等腰三角形基本图形分析法
等腰三角形基本图形分析法一、
1、性质：
2、位置特征：
3、应用条件：
4、应用方法：
二、
1、性质:
2、位置特征：
3、应用条件：
4、应用方法：
三、等腰三角形的重要线段
1、性质：
2、位置特征：
3、应用条件：
4、应用方法：
实验2层次分析法
项目六矩阵的特征值与特征向量 实验2 层次分析法 实验目的 通过应用层次分析法解决一个实际问题,学习层次分析法的基本原理与方法;掌握用层次 分析法建立数学模型的基本步骤;学会用Mathematica解决层次分析法中的数学问题. 基本原理 层次分析法是系统分析的重要工具之一,其基本思想是把问题层次化、数量化, 并用数学 方法为分析、决策、预报或控制提供定量依据. 它特别适用于难以完全量化, 又相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂问题. 它把人的思维过程层次化、数量化,是系统分析的一中 新型的数学方法. 运用层次分析法建立数学模型, 一般可按如下四个基本步骤进行. 1.建立层次结构 首先对所面临的问题要掌握足够的信息, 搞清楚问题的范围、因素、各因素之间的相互关系,及所要解决问题的目标. 把问题条理化、层次化, 构造出一个有层次的结构模型. 在这 个模型下,复杂问题被分解为元素的组成部分. 这些元素又按其属性及关系形成若干层次.层 次结构一般分三层: 第一层为最高层, 它是分析问题的预定目标和结果, 也称目标层; 第二层为中间层, 它是为了实现目标所涉及的中间环节, 如: 准则、子准则, 也称准则层; 第三层为最底层, 它包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等, 也称方案层.
图2-1 决策目标 准则1准则2准则n 方案1方案2方案m …… …… 注:上述层次结构具有以下特点:(1) 从上到下顺序地存在支配关系, 并用直线段表示;(2) 整个层次结构中层次数不受限制. 2.构造判断矩阵 构造判断矩阵是建立层次分析模型的关键. 假定以上一层的某元素y 为准则,它所支配 的下一层次的元素为n x x x ,,,21 ,这n 个元素对上一层次的元素y 有影响,要确定它们在y 中的比重. 采用成对比较法. 即每次取两个元素i x 和j x , 用ij a 表示i x 与j x 对y 的影响之比, 全部比较的结果可用矩阵A 表示,即 .,,2,1,,)(n j i a A n n ij ==? 称矩阵A 为判断矩阵. 根据上述定义,易见判断矩阵的元素ij a 满足下列性质: )(,1),(1 j i a j i a a ii ij ji ==≠= 当0>ij a 时,我们称判断矩阵A 为正互反矩阵. 怎样确定判断矩阵A 的元素ij a 的取值呢? 当某层的元素n x x x ,,,21 对于上一层某元素 y 的影响可直接定量表示时, i x 与j x 对y 的影响之比可以直接确定, ij a 的值也可直接确定. 但对于大多数社会经济问题, 特别是比较 复杂的问题, 元素i x 与j x 对y 的重要性不容易直接获得, 需要通过适当的量化方法来解决. 通常取数字1~9及其倒数作为ij a 的取值范围. 这是因为在进行定性的成对比较时, 通常采用 5级制(表1),在每两个等级之间各有一个中间状态, 共1~9个尺度, 另外心理学家认为进行成 对比较的因素太多, 将超出人们的判断比较能力, 降低精确. 实践证明, 成对比较的尺度以 27±为宜, 故ij a 的取值范围是9,,2,1 及其倒数.
图形推理中折叠图形的解题原理分析
For personal use only in study and research; not for commercial use 图形推理中折叠图形的解题原理分析 解题思路：通过平面图形的性质来分析立体图形空间特征。图形折叠后的性质很多是可以从平面图形中直接反映出来的，比如哪些面必然是对立的，哪些面必然是相邻的，每个面上直线的方向等。 解题方法：排除法。利用平面图形的性质可以快速排除错误选项，有利于快速解题。 正方体（六面体）表面展开图的性质 你知道正方体表面展开图有多少种吗？解答：11种 图中“上”和“下”，“左”和“右”，“前”和“后”互为对立面。 1．“一四一”型 2．“二三一”型 3．“三三”型和“二二二”型
【例题1】（2012年） 左边给定的是纸盒的外表面，下面哪一项能由它所折叠而成（） 一本通解答：由以上性质可以可以看出，一点面和四点面为对立面，B项错误；C项中一点面与五点面构成如图相邻关系时，六点面相应位于底面而非顶面，排除；二点面、三点面、四点面三面相邻，且公共顶点不变，三点面方向不对，D项错误。 注：平面图形的公共顶点折叠后仍为这三个面的公共顶点。（通过上图D项可验证） 【例题2】（2010年） 左边给定的是纸盒的外表面，下面哪一项能由它所折叠而成（） 一本通解答：横线面和空白面为对立面，C、D项错误；A项中右表面的对角线应该与上表面的对角线相交在一个顶点上，排除。 【例题3】 左边给定的是纸盒的外表面，下面哪一项能由它折叠而成？
一本通解答：A项三条斜线不可能交于一点，排除。C项两条水平线不会交于一点，排除。D项正面应为竖直线，排除。 【例题4】（2008年） 一本通解答：B。 解法一：三个空白面都不相互对立，是相邻的，B项正确。 解法二：三条对角线不会交于一点，也不会首尾相连，排除C、D两项；前表面和右表面的线段交点应该是在下方，排除A项，所以B项正确。 练习题4道
等腰三角形的定义与性质
《等腰三角形》教学设计 【教材分析】 1、等腰三角形是基本的几何图形之一，在今后的几何学习中有着重要的地位， 是构成复杂图形的基本单位 2、本节内容是《轴对称》中的重点部分，是等腰三角形的第一节课，由于小学 已经有等腰三角形的基本概念，故此节课应该是在加深对等腰三角形从轴对称角 度的直观认识的基础上，着重探究等腰三角形的两个定理及其应用 3、等腰三角形是在《多边形》中的三角形知识基础上的继续深入，如何利用学 习三角形的过程中已经形成的思路和观点，也是对理解“等腰”这个条件造成的特 殊结果的重要之处。 4、对称是几何图形观察和思维的重要思想，也是解决生活中实际问题的常用出 发点之一，学好本节知识对加深对称思想的理解有重要意义。 【教学对象分析】 1、授课班级学生基础较差，教学中应给予充分思考的时间，谨防填塞式教学。 2、该班级学生在平时训练中已经形成了良好的合作精神和合作气氛，可以充分 发挥合作的优势，兼顾效率和平衡。 3、本班为自己任课的班级，平时对学生比较了解，在解决具体问题的时候可以 兼顾不同能力的学生，充分调动学生的积极性。 【教学目标】 知识目标：等腰三角形的相关概念，两个定理的理解及应用。 技能目标：理解对称思想的使用，学会运用对称思想观察思考，运用等腰三角形的思想整体观察对象，总结一些有益的结论。 情感目标：体会数学的对称美，体验团队精神，培养合作精神。 【教学重点、难点】 重点：1、等腰三角形对称的概念。 2、“等边对等角”的理解和使用。 3、“三线合一”的理解和使用。 难点：1、等腰三角形三线合一的具体应用。 2、等腰三角形图形组合的观察，总结和分析。 【教学手段】 1、使用导学法、讨论法。 2、运用合作学习的方式，分组学习和讨论。 3、运用多媒体辅助教学。 【教学过程设计】 1、学生活动 预习相关概念及定理 【教学设想】培养学生良好的学习习惯 教师活动 课题引入：让学生观察两把三角尺，从三角形分类思考“两把三角尺的形状除了 角度不同外还有什么区别”在对学生思考结果的总结基础上，引入新课题。 【教学设想】在小学知识和第八章三角形知识的基础上，学生比较容易得到结论。
第二章 基本图形分析法(1)
第二章基本图形分析法 第一节基本图形分析法概述 教育要追求思维过程的培养、训练和形成，而要讲清楚每一个问题的思维过程，最重要的前提就是要以具有科学的、能揭示规律性的思维方法作为基础理论。对平面几何这门学科而言，基本图形分析法就是这样一种能揭示思维方法规律性的分析方法。 长期以来，平面几何是一门教师感到难教，学生感到难学的学科，至今仍是制约着教育质量提高和学生成才的“瓶颈”。现在社会上流行“不能输在起跑线上”，但没有输在起跑线上而倒在几何线上的学生何止成千上万。 那么，几何教和学之难到底难在哪里？实际上就难在三个字，即“规律性”上。在教学中，老师们为什么不断地讲：“怎样想的？主要是多做题目，积累经验，到时候自然会想”。“添辅助线有常法而无定法”，“添辅助线就是拿到一道题目，先添一条试试看，不行再添一套试试看，多试几次总会成功的”，根本的原因就是没有办法掌握几何问题分析方法的规律性和添加辅助线的规律性。事实上，老师所作的这样一种回答，根本无法解决学生在学习过程中出现的困惑。学生在学习几何的过程中，最迫切地想要知道的就是几何问题思考方法、分析方法的规律性，最迫切地想要知道的就是几何问题中添加的每一条辅助线是怎样想出来的。由于传统的几何教学无法对学生的这些期待给出直接的、明确的、准确的、科学的回答，所以笼罩在学生几何学习过程中的畏惧心理难以得到根本上的消除，这也就是几何难教、难学之根本所在。
平面几何是研究平面图形的性质的数学学科领域，图形是几何研究的对象，所以任何离开对图形、图形性质的研究的分析方法，要揭示几何问题思考方法、分析方法的规律性都是十分困难的，在教学中要取得成功也是十分困难的，当然这里所指的成功是对大多数学生来说的成功，而不是仅对少数、对特别优秀的学生来说的成功。 任何离开对图形、图形性质的研究的分析方法，都不可能在几何教学中取得成功，这实际上包含着对传统几何分析方法的否定。现在我们许多老师在教学中实际采用的分析方法大多还是传统的证题术，这种方法的经典语言就是“我们怎么证明两条线段相等呢？要证明两条线段相等，可以应用全等三角形；可以证明这两条线段都和第三条线段相等；可以应用等腰三角形；可以应用平行四边形；可以应用正方形；可以应用比例性质等等，等等。”然而，在实际教学中，没有一位老师是能够列举完的，一般都是列举了几条就结束了，那为什么列举到这里就刹车了呢？显然老师无法讲清楚。 从思维的角度来看，这里应用的是列举的方法，就是属于扩散思维的范畴，于是首先出现的问题就是在具体教学活动中，尤其是在课堂教学过程中，无论哪一位老师都不可能进行完美的、毫无遗漏的列举，所以这样的方法在理论上是存在缺陷的。另外，即使有老师进行了完美的、毫无遗漏的列举，将所有的可能性都列举了出来，但由于其中的相当一部分可能性对这个具体问题的解决来说，又是毫无价值的，所以许多老师也会感到没有必要去作这样详尽的列举，因为这也确实会包含许多无效的思维和努力。然而实质性的问题还不仅是在这里，关键的问题是当你列举出了这样许多方法或可能性以后，对这道具体的题目来说，你是怎样作出选择的？是根据什么来作出这样的选择的？
等腰三角形习题精选
知识链接：该图形是有关等腰三角形的一个很常用的基本图形，上述练习说明在该图中“角平分线、平行线、等腰三角形”这三者中若有两者必有第三，熟练这个结论，对解决含有这个基本图形的较复杂的题目是很有帮助的. 等腰三角形课后提高 一基本图形 1.（1）已知：OD 平分∠AOB ，ED ∥OB .请说明：EO=ED . （2）已知：OD 平分∠AOB ，EO=ED .请说明：ED ∥OB. （3）已知：ED ∥OB ，EO=ED .请说明：OD 平分∠AOB . 2如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数． 改编为： (1)图中共有几个等腰三角形?分别写出它们的顶角与底角． (2)你能求出各角的度数吗? 如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，分别计算∠1、∠2的度数，?并说明图中有哪些等腰三角形． 1．如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠A =40°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D .求：∠ADB 和∠CDB 的度数. 2．如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠BAD =30°，AD=AE . 求：∠EDC 的度数. 3．如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠．重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 2 1
E D C B A 4．等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于（） A.顶角 B.顶角的两倍 C.顶角的一半 D.底角的一半 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝20o， AD＝AE，则∠EDC= ． 6．如图，点D,E在△ABC的边BC上，AB=AC,AD=AE,求证BD=CE 7如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，猜想∠ABC和∠C的关系，并说明理由． 8．如图，已知在△AB C中，在AB上取一点D，又在AC延长线上取点E，使CE=BD，连结DE交BC于点G，有DG=GE，试说明：AB=AC. 小贴士：线段和差的问题通常可通过在长边上 截取和短边上补长的方法构造全等三角形来解 决，我们把这种方法称为截长补短法.
简单的轴对称图形(等腰三角形)
第五章生活中的轴对称 3 简单的轴对称图形（第1课时） 会宁县桃林中学王伟彦 一、教学目的 1. 探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质。 3. 掌握等边三角形的轴对称性及其有关性质。 二、教学过程 ⑴（整体浏览课本，确定学习目标） 1、（课本121页引例）认识等腰三角形是轴对称图形。掌握等腰三角形对称轴的“三线合一”及相关性质。 2、（课本121页想一想）认识等边三角形是轴对称图形。掌握等边三角形的相关特征。 ⑵创设情境导入新课 1. 认识等腰三角形，介绍等腰三角形的概念及各部分名称。 ⑶动手操作探求新知 等腰三角形是一种特殊的三角形，它除具有一般三角形的性质外，还有一些特殊的性质吗？拿出你的等腰三角形纸片，把纸片折折看，你能发现什么现象吗？ 1. 思考 （1）等腰三角形是轴对称图形吗？找出对称轴。 （2）顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？ （3）底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高呢？（4）沿对称轴折叠，你能发现等腰三角形的哪些特征？
2.归纳 (1)等腰三角形是轴对称图形。 (2)∠B =∠C (3 )∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线 (4)∠ADB=∠ADC=90°AD为底边上的高 (5 )BD=CD，AD为底边上的中线。 等腰三角形的特征： 1）.等腰三角形是轴对称图形 2）.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。 3）.等腰三角形的两个底角相等。 3.推理 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合 （也称为“三线合一”）. 证明：因为AD是角平分线, 所以∠BAD= ∠ CAD 在ΔABD和ΔA CD中, 因为AB=AC, ∠BAD= ∠CAD,AD=AD 所以ΔABD ≌ΔACD 所以BD=CD, ∠ADB=∠ADC=90? 所以AD是ΔABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高。 ⑷知识推广 1．等边三角形的有关概念有几条对称轴？ 2. 你能发现等边三角形的哪些特征？ ⑸知识应用
培优专题等腰三角形含答案
9、等腰三角形【知识精读】 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【分类解析】 例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC 延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。 分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证 1∠ABC，而由CE＝CD，BD＝ED。因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝ 2 1∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。 又可证∠E＝ 2 证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点
AHP层次分析法计算原理
AHP层次分析法计算原理 一般地，可以选用三层结构对发展战略作出整体评价。 第一层为目标层，它是企业要实现的战略目标，第二层是评价因素层，它包括战略目标实现进行评价的所考虑的各种因素以及各因素之间的相对比值，并求出各要素实现总体目标所占的权重。第三层是指标层，即个评价因素需考虑的具体指标。 首先，根据总目标确定各要素之间的相对重要关系，构建两两比较判断矩阵，其基本形式为： 其中，a j表示对于C来说，A对A相对重要性的数值体现，通常a j可取1、2、3……、9以及它们的倒数作为标度。其中， 1――表示两个元素相比，具有同样的重要性； 3――表示两个元素相比，一个元素比另一个元素稍微重要； 5――表示两个元素相比，一个元素比另一个元素明显重要； 7――表示两个元素相比，一个元素比另一个元素强烈重要； 9――表示两个元素相比，一个元素比另一个元素极端重要。 2、4、6、8为上述相邻判断的中值。 矩阵中的元素具有以下特征：①a j >0,②a j二丄，③a H=1o a ji 然后，根据判断矩阵计算相对于战略目标各评价元素的相对重要 性次序的权重，首先计算判断矩阵A的最大特征根入max和其对应的经归一化后的特征向量W=[W i, W2 , W3, , W n ]T,计算的公式为：(8 - 1)
归一化后的特征向量W=[W i, W2, W3, , W n]T即为各评价因素对于总目标的权重。 (8 - 2)W i - n W i i J 其 1 n 中，W = a j (8 - 3) 入max为判断矩阵A的最大特征根，计算公式为: (8 - 4) 其中，(AW)i表示AW的第i个元素。 最后，对矩阵A进行一致性检验。当a q二空时，称判断矩阵为a jk 致性矩阵。判断一致性的指标为C.R.的取值。 C.R.嚅 (8 - 5) (8 - 6) R丄为随机一致性指标，其值是通过多次重复进行随机判断矩阵特征值的计算后得到的。随机一致性指标R丄的取值见表8-2。 表8-2随机一致性指标R.I?的取值表 维数12 345 6 7 8 9 10 J (AW)i i吕nw
中考数学专题训练 轴对称图形与等腰三角形(无答案)
轴对称图形与等腰三角形 一、选择题 1．如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为（） A．30° B．45° C．60° D．75° 2．正方形的对称轴的条数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，则△A1B1C1的面积是（） A．B．C．D． 4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC=（） A．5 B．C．D．6 5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=3，则BC的长为（） A．6 B．6 C．9 D．3 6．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为（）
A．B．1 C．D．2 7．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD．若BD=1，则AC的长是（） A．2 B．2 C．4 D．4 8．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（） A．2 B．C．D． 9．如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=（）
总结-做图形推理题常用方法
1. 答案:B 分析:方法一，从图形旋转的角度来分析这个题目。顺时针方向看，会发现黑色小方框在作顺时针旋转。 具体的说，第一行三个图形中，黑色小方框在作顺时针旋转；然后从第三列往下看，发现黑色小方框仍然在作顺时针旋转。整个观察顺序是：第一行，从左向右，到了第三个图形，从上往下；到了右下角的图形，从右往左，到了左下角，再从下往上。 如果选择逆时针方向分析，会发现黑色小方框在作逆时针旋转。最后同样得到答案B。 方法二，从图形的数量关系来分析这个题目。图中含有黑色小方框的图形是成对出现的。因此答案为B。 2. 答案：A 分析: 第一列，从下往上，三个图形中，图形外的线段数量分别是1，3，5。 第二列，从上往下，三个图形中，图形外的线段数量分别是7，9，11。 第三列，从下往上，三个图形中，图形外的线段数量分别是13，15，17。 从列的角度来考察的。分析这类题目的时候，如果从行的角度去考察，难以发现规律，不妨改变一下角度，从列的角度去考察。本题每个图形出头线段数目如下图：
3. 答案:D 分析: 这个题目看从什么角度来分析。如果把第一行三个小图形放在一起分析，然后把第二行三个图形放在一起分析，就很难找到正确的答案来。如果把第一列的三个图形放在一起分析，把第二列的三个图形放在一起分析，就比较容易找出答案来。整个题目的规律是：从列方向上来看，第一个图形的直线边数等于下面两个图形的边数之和。以前考试的题目和参考书上的练习题目大多是从行的方向来考察的，这次考题换了一个角度。根据前面几道题的特点来看，从列方向的角度来设计题目，应该是命题者的真实意图 4. 答案:A 分析: 第一行的三个图形，封闭部分的数量分别是3，2，3。 3+2+3=8 第二行的三个图形，封闭部分的数量分别是1，3，4。 1+3+4=8 按照这个规律，第三行三个图形封闭部分数量之和应该是8。 第三行第一个图形封闭部分数量为3，第二个图形封闭部分数量为4。 第三个图形封闭部分数量应该是1。
等腰三角形的性质练习题及答案
等腰三角形的性质练习题及答案 若按边(角)是否相等分类，两边(角)相等的三角形是等腰三角形．等腰三角形是一类特殊三角形，它的两底角相等；等腰三角形是轴对称图形，底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合(简称三线合一)，特别地，等边三角形的各边相等，各角都为60°．解与等腰三角形相关的问题，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考运用等腰三角形的特殊性质，这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据，因此，重视全等三角形的运用，又不囿于全等三角形，善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径． 例题求解 【例1】如图AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管根．(山东省聊城市中考题) 思路点拨通过角度的计算，确定添加钢管数的最大值． ` 注角是几何中最活跃的元素，与角相关的知识异常丰富，在三角形中，角又有独特的等量关系，如三角形内角和定理、内外角关系定理．等腰三角形两底角相等，利用这些定理可以找到角与角之间的“和”、“差”、“倍”、“分”关系． 随着知识的丰富，我们分析问题、解决问题的方法和工具随之增加，因此，在使用什么方法解决问题时，需要综合与选择． 【例2】如图，若AB=AC，BG＝BH，AK=KG，则∠BAC的度数为（) A．30°D．32° C 36°D．40° (武汉市选拔赛试题) 思路点拨图中有很多相关的角，用∠BAC的代数式表示这些角，建立关于∠BAC的方程． \ 【例3】如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，D为AC上一点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，问：当点D满足什么条件时，∠ADB＝∠CDF，请说明理由．(安徽省竞赛题改编题) 思路点拨本例是探索条件的问题，可先假定结论成立，逐步逆推过去，找到相应的条件，若∠ADB＝∠CDF，这一结论如何用因∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，故需构造
初中数学：轴对称等腰三角形知识点归纳总结
初中数学 轴对称、线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形 轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴． 有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴． 轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． 图形轴对称的性质 如果两个图形成轴对称，?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 轴对称与轴对称图形的区别 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称． 线段的垂直平分线
（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）． （2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合． 轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．? 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到． 轴对称变换的性质 （1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样 （2）?经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 作一个图形关于某条直线的轴对称图形 （1）作出一些关键点或特殊点的对称点． （2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形． 关于坐标轴对称 点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，－y）
培优专题等腰三角形(含答案)
9、等腰三角形 【知识精读】 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问
题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【分类解析】 例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。求证：M 是BE 的中点。 A D 1 B M C E 分析：欲证M 是BE 的中点，已知DM ⊥BC ，所以想到连结BD ，证BD ＝ED 。因为△ABC 是等边三角形，∠DBE ＝21∠ABC ，而由CE ＝CD ，又可证∠E ＝2 1 ∠ACB ，所以∠1＝∠E ，从而问题得证。 证明：因为三角形ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点 所以∠1＝ 2 1 ∠ABC 又因为CE ＝CD ，所以∠CDE ＝∠E 所以∠ACB ＝2∠E 即∠1＝∠E 所以BD ＝BE ，又DM ⊥BC ，垂足为M 所以M 是BE 的中点 （等腰三角形三线合一定理） 例2. 如图，已知：ABC ?中，AC AB =，D 是BC 上一点，且CA DC DB AD ==，，求BAC ∠的度数。 A B C D
浅谈在几何教学中“基本图形”的作用
1 浅谈在几何教学中“基本图形”的作用 学生在做几何题时，看到题目首先想到的是这个题目有没有做过，而不是想如何根据已有的知识方法去分析它。 做几何题最关键的是根据已知条件，联系到所学过的知识定理，经过推理论证，最后解决问题。但有些知识定理学生不一定就能很好的理解，这时就可引导学生看到题目中的条件就想到相应的基本图形。利用这种方法分析问题时，学生可以把抽象的问题形象化，在解决问题时可以起到事半功倍的效果。下面就谈谈在几何教学中如何发挥“基本图形”的作用。 1．建立基本图形与几何知识的双向联系 在教学过程中把基本的定义定理以基本图形的形式反映出来，建立最基本的基本图形库，引导学生用几何语言表述相关的定义定理。想到几何知识就联想到与之相关的几何图形，看到几何图形就想到相应的几何知识。改变那种把性质定理的文字表述与图形割裂开的学习方法。 建立基本图形与几何知识的双向联系，是分析解决问题的先决条件，没有这种基本的关联，训练思维能力就缺少了必要的载体。教师在平时的课堂教学中，就渗透这种理解、记忆几何知识的方法。 如三角形外角基本图（图1）， 学习三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角和的时候，想到三角形的外交相关的性质，就想到图1，看到图1的形状就想到∠1=∠A+∠B ，再如三线八角基本图（图2），同位角基本图（图3），内错角基本图（图4）等，看到这种图形就能以这些图形为索引，联想到相关联的知识。 2．把经常在习题中出现的基本形态作为基本图形。 尽管数学练习千变万化，但是绝大多数题目都能从中提炼出一些基本元素，在教学中帮助学生梳理、提炼这些基本图形，遇到问题时分离这些基本图形，基本图形残缺时，构造基本图形，这样可以以这些基本图形为载体，培养学生的空间想象能力，分析推理能力。 _ 图1 _ 1 图2 _2 _1 图3 _2 _1 图4 A B
轴对称图形与等腰三角形单元测试题
《轴对称图形与等腰三角形》单元测试题 姓名：_______ 学号：_____ 分数：_____ 一、精心选一选，慧眼识金（每小题3分，共24分） 1.下列图形不一定是轴对称图形的是 ( ) A.半圆 B.梯形 C.直角 D.矩形 2.( ) A.2个 B.3个 C. 4个 D.5个 3.若等腰三角形的一个底角为α，则( ) A.0°＜α＜90° B.90°＜α＜180° C.α≤45° D.α≤90° 4.等腰三角形的边长是3和8，则它的周长是( ) A.11 B.14 C. 19 D.14或19 5.小明从平面镜中看到背后墙上的电子钟显示的时间为15∶21，这时的实际时间是( ) A.15∶12 B.21∶15 C.15∶21 D.12∶15 6.等腰三角形的周长为24，其中一边的长为7，则与它相邻的另一边的长是( ) A.7或10 B.7或8.5 C. 8.5或10 D.7或8.5或10 7.下列说法错误的是( ) A.成轴对称的两条线段必在对称轴一侧 B.等边三角形是轴对称图形 C.轴对称图形的对应边相等，对应角相等 D.成轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分 8.若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形( ) A.是直角三角形 B.是锐角三角形 C.是钝角三角形 D.其形状无法确定 二、细心填一填，一锤定音（每小题3分，共24分） 9.汉字、英文字母和阿拉伯数字0～9中有不少是轴对称图形，如“中”、“A”、“8”，请再写出三 个是轴对称图形的汉字：_____，_____，_____；三个是轴对称图形的英文字母：_____，_____，_____；三个是轴对称图形的数字_____，_____，_____. 10.如图1，△ABC是轴对称图形，MN是它的对称轴；MN将△ABC分成△ABE和△ACE，△ ABE和△ACE关于直线_____成轴对称. 11.如图2，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，则∠ADC的度数是_____， ∠BAD的度数是_____. 12.在图3中分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N. 若P1P2=8cm，则△PMN的周长是_____. 13.如图4，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于E，交AB于D，∠CAE∶∠BAE =1∶2，则∠B的度数是_____. 14.等腰三角形的一个底角为50°，则这个等腰三角形的顶角平分线与一腰的夹角是______. 15.等边三角形的两条高相交所成钝角的度数是________________. 16.将一张正方形白纸，沿对角线对折后得到一个等腰直角三角形，在这张重叠的纸上剪出一朵
(完整版)行测图形推理技巧之三大解题方法技巧
行测图形推理技巧之三大解题方法技巧 图形推理是国家公务员考试行测的必考题型，是建立在分析图形构成、合理提取图形中所存储信息的基础上的综合性思维过程。面对形状各异的图形众多考生都会感到束手无策，不知从何处入手，教育专家在此将对图形推理中三大方法技巧——特征分析法、位置分析法、综合分析法结合真题进行详解，帮助考生摆脱图形推理“瓶颈”。 一、特征分析法 教育专家认为，特征分析法是从题干的典型图形、构成图形的典型元素出发，大致确定图形推理规律存在的范围，再结合其他图形及选项猜证图形推理规律的分析方法。通常分为特征图形分析和特征元素分析。 (一) 特征图形分析法 【例题1】
解析：此题答案为C。题干给出的都是一些线条明了的简单图形，观察可知，这组图形的共同点表现在两个方面：一是都有封闭区域;二是图形都具有对称性。 题干图形的封闭区域数依次为1、2、1、1、2，数量上不具有规律性;再来看图形的对称性，依次为具有水平对称轴、竖直对称轴、水平和竖直对称轴、水平和竖直对称轴、竖直对称轴，可以发现这种排列有一定的规律，所以应该选择有水平对称轴的图形，正确答案为C。 (二) 特征元素分析法 【例题2】题干图形重新组合将得到选项中的哪个图形?
解析：此题答案为A。解决片块组合的问题时，经常利用题干中有特征元素的片块图形确定答案。此题中第一个图的左上角与第四个图的右下角就具有明显的特征，对比四个选项，只有A项的图形和这一特征相符合，确定答案为A。 二、位置分析法 【例题1】
解析：此题答案为A。题干图形的构成相同，只是箭头的位置不同，需要对比分析箭头位置变化的规律。从第一个图形开始，短箭头每次逆时针旋转60°，长箭头每次顺时针旋转120°，由此可确定问号处图形箭头的位置，答案为A。 【例题2】 解析：此题答案为C。题干及选项给出的图形组成元素大小形状都相同，只是位置不同，首先锁定移动、旋转和翻转考点。解决此题的关键就是要找出图形构成元素间的这种转换方式。对于九宫格图形推理，先从每行来找寻规律，看第一行图形发现：第一个图形逆时针旋转90°，且“眼睛”翻转得到第二个图形;第二个图形逆时针旋转90°，且“嘴巴”翻转得到第三个图形。验证其他行，发现也符合此
等腰三角形知识点汇总及典型例题
1.主要知识点： 1.在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义)。在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边） 2.主要性质： （1）.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 （2）.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。 （3）.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。 3.判定： （1）两边相等的三角形为等腰三角形 （2）两底角相等的三角形为等腰三角形 （3）中线和高合一的三角形为等腰三角形
（4）角平分线和高合一的三角形为等腰三角形 （5）一个三角形，底边上的中垂线是同一条线，可以判定是此三角形是等腰三角形 4.特殊的等腰三角形------等边三角形 4.1定义： 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形，等边三 角形是特殊的等腰三角形。 （注意：若三角形三条边都相等则 说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）。 4.2性质： ⑴等边三角形的内角都相等，且均为60度。 ⑵等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互 相重合。 ⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条 边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。 4.3判定： ⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）。 ⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。 ⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
⑷有两个角等于60度的三角形是等边三角形。 4.4反证法： 4.4.1定义：假设命题的结论不成立，然后推导出定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果。 4.4.2一般步骤： 应用反证法证明的主要三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立。 实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 5.直角三角形中，30度锐角的性质： 直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半 典例分析 例１.如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，求此三角形的周长
新课标下初中几何教学中基本图形分析法的实践研究(终审稿)
新课标下初中几何教学中基本图形分析法的实 践研究 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
新课标下初中几何教学中基本图形分析法的实践研究【摘要】许多初中学生在学习几何时会感到困难，虽然理解、掌握了几何概念和定理，但还不能灵活解题，仍然要靠大量的重复操练巩固知识、掌握方法。本文探索如何引导学生先掌握能够反映概念、定理或者是在习题中经常出现的基本图形，在分析几何问题时，找出、分离适当的基本图形，若不能找到完整的基本图形，则根据部分基本图形，通过添辅助线构造完整的基本图形，进而应用这些基本图形的性质及相关数学原理解决问题。基本图形分析法重在探索解题思路的形成过程，对于帮助学生掌握几何原理，培养学生的思维能力，可达到举一反三、适负高质的效果。 【关键词】初中几何基本图形分析法实践研究 一、问题的提出 数学是培养人的思维能力的一门学科，学生在学习数学的时候，如果只会解决自己做过、老师讲过的问题，不能独立分析解决问题，那么思维能力是非常弱的。这样的学生势必会通过大量的重复操练来提高成绩，会有比较重的课业负担。 在进行几何教学时，经常会遇到学生很难形成分析推理能力，不会独立思考，遇到陌生的问题就束手无策。当学生不会做题时，问他在这几分钟进行了哪些思考？不少人总是回答：不知道怎样想，好像是在这几分钟内大脑没有进行任何活动一样。在进行练习或考试时，不少学生只会做那些见过、做过的面孔熟悉的题目。一遇到陌生的问题就不会进行思考，不会把问题转化。甚至经常有讲过、做过几遍的问题，在考试中还不能解答的情况。 尤其是不少女学生，能记住相关内容的文字表述，但不会分析具体的问题，看到问题不知道从何处着手思考。
(完整版)层次分析法步骤
层次分析法实例与步骤 结合一个具体例子，说明层次分析法的基本步骤和要点。 【案例分析】市政工程项目建设决策：层次分析法问题提出 市政部门管理人员需要对修建一项市政工程项目进行决策，可选择的方案是修建通往旅游区的高速路（简称建高速路）或修建城区地铁（简称建地铁）。除了考虑经济效益外，还要考虑社会效益、环境效益等因素，即是多准则决策问题，考虑运用层次分析法解决。 1. 建立递阶层次结构 应用AHP解决实际问题，首先明确要分析决策的问题，并把它条理化、层次化，理出递阶层次结构。 AHP要求的递阶层次结构一般由以下三个层次组成： ●目标层（最高层）：指问题的预定目标； ●准则层（中间层）：指影响目标实现的准则； ●措施层（最低层）：指促使目标实现的措施； 通过对复杂问题的分析，首先明确决策的目标，将该目标作为目标层（最高层）的元素，这个目标要求是唯一的，即目标层只有一个元素。 然后找出影响目标实现的准则，作为目标层下的准则层因素，在复杂问题中，影响目标实现的准则可能有很多，这时要详细分析各准则因素间的相互关系，即有些是主要的准则，有些是隶属于主要准则的次准则，然后根据这些关系将准则元素分成不同的层次和组，不同层次元素间一般存在隶属关系，即上一层元素由下一层元素构成并对下一层元素起支配作用，同一层元素形成若干组，同组元素性质相近，一般隶属于同一个上一层元素（受上一层元素支配），不同组元素性质不同，一般隶属于不同的上一层元素。 在关系复杂的递阶层次结构中，有时组的关系不明显，即上一层的若干元素同时对下一层的若干元素起支配作用，形成相互交叉的层次关系，但无论怎样，上下层的隶属关系应该是明显的。 最后分析为了解决决策问题（实现决策目标）、在上述准则下，有哪些最终解决方案（措施），并将它们作为措施层因素，放在递阶层次结构的最下面（最低层）。 明确各个层次的因素及其位置，并将它们之间的关系用连线连接起来，就构成了递阶层次结构。 【案例分析】市政工程项目进行决策：建立递阶层次结构 在市政工程项目决策问题中，市政管理人员希望通过选择不同的市政工程项目，使综合效益最高，即决策目标是“合理建设市政工程，使综合效益最高”。 为了实现这一目标，需要考虑的主要准则有三个，即经济效益、社会效益和环境效益。但问题绝不这么简单。通过深入思考，决策人员认为还必须考虑直接经济效益、间接经济效益、方便日常出行、方便假日出行、减少环境污染、改善城市面貌等因素（准则），从相互关系上分析，这些因素隶属于主要准则，因此放在下一层次考虑，并且分属于不同准则。 假设本问题只考虑这些准则，接下来需要明确为了实现决策目标、在上述准则下可以有哪些方案。根据题中所述，本问题有两个解决方案，即建高速路或建地铁，这两个因素作为措