整式乘法的完全平方公式
第十四章 整式的乘法与因式分解
完全平方公式
知识回顾
2 2 ( a b )( a b ) a b 1.平方差公式：
即：两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差． 2.我们是怎样学习平方差公式的？
合作探究
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 2 2 p （ 2 p 1 ）; (1) ( p 1) ( p 1)( p 1)
2
2
；
第（2）题计算结果应改为 a 2 2ab b 2 ．
例题解析
例2 运用完全平方公式计算：
（1) 1022 ；
（2）992 ．
解：（1）1022 =(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10000+400+4 =10404；
（2) 992 =(100-1)2 =1002-2 ×100×1+12
=10000-200+1=9801．
• 强化练习 • 1）(4a+b)² • 2)(2x-1)² • （此题一题多解） • 1)（-2x+2y)² • 2)(-2a-b)²
课堂小结
1. 这节课你学到了哪些知识？
2．我们是怎样得到完全平方公式的？在运 用完全平方公式计算时要注意什么问题？
布置作业
思考
你能根据图14.2-2和图14.2-3中图形的面积说明 完全平方公式吗？
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
a a
图14.2-2
a
b
a
图14.2-3
b
例题解析
例1 运用完全平方公式计算：
（1）
(4m n)
2
；
1 2 （2） ( y ) ． 2
2 2 (4 m ) n n ＋ 2·(4m)· 解：（1）原式=
2 2 = 16m 8mn n ；
1、课本习题（ 熟练应用） 2、拓展练习，挑战自我 （a+b+c)² (3x-2y+c)²
2 2 (2) ( m 2) m 4m 4
;
;
2 2 ( p 1) ( p 1)( p 1) p (3) 2 p 1 2 2 (4) (m 2) m 4m 4
．
(a b) (a b)(a b) a 2ab b
1 2 1 （2）原式= y 2·y · ＋ ( 2 ) 2 1 2 y y = ． 4
2
小试牛刀
下列各式的计算错在哪里？应当怎样改正？
2 2 2 ； ( a b ) a b （1）
2 2 2 ( a b ) a b （2） ．
第（1）题计算结果应改为 a 2ab b
2 2
2
(a b)2 (a b)(a b) a 2 2ab b2
合作探究
归纳
完全平方公式： (a b) a 2ab b
2 2 2
(a b) a 2ab b
2 2
2
即两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和， 加上（或减去）它们的积的2倍．
完全平方公式在数学运算中的作用
完全平方公式在数学运算中的作用摘要：“完全平方公式”是初中数学中运用最广泛的公式，是代数运算的基础公式，在初中阶段的教学中具有重要地位，是进行代数运算与变形的重要知识基础。
运用这一公式可以迅速而简捷地计算出符合公式特征的多项式乘法的结果，不能乱套公式。
特别对于初学者来说，要通过具体的、学生易出错的例子让学生正确理解公式中的字母a和b的真正含义。
关键词：应用；基础公式；简捷；正确理解“完全平方公式”是初中数学中应用最广泛的公式，是代数运算的基础公式。
它在整式乘法、因式分解、分式运算及其他代数式的变形中起着十分重要的作用。
它是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应数学技能的重要内容；它是让学生感悟换元思想，感受数学的再创造性的好教材。
在初中阶段的教学中具有重要地位。
所以对这个公式的教学要求很高，需要每一名学生都必须熟练掌握这个公式，从而灵活运用公式。
但是，许多学生在学习这个公式后，仍对其来源、形成过程理解不透彻，对其结构形式记忆模糊，并未深刻领悟到公式的本质。
作为整式的乘法公式，北师大版教科书把完全平方公式安排在整式的乘除这一章的第六节，前五节先让学生掌握整式乘法的各项法则，当学生熟练掌握多项式与多项式的乘法后，再让学生利用多项式乘法法则计算，从而推导完全平方公式，并由找规律得出公式的猜想，再通过几何面积验证方法来验证公式猜想的正确性，从而由代数探究及几何论证来得出公式.完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。
重点是对完全平方公式的熟记及应用。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
运用这一公式可以迅速而简捷地计算出符合公式特征的多项式乘法的结果.但运用公式计算一定要看是否符合公式的特征，不能乱套公式。
特别对于初学者来说，要通过具体的、学生易出错的例子让学生正确理解公式中的字母a和b的真正含义。
在教学完全平方公式后反思学生中常见错误有：①学生难于跳出原有的定式思维，如典型错误；（错因：在公式的基础上类推，随意“创造”）②混淆公式与；③运算结果中符号错误；④变式应用对初学者来说更难于掌握.现结合教授完全平方公式的实践经验对完全平方公式作如下解析：一、概念理解完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2这就是说，两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或者减去)它们的积的2倍，这个公式叫做乘法的完全平方公式．公式的结构特征：左边是二项式的完全平方，右边是三项式．如果左边二项式各项分别用首项、尾项代表，那么右边三项可以记作：首平方，尾平方，首尾2倍乘积写中央；积的符号由二式项系数符号来确定，二项式系数符号同号，则积的符号为正；二项式系数符号异号，则积的符号为负，平方项前面均为正号.在运用完全平方公式（a±b）2 = a2±2ab+b2解题时，应注意掌握公式中各项的特征，明确公式中的“两数”的意义.在公式中，字母a，b可以表示一个具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式.例如：在运用公式（a-b）2 = a2-2ab+b2计算(-2b2-5a)2时“-2b2”就是公式中的a，“5a” 就是公式中的“b”.二、把握运用公式四步曲1.“察”：计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式的形式，则应运用相应乘法法则进行计算．2.“导”：正确地选用完全平方公式，关键是确定式子中a、b分别表示什么数或式．3.“算”：注意每步的运算依据，即各个环节的算理.4.“验”：完成运算后学会检验，既回过头来再反思每步的计算依据和符号等各方面是否正确无误，又可通过多项式的乘法法则进行验算，确保万无一失.三、掌握运用公式常规四变1.变符号例1.运用完全平方公式计算：（1）；（2）；方法一：把两式分别变形为：再用公式计算.方法二：把两式分别变形为：后直接用公式计算.方法三：把两式分别变形为：后直接用公式计算.2.变项数：例2.计算： .分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾.所以在运用公式时，可先变形为或[a+（b+c）] 或，再进行计算。
初中数学 完全平方公式的五种常见应用举例
完全平方公式的五种常见应用举例完全平方公式是整式乘法中最重要的公式之一在运用完全平方公式时，必须掌握一些使用技巧，才能灵活应用公式，其中包括“顺用”、“逆用”、“顺逆联用”，以及“特例应用”和“变形应用”等.下面举例说明.一、正用根据算式的结构特征，由左向右套用. 例1 计算22(23)m m -- 分析 本题是一个三项式的平方，可考虑将三项式中任意两项组合成一个整体，使其转化为一个二项式的平方，然后再运用完全平方公式便可以顺利求解.解 22(23)m m --22[(2)3]m m =--222(2)6(2)9m m m m =---+4322446129m m m m m =-+-++43242129m m m m =--++思考 本题中三项式转化为二项式的根据是什么?还有其它的方法吗? 二、逆用将公式逆向使用，即由右向左套用.例2 己知，，，则多项式20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+的值为( )222a b c ab bc ac ++--- (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3分析观察本题已知条件，直接代入求值困难.但换个角度仔细观察多项式的结构就不难发现，该多项式的2倍恰好是3个完全平方公式的右端，于是逆用完全平方公式，就可以得到，而，，的值可求，故本题巧妙得解.222()()()a b b c c a -+-+-a b -b c -c a -解 ∵20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+∴，，1a b -=-1b c -=-2c a -=∴222a b c ab bc ac ++---2221(222222)2a b c ab bc ac =++---2222221(222)2a ab b b bc c c ac a =-++-++-+2221[()()()]2a b b c c a =-+-+-2221[(1)(1)2]2=-+-+3=应选D.三、正逆联用根据已知条件和待求式特征，有正用、又逆用，即综合运用.例3 (全国初中数学竞赛试题)已知，且，则21()()()4b c a b c a -=--0a ≠b c a +.= 分析 欲求的值，则需要明与之间的等量关系.而题目中的已知条件刚好就b c a+b c +a 是、、之间的关系式，于是将条件等式进行化简变形，明确与之间的关系，a b c b c +a 应该是一条即常规又恰当的选择.解 由已知，得2()4()()b c a b c a -=--22224444b bc c ac bc ab a ∴-+=-+-2222(44)40b bc c ab ac a ∴++-++=22()4()40b c a b c a ∴+-++=把和分别看成一个“整体”，再逆用完全平方公式，得b c +2a 2[()2]0b c a +-=，20b c a ∴+-=2b c a+=.22b c a a a+∴== 四、特例应用在完全平方公式中，如果，那么222()2a b a ab b +=++0ab =222()a b a b+=+反之，若，则一定有.222()a b a b +=+0ab =例5 若满足，则.n 22(2017)(2019)4n n -+-=(2019)(2017)n n --= 分析 若设，，则很容易验证，这正好2017n a -=2019n b -=222()a b a b +=+符合上面完全平方公式特例.据此，本题迎刃而解.解 设，，2017n a -=2019n b -= 则，2()4a b +=又已知224a b +=∴222()a b a b+=+于是0ab =∴(2019)(2017)n n --=(2017)(2019)n n --0ab ==五、变形应用由完全平方公式，易得如下的两个最常见的变形公式:222()2a b a ab b ±=±+①2222()2()2a b a b ab a b ab+=+-=-+②22()()4a b a b ab-=+-(或)221[()()]4ab a b a b =+-- 活用上面变形公式，常常会使问题化难为易，取得奇妙的解题效果。
《完全平方公式》整式的运算
算2023-11-06CATALOGUE 目录•整式运算的基本概念•《完全平方公式》的推导与证明•《完全平方公式》在整式运算中的应用•《完全平方公式》的拓展与延伸•练习与思考01整式运算的基本概念整式单项式与多项式的统称，是基本的数学概念之一。
分类按项数可分为单项式和多项式，按次数可分为一次、二次、三次等。
整式的定义与分类加减法乘法除法多项式乘以多项式，按分配律展开，再合并同类项。
多项式除以多项式，转化为乘法，再合并同类项。
03整式的运算规则02 01合并同类项，系数相加减，字母及指数不变。
交换两个整式的顺序，结果不变。
整式的性质交换律结合两个整式的乘除法，结果不变。
结合律分配两个整式的乘除法，结果不变。
分配律02《完全平方公式》的推导与证明《完全平方公式》的推导过程运用多项式的展开与合并利用乘法分配律借助完全平方数的性质利用多项式的恒等变形拆项、分组、配方证明结论：两数平方和加上或减去两倍乘积，等于两倍乘积的和或差。
《完全平方公式》的证明方法《完全平方公式》的应用举例求解一元二次方程利用完全平方公式转化为一元一次方程求出方程的根•证明一些等式或不等式•利用完全平方公式进行恒等变形•证明等式或不等式成立•在整式的运算中，《完全平方公式》是一个非常重要的内容。
它不仅在求解一元二次方程中有着广泛的应用，还可以用于证明一些等式或不等式。
通过掌握《完全平方公式》的推导过程和证明方法，可以更好地理解整式的运算法则，提高数学运算能力。
03《完全平方公式》在整式运算中的应用完全平方公式可以简化整式乘法运算，提高计算效率。
总结词在整式乘法中，如果两个多项式相乘，我们可以通过将两个多项式的每一项分别相乘得到结果，然后合并同类项。
但是，如果使用完全平方公式，可以将两个多项式的乘积表示为另一个多项式，从而简化计算过程。
例如，$(a+b)(a^2+2ab+b^2)=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$，通过完全平方公式，我们可以快速得到结果。
整式乘法公式
整式乘法公式第五课时：完全平方公式和平方差公式一、公式及其变形1.完全平方公式：a+b)² = a² + 2ab + b² = a² - 2ab + b²2.平方差公式：a+b)(a-b) = a² - b²3.立方和公式和立方差公式：a+b)³ = a³ + b³ + 3ab(a+b)a-b)³ = a³ - b³ - 3ab(a-b)4.归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化：(x+y)(-y+x) = x-y②符号变化：(-x+y)(-x-y) = x-y③指数变化：(x+y)(x-y) = x² - y²④系数变化：(2a+b)(2a-b) = 4a² - b²⑤换式变化：[xy+(z+m)][xy-(z+m)] = xy - (z+m)² = xy - z²- 2zm - m²⑥增项变化：(x-y+z)(x-y-z) = (x-y)² - z² = x² - 2xy + y² - z⑦连用公式变化：(x+y)(x-y)(x+y) = (x-y)(x+y)² = x² - y²⑧逆用公式变化：(x-y+z)-(x+y-z) = [(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)] = 2x(-2y+2z) = -4xy+4xz二、公式的灵活运用的经典例题1.已知ab=1，a+b=2，求a²+b²的值。
解：根据完全平方公式，(a+b)² = a² + 2ab + b²，代入已知条件得到a²+b²=2²-2×1=2.2.已知ab=2，a+b=3，求a-b的值。
完全平方公式2
完全平方公式的使用： 完全平方公式的使用： 在做题过程中一定要注意符号问题和正确 认识a 表示的意义，它们可以是数、 认识a，b表示的意义，它们可以是数、也 可以是单项式还可以是多项式， 可以是单项式还可以是多项式，所以要记 得添括号。 得添括号。 解题技巧： 解题技巧： 在解题之前应注意观察思考， 在解题之前应注意观察思考，选择不同的 方法会有不同的效果，要学会优化选择。 方法会有不同的效果，要学会优化选择。
(a 解: (a+b+3) (a+b−3) −3 (a (a =[ (a+b) +3 ][ (a+b)− 3 ] =( a+b )2−( 3 )2 =a2 +2ab+b2 − 9.
温馨提示：将(a+b)看作一个 温馨提示： (a+b)看作一个 整体， 整体，解题中渗透了整体的 思想
合并同类项 平方差公式 单项式乘多项式.
观察 & 思考
解: (1) 方法一
完全平方公式
(x+3)2-x2 =x2＋6x+9-x2 6x+9=6x+9
(x+3)2-x2 =(x+3+x)(x+3=(x+3+x)(x+3-x) =(2x+3)·3=6x+9
学一学
三项能看成两项吗? ☾ 三项能看成b+3)(a-b-3) (1)(a-b+3)(a(2) (x-2)(x+2)-(x+1)(x-3) (x-2)(x+2)-(x+1)(x(3) (ab+1)2-(ab-1)2 (ab(4) (2x-y)2-4(x-y)(x+2y) (2x- 4(x-
北师大版七年级下册数学《第一章 整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解!
北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。
为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。
这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。
《完全平方公式》说课稿
《完全平方公式》说课稿（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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人教版八年级数学上册《公式法》整式的乘法与因式分解PPT精品课件
-1
1
-2
1×(-2)+1×(-1)=-3
(2)
1
-2
1
5
1×5+1×(-2)=3
解：(1) x2-3x+2=(x-1)(x-2)； (2) x2+3x-10=(x-2)(x+5).
随堂练习
x(x+2)(x+3)
1.（2019·淄博）分解因式：x3+5x2+6x=___________.
分析：x3+5x2+6x
(1)当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当
多项式的各项没有公因式时（或提取公因式后），若
符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解
因式；
(2)当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时，可
根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用
公式法的形式，再分解因式；
(3)当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公
因式提取出来，将多项式写成公因式与另外一个因式
的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
提公因式法一般步骤：
(1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指
数；
(2)提公因式并确定另外一个因式：用多项式除以公因
式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式；
1
2
=x(x2+5x+6)
1
3
=x(x+2)(x+3).
1×3+1×2=5
2.（2019·威海）分解因式：2x2-6x+4=__________.
2(x-1)(x-2)
冀教版七年级下册数学精品教学课件 第八章 整式的乘法 乘法公式 第2课时 完全平方公式 (2)
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
×
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 × (-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × (2x +y)2 =4x2+4xy +y2
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43. 7.已知x+y=8,x-y=4,求xy. 解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;
∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②; 由①-②得 4xy=48 ∴xy=12.
课堂小结
法则
完全平方 注 意 公式
＝1002－400＋4－1002＋1＝－395； (2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152
＝(2016－2015)2＝1.
例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求: (1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值. 解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，
(x－y)2＝x2＋y2－2xy， ∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
(2) 992. 992 = (100 –1)2
=13;1
=10404.
=9801.
方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟 记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全 平方公式的形式．
初中数学完全平方公式与整式的除法讲义
学科教师辅导讲义学员编号：年级：七年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第04讲---完全平方公式与整式的除法授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①理解完全平方公式，了解完全平方公式的几何背景，会灵活运用完全平方公式进行计算。
②掌握整式的除法法则，能够准确计算整式乘法的计算题；授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识框架二、知识概念（一）完全平方公式1、完全平方公式：222 ()2a b a ab b+=++222 ()2a b a ab b-=-+即两个数的和（或差）的平方，等于两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，这两个公式称为完全平方公式。
完全平方公式的特点：（1）两个公式的左边都是一个二项式的完全平方的形式，二者仅有一个“符号”不同；（2）两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项式中每一项的平方，中间一项是左边二体系搭建（3）公式中的a,b 可以是数，也可以是单项式或多项式。
（4）完全平方公式的变形公式：①()2222a b a b ab +=+- ②()2222a b a b ab +=-+③()2222()ab a b a b =+-+ ④22()()4a b a b ab +=-+ ⑤22()()4a b a b ab -=+-2、完全平方公式的几何意义①如右图2中，一方面大正方形面积为 2()a b +，另一方面大正方形面积可看做四个部分的面积之和，则有22222()2a b a ab ab b a ab b +=+++=++②如右图1中，左下角正方形面积为 2()a b -，另一方面它的面积可看做大正方形减去其余三块部分的面积，则有222()()()a b a a b b a b b b -=--•--•-=222a ab b -+3、完全平方公式的应用。
完全平方式：形如2()a b +或者2()a b -的叫做完全平方式。