28种解法的基本图形分析法经典例题
小学数学图形求阴影部分面积十大方法总结(附例题)
小学数学图形求阴影部分面积十大方法总结(附例题)_2023.9小学阶段的学生通常在学习上存在着总结归纳能力欠缺等问题，为了很好地帮助孩子系统地掌握小学阶段的数学知识，老师把小学求图形面积的十大方法给大家做了总结，各位家长，快给孩子收藏起来吧！我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算。
如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。
那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。
例题分析例1、如下图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。
一句话：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。
例2、如下图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF 的面积彼此相等，求三角形AEF的面积。
一句话：因为△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，都等于正方形ABCD面积的三分之一，也就是12厘米。
解：S△ABE=S△ADF=S四边形AECF=12在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，∴△ECF的面积为2×2÷2=2。
所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。
例3、两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。
如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。
一句话：阴影部分面积=S△ABG-S△BEF，S△ABG和S△BEF都是等腰三角形总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决求面积十大方法01相加法这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如：求下图整个图形的面积一句话：半圆的面积+正方形的面积=总面积02相减法这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差. 例如：下图，求阴影部分的面积。
初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)
初中数学几何模型大全+经典题型（含答案）全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，发生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变更，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
对称最值(两点间线段最短)说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。
说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。
小学奥数必备：10大几何图形解法！数学老师强力推荐！
小学奥数必备：10大几何图形解法！数学老师强力推荐！
小学数学是打基础的阶段，内容还比较简单，学有余力的孩子其实可以参加一下小学数学的奥数竞赛，锻炼一下孩子们的脑力。
没有参加过小学奥数的人生，算不上一个学霸的人生。
老师在课堂上讲的方法，是为了照顾孩子的大多数，不可能讲一些超纲的、课程内容之外的东西。
这对于一些成绩普普通通的孩子来说还无所谓，但对于那些成绩比较好的，还有更进一步的发挥余地的孩子们而言，无疑是一种脑力的浪费。
脑子是越转越灵活的，适当的来一些挑战，会让孩子的大脑越来越优秀！
今天我就给大家整理一篇小学数学10大几何图形的解法，有些比较基础，有些则可能属于奥数的范畴。
几何是非常锻炼孩子的空间想象能力的，通过巧妙的辅助线，往往会让孩子的大脑豁然开朗，对开动孩子们的脑力绝对有所帮助。
小学数学图形求阴影部分面积十大方法总结(附例题)
小学数学图形求阴影部分面积十大方法总结(附例题)_2023.9小学阶段的学生通常在学习上存在着总结归纳能力欠缺等问题，为了很好地帮助孩子系统地掌握小学阶段的数学知识，老师把小学求图形面积的十大方法给大家做了总结，各位家长，快给孩子收藏起来吧！我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算。
如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。
那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。
例题分析例1、如下图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。
一句话：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。
例2、如下图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积。
一句话：因为△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，都等于正方形ABCD 面积的三分之一，也就是12厘米。
解：S△ABE=S△ADF=S四边形AECF=12在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，∴△ECF的面积为2×2÷2=2。
所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。
例3、两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。
如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。
一句话：阴影部分面积=S△ABG-S△BEF，S△ABG和S△BEF都是等腰三角形总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决求面积十大方法01相加法这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如：求下图整个图形的面积一句话：半圆的面积+正方形的面积=总面积02相减法这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如：下图，求阴影部分的面积。
初中几何题解题技巧(带例题)
练一练 7： 如图 19 所示，已知平行四边形 EFGH 的底是 8 厘米，高是 6 厘 米，阴影部分的面积是 16 平方厘米，求四边形 ABCD 的面积。
八、两次求差法 两次求差法是指根据图形之间相容相斥的原理，通过两次求差求出面积的方 法。 例 8 如图 20，长方形 ABCD 的长是 6 厘米，宽是 4 厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：通过作辅助线，可以将三角形 ABC 平均分成 16 个完全一样的小 三角形（如图 11 所示），阴影部分为其中 3 个小三角形，即阴影部分的面积占 三角形 ABC 的面积的。阴影部分的面积为：48×＝9（平方分米）。
练一练 4： 如图 12 所示，长方形 ABCD 的长是 10 厘米，宽是 6 厘米，E、F 分别是 AB 和 AD 的中点，求阴影部分的面积。
七、等量代换法 等量代换法是指根据题目中图形之间面积相等的关系，以此代彼，相互替换， 从而求出面积的方法。 例 7 如图 18，长方形 ABCD 的面积为 1500 平方厘米，阴影部分的面积为 880 平方厘米，求四边形 EFGO 的面积。
分析与解：在长方形 ABCD 中，△ABF 与△DBF 同底（即 BF 的长）、等高（即 长方形的宽），所以 S△ABF＝ S△DBF 。若从这两个三角形中同时减去△BEF， 则剩下的图形面积相等，即：S△ABE＝S△DEF 。这样 S 阴影＝S 四边形 EFGO＋
分析与解：通过仔细观察图形，我们可以发现：在大圆中，与阴影Ⅰ、阴影 Ⅱ、阴影Ⅲ面积相等的图形均有 4 个，其中阴影 1 个，空白 3 个。要求阴影部分 的面积，就相当于把大圆的面积平均分成 4 份，求其中一份的面积，列式为： 3.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4×（20÷2）2÷4＝78.5（平方厘米）。
求组合图形面积的基本解法与思路(上)
求组合图形面积的基本解法与思路（上）求组合图形的面积是小学数学教学中的难点之一。
这类题目由于熔识图分析、基本几何图形的特性及计算、空间想象能力于一体，知识、能力的综合性强，故学生解题时往往感到无从下手，其重要原因就是没有掌握这类题的解题思路和方法。
下面就这个问题谈谈自己的一些体会。
例１．下面图中的三角形是等边三角形，边长是３厘米，求阴影部分的面积。
按上述方框图，本题的思维流程是：组合图形可谓千变万化，但解题的基本思想是通过一定的方法，对图形进行“凑整”，使不能直接求解的不规则图形转化为基本图形或其组合形式，然后根据已知条件进行加、减或直接计算。
下面介绍一种思路程序图，依据以下框图；引导学生按照一定的思维程序，迅速找到解题的最佳途径。
按思维流程图分析求解，目标明确，途径简捷，当然，在应用中不一定非要按此格式分析。
在开始阶段，可让学生按框图在心中用自问自答的方式分析，一旦熟练，就会运用自如。
如所求阴影部分不是基本图形，则需用分解、隔离、组合、平移、旋转、割补等方法将其转化成基本图形或其相加减的形式，概括起来可分为两类。
１．分解、隔离、组合此类方法是对原图进行分或合的处理，使其组合的规律和结构特征进一步显露出来，以利求解。
例２．下图是一个等腰三角形，并且有一个内角是直角，求阴影部分的面积。
按思维流程图，引导学生对原图进行这样分析：所求阴影部分是学过的基本图形吗？是由基本图形组合而成的吗？有几个基本图形？是怎样组合成阴影部分的？各图形求面积的基本条件是否具备？至此，通过分解，从未知到已知，使问题得到解决。
例３．求右图阴影部分面积。
此题可以这样引导学生分析：阴影部分是不是基本图形？图中有哪些基本图形？各图形求面积的条件是否具备？阴影部分能否和别的图形组成一个基本图形？这个图形是什么？要求阴影部分面积只需求出哪一部分面积？这一部分面积又该怎样求呢？至此，学生明白，解题的关键是要求出图中大空白部分面积。
这时，可将这部分图分离出来单独研究，这就是所谓的隔离法，如右图所示。
几何图形的九大解法
几何图形的九大解法一、分割法例1：将两个相等的长方形重合在一起，求组合图形的面积。
（单位：厘米）解：将图形分割成两个全等的梯形。
S组=（7-2+7）×2÷2×2=24（平方厘米）例2：下列两个正方形边长分别为8厘米和5厘米，求阴影部分面积。
解：将图形分割成3个三角形。
S=5×5÷2+5×8÷2+（8-5）×5÷2=12.5+20+7.5=38（平方厘米）例3：左图中两个正方形边长分别为8厘米和6厘米。
求阴影部分面积。
解：将阴影部分分割成两个三角形。
S阴=8×（8+6）÷2+8×6÷2=56+24=80（平方厘米）二、添辅助线例1：已知正方形边长4厘米，A、B、C、D是正方形边上的中点，P是任意一点。
求阴影部分面积。
解：从P点向4个定点添辅助线，由此看出，阴影部分面积和空白部分面积相等。
S阴=4×4÷2=8（平方厘米）例2：将下图平行四边形分成三角形和梯形两部分，它们面积相差40平方厘米，平行四边形底20.4厘米，高8厘米。
梯形下底是多少厘米？解：因为添一条辅助线平行于三角形一条边，发现40平方厘米是一个平行四边形。
所以梯形下底：40÷8=5（厘米）例3：平行四边形的面积是48平方厘米，BC分别是这个平行四边形相邻两条边的中点，连接A、B、C得到4个三角形。
求阴影部分的面积。
解：如果连接平行四边形各条边上的中点，可以看出空白部分占了整个平行四边形的八分之五，阴影部分占了八分之三。
S阴=48÷8×3=18（平方厘米）三、倍比法例1：已知OC=2AO,SABO=2㎡，求梯形ABCD的面积。
解：因为OC=2AO，所以SBOC=2×2=4（㎡）SDOC=4×2=8（㎡）SABCD=2+4×2+8=18（㎡）例2：已知S阴=8.75㎡，求下图梯形的面积。
八年级数学秘籍-活用几何基本图形,解题事半功倍(原卷版)
活用几何基本图形，解题事半功倍几何题目图形千变万化，但有一些经典图形经常在这些题目里直接或间接到的出现. 因此，灵活掌握和运用这些图形是学好几何的必备技能.一、基本图形1. “8字”形B2. 双垂直C结论：∠CAD=∠CBE；结论：∠A=∠BCD，∠B=∠ACD；D结论：∠CAD=∠CBE.3. 与角平分线有关的三个重要结论（1）双内角平分线BC条件：∠1=∠2，∠3=∠4，结论：∠BOC =90°+∠A ；12证明：∠A +∠ABC +∠ACB =180°，∠BOC +∠2+∠4=180°，即：∠A +2∠2+2∠4=180°，∠2+∠4=90°－∠A ，12∴∠BOC =180°－（∠2+∠4）=90°+∠A ；12（2）一内角平分线，一外角平分线C 条件：∠1=∠2，∠3=∠4，结论：∠O =∠A ；12证明：∠4=∠2+∠O ，2∠4=2∠2+∠A ，可得：∠O =∠A ；12（3）双外角平分线条件：∠1=∠2，∠3=∠4，结论：∠BOC =90°－∠A ；12证明：∠A +∠ABC +∠ACB =180°，∠BOC +∠2+∠4=180°，即：∠A +180°－2∠2+180°－2∠4=180°，∠2+∠4=90°+∠A ，12∴∠BOC =180°－（∠2+∠4）=90°－∠A ；124.四边形外角∠1与∠2是四边形ABCD 的外角，结论：∠1+∠2=∠A +∠B ；5.飞镖模型BC∠BOC =∠A +∠B +∠C6. 与面积相关C如上图所示，D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点结论：图中，S △AOF = S △AOE = S △BOF = S △COE =S △BOD = S △COD二、典例解析【例1-1】（安徽淮南月考）如图，BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP =50°，则∠A =( ).A ．60°B ．80°C ．70°D ．50°【例1-2】（平原县月考）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＋∠D ＝α，∠ABC 的平分线与∠BCD 的平分线交于点P ，则∠P ＝( )A ．90°－αB ．90°＋αC ．αD ．360°－α121212【变式1-1】（陕西西安·高新一中月考）已知，如图，∠XOY =90°，点A 、B 分别在射线OX 、OY 上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B移动发生变化，请求出变化范围．【变式1-2】（武城县月考）如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D．（1）若∠ABC=75°，∠ACB=45°，求∠D的度数；（2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由．【例2-1】（广东模考）如图所示，∠的度数是（ ）A．10°B．20°C．30°D．40°【例2-2】（霍林郭勒市月考）如图1所示，称“对顶三角形”，其中，∠A＋∠B＝∠C＋∠D利用这个结论，完成下列填空.(1)如图(2)，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝；(2)如图（3），∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝；(3)如图（4），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝；(4)如图（5），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝．【变式1-1】（1）如图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系： ；（2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝ 度；（3）如图3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明．【变式1-2】（广东广州月考）如图，已知BC与DE交于点M，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为_______．【例3】（安徽淮南月考）某零件如图所示，图纸要求∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，当检验员量得∠BDC=145°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？【变式3-1】（山西盐湖期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A=40°，则∠ABX+∠ACX等于多少度；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC=133°，∠BG1C=70°，求∠A的度数．【变式3-2】（山东岱岳期末）如图1六边形的内角和为度，如图2123456∠+∠+∠+∠+∠+∠m 六边形的内角和为度，则________．123456∠+∠+∠+∠+∠+∠n m n -=【例4】（唐山市月考）如图所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别是BC ，AD ，CE 的中点，S △ABC =4平方厘米，则S △BEF 的值为（ ）A ．2平方厘米B ．1平方厘米C ．平方厘米D ．平方厘米1214【变式4-1】（山东历下期中）如图，△ABC 的面积为．第一次操作：分别延长，，至点1AB BC CA ，，，使，，，顺次连接，，，得到△．第二次1A 1B 1C 1A B AB =1B C BC =1C A CA =1A 1B 1C 111A B C 操作：分别延长，，至点，，，使，，，11A B 11B C 11C A 2A 2B 2C 2111A B A B =2111B C B C =2111C A C A =顺次连接，，，得到△，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020，最少经过多少2A 2B 2C 222A B C 次操作（ ）A ．B ．C ．D ．4567【变式4-2】（台州市月考）在四边形ABCD 中，P 是AD 边上任意一点，当AP = AD 时，与12PBC S 和 之间的关系式为：________________；一般地，当AP = AD （n 表示正整数）时，ABC S DBC S △1n 与和之间关系式为：________________．PBC S ABC S DBC S △【例5】（庆云县月考）探究与发现：（探究一）我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图①，∠FDC与∠ECD分别为ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系，并证明你探究的数量关系．（探究二）三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图②，在ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠A与∠P的数量关系，并证明你探究的数量关系．（探究三）若将ADC改成任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论直接写出∠A+∠B与∠P的数量关系 ．【变式5-1】（河南宛城月考）问题情景：如图1，中，有一块直角三角板放置在上ABC ∆PMN ABC ∆（点在内），使三角板的两条直角边恰好分别经过点和点．试问与P ABC ∆PMN PM PN 、B C ABP ∠是否存在某种确定的数量关系？ACP ∠（1）特殊探究：若，则________度，_________度，50A ︒∠=ABC ACB ∠+∠=PBC PCB ∠+∠=_________度；ABP ACP ∠+∠=（2）类比探索：请探究与的关系；ABP ACP ∠+∠A ∠（3）类比延伸：如图2，改变直角三角板的位置；使点在外，三角板的两条直角PMN P ABC ∆PMN 边仍然分别经过点和点，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论．PM PN 、B C【变式5-2】（吉林宽城期末）将三角形纸片沿折叠，使点落在点处．ABC DE A 'A （感知）如图①，若点落在四边形的边上，则与之间的数量关系是'A BCDE BE A ∠1∠．（探究）如图②，若点落在四边形的内部，则与之间存在怎样的数量关系？'A BCDE A ∠12∠+∠请说明理由．（拓展）如图③，若点落在四边形的外部，，，则的大小为 'A BCDE 180∠=︒224∠=︒A ∠度．三、习题专练1. （安徽淮南月考）如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝_____．2．（惠州市光正实验学校月考）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC 与∠BCD 的平分线的交点E 恰好在AD 边上，则∠BEC =（ ）A ．∠A +∠D ﹣45°B ．（∠A +∠D ）+45°12C ．180°﹣（∠A +∠D ）D ．∠A +∠D 12123.（山东潍坊期末）如图，点D 是△ABC 的边BC 的延长线上的一点，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，依此类推…，已知∠A ＝α，则∠A 2020的度数为_____．（用含α的代数式表示）．4．（信阳市月考）如图，BE 、CF 是△ABC 的角平分线，∠BAC =80°，BE 、CF 相交于D ，则∠BDC 的度数是_______．5．（惠州市月考）如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E =___________________度．6.（商城县月考）如图，△ABC的两个内角平分线相交于点P，过点P向AB，AC两边作垂直线l1、l2，若∠1=40°，则∠BPC=_________．7.（临沭县月考）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝_____．8.（霍林郭勒市月考）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2018为_____．9．（四川师范大学附属中学期中）如图，已知△ABC 中，∠A ＝60°，点O 为△ABC 内一点，且∠BOC ＝140°，其中O 1B 平分∠ABO ，O 1C 平分∠ACO ，O 2B 平分∠ABO 1，O 2C 平分∠ACO 1，…，O n B 平分∠ABO n ﹣1，O n C 平分∠ACO n ﹣1，…，以此类推，则∠BO 1C ＝_____°，∠BO 2017C ＝_____°．10．（重庆月考）如图，分别为四边形的边的中点，并且图中四个小,,,E F G H ABCD ,,,AB BC CD DA 三角形的面积之和为，即，则图中阴影部分的面积为____．112341S S S S +++=11．（江苏邗江期末）（1）如图1，AB ∥CD ，点E 是在AB 、CD 之间，且在BD 的左侧平面区域内一点，连结BE 、DE ．求证：∠E =∠ABE +∠CDE ．（2）如图2，在（1）的条件下，作出∠EBD和∠EDB的平分线，两线交于点F，猜想∠F、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．（3）如图3，在（1）的条件下，作出∠EBD的平分线和△EDB的外角平分线，两线交于点G，猜想∠G、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．12．（莆田月考）如图，点D为△ABC的边BC的延长线上一点．（1）若∠A∶∠ABC=3∶4，∠ACD=140°，求∠A的度数；（2）若∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点M，过点C作CP⊥BM于点P．试探究∠PCM与∠A的数量关系．13. （全国月考）如图，四边形ABCD中，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD = β．（1）如图①，若α＋β= 150°，求∠MBC＋∠NDC的度数；（2）如图①，若BE与DF相交于点G，∠BGD = 30°，请写出α、β所满足的等量关系式；（3）如图②，若α = β，判断BE 、DF 的位置关系，并说明理由．14.（贵州赫章期末）数学问题：如图，在中，的等分线分别交ABC 20,,A ABC ACB ∠=∠∠ 2020于点根据等分线等分角的情况解决下列问题：12102020,,.....,,,O O O O 2020（1）求的度数．1BO C ∠（2）求的度数．3BO C ∠（3）直接写出的度数．2020BO C ∠15.（山西月考）综合与实践：阅读下面的材料，并解决问题．（1）已知在中，，图1，图2，图3中的的内角平分线或外角平分线都交于点ABC ∆60A ∠=︒ABC ∆，请直接写出下列角的度数如图1，_________；如图2，_________；如图O O ∠=O ∠=3，_________；如图4，，的三等分线交于点，，连接，则O ∠=ABC ∠ACB ∠1O 2O 12O O _________．21BO O ∠=（2）如图5，点是两条内角平分线的交点，求证：．O ABC ∆1902O A ∠=︒+∠（3）如图6，在中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，ABC ∆ABC ∠ACB ∠1O 2O 1115∠=︒，求的度数．2135∠=︒A ∠16.（福建永安期末）（1）如图1．在△ABC 中，∠B =60°，∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，则∠O = °，（2）如图2，若∠B =α，其他条件与（1）相同，请用含α的代数式表示∠O 的大小；（3）如图3，若∠B =α，，则∠P = （用含α的代数式11,PAC DAC PCA E n n AC ∠=∠∠=∠表示）．17.（重庆市璧山区青杠初级中学校初二期中）如图，在△ABC 中，已知于点D ，AE 平分AD BC ⊥()BAC C B ∠∠>∠（1）试探究与的关系；EAD ∠C B ∠∠、（2）若F 是AE 上一动点，当F 移动到AE 之间的位置时，，如图2所示，此时FD BD ⊥的关系如何？EFD C B ∠∠∠与、（3）若F 是AE 上一动点，当F 继续移动到AE 的延长线上时，如图3，，①中的结论是否FD BC ⊥还成立？如果成立请说明理由，如果不成立，写出新的结论.。
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例 4，已知：△ABC 中，D 是 BC 的中点，E 是
AD 的中点，延长 CE 交AB 于
F．求证：AF=1BF
2
分析 1：本题要证明的结论 AF=1BF 是线段之
2
间的比例关系，所以条件中给出的 BD=CD，AE=DE
也可以看作是相比的两线段，即BD= 1，AE=1，
CD ED
这样就出现了线段之间的比例关系，所以首先应
进行描图，搞清楚比例线段之间的位置关系，
经过描图可以发现 AF 和 BF，BD 和 CD，AE 和
DE 这三组相比线段都重叠在一直线上，所以可应用
或添加平行线型相似三角形进行证明，
添加的方法是过端点和内分点作平行线，所以
首先要选取过端点或内分点的线段为平行方向线段，
现在重叠的相比线段有三组，所以从选取哪一
组来进行讨论，就有三种可能性，
若选取 AF、BF 这一组相比线段开始进行讨论，则两个端点是 A、B，内分点是F，
图形中过 A、B、F 的线段分别是 AC、AE(或 AD)、BD(或 BC)、FE(或 FC)，所以选取平行方向线段就出现了四种可能性，对每一种可能性来说，平行线可分别过另两个点作，所以又出现了两种可能性，所以总共可以有 8 种可供选择的可能情况，对此可分别予以讨论，
由于 BD、AE 是与条件有关的性质，所以可先行进行讨论，而且一定可以完。