3.2 不定积分的换元积分法
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高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法
解 令 t 1x2 x2t21,xdxtdt,
x5
1
x2
dx
(t2 1)2 tdt t
(t42t21)dt
1t52t3tC1(84x23x4)1x2C .
53
15
例5
求
1 dx.
1ex
解 令 t 1ex ext21,
x ln t2 1, dxt22t1dt,
1
a2(t1si2n t)C 22
a 2arx c 1 sxia 2 n x 2 C . 2 a2
ax t
a2x2
例2 求
1 dx (a0). x2a2
解 令 xatat,n t 2, 2 d x a s2 e td tc ,
1 dx x2 a2
1 ase2tcdt asetc
可由 a24b的符号确 . 定
a24b0, x21 a xbd x(xm 1)2ndx a24b0, x21 ax bdx (x1m)2dx a24b0, x21 a xbd x(xm 1 )x (n)dx
例5 求 taxn dx. 解 tanxdx csionxxsdx c1oxd s(cox)s
c1oxsd(co x)s lc nx o C s.
( 使用了三角函数恒等变形 )
ta x d x n lc n x o C s .
同理可得 cx o d x tls nx i n C .
例6 (1) 求 se x d x c. sx e d x c ls nx e tca x C n .
x5 1x2d x(s t)5 i1 n s2 itc n to d t s si5tn c2 o td ts
( 应用“凑微分”即可求出结果 )
五大积分法
五大积分法积分是微积分的重要概念之一，它在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
在微积分中，有多种方法可以进行积分运算，其中比较常用的是五大积分法，包括定积分、不定积分、换元积分法、分部积分法和特殊函数积分法。
下面将分别对这五种积分法进行介绍。
一、定积分定积分是对函数在一个区间上的积分运算。
它的定义是将函数在该区间上的取值乘以区间的长度，并对乘积进行求和。
定积分的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
定积分的计算需要确定积分上下限和被积函数，然后进行积分运算。
定积分的结果是一个数值，表示函数在给定区间上的总体积或面积。
二、不定积分不定积分是对函数的积分运算，它的结果是一个含有积分变量的表达式。
不定积分的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)是被积函数，dx 表示积分变量。
不定积分的计算需要找到被积函数的原函数，即原函数的导数等于被积函数。
不定积分的结果可以看作是原函数的一个特定形式，有时也被称为不定积分的通解。
三、换元积分法换元积分法是一种通过变量替换来简化积分运算的方法。
它的基本思想是将被积函数中的变量进行代换，使得积分变得更简单。
换元积分法的步骤是先选择适当的代换变量，然后计算出新的被积函数和积分变量，最后进行积分运算。
换元积分法在解决一些复杂的积分问题时非常有用，可以大大简化计算过程。
四、分部积分法分部积分法是一种通过对积分变量进行分部处理，将复杂的积分转化为简单的积分的方法。
它的基本思想是将被积函数进行分解，然后对分解后的每一项进行积分运算。
分部积分法的公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，其中u(x)和v(x)是两个函数，u'(x)和v'(x)分别是它们的导数。
分部积分法可以多次使用，将复杂的积分转化为简单的积分，从而简化计算过程。
五、特殊函数积分法特殊函数积分法是一种通过使用特殊函数的性质来进行积分运算的方法。
不定积分的换元积分法 答案详解
2
x
dx
1dx 2
1 4
cos
2xd
2x
1 x 1 sin 2x C 24
8． cos3 xdx
解：原式 cos2 xdsinx (1 sin2 x)dsinx
dsinx
sin2
xdsinx
sinx
1 3
sin3
x
C
9． sin 5x cos3xdx
sin2 cos4
xd x
cos
x
cos2 x 1 cos4 x d cos x
(cos
x)2
(cos
x)4
d
cos
x
(cos
x)1
(cos x)3 3
C
11． tan10 x sec2 xdx 解：原式 tan10 xdtanx 1 tan11 x C
2 arctan x 1 C
2
2
解：原式
(
x
x2 2)(
3 x 3)
dx
x
1
dx 3
3
(
x
1 2)(
x
3)
dx
4
1 d(x 3) x3
3
1 x
d(x 2) 2
4 ln
x3
3ln
x
2
C
4． xe13x2 dx
解：原式 1 e13x2 d(1 3x2) 1 e13x2 C
不定积分的换元积分法
不定积分的换元积分法一、引言在微积分中，不定积分是求导运算的逆运算。
通过不定积分，我们可以求得函数的原函数，进而解决各种实际问题。
换元积分法是求不定积分时常用的一种技巧，能够将复杂的积分转化为简单的积分，从而简化计算过程。
本文将详细介绍不定积分的换元积分法的原理、应用以及一些常见的例题。
二、换元积分法的原理换元积分法是基于复合函数求导链式法则的一个推广。
通过引入一个新的变量，可以将原函数转化为一个复合函数的积分。
具体步骤如下：1. 选择一个适当的变量代换，将被积函数中的自变量用新的变量表示。
2. 计算这个变量代换的导数，得到被积函数中关于新变量的导数形式。
3. 将原函数转化为一个关于新变量的积分，这样可以化简计算。
4. 完成积分后，将新变量用原来的自变量表示，得到最终结果。
三、换元积分法的应用换元积分法在解决复杂积分问题时非常有效。
它常用于以下几种情况：1. 当被积函数中存在复杂的指数函数、三角函数等时，可以通过选择适当的代换变量将其转化为简单的形式。
2. 对于具有根式形式的被积函数，通过适当的变换将其转化为有理函数形式，从而进行计算。
3. 当被积函数中存在分式或有理函数时，可以通过合理的代换将其转化为多项式形式，将计算变得更加简单。
四、例题分析以下是几个通过换元积分法求解的例题：1. 计算不定积分∫(3x^2+2x+1)dx。
首先可以将被积函数中的自变量x用一个新的变量u代替，即令u=3x^2+2x+1。
然后计算出这个变量代换的导数du=6xdx+2dx=6xdx+2。
最后将原函数转化为关于u的积分，即∫du。
完成积分后，将u用原来的自变量x表示即可得到结果。
2. 计算不定积分∫(x^3+1)^(1/2)xdx。
对于这个被积函数，可以选取u=x^3+1进行变量代换。
然后计算出du=3x^2dx。
将原函数转化为关于u的积分，即∫(u^(1/2)/3)du。
完成积分后，将u用原来的自变量x表示即可得到结果。
不定积分的换元积分法
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有时计算复杂：在某些情况下，换元后需要进行的计算可 能较为复杂，需要较高的计算能力。
不定积分换元法的发展趋势
理论研究不断深入
随着数学理论的发展，不定积分换元法 的理论体系不断完善，研究不断深入。
VS
应用领域不断拓展
随着科技的发展，不定积分换元法的应用 领域越来越广泛，不仅在数学、物理等领 域得到广泛应用，也逐渐拓展到工程、经 济等领域。
不定积分的换元积分法
2023-12-23
CONTENTS 目录
• 不定积分的概念 • 换元积分法的基本思想 • 常用的换元积分法 • 换元积分法的应用实例 • 总结与展望
CHAPTER 01
不定积分的概念
定义与性质
定义
不定积分是微分的逆运算，即求一个 函数的原函数或不定积分。
性质
不定积分具有线性性质、积分常数性 质和积分区间可加性。
第二类换元积分法（变量替换法）
总结词
通过引入新的变量替换原函数中的部分变量，将不定积分转化为容易求解的形式。
详细描述
第二类换元积分法也称为变量替换法。这种方法适用于被积函数中含有根号或分母中含有变量的不定 积分。通过引入新的变量进行替换，可以将不定积分转化为容易求解的形式。常用的替换方法包括三 角函数替换、指数函数替换等。
换元积分法不仅在不定积分和解决实际问题中有应用，在其他数学领域也有广泛的应用。例如，在求 解微分方程、变分法、复变函数等领域中，换元积分法都是一种重要的工具。
通过引入适当的变量替换，可以将复杂的问题转化为更易于处理的形式，从而简化计算或求解过程。
CHAPTER 05
总结与展望
不定积分换元法的优缺点
在不定积分中，如果一个函数可以表示为另一个函数的复合函数，那么可 以通过引入新的变量来简化计算。
有时计算复杂：在某些情况下，换元后需要进行的计算可 能较为复杂，需要较高的计算能力。
不定积分换元法的发展趋势
理论研究不断深入
随着数学理论的发展，不定积分换元法 的理论体系不断完善，研究不断深入。
VS
应用领域不断拓展
随着科技的发展，不定积分换元法的应用 领域越来越广泛，不仅在数学、物理等领 域得到广泛应用，也逐渐拓展到工程、经 济等领域。
不定积分的换元积分法
2023-12-23
CONTENTS 目录
• 不定积分的概念 • 换元积分法的基本思想 • 常用的换元积分法 • 换元积分法的应用实例 • 总结与展望
CHAPTER 01
不定积分的概念
定义与性质
定义
不定积分是微分的逆运算，即求一个 函数的原函数或不定积分。
性质
不定积分具有线性性质、积分常数性 质和积分区间可加性。
第二类换元积分法（变量替换法）
总结词
通过引入新的变量替换原函数中的部分变量，将不定积分转化为容易求解的形式。
详细描述
第二类换元积分法也称为变量替换法。这种方法适用于被积函数中含有根号或分母中含有变量的不定 积分。通过引入新的变量进行替换，可以将不定积分转化为容易求解的形式。常用的替换方法包括三 角函数替换、指数函数替换等。
换元积分法不仅在不定积分和解决实际问题中有应用，在其他数学领域也有广泛的应用。例如，在求 解微分方程、变分法、复变函数等领域中，换元积分法都是一种重要的工具。
通过引入适当的变量替换，可以将复杂的问题转化为更易于处理的形式，从而简化计算或求解过程。
CHAPTER 05
总结与展望
不定积分换元法的优缺点
在不定积分中，如果一个函数可以表示为另一个函数的复合函数，那么可 以通过引入新的变量来简化计算。
微积分不定积分__换元积分法(第一类)
例18 求
解
∫
x 4 − x arcsin 2 1 x 1 d dx = ∫ 2 x 2 x 2 x 4 − x arcsin 1− arcsin 2 2 2
2
∫
1
dx .
x x d (arcsin ) = ln arcsin + C . =∫ x 2 2 arcsin 2
1
小结 常用简化技巧 常用简化技巧:
§3.2 换元积分法
一、第一类换元法
问题
∫ cos 2 xdx
解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 利用复合函数，设置中间变量.
1 过程 令 t = 2 x ⇒ dx = dt , 2 ③1 ①1 ②1 ∫ cos 2 xdx = 2 ∫ cos tdt = 2 sin t + C= 2 sin 2 x + C .
1 例5 求 ∫ 2 dx . 2 a +x 1 1 dx = 2 ∫ 解 ∫ 2 2 a a +x
1 x 1+ a
2
dx
1 = ∫ a
1 x x 1 d = arctan + C . 2 a x a a 1+ 记住此公式 a
1 1 x dx = arctan + C ∴∫ 2 2 a a a +x
例7. 求 解法1 解法
dx ∫1+ ex .
(1+ e ) −e = =∫ dx ∫ x 1+ e −ln( + ex ) +C 1 =x
x x
d(1+ ex ) dx − ∫ 1+ ex
解法2 解法
e d(1+ e ) =∫ dx = −∫ −x −x 1+ e 1+ e = −ln(1+ e−x ) +C
不定积分的换元法第一篇
解
x2 f (1 x3 )dx 1 f (1 x3 )d(1 x3 ) 3
又 f ( x)dx x C，
x2 f (1 x3 )dx 1 1 x3 +C 3
例12 求 x2(2x 1)50dx
解 令u 2x 1 则 dx 1 du
第三节 不定积分与定积分的运算
一、不定积分的换元法
二、定积分的换元法
三、分部积分法
不定积分的分部积分法 定积分的分部积分法
四、积分的其它例子法
第四章
一、换元积分法
1、第一类换元法 2、第二类换元法
基本思路
设 F(u) f (u),
可导, 则有
f (( x))d(( x)) f (u)du u(x)
一部分凑成d (x),这需要解题经验,如果记熟下列一些微
分式(P197) ,解题中则会给我们以启示．
dx 1 d(ax b)， xdx 1 d(x2 )，
a
2
dx 2d( x)， x
exdx d(ex )，
1 dx d(ln | x |)， sin xdx d(cos x)， x
1 ln x a ln x a C 1 ln x a C
2a
2a xa
例4 求 (1) xe13x2 dx;
(2) x a2 x2 dx.
解 (1) xe13x2dx e13x2 xdx, 且 d(1 3x2 ) 6xdx,
F (u) C u( x) F[ ( x)] C
第一类换元法 第二类换元法
1．第一换元积分法(凑微分法)
问题 1 求 e3xdx .
不定积分的换元法
一般的说，若积分 f (x)dx不易计算可以作适当的
变量代换 x (t) ，把原积分化为 f ((t))'(t) dt 的形
式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要
将 t 1(x) 代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.
应用第二类换元法求不定积分的步骤为
f
( x) d
x
x
换元
(t)
f
(t)
'(t ) d
t
g(t)d t
F(t)
C
还原
(t)
x
F
1(t) C
第二类积分换元法 分为两种基本类型根 三式 角代 代换 换
例6 求
x dx. 1 x
解 令 1 x t，得x 1t2，得dx 2tdt，所以有
x 1
x
dx
1t
t
2
2tdt
2 (1 t2)dt
ln
x a
x
2 a
a
2
C
.
x2 a2
x
t a
练习：P109 1（12）
小结：二类换元积分法的思想与步骤
作业：P109 1（1）、（4）、（10）
C
1 3
(
x2
3
4)2
C.
x2
4dx
1 2
udu
练习：P109 1（2）、（5）、（15）
二、 第二类换元法
第一类换元法是通过变量替换 u ( x)
将积分
f [( x)]( x)dx化为积分 f (u)du
下面介绍的第二类换元法是通过变量替
换 x (t) 将积分
f ( x)dx化为积分 f [(t)](t)dt
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3
上面的例4，例5，例6，例7 均可以作为基本的积分公式.
∫ tan x dx
∫a
2
= ln sec x + C ,
例8 求积分∫
1 dx. x ln x ln ln x
∫ cot x dx = ln sin x + C ,
1 x 1 dx = arctan + C. + x2 a a x 1 ∫ a 2 − x2 dx = arcsin a + C. 1 1 x−a ∫ x2 − a 2 dx = 2a ln x + a + C.
= ln sin x + C ,
cos x
∫ tan x dx = ln sec x + C ∫ cot x dx = ln sin x + C
1 x d 2 x a 1+ a 1 x = arctan + C. a a 1 1 x ∫ a 2 + x 2 dx = a arctan a + C =
解
∫ cos ( 2 x + 3) dx
= 1 cos ( 2 x + 3) d ( 2 x + 3) 2∫ u = 2x + 3 1 cos u d u 2∫
∫
证 设 f
f ϕ ( x ) ϕ ′ ( x ) d x =
∫
f (u ) d u
u =ϕ ( x )
.
1 ′ = ∫ cos ( 2 x + 3)( 2 x + 3) dx 2
=
∫ f ( u ) du
u= x
;
1 x2 2 u = x2 1 u e dx e du 2∫ 2∫ 1 x2 1 u = e + C = e + C. 2 2 1 u = ln x 1 ⑵ ∫ x ( 2 ln x + 1) dx = ∫ 2 ln x + 1 dlnx = ∫ 2u1+ 1 du
( u ) 的一个原函数为 F ( u ) ，则
u =ϕ ( x )
∫ f ( u )d u
因 ∫
= F ( u ) u =ϕ
(x)
+C = F ϕ ( x ) + C.
′ = F ϕ x + C ′ = f ϕ x ϕ ′ x f (u ) d u ( ) ( ) ( ( )) u =ϕ ( x )
验证： 验证：因为
∫ 2 cos 2 x d x = ∫ cos 2 x ⋅ 2 d x = ∫ cos u d u
(sin 2 x + C )′ = 2 cos 2 x,
∫ 2 cos 2 x d x = 2∫ cos 2 x d x = 2sin 2 x + C ,
因为： 因为： (2sin 2 x + C)′ = 4cos 2x ≠ 2cos2 x,
u = ax + b 1 1 = ∫ d ( ax + b ) a ax + b
∫ ax + b dx ( a ≠ 0 ) .
1
第一类换元法的思路:
ϕ ( x ) ϕ ′ ( x ) dx = ∫ f ∫f ϕ ( x ) dϕ ( x )
⇓
1 1 du a∫u
u = ϕ ( x)
解 因 d ln x =
∫ x ln x ln ln x dx = ∫ ln x ln ln x d ln x
u = ln x v = ln u
1
1 d x, 得 x
1
∫ u ln u du = ∫ ln u dlnu ∫ v dv
1
1
1
∫ sec xdx = ln sec x + tan x + C
所以结果是正确的。 所以结果是正确的。 现在要问： 现在要问：将上面的变量代换用于求不定积分中， 将上面的变量代换用于求不定积分中， 是否是合法的？ ？ 是否是合法的
例1 求积分 Tm 1 设函数 f (u )连续 ， u 有换元积分公式
∫ cos ( 2 x + 3) dx.
= ϕ ( x)
有连续的导数， 有连续的导数，则
故有
∫
f ϕ ( x ) ϕ ′ ( x ) d x =
∫ f (u ) d u
u =ϕ ( x )
.
1 1 = sin u + C = sin ( 2 x + 3) + C. 2 2
1
例2 求积分
1 1 1 ′ 解 ∫ ax + b dx = ∫ a ax + b ( ax + b ) dx
∫
arctan x 2 arctan x dx = ∫ d x 2 x (1 + x ) 1+ x
( )
sin 2 x + cos 2 x = 1 , 1 + tan 2 x = sec 2 x, cos 2 x = 1 1 (1 + cos 2 x ) ,sin 2 x = (1 − cos 2 x ) , 2 2
u = 2 x ，则
d u = 2d x,
u =2 x
∫ 2 cos 2 x d x
∫ cos x d x = sin x + C
于是在形式上， 于是在形式上，原不定积分变成
在基本积分表中， 在基本积分表中，有公式 但不能由此得出： 但不能由此得出：
= sin u + C = sin 2 x + C.
2
1 cos x − 1 1 (1 − cos x ) ln + C = ln +C 2 cos x + 1 2 1 − cos 2 x
2
=
1 (1 − cos x ) ln + C = ln csc x − cot x + C 2 sin 2 x
=
∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C
u=
x
2 arctan u ∫ 1 + u 2 du = ∫ 2 arctan u d arctanu
sin 2 x = 2sin x cos x,
cos α cos β =
v = arctan u
∫ 2u du
= u 2 + C.
= arctan x
(
)
2
+ C.
1 cos (α − β ) + cos (α + β ) , 2 1 sin α sin β = cos (α − β ) − cos (α + β ) , 2 1 sin α cos β = sin (α + β ) + sin (α − β ) , 2
∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C
= ln v + C = ln ln u + C
= ln ln ln x + C
例9 求积分 解
∫
arctan x dx. x (1 + x )
注意 在三角函数的积分中， 在三角函数的积分中，利用三角恒等式对三角函 数做某些变换是积分中经常使用的方法. 常用的三角公 式是:
=
1
sin x 1 dx = ∫ dcosx 2 x cos 2 x − 1
2
1 d sin x sin 2 − 1
2
=
1 sin x + 1 1 (1 + sin x ) ln + C = ln +C 2 sin x − 1 2 1 − sin 2 x
1 (1 + sin x ) ln + C = ln sec x + tan x + C 2 cos 2 x
例7 求积分⑴ 求积分⑴ sec xdx, ⑵ csc xdx. 解⑴
∫
∫
∫ sec xdx = ln sec x + tan x + C
⑵
∫ sec xdx = ∫
= −∫
1 cos x 1 dx = ∫ dx = ∫ d sin x cos x cos 2 x 1 − sin 2 x
∫ csc xdx = ∫ sin x dx = ∫ sin
1 a∫
⑵
∫
=∫
1 a2 − x2
1
dx =
1 a∫
1 x 1− a
2
dx
例6 求积分 解
∫x
2
1 dx ( a > 0 ) . − a2
∫x
2
1 1 dx = ∫ dx − a2 ( x − a )( x + a )
x d x a 1− a
2
= arcsin
dϕ ( x )
∫ f ( u ) du（若 f (u) 有原函数 F (u ) ）
代回u = ϕ( x)
1 1 = ln u + C = ln ax + b + C. a a
= F (u ) + C
F ϕ ( x ) + C.
上述思路可用如下的示意图表示： 上述思路可用如下的示意图表示：
f [ϕ ( x)] ϕ ′( x )
f (u)
第一类换元法也叫“凑微分法”，常可把较复杂的积分换 成较易求的积分. 为熟练使用这种积分方法， 为熟练使用这种积分方法，解题者需 熟练掌握一些常见的微分公式！ 熟练掌握一些常见的微分公式！ 例如:
∫
dx =
∫
dx =
∫
du
换 u = ax + b, 也就是将 dx凑成