6.4实际问题与二次函数(3)
实际问题与二次函数(3)
x
● (2,-2)
(-2,-2) ●
4米
-3
y o
(-2,-2) ●
解：建立如图所示坐标系, 2 设二次函数解析式为 y ax
x
● (2,-2)
由抛物线经过点（2，-2），可得 1 a 2 所以，这条抛物线的解析式为
-3
当水面下降1m时，水面的纵坐标为 当
1 2 y x 2
y 3 y 3 时，x 6
我校九年级学生姚小鸣同学怀着激动的 心情前往广州观看亚运会开幕式表演.现在 先让我们和姚小鸣一起逛逛美丽的广州吧！
如果我是导演，运动员出场时，我就 让他们坐着船，从圣火的拱形桥下面 穿过，效果肯定特棒！
如果要使运动员坐着 船从圣火的拱形桥下面 穿过入场，现已知拱形 底座顶部离水面 2 m,水 面宽 4 m,为了船能顺利 通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增 加多少?
所以水面的宽度增加了 2 6 4 m
有座抛物线形拱桥(如图)，正常水位时桥下 河面宽20m，河面距拱顶4m，为了保证过往 船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 16m，求水面在正常水位基础上上涨多少米 时，就会影响过往船只航行。
若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球
命中?
（1）跳得高一点儿 y （2）向前平移一点儿
感悟果
知识果
方法果
作业：必做题：P27 第九题 选做题：P27 第十题
(-2,-2) ●
解：建立如图所示坐标系, 2 设二次函数解析式为 y ax
x
● (2,-2)
由抛物线经过点（2，-2），可得 1水面下降1m时，水面的纵坐标为 当
1 2 y x 2
y 3 y 3 时，x 6
九年级数学上册教学课件《实际问题与二次函数(第3课时)》
这时水面的宽度为x2-x1=2 6， 因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2 6-4)m.
2m l=4m
o
探究新知
22.3 实际问题与二次函数
【思考】“二次函数应用”的思路
回顾 “最大利润”和 “桥梁建筑”解决问题的过程，
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不 变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的 原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 .
∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上，
∴﹣5.6=36a，a 7 .
45
∴抛物线的表达式为 y
7
x2 .
45
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底 边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间 距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平 距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？
探究新知 怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴 为y轴，建立直角坐标系，如图．
22.3 实际问题与二次函数
从图看出，什么形式的二次函数，它 的图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标系是（0.0），因此 这个二次函数的形式为y ax2.
二次函数与实际问题
二次函数与实际问题一、引言二次函数是高中数学中非常重要的一部分，它在实际生活中有着广泛的应用。
本文旨在介绍二次函数的基本概念、性质以及如何应用到实际问题中。
二、二次函数的定义与性质1. 二次函数的定义二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a,b,c为常数，x,y为自变量和因变量。
2. 二次函数的图像特征（1）对称轴：x=-b/2a（2）顶点：(-b/2a, c-b²/4a)（3）开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
（4）零点：即方程ax²+bx+c=0的解。
当b²-4ac>0时，有两个不相等实根；当b²-4ac=0时，有一个重根；当b²-4ac<0时，无实根。
3. 二次函数与一次函数、常数函数的比较（1）一次函数y=kx+b是一个斜率为k、截距为b的直线。
（2）常数函数y=c是一个水平直线，其值始终为c。
（3）与一次函数相比，二次函数具有更加复杂的图像特征；与常数函数相比，二次函数具有更加丰富的变化。
三、二次函数的应用1. 最值问题对于二次函数y=ax²+bx+c，当a>0时，其最小值为c-b²/4a，即顶点的纵坐标；当a<0时，其最大值为c-b²/4a。
2. 零点问题对于二次函数y=ax²+bx+c，求其零点即为求解方程ax²+bx+c=0的解。
可以使用求根公式或配方法等方式来求解。
3. 优化问题在实际生活中，很多问题都可以转化为求某个目标函数的最大值或最小值。
例如，在制作一个长方形纸箱时，如何使得纸箱的容积最大？假设纸箱长为x，宽为y，高为h，则容积V=xyh。
由于长和宽已知，因此我们只需要确定h的取值范围，并找出使得V最大的h即可。
由于纸箱需要稳定，在实际中我们还需要考虑其他因素（如纸板厚度等），从而确定出一个合适的取值范围。
人教版实际问题与二次函数(3)
wx10 x40 x25x0400 x22 5225
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利 润为225元。
2. 某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价 800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增 加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅 行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？
若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数。 （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元） 的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品 的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是 多少元？
（1）设此一次函数解析式为yk xb。
15k b 25 则 20k b 20
解得：k=－1，b＝40。
解：设旅行团人数为x人,营业额为y元,则Βιβλιοθήκη y x800 10x 30
10x2 1100x
10x 552 30250.
3. 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个 房间的定价为每天180元时，房间会全部住满。 当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有 一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对 每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多 少时，宾馆利润最大？
解决关于函数实际问题的一般步骤
（1）先分析问题中的数量关系、变量和常量， 列出函数关系式. （2）研究自变量的取值范围. （3）研究所得的函数.
（配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值）
（4）检验 x的取值是否在自变量的取值范 围内、结果的合理性等，并求相关的值. （5）解决提出的实际问题
1. 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售 价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下:
《实际问题与二次函数(3)》课件
B
解法二：（1)以抛物线的顶点为原点，以抛物线 的对称轴为y轴建立直角坐标系。设二次函数的解 析式为y=ax2(a≠0） 抛物线经过点（2，-2），可得，a=-0.5y 抛物线的解析式为：y=-0.5x2
0 h
x
A(-2,-2) 1m B(2,-2) (X2,-3) D C (X1,-3)
（2）水面下降1米，即当y=-3 y 时 6 6 0 -0.5x2=-3 解得x1=x2= 6 h x CD=︱x1-x2︳=2 A(-2,-2) 1m B(2,-2) 6 (X1,-3) (X2,-3) D C 水面宽增加 CD-AB=（2 4）米
B (2,0)x D
即解析式为：y=-0.5x2+2 A
M
2m
4m
B
（2）水面下降1米，即当y=-1 时 6 6 -0.5x2+2=-1 解得x1=6 x2= 6 CD=︱x1-x2︳=2 水面宽增加 CD-AB=（2 4）米
(-2,0)A
y M(0,2)
-
C
1m o
B (2,0)x D
M
2m
A
4m
b 直线x 2a 对称轴是
， . ，它的 . 当
b 4ac b 2 , ，顶点坐标是 2 a 4 a
a>0时，抛物线开口 上 低
向 ，有最
小
4 ac b 2 4a
点，函数有最 大
值，是
高 当 a<0时，抛物 下
4 ac b 2 4a
；
直线x=3 3. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 (3 ，5) 顶点坐标是 _________。 直线 x=-4 2 大 -1 4. -4 二次函数y=-3(x+4) -1的对称轴是 坐标是 是 。当x= 直线x=2 时，函数有最 值，是
实际问题与二次函数_第三课时-课件
图1
图2
【思路点拨】根据线段的长度写出相关点的坐标，再设出函数的解析 式，把点的坐标代入解析式求出解析式，可以算出EF的宽度。
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
例5.如图1，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同。 正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米（即MO＝6米），小 孔顶点N距水面4.5米（NC＝4.5米）。当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图2 中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF。
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
练习：有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米， 把它的示意图放在如图所示的坐标系中，则抛物线的函数关系 式为__y_____21_5__x_2 __85__x__ 。
解：因为抛物线过点（0，0）和（40，0），
∴ y=ax（x- 40）①
又∵ 函数过点（20，16）代入①得20a（20-40）=16，
探究一：利用二次函数解决抛物线形拱桥问题
重点知识★
活动2 自学互研，生成能力。
完成下列填空：
1.以拱桥的顶点为原点，以经过该点的铅垂线为y轴建立平面直 角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为_____y____a_x_2。
2.一座拱桥为抛物线形，其函数解析式为___y____a_x_2_，
当水位线在AB位置时，水面宽4 m，这时水面离桥顶的高度为
设点B（10，n），点D（5，n+3），
n=10²•a=100a，n+3=5²a=25a，
即
n 100a n 3 25a
y 1 x2 25
n 4
解得
a
1 25
（2）∵ 货轮经过拱桥时的横坐标为x=3， ∴ 当x=3时，y 1 9 25 9 （ 4） 3.6 25
6.4 二次函数的应用(3)
§6.4 二次函数的应用（3）[ 教案]备课时间: 主备人:教学目标:了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．教学重点:是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．教学难点:本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．建立直角坐标系。
教学方法:在教师的引导下自主教学。
教学过程:一、情境创设1、在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y （m ）与飞行时间x （s ）的关系满足y=－51x 2＋10x ． （1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？（2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？二、例题教学1、解决书27页问题二：学生自主学习，相互探究解决问题的方案。
2、如图所示,桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O 恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A 处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA 距离为1m 处达到距水面最大高度2.25m.(1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少m,才能使喷出的水流不致落到池外？(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流的最大高度应达到多少m(精确到0.1m)？例3、某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m ，涵洞顶点O 到水面的距离为2．4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 问题2一个涵洞成抛物线形，它的截面如图现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m ？三、练习（1）河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所示的坐标系，其函数的解析式为 y= - x 2 ，当水位线在AB 位置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h 是（ ）A 、5米B 、6米；C 、8米；D 、9米2）一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m 后,水面的宽度是多少?(结果精确到0.1m).（3）某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m ，顶部C 离地面高度为4．4m ．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m ，装货宽度为2．4m ．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．四、小结本节课你有那些收获？五、作业：30页6、7题。
实际问题与二次函数课件
03 二次函数的应用
最大最小值问题
要点一
总结词
通过求二次函数的顶点，解决生活中的最大最小值问题。
要点二
详细描述
在二次函数中，顶点坐标可以通过公式$-frac{b}{2a}$和 $fleft(-frac{b}{2a}right)$求得。在解决实际问题时，我们 可以通过找到二次函数的顶点，来找到某个量的最大值或 最小值。例如，在建筑设计中，为了使建筑物的窗户或阳 台获得最好的视野，需要找到最佳的窗户或阳台的高度和 宽度。
02 实际问题与二次函数
生活中的二次函数问题
抛物线运动
在投掷、射箭等运动中，物体的运动 轨迹可以近似地用二次函数描述。这 是因为物体在空中的运动受到重力的 影响，形成抛物线形状。
桥梁振动
大型桥梁在风力或地震作用下会产生 振动，其振动幅度和频率与二次函数 相关，通过研究这些函数的特性，可 以预测桥梁的安全性。
04 实际问题的解决策略
建模策略
总结词
将实际问题转化为数学模型的关键步 骤
详细描述
通过理解问题的本质，将实际问题的 语言描述转化为数学表达式，构建出 反映问题内在规律的数学模型。
图像分析策略
总结词
利用二次函数的图像解决实际问题的有 效方法
VS
详细描述
通过绘制二次函数的图像，直观地展示函 数的性质和变化规律，从而解决与二次函 数相关的实际问题，如最值问题、交点问 题等。
面积问题
总结词
利用二次函数解决生活中的面积问题。
详细描述
在解决与面积相关的问题时，我们可以将面积表示为二次函数的形式。例如，在农业中，为了最大化 农作物的产量，需要找到最佳的种植密度。通过将种植密度表示为二次函数，可以找到最佳的种植密 度，从而最大化农作物的产量。
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8
y A
1.6
B
顶点 E（0, 0.2）
2.2
所以，绳子最低点到地面 的距离为 0.2米.
0.7
F E O D x
C
0.4
小结反思
解二次函数应用题的一般步骤： 1 . 审题,弄清已知和未知。 2 . 将实际问题转化为数学问题。建立适 当的平面直角坐标系(初中阶段不要求)
3 .根据题意找出点的坐标，求出抛物线 解析式。分析图象(并注意变量的取值范 围), 解决实际问题。 4 .返回实际背景检验。
x
1 2 y x 4 4 (0≤x≤8) 9
y ax 4 4
2
(0≤x≤8)
20 抛物线经过点 0， 9 20 2 a0 4 4 9
探究延伸:
若假设出手的角度和力度都不变, 则如何才能使此球命中?
（1）跳得高一点 （2）向前平移一点
1 B(1,2.25 ） B
.A A(0,1.25)
1.25 2.25 C
． .
O
x
探究2：
如图的抛物线形拱桥,当水面在 l时,拱桥顶离水面 2 m,水面宽 4 m,水面下降 1 m, 水面宽度增加多少?
探究2：
0
(-2,-2)
●
y
解：设这条抛物线表示的二次函数为
由抛物线经过点（2，-2），可得
0.7
E D
C
0.4
例题：
如图，一单杠高2.2米，两立柱
y
之间的距离为1.6米，将一根绳子的
A
1.6
B
两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子
自然下垂呈抛物线状。一身高0.7米
F
2.2
的小孩站在离立柱0.4米处，其头部
刚好触上绳子，求绳子最低点到地 面的距离。
0.7
E O D x
C
0.4
解 ：如图，以CD所在的直线为X轴，CD的中垂线为Y轴建立
∴水面的宽度增加了 2 6 4 m
y
(2,2)
解：设这条抛物线表示的二次函数为
y a( x 2)2 2
由抛物线经过点（0，0），可得
(4, 0)
●
(0,0)
●
a
1 2
0
1 y ( x 2) 2 2 2 当水面下降1m时，水面的纵坐标为 抛物线形拱桥，当水面在 l 时， y 1 拱顶离水面2m，水面宽度4m，水 面下降1m，水面宽度增加多少？ 当 y 1 时， x 6 2
找出实际问题的答案
有座抛物线形拱桥(如图)，正常水位时桥下 河面宽20m，河面距拱顶4m，为了保证过 往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小 于18m，求水面在正常水位基础上上涨多 少米时，就会影响过往船只航行。
例3:你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高 处的形状可近似地视为抛物线，如图所示，正在甩绳 的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1 米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、 2.5米处，绳甩到最高处时，刚好通过他们的头顶， 已知学生丙的身高是1.5米，请你算一算学生丁的身 高。 C
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长 1 y x2 4 是8m，宽是2m，抛物线可以用 表示. 4 （1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可
以通过？ （1）卡车可以通过.
3
提示：当x=±1时，y =3.75, 3.75＋2>4.
丙
A
(0,1)
B
(1,1.5)
C
丁
2.5m 4m
D
(4,1)
1m
甲 o 1m
乙
x
探究3:投篮问题
y
20 9
（4，4）
1 a 9
8
3
4
0
20 如图，建立平面 直角坐标系， 当x 8时， y 9 点（4，4）是图中这段抛物 ∵篮圈中心距离地面3米 线的顶点，因此可设这段抛 ∴此球不能投中 物线对应的函数为：
6
（4，4） （5，4）
4
20 0, 9
2
(７，３） （8，3）
●
0
1
2
3
4
5 5
6
7
8
9
10
X
-2
例题：
如图，一单杠高2.2米，两立柱
y
之间的距离为1.6米，将一根绳子的
A
1.6
B
两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子
自然下垂呈抛物线状。一身高0.7米
F
2.2
的小孩站在离立柱0.4米处，其头部
1
（2）卡车可以通过.
O
1 3
－3
－1 －1 －3
提示：当x=±2时，y =3, 3＋2>4.
x 所以，这条抛物线的二次函数为：
∴水面的宽度增加了 2 6 4 m
所以，水面下降1m，水面的 宽度为2 6 m.
y
y
0
x
0
X
注意:
在解决实际问题时,我们应建立简单方便的平面直角坐标 系.
用抛物线的知识解决生活中的一些实 际问题的一般步骤： 建立直角坐标系
二次函数 问题求解
注意变量的取值范围
B
甲
A 1m
丙
丁
D
乙
o 1m 2.5m
4m
解：由题意，设抛物线解析式为 y =ax2+bx+1, 把 B（1，1.5），D（4，1）代入得: 1 a 6 , y 1 x 2 2 x 1 1.5 a b 1, 解得 6 3 1 16a 4b 1. 2 b . 3 把x=2.5代入得y=1.625 ∴C点的坐标为(2.5, 1.625) ∴丁的身高是1.625米 y
y axa2Fra bibliotekx(2,-2)
●
1 2
所以，这条抛物线的二次函数为： 1 2 y x 2 当水面下降1m时，水面的纵坐标为
y 3 抛物线形拱桥，当水面在 l 时， 拱顶离水面2m，水面宽度4m，水 当 y 3 时，x 6 面下降1m，水面宽度增加多少？ 所以，水面下降1m，水面的宽 度为 2 6m.
在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手 高度为多少时能将篮球投入篮圈?
6
y
（4，4）
4
20 0, 9 2
（8，3） 20 8, 9
0
1
2
3
4
5 5
6
7
8
9
10
x
-2
在出手角度、力度及高度都不变的情况下， 则小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起 投篮也能将篮球投入篮圈？ y
具有二次函数的图象抛物线的特征
探究1：
如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相 同的抛物线落下，如果喷头所在处A距地面1.25米,水流路 线最高处B距地面2.25米,且距水池中心的水平距离为1米. 试建立适当的坐标系,表示该抛物线的解析式 为 y= －(x-1)2 +2.25,如果不考虑其他因素，那么水池的 半径至少要 2.5 米，才能使喷出的水流不致落到池外。 y
刚好触上绳子，求绳子最低点到地 面的距离。
0.7
E x D
CO
0.4
例题：
如图，一单杠高2.2米，两立柱 之间的距离为1.6米，将一根绳子的
A O y
1.6
B x
两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子
自然下垂呈抛物线状。一身高0.7米
F
2.2
的小孩站在离立柱0.4米处，其头部
刚好触上绳子，求绳子最低点到地 面的距离。