2016年高中数学多元函数求最值问题专题

多元函数求最值问题
一.【问题背景】
多元函数是高等数学中的重要概念之一，但随着新课程的改革，高中数学与大学数学知
识的衔接，多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现，因其技巧性强、难
度大、方法多、灵活多变而具有挑战性，成为最值求解中的难点和热点。同时，多元函数最
值问题中蕴含着丰富的数学思想和方法，而且有利于培养学生联想、化归的解题能力。因此，
怎样求多元函数的最值，是师生们非常关注和必须解决的问题，也是高考考生们必须具备的
解题技能。

二.【常见的方法】
导数法、消元法、均值不等式法（“1”代换）、换元法（整体换元 三角换元）、数形结
合法、柯西不等式法、向量法等
主要思想方法：数形结合、化归思想等

三.【范例】

例1：已知实数,xy满足0xy，且2xy≤，则213xyxy的最小值为 。
方法一 因为422xy≥，所以


2121
4()()[(3)()]332333322xyxyxyxyxyxyxyxyxyxy≥

≥
当且仅当221,322xy取等号，故213xyxy的最小值3224
【评注】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数，
再用单调性或基本不等式求解，二是直接用基本不等式，因已知条件中既有和的形式，又有
积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过不等式的途径进行。

方法二 利用不等式222ababpqpq≥，引证：

记向量(,),(,)abxypqpq，因为222xyxy≤

所以 222ababpqpq≥，则 2212132xyxyxy≥3224≥
【评注】在求有些多元函数的最值时，恰当构造向量模型，利用向量数量积的性质，常可使
复杂问题变得简单明了，使繁琐的解题显得巧妙自然。
方法三 因为 0,2xyxy≤，所以 01y

又因为 2121332222211yxyxyyyyy≥
2

113228246(3)3yy
≥
当且仅当221,322xy取等号

【评注】该解法利用条件将不等式放缩后，通过消元，转化为一元函数，再用基本不等式求
解。
方法四 因为 2xy≥，

所以 211133221322xyxykkxyxyxyxykk≥，其中ykx

记 111322kkgkkk，0,1k
因为 22228404246kkgkkk，令 0gk，得 4257k

由于 gk在425(0,)7上递减，在425(,1)7上递增
故 min425322()74gkg，
所以 213xyxy的最小值3224
【评注】该解法充分体现了数学中的消元思想，将二元函数的最值转化为一元函数的最值，
从而利用导数研究函数最值，但在处理过程中充分考虑变量的取值范围，否则容易出错。

例2： 已知任意非零实数x，y满足3x2＋4xy≤λ(x2＋y2)恒成立，则实数λ的最小值为____．

方法一：依题可得

222222
34344xxyxxyxy≤

因为,xy均不为0，故22234xxyxy≤4，所以 4≥
【评注】关注各项系数，直接利用基本不等式放缩，构思巧妙。

方法二：因为,xy均不为0，所以
2
22
2

34341()yxxyxyxyx

≥

令ytx，则 2341tt≥，记 2341tftt，由导数法可知
因为 1,4ft，所以 4≥
【评注】利用消元思想，转化为函数最值，用导数法解决，是通解通法。
方法三：因为

222
34xxyxy≤
所以 22(3)40xxyy≥

当3时，则 2340yxy≥显然不成立
当3时，同除2y得 2(3)()40xxyy≥
故 3016430≤ 解得 4≥
【评注】利用消元思想，转化为不等式恒成立问题，通过“”法解决，但此法局限于二次
问题。

变式练习：22222xxymxy≤对于一切正数,xy恒成立，则实数m的最小值为 。

例3：设实数,,abc满足221abc≤≤，则abc的最小值为 。
方法一：因为
22cab≥ 所以 22
abcabab≥

22
111
()()222ab

故 abc的最小值为12
【评注】根据条件进行放缩，利用配方法解决问题。
方法二：因为
22cab≥ 所以 22
abcabab≥

又因为 222()2abab≥ 故 222()2ababcababab≥≥

2
11
122ab




故 abc的最小值为12
【评注】根据条件进行放缩，关注到基本不等式，同时有整体配方思想。
方法三：换元法 令 cos,cos,0,1arbrr


22
2

2
2
2

cossin2sin()421sin()sin()2424abcababrrrrr







≥

故 abc的最小值为12
【评注】通过换元，利用三角函数的有界性解决问题。
变式练习：已知,,xyzR，且2221,3xyzxyz，则xyz的最大值是 。527

例4：已知正实数,ab满足2291ab，则
3abab
的最大值为 .
方法一：利用不等式
22
2112xyxy


≤
可得

2
2
22191132323baab

abba


≤
，则 3abab的最大值为212

【评注】直接利用基本不等式解决问题。
方法二：由
22
91ab
可得 16ab≤，则

因为 323abab≥，此两处取号时均为3ab
故 123122323236ababababab≤≤
【评注】两次运用基本不等式，注意等号成立的条件。

方法三：因为
2
22

22
2

2

()()1116139616(3)9()ababab
abababab
ababab

由 2291ab可得 16ab≤，则 21372abab≤，
所以 3abab的最大值为
2
12

方法四：令
3sin,cos,(0,)
2
ab

，则 1sincos33sincosabab

令 sincos,(1,2]tt，则 21sincos2t
于是
1sincos11()33sincos6ab
t

abt
，

由于函数1fttt在区间1,2上递增，故当2t时，取最大值
2
12

四．巩固练习
1.设实数6n，若不等式08)2(2nxxm对任意2,4x都成立，则nmnm344的
最小值为 .803
2．已知max32,42,16Mxxyy，则M的最小值为 。1910
3.已知 1,1,,,222cbacbaRcba，则a的最小值为___________。13
4.已知na是等差数列，若221510aa≤，则56789aaaaa的最大值是 ．25

5．ABC的三边长分别为,,abc，并满足abc≤≤，记min,bcKab，则K的取值

范围是 。511,2