第六章均匀平面波的反射和透射
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电磁场与电磁波期末复习知识点归纳
哈密顿算子：矢量微分算子（ Hamilton、nabla、del ）
ex
x
ey
y
ez
z
★ 标量场的梯度
gradu u u xˆ u yˆ u zˆ ( xˆ yˆ zˆ)u x y z x y z
★ 矢量场的散度计算公式：
divA＝ • A Ax Ay Az x y z
1
2=∞ nˆ • D1 s
nˆ E1 0 nˆ B1 0
nˆ H1 Js
2、理想介质表面上 的边界条件
1=0
2=0
nˆ • (D1 D2) 0 nˆ (E1 E2 ) 0
nˆ B1 B2 0
nˆ H1 H2 0
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
静电场中: E 0
圆柱坐标和球坐标的公式了解:
Bx By Bz
圆柱坐标系中的体积微元: dV=(d)(d)(dz)= d d dz
分析的问题具有圆柱对称性时可表示为：dV=2ddz
球坐标系中的体积微元: dV=(rsind)(rd)(dr)
分析的问题具有球对称性 时可表示为:
=r2sindrdd dV=4r2dr
★ 标量场的等值面方程 u x, y, z 常数C
程的解都是唯一的。这就是边值问题的唯一性定理
◇ 唯一性定理的意义：是间接求解边值问题的理论依据。
● 镜像法求解电位问题的理论依据是“唯一性定理”。
点电荷对无限大接地导体平面的镜像
z
r1
P
q h
r r2 介质
x
h
介质
q
点电荷对接地导体球面的镜像。
P
r
a
r2
o θ q
d
’d
第六章-平面波详解
E exEx ey Ey
两个分量可以表示成为
Ex
E e jkz jx xm
Ey
E e jkz jy ym
第六章 平面波
合成场矢量E可以写为
E ex Exme jkz jx ey Eyme jkz jy
瞬时值表达式分别为
Ex Exm cos(t kz x ) Ey Eym cos(t kz y ) E ex Exm cos(t kz x ) ey Eym cos(t kz y )
E2
1 4
E02e2az
第六章 平面波
平均磁能密度：
wav,m
1 4
H
2
1 4
E02
2
f
e2az
1 4
E02
e2
az
1 ( )2
总的平均能量密度：
wav
wav,e
wav,m
1 4
E02e2
z
1 4
E02e2
z
1 ( )2
1 4
E E
Ex2
E
2 y
Em
合成场矢量E与x轴正方向的夹角α为
arctan
Ey Ex
arctan
sin(t cos(t
x x
) )
(t
x
)
圆极化波有左旋和右旋之分，规定如下：
将大拇指指向电磁波的传播方向，其余四指指向电
第六章 平面波
场矢量E矢端的旋转方向，若符合右手螺旋关系，则 称之为右旋圆极化波；
电磁场与电磁波(第4版)第6章部分习题参考解答
G
G E(z)
G
=
eGx100e− j(β z+90D )
+
G ey
200e− jβ z
由 ∇ × E = − jωμ0H 得
G H
(z)
=
−
1 jωμ0
∇×
G E(z)
=
−
1 jωμ0
⎡ ⎢
G ex
⎢∂
⎢ ⎢
∂x
G ey ∂ ∂y
G ez ∂ ∂zຫໍສະໝຸດ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥=
−
1 jωμ0
G (−ex
∂Ey ∂z
G (1) 电场 E = 0 的位置；(2) 聚苯乙烯中 Emax 和 Hmax 的比值。
解：(1)
令
z
'
=
z
−
0.82
，设电场振动方向为
G ex
，则在聚苯乙烯中的电场为
G E1 ( z
')
=
G Ei
(z
')
+
G Er
(z
')
=
G −ex
j2Eim
sin
β
z
'
G 故 E1(z ') = 0 的位置为 β z ' = −nπ, (n = 0,1, 2,")
G ex
G × Ei (x)
G = ez
1
− j2 πx
e3
12π
A/m
G
G
(2) 反射波电场 Er 和磁场 Hr 的复矢量分别为
G Er (x) =
G
j2 πx
−ey10e 3
G V/m ， Hr (x)
谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)课后习题-第6章 均匀平面波的反射与透射【圣才出品】
第6章 均匀平面波的反射与透射（一）思考题6.1 试述反射系数和透射系数的定义，它们之间存在什么关系？答：（1）反射波电场振幅E rm与入射波电场振幅E im的比值为分界上的反射系数；透射波电场振幅E tm与入射波电场振幅E im的比值为分界面上的透射系数。
（2）反射系数Γ和透射系数τ之间的关系为：6.2 什么是驻波？它与行波有何区别？答：频率和振幅均相同，振动方向一致，传播方向相反的两列波叠加后形成的波叫驻波。
行波在介质中传播时，其波等相面随时间前移，而驻波的波形不向前推进。
6.3 均匀平面波垂直入射到两种理想媒质分界面时，在什么情况下，反射系数大于0？在什么情况下，反射系数小于0？答：均匀平面波垂直入射到两种理想媒质分界时，当时，反射系数Γ＞0；当时，反射系数Γ＜0。
6.4 均匀平面波向理想导体表面垂直入射时，理想导体外面的合成波具有什么特点？答：均匀平面波向理想导体表面入射时，理想导体外面的合成波具有特点如下：合成波电场和磁场的驻波在时间上有的相移，在空间上也错开了且在导体边界上，电场为零。
驻波的坡印廷矢量的平均值为零，不发生电磁能量的传输过程，仅在两个波节之间进行电场能量和磁场能量的交换。
6.5 均匀平面波垂直入射到两种理想媒质分界面时，在什么情况下，分界面上的合成波电场为最大值？在什么情况下，分界面上的合成波电场为最小值？答：当均匀平面波垂直入射到两种理想媒质分界面时，的位置时，分界面上的合成波电场为最大值。
的位置时，分界面上的合成波电场为最小值。
6.6 一个右旋圆极化波垂直入射到两种媒质分界面上，其反射波是什么极化波？答：右旋圆极化。
6.7 试述驻波比的定义，它与反射系数之间有什么关系？答：驻波比的定义是合成波的电场强度的最大值与最小值之比，即6.8 什么是波阻抗？在什么情况下波阻抗等于媒质的本征阻抗？答：在空间任意点，均匀平面波的电场与磁场强度的模值之比称为自由空间的波阻抗，在均匀无耗各向同性的无界媒质中，均匀平面波的电场与磁场的模值之比称为媒质中的阻波抗。
第六章均匀平面波的反射与透射
t 4 t 0
t 2
y t 2
x
t 4 2
t 0
y
t 3
t
4
x
4
3 4
t 7 4
t 3 2
t 4 t 0
t 2
1. 对于确定的时间 t ，总场在空间成正余弦分布，在 kx nπ 处，电场恒定为零，而磁场
jk1x
ez
Emi
1
1 e jk1x
2
j cos k1x
E2 Et ey Emi e jk2x
H2
=
Ht
ez
Emi
1
e jk2x
S
E1 max
1
E1 min 1
总场是行驻波
S 1 S 1
1
电子工业出版社
第六章 均匀平面波的反射与透射
电磁波的传播与分布问题除了与基本方程 有关外，还与边界条件密切相关
6.1 均匀平面波对分界面的垂直入射
6.1.1 均匀平面波对理想导体分界面的垂直入射
y
Ei ey Emi e jkx
Ei
ki
Hi
Hi
ez
Emi
e jkx
x
O
假设电场方向不变，而磁场方向反向
幅度为最大值；在 kx nπ π 处，磁场恒定为零，而电场幅度为最大值，电场和磁场的 2
零点以及最大值点相差 。 4
2．对于固定的空间位置，电场和磁场随时间是震荡变化的，但相位相差 π 。 2
3．总场的平均坡印廷矢量为
Sav
1 2
第6章--3 全反射 全折射 (1)分析
条件： sinc 1，要求 2 1 ，电磁波由光密媒质入射到光疏媒质。
电磁场
第6章 平面电磁波的反射与折射
2. 对全反射的进一步讨论 θ i <θc 时，不产生全反射。
2
1 c
θ i =θc 时，
sint
1 2
sin c
1
t 90o
R// R 0
透射波沿分界面方向传播，没有沿z 方向传播的功率，并且反
电磁场
例6.3-2
第6章 平面电磁波的反射与折射
1 0,2 2.250, 1 2 0
布儒斯特角θb ：使平行极化波的反射系数等于0 的角。
电磁场
第6章 平面电磁波的反射与折射
➢ 反射系数为零，发生全折射现象，对应的入射角称为布儒斯特角：
B sin1
2 时， 1 2
➢全折射现象只有在平行极化波的斜入射时才会发生；
电磁场
二、全反射与临界角
第6章 平面电磁波的反射与折射
问题：电磁波在理想导体表面会产生全反射，在理想介质表面也 会产生全反射吗？
概念：反射系数的模等于 1 的电磁现象称为全反射。
条件：（非磁性媒质，即 1 2 0 ）
电磁场
第6章 平面电磁波的反射与折射
1.全反射的条件
由折射定律可知：
sint 11 sini 22
E E e R E e jk1( xsin1z cos1)
jk1 ( xsin1 z cos1 )
1
i0
i0
E (e e e ) jk1(xsin1z cos1) i0
j 2 jk1 ( xsin1 z cos1 )
2Ei0 cos(k1z cos1 )e j(k1xsin1 )
电磁场
第6章 平面电磁波的反射与折射
2. 对全反射的进一步讨论 θ i <θc 时，不产生全反射。
2
1 c
θ i =θc 时，
sint
1 2
sin c
1
t 90o
R// R 0
透射波沿分界面方向传播，没有沿z 方向传播的功率，并且反
电磁场
例6.3-2
第6章 平面电磁波的反射与折射
1 0,2 2.250, 1 2 0
布儒斯特角θb ：使平行极化波的反射系数等于0 的角。
电磁场
第6章 平面电磁波的反射与折射
➢ 反射系数为零，发生全折射现象，对应的入射角称为布儒斯特角：
B sin1
2 时， 1 2
➢全折射现象只有在平行极化波的斜入射时才会发生；
电磁场
二、全反射与临界角
第6章 平面电磁波的反射与折射
问题：电磁波在理想导体表面会产生全反射，在理想介质表面也 会产生全反射吗？
概念：反射系数的模等于 1 的电磁现象称为全反射。
条件：（非磁性媒质，即 1 2 0 ）
电磁场
第6章 平面电磁波的反射与折射
1.全反射的条件
由折射定律可知：
sint 11 sini 22
E E e R E e jk1( xsin1z cos1)
jk1 ( xsin1 z cos1 )
1
i0
i0
E (e e e ) jk1(xsin1z cos1) i0
j 2 jk1 ( xsin1 z cos1 )
2Ei0 cos(k1z cos1 )e j(k1xsin1 )
第六章-平面电磁波的反射和透射
z=0分界面处的反射系数
0
E1r 0 E1i 0
Z2 (0) 1 Z2 (0) 1
上式中的Z2(0)表示区域2中z=0处的等效波阻抗：
Z2 (0)
2
3 2
j2 j3
tan k2d tan k2d
区域2和区域3中的入射波电场振幅为
E2i 0
1
1 0 e j2k2d
E e jk2d 1i 0
E3i 0
H1i
H1r
ey
1
1
(E1i0e jk1z
E1r0e jk1z )
区域2(0≤z≤d)中的合成电磁波：
E2
E2i
E2r
ex [E2i0e jk2 ( zd )
E e ] jk2 ( zd ) 2r0
H2
H2i
H2r
ey [E2i0e jk2 ( zd )
E e ] jk2 ( zd ) 2r0
区域3(z≥d)中的合成电磁波：
E1m 2 1 Eim 2 1
E2m 22 Eim 2 1
6.1.27 6.1.28
反射系数和透射系数的关系为
1
区域Ⅰ(z<0)中任意点的合成电场强度和磁场强度可表示为
E1 Ei Er ex Eim (e j1z e j1z ) ex Eime j1z (1 e j21z ) ex Eim[(1 )e j1z (e j1z e j1z )]
驻波系数：S Emax 1 Emin 1
因为Γ=-1~1，所以ρ=1~∞。 当|Γ|=0、ρ=1时，为行波状态，
区域Ⅰ中无反射波，因此全部入射波功率都透入区域Ⅱ。
E2 Et exTEi0e jk2z
H2
Ht
ch6 均匀平面波的反射与透射
定义分界面上的反射系数Γ为反射波电场的振幅与入射波电
场振幅之比、透射系数τ为透射波电场的振幅与入射波电场振幅
之比，则
讨论：
1 (E E ) 1 E 1 im rm 2 tm
Eim Erm Etm
Erm 2 1 Eim 2 1
Etm 22 Eim 2 1
2
在分界面z=0 上，电场与磁场均为该平面的切向分量。媒质为 无耗媒质，有 ，电场强度和磁场强度切向分量连续，即
E1 (0) E2 (0) H1 (0) H 2 (0)
1 (E E ) 1 E im rm tm
1 2
Eim Erm Etm
第六章 均匀平面波的反射与透射
第六章 均匀平面波的反射与透射
媒质2中的透射波：
j 2 z E2 ( z ) Et ( z ) ex Etme Et ( z ) Etm j 2 z H 2 ( z ) H t ( z ) ez ey e
2 2 2 2 2 , 2 2
第六章 均匀平面波的反射与透射
合成波电场振幅（ > 0）
E1 ( z ) Eim e j1z e j1z Eim 1 e j 2 1z Eim 1 2 2 cos(21 z )
当β1z=－nπ，即z=－nλ1/2 (n=0,1,2,…)时，有
E1 ( z )
媒质1中的合成波： E1 ( z ) Ei ( z ) Er ( z ) ex Eim (e j1z e j1z ) Eim j1z H1 ( z ) H i ( z ) H r ( z ) e y (e e j1z )
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2020/10/31
第6章 均匀平面波的反射与透射
10
§6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射 （2）合成波的特点
入射波
合成波
反射波
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电场强度
磁场强度
第6章 均匀平面波的反射与透射
11
§6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射
合成波的特点： 零点位置（波节点）和最大值位置（波腹点）固定 两相邻波节点之间任意两点的电场同向。同一波节
点两侧的电场反向 电场和磁场在空间和时间上都相差/2相位 平均坡印廷矢量为零，无电磁能量传输，只有相邻
波节内的电磁能量转换。
这样的波称为纯驻波。
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第6章 均匀平面波的反射与透射
12
§6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射
例1：一均匀平面波沿 方向传播，其电场强度矢 量为
（1）求相伴的磁场 （2）若在传播方向上 处，放置一无限大的理想 导体平板，求区域 中的 和 。 （3）求理想导体板表面的电流密度。
2020/10/31
第6章 均匀平面波的反射与透射
28
§6.3 均匀平面波对理想介质分界平面的斜入射
y
z
z=0
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第6章 均匀平面波的反射与透射
17
§6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射 （2）合成波的特点
这种由行波和纯驻波合成的波称为行驻波
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第6章 均匀平面波的反射与透射
18
§6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射 >0，即 η2 > η1
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第6章 均匀平面波的反射与透射
19
§6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射
<0，即
η2<η1
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第6章 均匀平面波的反射与透射
20
§6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射 （3）驻波比（驻波系数）S
S是工程上常用的技术指标，用于描述电磁波从一 种媒质（或器件）进入另一种媒质（或器件）时反 射波的大小，反映了两种媒质或器件的阻抗关系。
7
§6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射
讨论：（1）和是分界面上反射波和透视波电场与入 射波电场的复振幅之比。 （2）和是复数，表明反射波和透射波的振幅 和相位与入射波都不同。
（3）若1= 0，2 =，则变成理想介质与理想 导体分界面上的公式。
（4）若1= 2 =0，则变成两理想介质分界面上 的公式。
§6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射
例2.入射波电场
，从
空气（ ）中正入射到 的平面边界面上，对
区域
， ，求区域2的电场 和 磁场。
解：
区域，本征阻抗
透射系数
x
媒质1：1, 1,1 0 r Hr Hi Si
y Ht
St
z
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1 ≤S ≤
S=1,电磁波是行波，没有反射波，阻抗匹配
S=，行波是纯驻波，反射波最大，全反射
S越大，驻波分量越大，行波分量越小，阻抗失配
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第6章 均匀平面波的反射与透射
21
§6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射 （4）能量守恒
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第6章 均匀平面波的反射与透射
22
解：(1)为了运算方便，用复数表示
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第6章 均匀平面波的反射与透射
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§6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射 得写成瞬时表达式
(2)反射波的电场为 反射波的磁场为
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第6章 均匀平面波的反射与透射
14
§6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射
在区域 z <0 的合成波场
z=0
第6章 均匀平面波的反射与透射
23
§6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射 相位常数
故
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第6章 均匀平面波的反射与透射
24
§6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射
例3.已知媒质1的
的、
、
为2.4V /m ，
(1) 和
(2)反射系数
(3)1区的电场
(4)2区的电场
、 、 ，媒质2 。垂直入射波电场大小 ，求：
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第6章 均匀平面波的反射与透射
5
§6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射 媒质2中的透射波：
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第6章 均匀平面波的反射与透射
6
§6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射 分界面上电场强度和磁场强度切向分量连续：
反射系数 透射系数
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第6章 均匀平面波的反射与透射
(3)理想导体表面电流密度为
因此
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第6章 均匀平面波的反射与透射
15
§6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射 3. 理想介质与理想介质的分界面
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第6章 均匀平面波的反射与透射
16
§6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射 （1）反射系数和透射系数
媒质 1：
x
媒质 2：
解：1）
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第6章 均匀平面波的反射与透射
25
§6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射 2）
3）设电场方向为
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第6章 均匀平面波的反射与透射
26
§6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射 或
4） 式中，
，故
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第6章 均匀平面波的反射与透射
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§6.1 均匀平面波对分界面的垂直入射 §6.3 均匀平面波对理想介质分界平面的斜入射
1. 导电媒质与导电媒质的分界面 x
媒质1： 1, 1,1 媒质2： 2 , 2 , 2
Ei Hi
Si
Et Ht
St
Sr
y
z
Er Hr
z=0
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第6章 均匀平面波的反射与透射
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§6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射 媒质1中的入射波：
媒质1中的反射波：
媒质1中的合成波：
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第6章 均匀平面波的反射与透射
1
反射
折射
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第6章 均匀平面波的反射与透射
2
内容提要
§6.1 均匀平面波对分界面的垂直入射 §6.3 均匀平面波对理想介质分界平面的斜入射
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第6章 均匀平面波的反射与透射
3
§6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射
2020/10/31
第6章 均匀平面波的反射与透射
8
§6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射
2. 理想介质与理想导体的分界面
（1）反射波振幅x
媒质
媒质
1：
2：
y
z
z=0
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第6章 均匀平面波的反射与透射
9
§6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射 分界面上感应电流
媒质1中的能量传播