1.1 第2课时 正弦与余弦
1.1 正弦定理和余弦定理第2课时
课时演练广场
(12分)在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且
sin A＝2sin B·cos C，试确定△ABC的形状． 【思路点拨】
人教A版数学 · 必修5
课前自主预习
高效互动课堂
课时演练广场
【规范解答】方法一：∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， ∴(b＋c)2－a2＝3bc. ∴b2＋c2－a2＝bc. b2＋c2－a2 又 cos A＝ 2bc ， bc 1 ∴cos A＝2bc＝2.∴A＝60° . 又∵sin A＝sin(B＋C) ＝sin B· cos C＋cos B· sin C＝2sin B· cos C， 8分
人教A版数学 · 必修5
课前自主预习
高效互动课堂
课时演练广场
【借题发挥】1.余弦定理及其推论的每一个等式中都包含四
个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的
三个量，就可以求得第四个量． 2．由已知条件解三角形时要注意正弦定理和余弦定理的灵 活运用，如已知两边和其中一边的对角解三角形时，既可用正 弦定理求解，也可用余弦定理求解，但用正弦定理时，要注意
人教A版数学 · 必修5
课前自主预习
高效互动课堂
课时演练广场
【思路点拨】(1)方法一：利用余弦定理求边c，然后用余弦
定理求A，最后求B； 方法二：利用余弦定理求边 c ，再利用正弦定理求 A ，最后 求B. (2) 方法一：用余弦定理得到关于 c 的方程，求出 c 后再用余
弦定理求A，最后求C；
方法二：用正弦定理求A，再求C，最后由正弦定理求边c.
人教A版数学 · 必修5
课前自主预习
高效互动课堂
课时演练广场
2．余弦定理和勾股定理有什么联系？
高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理和余弦定理第2课时正弦定理(二)aa高二数学
12/9/2021
第九页，共二十九页。
运用(yùnyòng)正弦定理求有关三角形的面积问题
【例 1】 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c.若 c＝4，sin C＝2sin A，sin B＝ 415，则 S△ABC＝________.
【解题探究】本题由已知条件(tiáojiàn)可求出边a，c的关系，再利用
【例2】 在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC 的形状．
【解题探究】观察(guānchá)条件等式的特点，为边角关系，首 先应用正弦定理将边化为角，再利用三角公式求解，亦可应用正弦 定理将角化为边的关系进行整理．
12/9/2021
第十四页，共二十九页。
【解析】由已知，得ac2osisnBB＝bc2osisnAA.
12/9/2021
第十一页，共二十九页。
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，
c，已知 b＝2，c＝2 2且 C＝π4，则△ABC 的面积为( )
A． 3＋1
B． 3－1
C．4
D．2
【答案】A
12/9/2021
第十二页，共二十九页。
【解析】由正弦定理sinb B＝sinc C⇒sin B＝bsicn C＝12，又 c
为__________．
【答案】2 3 cm 【解析】∵sBinCA＝2R，∴BC＝2Rsin A＝4sin 60°＝2 3(cm)．
12/9/2021
第二十六页，共二十九页。
4．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a ＝ 3，sin B＝12，C＝π6，则 b＝________.
B．12
C．
3 4
1.1正弦定理和余弦定理第二课时精品教案
1.1正弦定理和余弦定理【课题】：1.1.2余弦定理【教学目标】：(1)知识与技能:使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形(2)过程与方法:通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理(3)情态与价值：使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形【教学重点】：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；【教学难点】：余弦定理的探究和证明方法，余弦定理与勾股定理的联系【课前准备】：多媒体电脑平台.222222222222cos c a b a b a bc a b a b a b ab C=-=+-⋅=+-⋅⋅+-（）（）222222222222cos c a b a b a bc a b a b a b ab C=-=+-⋅=+-⋅⋅+-（）（）BC = a .2(sin )a C Ccos A1.在△ABC 中：(1)已知b ＝8，c ＝3，A ＝60°，求a ； (2)已知a ＝20，b ＝29，c ＝21，求B ； (3)已知a ＝3 3 ，c ＝2，B ＝150°，求b ； (4)已知a ＝2，b ＝ 2 ，c ＝ 3 ＋1，求A . 解：(1)由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得a 2＝82＋32－2×8×3cos60°＝49，∴a ＝7. (2)由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca 得cos B ＝202＋212－2922×20×21＝0，∴B ＝90°.(3)由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得b 2＝(3 3 )2＋22－2×3 3 ×2cos150°＝49，∴b ＝7.(4)由cos A ＝2222b c a +-得cos A ＝（ 2 ）2＋（ 3 ＋1）2－222 2 （ 3 ＋1） ＝ 22 ，∴A ＝45°2.在△ABC 中，已知222a ab cb +=-，则内角C 等于 （ ）A ．90B ．60C ．120D ． 30 解：222a ab c b +=-，2222cos a b c ab ab C ∴+-=-=,1cos 2C ∴=-0180C <<,120C ∴=3. 在△ABC 中，其三边长分别为,,a b c ，且三角形面积2224a b c S +-=，则角C =_________解：2222cos cos 1sin ,tan 1,454422a b c ab C ab C S ab C C C +-====∴=∴= 4.在△ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，判断△ABC 三角形的形状 解：sin :sin :sin 2:3:4,::2:3:4A B C a b c =∴=,2,3,4,a b c a b c ∴<<===设则222cos 491630,C a b c C ∴=+-=+-=-<∴为钝角△ABC 为钝角三角形 （中档题）5. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边, 2,3a b ==， cos C =13，则其外接圆的半径为（ ）A．2 B．4 C．8 D．9解：22212cos 4922393c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=,3c ∴=1cos ,0180,sin 3C C C =<<∴=2sin 8c R C === 6．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，设a +c=2b ，A －C=3π，求sinB 的值。
1.1第2课时正弦、余弦(教案)2023-2024学年九年级下册数学北师大版(安徽)
（2）计算正弦和余弦值：在具体计算过程中，学生可能会对特殊角的正弦和余弦值记忆模糊，导致计算错误。
突破方法：引导学生记忆特殊角的正弦和余弦值，并提供计算公式和表格，方便学生查阅。
（3）正弦和余弦的应用：将正弦和余弦知识应用于解决实际问题，学生可能会在建立数学模型时感到困难。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“正弦和余弦在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.余弦的定义：锐角三角函数中的余弦概念，即锐角三角形中，一个角的余弦等于该角的邻边长度与斜边长度的比值。
3.正弦和余弦值的计算：通过具体实例，引导学生学会计算给定角度的正弦和余弦值。
4.正弦和余弦的性质：探讨正弦和余弦值在0°~90°范围内的变化规律。
5.应用正弦和余弦解决实际问题：结合生活实例，运用正弦和余弦知识解决简单的实际问题。
3.提高学生的数据分析能力，通过计算正弦和余弦值，让学生掌握数据处理的基本方法，并学会从数据中提炼信息。
4.培养学生的数学应用意识，将正弦和余弦知识应用于解决实际问题，使学生体会数学在生活中的广泛应用。
5.培养学生的逻辑思维和推理能力，通过探讨正弦和余弦的性质，引导学生发现数学规律，提高数学推理能力。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
(春)九年级数学下册 1.1 第2课时 正弦与余弦教案2 (新版)北师大版
1.1 锐角三角函数第2课时 正弦与余弦［教学目标］1、 理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
2、能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。
［教学重点与难点］ 在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
［教学过程］ 一、情景创设1、问题1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m 后，他的相对位置升高了5m ，如果他沿着该斜坡行走了20m ，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m 呢？2、问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？二、探索活动1、思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值________；它的邻边与斜边的比值________。
（根据是__________________。
）2、正弦的定义 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角∠A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作________，即：sinA ＝________=________.3、余弦的定义 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,我们把锐角∠A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。
（你能写出∠B 的正弦、余弦的表达式吗？）试试看.___________.4、牛刀小试 根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角的正弦、余弦值。
5、思考与探索 怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？ 20m13m（1）如图，当小明沿着15°的斜坡行走了1个单位长度时，他的位置升高了约0.26个单位长度，在水平方向前进了约0.97个单位长度。
根据正弦、余弦的定义，可以知道：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97（2）你能根据图形求出sin30°、cos30°吗？sin75°、cos75°呢？sin30°＝_____，cos30°＝_____.sin75°＝_____，cos75°＝_____.（3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正弦值和余弦值。
北师大版九年级数学下册1.1 第2课时 正弦与余弦2 教案
1.1 锐角三角函数第2课时 正弦与余弦［教学目标］1、 理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
2、能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。
［教学重点与难点］ 在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
［教学过程］ 一、情景创设1、问题1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m 后，他的相对位置升高了5m ，如果他沿着该斜坡行走了20m ，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m 呢？2、问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？二、探索活动1、思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值________；它的邻边与斜边的比值________。
（根据是__________________。
）2、正弦的定义 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角∠A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作________， 即：sinA ＝________=________.3、余弦的定义 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,我们把锐角∠A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。
（你能写出∠B 的正弦、余弦的表达式吗？）试试看.___________.4、牛刀小试 根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角的正弦、余弦值。
5、思考与探索 怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？ 20m13m（1）如图，当小明沿着15°的斜坡行走了1个单位长度时，他的位置升高了约0.26个单位长度，在水平方向前进了约0.97个单位长度。
根据正弦、余弦的定义，可以知道：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97（2）你能根据图形求出sin30°、cos30°吗？sin75°、cos75°呢？sin30°＝_____，cos30°＝_____.sin75°＝_____，cos75°＝_____.（3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正弦值和余弦值。
1.1正弦定理和余弦定理第二课时精品教案
1.1正弦定理和余弦定理【课题】：1.1.2余弦定理【学情分析】：余弦定理是继正弦定理教学之后又一关于三角形的边角关系准确量化的一个重要定理。
在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的结果，就是“在任意三角形中大边对大角，小边对小角”，学生在初中阶段能解决直角三角形中一些边角之间的定量关系。
在高中阶段，学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握任意三角形中边角之间的定量关系，从而进一步运用它们解决实际问题.【教学目标】：（1）知识与技能:使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形（2）过程与方法:通过对三角形边角关系的探究，能用向量方法来证明余弦定理,体验运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题的过程与方法（3）情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力【教学重点】：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用【教学难点】：余弦定理的探究和证明方法，余弦定理与勾股定理的联系【课前准备】：多媒体电脑平台.222222222222cos c a b a b a bc a b a b a b ab C=-=+-⋅=+-⋅⋅+-（）（）222222222222cos c a b a b a bc a b a b a b ab C=-=+-⋅=+-⋅⋅+-（）（）1.在△ABC 中：(1)已知b ＝8，c ＝3，A ＝60°，求a ； (2)已知a ＝20，b ＝29，c ＝21，求B ； (3)已知a ＝3 3 ，c ＝2，B ＝150°，求b ； (4)已知a ＝2，b ＝ 2 ，c ＝ 3 ＋1，求A . 解：(1)由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得a 2＝82＋32－2×8×3cos60°＝49，∴a ＝7. (2)由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca 得cos B ＝202＋212－2922×20×21＝0，∴B ＝90°.(3)由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得b 2＝(3 3 )2＋22－2×3 3 ×2cos150°＝49，∴b ＝7.(4)由cos A ＝2222b c a +-得cos A ＝（ 2 ）2＋（ 3 ＋1）2－222 2 （ 3 ＋1） ＝ 22 ，∴A ＝45°2.在△ABC 中，已知222a abc b +=-，则内角C 等于 （ ）A ．90B ．60C ．120D ． 30 解：222a ab c b +=-，2222cos a b c ab ab C ∴+-=-=,1cos 2C ∴=-0180C <<,120C ∴=3. 在△ABC 中，其三边长分别为,,a b c ，且三角形面积2224a b c S +-=，则角C =_________解：2222cos cos 1sin ,tan 1,454422a b c ab C ab C S ab C C C +-====∴=∴= 4.在△ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，判断△ABC 三角形的形状 解：sin :sin :sin 2:3:4,::2:3:4A B C a b c =∴=,2,3,4,a b c a b c ∴<<===设则222cos 491630,C a b c C ∴=+-=+-=-<∴为钝角△ABC 为钝角三角形 （中档题）5. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边, 2,3a b ==， cos C =13，则其外接圆的半径为（） A ．2B ．4C ．8D ．9解：22212cos 4922393c a b abC =+-=+-⨯⨯⨯=,3c ∴=1cos,0180,sin 3C C C =<<∴=2sin 3c R C ∴===6．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，设a +c=2b ，A －C=3π，求sinB 的值。