用基本图形分析法证几何题

用基本图形分析法证几何题

—— 谢老师

无论多复杂的几何图形，拆散后都是由一些基本图形组成的。因此，利用基本图形的特性分析证明几何题就能起到化难为易、简明快捷的作用。下面略举几例：

基本图形一：角平分线+平行线 等腰三角形出现

例1、已知，如图，△ABC 中，∠B 的平分线与∠C 的外角平分线交于M 。过M 的平行线分别交AB 、AC 与E 、F 。

求证：EF=BE ﹣CF

例2、如图，已知，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 边上的中点，MF ∥DA 交AB 和CA 的延长线于E 、F 。

求证：BE=CF=2

1

(AB+AC)

例3、已知，如图，□ABCD 中，AB ＞AD ，∠A 、∠D 的平分线交于E ，∠B 、∠C 的平分线交于F 。

求证：EF=AB ﹣AD

C

变式练习：

1、如图，已知，□ABCD 中，AD=2AB ，将AB 向两方分别延长至E 、F ，使AE=AB=BF ，

求证：CE ⊥DF

2、如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD+BC ，E 是CD 中点。

求证：AE 、BE 分别是∠DAB 和∠ABC 的平分线

3、已知，(1) 如图，E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，F 是CE 中点，

求证：∠BAF=2∠DAE

(2)、如图，正方形ABCD 中，E 是BC 中点，F 是CD 上的一点，且AF=FC+CB 。

求证：BE 平分∠CBF

C

E F

基本图形二：角平分线+角平分线的垂线 等腰三角形出现

例4、如图，△ABC 中，BC=3AB ，BO 是角平分线，CD ⊥BO 交BO 的延长线于D 。 求证：DO=BO ，

变式练习

如图，已知，△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 是角平分线，CE ⊥BD 于E 。 求证：BD=2CE

例5、如图，已知，△ABC 中，BD 、CE 是角平分线，AF ⊥CE 于F ，AG ⊥BD 于G 。 求证：（1）FG ∥BC ； （2）FG=2

1

(AB +AC ﹣BC)

C

变式练习

（1）如图，已知，BD 、CE 是△ABC 的∠B 、∠C 的外角平分线，AF ⊥BD 于F ，AG ⊥CE 于G ，

求证：（1）FG ∥BC ； （2）FG=

2

1

(AB +BC +AC)

(2)、如图，已知，△ABC 中，BE 、BF 分别是∠B 和∠B 的外角平分线，AG ⊥BF 于G ，AH ⊥BE 于H ，过G 、H 的直线分别交AB 、AC 于M 、N 。

求证（1）四边形AGBH 是矩形； （2）MN=2

1

BC

（3）、已知，如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 是角平分线，E 是BC 的中点，EF ⊥AD 交AD 、AB 的延长线于F 、G 。

求证：BD=2BG

C

A

G

基本图形三：用平行线证比例线段

例7、如图，已知，C 、D 、E 、F 是∠AOB 的两边上的四点，且OC ∶OD=CE ：DF ， CE 、DF 的延长线交于G 。

求证：GE=GF

例8、如图，△ABC 中，直线MN 分别交边AB 、AC 于F 、E ，交BC 的延长线于D ，

求证：BF AF ·CD BD ·AE

CE

=1

例9、已知，△ABC 中，D 是AC 边上的一点，CD AD =2

1

，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F 。

求证：

3

1

CF BF

O G

A

N

C

变式练习

1、已知，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且3

2

,43AE CE BD AD =，DE 的延长线交BC 的延长线于F 。

求证：

10

7

=DF EF

2、如图，已知，△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 上的任意一点，CE 的延长线交

AB 于F 。求证：

BF

AF

DE AE 2=

3、已知，PA 与⊙O 相切于A ，割线PBC 过O 且与⊙O 相交于B 、C ，AD ⊥BC 。 求证：CD

OB

PC PO =

D A

C