高考三角函数试题分析
高考数学中的三角函数综合题解析

高考数学中的三角函数综合题解析高中数学教学中,三角函数是一个非常重要的知识点,也是高中数学考试中的重点之一。
而在高考数学中,综合题往往涉及多个知识点的综合应用,其中也不乏三角函数的应用。
本文将就高考数学中的三角函数综合题做出详细的解析,帮助广大考生更好地掌握这一知识点。
一、三角函数基础知识在介绍三角函数综合题之前,我们需要先明确三角函数的基础知识。
三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数,在三角形中体现了角的大小和边的关系。
其中,正弦函数是指一个角的对边与斜边的比值,余弦函数是指一个角的邻边与斜边的比值,正切函数是指一个角的对边与邻边的比值。
我们可以使用三角函数来求解三角形中的各边长和角度,也可以将其应用到正弦定理、余弦定理、编织定理等相关知识点中。
二、高考数学中的三角函数综合题1. 坡度角问题高考数学中,三角函数综合题的形式多种多样。
其中,坡度角问题是其中的一种典型题型。
坡度角指的是一个斜面或者道路等具有倾斜性质的物体表面所呈现的角度大小。
例如,我们可以用坡度角来描述一个路面的坡度大小,或者一个水坝的坡度大小等。
在高考数学中,坡度角问题被广泛应用。
典型的例子是:一处高速公路的坡道下降5度,下降了多少米称为1000米?解析:首先,我们需要将题目中的信息进行整理:- 坡度角为5度,可以表示为∠x=5度;- 要求下降多少米称为1000米,可以表示为∠y=1000米;- 具体的要求是求出下降的高度h。
其次,我们可以利用三角函数进行求解:sin 5 = h/1000h = 1000×sin 5 ≈ 87.3 米因此,在这个问题中,我们可以通过利用三角函数,求出坡度下降5度时,下降1000米所对应的高度为约87.3米。
2. 飞机斜率问题除了坡度角问题,高考数学中的三角函数综合题还有其他类型,如:飞机斜率问题。
飞机斜率问题指的是一个飞机在起飞或者降落时所呈现的倾斜状态。
这个状态除了可以直接用角度表示外,还可以用三角函数来描述。
三角函数、解三角形——2024届高考数学试题分类汇编(解析版)

2024高考复习·真题分类系列2024高考试题分类集萃·三角函数、解三角形
微专题总述:三角函数的图像与性质
【扎马步】2023高考三角函数的图像与性质方面主要考察“卡根法”的运用,是最为基础的表现
【雕龙头】在稳中求新的过程中,2023高考试题也透露出了新的风向,加强图像考察与其他知识点如几何、函数的结合,对称思想的隐含
微专题总述:正弦定理与余弦定理的应用
【扎马步】2023高考解三角形小题部分紧抓“教考衔接”基础不放,充分考察正余弦定理的运用
【雕龙头】在稳中求新的过程中,2023高考试题也透露出了新的风向,在考察正余弦定理时与角平分线定理结合(初中未涉及此定理)
微专题总述:解三角形综合问题
【扎马步】2023高考解三角形大题部分仍然与前几年保持一直模式,结构不良题型日益增多,但方向不变,均是化为“一角一函数”模式是达到的最终目的,考察考生基本计算与化简能力
【雕龙头】在稳中求新的过程中,2023高考试题也透露出了新的风向,如新高考卷中出现的数形结合可加快解题速度,利用初中平面几何方法快速求出对应参量在近几年高考题中频繁出现,可见初高中结合的紧密 2023年新课标全国Ⅰ卷数学
16.已知在ABC 中,
()3,2sin sin A B C A C B +=−=. (1)求sin A ;
(2)设5AB =,求AB 边上的高.
2023高考试题分类集萃·三角函数、解三角形参考答案
2。
全国高考数学“三角函数”试题分析报告小结

全国高考数学“三角函数”试题分析小结一、客观题重基础,有关三角函数的小题其考查重点是三角函数的概念、图象与图象变换、定义域与值域、三角函数的性质和三角函数的化简与求值.【例1】 (2007年四川)下面有五个命题:①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|. ③在同一坐标系中,函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数.0)2sin(〕上是减函数,在〔ππ-=x y 其中真命题的序号是 ① ④ ((写出所有真命题的编号))解答:①4422sin cos sin cos 2y x x x x cos x =-=-=-,正确;②错误;③sin y x =,tan y x =和y x =在第一象限无交点,错误;④正确;⑤错误.故选①④.【点评】 本题通过五个小题全面考查三角函数的有关概念、图象、性质的基础知识. 三角函数的概念,在今年的高考中,主要是以选择、填空的形式出现,每套试卷都有不同程度的考查.预计在2008年高考中,三角函数的定义与三角变换仍将是高考命题的热点之一.【例2】(2007年安徽)函数π()3sin(2)3f x x =-的图象为C :① 图象C 关于直线π1211=x 对称; ② ②函数)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数;③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中正确论断的个数为 (A )0 (B )1(C )2(D )3解答 C ①图象C 关于直线232x k πππ-=+对称,当k =1时,图象C 关于π1211=x 对称;①正确;②x ∈)12π5,12π(-时,23x π-∈(-2π,2π),∴ 函数)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数;②正确;③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到23sin(2)3y x π=-,得不到图象,③错误;∴ 正确的结论有2个,选C. 【点评】 本题主要考查了三角函数的图象和性质及三角函数图象的平移变换.二、解答题重技能.三角函数解答题是高考命题的常考常新的基础性题型,其命题热点是章节内部的三角函数求值问题;命题的亮点是跨章节的学科综合命题. 【例3】 (2007年安徽)已知0αβπ<<4,为()cos 2f x x π⎛⎫=+ ⎪8⎝⎭的最小正周期,1tan 1(cos 2)4αβα⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,a b ,且a ·b m =.求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值.解答:因为β为π()cos 28f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期,故πβ=. 因m =·a b ,又1cos tan 24ααβ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ab ··.故1cos tan 24m ααβ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭·. 由于π04α<<,所以222cos sin 2()2cos sin(22π)cos sin cos sin ααβαααααα++++=--22cos sin 22cos (cos sin )cos sin cos sin ααααααααα++==--1tan π2cos 2cos tan 2(2)1tan 4m ααααα+⎛⎫==+=+ ⎪-⎝⎭·.【点评】 本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式,考查运算能力和推理能力.属于三角函数求值问题.本类问题一般有三种形式:①给式求值,②给值求值,③给值求角.其一般解法是:将角化为特殊角或将三角函数化为同角、同名函数进行合并与化简,最后求出三角函数的值来.【例4】 (2007年天津)已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ,. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;(Ⅱ)求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的最小值和最大值.解答:(Ⅰ)解:π()2cos (sin cos )1sin 2cos 22sin 24f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭.因此,函数()f x 的最小正周期为π.(Ⅱ)解法一:因为π()2sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上为增函数,在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上为减函数,又π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,3π28f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,3π3πππ2sin 2cos 14244f ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的最大值为2,最小值为1-. 解法二:作函数π()2sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的图象如下:由图象得函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的最大值为2,最小值为3π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【点评】 本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()y A x ωϕ=+的性质等基础知识,考查基本运算能力.三、考应用融入三角形之中.解三角形题目既考查三角形的知识与方法,又考查运用三角公式进行恒等变换的技能. 【例5】 (2007年四川)如图,l 1、l 2、l 3是同一平面内的 三条平行直线,l 1与l 2间的距离是1, l 2与l 3间的距离是2, 正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上,则△ABC 的边长 是 ( )(A )32 (B )364(C )4173 (D )3212解答:D 因为l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线, l 1与l 2间的距离是1,l 2与l 3间的距离是2,所以过A 作 l 2的垂线,交l 2、l 3分别于点D 、E ,如图,则∠BAD = ∠BAC +∠CAE ,即∠BAD =60°+∠CAE ,记正三角形ABC 的边长为a ,两边取余弦得:CAE CAE asin 60sin cos 60cos 1︒-︒=, 即aa a a 223233211-⨯-⨯= 整理得3212,,1)9(32==-a a 解之得,故选D. 【点评】 本题以平面几何为平台,主要考查运用三角函数的相关知识解决实际问题的能力.本题意图与新课标接轨,需引起高三备考学生的密切关注.【例6】 (2007年全国Ⅰ)设锐角三角形ABC 的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小;yxO22-π83π8 5π8 3π47π89π8(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.解:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC △为锐角三角形得π6B =. (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭13cos cos sin 22A A A =++3sin 3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由ABC △为锐角三角形知,22A B ππ->-,2263B ππππ-=-=. 2336A πππ<+<, 所以13sin 232A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭.由此有333sin 3232A π⎛⎫<+<⨯ ⎪⎝⎭,所以,cos sin A C +的取值范围为3322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,. 【点评】 (1)问考查正弦定理的简单应用,当属容易题,(2)问主要考查了三角函数两角和与差的正余弦公式应用,但题干中△ABC 为锐角三角形是不可忽略的条件,必须在分析题目时引起足够的重视.四、综合体现三角函数的工具性作用.虽然工具性作用有所减弱,但是对它的考查还会存在.这是由于近年高考出题突出以能力立意,加强了对知识的应用性地考查经常在知识的交汇点处出题. 【例7】 如图,甲船以每小时302海里的速度向正北方航行, 乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时,乙船位于 甲船的北偏西105方向的1B 处,此时两船相距20海里,当甲船 航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向 的2B 处,此时两船相距102海里,问乙船每小时航行多少海里? 解法一:如图,连结11A B ,由已知22102A B =,122030210260A A =⨯=,北B 2A1201221A A A B ∴=,又12218012060A A B =-=∠,122A A B ∴△是等边三角形,1212102A B A A ∴==,由已知,1120A B =,1121056045B A B =-=∠,在121A B B △中,由余弦定理,22212111212122cos 45B B A B A B A B A B =+-22220(102)2201022=+-⨯⨯⨯200=.12102B B ∴=.因此,乙船的速度的大小为1026030220⨯=(海里/小时). 答:乙船每小时航行302海里.解法二:如图,连结21A B ,由已知1220A B =,122030210260A A =⨯=,112105B A A =∠, cos105cos(4560)=+cos 45cos60sin 45sin 60=- 2(13)4-=, sin105sin(4560)=+sin 45cos60cos 45sin 60=+ 2(13)4+=. 在211A A B △中,由余弦定理,北1B2B 1A2A120 105 乙甲22221221211122cos105A B A B A A A B A A =+-222(13)(102)202102204-=+-⨯⨯⨯100(423)=+.1110(13)A B ∴=+.由正弦定理1112111222202(13)2sin sin 4210(13)A B A A B B A A A B +===+∠∠, 12145A A B ∴=∠,即121604515B A B =-=∠,2(13)cos15sin1054+==.在112B A B △中,由已知12102A B =,由余弦定理,22212112221222cos15B B A B A B A B A B =++2222(13)10(13)(102)210(13)1024+=++-⨯+⨯⨯200=.12102B B ∴=,乙船的速度的大小为1026030220⨯=海里/小时. 答:乙船每小时航行302海里.【点评】 本题是解斜三角形的应用题,考查了正、余弦定理的应用,等边三角形的判定.求解本类问题时应按照由易到难的顺序来求解,最重要的是首先要对图形进行有效分割,便于运用正、余弦定理.由于近年高考题突出以能力立意,加强对知识和应用性的考查,故常常在知识的交汇点处出题.用三角函数作工具解答应用性问题虽然是高考命题的一个冷点,但在备考时也需要我们去关注.【例8】 已知函数2222()2()21tf x x t x x x t =-++++,1()()2g x f x = (I )证明:当22t <时,()g x 在R 上是增函数; (II )对于给定的闭区间[]a b ,,试说明存在实数k ,当t k >时,()g x 在闭区间[]a b ,上是减函数;(III )证明:3()2f x ≥解答:(Ⅰ)证明:由题设得.12)(,)1()(22+-='++-=x x x xte e x g x e t ex g又由x x e e -+2≥22,且t <22得t <x x e e -+2,即12)(2+-='x x te e x g >0由此可知,)(x g 为R 上的增函数(Ⅱ)证法一:因为)(x g '<0是)(x g 为减函数的充分条件,所以只要找到实数k ,使得12)(2+-='x x te e x g <0,即t >x x e e -+2在闭区间[a ,b ]上成立即可因此y =x x e e -+2在闭区间[a ,b ]上连续,故在闭区[a ,b ]上有最大值,设其为k ,t >k 时, )(x g '<0在闭区间[a ,b ]上恒成立,即)(x g 在闭区间[a ,b ]上为减函数证法二:因为)(x g '<0是)(x g 为减函数的充分条件,所以只要找到实数k ,使得t >k 时12)(2+-='x x te e x g <0,在闭区间[a ,b ]上成立即可令,xe m =则)(x g '<0(],[b a x ∈)当且仅当122+-tm m <0(],[b a e e m ∈)而上式成立只需⎩⎨⎧+-+-,012,01222 b b a a te e te e 即⎩⎨⎧++--bb aa ee t e e t 22 成立 取a a e e -+2与b b e e -+2中较大者记为k ,易知当t >k 时,)(x g '<0在闭区[a ,b ]成立,即)(x g 在闭区间[a ,b ]上为减函数(Ⅲ)证法一:设即,1)(22)(222++++-=x et x e t t F xx,1)(21)2(2)(22+-++-=x e x e t t F xx 易得)(t F ≥1)(212+-x e x令,)(x e x H x -=则,)(x e x H x-='易知0)0(='H 当x >0时, )(x H '>0;当x <0,)(x H ' <0故当x =0时,)(x H 取最小值,1)0(=H 所以1)(212+-x e x ≥23, 于是对任意x 、t ,有)(t F ≥23,即)(x f ≥23证法二:设)(t F =,1)(22222++++-x et x e t xx)(t F ≥23,当且仅当 21)(22222-+++-x e t x e t x x ≥0 只需证明)21(42)(4222--⨯-+x e x e x x ≤0,即2)(x e x -≥1以下同证法一证法三:设)(t F =1)(22222++++-x et x e t xx ,则).(24)(x e t t F x +-='易得.0)2(=+'x e F x 当t >2x e x +时, )(t F '>0; t <2x e x +时, )(t F '<0,故当t =2xe )(t F 取最小值.1)(212+-x e x即 )(t F ≥.1)(212+-x e x以下同证法一证法四: )(x f 1)()(22+-+-=t x t e x设点A 、B 的坐标分别为),(),(t t 、e x x,易知点B 在直线y =x 上,令点A 到直线y =离为d ,则 )(x f 1||2+=AB ≥.1)(21122+-=+x e d x以下同证法一【点评】 本题是辽宁卷的压轴题,在三角函数,导数,最值,不等式恒成立的有关问题的交汇处命题,真正体现了从整体的高度和思维价值的高度上设计试题的宗旨,注重了学科的内在联系和知识的综合性.。
-2010年实验区高考试题分析(三角函数)

体例2010年实验区高考试题分析——以三角函数试题为例概述分值:10﹪左右难度:以中等偏下题为主一、试题特点分析要求:根据课标的要求阐述试题的命题立意、考查方向。
(1).以三角函数和解三角形的运算为主,特别是三角函数的恒等变换,以选择和填空题的形式进行考查。
例如2010年的海南宁夏卷和广东卷。
1.(2010 海南宁夏理9)若4cos 5α=-,α是第三象限的角,则1tan21tan 2αα+=-(A )12- (B )12 (C )2 (D )2-2.(2010广东13)已知a ,b ,c 分别是△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边,若a =1,bA +C =2B ,则sin A = .3.(2010海南宁夏 16)在ABC ∆中,D 为边BC 上一点,BD=12DC,ABC ∠=120°,AD=2,若ADC ∆的面积为3则BAC ∠= .4.(2010湖北 3)在△ABC 中,a=15,b=10, ∠A=060,则cos B =A.B.(2).以三角函数的性质为主,包括周期,单调性,最值,图像变换,对称性等,以简单题为主考查。
例如2010年的湖北卷和山东卷。
5.(2010湖北 16)已知函数()cos cos 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()11sin 224g x x =-. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;(Ⅱ)求函数()()()h x f x g x =-的最大值,并求使()h x 取得最大值的x 的集合.6. (2010山东 17) 已知函数f (x )=12sin2x sin ϕ=12sin(π2+ϕ)(0<ϕ<π),其图象过点(π6,12). (Ⅰ)求ϕ的值;(Ⅱ)将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y =f (x )的图象,求函数g (x )在[0, π4]上的最大值和最小值.(3).考应用,融入三角形之中。
高考数学三角函数常见考查题型与解法分析

等 , 多 属 于 中低 档 题 , 多 是 课 本 例 题 、 题 或 复 习 参 考 大 大 习 题 改 编 而 来. 因此 在 复 习 备考 过 程 中应 注 意 以下 三 点 : 是 一 “ 足课标 , 眼提高 ”二 是加 强掌握 常规 题型 基本解 法 , 立 着 ,
三是 加 强 角 函 数 式 化 简 训 练 .
. .
二 角 数 与解 三 角 形 的 综 合 性 问 题 , 近 几 年 高 考 的 - 是
热 点 , 高 考 试 题 巾 频 繁 出 现 .这 类 题 型 难 度 比 较 低 . 决 在 解
=— 三
,
此 类 问题 , 根 据 已 知 条 件 , 活 运 用 正 弦 定 理 或 余 弦 定 要 灵 理 , 边角或将边角互化. 求 例 3 ( 0 0年 辽 宁 文数 ) △A C 中 , , , 别 为 内 21 在 B a b C分
角 函数 问 题 丰 富 多 彩 、 次 分 明 、 化 多 端 , 与 函 数 、 三 层 变 常 j
解 (因 函 图 过 ( ,) 得 = . 1 为 数 像 点詈÷ , 詈 ) 解
() 1知 = , 2 由( ) ÷
‘
角 、 列 、 析 几 何 等 结 合 考 查. 此 三 角 函 数 解 答 题 备 受 数 解 因 命题者青睐 , 历届 高考 的命 题热 点 , 多属 于 中低档 题. 是 大
三角函数高考试题及答案

三角函数高考试题及答案三角函数是数学中的一个重要概念,广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域中。
在高考数学试题中,三角函数也是经常出现的考点之一。
本文将结合高考试题,探讨三角函数的应用和解题技巧。
高考试题中,三角函数的应用多涉及角度的计算、三角关系的求解、图像的分析等内容。
例如,有一道典型的题目:已知正弦函数图像在区间[0, 2π]内的一个周期中过点(0, a),且在点(3π/2, -1)处取得最小值,则参数a的取值范围是多少?要解决这道题,可以通过观察正弦函数的图像来获得一些信息。
首先,已知在点(0, a)处该函数图像与x轴相交,说明a是正弦函数的一个取值。
其次,在点(3π/2, -1)处函数取得最小值,这意味着该正弦函数的振幅为1。
因此,可以得出参数a的取值范围是[-1, 1]。
另一类常见的问题是求解三角关系。
例如,有一道典型的题目:已知在直角三角形ABC中,∠B=30°,AB=2,BC=√3,则三角形的面积是多少?解决这道题的方法可以使用三角函数的定义和性质。
首先,根据所给条件,可以得知∠C=90°-∠B=90°-30°=60°。
然后,利用正弦函数的定义sin(∠C)=BC/AB=√3/2,可得sin60°=√3/2。
进一步,利用正弦函数的性质sin60°=sin(π/3)=√3/2,可以得出∠C=π/3。
接下来,可以利用三角形的面积公式S=1/2×AB×BC×sin∠C来计算三角形的面积。
代入已知数据,可得S=1/2×2×√3×1/2=√3。
因此,三角形ABC的面积为√3。
除了以上两类问题,高考试题中还有很多涉及三角函数的应用和解题方法。
解答这些问题的关键在于掌握三角函数的定义、性质和图像特征。
同时,需要熟练掌握三角函数的计算工具,如函数表、科学计算器等。
在考前复习中,可以通过大量的练习题和真题来巩固和拓展自己的知识。
三角函数高考试题分析与备考复习建议

像 原 像 合 说 了 是 函 周 的 数 ・稍 灵 与 图 重 , 明 } 此 数 期 整 倍虽 有
活 , 仍 是对 基 本 功 进 行 考 查 . 但
) .
—
丁 2一 、 /
8 xY ./
3
c x Y ./
角函数高考试题分析与 三 备考复 习建议
◎龙 海市 白水 中学 吴能文 林 番龙
一 所 周 知 , 近 年 来 我 省 数 学 科 高 考 试 卷 在 淡 化 了解 题 技 巧 I
分 析 : 题 考 查 二 倍 角 公 式 和 同角 三 角 函 数 关 系 式 , 利 用 本 先
/ y 考查的同时, 更加注重对核心的数学基础知识、 基本技能
图像 向 右 平 移 个 单 位 长 度 后 , 得 的 图像 与 原 图像 重 合 , f 所 则
() x 的最 小 值 等 于 (
A 1 B3
.
分 析 : 题 考 查 了 同 角 三 角 函 数关 系式 . 本
) .
c. 6 D . 9
解: ∈ 等,)st丁 - 得c0一 V一 1 由 ( 1, c v , 。【 _ a r i= 3 n s= 23 n -.
策 略 的 反 思 与 更 正 . 年 来 , 角 函 数类 高 考 试 题 降 低 了对 三 角 近 三 函 数变 换 的考 查 要求 , 型 可 主 要 地 归 纳 为 以 下 三类 : 题
一
即可求解.
=1
,
解 1 i 。2t 一 s = n ’ i r o2t 1 . 一sn . 2+ 8 = .
特 殊 角 的 三 角 函 数 相 约 或 相 消 . 公 式 的选 择 基 于对 函 数 名 、 对 角
高考三角函数历年真题汇总以及解析

1.若34cos,sin ,2525θθ==则角θ的终边落在直线( )上A. 2470x y -=B. 2470x y +=C. 7240x y +=D. 7240x y -=2.已知在△ABC 中,22tan tan A a B b =,判断△ABC 的形状为( ).A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形3.已知函数()()cos 20,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π,将其图象向右平移6π个单位后得函数()cos2g x x =的图象,则函数()f x 的图象( )A. 关于直线23x π=对称 B. 关于直线6x π=对称C. 关于点2-03π⎛⎫⎪⎝⎭,对称 D. 关于点5-012π⎛⎫⎪⎝⎭,对称 4.已知2sin 1cos αα=+,其中α是第一象限角,则tan2α=( )A.12- B. 2C.12D.135.已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><,其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π,且函数()12f x π+是偶函数,则下列判断正确的是( )A. 函数f (x )的最小正周期为2πB. 函数f (x )在区间3[,]4ππ上单调递增 C. 函数f (x )的图象关于直线712x π=-对称 D. 函数f (x )的图象关于点7(,0)12π对称 6.在△ABC 中,a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C()sin sin A B A B+=+,3cos 5C =,且4ABCS=,则c =( )B. 4C.3D. 57.在△ABC 中,4ABC π∠=,AB =,3BC =,则sin BAC ∠=( )8.将函数()2sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的12,再把所得图象上的所有点向右平移4π个单位长度后,得到函数()g x 的图象,若函数()g x 在3x π=处取得最大值,则函数()f x 的图象( )A 关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B. 关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 关于直线512x π=-对称 D. 关于直线6x π=对称9.当[,]33x ππ∈-时,函数2()cos 444x x x f x =+ )A. C. 110.若1cos 44πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 2α的值为( )A. 78- B.78C. 18-D.1811.函数()sin()sin()36f x x a x ππ=++-的一条对称轴方程为2x π=,则a =( )A. 1C. 2D. 312.在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,4A π=,12B π=,c =,则a =( )A. 2B. 22C. 32D. 4213.在直角坐标系xOy 中,如果相异两点()(),,,A a b B a b --都在函数()y f x =的图象上,那么称A ,B 为函数()f x 的一对关于原点成中心对称的点对(A ,B 与B ,A 为同一对).函数()6sin ,02log ,0x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩图象上关于原点成中心对称的点对有( )A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对14.将函数()sin 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移()0m m >个单位长度,得到函数()g x 的图象.若()g x 为奇函数,则m 的最小值为_______. 15.给出下列四个命题正确的是______________: ①函数()ln 2f x x x =-+在区间(1,)e 上存在零点; ②将函数cos()6y x π=-的图象的横坐标变为原来的12倍得到函数cos(2)3y x π=-; ③若1m ≥-,则函数22log (2)y x x m =--的值域为R ;④“1a =”是“函数()1xxa e f x ae-=+在定义域上是奇函数”的充分不必要条件; 16.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若cos cos sin a B b A c A +=,则△ABC 的形状为_____________. 17.正弦型函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0>ω,2πϕ<)的图象如图所示,则()f x 的解析式为_______________.18.用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值,若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ≥,则[0,]a M =________;a 的取值范围为________.19.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,22a bc =且sin 2sin A C =,则cos C ________.20.△ABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2b sin A a cos B +a sin B . (1)求B ;(2)设b =,a =4,D 为线段BC 上一点,若S △ABD ,求AD 的长. 21.已知函数()()22sin cos f x x x x =++-(1)求它的单调递增区间; (2)若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求此函数的值域. 22.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且22sin 30C C -++=. (1)求角C 的大小;(2)若b =,△ABC 的面积为sin 2A B ,求sin A 及c 的值. 23.已知函数()2cos 2sin 2x x f x x πωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(0>ω)的最小正周期为π.(1)求ω的值和函数f (x )的单调增区间; (2)求函数f (x )在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 24.已知△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且1cos 2a c Bb =+. (1)求cos C ;(2)若c =,求+a b 的取值范围.25.已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =+-(x ∈R ). (1)求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间;(2)若06()5f x =,0[,]42x ππ∈,求0cos2x 的值. 26.已知a ,b ,c 分别为说角△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,满足222sin sin sin sin sin 0.A B C B C --+=(1)求A ;(2)若b =2,求△ABC 面积的取值范围. 27.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足下列3个条件中的2个条件:①函数f (x )的周期为π;②6x π=是函数f (x )的对称轴;③04f π⎛⎫=⎪⎝⎭且在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调; (Ⅰ)请指出这二个条件并说明理由,求出函数f (x )的解析式; (Ⅱ)若0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求函数f (x )的最值.试卷答案1.B【详解】由条件可知2724cos 2cos1,sin 2sin cos 2252225θθθθθ=-=-==, 24tan 7θ-=.又24tan 7y x θ==-, 所以247x y =-,即2470x y +=. 故选:B . 2.C 【分析】22tan tan A a B b=左边切化弦,右边用正弦定理化边为角可解 【详解】22tan tan A a B b =,22sin cos sin sin cos sin A B AB A B∴=cos sin cos sin B A A B∴=,sin cos sin cos A A B B ∴= sin 2sin 2A B ∴=22A B ∴=或2+2=A B πA B ∴=或+=2A B πABC 是等腰或直角三角形故选:C . 3.D 由题意得22ππω=,故1ω=, ∴()cos(2)f x x ϕ=+, ∴()cos[2()]cos(2)cos 263g x x x x ππϕϕ=-+=-+=,∴3πϕ=,∴()cos(2)3f x x π=+.∵2251()cos(2)cos 133332f ππππ=⨯+==≠±,21()cos(2)cos 166332f ππππ=⨯+==-≠±, ∴选项A,B 不正确. 又22()cos(2)cos()10333f ππππ-=-⨯+=-=-≠, 55()cos(2)cos()0121232f ππππ-=-⨯+=-=, ∴选项C,不正确,选项D 正确.选D . 4.C 【分析】由二倍角公式和平方关系可得22sincoscos 222ααα=,再由商数关系即可得解.【详解】因为2sin 1cos αα=+,所以224sin cos1cos sin 2222αααα=+-,所以22sincoscos 222ααα=,又α是第一象限角,所以cos02α≠,所以2sincos1222cos 2ααα=即1tan 22α=.故选:C.【点睛】本题考查了二倍角公式及同角三角函数关系的应用,考查了运算求解能力,属于基础题. 5.B图像相邻两条对称轴之间的距离为2π,即三角函数的周期为22,,22ππππωω⨯=∴==,所以sin 2sin 212126f x x x πππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,又12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数,,62k k Z ππϕπ∴+=+∈,即,3k k Z πϕπ=+∈,又2πϕ<,解得3πϕ=,所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.A项,最小正周期T π=,错误;B 项, 由222,232k x k k Zπππππ-≤+≤+∈,解得单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣∈⎦,k=1时成立,故正确;;C 项, 2,32x k k Z πππ+=+∈,解得对称轴是,212k x k Z ππ=+∈,错误;D 项, 由2,3x k k Z ππ+=∈,解得对称中心是,0,26⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭k k Z ππ,错误;综上所述,应选B. 6.B 【分析】由三角函数的基本关系式和4ABCS=,求得10ab =,再由正弦定理,得到a b =+,根据余弦定理,列出方程,即可求解.【详解】因3cos 5C =,则(0,)2C π∈,所以4sin 5==C ,又因为4ABCS=,即114sin 4225ab C ab =⨯=,解得10ab =,sin sin C A B =+a b =+, 由余弦定理,可得22222223162cos 2()33255c a b ab C a b ab a b ab c =+-=+-⨯=+-=-,整理得216c =,即4c =.故选:B.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用,其中在解有关三角形的题目时,要抓住题设条件和利用某个定理的信息,合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于中档题. 7.C试题分析:由余弦定理得22923cos5,4b b π=+-⋅==.由正弦定理得3sin sin 4BAC π=∠,解得sin BAC ∠=考点:解三角形. 8.C 【分析】根据函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律,得到sin 2)2(x g x πϕ⎛⎫-+ ⎝=⎪⎭,函数()g x 在3x π=处取得最大值,求得3πϕ=,再求函数()f x 的对称轴和对称中心即可.【详解】由题意得,12sin 2sin (4)222x x x g ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=, 由函数()g x 在3x π=处取得最大值,得max sin 2sin 13326()g x g ππππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,∴262k ππϕπ+=+,k Z ∈,23k πϕπ=+,k Z ∈,∵0ϕπ<<,∴3πϕ=,∴2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由23x k ππ+=,k Z ∈,得26k x ππ=-,k Z ∈, ∴函数()f x 的图象关于,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭,k Z ∈对称, 故A ,B 选项错误; 由232x k πππ+=+,k Z ∈,得212k x ππ=+,k Z ∈, ∴函数()f x 的图象的对称轴方程为212k x ππ=+,k Z ∈, 显然当1k =-时,函数()f x 的图象的对称轴为直线512x π=-, 故选:C .【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换,三角函数的最值,三角函数图象的对称性等,考查的数学核心素养是数学运算、直观想象. 9.B【分析】由二倍角公式降幂,然后由两角和的正弦公式化简函数为一个角一个三角函数形式,再利用正弦函数性质可得最小值. 【详解】21()cos sin 4442222223x x x x x x x x f x π⎫⎛⎫=-=+==+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭, 当,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,,2362x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,所以236x ππ+=,即3x π=-时,min ()2f x =. 故选:B .【点睛】本题考查求正弦型函数的最值,解题关键是利用二倍角公式,两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式. 10.A 【分析】 根据1cos 44πα⎛⎫-=⎪⎝⎭,将sin 2α,利用诱导公式和二倍角的余弦公式转化为2sin 22cos 14παα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭求解.【详解】因为1cos 44πα⎛⎫-=⎪⎝⎭, 所以27sin 2cos 22cos 1448ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选:A【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用,还考查了转化求解问题的能力,属于基础题. 11. B 【详解】试题分析:()f x 的对称轴是2x π=2f π⎛⎫∴= ⎪⎝⎭cos cos 36a ππ+=a =考点:三角函数性质点评:利用对称轴处取最值求解 12.C 【分析】先求得C ,然后利用正弦定理求得a . 【详解】因为,412A B ππ==,所以23C A B ππ=--=,所以sin sin c Aa C===故选:C【答案】 13.C 【分析】作出函数6log y x =,作出sin ,02y x x π=≤关于原点的对称图像,由图象交点个数即可得到结论.【详解】若()6sin ,02log ,0x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩图象上有关于原点成中心对称的点, 则6log y x =与sin,02y x x π=≤关于原点对称图像有交点,作出6log y x =,sin(),02y x x π=--≥图象如图,由图象可知,有3个交点,从而()f x 有3对关于原点对称的点. 故选:C【点睛】本题主要考查了对数函数、正弦型函数的图象与性质的应用问题,也考查了数形结合思想,属于中档题. 14.3π 【分析】利用图象变换求得函数()y g x =的解析式,由函数()y g x =为奇函数,可得出关于m 的代数式,进而可求得正数m 的最小值. 【详解】将函数()sin 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变),得到函数11sin 3sin 6626y x x ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象, 再将所得函数图象向右平移()0m m >个单位长度,得到()()111sin sin 26262g x x m x m ππ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象,由于函数()y g x =为奇函数,则()162m k k Z ππ-=∈,()23m k k Z ππ∴=-∈, 当0k =时,正数m 取得最小值3π. 故答案为:3π. 【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求函数解析式,同时也考查了利用正弦型函数的奇偶性求参数,考查计算能力,属于中等题.①③④ 【分析】根据零点存在定理,三角函数图象变换,对数函数的性质,充分不必要条件的定义判断各选项.【详解】①()ln 2f x x x =-+,(1)10f =-<,()10f e e =->,由零点存在定理得()f x 在(1,)e 上有零点,①正确;②函数cos()6y x π=-的图象的横坐标变为原来的12得到函数cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,②错误;③1m ≥-时,440m ∆=+≥,故函数值域为R ,③正确;④()1x x a e f x ae -=+是奇函数,则1()11x x xx x xa e ae a e f x ae e a ae------===-+++,22(1)(1)0xa e --=,1a =±,因此“1a =”是“函数()1xxa e f x ae-=+在定义域上是奇函数”的充分不必要条件,④正确. 故答案为:①③④【点睛】本题考查命题的真假判断,掌握零点存在定理,三角函数图象变换,对数函数的性质,充分不必要条件的定义是解题基础. 16. 直角三角形 【分析】利用正弦定理边角互化思想求得sin A 的值,可求得角A 的值,进而可判断出ABC 的形状. 【详解】cos cos sin a B b A c A+=,由正弦定理得sin cos cos sin sin sin A B A B A C +=,即()()sin sin sin sin sin A C A B C C π=+=-=,0C π<<,则sin 0C >,sin 1A ∴=,0A π<<,2A π∴=.因此,ABC 为直角三角形. 故答案为:直角三角形.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想判断三角形的形状,考查计算能力,属于基17.()2sin(2)3f x x π=+【分析】由最值求得A ,由周期求得ω,由最高点或零点横坐标及ϕ的范围求得ϕ,得解析式.【详解】由题意1A =,4312T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭,∴22πωπ==, 由正弦函数性质得,22122k ππϕπ⨯+=+,k Z ∈,∵2πϕ<,∴3πϕ=.∴()2sin(2)3f x x π=+.故答案为:()2sin(2)3f x x π=+【点睛】本题考查求三角函数的解析式,掌握“五点法”作正弦函数的图象是解题关键. 18. 1; 513,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据三角函数的有界性易得[0,]1a M =,通过作图分析可得a 的取值范围. 【详解】作出函数sin y x =的图象,如图所示:显然,[0,]a M 的最大值为1,[0,][,2]2a a a M M ≥,∴[,2]a a M 的最大值为12, 作出直线12y =与sin y x =相交于,,A B C 三点,且151131(,)(,),(,)626262A B C πππ,由图形可得:5,513613662,6a a a ππππ⎧≤⎪⎪⇒≤≤⎨⎪≤⎪⎩, 故答案为:513[,]66ππ. 【点睛】本题考查函数的新定义问题,考查函数与方程思想、数形结合思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意结合图象进行分析求解. 19.78【分析】根据正弦定理将角化成边得2a c =,结合2b c =,将边统一用c 表示,再利用余弦定理,即可得答案; 【详解】sin 2sin 2A C a c =⇒=,又22a bc =,∴2b c =,∴2222277cos 2248a b c c C ab c +-===⋅⋅, 故答案为:78. 【点睛】本题考查正余弦定理的应用,考查函数与方程思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意将边统一用c 进行表示,进而求得角的余弦值. 20. (1)3π;(2) 【分析】(1)根据2b sin Aa cos B +a sin B ,利用正弦定理得到sin sin cos B A A B =,再根据sin 0A ≠求解.(2)在△ABC 中,利用余弦定理求得c ,再由S △ABD,求得BD ,然后 在△ABD 中,由余弦定理求解.【详解】(1)因为2b sin Acos B +a sin B ,所以2sin sin sin cos sin sin B A A B A B =+,sin sin cos B A A B =,sin 0A ≠tan B =()0,B π∈ 3B π=(2)在△ABC 中,由余弦定理得:2222cos b a c ac B =+-,解得6c =或2c =-(舍去),因为S △ABD =1sin 22⨯⨯=BD c B , 解得 3BD =,在△ABD 中,由余弦定理得:2222cos 27AD BD c BD c B =+-⨯⨯⨯=,解得AD =.【点睛】本题主要考查正弦定理,余弦定理的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 21.(1)5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦(k Z ∈);(2)(1⎤⎦.【分析】(1)化简()f x ,再根据正弦函数的单调增区间代入求解即可. (2)根据(1)的结果()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,再根据0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求出23x π+的范围结合sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的值域为,12⎛⎤-⎥⎝⎦,即可求出结果.【详解】(1)())21sin 22cos 1f x x x =+-1sin 212sin 23x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭由222232k x k πππππ-+≤+≤+,得51212k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈.故此函数的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦(k Z ∈).(2)由02x π<<,得42333x πππ<+<.sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域为⎛⎤ ⎥⎝⎦.()12sin 23f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的值域为(1⎤⎦,故此函数的值域为(1⎤-⎦【点睛】本题主要考查了三角函数的性质,常考三角函数的性质有:对称轴、单调性、最值、对称中心.属于中档题. 22.(1)34C π=;(2)sin 1A c ==. 【分析】(1)由三角恒等变形可得cos 2C =-,0C π<<又,即34C π=.(2)由余弦定理得c =,再由正弦定理及三角形面积公式可得:2sin ()sin sin sin sin a b c C C A B C==,即1c ==,得解.【详解】解:(1)22sin 30C C -++=,可得:22(1cos )30C C --++=,22cos 10C C ∴++=, cos C ∴=0C π<<,34C π∴=. (2)2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=,c ∴,sin C A ∴,sinA C ∴==,1sin sin 2ABC S ab C A B ∆=,∴1sin sin 2ab C A B =,∴2sin ()sin sin sin sin a b c C C A B C=1c ∴=.【点睛】本题考查了三角恒等变形及正余弦定理,属中档题. 23.(1)1ω=;单调增区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z ;(2)[]0,3. 【分析】(1)先将函数解析式整理,得到()2sin 216f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭πω,根据最小正周期,即可求出1ω=,由正弦函数的单调性,列出不等式求解,即可得出单调增区间; (2)先由3x ππ≤≤,得到7132666x πππ≤+≤,根据正弦函数的性质,即可求出结果. 【详解】(1)()2cos 2sin cos 1cos 22x x x x x f x x ⎛⎫=++=-+- ⎪⎝⎭πωωωωωω2cos 212sin 216x x x ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭πωωω,∵函数()f x 的最小正周期为22T ππω==, ∴1ω=;∴()2sin 216f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭, 由3222262k x k πππππ+≤+≤+()k ∈Z ,得263k x k ππππ+≤≤+()k ∈Z ,∴函数()f x 的单调增区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z . (2)由2x ππ≤≤得7132666x πππ≤+≤, 所以1sin 21,62x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,则()[]2sin 210,36f x x ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭π. 即()f x 的取值范围为[]0,3.【点睛】本题主要考查由正弦型函数的周期求参数,考查求正弦型函数的单调区间,考查求正弦型函数在给定区间的值域,属于常考题型. 24.(1)12;(2)3【分析】(1)利用余弦定理将角转化为边,再利用余弦定理求得结果;(2)由已知结合正弦定理将边转化角,再利用三角形内角和定理、辅助角公式转化为求6a b A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的取值范围.【详解】(1)由1cos 2a c Bb =+,可得222222cos a ab ac B a c b -==+-, 整理得222a b c ab +-=,所以222cos 122a b c C ab +-==.(2)由(1)得1cos 2C =,0C π<<,3C π=,,sin 2C =,c = 由正弦定理得2sin sin sin a b cA B C===, ∴22sin 2sin 2sin 2sin 3a b A B A A π⎛⎫+=+=+-⎪⎝⎭3sin 6A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,∵3C π=,∴203A π<<,5666A πππ<+<, 1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭6A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭∴+a b 的取值范围是3.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,属于中档题. 25.(1)最小正周期是π,增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,减区间是,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(2 【分析】(1)应用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式,然后结合正弦函数性质求解; (2)由(1)求得0sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,再求出0cos 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭,然后用两角差的余弦公式求解.【详解】(1)1()2cos 222cos 22sin 2326f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以最小正周期为22T ππ==, 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,由2662x πππ≤+≤,得06x π≤≤, 由72266x πππ≤+≤得62x ππ≤≤, 所以()f x 的增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,减区间是,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(2)由(1)得062sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 因为0,43x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以0252,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,所以04cos 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,所以0000cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦431552=-+⨯=【点睛】本题考查求三角函数的周期与单调区间,考查两角和与差的正弦、余弦公式,二倍角公式,同角间的三角函数关系.解题关键是把三角函数化为一个角的一个三角函数形式,然后由正弦函数性质求解. 26.(1)3A π=;(2)(2【分析】 (1)利用正弦定理的边角互化可得222a b c bc =+-,再利用余弦定理即可求解. (2)利用正弦定理可得2sin sin C c B=,再利用三角形的面积公式可得12sin 2sin 2sin ABC C S A B=⨯⨯,根据三角形的内角和性质以及两角差的正弦公式可将式子312tan B ⨯,结合B 的取值范围即可求解. 【详解】解:(1)由已知及正弦定理得, 222,a b c bc =+- 由余弦定理可得2221cos .22b c a A bc +-== 又0A π<<,.3A π∴=(2) 由已知及正弦定理得, 2sin ,sin C c B =由2,3B C π+=得12sin 2sin 2sin ABC C S A B=⨯⨯2sin()313.sin 2tan B B Bπ-==+⨯ ABC 是锐角三角形,得20,0,232B B πππ<<<-<得.62B ππ<<tan B >∴10tan B ∴<<ABC S <<所以ABC面积的取值范围是,2 【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、余弦定理解三角形、三角形的面积公式、两角差的正弦公式,属于中档题.27.(Ⅰ)①②成立,理由见解析,()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭;(Ⅱ)f (x )的最大值为1;最小值为12.【分析】(Ⅰ)依次讨论①②成立,①③成立,②③成立,计算得到只有①②成立,得到答案. (Ⅱ)03x π≤≤得到52666x πππ≤+≤,得到函数值域,即可得出最值. 【详解】(Ⅰ)由①可得,22ππωω=⇒=. 由②得:6226k k πωπππωϕπϕπ+=+⇒=+-,k Z ∈ 由③得,44m m πωπωωπϕπ+=⇒=-,m Z ∈220322633T πππππωω≥-=⇒≥⇒<≤ 若①②成立,则2ω=,6π=ϕ,()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭. 若①③成立,则42m m πωπϕππ=-=-,m Z ∈,不合题意. 若②③成立,则()1266264k m m k ππωπωππω+-=-⇒=--≥,k Z ∈与③中的03ω<≤矛盾,所以②③不成立.所以,只有①②成立,()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭. (Ⅱ)由题意得,()5102136662x x f x ππππ≤≤⇒≤+≤⇒≤≤. 所以,当6x π=时,函数()f x 取得最大值1;当0x =或3x π=时,函数()f x 取得最小值12.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
1 三角函数、解三角形题型分析及其复习计划 本文主要研究近五年高考中出现的三角函数题,其目的是加深自身对高中三角函数这部分内容的认识和理解,并通过对试题的分类、整理、分析、总结出一些关于高考中对三角函数试题的解题方法、技巧和应对策略,希望这些解题方法、技巧和应对策略能够对执教老师和学生起到一定的帮助和启发.同时,选择研究高考三角函数这部分内容也是想为将来的教学工作做一个充分的知识储备. 三角函数在高中数学中有着较高的地位,尤其是在函数这一块,它属于基本初等函数,同时,它还是描述周期现象的重要数学模型.通过整理、统计可以看出,每年高考中三角函数试题分值所占比例基本都在10%~15%之间. 从近三年的课标卷、的高考三角函数题的分类、整理、分析知,高考三角函数这一知识点,主要还是考查学生的基础知识和基本技能,难度一般不大.但是,三角函数这部分内容考查的题型比较灵活,并且考查面较广.在选择题、填空题、解答题中均有考查,在前两类题型中多考查三角函数的基础知识,属于基础题;对于解答题则具有一定的综合性. 从总体上看,高考三角函数对文科学生能力的考查要求差异不大,但在考查题型上,文科方向的解三角形题量有所减少.从课改前后看,对三角函数考查的内容和范围没有明显变动,仍然是对三角函数的基础知识、三角函数与向量、与三角恒等变换等综合考查,但难度均不大. 考题分布 全国一卷 全国二卷 全国三卷 2012年 (大纲卷)3、4、15、17(共25分) 9、17题(共17分) 2013年 9、10、16(共15分) 4、6、16(共15分) 2014年 2、7、16题(共15分) 14、17题(共17分) 2015年 8、17题(共17分) 7、17题(共17分) 2016年 4、6、14题(共15分) 3、11、15题(共15分) 6、9、14题(共15分)
下面对近五近全国卷高考中三角函数的考题作一个归类分析,通过这个分析可以从中找到一些高三复习三角函数时的复习方向,能更好的、更精准的把握复习时应注意的方方面面。 2
近五年全国卷三角函数考题 角的概念及任意角的三角函数 1.(2014课标全国Ⅰ,文16)已知角α的终边经过点(-4,3),则cosα =( ) A.45 B.35 C.-35 D.-45
答案.D [解析] 根据题意,cosα=-4(-4)2+32=-45.
三角函数的图象与性质
1:(2012大纲卷,文3)若函数是偶函数,则( )
A. B. C. D. 答案C 【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质,。
【解析】由为偶函数可知,轴是函数图像的对称轴,而三角函数的对称轴是在该函数取得最值时取得,故,而,故时,
,故选答案C。 2:(2012大纲卷,文4)已知为第二象限角,,则( )
A. B. C. D. 答案A 【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用。
【解析】因为为第二象限角,故,而,故,
所以,故选答案A。
()sin(0,2)3xfx
223325
3
()sin(0,2)3xfxy()fx
3(0)sin13()3322fkkkZ0,20k
32
3sin5sin2
2425122512252425
cos0
3sin524cos1sin5
24sin22sincos25 3
3:(2012大纲卷,文15)当函数取最大值时,
.
答案: 【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题。首先化为单一三角函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点。
【解析】由
由可知 当且仅当即时取得最小值,时即取得最大值。 4:(2012课标全国2,文9)已知ω>0,0π4和x=5π4是函数f(x)=sin(ωx+φ)图像的
两条相邻的对称轴,则φ= ( D ) (A)π4 (B)π3 (C)π2 (D)3π4
5:(2013课标全国Ⅰ,文16)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=______.
5:答案:
25
5
解析:∵f(x)=sin x-2cos x=5sin(x-φ), 其中sin φ=255,cos φ=55. 当x-φ=2kπ+π2(k∈Z)时,f(x)取最大值. 即θ-φ=2kπ+π2(k∈Z),θ=2kπ+π2+φ(k∈Z). ∴cos θ=πcos2=-sin φ=255.
6:(2014·全国新课标卷Ⅰ,文7)在函数Ⅰy=cos|2x|,Ⅰy=|cos x|,Ⅰy=cos
2x+
π
6,Ⅰy=
tan
2x-
π
4中,最小正周期为π的所有函数为( )
A.ⅠⅠⅠ B.ⅠⅠⅠ C.ⅠⅠ D.ⅠⅠ 答案.A [解析] 函数y=cos|2x|=cos 2x,其最小正周期为π,Ⅰ正确;将函数y=cos x
sin3cos(02)yxxxx56
sin3cos2sin()3yxxx502333xx22sin()23x
332x116x32x56x 4
的图像中位于x轴上方的图像不变,位于x轴下方的图像对称地翻转至x轴上方,即可得到y=|cos x|的图像,所以其最小天正周期也为π,Ⅰ正确;函数y=cos
2x+
π
6的最小正周期为
π,Ⅰ正确;函数y=tan
2x-
π
4的最小正周期为π2,Ⅰ不正确.
7:(16年新课标3,文7)若tanθ=3
1,则cos2θ=( D )
(A)45(B)15(C)15(D)45 8:(2013课标全国Ⅰ,文16)函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图像向右平移π2个单位后,
与函数y=πsin23x的图像重合,则φ=__________.
8:答案:5π6
解析:y=cos(2x+φ)向右平移π2个单位得,πcos22yx=cos(2x-π+φ)=ππsin2π++=sin222xx,而它与函数πsin23yx
的图像重合,令2x
+φ-π2=2x+π3+2kπ,kⅠZ, 得5π+2π6k,kⅠZ. 又-π≤φ<π,Ⅰ5π6. 9:(16年新课标3,文科14)函数y=sin x–cosx的图像可由函数y=2sin x的图像至少向右平移___3
___个单位长度得到.
9:答案:5π6 10:(16年新课标2,文科3)函数的部分图像如图所示,则 ( A ) =sin()yAx 5
(A) (B) (C) (D) 11:(2013课标全国Ⅰ,文9)函数f(x)=(1-cos x)sin x在[-π,π]的图像大致为( ).
11: 答案:C 解析:由f(x)=(1-cos x)sin x知其为奇函数.可排除B.当x∈π0,2时,f(x)>0,排除A. 当x∈(0,π)时,f′(x)=sin2x+cos x(1-cos x)=-2cos2x+cos x+1.
令f′(x)=0,得2π3x.
故极值点为2π3x,可排除D,故选C. 12:(16年新课标1:文科6)若将函数y=2sin (2x+π6)的图像向右平移14个周期后,所得图
像对应的函数为( B ) (A)y=2sin(2x+π4) (B)y=2sin(2x+π3) (C)y=2sin(2x–π4) (D)y=2sin(2x–π3)
两角和与差的正弦、余弦、正切 1:(2014·新课标2,文科14)函数f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x的最大值为________. [解析] f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x=sin xcos φ+cos xsin φ-2sin φcos x=sin xcos φ-cos xsin φ=sin(x-φ),其最大值为1. 2:(2014·全国新课标卷Ⅰ,文科2) 若tan α>0,则( ) A.sin α>0 B.cos α>0 C.sin 2α>0 D.cos 2α>0 答案:C [解析] 因为sin 2α=2sin αcos αsin2α+cos2α=2tan α1+tan2α>0,所以选C.
3:(2013课标全国Ⅰ,文6)已知sin 2α=23,则2πcos4=( ).
A.16 B.13 C.12 D.23 答案:A
解析:由半角公式可得,2πcos4
2sin(2)6yx2sin(2)3yx2sin(2+)6yx2sin(2+)3yx