乘法公式(完全平方公式)
完全平方公式--
的值
选择题 （1）如果x2+mx+4是一个完全平方公式， 那么m的值是（ ） c
A．4
B．-4
C．±4
D．±8
（2）将正方形的边长由acm增加6cm，则 正方形的面积增加了（ c ） A．36cm2 B．12acm2
C．（36+12a）cm2 D．以上都不对
4号题：
思考题：
1 已知： x 3 x 1 2 1 2 求： x 和 (x ) 2 x x
你知道（a+b+c）2是多少吗？ 代数方法：多项式×多项式 （a+b+c）2 =（a+b+c）（a+b+c）
= a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
你知道（a+b+c）2是多少吗？ 面积法：通过图形的拼合 a b c a b
c
所以有：（a+b+c）2 = 图形（2） 面积（1） 面积（2） 图形（1） =a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
(a－b)２=a2－2ab+b2
谐音记忆：
首平方，尾平方，2倍的首尾放中央，
符号与前一个样。
用完全平方公式计算： (1) (2a-3)2 (2) (x-4y)2
(3) (-a+2b)2
(4) (-2a-5)2
判断正误:
（1）（a+b）2=a2+b2 （2）（7-a）2=49-14a+a2 2=a2+2ab+b2 （3）（a+2b） （4）（a-2b）2=a2-4ab-4b2
完全平方的四个公式
完全平方的公式
数学完全平方公式：
(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
(2)完全平方式的形式和特点
①项数：三项
②有两项是两个数的的`平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
整式乘法完全平方公式精品PPT课件
b
ab
a
(a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
差的完全平方公式： （a-b)2= a2-2ab+b2 .
问题4 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列
问题：
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a-b)2=a2-2ab+b2.
1.说一说积的次数和项数. 2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有
问题3 你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗?
设大正方形ABCD的面积为S.
S1
S2
S3
S4
S= (a+b)2 =S1+S2+S3+S4= a2+b2+2ab .
几何解释:
b
a
=
+
a
b
a2
ab
和的完全平方公式： （a+b)2= a2+2ab+b2 .
+
+
ab
b2
几何解释:
a−b
b
a−b (a−b)2 b(a−b)
当堂练习
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（ A ） A．a2-4a+4 B．a2-2a+4
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 .
知识要点 完全平方公式
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 . 也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个 公式叫做（乘法的）完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中间”
三项式的完全平方公式口诀
我们要找出三项式的完全平方公式口诀。
首先，我们需要理解什么是完全平方公式。
一个三项式是完全平方当且仅当它可以表示为两个相同的数的乘积。
例如，a^2 + 2ab + b^2 是 (a+b)^2 的展开。
三项式的完全平方公式可以表示为：
a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2
为了方便记忆，我们可以使用一个口诀：
'头平方，尾平方，两倍头尾中间放'。
这个口诀的意思是：
1) '头' 指的是三项式的前两项的平方和。
2) '尾' 指的是最后一项的平方。
3) '两倍头尾中间放' 指的是中间的两倍项，它等于头和尾的乘积的两倍。
所以，三项式的完全平方公式口诀是：头平方，尾平方，两倍头尾中间放。
乘法公式(完全平方公式)
04 完全平方公式应用举例
一元二次方程求解
完全平方公式可以帮助我们将一 元二次方程化为完全平方的形式，
从而更容易地求解。
例如，对于方程 $x^2 + 2x - 3 = 0$，我们可以将其化为
$(x+1)^2 - 4 = 0$，进而求解 得到 $x = -3$ 或 $x = 1$。
通过完全平方公式，我们还可以 判断一元二次方程是否有实数解，
03
利用完全平方公式解二元一次方程组，如 $begin{cases} x + y = 5 xy = 6 end{cases}$ 可化为 $(x - 3)(y - 2) = 0$，解得 $begin{cases} x = 3 y = 2 end{cases}$ 或 $begin{cases} x = 2 y = 3 end{cases}$。
立方和公式
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$。
立方差公式
$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$。
高阶乘法公式的应用
在处理涉及高次幂的代数问题时，高阶乘法公式能够提供简化的计算方法。同时，在解决一些复杂的几 何问题时，高阶乘法公式也能发挥重要作用。
完全平方公式的应用
在解决涉及一个二项式与自身相乘的问题时，可以直接套用 完全平方公式进行计算，如求解平方差、计算方差等。同时 ，在解决一些最优化问题时，完全平方公式也可以用于构造 目标函数或约束条件。
06 总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结
1 2
完全平方公式的基本形式
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
基本乘法公式
基本乘法公式
重点：1. 掌握基本的乘法公式(平方差公式、完全平方公式)，并能灵活运用。
2. 熟练掌握配方思想，灵活解决相关问题除法问题
难点：灵活运用基本的乘法公式.
一，基本乘法公式
基本知识点：
1.两个数的和乘以这两数的差，积为它们的平方差，即：(a+b)(a-b) =
2.完全平方公式：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们积的两倍即：,
例题：
1.计算：(-5)( -5), (-)( ), (-5)(-5)
()(), , ,
2.计算： – , ,
3.计算：(a+b+c)(a-b-c), () (), (2) (-2)
4.计算：(2+1)()()…() + 1
二、配方思想
解形如的二次三项式的一般步骤
(1)降幂排列，首项为正
(2)提取二次项因数，保留常数项
(3)添加一次项系数一半的平方
例题：
1.,
2.当x为何值时，代数式有最小值，最小值是多少？
3.当x为何值时，代数式-有最大值，最大值是多少？
4.已知, 求a+b
5.当x,y为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？
课前测：
1.计算(12) x (6) x (15) ; -2(2+ 3)
2.计算(x+y)(x-2y); (4)( 2)
3.计算(-) x x (-27a) ;
4.计算÷
5.若(x-2)(x+a) = , 求a+b
拓展：
6可以被2x-3整除，求a。
8.3乘法公式1完全平方公式
(-a-b)2 =(a+b)2
(a-b)2 =(b-a)2
作业：
(2) 3a 2b
2
(3) 2 x y
(4) (-
2
x – 2y2)2
练习2 运用完全平方公式计算： (1)(-2x+y)2
(2) 4a b
2
(3) 3x 2 y
(4) (-
2
x – 3y2)2
几点注意：
1、项数：积的项数为三； 2、符号：特别是(a-b)2= a2 - 2ab+b2；
3、字母：不要漏写；
4、字母指数：当公式中的a、b所代表的
单项式字母指数不是1时，乘方时要记
住字母指数需乘2。
例2 运用完全平方公式计算： (1) (4a2 – b2)2 = ( 4a2)2 – 2( 4a2 )( b2 )+( b2 )2 =16a4 – 8a2b2+b4 (2) (y+ )2 =( y )2+2( y )( )+( )2 = y2 +y+ 解题过程分3步：记清公式、代准数式、 准确计算。
(x +y)2 =x2+2xy +y2
例3 计算：
(1) (
a2 + b3)2
a 2) 2
解：原式= ( b3 =
b6 - 2 a2 b3+ a4
(a-b)2 =(b-a)2
( a2 + b3)2 = ( a2 b3)2
(2)(- x2y -
)2
(-a-b)2 =(a+b)2
解：原式= ( x2y + = x4y2 + )2 x2y +
北师大版七年级下册数学《第一章 整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解!
北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。
为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。
这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。
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(a b)2 a2 2ab b2
师：你能用文字语言叙述这两个公式吗？ 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上 （减去）这两数乘积的两倍 师：你能说出这两个公式的特点吗？ 生：左边是：两数和 （差）的平方. 右边是: 两数的平方和加上（减去）
这两数乘积的两倍. 三. 范例点睛 例 1 计算：( a – b )2
四．随堂练习 1、用完全平方公式计算
(1)（1＋x）2 （2） (y-4)2
（3）( x − 2y)2
（4）(2xy+ x )2
2. 一个正方形的边长为 acm。若边长减少 6cm，则这个正方形的面积减少 了多少？ 3．纠 错 练 习: 下 面的计算是否正确？如有错误，请改正：
(1) (x+y)2＝x2+y2;
过
程
旁注与纠错
一. 情景创设
如右图：你能通过不同的方法计算大正方形的面积吗？
从而你发现了什么？
二. 探索活动
问题一：如何用字母表示上图中大正方形的面积？
生： 将上图看成一个大正方形，则面积为 (a b)2 。
师：很好，还有没有其它的方法呢？ 生：可将上图看成是由两个小长方形和两个小正方形组成的图形，那么它
① x2
16
2 ；
3x2
4y2
2
③ a2 ab
2 ；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ25a 2 50ab
2
⑤ 4x 1
2
y
16x 2
1
y2
2
4
⑥
a b2
a b2
a2 ab b2
②
④
a2 ab b2
例 5．已知 x y 3 ， xy 2 ，求① x 2 y 2 ；② 1 1 xy
)A 10xy B 20xy
五． 想一想
⑴ 观察完全平方公式、平方差公式有什么特征？
⑵在式子 (a b)(c d) ac bc ad bd 中，当 a,b, c, d 满足什么条
件时，由它能得到完全平方公式，满足什么条件时能得到平方差公式？
六．课堂小结 这一节课你学到了什么？让学生试着小结，师再评议。
七．课后作业 见作业纸
总结反思
板书设计 教学后记:
宿城区 2010-2011 学年度第二学期
七年级数学教学案
课题 乘法公式（完全平方公式）
课型
新授
主备
唐兵
审核
张继辉
教学目标
1. 探索并推导完全平方公式、并能运用公式进行简单的计算； 2. 引导学生感受转化的数学思想以及知识间的内在联系。
重 点 完全平方公式
难 点 正确的应用完全平方公式、进行计算
学习
师：很好，你能用同样的方法计算 (a b)2 吗？
生： (a b)2 (a b)(a b) a 2 ab ba b2 a 2 2ab b2
即： (a b)2 a 2 2ab b2 ，这是我们要学习的另一个完全平方公式。
完全平方公式： (a b)2 a2 2ab b2
(2) (-m+n)2＝-m2 +n2；
(3) (-a−1)2＝-a2−2a−1.
4．计算：（a+b+c）2
5.小兵计算一个二项整式的平方式时,得到正确结果是 4x2+
+25y2,但中间一项不慎被污染了,这一项应是( C±10xy D±20xy 6.已知 a+b=2,ab=1, 求 a2+b2、(a－b)2 的值.
想一想：你有几种方法计算 (a-b)2
例 2 用完全平方公式计算 (1) ( 5 + 3p )2
(2) ( 2x - 7y )2
例 3 用完全平方公式计算 （1）（ -x + 2y）2
(2) ( -2a - 5)2
例 4 用完全平方公式计算
（1）9982
（2） 1012
例 4：填空题：（注意分析，找出 a、b）
的面积为 a2 2ab b2 。
师：两种方法都求出了大正方形的面积，从而我们可以发现什么呢？
生： (a b)2 = a2 2ab b2
这个公式就叫做一个完全平方公式。
问题二：你能用多项式的乘法法则推导公式 (a b)2 = a2 2ab b2 吗？
生： (a b)2 = (a b)(a b)= a2 ab ba b2 = a2 2ab b2