高一数学分段函数与映射知识点梳理与经典例题解析与详细讲解
高中数学 同步教学 分段函数与映射
(n∈N*，n≥3).
求 f(3)，f(4)，f[f(4)]的值. 【解析】由题意可知 f(1)＝1，f(2)＝2，则
f(3)＝f(2)＋f(1)＝2＋1＝3，
f(4)＝f(3)＋f(2)＝3＋2＝5，
f[f(4)]＝f(5)＝f(4)＋f(3)＝5＋3＝8.
分段函数的图象及应用 【例 2】已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2). (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象；取值范围 → 化简fx的解析式
【解析】(1)由于A中元素3在对应关系f作用下其与3的差的 绝对值为0,而0∉B,故不是映射.
(2)因为一个圆有无数个内接矩形,即集合A中任何一个元素 在集合B中有无数个元素与之对应,故不是映射.
【 方 法 规 律 】 映 射 是 一 种 特 殊 的 对 应 , 它 具 有 ： (1) 方 向 性：映射是有次序的,一般地从A到B的映射与从B到A的映射是 不同的；(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有 唯一元素关系,可以是：一对一,多对一,但不能一对多.
第2课时 分段函数与映射
目标定位
1.掌握简单的分段函数,并 能简单应用. 2.了解映射概念及它与函 数的联系.
重点难点
重点：分段函数的应用及 映射的判断. 难点：分段函数的应用.
1.分段函数 在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同 的_____对__应__关,这系样的函数通常叫做分段函数. 2.映射的概念 设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f, 使对于集合A中的________任元意素一x,个在集合B中都有________的元 唯素一y与确之定对应,那么就称对应________为从集f合：AA到→集B 合B的一个 映射.
2021版高中数学人教A版必修1课件：1.2.2.2 分段函数与映射
题型一 题型二 题型三 题型四
Z重难聚焦 HONXI
错因分析:本题是一个分段函数问题,在解决此类问题时,要紧扣“ 分段”的特征,即函数在定义域的不同部分,有不同的对应关系,它不 是几个函数,而是一个函数.求值时不能忽视x的取值范围,因此错解 中x=-2和x=1都应舍去.
D典例透析 IANLI TOUXI
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M 第2课时 分段函数与映射
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三 题型四
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
解:(1)A中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值为0,而 0∉B,故不是映射.
(2)因为一个圆有无数个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集 合B中有无数个元素与之对应,故不是映射.
答案:D -7-
M 第2课时 分段函数与映射
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D典例透析 IANLI TOUXI
剖析:(1)集合A,B中的元素可以是数、点或图形等具有确定性的 对象;(2)映射是有方向的,A到B的映射与B到A的映射往往是不一样 的;(3)映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之 对应,而且这个与之对应的元素是唯一的,这样集合A中元素的任意 性和集合B中与其对应的元素的唯一性就构成了映射的核心;(4)映 射允许集合B中存在元素在A中没有元素与其对应;(5)映射是特殊 的对应,即“多对一”或“一对一”的对应,而对应不一定是映射,其中“ 一对多”的对应不是映射.
-4-
高一数学人教A版必修一课件：第一章1-2-1-2-2第2课时分段函数及映射
2．函数 y＝|x|的图象是(
)
x，x≥0， 解析：因为 y＝|x|＝ －x，x<0， 结合图象知选项 B 正确． 答案：B
3．设 f：A→B，则下列命题中，正确的是(
)
A．A 中每个元素在 B 中必有唯一元素与其对应 B．B 中每个元素在 A 中必有元素与其对应 C．B 中每个元素在 A 中对应的元素唯一 D．A 中不同的元素在 B 中对应的元素必不同
[变式训练] 函数 y＝f(x)的图象如图所示， 则 y＝f(x) 的解析式是 f(x)＝______________．
解析：当 0≤x<1 时，f(x)＝2x； 当 1≤x<2 时，f(x)＝2；
2x，0≤x<1， 当 x≥2 时，f(x)＝3.故 f(x)＝2，1≤x<2， x≥2. 3， 2x，0≤x<1， 答案：2，1≤x<2， 3， x≥2
(2)函数 f(x)的图象如图所示，
(3)由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3)．
归纳升华 1．作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在 作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再 保留定义域内的一段图象即可， 作图时要特别注意接点处 点的虚实，保证不重不漏．
2．对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根 据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函 数，然后分段作出函数图象．
类型 2 分段函数的图象及应用 |x|－x [典例 2] 已知函数 f(x)＝1＋ (－2<x≤2)． 2 (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．
x－ x 解：(1)当 0≤x≤2 时，f(x)＝1＋ ＝1， 2 －x－x 当－2<x<0 时，f(x)＝1＋ ＝1－x. 2 0≤x≤2， 1， 所以 f(x)＝ 1－x，－2<x<0.
高一数学同步课件：1-2-2-2分段函数及映射(新人教A必修1)
第2镌分段函数及映射时•【课标要求】•1.通过具体实例，了解简单的分段函数, 并能简单应用.• 2. 了解映射的概念.•【核心扫描】• 1.分段函数的图象及求值.（重点）• 2.对映射概念的理解.（难点）01» 新知探究教材为本探究学习• 3.通过分段函数的学习体会分类讨论的思•新知导学• 1・分段函数如果函数y = f(x), xG/4,根据自变量x在力中不同的取值诡魅有着不同的则称这样的函数为分段函数.温馨提示：分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集,其值域是各段上“值域”的并集.• 2.映射•设力、B是聲个______ 的集合，如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合力中的任n蠹雌个元素x ,在集合B冲黑筋的元秦y与之对应，那么就祿对应为从集合力到集合B的一个映射.•互动探究•探究点1 “分段函数是几个函数”这句话正确吗？•提示不正确，分段函数是一个函数z而非几个函数，只不过在定义域的不同子集上其解析式不同而已.•探究点2映射一定是函数吗？•提示映射是函数的推广,而函数是映射的特殊情况，函数是非空数集力到非空数集B的映射，对映射而言,A , 3不一定是菲空数集,所以映射不一定是函数,函数一(2)(2013-成都高一检测)已知函数/(x) = x2+l(x^0), 一2x(x<0),= 10,贝!)x= _________［思路探索］判断自变量满足的范围分段函数确定适宜的函数式字母变量冬分类讨论-求值2解析⑴当兀=3>1时，于(3)=3<1,(2\ (2\ 13・•・/(/⑶)=闱=［寸+1=&•(2)当兀$0 时，/(x)=x2+l = 10, Ax=3(舍去一3)；当兀V0 时，f(x)=—2x=109 Ax=—5.综上知，兀的值为一5或3・答案(1)D (2)-5 或3•［规律方法］1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得・若题目含有多层5.应按“由里到外”的顺序层层处理.• 2 .如果所给变量范围不明确，计算时要采用分类讨论的思想.x—2, IxlWl, 【活学活用1】⑴已知函数/（兀）=1+兀2,比＞i,x+1, x^O,（2）已知函数于（兀）=］丄、x<0,若/（兀）=2,则x=1 1 1若x<0,由匚|=2,得x = +y 舍去兀= 综上可知，兀=1或X=—2* 答案(l)y (2)1 或一*解析⑴由于t W1,所以r 3) 訝=4—沪 i+〔—「 I 2丿(2)若由兀+1=2,得x =1 ；29类型二分段函数的图象与解析式°【例2】⑴(2013讪头高一检测)作/(对=兀+¥的图象. (2)如图，根据函数y=/(x)的图象，写出它的解析式.［思路探索］(1)去绝对值号，化简/(兀)的解析式并写出分段函数，再逐段画出图象.(2)根据图象列出每一段的解析式,合在一起形成介兀)的解析式.[x+l(x>0), 一 ~ t解(听尸L_gvo),图象如图・⑵当OWxWl 时，/(x)=2x；y/当 1 VxV2 时，/(x)=2；r当x^2时，/(x)=3.o X>-12x, OWxWl,/故 /(兀)=(2, 1<X<293, x^2.•［规律方法］1 •对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的定义脱去绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数的图象・•2・由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不同，因此画图时要注意区间端点处对应点的实虚问题・•3 •根据分段函数的图象求解析式时，首先求出每一段的解析式，然后写成分段函数的形式.x2, —lWxWl,【活学活用2】已知并）=1,—或*_].（1）画出/（对的图象；⑵求/（兀）的定义域和值域.解⑴利用描点法，作出/（兀）的图象，如图所示.（2）由条件知，函数/（X）的定义域为R.由图象知，当一lWxWl时，/&）=”的值域为[0,1], 当兀＞1或兀V —1时，/（x） = 1, 歹类型三映射的概念【例3】判断下列对应是不是从集合A到集合〃的映射:(1)A=N\ 对应关系兀f lx-31；(2)A = ｛平面内的圆｝, B = ｛平面内的矩形｝,对应关系/：“作(3)A = ｛高一⑴班的男生｝, B=R9对应关系/：每个男生对应自己的身高；(4)A = {xlOWxW2}, B={ylOWyW6}, 对应关系X—j=|x.•［思路探索］根据映射的定义，只要检验对力中的任何元素，按对血关系匚是否社B申都有唯一的元素与之对应.•解(1)力中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值为0,而0GB,故不是映射.-(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合力中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射.-(3)对力中任何一个元素，按照对应关系f,在B 中都有唯一的元素与之对应，符合映射定义，是映射.• (4)是映射，因为力中每一个元素在f：x-^y=x •［规律方法］判断对应f ：力是否是力到B 的映射,必须做到几点:(1)明确集合力z B 中的元素・⑵根据映射定义判断力中每个元素是否在£申能找至！］睢一确定的对应元臺z 可以“一对一”，也可以“多对一”，但“一对多”不是映射.【活学活用3】判断下列对应关系哪些是从集合A 到集合B 的映射，哪些不是，为什么？(2)A=Z, B = Q,对应关系/： x-*j=p (3)设A = ｛矩形｝, B = ｛实数｝,对应关系/：矩形和它的面积对 应. •解(1)对于集合力中任意一个非负数在集合 B 中都有唯一元素1与之对应，对于力中任意 一个负数在(1)A=R, B = {O,1},对应关系于： [1(x^0),ba vo ),集合B中都有唯一元素0与之对应，所以这个对应是映射.•(2)集合力中的元素0在集合B中没有元素与之对应，故不是映射.•(3)对于每一个矩形，它的面积是唯一确定的，所以f是从集合力到集合B的映射.易错辨析忽略分段函数各区间上的范围致误【示例】己知函数金J若f(x)=3f求" 的值.［错解］由”一1=3,得x=±2；由2x+l=3，得x=l,故x的值为2, —2或1.［错因分析］要紧扣"分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，求值时不能忽视兀的取值范围. •［正解］当沧0时，由0 —1=3,得x=2或x=-2（舍去）；当xvO时，由2x+1=3,得X— 1 （舍去），故x=2.•［防范措施］（1）分段函数是一个函数而不是几个函数,处理分段函数体现了数学的分类讨论思想分段求解”是解决分段函数问题的基本原则・•⑵“对号入座”，根据自变量取值的范围 ,准确确定相应的对应关系,转化为一般函数在指定区间上的问题・不能准确理解分段函数的概念是导致出错的主要原因■03» 感悟提升总结评价反思提高 C D•课堂达标 是映射的是•解析结合映射的定义可知A、B、C均满足M 中任意一个数x,在2中有唯一确定的y 与之对应,而D中元素1在2中有m , b两个元素与之对应,故不是映射・•答案D• 2.函数r=|x|的图象是)•解析C-101\xD •••B选项正确.答案Bfx2+l(x^0),3.函^/(X)=|2_X(_2^X<0)的值域是 ---------------- •解析当xMO时，/(x&l, 当一2WxV0 时，2V/(x)W4, .V(x)1 或2V/(x)W4,即/(兀)的值域为［1, +8).答案［1，+8)4-已知从集合A到集合〃的映射是/1：x-2x-l,从B到C的映射是力：丁〜召，则从A~c的映射为____________ 解析依题设2(2^1=占•••A-C的映射为兀一吕亍答案x4x—1⑴求于(2), /[/⑵]的值；(2)^/(x 0) = 8,求兀o 的值.5. 己知函数/3)=“ x 2—4, 0WxW2 2x, x>2.解(l)T0WxW2 时，/(x)=x2—4,•\/(2)=22-4=0,加2)]=/(0)=02_4=_4・⑵当0Wx()W2时，由-Vo—4=8,得x0=±2^3(舍去)；当兀0>2时，由2xo=8,得Xo=4.•・兀0=4・•课堂小结• 1.对映射的定义，应注意以下几点：•⑴集合力和B必须是非空集合，它们可以是数集、点集，也可以是其他集合.•(2)映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字描述的方法来表达.• 2.理解分段函数应注意的问题：•(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.写定义域时，区间的端点需不重不漏. •(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式.•(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画岀来，从而得到整个函数的图象.。
高中数学人教A版必修1课件：1.2.2.2 分段函数与映射
2=2x-2;
题型一
题型二
题型三
题型四
(3)当点 F 在线段 HC 上 ,即 x∈(5,7]时 , y=S 五边形 ABFED=S 梯形 ABCD-SRt△CEF =
1 1 1 2 (7+3)×2 − ( 7-x) = − ( x-7)2+10. 2 2 2 1 2 ������ ,������∈[0,2], 2
(4)是映射 ,因为 A 中每一个元素在 f:x→y= ������作用下对应的 元素构成的集合C={y|0≤y≤1}⊆B,符合映射定义.
1 2
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
求分段函数的函数值
������ + 1,������ > 0, 【例 2】 已知函数 f(x ) = π,������ = 0, 求f(f(f(-3))). 0,������ < 0,
分析:先求f(-3),设f(-3)=m,再求f(m),设f(m)=n,再求f(n)即可. 解:∵-3<0,∴f(-3)=0.∴f(f(-3))=f(0)=π. 又π>0,∴f(f(f(-3)))=f(π)=π+1, 即f(f(f(-3)))=π+1. 反思1.求分段函数的函数值,一定要注意所给自变量的值所在的 范围,再代入相应的解析式求得. 2.像本题中含有多层“f”的问题,要按照“由里到外”的顺序,层层处 理.
错因分析:本题是一个分段函数问题,在解决此类问题时,要紧扣 “分段”的特征,即函数在定义域的不同部分,有不同的对应关系,它 不是几个函数,而是一个函数.求值时不能忽视x的取值范围,因此错 解中x=-2和x=1都应舍去. 正解:当x≥0时,由x2-1=3,得x=2或x=-2(舍去); 当x<0时,由2x+1=3,得x=1(舍去).故x的值为2.
分段函数及映射 课件
题型三 映射的概念 【例 3】(12 分)判断下列对应是不是从集合 A 到集合 B 的映射： (1)A＝N*，B＝N*，对应关系 f：x→|x－3|； (2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系 f“作圆 的内接矩形”； (3)A＝{高一·一班的男生}，B＝{男生的身高}，对应关系 f：每 个男生对应自己的身高； (4)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤6}，对应关系 f：x→y＝12x.
想一想：函数与映射的主要联系与区别是什么？ 提示 映射是函数的推广，而函数是映射的特殊情况，函数是 非空数集 A 到非空数集 B 的映射，而映射而言，A，B 不一定 是非空数集，所以映射不一定是函数，函数一定是映射．
名师点睛 1．分段函数 在自变量 x 的不同取值范围内，函数有着不同的对应关系，这 样的函数称为分段函数．如 y＝10，，xx>≤00，. 易错点津：(1)分段函数是一个函数，不要误认为它是“几个函 数”．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域 是各段上“值域”的并集． (2)分段函数在数学中有着广泛的应用，解决分段函数的有关问 题时，既要注意用分类讨论的思想方法，又要处理好整体和局 部的关系．
x≥0， x<0，
若 f(x)＝3，求 x 的值．
[错解] 由 x2－1＝3，得 x＝±2；
由 2x＋1＝3，得 x＝1，故 x 的值为 2，－2 或 1.
本题是一个分段函数问题，在解决此类问题时，要紧
扣“分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应
关系，它不是几个函数，而是一个函数，求值时不能忽视 x 的取 值范围．
2．对映射的理解 (1)对应关系 f 有“方向性”，即从集合 A 到集合 B 的对应关系 与从集合 B 到集合 A 的对应关系一般是不同的． (2)对映射的对应关系的理解：①A 中的元素都能在 f 作用下确 定唯一一个属于 B 的元素，即 A 中无多余的元素．②B 中的元 素可以对应 A 中一个或多个元素，也可以不对应 A 中的任何元 素，即 B 中可以有多余的元素，且 A 到 B 的对应可以是多对一 或一对一，但不能是一对多．
高中数学 1.2.2.2 分段函数及映射 新人教A版必修1
2．作出下列函数的图象． (1)y＝x，|x|≤1； (2)y＝1－x，x∈Z 且|x|≤2； (3)y＝xx2－－1x. 解析： (1)此函数图象是直线y＝x的一部分．
(2)此函数的定义域为{－2，－1,0,1,2}，所以 其图象由五个点组成，这些点都在直线y＝1－ x上．(这样的点叫做整点)
分段函数的图象 已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．
讨论x的取值范围→化简fx的解析式→把fx 表示为分段函数形式→画出fx的图象→求fx 的值域
[规范作答] (1)当 0≤x≤2 时， f(x)＝1＋x－2 x
(3)先求定义域，在定义域上化简函数式 y＝xx2－－1x ＝x，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．其图象如下：
1．分段函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不 同的取值范围，有着不同的_对__应__关__系__，则称这 样的函数为分段函数． 2．映射 设A、B是两个_非__空__的集合，如果按某一个确 定的对应关系f，使对于集合A中的_任__意__一__个_元 素x，在集合B中都有_唯__一__确__定__的元素y与之对 应，那么就称对应_f：__A__→__B为从集合A到集合B 的一个映射．
第2课时 分段函数及映射
1.通过具体实例，了解简 1.分段函数求值．(重
单的分段函数，并能简单 点)
应用.
2.对映射概念的理
2.了解映射的概念.
解．(难点)
1．若f(2x＋1)＝x2＋1，则f(x)＝________.
解析： 设 t＝2x＋1，则 x＝t－2 1， ∴f(t)＝t－2 12＋1.从而 f(x)＝x－2 12＋1. 答案： x－2 12＋1
分段函数及映射 课件
(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所 以这个对应 f：A→B 是从集合 A 到集合 B 的一个映射．
(4)跃华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即 与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应 f：A→B 不是从集合 A 到集合 B 的一个映射．
归纳升华 1．映射是一种特殊的对应，具有方向性：映射是有次 序的，一般地从 A 到 B 的映射与从 B 到 A 的映射是不同的． 2．唯一性：集合 A 中的任意一个元素在集合 B 中都有 唯一元素对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．
2．对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根 据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函 数，然后分段作出函数图象．
类型 3 映射的概念
[典例 3] 以下给出的对应是不是从集合 A 到集合 B 的映射？
(1)集合 A＝{P|P 是数轴上的点}，集合 B＝R，对应 关系 f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
答案：(1)C (2)－5 3
归纳升华 1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在
的范围，代入相应的解析式求解． 2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，
可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分 段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范 围，确定解析式后再求解．
类型 2 分段函数的图象及应用 [典例 2] 已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．
x－x 解：(1)当 0≤x≤2 时，f(x)＝1＋ 2 ＝1，
－x－x 当－2<x<0 时，f(x)＝1＋ 2 ＝1－x.
1，
高一数学(人教A)必修1课件：1-2-2-2 分段函数与映射
[分析]
判断自变量 满足的范围
分―段―函→数
确定适宜 的函数式
字―母―变→量
分类 讨论
―→
求值
[解析]
(1)由－5∈(－∞，－2]，－
3
∈(－2,2)，－
5 2
∈
(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2(－ 3)＝3－2 3.
∵f(－52)＝－52＋1＝－32，而－2<－32<2，
(3)f(m)>m⇔
m≤－2， m＋1>m，
或
m≥2， 2m－1>m
⇔m≤－2，或
m≥2，
m>1
⇔m≤－2，或m≥2.
所以，所求m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
x＋1 x>0 已知f(x)＝π x＝0
0 x<0
，求f(f(f(－3)))．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①函数f(x)是分段函数；②本例是求值问题．
解答本题需确定f(f(－3))的范围，为此又需确定f(－3)的
范围，然后根据所在定义域代入相应解析式逐步求解．
[解析] ∵－3<0， ∴f(－3)＝0， ∴f(f(－3))＝f(0)＝π， 又π>0，∴f(f(f(－3)))＝f(π)＝π＋1， 即f(f(f(－3)))＝π＋1.
∴f(f(－52))＝f(－32)＝(－32)2＋2×(－32)＝94－3＝－34.
(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍 去．当－2<a<2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.
所以(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1，或a＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1符合题意． 当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意． 综上可得，当f(a)＝3时，a＝1，或a＝2.