弹性力学主要内容

1、弹性力学的研究对象、内容及范围弹性力学是研究在外界因素（外力、温度变化）的影响下，处于弹性阶段的物体所产生的应力、应变及位移。

弹性力学的研究对象为一般及复杂形状的构件、实体结构、板、壳等。

2、弹性力学的基本假设（即满足什么样条件的物体是我们在弹性力学中要研究的）（1）均匀性假设即物体是由同一种材料所组成的，在物体内任何部分的材料性质都是相同的。

（用处：物体的弹性参数，如弹性模量E，不会随位置坐标的变化而变化）（2）连续性假设即物体的内部被连续的介质所充满，没有任何孔隙存在。

（用处：弹性体的所用物理量均可用连续的函数去表示）（3）完全弹性假设即当我们撤掉作用于物体的外力后，物体可以恢复到原状，没有任何的残余变形；应力（激励）与应变（响应）之间呈正比关系。

（用处：可以使用线性虎克定律来表示应力与应变的关系）（4）各向同性假设即物体内任意一点处，在各个方向都表现出相同的材料性质。

（用处：物体的弹性参数可以取为常数）（5）小变形假设即在外力的作用下，物体所产生的位移和形变都是微小的。

（用处：可以在某些方程的推导中略去位移和形变的高阶微量）3、弹性力学的基本量表1 直角坐标表示的各种基本量情况4、两类平面问题的概念（1）平面应力问题（应力是平面的；变形是空间的）如图所示薄板，其z 方向的尺寸比其他两个方向上的尺寸小得多；外力和体力都平行于板面，并且沿着板的厚度没有变化，这样的问题称为平面应力问题。

（2）平面应变问题若物体在z 方向的尺寸比在其他两个方向上的尺寸大得多，如图所示很长的坝体，外力及体力沿着z 方向没有变化，则这类问题称为平面应变问题。

（3）两类平面问题的一些特征空间问题的基本未知量共有8个，每个基本未知量仅仅是坐标(),x y 的函数。

表2 两类平面问题的一些特征5、平面问题的基本方程平面问题的基本方程包括：（1）平衡方程；（2）几何方程；（3）物理方程 平面问题的基本量有8个，分别是：3个应力分量：x σ、y σ、xy τ； 3个形变分量：x ε、y ε、xy γ； 2个位移分量：u 、v（1）平衡方程平衡方程描述的是体力分量与应力分量之间的关系0yxx x f x y τσ∂∂++=∂∂； 0xy y y f x yτσ∂∂++=∂∂ 上述平衡方程对于平面应力问题和平面应变问题均适用 （2）几何方程几何方程描述的是形变分量与位移分量之间的关系x uxε∂=∂；y v y ε∂=∂；xy v u x y γ∂∂=+∂∂（3）物理方程物理方程描述的是形变分量与位移分量之间的关系平面应力问题的物理方程为： 平面应变问题的物理方程为：()1x x y E εσμσ=- 211x x y E μμεσσμ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭ ()1y y x E εσμσ=- 211y y x E μμεσσμ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭xy xy γτ= xy xy γτ=6、平面问题的边界条件弹性力学问题的边界条件，简单的说就是用来描述弹性体边界上所受的外部作用。

这个外部作用可以是面力的作用，也可以是对位移的约束，也可以是两者的综合作用。

因此对于弹性体的每一条边而言，其边界条件为如下三种类型的其中一种：（1）位移边界条件若在弹性体的全部边界s 上给定了位移分量u 和v ，则位移边界条件为：u u = ； v v =（2）应力边界条件若在弹性体的全部边界s 上给定了面力分布x f 、y f ，则应力边界条件为：()()x xy x s sl m f στ⋅+⋅=()()xy y y ssl m f τσ⋅+⋅=（3）混合边界条件若在弹性体的部分边界上1s 给定了位移分量u 和v ，另外一部分边界2s 上给定了面力分量x f 、y f ，则混合边界条件为：在1s 上： u u =；v v =在2s 上： ()()x xy x s s l m f στ⋅+⋅=；()()xy y y s s l m f τσ⋅+⋅=（4）圣维南原理及其对边界条件的简化对于弹性体的边界而言，如果能在所有的边界上都可以找到精确满足以上三种类型之一的边界条件是最好不过的情况了。

因为这个时候我们就可以通过求解基本方程来了解弹性体中任意位置处的应力、应变和位移。

但是对于具体的问题来说，要想使得每条边上的边界条件得到完全满足是非常困难的。

边界条件得不到完全的满足，就意味着我们得不到弹性体内任意位置处的精确解。

既然得不到任意位置处的精确解，那么就要考虑是否能在弹性体内部的大部分区域获得精确的结果。

为实现这一目的，人们需要找到一种方法去处理不能完全满足边界条件的弹性体边界。

而法国学者圣维南，就是成功找到了处理方法之一的牛人。

圣维南所提出的处理方法，是针对应力边界条件的。

他于1855年提出了这样一种说法：如果将分布在物体的某个小部分边界上的面力，替换为与原来的面力分布方式不同但是静力等效的另外一种面力，那么，由于进行了这种替换而在弹性体内部所产生的影响，只局限于这一小部分边界附近的局部区域，对于远离这一小部分边界的区域，替换所产生的影响可以忽略不计。

7、平面问题中的应力分析（1）过弹性体中某点的任一斜截面（该斜截面的法线方向与x 轴夹角的余弦为l ；与y 轴夹角的余弦为m ）上的正应力N σ、剪应力N τ的计算公式：222N x y xy l m l m σσστ=⋅+⋅+⋅⋅⋅ ()()22N y x xy l m l m τσστ=⋅⋅-+-⋅（2）弹性体中任一点处的主应力1σ和2σ可由下式求得：12x y x σσσσ+=±（3）主应力1σ和2σ与x 轴的夹角1α和2α可由下式求得：11xxy tg σσατ-= ； 221xy xy y xtg ττασσσσ==--- （1σ的方向与2σ的方向互相垂直）二、平面问题的直角坐标解答前面我们主要建立了平面问题的基本方程。

对于平面问题而言，基本方程包括2个平衡方程、3个几何方程和3个物理方程。

这8个方程对应着8个未知量（3个应力分量：x σ、y σ、xy τ；3个应变分量：x ε、y ε、xy γ；2个位移分量：u 、v ）。

弹性力学要解决的平面问题，简单说就是研究在不同的边界条件下如何求解这8个未知量。

本部分就是研究在平面直角坐标系下，求解这8个未知量的方法。

【通常的求解方法】 （体力是坐标的函数）------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1、按位移求解平面问题（位移法）[详见书p33 图2-19]位移法的解题思想：以位移分量(),u v 作为基本未知量，由一些只包含位移分量的微分方程和边界条件求解出位移分量。

位移分量求出来之后，利用几何方程求出形变分量，进而将形变分量代入物理方程求出应力分量。

按位移法求解平面问题（平面应力问题），位移分量(),u v 必须满足下列全部条件：（1）用位移表示的平衡方程222222222222110122110122x y E u u v f x y x y E v v u f y x x y μμμμμμ⎛⎫∂-∂+∂+++= ⎪-∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫∂-∂+∂+++= ⎪-∂∂∂∂⎝⎭（2）用位移表示的应力边界条件22112112x sy s E u v u v l m f x y y x E v u v u m l f y x x y μμμμμμ⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂-∂∂⋅++⋅+=⎪⎢⎥ ⎪ ⎪-∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪⎬⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂-∂∂⎪⋅++⋅+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪-∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎭（3）位移边界条件()s u u =；()s v v =总结：按照位移法求解平面应力问题，就是要使得位移分量(),u v 满足（1）中的平衡方程，同时还要在边界上满足边界条件（视具体的边界而定需要满足应力边界or 位移边界or 两者兼有）。

在求出位移分量以后，即可利用几何方程求出形变分量，进而利用变换后的物理方程（应力用应变表示）求出应力分量。

当问题为平面应变问题时，注意应将上述方程中的 21E E μ→-；1μμμ→- 位移法求解平面问题的实质，就是求解满足上述平衡方程和边界条件的位移分量u 、v ，然后利用求解出的位移分量去求解形变分量（几何方程）和应力分量（物理方程）。

2、按应力求解平面问题（应力法）[详见书p37 图2-21]应力法的解题思想：以应力分量(),,x y xy σστ作为基本未知量，由一些只包含应力分量的微分方程和边界条件求解出应力分量，再利用物理方程求出形变分量，进而利用几何方程求出位移分量。

按应力求解平面问题（平面应力问题），应力分量(),,x y xy σστ必须满足下列全部条件：（1）平衡方程0yxx x f x y τσ∂∂++=∂∂ 0xy y y f xyτσ∂∂++=∂∂（2）相容方程()()22221y x x y f f x y x y σσμ∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂++=-++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭（3）应力边界条件()x yx x sl m f στ⋅+⋅= ()yxy y sm l f στ⋅+⋅=（4）对于多连体问题，还要考虑位移的单值条件。

应力法求解平面问题的实质，就是求解满足上述平衡方程、相容方程及边界条件的应力分量，然后利用求解出来的应力分量去求解形变分量（物理方程）和位移分量（几何方程）。

【特殊的应力法】对于单连体问题而言（在常体力情况下，利用应力法求解平面问题时可以使求解方法得到简化） ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 之前我们讨论的体力是坐标的函数，即构成弹性体的若干个微小单元体所受到的体力不是相同的。

非常体力情况下体力分量是分别关于x 、y 的函数（x f 、y f ）。

1、常体力情况：构成弹性体的若干个微小单元体所受到的体力均相同。

常体力情况下，体力分量是两个常数(),X Y2、在常体力情况下可以对问题进行简化的依据 常体力情况下，应力的相容方程为：()()222210xy X Y x y x y σσμ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂++=-++= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭即： ()22220x y x y σσ⎛⎫∂∂++= ⎪∂∂⎝⎭那么现在对于问题的求解就转化为求解下列方程的解：①平衡方程：0yxx x f x yτσ∂∂++=∂∂ 0xy y y f xyτσ∂∂++=∂∂②相容方程：()22220x y x y σσ⎛⎫∂∂++= ⎪∂∂⎝⎭③应力边界条件：()x yx s l m X στ⋅+⋅=；()y xy s m l Y στ⋅+⋅=上述方程中均不含有弹性参数（E 、μ），对于平面应力问题和平面应变问题均适用。