弯曲应力计算 (1)
弯曲应力
式中：Mn为作用在管道上的扭矩；Wn为管道抗扭截面模量。
作用于Am
式中：V为作用在管道上的剪切力，Q为剪切系数。
管道基本应力可分为环向应力(Sh)，径向应力(Sr)，轴向应力(Sl)和剪切应力(τ)。
环向应力(Sh)的方向垂直于半径指向圆周方向，所以也叫周向应力，它是由管道的内压引起。对于薄壁管，环向应力计算公式为：
Sh =P*D/(2T)
式中：P为管道设计压力；D为管道外径；T为管道壁厚。
径向应力(Sr)的方向沿管道半径方向，垂直于管道表面。内压引起的径向应力在管道内表面为-P，在管道外表面为0。计算公式如下：
Sr =P(Ri2 - Ri2 Ro2/R2)/ (Ro2 - Ri2 )
式中：Ri为管道内壁半径；Ro为管道外壁半径；R为管道轴线到所在点的距离。
轴向应力(Sl)的方向平行于管道轴线，它是由弯矩、压力或作用于管道轴向的力引起。弯矩引起的轴向力在管道截面上沿线性分布，管道最外端受最大轴向拉应力，最内端受最大轴向压应力。弯矩引起的最大轴向力计算公式为：
Sl =Mb*R/I
压力引起的轴向力计算公式为：
Sl =P*D/(4T)
作用于管道轴向的力引起的轴向应力计算公式为：
Sl =FAX/Am
上述式中：Mb为作用于管道上的弯矩；I为管道横截面的惯性矩；FAX为管道轴向力；Am为管壁横截面积。
剪应力是扭矩或作用于管道的剪切力引起。扭矩引起的剪切力计算公式为：
弯曲正应力(1)
C截面下端拉应力达到最大值
t ,max 28.8MPa
例2：矩形截面简支梁承受均布载荷作用,如图所示
q=60KN/m A
1m B
180 120
30
K z
C
3m
求：1、C 截面上K点正应力
2、C 截面上最大正应力 3、全梁上最大正应力 4、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ
y
1、截面几何性质计算 确定形心的位置
注意
（5）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压;
正应力的正 负号（拉或压）可根据弯矩的正负
及梁的变形状态来 确定。 （6）熟记矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。
实心轴I z =πd 4 / 64
πD 4 d 空心轴I z = (1 4 )；α 64 D
矩形I z =bh3 /12
§5-3
2.5 103 88 103 28.8MPa 6 7.64 10
My Iz
A FA
M/KNm
C
1m
B
1m FB
1m
2.5
c,max
4
52 88
2.5 103 52 103 17.0MPa 6 7.64 10
（3）结论 zc
B截面下端压应力达到最大值
c,max 46.1MPa
（1）受力分析，画弯矩图 （2）根据弯矩图确定危险截面
（3）截面为关于中性轴对称 M max 应用计算公式 max Wz （5）计算 M max （6）计算 Wz ，选择工字钢型号
（1）计算简图 F F F
F=F1+F2
F1 6.7kN,
F2 50kN,
（2）绘弯矩图 M FL/4 （3）危险截面
材料力学第五章弯曲应力
式中 ： M 横截面上的弯矩
Iz
横截面对中性轴的惯性矩
y
求应力的点到中性轴的距离
I z A y2dA
m 惯性矩是面积与距离平方的乘积，恒为正值，单位为 4
My
IZ
讨论
应用公式时，一般将 M，y 以绝对值代入。根据梁变 形的情况直接判断 的正，负号。 以中性轴为界，梁 变形后凸出边的应力为拉应力（ 为正号）。凹入边 的应力为压应力，（ 为负号）。
max M (x) WZ
RA
P
A
C
5m 10m
RB B
a
12.5
z
166
例题1 ：图示简支梁由 56 a 工字钢制成 ，其横截面见图 p = 150kN。求 (1) 梁上的最大正应力 max
(2) 同一截面上翼缘与腹板交界处 a 点的应力
解：
C 截面为危险截面。最大弯矩
+
M max 375KN.m
查型钢表，56 a 工字钢
I z 65586 cm6
W z 2342cm2
(1) 梁的最大正应力 +
σ max
M max WZ
160MPa
(2) a点的正应力
a点到中性轴的距离为
ya
560 2
21
所以 a 点的正应力为
σ a M max ya 145MPa IZ
12.5
My
IZ
最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处 当 中性轴为对称轴时 ，ymax 表示最大应力点到中性轴 的距离，横截面上的最大正应力为
max M ymax Iz
WZ
IZ ymax
折弯压力计算公式
折弯压力计算公式
1. 弯矩（Bending Moment）：在折弯过程中，材料受到的力矩称为弯矩。
弯矩是由于施加的外力和材料的几何形状引起的。
计算弯矩的公式如下：
弯矩=所施加的力×距离力点的距离
2. 弯曲应力（Bending Stress）：材料在折弯时所受到的应力称为弯曲应力。
弯曲应力是由弯矩引起的，而材料的形状和尺寸也会直接影响弯曲应力的大小。
计算弯曲应力的公式如下：
弯曲应力=弯矩×弯曲轴的距离到材料表面的距离/材料惯性矩
3. 折弯力（Bending Force）：为了产生所需的折弯应力，需要施加与所需弯曲应力相匹配的折弯力。
折弯力的大小与材料的性能和几何形状有关。
折弯力的计算公式如下：
折弯力=弯曲应力×弯曲轴到底板的距离×折弯长度
其中，弯曲轴到底板的距离是指折弯时材料中心线到底板的距离，折弯长度是指材料的总长度。
需要注意的是，不同材料的弯曲应力和惯性矩不同，因此需要根据具体的材料性质和几何形状来计算。
常见的材料的弯曲应力和惯性矩数值可以从相关的手册或标准中获取。
此外，在实际计算过程中还需要考虑到诸如材料的弹性模量、材料的厚度等因素。
综上所述，折弯压力的计算公式如下：
折弯力=弯曲应力×弯曲轴到底板的距离×折弯长度
根据具体的材料性质和几何形状，可以从手册或标准中查找材料的弯曲应力和惯性矩的数值，然后代入上述公式进行计算即可得到所需的折弯力量。
需要注意的是，在实际应用中还需要考虑到一些额外的因素，如材料的弹性模量、材料的厚度等。
弯曲应力(剪应力6月9日)(1)
[1 12
16
283
16
28
(14
13)2 ]
[1 12
8 103
18 10
(19
13)2 ]
26200cm4
Wz
Iz ym a x
26200 (28 13)
1748cm3
（3）正应力校核
max
M Wz
1.2 105 1748 106
1.0 1.04 1.12 1.57 2.30
（四）切应力强度条件
max
(
FQ Sz,max
I z
)max
[
]
对于等宽度截面， m ax发生在中性轴上；对于宽度变化的截面，
m ax不一定发生在中性轴上。
在进行梁的强度计算时，需注意以下问题： （1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应
S
* z
：y以外面积对中性轴的静矩
I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
b：y处的宽度
c
yc
y
z h
b
对于矩形：
S* z
A*
yc
b(h 2
y) [ y
h 2
2
y
]
b (h2 24
y2)
弯曲应力/弯曲时的剪应力
而
Iz
1 bh3 12
6FQ bh3
( h2 4
y2)
力的强度条件是次要的。但对于较粗短的梁，当集中力较大 时，截面上的剪力较大而弯矩较小，或是薄壁截面梁时，也 需要较核剪应力强度。
弯曲应力-材料力学
弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理，弯曲应力 的计算公式为：σ=M/Wz，其中σ为 弯曲应力，M为弯曲力矩，Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
另外，根据不同的弯曲形式和受力情 况，还可以采用其他计算公式来求解 弯曲应力，如均布载荷下的简支梁、 集中载荷下的悬臂梁等。
弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理，弯曲应力 的计算公式为：σ=M/Wz，其中σ为 弯曲应力，M为弯曲力矩，Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
弯曲应力可能导致材料发生弯曲变形，影响结构的稳定性和精度。
弯曲应力对材料刚度的影响
弯曲应力对材料的刚度有影响，材料的刚度随着弯曲应力的增大而 减小。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中，剪切应力会在材料截面的边缘产 生，它与弯曲应力相互作用，影响梁的承载能力 和稳定性。
弯曲应力
材料的韧性和强度都会影响其弯曲应力的大小和分布。韧性好的材料能够更好地分散和 吸收弯曲应力，而高强度的材料则能够承受更大的弯曲应力而不发生断裂。
材料韧性、强度与弯曲应力的关系
韧性
是指材料在受到外力作用时吸收能量的能力。韧性好的材料能够吸收更多的能量，从而 减少因弯曲应力而产生的脆性断裂。
强度
剪切应力的分布
剪切应力在材料截面的边缘最大，向中性轴方向 逐渐减小。
3
剪切应力和弯曲应力的关系
剪切应力和弯曲应力共同作用，影响梁的承载能 力和稳定性，在设计时需要考虑两者的相互作用。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中，剪切应力会在材料截面的边缘产 生，它与弯曲应力相互作用，影响梁的承载能力 和稳定性。
材料力学第五章-弯曲应力知识分享
材料力学第五章-弯曲应力注：由于本书没有标准答案，这些都是我和同学一起做的答案，其中可能会存在一些错误，仅供参考。
习 题6-1厚度mm h 5.1=的钢带,卷成直径 D=3m 的圆环,若钢带的弹性模量E=210GPa ，试求钢带横截面上的最大正应力。
解: 根据弯曲正应力公式的推导: Dy E yE 2..==ρσ MPa D h E 1053105.110210.39max =⨯⨯⨯==-σ 6—2直径为d 的钢丝，弹性模量为E ，现将它弯曲成直径为D 的圆弧。
试求钢丝中的最大应力与d ／D 的关系。
并分析钢丝绳为何要用许多高强度的细钢丝组成。
解: ρσyE .= Dd E ED d .22max ==σ max σ与Dd成正比,钢丝绳易存放,而引起的最大引力很小.6—3 截面形状及尺寸完全相同的一根钢梁和一根木梁，如果所受的外力也相同，则内力是否相同?横截面上正应力的变化规律是否相同?对应点处的正应力与纵向线应变是否相同? 解: 面上的内力相同，正应力变化规律相同。
处的正应力相同，线应变不同6—4 图示截面各梁在外载作用下发生平面弯曲，试画出横截面上正应力沿高度的分布图.6—5 一矩形截面梁如图所示，已知F=1.5kN 。
试求(1) I —I 截面上A 、B 、C 、D 各点处的正应力; (2) 梁上的最大正应力，并指明其位置。
解：（1）m N F M .3002.0*10*5.12.0*3===MPa M I y M z A 11110*30*1812*10*15*.1233===--σ A B σσ-= 0=C σMPa M D 1.7410*30*1812*10*)5.15(*1233==--σ MPa W Fl z 5.16610*30*186*10*300*10*5.19233max ===--σ 位置在：固定端截面上下边缘处。
6—6 图示矩形截面简支梁，受均布载荷作用。
已知载荷集度q=20kN ／m ，跨长l ＝3，截面高度=h 24cm ，宽度=b 8cm 。
第七章-弯曲应力(1) (2)
M
z
Q
横截面上内力 横截面上切应力
横截面上正应力
Q dA
A
M y dA
A
切应力和正应力的分布函数不知道，2个方程确定不了
切应力无穷个未知数、正应力无穷个未知数，实质是 超静定问题 解决之前，先简化受力状态 —— 理想模型方法
8
横力弯曲与纯弯曲 横力弯曲 ——
剪力Q不为零 （ Bending by transverse force ） 例如AC, DB段
E
A
(-) B
D
(+) 10kN*m
y2
C
拉应力
a
e
压应力
y1
压应力 B截面
b
d
拉应力 D截面
危险点：
a, b, d
33
（3）计算危险点应力 拉应力
a
e
压应力
校核强度
M B y2 a Iz 30 MPa （拉） M B y1 b Iz
70 MPa （压）
压应力 B截面
b
d
强度问题 弯曲问题的整个分析过程： 弯曲内力 弯曲应力 弯曲变形 刚度问题
5
本章主要内容
7.1 弯曲正应力 7.2 弯曲正应力强度条件 7.3 弯曲切应力及强度条件 7.4 弯曲中心 7.5 提高弯曲强度的一些措施
这一堂课先效仿前人，探求出来弯曲正应力
公式，然后解决弯曲正应力强度问题
6
知道公式会用，不知推导，行不行？不行。
2
解：1 画 M 图求有关弯矩
qLx qx M1 ( ) 2 2
2
2
x 1
60kNm
M max qL / 8 67.5kNm
q235b弯曲应力
q235b弯曲应力
Q235B是一种中国国家标准GB/T 700中规定的碳素结构钢，通常用于一些结构工程和建筑项目。
弯曲应力是指在材料发生弯曲时，横截面上各点的受力状态引起的应力。
弯曲应力（σ）可以通过以下公式计算：
σ=M⋅c
I
其中：
●σ是弯曲应力，
●M 是弯矩（弯曲力矩），
● c 是横截面上某一点到截面中性轴的距离，也称为臂长，
●I 是截面的惯性矩。
具体到Q235B钢材，弯曲应力的计算还需要考虑材料的弹性模量（弹性系数）E。
弯曲应力也可以通过以下公式计算：
σ= M⋅c
I = M⋅c
1
3
b⋅h2
其中：
● b 是截面的宽度，
●h 是截面的高度。
要注意的是，这里的计算是基于简单的梁弯曲理论，适用于较小跨度的梁。
对于更复杂的结构和较大的跨度，可能需要考虑更复杂的弯曲理论和计算方法。
在实际工程中，弯曲应力的计算通常需要结合具体的结构形式、载荷条件和边界条件，可能需要进行有限元分析等复杂的计算方法。
因此，建议在具体的工程设计中，根据实际情况进行详细的弯曲应力计算和分析。
弯曲应力计算
在下列情况下， 在下列情况下，还要考虑切应力强度条件 （1）梁跨度较小，或支座附近有较大载荷 ）梁跨度较小， （2）T形、工字形等薄壁截面梁 ） 形 （3）焊接、铆接、胶合而成的梁，要对焊缝、胶 ）焊接、铆接、胶合而成的梁，要对焊缝、 合面等进行剪切强度计算
24
切应力计算较复杂， 切应力计算较复杂，不同截面形状有不同的公 式 其中较重要的—— 其中较重要的 矩形截面计算公式， 矩形截面计算公式，切应力分布规律
矩形梁截面上的切应力分布
* Sz τ (y) = Q I zb
* S* = A • y* z c
b 右截面
h 1 h = ( − y )b• ( + y ) 2 2 2 b h2 = ( − y2 ) 2 4
h y a y
z a1
A*
bh Iz = 12
3
3Q 4y2 τ (y) = (1− 2 ) 2bh h
翼板
t
H
h
b z y
腹板为矩形截面时
腹板
S = ∑A • y
* z *
* c
A*
B y
2
H h h 1 H h = B( − ) + ( − ) 2 2 2 2 2 2
h b h 1 h B 2 2 +b( − y ) y + ( − y ) = ( H −h ) + ( − y2 ) 2 2 4 2 2 8
τmax
4Q = 3A
τmax
Q =2 A
7
小论文 —— 推导一种截面的切应力公式
z
z
τm ax
沿翼板宽度方向
实心圆截面
空心圆环
8
弯曲切应力的强度条件
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第7章弯曲应力引言前一章讨论了梁在弯曲时的内力——剪力和弯矩。
但是，要解决梁的弯曲强度问题，只了解梁的内力是不够的，还必须研究梁的弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力，如何计算各点的应力。
在一般情况下，横截面上有两种内力——剪力和弯矩。
由于剪力是横截面上切向内力系的合力，所以它必然与切应力有关；而弯矩是横截面上法向内力系的合力偶矩，F时，就必然有切应力τ；所以它必然与正应力有关。
由此可见，梁横截面上有剪力Q有弯矩M时，就必然有正应力 。
为了解决梁的强度问题，本章将分别研究正应力与切应力的计算。
弯曲正应力纯弯曲梁的正应力由前节知道，正应力只与横截面上的弯矩有关，而与剪力无关。
因此，以横截面上只有弯矩，而无剪力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问题。
在梁的各横截面上只有弯矩，而剪力为零的弯曲，称为纯弯曲。
如果在梁的各横截面上，同时存在着剪力和弯矩两种内力，这种弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。
例如在图7-1所示的简支梁中，BC段为纯弯曲，AB段和CD段为横力弯曲。
分析纯弯曲梁横截面上正应力的方法、步骤与分析圆轴扭转时横截面上切应力一样，需要综合考虑问题的变形方面、物理方面和静力学方面。
图7-1变形方面为了研究与横截面上正应力相应的纵向线应变，首先观察梁在纯弯曲时的变形现象。
为此，取一根具有纵向对称面的等直梁，例如图7-2(a)所示的矩形截面梁，并在梁的侧面上画出垂直于轴线的横向线m-m、n-n和平行于轴线的纵向线d-d、b -b 。
然后在梁的两端加一对大小相等、方向相反的力偶e M ，使梁产生纯弯曲。
此时可以观察到如下的变形现象。
纵向线弯曲后变成了弧线''a a 、''b b , 靠顶面的aa 线缩短了，靠底面的bb 线伸长了。
横向线m -m 、n -n 在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定的角度，且仍与弯曲了的纵向线保持正交，如图7-2(b)所示。
梁内部的变形情况无法直接观察，但根据梁表面的变形现象对梁内部的变形进行如下假设：(1) 平面假设 梁所有的横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后的梁的轴线。
(2) 单向受力假设 认为梁由许许多多根纵向纤维组成，各纤维之间没有相互挤压，每根纤维均处于拉伸或压缩的单向受力状态。
根据平面假设，前面由实验观察到的变形现象已经可以推广到梁的内部。
即梁在纯弯曲变形时，横截面保持平面并作相对转动，靠近上面部分的纵向纤维缩短，靠近下面部分的纵向纤维伸长。
由于变形的连续性，中间必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层(图7-3)。
中性层与横截面的交线称为中性轴。
由于外力偶作用在梁的纵向对称面内因此梁的变形也应该对称于此平面，在横截面上就是对称于对称轴。
所以中性轴必然垂直于对称轴，但具体在哪个位置上，目前还不能确定。
考察纯弯曲梁某一微段dx 的变形(图7-4)。
设弯曲变形以后，微段左右两横截面的相对转角为d ?，则距中性层为y 处的任一层纵向纤维bb 变形后的弧长为式中，ρ为中性层的曲率半径。
该层纤维变形前的长度与中性层处纵向纤维OO 长度相等，又因为变形前、后中性层内纤维OO 的长度不变，故有由此得距中性层为y 处的任一层纵向纤维的线应变ρy θρθρθy)(ρbb bb b'b'ε=-+=-=d d d (a) 上式表明，线应变ε?随y 按线性规律变化。
物理方面 根据单向受力假设，且材料在拉伸及压缩时的弹性模量E 相等，则由虎克定律，得ρy E E εσ== (b) 式(b)表明，纯弯曲时的正应力按线性规律变化，横截面上中性轴处，y =0，因而?=0，中性轴两侧，一侧受拉应力，另一侧受压应力，与中性轴距离相等各点的正应力数值相等（图7-5）。
静力学方面 虽然已经求得了由式(b)表示的正应力分布规律，但因曲率半径?和中性轴的位置尚未确定，所以不能用式(b)计算正应力，还必须由静力学关系来解决。
在图7-5中，取中性轴为z 轴，过z 、y 轴的交点并沿横截面外法线方向的轴为x 轴，作用于微面积dA 上的法向微内力为dA σ。
在整个横截面上，各微面积上的微内力构成一个空间平行力系。
由静力学关系可知，应满足0=∑x F ，0=∑y M ，0=∑z M 三个平衡方程。
由于所讨论的梁横截面上设有轴力，0=N F ，故由0=∑x F ，得0d ⎰==A N A σF (c) 将式(b)代人式(c)，得式中，E/??恒不为零，故必有静矩0d ⎰==Az A y S ，由第5章知道，只有当z 轴通过截面形心时，静矩S z 才等于零。
由此可得结论：中性轴z 通过横截面的形心。
这样就完全确定了中性轴在横截面上的位置。
由于所讨论的梁横截面上没有内力偶M y ，因此由0=∑y M ,得0d ⎰==A y A z σM (d) 将式(b)代人式(d)，得上式中，由于y 轴为对称轴，故0=yz I ，平衡方程0=∑z M 自然满足。
纯弯曲时各横截面上的弯矩M 均相等。
因此，由0=∑z M ，得⎰=A A y σM d (e)将式(b)代人式(e)，得 z A A I ρE A y ρE A ρy yE M ===⎰⎰d d 2 (f) 由式(f)得 zEI M ρ=1 （7-1） 式中，ρ1为中性层的曲率，EI z 为抗弯刚度，弯矩相同时，梁的抗弯刚度愈大，梁的曲率越小。
最后，将式(7-1)代入式(b)，导出横截面上的弯曲正应力公式为zI My σ= （7-2） 式中，M 为横截面上的弯矩，I z 为横截面对中性轴的惯性矩，y 为横截面上待求应力的y 坐标。
应用此公式时，也可将M 、y 均代入绝对值，σ是拉应力还是压应力可根据梁的变形情况直接判断。
以中性轴为界，梁的凸出一侧为拉应力，凹入一侧为压应力。
以上分析中，虽然把梁的横截面画成矩形，但在导出公式的过程中，并没有使用矩形的几何性质。
所以，只要梁横截面有一个对称轴，而且载荷作用于对称轴所在的纵向对称面内，式(7-1)和式(7-2)就适用。
由式(7-2)可见，横截面上的最大弯曲正应力发生在距中性轴最远的点上。
用y max 表示最远点至中性轴的距离，则最大弯曲正应力为上式可改写为z W M σ=max （7-3） 其中 m axy I W z z = （7-4） 为抗弯截面系数，是仅与截面形状及尺寸有关的几何量，量纲为[长度]3。
高度为h 、宽度为b 的矩形截面梁，其抗弯截面系数为直径为D 的圆形截面梁的抗弯截面系数为工程中常用的各种型钢，其抗弯截面系数可从附录的型钢表中查得。
当横截面对中性轴不对称时．其最大拉应力及最大压应力将不相等。
用式(7-3)计算最大拉应力时，可在式(7-4)中取y max 等于最大拉应力点至中性轴的距离；计算最大压应力时，在式(7-4)中应取y max 等于最大压应力点至中性轴的距离。
例7-1 受纯弯曲的空心圆截面梁如图7-6(a)所示。
已知：弯矩M = l ，外径D=50mm ，内径d =25mm 。
试求横截面上a 、b 、c 及d 四点的应力,并绘过a 、b 两点的直径线及过c 、d 两点弦线上各点的应力分布图。
解：（1） 求 I z（2） 求?a 点b 点c 点d 点给定的弯矩为正值，梁凹向上，故a 及c 点是压应力，而b 点是拉应力。
过a 、b 的直 径线及过c 、d 的弦线上的应力分布图如图7-6(b)、(c)所示。
横力弯曲梁的正应力公式（7-2）是纯弯曲情况下以7-2-1提出的两个假设为基础导出的。
工程上最常见的弯曲问题是横力弯曲。
在此情况下，梁的横截面上不仅有弯矩，而且有剪力。
由于剪力的影响，弯曲变形后，梁的横截面将不再保持为平面，即发生所谓的“翘曲”现象，如图7-7（a ）。
但当剪力为常量时，各横截面的翘曲情况完全相同，因而纵向纤维的伸长和缩短与纯弯曲时没有差异。
图7-7（b ）表示从变形后的横力弯曲梁上截取的微段，由图可见，截面翘曲后，任一层纵向纤维的弧长A ’B ’，与横截面保持平面时该层纤维的弧长完全相等，即A ’B ’=AB 。
所以，对于剪力为常量的横力弯曲，纯弯曲正应力公式(7-2)仍然适用。
当梁上作用有分布载荷，横截面上的剪力连续变化时，各横截面的翘曲情况有所不同。
此外，由于分布载荷的作用，使得平行于中性层的各层纤维之间存在挤压应力。
但理论分析结果表明，对于横力弯曲梁，当跨度与高度之比l ／h 大于5时，纯弯曲正应力计算公式(7-2)仍然是适用的，其结果能够满足工程精度要求。
例7-2 槽形截面梁如图7-8(a)所示，试求梁横截面上的最大拉应力。
解 绘M 图，得B 、C 两截面的弯矩kN.m 10-=B M ，kN.m 5.7=C M ,如图7-8(b)所示。
求截面的形心及对形心轴的惯性矩，取参考坐标z 1Oy ，如图7-8(c)所示，得截面形心C 的纵坐标因y 为对称轴，故过形心C 取z 轴，截面对z 轴的惯性矩为B 截面的最大拉应力为C 截面的最大拉应力为可见，梁的最大拉应力发生在C 截面的下部边缘线上。
弯曲切应力横力弯曲时，梁横截面上的内力除弯矩外还有剪力，因而在横截面上除正应力外还有切应力。
本节按梁截面的形状，分几种情况讨论弯曲切应力。
7.3.1 矩形截面梁的切应力在图7-9(a)所示矩形截面梁的任意截面上，剪力F Q 皆与截面的对称轴y 重合， 见图7-9(b)。
现分析横截面内距中性轴为y 处的某一横线，ss ’上的切应力分布情况。
根据切应力互等定理可知，在截面两侧边缘的s 和s ’处，切应力的方向一定与截面的侧边相切，即与剪力F Q 的方向一致。
而由对称关系知，横线中点处切应力的方向，也必然与剪力F Q 的方向相同。
因此可认为横线ss ’上各点处切应力都平行于剪力F Q 。
由以上分析，我们对切应力的分布规律做以下两点假设：1．横截面上各点切应力的方向均与剪力F Q 的方向平行。
2．切应力沿截面宽度均匀分布。
现以横截面m-m 和n-n 从图7-9(a)所示梁中取出长为d x 的微段，见图7-10(a)。
设作用于微段左、右两侧横截面上的剪力为F Q ，弯矩分别为M 和M +d M ，再用距中性层为y 的rs 截面取出一部分mnsr ，见图7-10 (b)。
该部分的左右两个侧面mr 和ns 上分别作用有由弯矩M 和M +d M 引起的正应力mr σ及ns σ。
除此之外，两个侧面上还作用有切应力τ。
根据切应力互等定理，截出部分顶面rs 上也作用有切应力'τ，其值与距中性层为y 处横截面上的切应力τ数值相等，见图7-10(b)、(c)。
设截出部分mnsr 的两个侧面mr 和ns 上的法向微内力mr σd A 和ns σd A 合成的在x 轴方向的法向内力分别为F N 1及F N 2，则F N 2可表示为*z zA z A z A ns N S I M M A y I M M A y I M M A σF d d d d d d 111112+=+=+==⎰⎰⎰ （a ） 同理 *z zN S I M F =1 （b ） 式中，A 1为截出部分mnsr 侧面ns 或mr 的面积，以下简称为部分面积*z S 为A 1对中性轴的静矩。