【世纪金榜】高三数学(人教版理)二轮复习练习：高考小题专攻练 3(含答案)
【世纪金榜】高三数学(人教版理)二轮复习练习：1.2.4导数的简单应用及定积分(含答案)
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课时巩固过关练六导数的简单应用及定积分(35分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2016·四川高考)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=()A.-4B.-2C.4D.2【解析】选D. f′=3x2-12=3,令f′=0,得x=-2或x=2,易知f在上单调递减,在上单调递增,故f的极小值为f,所以a=2.2.(2016·益阳一模)函数f(x)=x2-2lnx的单调减区间是()A.(0,1]B.[1,+∞)C.(-∞,-1)∪(0,1]D.[-1,0)∪(0,1] 【解析】选A.f′(x)=2x-=(x>0),令f(x)≤0,解得:0<x≤1.3.(2016·承德二模)在平面直角坐标系中,过原点O的直线l与曲线y=e x-2交于不同的两点A,B,分别过A,B作x轴的垂线,与曲线y=lnx交于点C,D,则直线CD的斜率为()A.3B.2C.1D.【解析】选C.设直线l的方程为y=kx(k>0),且A(x1,y1),B(x2,y2)，故kx1=,kx2=⇒x1=,x2=,则k CD====1.4.(2016·莱芜一模)设函数f′(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数,f(0)=1,且3f(x)=f′(x)-3,则4f(x)>f′(x)的解集为()A.B.C.D.【解析】选B.因为3f(x)=f′(x)-3,所以f′(x)=3f(x)+3,可设f(x)=ae bx+c,由f(0)=1,所以a+c=1,又3f(x)=f′(x)-3,所以3ae bx+3c=abe bx-3,即(3a-ab)e bx=-3-3c,所以解得b=3,c=-1,a=2.所以f(x)=2e3x-1,x∈R,又4f(x)>f′(x),所以8e3x-4>6e3x,即e3x>2,解得x>,所求不等式的解集为.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2016·衡阳一模)曲线f(x)=2x2-3x在点(1,f(1))处的切线方程为__________.【解析】f′(x)=4x-3,f′(1)=1,f(1)=-1,所以切线方程为y+1=x-1,即x-y-2=0.答案:x-y-2=06.(2016·汕头一模)若过点A(2，m)可作函数f(x)=x3-3x对应曲线的三条切线，则实数m的取值范围为__________.【解题导引】设切点为(a，a3-3a)，利用导数的几何意义，求得切线的斜率k=f′(a)，利用点斜式写出切线方程，将点A代入切线方程，可得关于a的方程有三个不同的解，利用参变量分离可得2a3-6a2=-6-m，令g(x)=2x3-6x2，利用导数求出g(x)的单调性和极值，则根据y=g(x)与y=-6-m有三个不同的交点，即可得到m的取值范围.【解析】设切点为(a，a3-3a)，因为f(x)=x3-3x，所以f′(x)=3x2-3，所以切线的斜率k=f′(a)=3a2-3，由点斜式可得切线方程为y-(a3-3a)=(3a2-3)(x-a)，因为切线过点A(2，m)，所以m-(a3-3a)=(3a2-3)(2-a)，即2a3-6a2=-6-m，因为过点A(2，m)可作曲线y=f(x)的三条切线，所以关于a的方程2a3-6a2=-6-m有三个不同的根，令g(x)=2x3-6x2，所以g′(x)=6x2-12x=0，解得x=0或x=2，当x<0时，g′(x)>0，当0<x<2时，g′(x)<0，当x>2时，g′(x)>0，所以g(x)在(-∞，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，所以当x=0时，g(x)取得极大值g(0)=0，当x=2时，g(x)取得极小值g(2)=-8，关于a的方程2a3-6a2=-6-m有三个不同的根，等价于y=g(x)与y=-6-m的图象有三个不同的交点，所以-8<-6-m<0，所以-6<m<2，所以实数m的取值范围为(-6，2).答案：(-6，2)三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.(2016·合肥二模)已知函数f(x)=lnx+(a>0).(1)当a=2时,求出函数f(x)的单调区间.(2)若不等式f(x)≥a对于x>0的一切值恒成立,求实数a的取值范围.【解题导引】(1)对函数求导,令导函数为0,得导函数的根,做表,通过导函数的正负确定原函数的增减.(2)将所要证明的式子变形,建立一个函数,求导后再建立一个新的函数,再求导.需要用到两次求导.再来通过最值确定正负号,然后确定原函数的单调性.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),a=2时,f(x)=lnx+,f′(x)=-=,令f′(x)=0,得x=e.①当0<x<e时,f′(x)<0,则f(x)在区间(0,e)上是单调递减的.②当e<x时,f′(x)>0,则f(x)在区间(e,+∞)上是单调递增的.所以f(x)的递减区间是(0,e),递增区间是(e,+∞).(2)原式等价于xlnx+a+e-2-ax≥0在(0,+∞)上恒成立.令g(x)=xlnx+a+e-2-ax.因为g′(x)=lnx+1-a,令g′(x)=0,得x=e a-1.①0<x<e a-1时,g′(x)<0,g(x)单调递减,②e a-1<x时,g′(x)>0,g(x)单调递增.所以g(x)的最小值为g(e a-1)=(a-1)e a-1+a+e-2-ae a-1=a+e-2-e a-1.令t(x)=x+e-2-e x-1.因为t′(x)=1-e x-1,令t′(x)=0,得x=1,且③0<x<1时,t′(x)>0,t(x)单调递增,④1<x时,t′(x)<0,t(x)单调递减.所以当a∈(0,1)时,g(x)的最小值t(a)>t(0)=e-2-=>0.当a∈[1,+∞)时,g(x)的最小值为t(a)=a+e-2-e a-1≥0=t(2).所以a∈[1,2].综上得:a∈(0,2].8.(2016·葫芦岛一模)已知函数f(x)=-x3+ax2+1(a∈R).(1)若在f(x)的图象上横坐标为的点处存在垂直于y轴的切线,求a的值.(2)若f(x)在区间(-2,3)内有两个不同的极值点,求a的取值范围.(3)在(1)的条件下,是否存在实数m,使得函数g(x)=x4-5x3+(2-m)x2+1的图象与函数f(x)的图象恰有三个交点,若存在,试求出实数m的值;若不存在,说明理由.【解析】(1)依题意,f′=0,因为f′(x)=-3x2+2ax,所以a=1.(2)若f(x)在区间(-2,3)内有两个不同的极值点.则f′(x)=0在(-2,3)内有两个不同的实根.又f′(x)=-3x2+2ax=-x(3x-2a),x1=0,x2=,所以-2<<3.解得-3<a<,且a≠0,所以a∈(-3,0)∪.(3)在(1)的条件下,a=1.要使函数f(x)与g(x)=x4-5x3+(2-m)x2+1的图象恰有三个交点,等价于方程-x3+x2+1=x4-5x3+(2-m)x2+1,即方程x2(x2-4x+1-m)=0恰有三个不同的实根.因为x=0是一个根,所以应使方程x2-4x+1-m=0有两个非零的不等实根,则Δ>0,1-m≠0,解得m>-3,m≠1.所以存在m∈(-3,1)∪(1,+∞)使得两个函数图象恰有三个交点.【加固训练】(2016·洛阳二模)已知函数f(x)=(m,n∈R)在x=1处取到极值2.(1)求f(x)的解析式.(2)设函数g(x)=lnx+,若对任意的x1∈[-1,1],总存在x2∈[1,e],使得g(x2)≤f(x1)+,求实数a的取值范围.【解题导引】(1)利用函数的求导公式计算函数的导数,根据函数在x=1处取到极值得出函数在x=1处的导数值为0,再把x=2代入函数,联立两式求出m,n的值即可.(2)由(1)知f(x)的定义域为R,且f(-x)=-f(x).故f(x)为奇函数.f(0)=0,x>0时,f(x)>0,f(x)=≤2.当且仅当x=1时取“=”.故f(x)的值域为[-2,2].从而f(x1)+≥.依题意有g(x)最小值≤.【解析】(1)f′(x)==.由f(x)在x=1处取到极值2,故f′(1)=0,f(1)=2,即解得m=4,n=1,经检验,此时f(x)在x=1处取得极值.故f(x)=.(2)由(1)知f(x)的定义域为R,且f(-x)=-f(x).故f(x)为奇函数.f(0)=0,x>0时,f(x)>0,f(x)=≤2.当且仅当x=1时取“=”.故f(x)的值域为[-2,2].从而f(x1)+≥.依题意有g(x)最小值≤.函数g(x)=lnx+的定义域为(0,+∞),g′(x)=.①当a≤1时,g′(x)>0,函数g(x)在[1,e]上单调递增,其最小值为g(1)=a≤1<合题意;②当1<a<e时,函数g(x)在[1,a)上有g′(x)<0,单调递减,在(a,e]上有g′(x)>0,单调递增,所以函数g(x)最小值为f(a)=lna+1,由lna+1≤,得0<a≤.从而知1<a≤符合题意;③当a≥e时,显然函数g(x)在[1,e]上单调递减,其最小值为g(e)=1+≥2>,不合题意.综上所述,a的取值范围为a≤.(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.曲线C:y=xlnx在点M(e,e)处的切线方程为()A.y=x-eB.y=x+eC.y=2x-eD.y=2x+e【解析】选 C.因为y=xlnx,所以y′=lnx+1,所以k=lne+1=2,所以切线方程为y-e=2(x-e),即y=2x-e.【加固训练】在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是()A.(0,0)B.(2,4)C.D.【解析】选D.y′=2x,设切点为(a,a2),所以y′=2a,得切线的斜率为2a,所以2a=tan45°=1,所以a=,在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是.2.若函数f(x)=x2-lnx+1在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围为()A.[1,+∞)B.C.[1,2)D.【解析】选B.因为f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2x-=,由f′(x)>0得,x>;由f′(x)<0得,0<x<;因为函数f(x)在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,所以0≤k-1<<k+1,所以1≤k<.3.函数f(x)(x>0)的导函数为f′(x),若xf′(x)+f(x)=e x,且f(1)=e,则() A.f(x)的最小值为e B.f(x)的最大值为eC.f(x)的最小值为D.f(x)的最大值为【解析】选A.设g(x)=xf(x)-e x,所以g′(x)=f(x)+xf′(x)-e x=0,所以g(x)=xf(x)-e x为常数函数.因为g(1)=1×f(1)-e=0,所以g(x)=xf(x)-e x=g(1)=0,所以f(x)=,f′(x)=,当0<x<1时,f′(x)<0,当x>1时,f′(x)>0,所以f(x)≥f(1)=e.【加固训练】设定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf′(x)-f(x)=xlnx,f=,则f(x)()A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值,又有极小值D.既无极大值,也无极小值【解析】选D.f(x)的定义域为(0,+∞),因为xf′(x)-f(x)=xlnx,所以=,所以′=,所以=ln2x+c,所以f(x)=xln2x+cx.因为f=ln2+c×=,所以c=.所以f′(x)=ln2x+lnx+=(lnx+1)2≥0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上既无极大值也无极小值.4.设函数f(x)=sin.若存在f(x)的极值点x0满足+[f(x0)]2<m2,则m的取值范围是()A.(-∞,-6)∪(6,+∞)B.(-∞,-4)∪(4,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(4,+∞)【解析】选C.由题意知:f′(x0)=·cos=0,所以x0=,所以m2>+[f(x0)]2=+3sin2=+3,故>3,解得m>2或m<-2.二、填空题(每小题5分,共10分)5.若函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+3=0,则f(1)-2f′(1)=__________.【解析】依题意得:当x=1时,y=2,即f(1)=2,又因为切线方程为x-2y+3=0,所以切线的斜率为,所以f′(1)=,所以f(1)-2f′(1)=2-2×=1.答案:1【加固训练】已知直线l:y=kx+b与曲线y=x3+3x+1相切,则斜率k取最小值时,直线l的方程为__________.【解题导引】求出原函数的导函数,得到导函数的最小值,求出此时x的值,再求出此时的函数值,由直线方程的点斜式,求得斜率k最小时直线l的方程.【解析】由y=x3+3x+1,得y′=3x2+3,则y′=3(x2+1)≥3,当y′=3时,x=0,此时f(0)=1,所以斜率k最小时直线l的方程为y-1=3(x-0),即3x-y+1=0.答案:3x-y+1=06.已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对于任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,当x1,x2∈[0,3],且x1≠x2时,都有>0,给出下列命题:①f(3)=0;②直线x=-6是函数f(x)的图象的一条对称轴;③函数y=f(x)在[-9,-6]上为增函数;④函数y=f(x)在[-9,9]上有四个零点.其中所有正确命题的序号为__________.【解析】对于任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,令x=-3,则f(-3+6)=f(-3)+f(3),又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(3)=0,故①正确.②由(1)知f(x+6)=f(x),所以f(x)的周期为6,又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(x+6)=f(-x),而f(x)的周期为6,所以f(x+6)=f(-6+x),f(-x)=f(-x+6),所以:f(-6-x)=f(-6+x),所以直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴,故②正确.③当x1,x2∈[0,3],且x1≠x2时,都有>0,所以函数y=f(x)在[0,3]上为增函数,因为f(x)是R上的偶函数,所以函数y=f(x)在[-3,0]上为减函数,而f(x)的周期为6,所以函数y=f(x)在[-9,-6]上为减函数,故③错误.④f(3)=0,f(x)的周期为6,所以:f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0,函数y=f(x)在[-9,9]上有四个零点,故④正确.答案:①②④三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.设函数f(x)=ae x(x+1)(其中e=2.71828…)，g(x)=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线.(1)求函数f(x)，g(x)的解析式.(2)求函数f(x)在[t，t+1](t>-3)上的最小值.(3)若对∀x≥-2，kf(x)≥g(x)恒成立，求实数k的取值范围.【解题导引】(1)求导函数，利用两函数在x=0处有相同的切线，可得2a=b，f(0)=a=g(0)=2，即可求函数f(x)，g(x)的解析式.(2)求导函数，确定函数的单调性，再分类讨论，即可求出函数f(x)在[t，t+1](t>-3)上的最小值.(3)令F(x)=kf(x)-g(x)=2ke x(x+1)-x2-4x-2，对∀x≥-2，kf(x)≥g(x)恒成立，可得当x≥-2时，F(x)min≥0，即可求实数k的取值范围.【解析】(1)f′(x)=ae x(x+2)，g′(x)=2x+b，由题意，两函数在x=0处有相同的切线.所以f′(0)=2a，g′(0)=b，所以2a=b，f(0)=a=g(0)=2，所以a=2，b=4，所以f(x)=2e x(x+1)，g(x)=x2+4x+2.(2)f′(x)=2e x(x+2)，由f′(x)>0得x>-2，由f′(x)<0得x<-2，所以f(x)在(-2，+∞)上单调递增，在(-∞，-2)上单调递减.因为t>-3，所以t+1>-2.①当-3<t<-2时，f(x)在[t，-2]上单调递减，在[-2，t+1]上单调递增，所以f(x)min=f(-2)=-2e-2.②当t≥-2时，f(x)在[t，t+1]上单调递增，所以f(x)min=f(t)=2e t(t+1).所以f(x)min=(3)令F(x)=kf(x)-g(x)=2ke x(x+1)-x2-4x-2，由题意当x≥-2时，F(x)min≥0.因为∀x≥-2，kf(x)≥g(x)恒成立，所以F(0)=2k-2≥0，所以k≥1，F′(x)=2ke x(x+1)+2ke x-2x-4=2(x+2)(ke x-1)，因为x≥-2，由F′(x)>0得e x>，所以x>ln；由F′(x)<0得x<ln.所以F(x)在上单调递减，在上单调递增.①当ln<-2，即k>e2时，F(x)在[-2，+∞)上单调递增，F(x)min=F(-2)=-2ke-2+2=(e2-k)<0，不满足F(x)min≥0.②当ln=-2，即k=e2时，由①知，F(x)min=F(-2)=(e2-k)=0，满足F(x)min≥0.③当ln>-2，即1≤k<e2时，F(x)在上单调递减，在上单调递增.F(x)min=F=lnk(2-lnk)>0，满足F(x)min≥0.综上所述，满足题意的k的取值范围为[1，e2].8.已知函数f(x)=ax+-2a+1(a>0).(1)求f(x)的单调区间.(2)若f(x)≥lnx在[1，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围.(3)证明：ln>.【解题导引】(1)求出f(x)的定义域，以及导函数，根据导函数的正负与增减性的关系判断即可确定出f(x)的单调区间.(2)令g(x)=ax+-2a+1-lnx，x∈[1，+∞)，求出g(1)的值以及导函数，根据导函数的正负与增减性的关系确定出f(x)≥lnx在[1，+∞)上恒成立时实数a的取值范围即可.(3)令a=，根据第二问的结论列出关系式，进而可得lnx2<x-(x>1)(*)，所证不等式等价于>，令x=>1(n>2)，代入不等式(*)，整理即可得证.【解析】(1)f(x)的定义域为{x|x≠0}，f′(x)=a-=(a>0)，当0<a≤1时，f′(x)>0恒成立，此时，f(x)在(-∞，0)，(0，+∞)上是增函数；当a≥1时，令f′(x)=0得：x1=-，x2=，列表如下：此时，f(x)的递增区间是(-∞，-)，(，+∞)；递减区间是，.(2)令g(x)=ax+-2a+1-lnx，x∈[1，+∞)，则g(1)=0，g′(x)=a--==，(i)当0<a<时，>1，若1<x<，则g′(x)<0，g(x)是减函数，所以g(x)<g(1)=0，即f(x)<lnx，故f(x)≥lnx在[1，+∞)上不恒成立；(ii)当a≥时，≤1，若x>1，则g′(x)>0，g(x)是增函数，所以g(x)>g(1)=0，即f(x)>lnx，故当x≥1时，f(x)≥lnx，综上所述，所求a的取值范围是.(3)在(2)中，令a=，可得不等式：lnx≤(x≥1)(当且仅当x=1时等号成立)，进而可得lnx2<x-(x>1)(*)，ln>⇒ln>，令x=>1(n>2)，代入不等式(*)得：ln<-=-=，则所证不等式成立.【加固训练】已知函数f(x)=e x+a|x-1|.(1)当a=3时,求函数f(x)在区间[0,2]上的值域.(2)若f(x)≥0对一切实数x∈[0,+∞)恒成立,求a的取值范围.【解析】(1)当a=3时,f(x)=e x+3|x-1|=则函数的导数f′(x)=当0<x<1时,f′(x)=e x-3<0,此时函数单调递减,当1<x<2时,f′(x)=e x+3>0,此时函数单调递增,所以函数的最小值为f(1)=e,又f(0)=4,f(2)=e2+3,则函数在[0,2]上的最大值为e2+3,即函数的值域为[e,e2+3].(2)当x=1时,f(1)=e>0,对一切x≥0都恒成立,所以此时a为任意实数. 当x≠1时,f(x)≥0等价为e x+a|x-1|≥0,即a≥,设g(x)=,则g(x)=g′(x)=即g(x)在[0,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增,在(2,+∞)上单调递减, 所以g(x)的极大值为g(2)=-e2,所以a≥-e2,且a≥g(0)=-1,综上a≥-1.1.(2016·包头一模)已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数).(1)若a=-2,求证:函数f(x)在(1,+∞)上是增函数.(2)求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值.【解析】(1)当a=-2时,f(x)=x2-2lnx,当x∈(1,+∞)时,f′(x)=>0,故函数f(x)在(1,+∞)上是增函数.(2)f′(x)=(x>0),当x∈[1,e]时,2x2+a∈[a+2,a+2e2].若a≥-2,f′(x)在[1,e]上非负(仅当a=-2,x=1时,f′(x)=0),故函数f(x)在[1,e]上是增函数,此时[f(x)]min=f(1)=1.若-2e2<a<-2,当x=时,f′(x)=0;当1≤x<时,f′(x)<0,此时f(x)是减函数;当<x≤e时,f′(x)>0,此时f(x)是增函数.故[f(x)]min=f=ln-.若a≤-2e2,f′(x)在[1,e]上非正(仅当a=-2e2,x=e时,f′(x)=0),故函数f(x)在[1,e]上是减函数,此时[f(x)]min=f(e)=a+e2.综上可知,当a≥-2时,f(x)的最小值为1,相应的x值为1;当-2e2<a<-2时,f(x)的最小值为ln-,相应的x值为;当a≤-2e2时,f(x)的最小值为a+e2,相应的x值为e.2.设函数f(x)=lnx+x2-2mx+m2,m∈R.(1)当m=0时,求函数f(x)在[1,3]上的最小值.(2)若函数f(x)在上存在单调递增区间,求实数m的取值范围.(3)若函数f(x)存在极值点,求实数m的取值范围.【解析】(1)当m=0时,f(x)=lnx+x2,其定义域为(0,+∞),f′(x)=+2x.所以f(x)在[1,3]上是增函数,当x=1时,f(x)取得最小值为f(1)=1.故函数f(x)在[1,3]上的最小值为1.(2)依题意,可知f′(x)=+2x-2m=.设g(x)=2x2-2mx+1,则区间上存在子区间使得不等式g(x)>0成立.因为函数g(x)的图象是开口向上的抛物线,所以只要g>0,或g>0即可.由g>0,即-m+1>0,解得m<,由g>0,即-3m+1>0,解得m<,因此,实数m的取值范围是.(3)由(2)可知f′(x)=+2x-2m,假设函数f(x)不存在极值点,所以函数f(x)在定义域内恒单调,所以f′(x)≥0恒成立,所以+2x-2m≥0恒成立,所以m≤,所以若函数存在极值点,m的取值范围是(,+∞).关闭Word文档返回原板块。
世纪金榜二轮专题辅导与练习选修(3)
椭圆
x2 y2 a2 b2
1
(a＞b＞0)的参数方程为
x=acos θ,
y=bsin θ (θ为参数).
1．(2012·江苏高考)在极坐标系中，已知圆C经过点 P ( 2， )，
4
圆心为直线 sin(－) 3 与极轴的交点，求圆C的极坐标
32
方程．
【解析】将θ=0代入直线方程得 sin(－)得ρ=31,，
x=cos α+cos 2α, M的轨迹的参数y=方si程n 为α+sin 2α (α为参数，0＜α＜2π). (2)M点到坐标原点的距离
d x 2 y 2 2 2 c o s 0 ＜ ＜ 2 .
当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点.
热点考向 1 曲线的极坐标方程
【典例1】(2013·南京模拟)已知圆C的极坐标方程为
16 4
上的一个动点,求△PAB面积S的最大值. 【解题探究】 因三角形面积公式是S=__12 _a_h __，故将边AB作为△PAB的底，则 点P到直线AB的距离为高，因点A，B坐标分别为(4_，__0_)_，__(0__，__2_)__， 故直线AB方程为x_+_2_y_-_4__=_0_，因点P在椭圆上，故设点P坐标为 __(_4_c_o__s_θ_,_2_s_i_n__θ_)__，从而求点P到直线AB之间距离的最大值， 可得△PAB别为(4，0)和(0，2)，故
AB 2直5线，AB方程为x+2y－4=0，设点P坐标为
(4cos θ,2sin θ)，其中θ∈(0, )，则 点P到直线AB的距离
2
为d|4cos4sin－ 4||42sin( 4)－ 4|，
5
因θ∈(0, )，故取θ= 得
高三数学(人教版理)二轮复习高考小题专攻练 4 Word版含解析
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高考小题专攻练4.数列小题强化练,练就速度和技能,掌握高考得分点!一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=( )A.-1B.1C.3D.7【解析】选B.因为a1+a3+a5=105，即3a3=105，所以a3=35.同理可得a4=33，所以公差d=a4-a3=-2，所以a20=a4+(20-4)×d=1.2.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( )A. B.- C. D.-【解析】选 C.设等比数列{a n}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.3.在等比数列{a n}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( )A. B.- C.± D.±3【解析】选A.依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4>0,a8>0,因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6==.4.等差数列{a n}中,a1>0,公差d<0,S n为其前n项和,对任意自然数n,若点(n,S n)在以下4条曲线中的某一条上,则这条曲线应是( )【解析】选C.因为S n=na1+d,所以S n=n2+n,又a1>0,公差d<0,所以点(n,S n)所在抛物线开口向下,对称轴在y轴右侧. 5.设等差数列{a n}的前n项和为S n,S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m等于( )A.3B.4C.5D.6【解析】选C.由S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,得a m=2,a m+1=3,所以d=1,因为S m=0,故ma1+d=0,故a1=-,因为a m+a m+1=5,故a m+a m+1=2a1+(2m-1)d=-(m-1)+2m-1=5,即m=5.6.已知数列{a n}的通项公式是a n=,其前n项和S n=,则项数n 等于( )A.13B.10C.9D.6【解析】选D.因为a n=1-,所以S n=+++…+=n-=n-=n-1+.因为S n=,所以n-1+==5+,所以n=6.7.下面是关于公差d>0的等差数列{a n}的四个命题:p1:数列{a n}是递增数列;p2:数列{na n}是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列{a n+3nd}是递增数列.其中的真命题为( )A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4【解析】选D.设a n=a1+(n-1)d=dn+a1-d,它是递增数列,所以p1为真命题;若a n=3n-12,则满足已知,但na n=3n2-12n并非递增数列,所以p2为假命题;若a n=n+1,则满足已知,但=1+是递减数列,所以p3为假命题;a n+3nd=4dn+a1-d,它是递增数列,所以p4为真命题.8.在等差数列{a n}中,满足3a4=7a7,且a1>0,S n是数列{a n}前n项的和,若S n取得最大值,则n= ( )A.7B.8C.9D.10【解析】选C.设公差为d,由题设3(a1+3d)=7(a1+6d),所以d=-a1<0.解不等式a n>0,即a1+(n-1)>0,所以n<,则n≤9,当n≤9时,a n>0,同理可得n≥10时,a n<0.故当n=9时,S n取得最大值.9.已知函数f(x)是定义在R上的单调增函数且为奇函数,数列{a n}是等差数列,a1009>0,则f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2016)+f(a2017)的值( )A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负【解析】选A.因为{a n}是等差数列,所以a1+a2017=a2+a2016=…=2a1009>0,得a1>-a2017,a2>-a2016,…,又f(x)是定义在R上的单调增函数,且f(-x)=-f(x),所以f(a1)>-f(a2017),即f(a1)+f(a2017)>0,同理,f(a2)+f(a2016)>0,…,所以f(a1)+f(a2)+…+f(a2016)+f(a2017)的值恒为正数.10.已知数列{a n}的通项公式为a n=(-1)n(2n-1)·cos+1(n∈N*),其前n项和为S n,则S60= ( )A.-30B.-60C.90D.120【解析】选D.由题意可得,当n=4k-3(k∈N*)时,a n=a4k-3=1;当n=4k-2(k ∈N*)时,a n=a4k-2=6-8k;当n=4k-1(k∈N*)时,a n=a4k-1=1;当n=4k(k∈N*)时,a n==8k.所以a4k-3+a4k-2+a4k-1+=8,所以S60=8×15=120.11.已知f(x)=x+1,g(x)=2x+1,数列{a n}满足a1=1,a n+1=则a2016= ( )A.22016-2016B.21007-2016C.22016-2D.21009-2【解析】选D.a2n+2=a2n+1+1=(2+1)+1=2+2.即a2n+2+2=2(+2),所以{+2}是以2为公比,a2+2=4为首项的等比数列.所以+2=4×2n-1=2n+1.所以=2n+1-2.所以a2016=21009-2.12.设函数f1(x)=x,f2(x)=log2016x,a i=(i=1,2,…,2016),记I k=|f k(a2)-f k(a1)|+|f k(a3)-f k(a2)|+…+|f k(a2016)-f k(a2015)|,k=1,2,则( )A.I1<I2B.I1=I2C.I1>I2D.I1与I2的大小关系无法确定【解析】选A.依题意知,f1(a i+1)-f1(a i)=a i+1-a i=-=, 因此I1=|f1(a2)-f1(a1)|+|f1(a3)-f1(a2)|+…+|f1(a2016)-f1(a2015)|=.因为f2(a i+1)-f2(a i)=l og2016a i+1-l og2016a i=l og2016-l og2016>0,所以I2=|f2(a2)-f2(a1)|+|f2(a3)-f2(a2)|+…+|f2(a2016)-f2(a2015)|=+(l og2016-l og2016)+…+=l og2016-l og2016=1,因此I1<I2.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.在等差数列{a n}中,已知l og2(a5+a9)=3,则等差数列{a n}的前13项的和S13=________.【解析】因为l og2(a5+a9)=3,所以a5+a9=23=8.所以S13====52.答案:5214.已知等差数列{a n}中,a1,a99是函数f(x)=x2-10x+16的两个零点,则a50+a20+a80=________.【解析】依题意a1+a99=10,所以a50=5.所以a50+a20+a80=a50+2a50=.答案:15.数列{a n}的通项公式a n=,若{a n}的前n项和为24,则n=________.【解析】a n==-.所以(-1)+(-)+…+(-)=24,所以=25,所以n=624.答案:62416.对正整数n，设曲线y=x n(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n，则的前n项和是________.【解析】曲线y=x n(1-x)=x n-x n+1，曲线导数为y′=nx n-1-(n+1)x n，所以切线斜率为k=n2n-1-(n+1)2n=-(n+2)2n-1，切点为(2，-2n)，所以切线方程为y+2n=-(n+2)2n-1(x-2)，令x=0得，y+2n=(n+2)2n，即y=(n+1)2n，所以a n=(n+1)2n，所以=2n，所以数列是以2为首项，q=2为公比的等比数列，所以S n==2n+1-2.答案：2n+1-2关闭Word文档返回原板块。
【世纪金榜】高三数学(人教版理)二轮复习练习：选修4-5(含答案)
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课时巩固过关练二十二不等式选讲(建议用时:30分钟)1.(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)画出y=f(x)的图象.(2)求不等式|f(x)|>1的解集.【解析】(1)如图所示:(2)f(x)=|f(x)|>1,当x≤-1时,|x-4|>1,解得x>5或x<3,所以x≤-1.当-1<x<时,|3x-2|>1,解得x>1或x<,所以-1<x<或1<x<.当x≥时,|4-x|>1,解得x>5或x<3,所以≤x<3或x>5.综上,x<或1<x<3或x>5,所以|f(x)|>1的解集为∪(1,3)∪(5,+∞).【加固训练】(2016·贵阳一模)已知函数f(x)=|x-2|-|x+1|.(1)求证:-3≤f(x)≤3.(2)解不等式f(x)≥x2-2x.【解析】(1)当x≤-1时,f(x)=3,成立;当-1<x<2时,f(x)=-2x+1,-4<-2x<2,所以-3<-2x+1<3,成立;当x≥2时,f(x)=-3,成立;故-3≤f(x)≤3.(2)当x≤-1时,x2-2x≤3,所以-1≤x≤3,所以x=-1;当-1<x<2时,x2-2x≤-2x+1,所以-1≤x≤1,所以-1<x≤1;当x≥2时,x2-2x≤-3,无解;综合上述,不等式的解集为:[-1,1].2.(2016·衡阳二模)已知a∈(0,+∞),b∈(0,+∞),a+b=2.(1)求+的最小值.(2)若对∀a,b∈(0,+∞),+≥|2x-1|-|x+1|恒成立,求实数x的取值范围. 【解析】(1)因为a∈(0,+∞),b∈(0,+∞),a+b=2,所以+=·=++≥+2=+2=,所以=,此时a=,b=.(2)因为+≥|2x-1|-|x+1|对∀a,b∈(0,+∞)恒成立,所以|2x-1|-|x+1|≤⇔或或⇔-≤x≤-1或-1<x≤或<x≤⇔-≤x≤.所以x∈.【加固训练】(2016·哈尔滨一模)已知函数f(x)=m-|x-3|,不等式f(x)>2的解集为(2,4).(1)求实数m的值.(2)若关于x的不等式|x-a|≥f(x)恒成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)由已知得|x-3|<m-2,得5-m<x<1+m,从而m=3.(2)|x-a|≥f(x)得|x-3|+|x-a|≥3恒成立,因为|x-3|+|x-a|≥|x-3-(x-a)|=|a-3|(当且仅当(x-3)(x-a)≤0时取到等号),所以|a-3|≥3解得a≥6或a≤0,故a的取值范围为a≤0或a≥6.3.(2016·衡水二模)已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x+2|-a).(1)当a=7时,求函数f(x)的定义域.(2)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R,求a的取值范围.【解析】(1)由已知得,|x-1|+|x+2|>7,由绝对值的几何意义可得x<-4或x>3,从而函数f(x)的定义域为(-∞,-4)∪(3,+∞).(2)不等式f(x)≥3,即|x-1|+|x+2|≥a+8,则x∈R,恒有|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x+2)|=3,又不等式|x-1|+|x+2|≥a+8解集是R,故a+8≤3,即a≤-5,即a的取值范围是(-∞,-5].【加固训练】设f(x)=|ax-1|.(1)若f(x)≤2的解集为[-6,2],求实数a的值.(2)当a=2时,若存在x∈R,使得不等式f(2x+1)-f(x-1)≤7-3m成立,求实数m的取值范围. 【解析】(1)显然a≠0,当a>0时,解集为,-=-6,=2,无解;当a<0时,解集为,令-=2,=-6,得a=-.综上所述,a=-.(2)当a=2时,令h(x)=f(2x+1)-f(x-1)=|4x+1|-|2x-3|=由此可知,h(x)在上单调减,在上单调增,在上单调增,则当x=-时,h(x)取到最小值-,由题意知,-≤7-3m,则实数m的取值范围是.4.(2016·乌鲁木齐二模)设函数f(x)=x2-3x.(1)若λ+μ=1(λ,μ>0),求证:f(λx1+μx2)≤λf(x1)+μf(x2).(2)若对任意x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|,求L的最小值. 【解析】(1)因为f(λx1+μx2)-[λf(x1)+μf(x2)]=(λx1+μx2)2-3(λx1+μx2)-[λ(-3x1)+μ(-3x2)]=λ(λ-1)+2λμx1x2+μ(μ-1)=-λμ+2λμx1x2-λμ=-λμ(x1-x2)2≤0,所以f(λx1+μx2)≤λf(x1)+μf(x2).(2)因为|f(x1)-f(x2)|=|-3x1-+3x2|=|x1-x2||x1+x2-3|,因为0≤x1,x2≤1,所以0≤x1+x2≤2,所以-3≤x1+x2-3≤-1,所以|x1+x2-3|≤3,所以使|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|恒成立的L的最小值是3.(建议用时:30分钟) 1.设函数f(x)=|x-3|-|x+a|,其中a∈R.(1)当a=2时,解不等式f(x)<1.(2)若对于任意实数x,恒有f(x)≤2a成立,求a的取值范围.【解析】(1)a=2时,f(x)<1就是|x-3|-|x+2|<1,当x<-2时,3-x+x+2<1,得5<1,不成立;当-2≤x<3时,3-x-x-2<1,得x>0,所以0<x<3;当x≥3时,x-3-x-2<1,即-5<1,恒成立,所以x≥3.综上可知,不等式f(x)<1的解集是(0,+∞).(2)因为f(x)=|x-3|-|x+a|≤|(x-3)-(x+a)|=|a+3|,所以f(x)的最大值为|a+3|.对于任意实数x,恒有f(x)≤2a成立等价于|a+3|≤2a,解得a≥3;所以a的取值范围是[3,+∞).2.已知函数f(x)=|x-a|-|x+3|,a∈R.(1)当a=-1时,解不等式f(x)≤1.(2)不等式f(x)≤4在x∈[-2,3]时恒成立,求a的取值范围. 【解析】(1)当a=-1时,不等式为|x+1|-|x+3|≤1,当x≤-3时,不等式转化为-(x+1)+(x+3)≤1,恒不成立,当-3<x<-1时,不等式转化为-(x+1)-(x+3)≤1,解之得-≤x<-1;当x≥-1时,不等式转化为(x+1)-(x+3)≤1,恒成立;综上不等式的解集为.(2)若x∈[-2,3]时,f(x)=|x-a|-(x+3),则f(x)≤4即|x-a|≤x+7,所以-x-7≤x-a≤x+7,即为-7≤a≤2x+7恒成立,又因为x∈[-2,3],所以-7≤a≤3,所以a的取值范围为[-7,3].【加固训练】已知a,b∈R,f(x)=|x-2|-|x-1|.(1)若f(x)>0,求实数x的取值范围.(2)对∀b∈R,若|a+b|+|a-b|≥f(x)恒成立,求a的取值范围. 【解析】(1)由f(x)>0得|x-2|>|x-1|,两边平方得x2-4x+4>x2-2x+1,解得x<,即实数x的取值范围是.(2)|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|,因为f(x)=|x-2|-|x-1|,f(x)max=1,所以2|a|≥1⇒|a|≥⇒a≥或a≤-,所以a的取值范围为∪.3.设函数f(x)=|x+2|-|x-2|.(1)解不等式f(x)≥2.(2)当x∈R,0<y<1时,证明:|x+2|-|x-2|≤+. 【解析】(1)由已知可得:f(x)=所以,f(x)≥2的解集为{x|x≥1}.(2)由(1)知,|x+2|-|x-2|≤|(x+2)-(x-2)|=4;+=[y+(1-y)]=2++≥4,当且仅当=,即y=时取等号,所以|x+2|-|x-2|≤+.4.已知函数f(x)=|x-1|.(1)解不等式:f(x)+f(x-1)≤2.(2)若a>0,求证:f(ax)-af(x)≤f(a).【解析】(1)由题f(x)+f(x-1)=|x-1|+|x-2|,因此只需解不等式|x-1|+|x-2|≤2.当x≤1时,原不等式等价于-2x+3≤2,即≤x≤1.当1<x≤2时,原不等式等价于1≤2,即1<x≤2.当x>2时,原不等式等价于2x-3≤2,即2<x≤.综上,原不等式的解集为.(2)由题f(ax)-af(x)=|ax-1|-a|x-1|.当a>0时,f(ax)-af(x)=|ax-1|-|ax-a|=|ax-1|-|a-ax|≤|ax-1+a-ax|=|a-1|=f(a).【加固训练】已知函数f(x)=|x+2|-2|x-1|.(1)求不等式f(x)≥-2的解集.(2)对任意x∈[a,+∞),都有f(x)≤x-a成立,求实数a的取值范围. 【解析】(1)f(x)≥-2,当x≤-2时,x-4≥-2,即x≥2,所以x∈∅;当-2<x<1时,3x≥-2,即x≥-,所以-≤x<1,当x≥1时,-x+4≥-2,即x≤6,所以1≤x≤6.综上,.(2)f(x)=函数f(x)的图象如图所示:令y=x-a,-a表示直线的纵截距,当直线过(1,3)点时,-a=2;所以当-a≥2,即a≤-2时成立;当-a<2,即a>-2时,令-x+4=x-a,得x=2+,所以a≥2+,即a≥4时成立,综上a≤-2或a≥4.关闭Word文档返回原板块。
【世纪金榜】高三数学(人教版理)二轮复习练习：高考小题标准练(三)(含答案)
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高考小题标准练(三)满分80分,实战模拟,40分钟拿下高考客观题满分!一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z=的实部与虚部之和为4，则复数在复平面上对应的点在() A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.z=(2-ai)(1+2i)=2+2a+(4-a)i的实部与虚部之和为4，所以a=-2，则z=-2+6i.在复平面内，对应的点(-2，6)在第二象限.2.已知集合Α=，Β={x|≤2，x∈Ζ}，则Α∩Β=()A. B.C. D.【解析】选D.A=，B=，所以A∩B=.3.已知α，β是不同的两个平面，m，n是不同的两条直线，则下列命题中不正确的是()A.若m∥n，m⊥α，则n⊥αB.若m⊥α，m⊥β，则α∥βC.若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD.若m∥α，α∩β=n，则m∥n【解析】选D.对于A，如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面，故选项A正确；对于B，如果一条直线同时垂直于两个平面，那么这两个平面相互平行，故选项B正确；对于C，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直，故选项C正确；对于D，注意到直线m与直线n可能异面，因此选项D不正确.4.已知等差数列{a n}的公差为d(d>0)，a1=1，S5=35，则d的值为()A.3B.-3C.2D.4【解析】选A.利用等差数列的求和公式、性质求解.因为{a n}是等差数列，所以S5=5a1+d=5+10d=35，解得d=3.5.若函数y=2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为()A.2B.C.1D.【解析】选C.作出不等式组所表示的平面区域(即△ABC的边及其内部区域)如图中阴影部分所示.点M为函数y=2x与边界直线x+y-3=0的交点，由解得即M(1，2).若函数y=2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，则函数y=2x的图象上存在点在阴影部分内部，则必有m≤1，即实数m的最大值为1.6.某电视台举办青年歌手大奖赛，有七位评委打分.已知甲、乙两名选手演唱后的打分情况如茎叶图所示(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，，方差为，，则一定有()A.>，<B.>，<C.>，>D.>，>【解析】选D.由题意去掉一个最高分和一个最低分后，两数据都有五个数据，代入数据可以求得甲和乙的平均分：=80+=84，=80+=85，故有>.==2.4，==1.6，故>.7.在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是()A.(4，10]B.(2，+∞)C.(2，4]D.(4，+∞)【解析】选A.设输入x=a，第一次执行循环体后，x=3a-2，i=1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，x=9a-8，i=2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，x=27a-26，i=3，满足退出循环的条件；故9a-8≤82，且27a-26>82，解得a∈(4，10].8.已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=()A.3B.6C.9D.12【解析】选B.抛物线y2=8x的焦点为(2，0)，所以椭圆中c=2，又=，所以a=4，b2=a2-c2=12，从而椭圆方程为+=1.因为抛物线y2=8x的准线为x=-2，所以x A=x B=-2，将x A=-2代入椭圆方程可得|y A|=3，可知|AB|=2|y A|=6.9.设P为双曲线-=1右支上一点，O是坐标原点，以OP为直径的圆与直线y=x的一个交点始终在第一象限，则双曲线离心率e的取值范围是()A. B.C. D.【解析】选B.设P，交点A，则l PA：y-y0=-，与y=x联立，得A，若要点A始终在第一象限，需要ax0+by0>0即要x0>-y0恒成立，若点P在第一象限，此不等式显然成立；只需要若点P在第四象限或坐标轴上此不等式也成立.此时y0≤0，所以>，而=b2，故>-b2恒成立，只需-≥0，即a≥b，所以1<e≤.10.定义在上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)<f′(x)tanx成立，则()A.f>fB.f>fC.f(1)<2f sin1D.f<f【解析】选D.记g(x)=，则当x∈时，sinx>0，cosx>0.由f(x)-f′(x)tanx<0知g′(x)==>0，g(x)是增函数.又0<<<，因此有g<g，即2f<f，f<f.11.已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g(x)的图象.关于函数g(x)，下列说法正确的是()A.在上是增函数B.其图象关于直线x=-对称C.函数g(x)是奇函数D.当x∈时，函数g(x)的值域是[-2，1]【解析】选D.f(x)=sinωx+cosωx=2sin，由题知=，所以T=π，ω==2，所以f(x)=2sin.把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，得到g(x)=2sin=2sin=2cos2x的图象，g(x)是偶函数且在上是减函数，其图象关于直线x=-不对称，所以A，B，C错误.当x∈时，2x∈，则g(x)min=2cosπ=-2，g(x)max=2cos=1，即函数g(x)的值域是[-2，1].12.如图，M(x M，y M)，N(x N，y N)分别是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象与两条直线l1：y=m(A≥m≥0)，l2：y=-m的交点，记S(m)=|x N-x M|，则S(m)的大致图象是()【解析】选C.如图所示，作曲线y=f(x)的对称轴x=x1，x=x2，点M与点D关于直线x=x1对称，点N与点C关于直线x=x2对称，所以x M+x D=2x1，x C+x N=2x2，所以x D=2x1-x M，x C=2x2-x N.又点M与点C，点D与点N都关于点B对称，所以x M+x C=2x B，x D+x N=2x B，所以x M+2x2-x N=2x B，2x1-x M+x N=2x B，得x M-x N=2(x B-x2)=-，x N-x M=2(x B-x1)=，所以|x M-x N|==(常数).二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知向量p=(2，-1)，q=(x，2)，且p⊥q，则|p+λq |的最小值为________.【解析】因为p·q =2x-2=0，所以x=1，所以p+λq =(2+λ，2λ-1)，所以|p+λq|==≥.答案：14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________.【解析】根据三视图，可知原几何体是一个棱长分别为2，2，1的长方体和一个横放的直三棱柱的组合体，三棱柱底面是一个直角边分别为1，1的直角三角形，高是2，所以几何体体积易求得是V=2×2×1+×1×1×2=5.答案：515.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，a3=5，S k+2-S k=36，则k的值为________. 【解析】设等差数列的公差为d，由等差数列的性质可得2d=a3-a1=4，得d=2，所以a n=1+2(n-1)=2n-1.S k+2-S k=a k+2+a k+1=2(k+2)-1+2(k+1)-1=4k+4=36，解得k=8.答案：816.已知函数f(x)=(2x+a)ln(x+a+2)在定义域(-a-2，+∞)内，恒有f(x)≥0，则实数a的值为__________.【解析】由已知得y=2x+a和y=ln(x+a+2)在内都是增函数，且都有且只有一个零点，若f(x)≥0恒成立，则在相同区间内的函数值的符号相同，所以，两函数有相同的零点，则-=-a-1，解得a=-2.答案：-2关闭Word文档返回原板块。
《世纪金榜》2019届高三数学(人教版理)二轮复习课件：高考大题·规范答题示范课(一)
各得1分;
⑤正确得出结论得1分;
第(2)问踩点说明 (针对得分点⑥⑦⑧⑨):
⑥正确写出两根的范围得1分;
⑦将问题转化为函数的单调性,找到其对应的函数得2
分;
⑧正确构造函满分心得】 1.牢记求导法则,正确求导:在函数与导数类解答题中,
x 2 ex>f(0)=-1， 所以x>0时， x2
所以(x-2)ex+x+2>0.
(e x a)x 2 2x(e x ax a) (2)g′(x)= x4 x(xe x 2e x ax 2a) x4 x2 x (x 2)( e a) 1). x 2a∈[0， ， x3 2 x 由(1)知，当x>0时，f(x)= x · e 的值域为(-1， x2 2 et=-a，t∈(0，2]. +∞)，只有一解，使得 t · t2
2
2
故f(x)存在两个零点; …………………2分
2
得分点③
③设a<0,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a). 若a≥- e ,则ln(-2a)≤1,故当x∈(1,+∞)时,
2
f′(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)上单调递增.
又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点. 若a<- e ,则ln(-2a)>1,故当x∈(1,ln(-2a))时,
2
f′(x)<0;当x∈(ln(-2a),+∞)时,f′(x)>0.
因此f(x)在(1,ln(-2a))上单调递减,在(ln(-2a),+∞) 上单调递增,
又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.
世纪金榜二轮专题辅导与练习专题三第二讲-精品文档
2
答案：1
2
2. (2019·广东高考改编)已知 sin(5)1，那么
2
5
cos α =________.
【解析】 s i n ( 5 ) s i n ( 2 ) s i n ( ) c o s 1 .
2
22
5
答案： 1
5
3.(2019·浙江高考改编)已知α ∈R，sin α +2cos α = 1 0 ，
2
则tan 2α =______.
【解析】由
sin 2cos
10 ， 2
sin2 cos2 1，
解得
s i n
或1100
，
c
o
3. 4
答案： 3
4
4.(2019·苏州模拟)已知cos(75°+α )= 1 ， 则cos(30°-2α )
3
的值为_________.
【解析】因为cos(30°-2α )=cos［180°-(150°+2α )］
=-cos(150°+2α )=-2cos2(75°+α )+1
2(1)2 17.
T2α ：tan
2α
=
2tan 1－ ta n
2
.
3.降幂公式：
1 cos 2
sin2α = ______2_____.
1 cos 2
cos2α = _____2______.
1.(2019·郑州模拟)计算：sin 43°cos 13°－
cos 43°sin 13°的结果等于_________.
【世纪金榜】高三数学(人教版理)二轮复习练习：高考小题标准练(二)(含答案)
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高考小题标准练(二)满分80分,实战模拟,40分钟拿下高考客观题满分!一、选择题(本大题共11小题，每小题5分，共55分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设A={x∈N|y=ln(2-x)}，B={x|2x(x-2)≤1}，则A∩B=()A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<2}C.{1}D.{0，1} 【解析】选D.因为y=ln(2-x)的定义域为：x<2，又x∈N，所以A={1，0}.因为2x(x-2)≤1，所以x(x-2)≤0⇒0≤x≤2，即B=[0，2]，所以A∩B={0，1}.2.已知i为虚数单位,a∈R,若(a-1)(a+1+i)是纯虚数,则a的值为()A.-1或1B.1C.-1D.3【解析】选C.因为(a-1)(a+1+i)=(a2-1)+(a-1)i是纯虚数,所以所以a=-1.3.函数f(x)=若x0∈[0，1)，且f(f(x0))∈[0，1)，则x0的取值范围是()A. B.(log32，1)C. D.【解析】选A.当0≤x0<1时，f(x0)=∈[1，2)，f(f(x0))=4-2×∈[0，1)，解得3<≤4⇒log2<x0≤1，又0≤x0<1，所以log2<x0<1.4.已知等比数列单调递减，满足a1a5=9，a2+a4=10，则数列的公比q=()A.-B.C. D.3【解析】选B.由a1a5=a2a4=9，a2+a4=10，且单调递减，可知a2=9，a4=1，可求得q=.5.已知集合A={x|x=2k，k∈N*}，执行如图所示的程序框图，则输出的x的值为()A.27B.102C.115D.13【解析】选B.输入x=2，2∈A，执行x=2×2+1=5∉A，执行x=(5-3)2+2=6<7；执行x=2×6+1=13∉A，执行x=(13-3)2+2=102>7，故输出的x的值为102.6.已知实数x，y满足约束条件若z=+(a>0，b>0)的最大值为9，则d=4a+b的最小值为()A. B. C.D.【解析】选B.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由可行域与目标函数可知，z=+只能在点A(1，4)处取得最大值，即+=9，整理得4a+b=9ab=×4ab≤，当且仅当4a=b，即a=，b=时取等号，所以4a+b≥.7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B.5 C.D.6【解析】选A.该几何体的直观图如图所示，连接BD，则该几何体由直三棱柱ABD-EFG和四棱锥C-BDGF组合而成，其体积为×1×2×2+×2××=.8.已知椭圆+=1(0<b<2)与y轴交于A，B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则△ABF 面积的最大值为()A.1B.2C.4D.8【解析】选B.方法一：不妨设点F的坐标为(，0)，而|AB|=2b，所以S△ABF=×2b×=b=≤=2(当且仅当b2=4-b2，即b2=2时取等号)，故△ABF面积的最大值为2.方法二：如图，M为AF的中点，ON⊥AF，S△ABF=2S△AOF=2××AF·ON≤AF·OM=AF·=2.9.已知函数f(x)=sin x-1(x<0)，g(x)=log a x(a>0，且a≠1).若它们的图象上存在关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.【解析】选 A.由题意知，函数图象上存在关于y轴对称的点至少有3对等价于y=sin-1=-sin x-1(x>0)的图象与g(x)=log a x(a>0，且a≠1)的图象至少有3个交点，如图，显然当a>1时，只有一个交点；当0<a<1时，要使至少有3个交点，需要有log a5>-2，解得0<a<.10.在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+c=2b=2，a=2sinA，则此三角形的面积S△ABC=()A. B.C.8+D.【解析】选A.由题意得，==2，而b=1，所以sinB=，又2b=a+c，B不可能是钝角，所以cosB=，而cosB==，即=，所以ac==6-3，所以S△ABC=acsinB=.11.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F作斜率为-1的直线交双曲线的渐近线于点P，点P在第一象限，O为坐标原点，若△OFP的面积为，则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.【解析】选C.由题意知过F且斜率为-1的直线的方程为y=-(x-c)，由可得点P的纵坐标为y P=，故S△OFP=××c=.由题意可知=，即=，所以a=3b，所以a2=9(c2-a2)，所以9c2=10a2，所以e2==，所以e=.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)12.已知f(x)=x3+ax-2b，如果f(x)的图象在切点P(1，-2)处的切线与圆(x-2)2+(y+4)2=5相切，那么3a+2b=__________.【解析】由题意得f(1)=-2⇒a-2b=-3，又因为f′(x)=3x2+a，所以f(x)的图象在点(1，-2)处的切线方程为y+2=(3+a)(x-1)，即(3+a)x-y-a-5=0，所以=⇒a=-，所以b=，所以3a+2b=-7.答案：-713.若f(x)=f(f(1))=1，则a的值为__________.【解析】因为f(1)=1g1=0，f(0)=0+3t2dt=t3=a3，所以由f(f(1))=1得：a3=1，a=1.答案：114.中国古代数学名著《九章算术》中的“引葭赴岸”是一道名题，其内容为：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与齐.问水深葭长各几何”意为：今有边长为1丈的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的部分为1尺，将芦苇牵引向池岸，恰巧与水岸齐接，问水深芦苇的长度各是多少？将该问题拓展如图，记正方形水池的剖面图为ABCD，芦苇根部O为AB的中点，顶端为P(注芦苇与水面垂直).在牵引顶端P向水岸边中点D的过程中，当芦苇经过DF的中点E时，芦苇的顶端离水面的距离约为________尺.(注：1丈=10尺，≈24.5)【解析】设水深为x，则x2+52=(x+1)2，解得：x=12.所以水深12尺，芦苇长13尺，以AB所在的直线为x轴，芦苇所在的直线为y轴，建立直角坐标系，在牵引过程中，P的轨迹是以O为圆心，半径为13的圆，其方程为x2+y2=169(-5≤x≤5，12≤y≤13)，①E点的坐标为，所以OE所在的直线方程为y=-x，②由①②得y=≈=.则此时芦苇的顶端到水面的距离为-12=(尺).答案：15.我们把形如y=f(x)φ(x)的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：即在函数解析式两边求对数得：lny=lnf(x)φ(x)=φ(x)lnf(x)，两边对x求导数，得=φ′(x)lnf(x)+φ(x)，于是y′=f(x)φ(x)，运用此方法可以求得函数y=x x(x>0)在(1，1)处的切线方程是__________.【解析】因为y=x x，所以lny=lnx x=xlnx，所以=lnx+x·，所以y′=x x(lnx+1)，由导数的几何意义，得函数y=x x(x>0)在(1，1)处的切线的斜率k=1，且f(1)=1，所以函数y=x x(x>0)在(1，1)处的切线方程为y-1=x-1，即x-y=0.答案：x-y=0关闭Word文档返回原板块。
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高考小题专攻练
3.三角函数及解三角形
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一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知α∈R,sinα+2cosα=,则tan2α等于()
A. B. C.- D.-
【解析】选C.因为sinα+2cosα=,所以sin2α+4sinα·cosα+4cos2α=.
用降幂公式化简得:4sin2α=-3cos2α,所以tan2α==-.
2.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A=，b=1，△ABC的面积为，则a的值为()
A.1
B.2
C.
D.
【解析】选D.因为A=，b=1，S△ABC=，
所以bcsinA=，所以c=2.
所以a2=b2+c2-2bccosA=3，所以a=.
3.已知sin2α=-，α∈，则sinα+cosα=()
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选B.因为α∈，所以cosα>0>sinα且cosα>|sinα|，
则sinα+cosα===.
4.在△ABC中，若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)，则△ABC的形状一定是()
A.等边三角形
B.不含60°的等腰三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形【解析】选D.sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)=1-2cosAsinB，
所以sinAcosB-cosAsinB=1-2cosA·sinB，所以sinAcosB+cosAsinB=1，
即sin(A+B)=1，则有A+B=，故△ABC为直角三角形.
5.已知cos=,则sin=()
A. B. C.- D.-
【解析】选A.因为cos=,
所以sin=sin=.
6.在△ABC中,AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于()
A. B. C. D.
【解析】选B.设AB=c,在△ABC中,由余弦定理知AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB,
即7=c2+4-2×2×c×cos60°,c2-2c-3=0,
即(c-3)(c+1)=0.
又c>0,所以c=3.
设BC边上的高等于h,由三角形面积公式
S△ABC=AB·BC·sinB=BC·h,
知×3×2×sin60°=×2×h,解得h=.
7.已知tanα=2,则=()
A. B.- C. D.
【解析】选D.方法一(切化弦的思想):因为tanα=2,所以sinα=2cosα,cosα=sinα.
又因为sin2α+cos2α=1,所以解得sin2α=.
所以====.
方法二(弦化切的思想):
因为=====.
8.已知向量a=(cosx,sinx),b=(,),a·b=,则cos等于()
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选D.由a·b=,得cosx+sinx=,所以cosx+sinx=,
即cos=.
9.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,
则cosC=()
A. B.- C.± D.
【解析】选A.由C=2B得sinC=sin2B=2sinBcosB,
由正弦定理及8b=5c得cosB===,
所以cosC=cos2B=2cos2B-1=2×-1=.
10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=,则B=()
A. B. C. D.
【解析】选 C.由sinA=,sinB=,sinC=,代入整理得=⇒c2-b2=ac-a2,所以a2+c2-b2=ac,即cosB=,所以B=.
11.在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,若S+a2=(b+c)2,则cosA等于()
A. B.- C. D.-
【解析】选D.S+a2=(b+c)2⇒a2=b2+c2-2bc.
由余弦定理可得sinA-1=cosA,结合sin2A+cos2A=1,可得cosA=-.
12.若抛物线C:y2=2xcosA(其中角A为△ABC的一个内角)的准线过点,则cos2A+sin2A的值为()
A.-
B.
C.
D.
【解析】选A.因为抛物线C:y2=2xcosA(其中角A为△ABC的一个内角)的准线过点, 所以抛物线C:y2=2xcosA的准线方程为x=,
所以=-,即cosA=-,
因为角A为△ABC的一个内角,所以sinA=,
所以cos2A+sin2A=cos2A+2sinAcosA=+2××=-.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.设θ为第二象限角，若tan=，则sinθ+cosθ=________.
【解析】因为tan=，所以=，解得tanθ=-.
所以(sinθ+cosθ)2==
==.
因为θ为第二象限角，tanθ=-，
所以2kπ+<θ<2kπ+π，所以sinθ+cosθ<0，
所以sinθ+cosθ=-.
答案：-
14.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,若cosB=,a=10,△ABC的面积为42,则b+的值等于__________.
【解析】依题意可得sinB=,又S△ABC=acsinB=42,则c=14.
故b==6,所以b+=b+=16.
答案:16
15.若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是__________.
【解析】因为sinA+sinB=2sinC.由正弦定理可得a+b=2c,即c=,
cosC==
=
≥=,
当且仅当3a2=2b2即=时等号成立.
所以cosC的最小值为.
答案:
16.如图，在△ABC中，sin=，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=，则cosC=________.
【解析】由条件得cos∠ABC=，sin∠ABC=.
在△ABC中，设BC=a，AC=3b，
则9b2=a2+4- a.①
因为∠ADB与∠CDB互补，
所以cos∠ADB=-cos∠CDB，
所以=-，
所以3b2-a2=-6，②
联合①②解得a=3，b=1，所以AC=3，BC=3.
在△ABC中，cosC===.
答案：
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