排列组合概率与算法
排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法
排列组合n选m，组合算法——0-1转换算法（巧妙算法）C++实现知识储备排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示计算公式：注意：m中取n个数，按照一定顺序排列出来，排列是有顺序的，就算已经出现过一次的几个数。
只要顺序不同，就能得出一个排列的组合，例如1,2,3和1,3,2是两个组合。
组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
用符号 C(n,m) 表示。
计算公式：注意：m中取n个数，将他们组合在一起，并且顺序不用管，1,2,3和1,3,2其实是一个组合。
只要组合里面数不同即可组合算法本算法的思路是开两个数组，一个index[n]数组，其下标0~n-1表示1到n个数，1代表的数被选中，为0则没选中。
value[n]数组表示组合的数值，作为输出之用。
?首先初始化，将index数组前m个元素置1，表示第一个组合为前m 个数,后面的置为0。
?然后从左到右扫描数组元素值的“10”组合，找到第一个“10”组合后将其变为?“01”组合，同时将其左边的所有“1”全部移动到数组的最左端。
一起得到下一个组合（是一起得出，是一起得出，是一起得出）重复1、2步骤，当第一个“1”移动到数组的n-m的位置，即m个“1”全部移动到最右端时；即直到无法找到”10”组合,就得到了最后一个组合。
组合的个数为：例如求5中选3的组合：1 1 1 0 0 --1,2,3?1 1 0 1 0 --1,2,4?1 0 1 1 0 --1,3,4?0 1 1 1 0 --2,3,4?1 1 0 0 1 --1,2,5?1 0 1 0 1 --1,3,5?0 1 1 0 1 --2,3,5?1 0 0 1 1 --1,4,5?0 1 0 1 1 --2,4,5?0 0 1 1 1 --3,4,5代码如下：#include iostreamusing namespace std;void Show(int ,int index[],int value[]);bool judge(int,int ,int index[]);void change(int ,int ,int index[],int value[]);int main()int i,n,m;cout"请输入元素个数：";cout"请输入选多少元素:";int index[n]={0},value[n]; --index务必初始化为0，不然无法知道m个数之后里面是真还是假for(i=0;in;i++)value[i]=i+1;--此处是赋初值,以1,2,3,4,5为例，当然任何数字都可以change(n,m,index,value);return 0;void Show(int n,int index[],int value[])for(i=0;in;i++)if(index[i]) ?coutvalue[i]" ";coutendl;bool judge(int n,int m,int index[])for(i=n-1;i=n-m;i--)if(!index[i]) ?return false;return true;void change(int n,int m,int index[],int value[]) ?--核心算法函数int i,j,num=0;for(i=0;im;i++)index[i]=1;Show(n,index,value); --第一个组合while(!judge(n,m,index)) ?--只要没使1全部移到右边，就继续循环for(i=0;in-1;i++) ?--注意是n-1,因为i=n-1时，i+1是不存在的 --找到10，变成01if(index[i]==1index[i+1]==0)index[i]=0;index[i+1]=1;--将01组合左边的1全部放在数组最左边int count=0;for(j=0;ji;j++)if(index[j])index[j]=0;index[count++]=1;Show(n,index,value); ?--输出cout"共有"num"种"endl;quadquad 当a=b=1a=b=1a=b=1时，(a+b)n=2n=∑i=0nCni(a+b)^n=2^n=sum_{i=0}^nC_n^i(a+b)n=2n=∑i=0n?Cni?；--- param name="n"Int32类型的正整数-paramx = int( (ws-2) - (self.w-2) )#距屏幕左边框的像素点数②n个元素被分成K类，每类的个数分别是n1,n2,…,nk这n个元素的全排列数为n!-(n1!xn2!x…xnk!)。
组合数定理
组合数定理组合数定理是组合数学中的一个重要定理，它在排列组合问题的解决中起到了至关重要的作用。
本文将介绍什么是组合数定理、其重要性以及如何运用组合数定理解决实际问题。
首先，让我们来了解什么是组合数。
组合数是指从n个不同元素中取出r个元素（r≤n），不考虑元素的顺序，所组成的集合的个数。
用数学符号表示，组合数记作C(n, r)或者(nCr)。
组合数定理告诉我们，组合数可以通过以下公式计算出来：C(n, r) = n! / (r!(n-r)!)其中，n!表示n的阶乘，即n的所有正整数的乘积。
例如，5! =5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120。
组合数定理的重要性体现在以下几个方面：1. 组合数定理在概率论中的应用。
在计算概率时，有时需要计算从一个集合中选取特定数量的元素的可能性。
组合数定理提供了一种快速计算这种可能性的方法。
2. 组合数定理在组合优化中的应用。
组合优化是研究将元素排列或组合以获得最佳结果的一门学科。
组合数定理可以帮助寻找最优解的算法设计和解决问题。
3. 组合数定理在计算机科学中的应用。
在算法设计和分析中，我们经常需要计算从一个集合中选择特定数量的元素的可能性，以确定算法的复杂性。
组合数定理为计算这些可能性提供了有效的解决方法。
除了上述重要性之外，组合数定理还可以用于求解实际问题。
例如，在搭配衣服时，我们希望知道从若干种颜色中选择m种颜色进行搭配的可能性。
这时可以使用组合数定理来计算搭配的可能性。
另一个例子是在排列球队时，我们希望知道从n个球队中选择r个球队进行比赛的可能性。
同样，组合数定理可以帮助我们计算出这种选择的可能性。
综上所述，组合数定理是组合数学中重要的定理之一。
它不仅在理论研究中有着重要的地位，而且在实际问题的解决中也起到了指导作用。
通过运用组合数定理，我们可以更准确、高效地解决排列组合问题。
希望本文能为读者提供一些指导意义，帮助他们更好地掌握组合数定理的应用。
排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法
排列组合算法基本概念从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
当m=n时所有的排列情况叫全排列。
P(n,m)=n(n-1).(n-m+1)=n!-(n-m)! 特别的，定义0!=1组合数公式是指从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
用符号c(n,m) 表示。
c(n,m)=p(n,m)-m!=n!-((n-m)!*m!)3、计算公式排列算法递归算法#include stdio.hvoid swap(int *a, int *b)void perm(int list[], int k, int m)for(i = 0; i = m; i++)printf("%d ", list[i]);printf("");for(i = k; i = m; i++)swap(list[k], list[i]);perm(list, k + 1, m);swap(list[k], list[i]);int main()int list[] = {1, 2, 3, 4, 5};perm(list, 0, 4);printf("total:%d", n);return 0;template typename Tinline void swap(T* array, unsigned int i, unsigned int j) T t = array[i];array[i] = array[j];array[j] = t;* 递归输出序列的全排列void FullArray(char* array, size_t array_size, unsigned int index)if(index = array_size)for(unsigned int i = 0; i array_size; ++i)cout array[i] ' ';for(unsigned int i = index; i array_size; ++i)swap(array, i, index);FullArray1(array, array_size, index + 1);swap(array, i, index);#include "iostream"using namespace std;void permutation(char* a,int k,int m)if(k == m)span style="white-space:pre"-spanfor(i=0;i=m;i++) span style="white-space:pre"-spancouta[i]; coutendl;for(j=k;j=m;j++)swap(a[j],a[k]);permutation(a,k+1,m);swap(a[j],a[k]);int main(void)char a[] = "abc";couta"所有全排列的结果为："endl;permutation(a,0,2);system("pause");return 0;}#include "iostream"#include "algorithm"using namespace std;void permutation(char* str,int length)sort(str,str+length);for(int i=0;ilength;i++)coutstr[i];coutendl;}while(next_permutation(str,str+length));int main(void)char str[] = "acb";coutstr"所有全排列的结果为："endl;permutation(str,3);system("pause");return 0;}--- 求从数组a[1.n]中任选m个元素的所有组合。
排列组合 算法
排列组合算法排列组合是离散数学中一个重要的分支，它涉及到如何把不同的对象按照一定的方式排列，或者从中选取一部分进行组合。
在实际应用中，排列组合算法广泛应用于组合优化、图论、概率论等领域，例如计算机网络中路由算法、混合可拆卸矩阵的生成等等。
本文主要介绍排列组合算法的概念、分类、应用以及相关算法的实现。
概念排列组合此概念涉及到的数学知识包括阶乘、组合数等。
概括而言，排列指的是将不同的元素按照特定的排列方式排列，而组合指的是从一个集合中不可重复地选取若干个元素。
具体来说，排列就是从 n 个元素中有放回地选取 r 个，按照特定的顺序排列的数列总数。
其公式为：$A_n^r=n(n-1)(n-2)...(n-r+1)$。
而组合则是从 n 个元素中不可重复地选取 r 个元素的不同方案数。
其公式为：$C_n^r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$。
分类排列组合可以按照不同的维度进行分类，下面简要介绍几种常见的分类。
按照元素去重当元素有重复时，排列组合的计算方式也会不同。
此时我们需要分别考虑多个元素排序的可能性（即拥有相同值的元素之间的顺序可以不同导致方案总数增加），以及重复元素导致的方案总数减少。
按照排列方式排列方式主要包括有放回、无放回。
- 有放回：每次选出一个元素后，将其放回。
意味着下一次选取和上一次选取的方案是相互独立的。
而在无放回方式中，每次选取一个元素后，会将元素从集合中移除，因此下一次选取的方案会受到上一次选取方案的影响。
- 无放回：每次选出的元素都不会被放回集合中。
如果元素不重复，则无放回方式的总方案数就是组合总数，即 $C_n^r$。
当元素有重复时，我们需要分别考虑多个元素排序的可能性，以及重复元素导致的方案总数减少。
按照算法实现方式根据以上方式，我们可以得出一系列的排列组合计算方法，它们的实现方式也各有不同。
下面我们介绍几种常见的算法实现方式。
递归算法递归算法是一种常见的实现方式，用于求解组合数和排列数。
排列组合的生成算法
2.组合的生成： 递归 由上一个组合生成下一个组合
program zuhe; const n=6;m=4; var a:array[0..m] of integer; i,j:integer; procedure print; var i:integer; begin for i:=1 to m do write(a[i]); writeln; end; procedure try(dep:integer); var i:integer; begin for i:=a[dep-1]+1 to n-(m-dep) do begin a[dep]:=i; if dep=m then print else try(dep+1); end end; begin a[0]:=0; try(1); end.
字典序法 按照字典序求下一个排列的算法 例字符集{1,2,3},较小的数字较先,这样按字典序生成的 全排列是:123,132,213,231,312,321。 生成给定全排列的下一个排列 所谓一个全排ห้องสมุดไป่ตู้的下一个排列就是这一个排列与下一个排列之间没有其他的排列。 这就要求这一个排列与下一个排列有尽可能长的共同前缀，也即变化限制在尽可能短的后 缀上。 （1）求满足关系式pj-1<pj的j的最大值，设为i，即 i=max{j| pj-1<pj} （2）求满足关系式pi-1<pk的k的最大值，设为j，即 j=max{k| pi-1<pk} （3）将pi-1与pj互换 （4）将互换后的排列，从i开始到n之间的数逆转。
下一个组合的概念 给定集合S={1,2,…,n}，如何找出S的所有k—组合？ 因为组合无顺序，所以对S的任何一个k—组合{a1a2…ak}，我们恒假定a1<a2<…<ak． 在这个假定下恒有ai≤n－k+i，并称n-k+i为ai的最大值． 设{a1a2…ak} 和{b1b2…bk}是S的两个不同的k—组合．如果(a1a2…ak)(b1b2…bk)， 并且不存在异于{a1a2…ak}和{b1b2…bk}的k—组合{c1c2…ck}，使得 (a1a2…ak) (c1c2…ck) (b1b2…bk) 则称{b1b2…bk}为{a1a2…ak} 的下一个组合． 组合生成算法： 步骤1 置{a1a2…ak}={1,2,…,k}； 步骤2 设已有一个k—组合{a1a2…ak}． 置i：=k： ① 若ai<n－k+i,则令 bi=ai+1 bj+1=bj+1，j=i, i+1, …,k-1 并置 {a1a2…ak}:={a1a2…ai-1bibi+1…bk} 返回步骤2； ② 若ai=n-k+i： 如果i>1，置i：=I－1，返回①; 如果i=1，终止． 这样，所有k—组合即可数遍．
排列组合的基本概念与应用
排列组合的基本概念与应用排列组合是组合数学中的一个重要概念，广泛应用于数学、统计学、计算机科学等领域。
本文将介绍排列组合的基本概念，并探讨它在实际问题中的应用。
一、排列与组合的概念1.1 排列排列是从一组元素中选择若干个元素按照一定的顺序排列而成的，不同顺序即为不同的排列。
设有n个元素，若从中选取m（m≤n）个元素排列，则称为从n个元素中选取m个元素的排列数，通常表示为P(n,m)。
排列数的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!其中，"!"表示阶乘，即n! = n×(n-1)×(n-2)×...×2×1。
1.2 组合组合是从一组元素中选择若干个元素而成的无序集合，不同选择方式即为不同的组合。
设有n个元素，若从中选取m（m≤n）个元素组合，则称为从n个元素中选取m个元素的组合数，通常表示为C(n,m)。
组合数的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! × (n-m)!)二、排列组合的应用2.1 数学中的应用排列组合在数学中有广泛的应用，例如概率论、统计学、组合数学等。
在概率论中，排列组合被用于计算事件的可能性；在统计学中，排列组合可以用于计算样本的排列方式；在组合数学中，排列组合被用于解决组合问题。
2.2 信息学竞赛中的应用排列组合在信息学竞赛中也是一个重要的概念，往往与计数问题有关。
在信息学竞赛中，经常会出现一些需要计算排列组合数的问题，比如从一组数中选取若干个数进行计算，或者对字符串进行排序等。
了解排列组合的基本概念和计算方法，能够帮助竞赛选手更好地解决这类问题。
2.3 实际问题中的应用排列组合在实际问题中也有广泛的应用。
举例来说，假设有一个班级里有10个学生，要从中选出3个学生组成一个小组，那么这个问题就是一个排列组合问题。
计算组合数可以得到答案，即C(10,3) = 120，表示共有120种不同的选组方式。
排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法
排列组合1. 排列组合公式quad排列与组合二者的区别，排列计较次序而组合不计序。
quad从n从n从n个不同物件随机取rrr个物件，记排列数和组合数分别为AnrA_n^rAnr?和CnrC_n^rCnr?，则：Anr=n(n?1)?(n?r?1)=n!(n?r)!Cnr=Anrr!=n!r!(n?r)!begin{aligned}amp; A_n^r=n(n-1)cdots(n-r-1)=frac{n!}{(n-r)!}amp; C_n^r=frac{A_n^r}{r!}=frac{n!}{r!(n-r)!}end{aligned}Anr=n(n1)(nr1)=(nr)!n!Cnr=r!Anr=r!(nr)!n!quad注:Anr(n≥r≥1)A_n^r(ngeq r geq 1)Anr?(n≥r≥1)，Cnr(n≥r≥0)C_n^r(ngeq r geq 0)Cnr?(n≥r≥0)，0!=10!=10!=1，Cn0=1C_n^0=1Cn0?=12. 二项式及公式推广quad二项式展开公式为：(a+b)n=∑i=0nCniaibn?i(a+b)^n=sum_{i=0}^nC_n^ia^ib^{n-i}(a+b)n=i=0∑n?Cni?aibn?iquad系数CnrC_n^rCnr?常称为二项式系数。
由(a+b)n=(a+b)?(a+b)?n(a+b)^n=underbrace{(a+b)cdots(a+b)}_{n} (a+b)n=n(a+b)?(a+b)?，若独立nnn次实验从{a，b}{a，b}{a，b}中取数，则有CniC_n^iCni?种情况取到iii个aaa、n?in-in?i个bbb，故aibn?ia^ib^{n-i}aibn?i项的系数为CniC_n^iCni?。
quad(1) ∑i=0nCni=2nsum_{i=0}^n C_n^i=2^n∑i=0n?Cni?=2n quadquad 当a=b=1a=b=1a=b=1时，(a+b)n=2n=∑i=0nCni(a+b)^n=2^n=sum_{i=0}^nC_n^i(a+b)n=2n=∑i=0n?Cni?；quad(2)Cm+nk=∑i=0kCmiCnk?iC_{m+n}^k=sum_{i=0}^kC_m^iC_n^{k-i}Cm+n k?=∑i=0k?Cmi?Cnk?i?quadquad 因为(1+x)m+n=(1+x)m(1+x)n(1+x)^{m+n}=(1+x)^m(1+x)^n(1+x)m+n=(1+ x)m(1+x)n，即∑j=0m+nCm+njxj=(∑j=0mCmjxj)?(∑j=0nCnjxj)sum_{j=0}^{m+n}C _{m+n}^jx_j=(sum_{j=0}^mC_m^jx_j)cdot(sum_{j=0}^nC_n^jx_j)∑j=0m+n?Cm+nj?xj?=(∑j=0m?Cmj?xj?)?(∑j=0n?Cnj?xj?)，由等式两边同幂项系数相同知Cm+nk=∑i=0kCmiCnk?iC_{m+n}^k=sum_{i=0}^kC_m^iC_n^{k-i}Cm+n k?=∑i=0k?Cmi?Cnk?i?。
小学数学排列组合
排列数公式： P(n,m)=n!/(n-m)!
排列的特点：有 序性、无重复性
排列的应用：解 决实际问题，如 排队问题、组合 问题等。
组合的定义
组合是指从n个 不同元素中取 出r个元素，不 考虑顺序
组合数表示为 C(n, r)，表示 从n个元素中取 出r个元素的组 合数
组合数的计算 公式为C(n, r) = n! / (r!(n-r)!)
注意事项：n和r均为正整数， 且n>=r
组合数公式
公式：C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
定义：组合数C(n, k)表示 从n个元素中选取k个元素的 组合数
性质：C(n, k) = C(n, n-k)
应用：解决实际问题，如分 配问题、选择问题等
排列组合的性质和定理
排列组合的定义：从n个不同元素中取出r个元素进行排列，称为排列；从n个不同元素 中取出r个元素进行组合，称为组合。
增强团队协作能力：在数学竞 赛中，学生需要与队友合作， 共同解决问题，这有助于培养
他们的团队协作能力。
04
排列组合的解题技 巧和方法
排列组合的解题思路
分析问题：明确 题目要求，找出 需要排列或组合
的元素
确定方法：选择 合适的解题方法，
如列举法、图解 法、公式法等
解题步骤：按照 解题方法进行计
算，得出答案
数？
组合问题：如何计算 n个元素的组合数？
排列组合的应用：如 何解决实际问题中的
排列组合问题？
排列组合的性质：如 何理解排列组合的性
质？
排列组合的解题技巧： 如何掌握排列组合的
解题技巧？
答案解析
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复习排列、组合的定义及排列数和 组合数的计算
一、基本内容 1、计数原理：加法原理(分类)与乘法原理(分步) 使用原则：先分类后分步 应用示例 流量问题等\染色、花坛问2）排列数与组合数
公式：Anm=
Cnm=
注意问题：(1) 上下标的特点 (2)定义值 (3)排列 数与组合数性质；必胜429页例1、2
2、概率及其计算
1)等可能事件的概率计算方法
2)几何概型的计算方法
3)条件概率及其计算
4)连续型随机事件的概率的计算：积分
3、基本公式
1)古典概率
PA m
n
2)互斥事件的概率 PA B PA PB
3)相互独立事件的概率 PAB PAPB
4)对立事件的概率 PA1 PA
5)条件概率
PA
|
B
PAB PB
4)、某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个
数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有
（ ）个
Ａ C216 2 A140Ｂ
A226 A140
Ｃ C216 2104Ｄ A22610 4
A
5)、用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复
数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）个
（A）288（B）240（C）144（D）126 B
2)系数问题：(1)二项式系数及其性质
3)整除与余数问题问题 4)近似问题
附：排列数组合数部分性质：
1
Anm
nAnm11
n m 1
Anm1
An2
Am2 n2
Ann Amm
n! m!
Cnm
Amm
n, m N , n m
2 n 1! n 1 n! n n!n! n n! n 1!n!
C3n 21
n
2
A
2 3
A
2 4
A
2 5
A1200
3、 解 方 程 ：1 3A3x
2A 2x 1
6A
2 x
2
C3x6 18
C4x2 18
4、 解 不 等 式：1A9x 6A9x-2
2C4x
C
6 x
5、
证
明
：1 A
m n 1
A
m n
mAmn 1
2
m n
1 1
Cm1 n 1
n
n m
n
6)离散型随机变量数学期望 E xi pi
i 1
二项分布： Bn, p中E np
7）离散型随机变量的方差：D
n
x i
E 2
p i
i 1
二项分布： Bn, p中D npq
8）正态分布
Nu, 2
u
N0,1
二、基本问题与方法
一)、概率问题
1）古典概率：PA m 中m,n 的标准一致→等
(4)9933的个位和十位数分别是______
例6、若 1
10
2 ab
2,则a ___,b ____.
概率与分布列
1、复习古典概率、条件概率、几何概 型的有关概念与计算方法
2、复习分别列的特征与求法以及随机 变量的期望与方差的数学含义和求法
一、基本内容
1、几个概念
随机事件、必然事件、不可能事件、等可能事件、 互斥事件、互为独立事件、随机变量、离散型随 机变量及其概率分布、连续型随机变量及其概率 分布曲线、期望、方差、均方差、两点分布与成 功概率、超几何分布、二项分布、正态分布与正 态曲线及其表达式特点
C mn 1
6、满足Cnn5
C3 n2
2C 2 n2
n 2的n
___
2、排列组合应用题
1)、从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、 星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有 2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不 同的选派方法共有（ ）
A．40种 B．60种 C．100种 D．120种B
3、二项式定理的应用
例1、求和：1 3C122
9C142
27C162
3 C 6 12 12
例2、1
1 x2
3
2 x
5
的常数项为________
A1=1
2( 1 2 x)n 的常数项为70，则n _______ Q=4
x 例3、求证：n n 2 1
n
例4、
已
知
等
比
数
列a
n
的
首
项
是
x
1 5x2
5
展开
式
的
常
数
项
，
公
比
为m 24
C
2m8 4m
A
m 4
,
Sn
为
数
列{a
n
}的
前n项和.求C1nS1
C2nS2
C
n n
Sn
例5、1求证：32n2 8n 9能被64整除
2
求C127
C2 27
C
27 27
除
以9的
余
数
3求0.9986 的 近 似 值 ， 使 误 差 小 于0.001.
例2、证明：
1if i, n, m Z ,1 i m n then ni Ami mi Ani
21
1 2!
1 3!
1 n!
2
1 2n1
练习：
1、用排列数表示55 n56 n 69 n n N且n 55
可 为 _____.
2、计算：1
2A85 7A84
8！- A
5 9
C38n 3n
An11 1!
An2 2 2!
Anm m m!
C m1 n m 1
二、基本问题与方法
1、排列数与组合数的计算
例1、计算下列各式的值
1C91 2C92 3C93 9C99
2 C91 4C92 7C93 22C98 25C99
3 2Cn1 22Cn2 6 4Cn3 n 2 n Cnn
2)、5位同学报名参加两个课外活动小组，每位 同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共 有（ ）
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种D
3)、记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，
要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同
的排法共有（ ）
Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种B
3
n
n
1!
n 1
n 1!
n
1
1!
1 n!
n
1
1!
4 1 Cnm Cnnm
2 Cnm1 Cnm Cnm1
特例：Cnn Cnn1 Cnn2 Cnnm
Cn0 Cn11 Cn22
Cnmm
C m1 n m 1
Ann
Ann1
Annn
An 2 n 1
An0 0!
如：An6-n+Cn2n-5= 2）计数原理与排列组合应用问题 排列问题：(1) “在”与“不在”
(2) “邻”与“不邻”问题 (3) “定序” 组合问题: (1)分堆问题 (2)几何问题
排列与组合综合：分配问题.原则：先组合后排 列
3、二项式定理
(a+b)n= 原理：
引申：多项式
1)特殊项问题：展开式的通项式、最大(小)项、 系数最大(小)项、二项式系数最大(小)项等 注意：特殊项的名称如有理项、常数项等