D) [－2,1]（2013·山东理）2.设集合{}0,1,2A =,则集合{},B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是A.1B. 3C. 5D. 9（2013·辽宁理）（2）已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， （2013·广东理）8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈（2013·大纲理）1.设集合={1,2,3}A ，B={45}，，={x|x=a+b,a A,b B}M ∈∈，则M 中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6（2013·北京理）1.已知集合A={－1，0，1}，B={x |－1≤x ＜1}，则A∩B= ( ) A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1}（2013·广东理）1．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-1.【2012高考真题浙江理1】设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B ={x|2x -2x-3≤0}, 则A ∩（C R B ）=（ ）A .(1,4)B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪（3,4）2.【2012高考真题新课标理1】已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8()D 103.【2012高考真题陕西理1】集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则MN =（ ） A. (1,2) B. [1,2) C. (1,2] D. [1,2]4.【2012高考真题山东理2】已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，则U C AB 为（A ）{}1,2,4 （B ）{}2,3,4 （C ）{}0,2,4 （D ）{}0,2,3,45.【2012高考真题辽宁理1】已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则)()(B C A C U U 为(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}6.【2012高考真题江西理1】若集合A=｛-1，1｝，B=｛0，2｝，则集合｛z ︱z=x+y,x ∈A,y ∈B ｝中的元素的个数为A ．5 B.4 C.3 D.27.【2012高考真题湖南理1】设集合M={-1,0,1}，N={x|x 2≤x}，则M ∩N= A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0}8【2012高考真题广东理2】设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 }，则CuM= A ．U B ． {1,3,5} C ．{3,5,6} D ． {2,4,6}9.【2012高考真题北京理1】已知集合A={x ∈R|3x +2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B=A （-∞，-1）B （-1，-23） C （-23,3）D (3,+∞)10.【2012高考真题全国卷理2】已知集合A ＝，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m=A 0或3 C 1或311.【2012高考真题四川理13】设全集{,,,}U a b c d =，集合{,}A a b =，{,,}B b c d =，则B C A C U U ___________。
2019年(陕西版)高考数学分项汇编 专题13 推理与证明、新定义(含解析)文
专题13 推理与证明、新定义一．基础题组1. 【2010高考陕西版文第11题】观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝（1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式．．．．．为 . 【答案】13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.考点：推理与证明，容易题.2. 【2012高考陕西版文第12题】观察下列不等式213122+<, 231151233++<， 222111512343+++<， ……照此规律，第．五个．．不等式为____________________． 【答案】6116151413121122222<+++++考点：推理与证明，容易题.3. 【2015高考陕西，文16】观察下列等式：1－1122= 1－1111123434+-=+ 1－1111111123456456+-+-=++据此规律，第n 个等式可为______________________. 【答案】111111111234212122n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++【考点定位】归纳推理.二．能力题组1. 【2006高考陕西版文第12题】为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为:明文a ，b ，c ，d 对应密文a +2b ，2b +c ，2c +3d ，4d ，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为( )A ．4，6，1，7B ．7，6，1，4C ．6，4，1，7D ．1，6，4，7【答案】C考点：推理与证明.2. 【2008高考陕西版文第12题】为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为012i a a a a ，{01}∈，（012i =，，），传输信息为00121h a a a h ，其中001102h a a h h a =⊕=⊕，，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ）A ．11010B ．01100C ．10111D ．00011考点：推理与证明.3. 【2011高考陕西版文第10题】植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳．．．．坑位的编号为（）（A）①和（B）⑨和⑩ (C) ⑨和 (D) ⑩和【答案】D考点：推理与证明，容易题.4. 【2011高考陕西版文第13题】观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第五个等式应为__________________.【答案】567891011121381++++++++=（或561381+++=）考点：推理与证明.5. 【2013高考陕西版文第13题】观察下列等式(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5……照此规律，第n 个等式可为____________________________________________________．【答案】(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)考点：推理与证明.。
2019高考数学(理)试题精校精析(陕西卷)(纯word书稿)
2019高考数学（理）试题精校精析（陕西卷）（纯word 书稿）1、[2018·陕西卷] 集合M ＝{x |lg x >0}，N ＝{x |x 2≤4}，那么M ∩N ＝( ) A 、(1,2) B 、[1,2) C 、(1,2] D 、[1,2]1、C [解析] 本小题主要考查集合的概念及基本运算以及对数函数的性质一元二次不等式的解法、解题的突破口为解对数不等式以及一元二次不等式、对于lg x >0可解得x >1；对于x 2≤4可解得－2≤x ≤2，根据集合的运算可得1<x ≤2，应选C.2、[2018·陕西卷] 以下函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A 、y ＝x ＋1 B 、y ＝－x 3C 、y ＝1x D 、y ＝x |x | 2、D [解析] 本小题主要考查函数的单调性奇偶性，解题的突破口为单调性的定义奇偶性的定义与函数图像的对应关系、假设函数为单调增函数，其图像为从左向右依次上升；假设函数为奇函数，其图像关于原点对称、经分析，A 选项函数的图像不关于原点对称，不是奇函数，排除；B 选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；C 选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；应选D.其实对于选项D ，我们也可利用x >0x ＝0x <0分类、3、[2018·陕西卷] 设a ，b ∈，i 是虚数单位，那么“ab ＝0”是“复数a＋bi 为纯虚数”的( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件3、B [解析] 本小题主要考查充要条件的概念以及复数的相关知识，解题的突破口为弄清什么是纯虚数，然后根据充要条件的定义去判断、a ＋bi ＝a －b i ，假设a ＋bi 为纯虚数，a ＝0且b ≠0，所以ab ＝0不一定有a ＋bi 为纯虚数，但a ＋bi 为纯虚数，一定有ab ＝0，故“ab ＝0”是复数a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件，应选B.4、[2018·陕西卷] 圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，那么( ) A 、l 与C 相交 B 、l 与C 相切 C 、l 与C 相离D 、以上三个选项均有可能4、A [解析] 本小题主要考查直线与圆的位置关系，解题的突破口为熟练掌握判断直线与圆位置关系的方法、x 2＋y 2－4x ＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P (3,0)到圆心的距离为d ＝3－22＋0－02＝1<2，点P (3,0)恒在圆内，过点P (3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交、应选A.5、[2018·陕西卷] 如图1－1，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，那么直线BC 1与直线AB 夹角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.355、A [解析] 本小题主要考查空间向量解决立体几何问题的相关知识，解题的突破口是写出直线BC 1AB 1的方向向量、设CB ＝1，那么CA ＝CC 1＝2，故B (0,0,1),C 1(0,2,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,1)，那么直线BC 1的方向向量为BC1→＝(0,2，－1)，AB 1 的方向向量为AB 1→＝(－2,2,1)，那么夹角的余弦值为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC 1→·AB 1→|BC 1→||AB 1→|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪335＝55，应选A.6、[2018·陕西卷] 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图1－2所示)，设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，那么( )A.x 甲＜x 乙，m 甲＞m 乙B.x 甲<x 乙，m 甲<m 乙C.x 甲>x 乙，m 甲>m 乙D.x 甲>x 乙，m 甲<m 乙6、B [解析] 本小题主要考查平均数中位数以及茎叶图的相关知识，解题的突破口为从茎叶图把数据整理出来，甲的数据为：5,6,8,10,10,14,18,18,22,25,27,30,30,38,41,43；乙的数据为：10,12,18,20,22,23,23,27,31,32,34,34,38,42,43,48.计算x 甲＝5＋6＋8＋10＋10＋14＋18＋18＋22＋25＋27＋30＋30＋38＋41＋4316＝34516， x 乙＝10＋12＋18＋20＋22＋23＋23＋27＋31＋32＋34＋34＋38＋42＋43＋4816＝45716，显然x 甲<x 乙，又m 甲＝18＋222＝20，m 乙＝27＋312＝29，m 甲<m 乙，应选B.7、[2018·陕西卷] 设函数f(x)＝x e x，那么( )A、x＝1为f(x)的极大值点B、x＝1为f(x)的极小值点C、x＝－1为f(x)的极大值点D、x＝－1为f(x)的极小值点7、D [解析] 本小题主要考查导数与函数单调性及函数的极值的知识，解题的突破口为求函数的导函数，判断函数的单调性，从而判断函数的极值、f′(x)＝e x＋x e x＝e x(x＋1)，因为e x>0恒成立，当f′(x)>0时，x>－1，函数f(x)为单调增函数；当f′(x)<0时，x<－1，函数f(x)为单调减函数、所以x＝－1为极小值点、应选D.8、[2018·陕西卷] 两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，那么所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A、10种B、15种C、20种D、30种8、C [解析] 本小题主要考查排列组合的知识，解题的突破口为找出甲或乙赢的情况进行分析计算、依甲赢计算：打三局结束甲全胜只有1种；打四局结束甲前三局赢两局，第四局必胜有C23种；打五局结束甲前四局赢两局，第五局必胜有C24×1＝6种；故甲胜共有10种，同样乙胜也有10种，所以共有20种，应选C.9、[2018·陕西卷] 在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，假设a2＋b2＝2c2，那么cos C的最小值为( )A.32 B.22 C.12 D、－129、C [解析] 本小题主要考查余弦定理和不等式的知识，解题的突破口为利用余弦定理写出cos C的表达式，然后用基本不等式去计算即可、cos C＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b24ab≥2ab4ab＝12.应选C.10、[2018·陕西卷] 图1－3是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，那么图中空白框内应填入( )图1－3A、P＝N1000 B、P＝4N1000C、P＝M1000 D、P＝4M100010、D [解析] 此题主要考查循环结构的程序框图的应用，同时要兼顾考查学习概率的模拟方法中圆周率π的模拟，通过阅读题目和所给数据可知试验了1000次，对应的圆周率π为P＝4M1 000.11、[2018·陕西卷] 观察以下不等式1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个．．．不等式为______________、11、1＋122＋132＋142＋152＋162<116[解析] 本小题主要考查了归纳与推理的能力，解题的关键是对给出的几个事例分析，找出规律，推出所要的结果、从几个不等式左边分析，可得出第五个式子的左边为：1＋122＋132＋142＋152＋162，对几个不等式右边分析，其分母依次为：2,3,4，所以第5个式子的分母应为6，而其分子依次为： 3,5,7，所以第5个式子的分子应为11，所以第5个式子应为：1＋122＋132＋142＋152＋162<116.12、[2018·陕西卷] (a＋x)5展开式中x2的系数为10，那么实数a的值为________、12、1 [解析] 本小题主要考查了二项式定理，解题的关键是写出二项展开式的通项公式、其展开式的通项公式为：T r＋1＝C r5a5－r x r，令r＝2，所以x2的系数为C25a3，即有C25a3＝10，a＝1，故填1.图1－413、[2018·陕西卷] 图1－4是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米、13、2 6 [解析] 本小题主要考查了抛物线的知识，解题的关键是建立坐标系求出抛物线的方程、以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为：x2＝－2py(p>0)，由题意知抛物线过点(2，－2)，代入方程得p＝1，那么抛物线的方程为：x2＝－2y，当水面下降1米时，为y＝－3，代入抛物线方程得x＝6，所以此时水面宽为26米、14、[2018·陕西卷] 设函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ， x >0－2x －1，x ≤0，D 是由x 轴和曲线y ＝f (x )及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，那么z ＝x －2y 在D 上的最大值为________、14、2 [解析] 本小题主要考查了利用导数求切线方程线性规划的知识，解题的突破口是先求出切线的方程，画出可行域、对于函数在x ＝1的导数，可只对函数y ＝ln x 求导，有y ′＝1x ，所以在x ＝1处的切线的斜率为k ＝1，在x ＝1处的切线方程为：y ＝x －1.此时可画出可行域、当目标函数过点(0，－1)时z 取得最大值2.15、[2018·陕西卷] A.(不等式选做题)假设存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，那么实数a 的取值范围是________、B.(几何证明选做题)如图1－5，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，假设AB ＝6，DB ＝________.C.(坐标系与参数方程选做题)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________、15、A.－2≤a ≤4 [解析] 此题考查了不等式解法的相关知识，解题的突破口是理解不等式的几何意义、|x －a |＋|x －1|≤3表示的几何意义是在数轴上一点x 到1的距离与到a 的距离之和小于或等于3个单位长度，此时我们可以以1为原点找离此点小于或等于3个单位长度的点即为a 的取值范围，不难发现－2≤a ≤4.B 、5 [解析] 此题考查了射影定理的知识，解题的突破口是找出直角三角形内的射影定理、连接AD ，在Rt △ABD 中，DE ⊥AB ，所以DE 2＝AE ×EB ＝5，在Rt △EBD 中，EF ⊥DB ，所以DE 2＝DF ×DB ＝5.C. 3 [解析] 此题考查了极坐标的相关知识，解题的突破口为把极坐标化为直角坐标、由2ρcos θ＝1得2x ＝1①，由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x ②，联立①②得y ＝±32，所以弦长为 3.16、[2018·陕西卷] 函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值、16、解：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2，∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin2x －π6＋1.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，故α＝π3.17、[2018·陕西卷] 设{a n }是公比不为1的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 5，a 3，a 4成等差数列、(1)求数列{a n }的公比；(2)证明：对任意k ∈＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列、 17、解：(1)设数列{a n }的公比为q (q ≠0，q ≠1)，由a 5，a 3，a 4成等差数列，得2a 3＝a 5＋a 4，即2a 1q 2＝ a 1q 4＋a 1q 3，由a 1≠0，q ≠0得q 2＋q －2＝0，解得q 1＝－2，q 2＝1(舍去)，所以q ＝－2. (2)证法一：对任意k ∈＋，S k ＋2＋S k ＋1－2S k ＝ (S k ＋2－S k )＋(S k ＋1－S k ) ＝a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋1 ＝2a k ＋1＋a k ＋1·(－2) ＝0，所以，对任意k ∈＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列、证法二： 对任意k ∈＋，2S k ＝2a 11－q k1－q， S k ＋2＋S k ＋1＝a 11－q k ＋21－q ＋a 11－q k ＋11－q ＝a 12－ q k ＋2－q k ＋11－q， 2S k －(S k ＋2＋S k ＋1)＝2a 11－q k 1－q －a 12－q k ＋2－q k ＋11－q＝a 11－q [2(1－q k )－(2－q k ＋2－q k ＋1)]＝a 1q k1－q (q 2＋q －2)＝0，因此，对任意k ∈＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列、b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，假设a ⊥b ，那么a ⊥c ”为真；图1－6(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)、18、解：(1)证法一：如下图，过直线b 上任一点作平面π的垂线n ，设直线a ，b ，c ，n 的方向向量分别是，，，，那么b ，c ，n 共面、根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，那么＝·(λ＋μ)＝λ()＋μ()，因为a⊥b，所以＝0，又因为aπ，n⊥π，所以＝0，故＝0，从而a⊥c.证法二：如图，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO ⊥π，垂足为O，那么O∈c.∵PO⊥π，aπ，∴直线PO⊥a，又a⊥b，b PAO，PO∩b＝P，∴a⊥平面PAO，又c PAO，∴a⊥c.(2)逆命题为：a是平面π是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，假设a⊥c，那么a⊥b.逆命题为真命题、19、[2018·陕西卷]椭圆C1：x24＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率、(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB→＝2OA→，求直线AB 的方程、19、解：(1)由可设椭圆C2的方程为y2a2＋x24＝1(a>2)，其离心率为32，故a2－4a＝32，那么a＝4，故椭圆C2的方程为y216＋x24＝1.(2)解法一：A，B两点的坐标分别记为(x A，y A)，(x B，y B)，由OB→＝2OA→及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.将y＝kx代入x24＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x2A＝41＋4k2，将y＝kx代入y216＋x24＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以x2B＝164＋k2，又由OB→＝2OA→，得x2B＝4x2A，即164＋k2＝161＋4k2，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.解法二：A，B两点的坐标分别记为(x A，y A)，(x B，y B)，由OB→＝2OA→及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.将y＝kx代入x24＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x2A＝41＋4k2，由OB→＝2OA→，得x2B＝161＋4k2，y2B＝16k21＋4k2，将x2B，y2B代入y216＋x24＝1中，得4＋k21＋4k2＝1，即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.20、[2018·陕西卷]某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望、20、解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：(1)A，那么事件A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟、所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)解法一：X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟、所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y>1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01.所以X的分布列为EX＝0×0.5＋1×解法二：X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；X ＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟， 所以P (X ＝2)＝P (Y ＝1)P (Y ＝1)＝0.1×0.1＝0.01； P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝0.49. 所以X 的分布列为EX ＝0×0.5＋1×21、[2018·陕西卷]设函数f n (x )＝x n ＋bx ＋c (n ∈＋，b ，c ∈)、(1)设n ≥2，b ＝1，c ＝－1，证明：f n (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在唯一零点；(2)设n ＝2，假设对任意x 1，x 2∈[－1,1]，有|f 2(x 1)－f 2(x 2)|≤4，求b 的取值范围；(3)在(1)的条件下，设x n 是f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内的零点，判断数列x 2，x 3，…，x n ，…的增减性、21、解：(1)b ＝1，c ＝－1，n ≥2时，f n (x )＝x n ＋x －1.∵f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12f n (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12×1<0，∴f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在零点、又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f ′n (x )＝nx n －1＋1>0，∵f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是单调递增的，∴f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在唯一零点、(2)当n ＝2时，f 2(x )＝x 2＋bx ＋c . 对任意x 1，x 2∈[－1,1]都有|f 2(x 1)－f 2(x 2)|≤4等价于f 2(x )在[－1,1]上的最大值与最小值之差M ≤4.据此分类讨论如下：①当⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2>1，即|b |>2时，M ＝|f 2(1)－f 2(－1)|＝2|b |>4，与题设矛盾、②当－1≤－b2<0，即0<b ≤2时， M ＝f 2(1)－f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋12≤4恒成立、 ③当0≤－b2≤1，即－2≤b ≤0时， M ＝f 2(－1)－f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－12≤4恒成立、 综上可知，－2≤b ≤2.注：②，③也可合并证明如下：用max{a ，b }表示a ，b 中的较大者、当－1≤－b2≤1，即－2≤b ≤2时， M ＝max{f 2(1)，f 2(－1)}－f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝f 2－1＋f 212＋|f 2－1－f 21|2－f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝1＋c ＋|b |－⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 24＋c＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋|b |22≤4恒成立、 (3)法一：设x n 是f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内的唯一零点(n ≥2)、f n (x n )＝x n n＋x n －1＝0，f n ＋1(x n ＋1)＝x n ＋1n ＋1＋x n ＋1－1＝0，x n ＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，于是有f n (x n )＝0＝f n ＋1(x n ＋1)＝x n ＋1n ＋1＋x n ＋1－1<x nn ＋1＋x n ＋1－1＝f n (x n ＋1)，又由(1)知f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是递增的，故x n <x n ＋1(n ≥2)，所以，数列x 2，x 3，…，x n ，…是递增数列、法二：设x n 是f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内的唯一零点，f n ＋1(x n )f n ＋1(1)＝(x n ＋1n ＋x n －1)(1n ＋1＋1－1) ＝x n ＋1n ＋x n －1<x nn ＋x n －1＝0，那么f n ＋1(x )的零点x n ＋1在(x n,1)内，故x n <x n ＋1(n ≥2)， 所以，数列x 2，x 3，…，x n ，…是递增数列、。
【备战2019】(上海版)高考数学分项汇编 专题15 选修部分(含解析)文
2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)：专题01 集合与常用逻辑用语(解析版)【汇编】
2019年高考真题和模拟题分项汇编数学（理）：专题01 集合与常用逻辑用语（解析版）专题01 集合与常用逻辑用语1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合2|42{|60}{},M x x N x x x =-<<=--<，则MN =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C【解析】由题意得2|42,{|60}{}|23}{M x x N x x x x x =-<<=--<=-<<， 则{|22}MN x x =-<<．故选C ．【名师点睛】注意区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者所有的部分． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1)C ．(–3，–1)D ．(3，+∞)【答案】A【解析】由题意得，2{560|}{2|A x x x x x =-+><=或3}x >，{10}{1|}|B x x x x =-<=<，则{|1}(,1)A B x x =<=-∞．故选A ．【名师点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合2{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=≤，则A B =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A【解析】∵21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，又{1,0,1,2}A =-，∴{}1,0,1A B =-.故选A ．【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.4．【2019年高考天津理数】设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ，则()AC B =A ．{}2B ．{}2,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,2,3,4【答案】D 【解析】因为{1,2}A C =，所以(){1,2,3,4}A C B =.故选D .【名师点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．5．【2019年高考浙江】已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U A B ð=A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-【答案】A【解析】∵{1,3}U A =-ð，∴(){1}U A B =-ð.故选A.【名师点睛】注意理解补集、交集的运算.6．【2019年高考浙江】若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立， 综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 故选A.【名师点睛】易出现的错误：一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值法”，通过取,a b 的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.7．【2019年高考天津理数】设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由250x x -<可得05x <<，由|1|1x -<可得02x <<， 易知由05x <<推不出02x <<，由02x <<能推出05x <<，故05x <<是02x <<的必要而不充分条件，即“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要而不充分条件. 故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到x 的取值范围. 8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件；由面面平行的性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件. 故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行. 故选B ．【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断.9．【2019年高考北京理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵A ､B ､C 三点不共线，∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AC -AB |⇔|AB +AC |2>|AC -AB |2AB ⇔·AC >0AB ⇔与AC 的夹角为锐角，故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件. 故选C.【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积，同时考查了转化与化归的数学思想.10．【2019年高考江苏】已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则AB =▲ . 【答案】{1,6}【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.由题意知，{1,6}A B =.【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.11．【辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测（三）数学】已知集合{(,)|2,,}A x y x y x y =+≤∈N ，则A 中元素的个数为A ．1B ．5C ．6D ．无数个【答案】C【解析】由题得{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}A =， 所以A 中元素的个数为6. 故选C.【名师点睛】本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12．【云南省玉溪市第一中学2019届高三上学期第二次调研考试数学】命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为 A ．2000,10x x x ∃∈++≥RB ．2000,10x x x ∃∈++≤RC ．2000,10x x x ∀∈++≥R D ．2000,10x x x ∀∉++≥R【答案】C【解析】由题意得原命题的否定为2000,10x x x ∀∈++≥R .故选C.【名师点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.13．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试】已知集合{|1}A x x =<，{|31}x B x =<，则A ．{}1AB x x => B ．A B =RC ．{|0}AB x x =<D ．AB =∅【答案】C【解析】集合{|31}xB x =<，即{}0B x x =<，而{|1}A x x =<， 所以{}1A B x x =<，{}0A B x x =<.故选C.【名师点睛】本题考查集合的交集、并集运算，属于简单题.14．【北京市通州区2019届高三三模数学】已知集合{}0,1,2P =，{|2}Q x x =<，则PQ =A ．{}0B ．{0,1}C ．{}1,2D ．{0,2}【答案】B【解析】因为集合{0,1,2}P =，{|2}Q x x =<，所以{0,1}P Q =.故选B.【名师点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型. 15．【北京市昌平区2019届高三5月综合练习（二模）数学】已知全集U =R ，集合2{|1}A x x =≤，则U A =ðA ．(,1)(1,)-∞-+∞B ．(,1][1,)-∞-+∞C ．(1,1)-D ．[1,1]-【答案】A【解析】因为2{|1}A x x =≤＝{|11}x x -≤≤， 所以U A =ð{|1x x <-或1}x >， 表示为区间形式即(,1)(1,)-∞-+∞.故选A.【名师点睛】本题主要考查集合的表示方法，补集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【福建省龙岩市（漳州市）2019届高三5月月考数学】已知集合}1|{≥=x x A ，{|230}B x x =->，则A B =A ．[0,)+∞B ．[1,)+∞C ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】因为{|230}B x x =->=}23|{>x x ，}1|{≥=x x A ， 所以A B =[1,)+∞.故选B.【名师点睛】本题考查并集其运算，考查了不等式的解法，是基础题．17．【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】设集合{|12,}A x x x =-≤≤∈N ，集合{2,3}B =，则B A 等于A ．{1,0,1,2,3}-B ．{0,1,2,3}C ．}3,2,1{D ．{2}【答案】B【解析】因为集合{|12,}{0,1,2}A x x x =-≤≤∈=N ，{2,3}B =， 所以0,1,3}2,{A B =.故选B ．【名师点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的并集运算，其中正确求解集合A ，熟练应用集合并集的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18．【湖北省安陆一中2019年5月高二摸底调考数学】已知集合{0,1,2}A =，{,2}B a =，若B A ⊆，则a =A ．0B ．0或1C ．2D ．0或1或2【答案】B【解析】由B A ⊆，可知{0,2}B =或{1,2}B =， 所以0a =或1. 故选B.【名师点睛】本小题主要考查子集的概念，考查集合中元素的互异性，属于基础题. 19．【天津市第一中学2019届高三下学期第五次月考数学】设x ∈R ，则“31x <”是“1122x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由31x <可得1x <，由1122x -<可得01x <<， 据此可知“31x <”是“1122x -<”的必要而不充分条件. 故选B ．【名师点睛】本题主要考查不等式的解法，充分性与必要性的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．【福建省龙岩市（漳州市)2019届高三5月月考数学】若1a >，则“y x a a >”是“log log a a x y >”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由a >1，得y x a a >等价为x >y ；log log a a x y >等价为x >y >0，故“y x a a >”是“log log a a x y >”的必要不充分条件. 故选A.【名师点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，指数函数和对数函数的单调性，掌握充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．21．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学】“02m <<”是“方程2212x y m m+=-表示椭圆”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】方程2212x ym m +=-表示椭圆，即020022m m m m m>⎧⎪->⇒<<⎨⎪≠-⎩且1m ≠，所以“02m <<”是“方程2212x y m m+=-表示椭圆”的必要不充分条件.故选C.【名师点睛】本题考查了椭圆的概念，充分条件和必要条件的判断，容易遗漏椭圆中2m m ≠-，属于基础题.22．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】设是空间两条直线，则“不平行”是“是异面直线”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由是异面直线⇒不平行．反之，若直线不平行，也可能相交，不一定是异面直线．所以“不平行”是“是异面直线”的必要不充分条件．故选B ．【名师点睛】本题考查了异面直线的性质、充分必要条件的判定方法，属于基础题． 23．【北京市人大附中2019年高考信息卷（三）】设a ，b 为非零向量，则“a ∥b ”是“a 与b 方向相同”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为a ，b 为非零向量，所以a ∥b 时，a 与b 方向相同或相反， 因此“a ∥b ”是“a 与b 方向相同”的必要而不充分条件. 故选B ．【名师点睛】本题考查充要条件和必要条件的判断，属基础题.24．【江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考试数学】已知集合{}2230,A x x x =+-≤{}2B =<，则A B =A ．{}31x x -≤≤B ．{}01x x ≤≤ C ．{}31x x -≤< D ．{}10x x -≤≤【答案】B【解析】因为{}{}31,04A x x B x x =-≤≤=≤<， 所以A B ={}01x x ≤≤.故选B.【名师点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.25．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学】已知集合{|A x y ==，2{|log 1}B x x =≤，则A B =A ．1{|}3x x ≤≤-B ．{|01}x x <≤C ．{|32}-≤≤x xD ．{|2}x x ≤【答案】B【解析】由二次根式有意义的条件，可得(1)(3)0x x -+≥， 解得31x -≤≤，所以{|A x y =={|31}x x =-≤≤.由对数函数的性质可得22log log 2x ≤， 解得02x <≤，所以2{|log 1}B x x =≤{|02}x x =<≤， 所以A B ={|01}x x <≤.故选B ．【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质是求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.26．【山东省烟台市2019届高三5月适应性练习（二）数学】设集合{|A x y ==，{|2,x B y y ==3}x ≤，则集合()A B =R I ðA ．}3|{<x xB ．{|3}x x ≤C ．{|03}x x <<D ．{|03}x x <≤ 【答案】C【解析】因为{}{|3A x y x x ===≥，所以{}3A x x =<R ð，又{}{}|2,3|08xB y y x y y ==≤=<≤，所以(){}03A B x x =<<R ð.故选C ．【名师点睛】本题考查了集合的交集运算、补集运算，正确求出函数3-=x y 的定义域，函数2,3xy x =≤的值域是解题的关键.27．【辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测（三）】“3k =”是“直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切，1,=则k =.所以“3k =”是“直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切”的充分不必要条件. 故选A.【名师点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系和充分不必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.28．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模)数学】已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠，则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若139,,a a a 成等比数列，则2319a a a =，即2111(2)(8)a d a a d +=+，变形可得1a d =，则“139,,a a a 成等比数列”是“1a d =”的充分条件；若1a d =，则3123a a d d =+=，9189a a d d =+=，则有2319a a a =，则“139,,a a a 成等比数列”是“1a d =”的必要条件. 综合可得：“139,,a a a 成等比数列”是“1a d =”的充要条件. 故选C ．【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式、等比数列的性质，充分必要条件的定义与判断，属于基础题．29．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学】若“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，则m 的取值范围是________． 【答案】(3,)+∞【解析】因为“3x >”是“x m >”的必要不充分条件， 所以(),m +∞是()3,+∞的真子集，所以3m >， 故答案为(3,)+∞.【名师点睛】本题考查根据必要不充分条件求参数的值，由题意得到(),m +∞是()3,+∞的真子集是解答的关键，属于基础题.30．【甘肃省酒泉市敦煌中学2019届高三一诊数学】设集合则=__________.【答案】【解析】求解绝对值不等式可得， 求解函数的值域可得，由交集的定义可知：.故答案为.【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的值域，交集的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.31．【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测数学】设为两个不同平面，直线，则“”是“”的__________条件.【答案】充分不必要⊂，【解析】根据题意，α，β表示两个不同的平面，直线mα当α∥β时，根据面面平行的性质定理可知，α中任何一条直线都平行于另一个平面，得，所以α∥β；⊂时，α∥β或α与β相交，当且mα所以“”是“”的充分不必要条件．故答案为充分不必要．【名师点睛】本题主要考查了面面平行的性质定理，面面的位置关系，充分条件和必要条件定义的理解，属于基础题．32．【安徽省江淮十校2019届高三第三次联考数学】若命题“，”的否定是假命题，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】因为命题的否定是假命题，所以原命题为真命题，即不等式对恒成立，又在上为增函数，所以，即.故实数的取值范围是：.【名师点睛】本题考查命题否定的真假以及不等式恒成立问题，考查基本分析能力和转化求解能力，属中档题.2020年高考真题和模拟题分项汇编数学（理）：专题04 立体几何专题04 立体几何1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ．D【答案】D 【解析】解法一：,PA PB PC ABC ==△为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA ，AB 的中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===P ABC ∴-为正方体的一部分，2R ==344π33R V R =∴=π==，故选D ．解法二：设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 的中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC △为边长为2的等边三角形，CF ∴=，又90CEF ∠=︒，12CE AE PA x ∴===， AEC △中，由余弦定理可得()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D \为AC 的中点，1cos 2AD EAC PA x∠==，2243142x x x x+-+∴=，22121222x x x ∴+=∴==，，，PA PB PC ∴===又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==2R ∴=，344338V R ∴=π=π⨯=，故选D.【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ．【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,a b a b αβ⊂⊂∥，则αβ∥”此类的错误．3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 【答案】B【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN ===,，5,,22MF BF BM ==∴=BM EN ∴≠，故选B ．【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．4．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是A ．158B ．162C ．182D ．324【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选B.【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.5．【2019年高考浙江卷】设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P –AC –B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γB ．β<α，β<γC ．β<α，γ<αD ．α<β，γ<β【答案】B【解析】如图，G 为AC 中点，连接VG ，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面的投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直于AC 于E ，连接PE ，BD ，易得PE VG ∥，过P 作PF AC ∥交VG 于F ，连接BF ，过D 作DH AC ∥，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED αβγ=∠=∠=∠，结合△PFB ，△BDH ，△PDB 均为直角三角形，可得cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBαβ===<=，即αβ>； 在Rt △PED 中，tan tan PD PDED BDγβ=>=，即γβ>，综上所述，答案为B.【名师点睛】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.【答案】118.8【解析】由题意得，214642312cm 2EFGH S =⨯-⨯⨯⨯=四边形， ∵四棱锥O −EFGH 的高为3cm ， ∴3112312cm 3O EFGH V -=⨯⨯=． 又长方体1111ABCD A B C D -的体积为32466144cm V =⨯⨯=，所以该模型体积为3214412132cm O EFGH V V V -=-=-=，其质量为0.9132118.8g ⨯=．【名师点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量即可.7．【2019年高考北京卷理数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40【解析】如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1111MPD A NQC B -之后余下的几何体，则几何体的体积()3142424402V =-⨯+⨯⨯=. 【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体，再根据题目给定的数据，计算几何体的体积.属于中等题.(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．8．【2019年高考北京卷理数】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m ，正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α，不正确，有可能m 在平面α内； （3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α，不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α. 故答案为：如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m.【名师点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.将所给论断，分别作为条件、结论加以分析即可.9．【2019年高考天津卷理数】的正方形，若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________． 【答案】π4【解析】由题意，的正方形，，借助勾股定理，2=.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，圆柱的底面半径为12， 故圆柱的体积为21ππ124⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭. 【名师点睛】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径.注意本题中圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半.10．【2019年高考江苏卷】如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E −BCD 的体积是 ▲ .【答案】10【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=， 因为E 为1CC 的中点，所以112CE CC =， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高， 所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=.【名师点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.的正弦值． 【解析】（1）连结B 1C ，ME ． 因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点， 所以ME ∥B 1C ，且ME =12B 1C ． 又因为N 为A 1D 的中点，所以ND =12A 1D ． 由题设知A 1B 1=DC ，可得B 1C =A 1D ，故ME =ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ∥ED ． 又MN ⊄平面EDC 1，所以MN ∥平面C 1DE ． （2）由已知可得DE ⊥DA ．以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，则(2,0,0)A ，A 1(2，0，4)，2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-，1(12)A M =--，1(1,0,2)A N =--，(0,MN =．设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量，则1100A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，所以2040x z z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，．可取=m ．设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量，则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，．n n所以020p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，．可取(2,0,1)=-n ．于是cos ,||⋅〈〉===‖m n m n m n ， 所以二面角1A MA N --【名师点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.12．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）由已知得，11B C ⊥平面11ABB A ，BE ⊂平面11ABB A ， 故11B C ⊥BE ．又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．（2）由（1）知190BEB ∠=︒．由题设知Rt ABE △≌11Rt A B E △，所以45AEB ∠=︒， 故AE AB =，12AA AB =．以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，||DA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D –xyz ，则C （0，1，0），B （1，1，0），1C （0，1，2），E （1，0，1），(1,0,0)CB =，(1,1,1)CE =-，1(0,0,2)CC =．设平面EBC 的法向量为n =（x ，y ，x ），则0,0,CB CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,0,x x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取n =(0,1,1)--.设平面1ECC 的法向量为m =（x ，y ，z ），则10,0,CC CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,0.z x y z =⎧⎨-+=⎩ 所以可取m =（1，1，0）． 于是1cos ,||||2⋅<>==-n m n m n m ．所以，二面角1B EC C --． 【名师点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直以及线面垂直的判定，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.13．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B −CG −A 的大小.【答案】（1）见解析；（2）30.【解析】（1）由已知得AD BE ，CG BE ，所以AD CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ． 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ．（2）作EH ⊥BC ，垂足为H ．因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC ．由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC =60°，可求得BH =1，EH以H 为坐标原点，HC 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H –xyz ，则A （–1，1，0），C （1，0，0），G （2，0CG =（1，0），AC =（2，–1，0）．设平面ACGD 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0,0,CG AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,20.x x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 所以可取n =（3，6，又平面BCGE 的法向量可取为m =（0，1，0），所以cos ,||||⋅〈〉==n m n m n m ． 因此二面角B –CG –A 的大小为30°．【名师点睛】本题是很新颖的立体几何考题，首先是多面体折叠问题，考查考生在折叠过程中哪些量是不变的，再者折叠后的多面体不是直棱柱，最后通过建系的向量解法将求二面角转化为求二面角的平面角问题，突出考查考生的空间想象能力.14．【2019年高考北京卷理数】如图，在四棱锥P –ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，PA =AD =CD =2，BC =3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =． （1）求证：CD ⊥平面PAD ； （2）求二面角F –AE –P 的余弦值； （3）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．【答案】（1）见解析；（2（3）见解析. 【解析】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ． 又因为AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面PAD ． （2）过A 作AD 的垂线交BC 于点M ．因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AM ，PA ⊥AD ．如图建立空间直角坐标系A −xyz ，则A （0，0，0），B （2，-1，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2）． 因为E 为PD 的中点，所以E （0，1，1）． 所以(0,1,1),(2,2,2),(0,0,2)AE PC AP ==-=．所以1222224,,,,,3333333PF PC AF AP PF ⎛⎫⎛⎫==-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设平面AEF 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,2240.333y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 令z =1，则1,1y x =-=-．于是=(1,1,1)--n ．又因为平面PAD 的法向量为p =（1，0，0），所以cos ,||3⋅〈〉==-‖n p n p n p . 由题知，二面角F −AE −P（3）直线AG 在平面AEF 内． 因为点G 在PB 上，且2,(2,1,2)3PG PB PB ==--，所以2424422,,,,,3333333PG PB AG AP PG ⎛⎫⎛⎫==--=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由（2）知，平面AEF 的法向量=(1,1,1)--n . 所以4220333AG ⋅=-++=n . 所以直线AG 在平面AEF 内.【名师点睛】（1）由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；（2）建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F −AE −P 的余弦值；（3）首先求得点G 的坐标，然后结合平面AEF 的法向量和直线AG 的方向向量即可判断直线是否在平面内.15．【2019年高考天津卷理数】如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====．（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （3）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长．【答案】（1）见解析；（2）49；（3）87． 【解析】依题意，可以建立以A 为原点，分别以AB AD AE ，，的方向为x 轴，y 轴，z轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)A B C D ，(0,0,2)E ．设(0)CF h h =>>，则()1,2,F h ．（1）依题意，(1,0,0)AB =是平面ADE 的法向量，又(0,2,)BF h =，可得0BF AB ⋅=，又因为直线BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE ．。
【备战2019】(陕西版)高考数学分项汇编 专题04 三角函数与三角形(含解析)理科
专题04 三角函数与三角形一．基础题组1. 【2006高考陕西版理第13题】cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为 【答案】－21考点：两角和与差的三角函数，容易题. 2. 【2007高考陕西版理第4题】已知sin α=55，则si n 4α-cos 4α的值为 （A ）-51 (B)-53 (C)51 (D) 53【答案】B【解析】sin 4α-cos 4α213cos 22sin 12155αα=-=-=⨯-=-，选B 。
考点：同角的三角函数关系式，容易题.3. 【2008高考陕西版理第3题】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若120c b B ==，则a 等于（ ）A B ．2CD 【答案】D考点：正弦定理，容易题.4.【2009高考陕西版理第5题】若3sin cos 0αα+=，则21cos sin 2αα+的值为（ ）A ．103 B ．53 C ．23D ．2- 【答案】A5. 【2018高考陕西版理第3题】对于函数()2sin cos f x x x =，下列选项中正确的是 （ ）（A ）()f x f （x ）在（4π，2π）上是递增的 （B ）()f x 的图像关于原点对称 （C ）()f x 的最小正周期为2π （D ）()f x 的最大值为2 【答案】B考点：三角函数的性质，容易题.6. 【2018高考陕西版理第9题】在ABC ∆中角A 、B 、C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A B ．2C ．12D ．12-【答案】C考点：余弦定理，容易题.7. 【2018高考陕西版理第2题】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π 【答案】B 【解析】试题分析：由周期公式2T w π=，又2w =,所以函数()cos(2)6f x x π=-的周期22T ππ==，故选B . 考点：三角函数的最小正周期.8. .【2018高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C【考点定位】三角函数的图象与性质．9. 【2015高考陕西，理17】（本小题满分12分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行． （I ）求A ；（II ）若a =2b =求C ∆AB 的面积．【答案】（I ）3π；（II ）2考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式. 二．能力题组1. 【2006高考陕西版理第17题】已知函数f(x)=3sin(2x －π6)+2sin 2(x －π12) (x ∈R)(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x 的集合． 【答案】(Ⅰ) T=π(Ⅱ) x 的集合为{x ∈R|x= k π+ 5π12， (k ∈Z)}． 【解析】试题分析：(Ⅰ) f(x)=3sin(2x －π6)+1－cos2(x －π12) = 2[32sin2(x －π12)－12 cos2(x －π12)]+1 =2sin[2(x －π12)－π6]+1考点：三角函数的性质.2. 【2007高考陕西版理第17题】设函数f (x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x ∈R,且函数y=f(x)的图象经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,4π，（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x 的值的集合.【答案】（Ⅰ）1m =；（Ⅱ）()f x 的最小值为1x 值的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ，．考点：三角函数的性质.3. 【2008高考陕西版理第17题】已知函数()2sin cos 442x x xf x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值； （Ⅱ）令π()3g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期4πT =．()f x 取得最小值2-；()f x 取得最大值2． （Ⅱ）函数()g x 是偶函数．考点：三角函数的性质.4. 【2009高考陕西版理第17题】已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x ∈R （其中0A >，0ω>，02πϕ<<）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-． （Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）当[,]122x ππ∈时，求()f x 的值域．5. 【2018高考陕西版理第17题】如图，A，B是海面上位于东西方向相聚5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？【答案】1．6. 【2018高考陕西版理第18题】叙述并证明余弦定理。
【备战2019】(陕西版)高考数学分项汇编 专题10 立体几何 理科含解析
专题10 立体几何一．基础题组1. 【2010高考陕西版理第7题】若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A）2 （B）1（C）23（D）13【答案】B考点：三视图，容易题.2. 【2011高考陕西版理第5题】某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A.283π- B.83π- C.8-2π D.23π【答案】A考点：三视图，容易题.3. 【2013高考陕西版理第12题】某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．【答案】π3考点：三视图，容易题.4. 【2014高考陕西版理第5题】已知底面边长为1，则该球的体积为（ ）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π【答案】D考点：正四棱柱的几何特征；球的体积.5. 【2015高考陕西，理5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+【答案】D【考点定位】1、三视图；2、空间几何体的表面积．6. 【2015高考陕西，理18】（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．（I ）证明：CD ⊥平面1C A O ；（II ）若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．【答案】（I ）证明见解析；（II 【解析】设平面1BC A 的法向量1111(,,)n x y z = ，平面1CD A的法向量2222(,,)n x y z =，平面1BC A 与平面1CD A 夹考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用.二．能力题组1. 【2006高考陕西版理第11题】已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是( )A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必与α相交C．平面ABC必不垂直于αD．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内【答案】D考点：空间的位置关系.2. 【2006高考陕西版理第13题】水平桌面α上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形)．在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是【答案】3R【解析】试题分析：水平桌面α上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形)．在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面4个球恰好都相切，5个球心组成一个正四棱锥，这个正四棱锥的底面边长为4R ，侧棱长为3R ，求得它的高为R ，所以小球的球心到水平桌面α的距离是3R ． 考点：球的外切问题.3. 【2006高考陕西版理第19题】如图，α⊥β，α∩β=l ， A ∈α， B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1， 点B 在l 的射影为B 1，已知AB =2，AA 1=1， BB 1=2， 求:(Ⅰ) 直线AB 分别与平面α，β所成角的大小; (Ⅱ)二面角A 1－AB －B 1的大小．【答案】(Ⅰ) AB 与平面α，β所成的角分别是45°，30°; (Ⅱ) arcsin63． AA 1·A 1B =A 1F ·AB 得 A 1F =AA 1·A 1B AB = 1×32 = 32， A BA 1B 1 αβl 第19题图考点：空间的位置关系，空间的角.4. 【2007高考陕西版理第6题】一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 （A ）433 (B)33 (C) 43 (D)123【答案】C考点：几何体的体积.5. 【2007高考陕西版理第10题】已知平面α∥平面β，直线m ⊂α，直线n ⊂β，点A ∈m,点B ∈n ，记点A 、B 之间的距离为a ,点A 到直线n 的距离为b,直线m 和n 的距离为c,则A.b≤a≤c B.a≤c≤b C. c≤a≤b D. c≤b≤a 【答案】D考点：空间的距离. 6. 【2007高考陕西版理第19题】如图,在底面为直角梯形的四棱锥,//,BC AD ABCD P 中-,90︒=∠ABC 平面⊥PA ABCD 32,2,4===AB AD PA ,BC =6.(Ⅰ)求证:BD ;PAC BD 平面⊥(Ⅱ)求二面角D BD P --的大小.【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)sin 1DE AD DAC ∴==，考点：空间的位置关系，空间的角的计算.7. 【2008高考陕西版理第10题】如图，l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈ ，，，，，到l 的距离分别是a 和b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影分别是m 和n ，若a b >，则（ ）A ．m n θϕ>>，B ．m n θϕ><，αC ．m n θϕ<<，D ．m n θϕ<>，【答案】D考点：空间的角和距离.8. 【2008高考陕西版理第14题】长方体1111ABCD A B C D -的各顶点都在球O的球面上，其中1::AB AD AA =．A B ，两点的球面距离记为m ，1A D ，两点的球面距离记为n ，则mn的值为 ． 【答案】12考点：空间的距离.9. 【2008高考陕西版理第19题】三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠= ，1A A ⊥平面ABC，1A AAB =，2AC =，111AC =，12BD DC =． （Ⅰ）证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B ； （Ⅱ）求二面角1A CC B --的大小．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）arccos5A 1 AC 1B 1BDC解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则11(000)0)(020)(00A B C A C ，，，，，，，，，:1:2BD DC = ，13BD BC ∴= ．D ∴点坐标为203⎫⎪⎪⎝⎭，，． （第19题，解法二）考点：空间的位置关系，空间的角的计算.10. 【2009高考陕西版理第10的体积为（ ）A ．6B ．3C ．3D．2311.【2009高考陕西版理第15题】如图，球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，1OO A 、B 是圆1O 上两点．若A 、B 两点间的球面距离为23π，则1AO B ∠= ． 【答案】2π【解析】球O 的半径2OA =，1OO =1O 的半径1OA ==A 、B 两点间的球面距离223πθ=，3AOB πθ==∠，AOB ∆是等边三角形，2AB =．12AO B π∠= 【考点定位】本小题主要考查球的截面的性质和球面距离的概念及公式．12. 【2009高考陕西版理第18题】如图，直三棱柱111ABC A B C -中， AB=1，1AC AA =∠ABC=600.(Ⅰ)证明：1AB AC ⊥；（Ⅱ）求二面角A —1AC —B 的大小. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）arccos,5m nm nm n<>===gg所以1A-A C-B所成角是考点：空间的位置关系，二面角的计算.13. 【2010高考陕西版理第18题】如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝E，F分别是AD，PC的中点．(1)证明：PC⊥平面BEF；(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）45°∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝ABCD是矩形，(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.考点：空间的位置关系、空间的角.14. 【2011高考陕西版理第16题】如图,在△ABC中,∠ABC=60°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABD 折起,使∠BDC=90°.(1)证明:平面ADB⊥平面BDC;(2)设E为BC的中点,求与夹角的余弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；考点：空间的位置关系，二面角.15. 【2012高考陕西版理第5题】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）A ．5B ．3C D ．35【答案】A考点：空间的角.16. 【2012高考陕西版理第18题】（1）如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线（b 不垂直于π），c 是直线b 在π上的投影，若a b ⊥，则a c ⊥”为真． （2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是平面π外的一条直线（b 不垂直于π），c 是直线b 在π上的投影，若a b ⊥，则a c ⊥.逆命题为真命题．【解析】考点：空间的位置关系.17. 【2013高考陕西版理第18题】如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1(1)证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D ；(2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）π3θ=考点：空间的位置关系，空间的角.18. 【2014高考陕西版理第17题】四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分别交四面体的棱CA DC BD ，，于点H G F ，，.２２１俯视图左视图 主视图ABCDEFGH（1）证明：四边形EFGH 是矩形；（2）求直线AB 与平面EFGH 夹角 的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2百度文库，精选习题考点：面面平行的性质；线面角的求法.试题习题，尽在百度。
【备战2019】(陕西版)高考数学分项汇编 专题08 直线与圆(含解析)理科
专题08 直线与圆
一．基础题组
1. 【2006高考陕西版理第5题】设直线过点(0,a),其斜率为1, 且与圆x 2+y 2
=2相切,则a 的值为( ) A.± 2 B.±2 B.±2 2 D.±4
【答案】B
考点：直线与圆的位置关系，容易题.
2. 【2008高考陕西版理第50y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ）
A
B ．
C ．-
D ．-【答案】C
考点：直线与圆的位置关系，容易题.
3. 【2009高考陕西版理第4题】过原点且倾斜角为60︒的直线被圆学22
40x y y +-=所截得的弦长为
（A （B ）2 （C （D ）【答案】D
考点：直线与圆的位置关系，容易题.
4. 【2012高考陕西版理第4题】已知圆22
:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则（ ）
A ．l 与C 相交
B ．l 与
C 相切 C ．l 与C 相离
D ．以上三个选项均有可能
【答案】A
考点：直线与圆的位置关系，容易题.
二． 能力题组
1. 【2015高考陕西，理15】设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x
=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ．
【答案】()1,1
【考点定位】1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．
三． 提高组
1. 【2018高考陕西版文第12题】若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______.
【答案】22(1)1x y +-=
考点：圆的标准方程.。
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专题16 选修部分
一．基础题组
1. 【2010高考陕西版理第15题】不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集为__________．
【答案】{x|x≥1}
考点：解绝对值的不等式.
2. 【2010高考陕西版理第15题】(几何证明选做题)如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为
3 cm,4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BDDA＝__________.
【答案】169BDDA
考点：平面几何证明.
3. 【2010高考陕西版理第15题】(坐标系与参数方程选做题)已知圆C的参数方程为cos,1sin,xy (α
为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＝1，则直线
l
与圆C的交点的直角坐标为__________．
【答案】(－1,1)，(1,1)
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考点：参数方程.
二．能力题组
1. 【2011高考陕西版理第15题】（不等式选做题）若关于x的不等式12axx存在实数解，则
实数a的取值范围是
【答案】(,3][3,)
考点：绝对值的不等式.
2. 【2011高考陕西版理第15题】(几何证明选做题)如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,
则BE= .
【答案】4
考点：平面几何的证明.
3. 【2011高考陕西版理第15题】.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy中,以原点为极点,x轴的正
半轴为极轴建立极坐标系,设点A,B分别在曲线C1:(θ为参数)和曲线C2:ρ=1上,则|AB|的最
小值为 .
【答案】3
【解析】
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考点：极坐标、参数方程.
4. 【2012高考陕西版理第15题】（不等式选做题）若存在实数x使|||1|3xax成立，则实数a的
取值范是 ．
【答案】42a
考点：绝对值的几何意义.
5. 【2012高考陕西版理第15题】（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，
EFDB，垂足为F，若6AB，1AE，则DFDB
．
【答案】5
考点：平面几何的计算.
6. 【2012高考陕西版理第15题】（坐标系与参数方程）直线2cos1与圆2cos相交的弦长
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为 ．
【答案】3
考点：极坐标.
7. 【2013高考陕西版理第15题】(不等式选做题)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(
am
＋bn)(bm＋an)的最小值为__________．
【答案】2
考点：柯西不等式.
8. 【2013高考陕西版理第15题】(几何证明选做题)如图，弦AB与CD相交于O内一点E，过E作BC的
平行线与AD的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝__________.
【答案】6
考点：平面内求距离.
9. 【2013高考陕西版理第15题】(坐标系与参数方程选做题)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，
则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为__________．
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【答案】2cos,sincosxy(θ为参数)
考点：参数方程.
10. 【2014高考陕西版理第15题】（不等式选做题）设Rnmba,,,，且5,522nbmaba，则
22
nm
的最小值为______.
【答案】5
考点：柯西不等式.
11. 【2014高考陕西版理第15题】（几何证明选做题）如图，ABC中，6BC，以BC为直径的半圆
分别交ACAB,
于点FE,，若AEAC2，则EF=_______.
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【答案】3
考点：几何证明；三角形相似.
12. 【2014高考陕西版理第15题】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点)6,2(到直线
1)6sin(
的距离是_______.
【答案】1
考点：极坐标方程；点到直线距离.
13. 【2015高考陕西，理22】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，切于点，直线D交于D，两点，CD，垂足为C．
（I）证明：CDD；
（II）若D3DC，C2，求的直径．
【答案】（I）证明见解析；（II）3．
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考点：1、直径所对的圆周角；2、弦切角定理；3、切割线定理.
14. 【2015高考陕西，理23】选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xy中，直线l的参数方程为13232xtyt（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极
轴建立极坐标系，C的极坐标方程为23sin．
（I）写出C的直角坐标方程；
（II）为直线l上一动点，当到圆心C的距离最小时，求的直角坐标．
【答案】（I）2233xy；（II）3,0．
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考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质.
15. 【2015高考陕西，理24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知关于x的不等式xab的解集为24xx．
（I）求实数a，b的值；
（II）求12atbt的最大值．
【答案】（I）3a，1b；（II）4．
考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式.