《高考数学第一轮复习课件》第41讲 不等式的性质与基本不等式及应用
(4)a>b,c>0 ac>bc ;a>b,c<0 11 ac<bc . 推论１ 推论１:a>b>0,c>d>0 12 ac>bd .
13 推论２ 推论２:a>b>0 an>bn .
n a > n b . 推论３ 推论３:a>b>0 14
3.基本不等式 基本不等式 定理1:如果 、 ∈ 那么 那么a 定理 如果a、b∈R,那么 2+b2≥ 如果 且仅当a=b时取“＝”号). 时取“ 且仅当 时取
第41讲 41讲
不等式的性质与基本不等 式及应用
1.了解现实世界与日常生活中的不 了解现实世界与日常生活中的不 等关系，了解不等式(组 的实际背景 的实际背景. 等关系，了解不等式 组)的实际背景 2.掌握并能运用不等式的性质，掌 掌握并能运用不等式的性质， 掌握并能运用不等式的性质 握比较两个实数大小的一般步骤. 握比较两个实数大小的一般步骤 3.掌握基本不等式，会用基本不等 掌握基本不等式， 掌握基本不等式 式解决简单的最大（ 值问题. 式解决简单的最大（小）值问题
新课标高中一轮 总复习
理数
第六单元 不等式及不等式选讲
知识体系
考纲解读
1.不等关系 不等关系. 不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系， 了解现实世界和日常生活中的不等关系， 了解不等式（ 的实际背景. 了解不等式（组）的实际背景 2.一元二次不等式 一元二次不等式. 一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式 会从实际情境中抽象出一元二次不等式 模型. 模型 (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相 通过函数图象了解一元二次不等式与相 应的二次函数、一元二次方程的联系. 应的二次函数、一元二次方程的联系 (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二 会解一元二次不等式， 会解一元二次不等式 次不等式，会设计求解的程序框图. 次不等式，会设计求解的程序框图
(方法一 方法一) 方法一 为待定系数)， 设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数 ， 为待定系数 则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a-(m-n)b, 即 于是 m+n=4 m-n=2， ， 得 m=3 n=1,
所以f(-2)=3f(-1)+f(1). 所以 因为1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤４， ４ 因为 所以5≤3f(-1)+f(1)≤１0，故5≤f(-2)≤10. １ ， 所以
3.二元一次不等式组与简单线性规划问题 二元一次不等式组与简单线性规划问题. 二元一次不等式组与简单线性规划问题 (1)会从实际情境中抽象出二元一次不等 会从实际情境中抽象出二元一次不等 式组. 式组 (2)了解二元一次不等式的几何意义 ， 能 了解二元一次不等式的几何意义， 了解二元一次不等式的几何意义 用平面区域表示二元一次不等式组. 用平面区域表示二元一次不等式组 (3)会从实际情境中抽象出一些简单的二 会从实际情境中抽象出一些简单的二 元线性规划问题，并能加以解决. 元线性规划问题，并能加以解决 (1)了解基本不等式的证明过程 了解基本不等式的证明过程. 了解基本不等式的证明过程 (2)会用基本不等式解决简单的最大 （ 小 ） 会用基本不等式解决简单的最大（ 会用基本不等式解决简单的最大 值问题. 值问题
(方法二 方法二) 方法二 由 a-b=f(-1) a+b=f(1), 以下同方法一. 以下同方法一 得 a= b=
1 ［f(1)+f(-1)］ ］ 2 1 ［f(1)-f(-1)］, ］ 2
所以f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 所以
点评 严格依据不等式的基本性质和运算法
是正确解答此类题目的保证， 则，是正确解答此类题目的保证，若先将参数 a,b的范围求出，而后再求f(-2)的范围，这样操 的范围求出，而后再求 的范围， 的范围求出 的范围 作是错误的， 作是错误的，因为解题过程没有忠实题目所给 条件， 即变形不等价， 由所求的参数a,b的范 条件 ， 即变形不等价 ， 由所求的参数 的范 围并不能得到已知条件所给的f(-1)及 f(1)的范 围并不能得到已知条件所给的 及 的范 这样，已经改变了题目的条件，当然， 围，这样，已经改变了题目的条件，当然，所 求的结果就不是实际的结果.因此 因此， 求的结果就不是实际的结果 因此 ， 在解题的 过程中，务必尽可能保持变形的等价性， 过程中，务必尽可能保持变形的等价性，以免 发生错误. 发生错误
n n n
ai 2 ∑ bi 2 ≥ (∑ ai bi 2 ) 2. 情况： 情况： ∑
i =1 i =1 i =1
8.会用向量递归方法讨论排序不等式 会用向量递归方法讨论排序不等式. 会用向量递归方法讨论排序不等式 9.了解数学归纳法的原理及其使用范围， 了解数学归纳法的原理及其使用范围， 了解数学归纳法的原理及其使用范围 会用数学归纳法证明一些简单问题. 会用数学归纳法证明一些简单问题 10.会用数学归纳法证明贝努利不等式 ： 会用数学归纳法证明贝努利不等式： 会用数学归纳法证明贝努利不等式 (1+x)n>1+nx(x>-1,x≠0 ， n 为 大 于 1 的 正 整数),了解当 为大于1的实数时 了解当n为大于 的实数时， 整数 了解当 为大于 的实数时，贝努利不 等式也成立. 等式也成立 11.会用上述不等式证明一些简单问题， 会用上述不等式证明一些简单问题， 会用上述不等式证明一些简单问题 能够利用均值不等式、 能够利用均值不等式、柯西不等式求一些特 定函数的极值. 定函数的极值 12.了解证明不等式的基本方法 ： 比较 了解证明不等式的基本方法： 了解证明不等式的基本方法 综合法、分析法、反证法、放缩法. 法、综合法、分析法、反证法、放缩法
15
2ab 当 (当
说明： 指出定理适用范围 指出定理适用范围： 、 ∈ 说明：(1)指出定理适用范围：a、b∈R;(2) 强调取“ 号的条件a=b. 强调取“＝”号的条件
仅当a=b时取“＝”号). 时取“ 仅当 时取 说 明 ： (1) 这a个 定 理 适 用 的 范 围 ： +b a,b∈R+;(2)我们称 2 为a,b的算术平均数，称 的算术平均数， ∈ 我们称 的算术平均数 的几何平均数， 的几何平均数 ab 为 a,b的几何平均数 ， 即两个正数的算术 平均数不小于他们的几何平均数. 平均数不小于他们的几何平均数 结论： 结论：若x,y∈R+,x+y=S,xy=P,则: ∈ 则 如果P是 那么当x=y时，S的值 如果 是 17 定 值，那么当 时 的值 如果S是 那么当x=y时,P的值 最 18 小 ;如果 是 19 定 值,那么当 如果 那么当 时 的值 求最值的必要条件： 最 20 大 .求最值的必要条件：一正、二定、三 求最值的必要条件 一正、二定、 相等. 相等
a b ab
4.设a,b是不相等的正数，则下列关系中， 设 是不相等的正数 则下列关系中， 是不相等的正数， 不恒成立的是（ 不恒成立的是（ C ） A.|a-b|≤|a|+|b|
1 B.a2+ 2 ≥a+1a a 1 C.|a-b|+ ≥2 a b D. a + 3 - a + 1 ≤
a+2
a
成立.运用公式一定要注意公式成立的条 成立 运用公式一定要注意公式成立的条 件 ,如果 、b∈R,那么 2+b2≥2ab(当且仅当 如果a、 ∈ 那么 那么a 如果 当且仅当
a+b ≥ ab (当且仅当 当且仅当a=b时取“＝”号). 时取“ 么 当且仅当 时取 2
1 C选项 选项|a-b|+ ≥2，当a-b<0时不 选项 ， 时不 a b
a=b时取“＝”号)，如果 、b是正数，那 时取“ 是正数， 时取 ，如果a、 是正数
5. 设 x 、 y∈R ， a>1 ， b>1 ， 若 ax=by=3 ， ∈
6
π
由题设得0<2α<π,0≤ ≤ 3 , 6 由题设得 π β β π 所以- ≤- ≤0，所以 <2α- <π. 所以 ，所以6 3 6 3
β
π
c d 3.已知三个不等式 已知三个不等式:ab>0,bc-ad>0, - >0(其 已知三个不等式 其 a a
均为实数),用其中两个不等式 中a、b、c、d均为实数 用其中两个不等式 、 、 、 均为实数 一个命题,可组成的正确命题的个数是 D ) 一个命题 可组成的正确命题的个数是( 可组成的正确命题的个数是 A.0 C.2 B.1 D.3
a+b 定理2:如果 是正数,那么 如果a,b是正数 定理 如果 是正数 那么 ≥ 2
16
ab (当且 当且
典例精讲
题型一 不等式性质的应用 例1 设 f(x)=ax2+bx, 且 1≤f(-1)≤2 ，
2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范围 ， 的取值范围. 的取值范围 因为f(-1)=a-b,f(1)=a+b,而1≤a-b≤2, 而 分析 因为 2≤a+b≤4. 中的a,b不是独立的 又 a+b与 a-b中的 不是独立的 ， 而是相互 与 中的 不是独立的， 制约的，因此，若将f(-2)用a-b与a+b表示， 表示， 制约的，因此，若将 用 与 表示 则问题得解. 则问题得解
作为条件,余下的一个不等式作为结论组成 作为条件 余下的一个不等式作为t;0,bc-ad>0可得出 可得出 a b c d bc-ad>0两边同除以 得 - >0. 两边同除以ab,得 两边同除以 a b c c
同样由
- a >0,ab>0,可得 可得bc-ad>0. 可得 a bc-ad>0 bc-ad>0 由 故选D. 故选 bc ad ab>0.故选 c d - >0 >0
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不等式的基本性质教学课件
《不等式的基本性质教学课件ppt》xx年xx月xx日CATALOGUE目录•引言•不等式的定义和性质•不等式的解法•不等式的应用•习题及解答01引言学生在学习不等式之前已经具备了基础的算术知识，了解了等式的基本性质。
在数学和实际生活中，不等式的应用非常广泛，如解决比赛、生产、销售等问题。
课程背景理解不等式的概念和基本性质。
掌握比较大小的方法和技巧。
理解不等式的解法和应用。
教学目标教学计划第一节第二节Array比较大小的方法和技巧。
不等式的概念和基本性质。
第三节第四节不等式的解法和应用。
练习和巩固。
02不等式的定义和性质严格不等号严格不等号是指不等号两边的数或式子在数学上不等同，如2≠3。
非严格不等号非严格不等号是指不等号两边的数或式子在数学上可以相等，如2≤3。
不等式的定义若a>b，b>c，则a>c。
传递性若a>b，则a+c>b+c。
加法可加性若a>b，c>0，则ac>bc。
乘法可乘性若a>b，c<0，则ac<bc。
乘方法则1 2 3不等式可分为严格不等式和非严格不等式。
按形式分类不等式可分为比较大小的不等式和含有变量符号的不等式。
按内容分类不等式可分为可加、可减、可乘、可除的不等式。
按运算分类03不等式的解法总结词：直接求解详细描述：一元一次不等式的解法通常是通过将不等式进行变形，将其转化为$x$的一元一次方程，然后求解方程得出$x$的值，最后根据$x$的取值范围得到不等式的解。
因式分解求解详细描述一元二次不等式的解法通常是通过将不等式进行因式分解，将其转化为两个一元一次不等式组，然后分别求解得出$x$的取值范围，最后得到不等式的解。
高次不等式的解法总结词：降次求解详细描述：高次不等式的解法需要将不等式进行降次处理，将其转化为多个一元一次或一元二次不等式组，然后分别求解得出$x$的取值范围，最后得到不等式的解。
需要注意的是，高次不等式的解法较为复杂，需要掌握一定的数学技巧。
高考数学一轮复习 第8单元第41讲 不等关系与不等式的性基本不等式课件 理 湘教版
题型一 不等式性质的应用
例1 1 (2011 黄山模拟)已知a，b，c，d 均为实数，有
下列命题： c d ①若ab 0，bc ad 0，则 0； a b c d ②若ab 0， 0，则bc ad 0； a b c d ③若bc ad 0， 0，则ab 0. a b 其中正确命题的个数是( ) A. 0 C. 2 B 1 D. 3
1.了解现实世界与日常生活中的不 等关系，了解不等式(组)的实际背景. 2.掌握并能运用不等式的性质，掌 握比较两个实数大小的一般步骤. 3.掌握基本不等式，会用基本不等 式解决简单的最大（小）值问题.
1. ( 2010 六安模拟)若a b，则下列各式中正 确的是 A. a 2 b 2
a ④ b a a 1 ______ ，a b ⑤ __________ ， a b 1 b b ⑥ _________ _. 1
2 商值比较法：若a 0，b 0，则a b
2．不等式的性质
(对称性或反身性) a b ⑦ __________ ； 1 定理1： ac (传递性) a b，b c ⑧ _________ ； 2 定理2： bc ， (可加性) a b a c ⑨ __________ 3 定理3： 此法则又称为移项法则．
个条件，致使解错．在研究范围问题时，一定要看清变 量间有无内在联系，要确定准独立变量，以免产生错误 范围( 3 3 ， )． 2 2
1. 比较两数的大小
ab 0； 1 差值比较法：a b ① __________ ab a b ② ________ 0；a b ③ _______ a b 0.
不等式的性质基本不等式课件高三数学一轮复习
常用变形 ab≤(a＋4b)2≤a2＋2 b2
举题说法
不等式的性质
1 (1) (多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一
定成立的是
( BCD
)
A．ac(a－c)＞0
B．c(b－a)＜0
【解C析．】c因b2为＜aa，b2b，c满足c＜a＜b，且Dac．＜a0b，＞所a以c c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b
3．已知 x＞1，则 x＋x－1 1的最小值为 ( C )
A．1 C．3
B．2 D．4
【解析】因为 x＞1，所以 x－1＞0，所以 x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 (x－1)·x－1 1 ＋1＝3，当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2(x＝0 舍去)时等号成立，此时 x＋x－1 1取最小 值 3.
4．(多选)下列说法正确的是
()
A．若
x＜1，则函数 2
y＝2x＋2x1－1的最小值为－1
B．若实数 a，b，c 满足 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝2，则a＋4 1＋b＋1 c的最小值
是3
C．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 2a＋b＋ab＝6，则 2a＋b 的最大值是 4
D．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 a＋b＝2，则a＋a21＋b＋b21的最小值是 1
【解析】设 2α－β＝m(α＋β)＋n(αห้องสมุดไป่ตู้β)，则mm＋ －nn＝ ＝2－，1， 解得mn＝＝3212，，
所以 2α－β
＝12(α＋β)＋32(α－β).
因为 π＜α＋β＜54π，－π＜α－β＜－π3，所以π2＜12(α＋β)＜58π，－32π＜32(α－β)＜－π2，所
以－π＜12(α＋β)＋32(α－β)＜π8，即－π＜2α－β＜π8，所以 2α－β 的取值范围是－π，π8.
举题说法
不等式的性质
1 (1) (多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一
定成立的是
( BCD
)
A．ac(a－c)＞0
B．c(b－a)＜0
【解C析．】c因b2为＜aa，b2b，c满足c＜a＜b，且Dac．＜a0b，＞所a以c c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b
3．已知 x＞1，则 x＋x－1 1的最小值为 ( C )
A．1 C．3
B．2 D．4
【解析】因为 x＞1，所以 x－1＞0，所以 x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 (x－1)·x－1 1 ＋1＝3，当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2(x＝0 舍去)时等号成立，此时 x＋x－1 1取最小 值 3.
4．(多选)下列说法正确的是
()
A．若
x＜1，则函数 2
y＝2x＋2x1－1的最小值为－1
B．若实数 a，b，c 满足 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝2，则a＋4 1＋b＋1 c的最小值
是3
C．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 2a＋b＋ab＝6，则 2a＋b 的最大值是 4
D．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 a＋b＝2，则a＋a21＋b＋b21的最小值是 1
【解析】设 2α－β＝m(α＋β)＋n(αห้องสมุดไป่ตู้β)，则mm＋ －nn＝ ＝2－，1， 解得mn＝＝3212，，
所以 2α－β
＝12(α＋β)＋32(α－β).
因为 π＜α＋β＜54π，－π＜α－β＜－π3，所以π2＜12(α＋β)＜58π，－32π＜32(α－β)＜－π2，所
以－π＜12(α＋β)＋32(α－β)＜π8，即－π＜2α－β＜π8，所以 2α－β 的取值范围是－π，π8.
人教高中数学不等式的基本性质PPT完美版
例题讲解 例1、比较两数(a+1)2与 a2－a+1值的大小。
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练习 比较两数(a2 +1)2与 a4+a2+1的值的大小。
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例题讲解
•
6.不能把质朴、理性的爱国主义视为 民粹主 义、狭 隘民族 主义， 同时应 防止各 种形式 的民粹 主义和 极端民 族主义 行为。
•
7. 众多短视频平台成为人们的消遣神 器，但 如果缺 乏内容 创新和 内涵续 航，短 视频的 发展将 不容乐 观。
•
8. 在这个浅表性阅读时代，越是具有 艺术美 感、内 容穿透 力和人 文内涵 的走心 作品越 能获得 观众的 认可。
性质5：如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd.不等式的叠乘性质
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谢谢
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•
1.中美贸易摩擦已升级为舆论战，坚 持正确 舆论导 向、弘 扬爱国 主义精 神尤为 重要。
•
2.爱国主义精神具有深厚的历史性， 极强的 传承力 、感染 力，以 及坚韧 性，顽 强性和 理性。
•
3.爱国主义精神，是在中国共产党近 百年之 奋斗史 中不断 形成， 积聚与 升华而 成的。
•
4.面对史上规模最大的贸易战，中国 政府和 人民最 重要的 是“集中 力量做 好自己 的事”
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练习 比较两数(a2 +1)2与 a4+a2+1的值的大小。
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例题讲解
•
6.不能把质朴、理性的爱国主义视为 民粹主 义、狭 隘民族 主义， 同时应 防止各 种形式 的民粹 主义和 极端民 族主义 行为。
•
7. 众多短视频平台成为人们的消遣神 器，但 如果缺 乏内容 创新和 内涵续 航，短 视频的 发展将 不容乐 观。
•
8. 在这个浅表性阅读时代，越是具有 艺术美 感、内 容穿透 力和人 文内涵 的走心 作品越 能获得 观众的 认可。
性质5：如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd.不等式的叠乘性质
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•
1.中美贸易摩擦已升级为舆论战，坚 持正确 舆论导 向、弘 扬爱国 主义精 神尤为 重要。
•
2.爱国主义精神具有深厚的历史性， 极强的 传承力 、感染 力，以 及坚韧 性，顽 强性和 理性。
•
3.爱国主义精神，是在中国共产党近 百年之 奋斗史 中不断 形成， 积聚与 升华而 成的。
•
4.面对史上规模最大的贸易战，中国 政府和 人民最 重要的 是“集中 力量做 好自己 的事”
高三数学最新复习课件不等式的性质与基本不等式及应用(共25张PPT)
典例精讲
题型一 不等式性质的应用 例1 设 f ( x ) = a x 2 + b x , 且 1 ≤ f ( - 1 ) ≤ 2 ，
2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范围.
分析 因为f(-1)=a-b,f(1)=a+b,而1≤a-b≤2,
2≤a+b≤4. 又 a +b与 a -b中的a ,b不是独立的，而是相互 制约的，因此，若将f(-2)用a-b与a+b表示， 则问题得解.
第36讲
不等式的性质与基本不等式及应用
1.了解现实世界与日常生活中的不 等关系，了解不等式(组)的实际背景.
2.掌握并能运用不等式的性质，掌 握比较两个实数大小的一般步骤.
3.掌握基本不等式，会用基本不等 式解决简单的最大（小）值问题.
1.若x>0,则x+ 2 的最小值为 2 2 .
x 2.设α∈(0, ),β∈［0, 2 ］,那么2α2
=aa-b· bb-a=(
b a-b ) . a
(方法一)
设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数)，
则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a-(m-n)b,
于是 m+n=4
m-n=2，
得
m=3
n=1,
所以f(-2)=3f(-1)+f(1). 因为1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤４， 所以5≤3f(-1)+f(1)≤１0，故5≤f(-2)≤10.
(4)a>b,c>0 ac>bc ;a>b,c<0 11 ac<bc . 推论１:a>b>0,c>d>0 12 ac>bd . 推论２:a>b>0 13 an>bn .
2022版新教材高考数学一轮复习第一章1.3等式不等式的性质与基本不等式课件新人教A版2021051
解析
(1)
(2)ab>ba
−
+
+
=
(+)-(+ )
(+ )
=
(-)
.
(+ )
因为 a>b>0,m>0,所以 b-a<0,a+m>0,
(-)
所以(+ )<0,即
(2)令
ln
f(x)= ,则
为 e<a<b,所以
−
+
<0,所以
+
1-ln
f'(x)= 2 ,当
ln
f(a)>f(b),即
<
+
.
+
x>e 时,f'(x)<0,所以 f(x)在(e,+∞)上单调递减,因
>
ln
⇒bln
a>aln b⇒ab>ba.
不等式的性质及应用
考点2
【例2】 (1)(2020北京海淀一模,4)已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所
3
4
5
A.a<b<c
C.c<a<b
答案 (1)D
B.c<b<a
D.b<a<c
(2)B
)
)
解析 (1)∵a,b∈(0,1),且 a≠b,则显然有 a+b>2 ,a2+b2>2ab.下面比
较 a2+b2 与 a+b 的大小.由于 a,b∈(0,1),∴a2<a,b2<b,∴a2+b2<a+b.故
(1)
(2)ab>ba
−
+
+
=
(+)-(+ )
(+ )
=
(-)
.
(+ )
因为 a>b>0,m>0,所以 b-a<0,a+m>0,
(-)
所以(+ )<0,即
(2)令
ln
f(x)= ,则
为 e<a<b,所以
−
+
<0,所以
+
1-ln
f'(x)= 2 ,当
ln
f(a)>f(b),即
<
+
.
+
x>e 时,f'(x)<0,所以 f(x)在(e,+∞)上单调递减,因
>
ln
⇒bln
a>aln b⇒ab>ba.
不等式的性质及应用
考点2
【例2】 (1)(2020北京海淀一模,4)已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所
3
4
5
A.a<b<c
C.c<a<b
答案 (1)D
B.c<b<a
D.b<a<c
(2)B
)
)
解析 (1)∵a,b∈(0,1),且 a≠b,则显然有 a+b>2 ,a2+b2>2ab.下面比
较 a2+b2 与 a+b 的大小.由于 a,b∈(0,1),∴a2<a,b2<b,∴a2+b2<a+b.故
2021届高三数学一轮复习-《第41讲 基本不等式》课件 (共10张PPT)
(1)每套丛书售价定为1 00元时，书商所获得的 总利润是多少万元？
(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书 的利润最大？小 有最大
【典例剖析 】 考点1 利用基本(均值)不等式求最值
例1：
()
大值为
考点2 基本(均值)不等式与函数的综合问题
例2：
值域
例3：
b
考点3 基本(均值)不等式的实际应用
例4：某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销
会，据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到 (15-0.1x)万套。现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格 改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分， 其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万 套)成反比，比例系数为10。假设不计其他成本，即销售每套丛 书的利润=售价-供货价格。问：
2012届高考数学(理科)一轮复习课件(人教版)第8单元第41讲 不等关系与不等式的性基本不等式
解析：作差比较法
x y
2
2
x y x y
2
2
x y
2
2 2 x y x y x y
2xy x y ．
因 为 x y 0， 所 以 x y 0， x y 0， 所 以 2xy x y 0.
1 差 值 比 较 法 ： a
a _ b ① _ _ _ _ _b _ _ _ _ 0；
a b ② _a _ _b _ _ _ 0； a b ③ _ _ _b _ _ 0 . _ _ a_ _ a 2 商 值 比 较 法 ： 若 a 0， b 0， 则 a b ④ b _ _ _1 _ _ ， a b _ ⑥ __________ . 1 a b ⑤ _ _ _1 _ _ _ _ _ _ ， a b _ a b
__________ 2
2
(当 且 仅 当 仅 当 a b时 取
即平方平均数 算术平均数 几何平均数 调和平均数． 注 意 关 于 a b的 两 种 变 形 a b a b
2 2
， ab (
a b 2
) .
2
2
题型一 不等式性质的应用
例1 1 ( 2 0 1 1 黄 山 模 拟 )已 知 a， b， c， d 均 为 实 数 ， 有
2
2
0， ，
所 以 a b a ab b
2
2
0， 即 a
3
b ，所以
3
a b
2
b a
2
故 选 D.
2 设 a， b， c
x y
2
2
x y x y
2
2
x y
2
2 2 x y x y x y
2xy x y ．
因 为 x y 0， 所 以 x y 0， x y 0， 所 以 2xy x y 0.
1 差 值 比 较 法 ： a
a _ b ① _ _ _ _ _b _ _ _ _ 0；
a b ② _a _ _b _ _ _ 0； a b ③ _ _ _b _ _ 0 . _ _ a_ _ a 2 商 值 比 较 法 ： 若 a 0， b 0， 则 a b ④ b _ _ _1 _ _ ， a b _ ⑥ __________ . 1 a b ⑤ _ _ _1 _ _ _ _ _ _ ， a b _ a b
__________ 2
2
(当 且 仅 当 仅 当 a b时 取
即平方平均数 算术平均数 几何平均数 调和平均数． 注 意 关 于 a b的 两 种 变 形 a b a b
2 2
， ab (
a b 2
) .
2
2
题型一 不等式性质的应用
例1 1 ( 2 0 1 1 黄 山 模 拟 )已 知 a， b， c， d 均 为 实 数 ， 有
2
2
0， ，
所 以 a b a ab b
2
2
0， 即 a
3
b ，所以
3
a b
2
b a
2
故 选 D.
2 设 a， b， c
2023年高考数学一轮复习课件——等式性质与不等式性质
2.等式的性质 性质1 对称性：如果a＝b，那么 b＝a ； 性质2 传递性：如果a＝b，b＝c，那么 a＝c ； 性质3 可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5 可除性：如果a＝b，c≠0，那么 ac＝bc .
3.不等式的性质 性质1 对称性：a>b⇔ b<a ； 性质2 传递性：a>b，b>c⇒ a>c ； 性质3 可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4 可乘性：a>b，c>0⇒ ac>bc ；a>b，c<0⇒ ac<bc ； 性质5 同向可加性：a>b，c>d⇒ a＋c>b＋d ； 性质6 同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ ac>bd ； 性质7 同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2).
即 a<－c，得ac<－1，所以－3<ac<－1.
(2)已知1<a<b<3，则a－b的取值范围是_(_－__2_,_0_) _，
a b
的取值范围是
___13_，__1_ _.
∵1<b<3，∴－3<－b<－1， 又1<a<3， ∴－2<a－b<2，又a<b， ∴a－b<0， ∴－2<a－b<0， 又13<1b<1a，∴a3<ab<1，又a3>13，∴13<ab<1. 综上所述，a－b 的取值范围为(－2,0)；ab的取值范围为13，1.
当 x>e 时，f′(x)<0，f(x)＝lnxx单调递减， 当0<x<e时， f′(x)>0，f(x)＝lnx x单调递增， 因为a，b，c∈(0,3)，f(a)＝f(5)， f(b)＝f(4)，f(c)＝f(3)， 所以a，b，c∈(0，e)， 因为f(5)<f(4)<f(3)， 所以f(a)<f(b)<f(c)，a<b<c.
高三数学第一轮复习教案：第41课时—不等式证明
高三数学第一轮复习讲义（41）不等式
的证明（二）
一．复习目标：
1．了解用反证法、换元法、放缩法等方法证明简单的不等式．
二．知识要点：
1．反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）；
2．换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性；3．放缩法：要注意放缩的适度，常用的方法是：①舍去或加上一些项；②将分子或分母放大（或缩小）．
三．课前预习：
1．设实数满足，当时，的取值范围是（）
2．与的大小关系是．
四．例题分析：
例1．已知，求证：．
小结：
例2．设正有理数是的一个近似值，令，
（1）证明：介于与之间；
a比更接近于；
（2）证明：
2
（3）分析研分上述结论，提出一种求的有理近似值的方法．
例3．在数列中，，对正整数且，求证：．
小结：
例4．设，，，求证：．
小结：
五．课后作业：班级学号姓名
1．下列三个式子，，中（）
()A至少有一式小于()B都小于1-
D至少有一式大于等C都大于等于1-()
()
于1
-
2设，则的大小关系是．3．，则的取值范围是．
4．已知，求证：．
5．证明：．
6．设为三角形的三边，求证：．
7．已知，求证．
内容总结
（1）高三数学第一轮复习讲义（41）不等式的证明（二）一．复习目标：
1．了解用反证法、换元法、放缩法等方法证明简单的不等式．二．知识要点：
1．反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）。