电路理论课件-向量法
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第五章向量法
T
i
O T
t
* 电网频率：我国 50 Hz ，美国 、日本 60 Hz * 高频炉频率：200 ~ 300 kHz * 中频炉频率：500 ~ 8000 Hz * 无线通信频率： 30 kHz ~ 30GMHz
电
路
理
论
分
析
（2）相位、初相位、相位差（变化进程）
①相位（ω t+） 确定正弦量瞬时值的电角度，与时间t有关。 ②初相位（ ） t=0时的相位；确定正弦量初始值的电角度。
周期电流、电压有效值定义
物 理 意 义
直流I
R
交流 i R
W RI T
2
W
T
0
Ri (t ) d t
2
电流有效值定义为： 均方根值
电
路
理
论
分
析
I
def
1 T
T
0
i (t )dt
2
同理，电压有效值定义为：
1 T 2 U u ( t ) d t 0 T
def
正弦电流、电压的有效值与幅值的关系：
A B A e j a B e j B A j ( a b ) A e ( a b ) B B j
几何意义：
模相除 角相减
B
A 1 A/B
电
路
理
论
分
析
例1
解
5 47 10 25 ?
原 式 (3 .41 j3 .657 ) (9 .063 j4 .226 ) 12 .47 j0 .569 12 .48 2 .61
电
路
理
论
第4章 向量法
初相角的大小与计时起点有关。当用余弦函数表示时 初相角的大小与计时起点有关。当用余弦函数表示时
φ =0
u,i
φ = −π / 2
t
φ =π /2
φ =π
第四章
1.1 正弦量的三要素 2、说明： 、说明：
u(t)=Umcos(ωt+φu)
向量法
§1 正弦量
i(t)= Im cos(ωt+φi)
（1）乘以实常数 ： ）乘以实常数α： （2）若： Re[ Ae ）
jωt
Re[α A(t )] = α Re[ A(t )]
则： A = B
jωt
] = Re[ Be jωt ]
] = Re[ Ae jωt ] ± Re[ Be jωt ] d d jωt Re[ Ae ] = Re[ ( Ae jωt )] = Re[ jω Ae jωt ] （4）导数： ）导数： dt dt
ɺ 称为旋转相量的复振幅。 U m 称为旋转相量的复振幅。 ɺ jωt ——旋转相量 ∴ U me 旋转相量, 旋转相量
一个余弦量在任意时刻的瞬时值, 一个余弦量在任意时刻的瞬时值 等于对应的旋转 相量同一时刻在实轴上的投影。 相量同一时刻在实轴上的投影。 用有效值表示时： 用有效值表示时：
ω = 2π f
或
单位:T:s, f:1/s 单位 : /
或Hz (kHz, MHz)
2π ω= T
第四章
1.2 正弦量的表示方法
向量法
§1 正弦量
1、函数表达式也称为瞬时值表达式。如: u = U m cos ( ωt + φu ) 函数表达式也称为瞬时值表达式。 2、波形图。正弦量随时间变化的波形。 波形图。正弦量随时间变化的波形。 图中表示了正弦量 的三要素。 的三要素。 相量及相量图表示法。 3. 相量及相量图表示法。
第3章正弦交流电路的向量分析法ppt课件
电工与电子技术
RI2T
直流电流I流过电阻时， 在相同时间消耗的能量
R Ti2dt 0 周期电流i 流过电阻时， 在相同时间消耗的能量。
有效值的定义式： I 1 T i 2 dt
T0
资 金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资 金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
电工与电子技术
第三章正弦交流电路的向量分析法
3.1 正弦交流电压电流的相量 3.2 电路基本定律的相量形式 3.3 RLC串并联交流电路的分析 3.4 正弦交流电路的功率和功率因数 3.5 电路的谐振
a
资 金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
复数四则运算回顾
电工与电子技术
（1）相等。任意一个复数 A 和B相等，则
A = B， a1 + j a2 = b1 + j b2 , a1 = b1 , a2 = b2 ,
资 金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
注意：
电工与电子技术
• 工业上所说的电压和电流的值一般是指有效值，如电 工设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平 、耐压值指的是最大值
4. 视在功率
电路向量法
F1 F2
| F1 | 1 | F2 | 2
F1 F2
1 2
三、旋转因子
e j 1 是一个模等于1，辐角为θ的复数。
任意复数A乘以e jθ 等于把复数A逆时针旋转一个角度θ， 而A的模值不变。
j
e2j
j
e 2 j
e j 1
因此，“±j ”和“-1”都可以看成旋转因子。
例如： 一个复数乘以j，等于把该复数逆时针旋转π/2， 一个复数除以j，等于把该复数乘以-j，等于把它顺 时针旋转π/2 。 虚轴等于把实轴+1乘以j而得到的。
i
相位变化的速度，反映正弦量
T
变化的快慢，单位 rad/s。
w 2 f 2 T 频率f ：赫兹（Hz）
周期T：秒（s）
Im O
yi
2 w t
如：f =50Hz, T = 0.02s，ω =314 rad/s
3、初相位（角）y i 反映正弦量的计时起点
主值范围内取值 y i 180
i Im
2π O
例：设F1=3-j4，F2=10 /135°，求 : F1+ F2 和 F1/ F2 。
Hale Waihona Puke 解：求复数的代数和用代数形式：
F2 = 10 /135° =10（cos135°+j sin135°) = -7.07 + j7.07
F1 + F2 = ( 3 - j 4 ) + ( -7.07 + j 7.07 ) = - 4.07 + j3.07 = 5.1 /143°
w t 解 i(t) 100cos(103 t y )
t 0 50 100cosy
由于最大值发生在计时起点右侧
第八章向量法
Im——正弦量的振幅，且有：
imax = I m
ω——正弦量的角频率。
d ω = (ωt + ψ i ) dt
ϕi——正弦量在t=0时刻的相位，称为正弦量 的初相位（角），简称初相，即
(ωt + ω i ) t =0 = ψ i
正弦量的三要素是正弦量之间进行比较和区分的依据。
注意
正弦量乘以常数，正弦量的微分、积 分，同频正弦量的代数和等运算，其结果 仍为一个同频率的正弦量。 这是正弦量的一个重要性质。
由
1 + cos[2(ωt + ψ i )] cos (ωt + ψ i ) = 2
2
可得
I = I m / 2 = 0.707 I m
正弦量i可改写成：
i = 2 I cos(ωt + ϕ i )
四、相位差
相位差用来描述两个同频率正弦量之间的相位关系。 若
i1 = u2 = 2 I 1 cos( ω t + ψ i1 ) 2U 2 cos( ω t + ψ u 2 )
表示di/dt的相量为 高阶导数 d i / dt
n n
& jωI = ωI∠ψ i + π / 2
& ( jω ) n I ，其相量为
3、正弦量的积分
∫ idt =
∫ Re[
2 I&e jω t ]dt
= Re[ ∫ ( 2 I&e jω t ) dt ] = Re[ = 2 I 2( 1 ) e jω t ] jω
所以
uad = 15 2 cos(1000t )V
第八章 相量法
内容提要
本章介绍的相量法是线性电路正弦 稳态分析的一种简便而又有效的方法。 主要内容有：复数，正弦量，相量法的 基础，电路定律的相量形式。
用向量法表示电路
规定： | | (180°)。
>0， u超前i角 ，或i 落后u角 (u 比i先到达最大值)；
u, i
u
i
O
u
wt
i <0， i 超前u角 ，或u 滞后 i角,i 比 u 先到达最大值。
特殊相位关系：
= (180o ) ，反相：
u, i u iw t
19.2427.9 7.211 56.3 解 原式 180.2 j126.2 20.6214.04 180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536
jwt
可得其相量关系为：
U U U 1 2
U
i1 i2 = i 3
故同频正弦量相加减运算变 成对应相量的相加减运算。
I I I 1 2 3
例
u1 (t ) 6 2cos(314t 30 ) V u2 (t ) 4 2cos(314t 60o ) V
I
0 +1
j
j
cos( ) j sin( ) j 2 2 I
jI
, e
j
cos( ) j sin( ) 1
j +j
F1 F1/F2
1 1 - 2
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
复数乘除的图解法：
a
+1
或
a | F | cos b | F | sin
图解法 +j F2
2.复数运算
>0， u超前i角 ，或i 落后u角 (u 比i先到达最大值)；
u, i
u
i
O
u
wt
i <0， i 超前u角 ，或u 滞后 i角,i 比 u 先到达最大值。
特殊相位关系：
= (180o ) ，反相：
u, i u iw t
19.2427.9 7.211 56.3 解 原式 180.2 j126.2 20.6214.04 180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536
jwt
可得其相量关系为：
U U U 1 2
U
i1 i2 = i 3
故同频正弦量相加减运算变 成对应相量的相加减运算。
I I I 1 2 3
例
u1 (t ) 6 2cos(314t 30 ) V u2 (t ) 4 2cos(314t 60o ) V
I
0 +1
j
j
cos( ) j sin( ) j 2 2 I
jI
, e
j
cos( ) j sin( ) 1
j +j
F1 F1/F2
1 1 - 2
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
复数乘除的图解法：
a
+1
或
a | F | cos b | F | sin
图解法 +j F2
2.复数运算
电路理论课件 第8章 向量法
基尔霍夫电压定律的向量表示
在电路中，对于任意闭合路径，电压降矢量和电压升矢量在数值上相等，方向 相反。
欧拉公式及其在电路中的应用
欧拉公式
将复数表示为三角形式，即 $z = r(cos theta + i sin theta)$，其中 $r$ 是模，$theta$ 是幅角。
在电路中的应用
利用欧拉公式可以将正弦稳态电路中 的电压和电流表示为复数形式，从而 方便计算和分析。
在电机控制中，向量法可以用于分析电机的转矩控制、速度控制和位置控制等。通过向量化处理，可 以将电机的物理量转化为数学表达式，便于分析和计算。同时，向量法还可以用于电机的故障诊断和 性能评估，提高电机的可靠性和稳定性。
无功补偿装置的向量分析
无功补偿装置是电力系统中用于改善功率因数、减少无功损 耗的重要设备。向量法在无功补偿装置的分析中也有着重要 的应用价值。
向量模表示法
通过向量模表示电压和电流的大小，可以方便地计算功率和 能量。
交流电路的分析方法
相量法
利用复数表示电压和电流，通过代数运算分析电路。
阻抗三角形法
利用阻抗三角形分析阻抗、电感和电容之间的关系。
04
CATALOGUE
复杂电路的向量分析
串联和并联电路的向量分析
串联电路的向量分析
在串联电路中，各电压源的向量相加等于总电压的向量，各电流源的向量相等且等于总电流的向量。
通过向量法，可以对无功补偿装置的电容、电感等元件进行 向量化分析和计算。同时，向量法还可以用于分析无功补偿 装置在不同运行状态下的性能表现，为无功补偿装置的优化 设计和运行提供依据。
THANKS
感谢观看
三相电路的向量分析
三相电源和负载
三相电源由三个相位差为120度的正 弦波组成，三相负载则分为对称和不 对称两类。
在电路中，对于任意闭合路径，电压降矢量和电压升矢量在数值上相等，方向 相反。
欧拉公式及其在电路中的应用
欧拉公式
将复数表示为三角形式，即 $z = r(cos theta + i sin theta)$，其中 $r$ 是模，$theta$ 是幅角。
在电路中的应用
利用欧拉公式可以将正弦稳态电路中 的电压和电流表示为复数形式，从而 方便计算和分析。
在电机控制中，向量法可以用于分析电机的转矩控制、速度控制和位置控制等。通过向量化处理，可 以将电机的物理量转化为数学表达式，便于分析和计算。同时，向量法还可以用于电机的故障诊断和 性能评估，提高电机的可靠性和稳定性。
无功补偿装置的向量分析
无功补偿装置是电力系统中用于改善功率因数、减少无功损 耗的重要设备。向量法在无功补偿装置的分析中也有着重要 的应用价值。
向量模表示法
通过向量模表示电压和电流的大小，可以方便地计算功率和 能量。
交流电路的分析方法
相量法
利用复数表示电压和电流，通过代数运算分析电路。
阻抗三角形法
利用阻抗三角形分析阻抗、电感和电容之间的关系。
04
CATALOGUE
复杂电路的向量分析
串联和并联电路的向量分析
串联电路的向量分析
在串联电路中，各电压源的向量相加等于总电压的向量，各电流源的向量相等且等于总电流的向量。
通过向量法，可以对无功补偿装置的电容、电感等元件进行 向量化分析和计算。同时，向量法还可以用于分析无功补偿 装置在不同运行状态下的性能表现，为无功补偿装置的优化 设计和运行提供依据。
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三相电路的向量分析
三相电源和负载
三相电源由三个相位差为120度的正 弦波组成，三相负载则分为对称和不 对称两类。
《电路》第八章向量法
i Im
2π O
π
yi
i(t)=Imcos(w t+y i)
2π
ωt
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
i
i(t)=Imcos(w t+y i)
0
wt
y i=－/2
y i =0
yi =
例 i
100 50
0 t1
已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s， （1）写出i(t)表达式； （2）求最大值发生的时间t1 。
0
wt
例 计算下列两正弦量的相位差。 解
(1) i1(t) 10cos(100 t 3 4) j 3 4 ( 2) 5 4
i2(t) 10cos(100 t 2)
j 5 4 2 3 4
(2) i1(t) 10cos(100 t 300 ) i2(t) 10cos(100t 1050 )
虚轴等于把实轴+1乘以j而得到的。
例：设F1=3-j4，F2=10 /135°，求 : F1+ F2 和 F1/ F2 。
解：求复数的代数和用代数形式：
F2 = 10 /135°=10（cos135°+j sin135°) = -7.07 + j7.07
F1 + F2 = ( 3 - j 4 ) + ( -7.07 + j 7.07 ) = - 4.07 + j3.07 = 5.1 /143°
i
相位变化的速度，反映正弦量
T
变化的快慢，单位 rad/s。
w 2 f 2 T 频率f ：赫兹（Hz）
周期T：秒（s）
Im O
yi
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同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量
图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。
Im • I2
y2 y1
•
•
I1 I2
•
i1 2I1sin(ωt ψ1 ) I 1 I1ψ1
•
I1
•
i2 2I2sin(ωt ψ2 ) I 2 I2ψ2
Re
•
I2
•
•
I1 I2
8. 4 正弦量的相量表示
2 . 正弦量的微分，积分运算 i I
di jω I
dt
u U
udt
1
jω
U
证明：
di dt
d dt
Im[
2Ie jωt ]
Im[ddt ( 2Ie jωt )]
Im[ 2(jω I) e jωt ]
udt 2U sin(wt ψ)dt
2 Uω cos(wt ψ)
ω2U sin(wt ψ π 2)
8. 3 复数复习
1. 复数A表示形式：
A=a+jb
Im
b
A
(j 1 为虚数单位)
Im
b
A
O
a Re
O
a Re
一个复数A可以在复平面上表示为从原点到A的向量，
此时a可看作与实轴同方向的向量，b可看作与虚轴同方
向的向量。由平行四边形法则。则a+jb即表示从原点到A
的向量，其模为|A|，幅角为 。所以复数A又可表示为
•
2U1
e jωt
2
•
U
2
e
jωt
)
Im(
2
•
(U
1
•
U
2
)e
jωtቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)
•
•
•
U U1U2
故同频的正弦量相加减运算就变成对应的向量相加减运算。
8. 4 正弦量的相量表示
例．
u1 (t) 3 2sin314t V u2 (t ) 4 2sin(314t 90o ) V UU 1u(tU)310uUo1(V2t ),5Uu225(t3).13oV5V 2sin(314t 53.1o ) V
1. 正弦量的相量表示 造一个复函数 A(t ) 2Iej(ωtΨ)
没有物理意义
2Icos(ωt Ψ) j 2Isin(ωt Ψ )
若对A(t)取虚部：
Im[ A(t)] 2sin(ωt Ψ ) 是一个正弦量，有物理意义。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应 的复指数函数：
j(ωt Ψ)
Im[
2U
ω
e j(ω t ψπ
/ 2) ]
•
Im[
2
U
jω
e jω t
]
8. 4 正弦量的相量表示
3. 相量法的应用
求解正弦电流电路的稳态解(微分方程的特解)
i(t) R 例
+ u(t) -
u(t) Um sin(ωt ψu ) 一阶常系数
L
u(t
)
Ri(t
)
L
di(t dt
)
线性微分方程
周期T ：重复变化一次所需的时间。
单位： w ：rad•s-1 ，弧度•秒-1
f ：Hz，赫(兹) T ：s，秒
8. 1 正弦量的基本概念
(3) 初相位y ：反映了正弦量的计时起点。
(w t+y )表示正弦量随时间变化的进程，称之为相位角。 它的大小决定该时刻正弦量的值。当t=0时，相位角 (w t+y )=y ， 故称y 为初相位角，简称初相位。同一
W2=I 2RT
I 2 RT T i 2 (t )Rdt 0
I 1 T i 2 (t )dt
T0
同样，可定义电压有效值：
def
U
1 T
T
0
u2
(t )dt
8. 2 周期性电流、电压的有效值
2. 正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imsin(w t+ )
I
1 T
T 0
I
2 m
sin2
(
个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
i
一般规定：| | 。
O
t
y =0 y =/2 y =-/2
8. 1 正弦量的基本概念
二. 相位差 ：两个同频率正弦量相位角之差。
设 u(t)=Umsin(w t+y u), i(t)=Imsin(w t+y i) 则 相位差 j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i • j >0， u 领先(超前)ij 角，或i 落后(滞后) u j 角(u 比 i 先到
例2. 220 35 (17 j9) (4 j6) 20 j5
19.2427.9 7.21156.3
180.2 j126.2
20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536 (3) 旋转因子：
w
Im3
3
无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和最大值(或有效值)就行了。于是想到复数， 复数向量也是一个大小、一个幅角，因此，我们可以把正 弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算， 使计算变得较简单。
8. 4 正弦量的相量表示
按物理量是否随时间改变，可分为恒定量，变动量。
①大小和方向都不随时间而改变，用大写字母表示U, I .
O
t
② 随时间变化的量,每个时刻值称为瞬时值 u(t), i(t)
i(t)
i(t0)
O
t0 t
③ 大小、方向随时间做周期变化的电流(电压)称为周期电流(电压)
i
T
O
t
工程上往往以频率区分电路：工频 50 Hz 中频 400-2000Hz 高频电路
瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。
有效值也称均方根值
物理意义：周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期T 内吸收的 电能，等于一直流电流I 流过R , 在时间T 内吸 收的电能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。
8. 2
i(t) R
I R
周期性电流、电压的有效值
W (t) T i 2 (t)Rdt 0
8. 4 正弦量的相量表示
w t+u=w t+ i+ i=u-
R2 (ωL)2
wL
=tg-1(w L/R)
R
i 用相量法求：R2
2U ω2 L2
sin(ωt
Ψu
tg1 ωL) R
u(t) Ri(t) L di(t)
dt
•
•
•
U R I jωL I
•
•
U
I
UΨu
R jωL R2 ω2 L2 tg1 ωL
例1. 已知 i 141.4sin(314t 30o )A u 311.1sin(314t 60o )V
试用相量表示i, u .
解：
•
I
10030o
A
•
U 220 60o V
例2.
•
已知I
5015
A,
f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
解： i 5 2sin(314t 15 ) A
达最大值)； u, i
u
i
从波形图上看相位差
O
yu yi j
w t 可取变化趋势相同点
来看。
• j <0， i 领先(超前) uj 角，或u 落后(滞后) i j 角(i 比 u
先到达最大值)。
8. 1 正弦量的基本概念
特例：
u, i
u
j =0， 同相：
i
O
wt
u, i
j = (180o ) ，反相：
复数 ej =cos +jsin =1∠
A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。故
把 ej 称为旋转因子。
ej/2 =j , e-j/2 = -j, ej=–1 故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
8. 4 正弦量的相量表示
两个正弦量
i1
i2
w
w
Im1
Im2
1
2
i1+i2 i3
第8章 向量法
基本概念 8.1 正弦量的基本概念 8.2 周期性电流、电压的有效值 8.3 复数复习 8.4 正弦量的向量表示 8.5.6 电阻、电感和电容元件的
正弦电压电流几向量关系
8.7 基尔霍夫定律的向量形式和电路的向量模型 8.8 电阻、电感和电容串联电路
8.9电阻、电感和电容并联电路
基本概念
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
•
u(t) 2U sin(ωt θ ) U Uθ
相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：
•
U
i(t ) 2Isin(ω t ) I I
•
u(t ) 2Usin(ωt θ ) U Uθ
I
• 不同频率的相量不能画在一张向量图上。
8. 4 正弦量的相量表示
A2 | A2 |θ 2 | A2 | ejθ 2 | A2 |
| A2 |
θ1 θ2
乘法：模相乘，角相加； 除法：模相除，角相减。
例1. 5 47 + 1025 = (3.41+j3.657) + (9.063-j4.226)
图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。
Im • I2
y2 y1
•
•
I1 I2
•
i1 2I1sin(ωt ψ1 ) I 1 I1ψ1
•
I1
•
i2 2I2sin(ωt ψ2 ) I 2 I2ψ2
Re
•
I2
•
•
I1 I2
8. 4 正弦量的相量表示
2 . 正弦量的微分，积分运算 i I
di jω I
dt
u U
udt
1
jω
U
证明：
di dt
d dt
Im[
2Ie jωt ]
Im[ddt ( 2Ie jωt )]
Im[ 2(jω I) e jωt ]
udt 2U sin(wt ψ)dt
2 Uω cos(wt ψ)
ω2U sin(wt ψ π 2)
8. 3 复数复习
1. 复数A表示形式：
A=a+jb
Im
b
A
(j 1 为虚数单位)
Im
b
A
O
a Re
O
a Re
一个复数A可以在复平面上表示为从原点到A的向量，
此时a可看作与实轴同方向的向量，b可看作与虚轴同方
向的向量。由平行四边形法则。则a+jb即表示从原点到A
的向量，其模为|A|，幅角为 。所以复数A又可表示为
•
2U1
e jωt
2
•
U
2
e
jωt
)
Im(
2
•
(U
1
•
U
2
)e
jωtቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)
•
•
•
U U1U2
故同频的正弦量相加减运算就变成对应的向量相加减运算。
8. 4 正弦量的相量表示
例．
u1 (t) 3 2sin314t V u2 (t ) 4 2sin(314t 90o ) V UU 1u(tU)310uUo1(V2t ),5Uu225(t3).13oV5V 2sin(314t 53.1o ) V
1. 正弦量的相量表示 造一个复函数 A(t ) 2Iej(ωtΨ)
没有物理意义
2Icos(ωt Ψ) j 2Isin(ωt Ψ )
若对A(t)取虚部：
Im[ A(t)] 2sin(ωt Ψ ) 是一个正弦量，有物理意义。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应 的复指数函数：
j(ωt Ψ)
Im[
2U
ω
e j(ω t ψπ
/ 2) ]
•
Im[
2
U
jω
e jω t
]
8. 4 正弦量的相量表示
3. 相量法的应用
求解正弦电流电路的稳态解(微分方程的特解)
i(t) R 例
+ u(t) -
u(t) Um sin(ωt ψu ) 一阶常系数
L
u(t
)
Ri(t
)
L
di(t dt
)
线性微分方程
周期T ：重复变化一次所需的时间。
单位： w ：rad•s-1 ，弧度•秒-1
f ：Hz，赫(兹) T ：s，秒
8. 1 正弦量的基本概念
(3) 初相位y ：反映了正弦量的计时起点。
(w t+y )表示正弦量随时间变化的进程，称之为相位角。 它的大小决定该时刻正弦量的值。当t=0时，相位角 (w t+y )=y ， 故称y 为初相位角，简称初相位。同一
W2=I 2RT
I 2 RT T i 2 (t )Rdt 0
I 1 T i 2 (t )dt
T0
同样，可定义电压有效值：
def
U
1 T
T
0
u2
(t )dt
8. 2 周期性电流、电压的有效值
2. 正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imsin(w t+ )
I
1 T
T 0
I
2 m
sin2
(
个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
i
一般规定：| | 。
O
t
y =0 y =/2 y =-/2
8. 1 正弦量的基本概念
二. 相位差 ：两个同频率正弦量相位角之差。
设 u(t)=Umsin(w t+y u), i(t)=Imsin(w t+y i) 则 相位差 j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i • j >0， u 领先(超前)ij 角，或i 落后(滞后) u j 角(u 比 i 先到
例2. 220 35 (17 j9) (4 j6) 20 j5
19.2427.9 7.21156.3
180.2 j126.2
20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536 (3) 旋转因子：
w
Im3
3
无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和最大值(或有效值)就行了。于是想到复数， 复数向量也是一个大小、一个幅角，因此，我们可以把正 弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算， 使计算变得较简单。
8. 4 正弦量的相量表示
按物理量是否随时间改变，可分为恒定量，变动量。
①大小和方向都不随时间而改变，用大写字母表示U, I .
O
t
② 随时间变化的量,每个时刻值称为瞬时值 u(t), i(t)
i(t)
i(t0)
O
t0 t
③ 大小、方向随时间做周期变化的电流(电压)称为周期电流(电压)
i
T
O
t
工程上往往以频率区分电路：工频 50 Hz 中频 400-2000Hz 高频电路
瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。
有效值也称均方根值
物理意义：周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期T 内吸收的 电能，等于一直流电流I 流过R , 在时间T 内吸 收的电能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。
8. 2
i(t) R
I R
周期性电流、电压的有效值
W (t) T i 2 (t)Rdt 0
8. 4 正弦量的相量表示
w t+u=w t+ i+ i=u-
R2 (ωL)2
wL
=tg-1(w L/R)
R
i 用相量法求：R2
2U ω2 L2
sin(ωt
Ψu
tg1 ωL) R
u(t) Ri(t) L di(t)
dt
•
•
•
U R I jωL I
•
•
U
I
UΨu
R jωL R2 ω2 L2 tg1 ωL
例1. 已知 i 141.4sin(314t 30o )A u 311.1sin(314t 60o )V
试用相量表示i, u .
解：
•
I
10030o
A
•
U 220 60o V
例2.
•
已知I
5015
A,
f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
解： i 5 2sin(314t 15 ) A
达最大值)； u, i
u
i
从波形图上看相位差
O
yu yi j
w t 可取变化趋势相同点
来看。
• j <0， i 领先(超前) uj 角，或u 落后(滞后) i j 角(i 比 u
先到达最大值)。
8. 1 正弦量的基本概念
特例：
u, i
u
j =0， 同相：
i
O
wt
u, i
j = (180o ) ，反相：
复数 ej =cos +jsin =1∠
A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。故
把 ej 称为旋转因子。
ej/2 =j , e-j/2 = -j, ej=–1 故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
8. 4 正弦量的相量表示
两个正弦量
i1
i2
w
w
Im1
Im2
1
2
i1+i2 i3
第8章 向量法
基本概念 8.1 正弦量的基本概念 8.2 周期性电流、电压的有效值 8.3 复数复习 8.4 正弦量的向量表示 8.5.6 电阻、电感和电容元件的
正弦电压电流几向量关系
8.7 基尔霍夫定律的向量形式和电路的向量模型 8.8 电阻、电感和电容串联电路
8.9电阻、电感和电容并联电路
基本概念
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
•
u(t) 2U sin(ωt θ ) U Uθ
相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：
•
U
i(t ) 2Isin(ω t ) I I
•
u(t ) 2Usin(ωt θ ) U Uθ
I
• 不同频率的相量不能画在一张向量图上。
8. 4 正弦量的相量表示
A2 | A2 |θ 2 | A2 | ejθ 2 | A2 |
| A2 |
θ1 θ2
乘法：模相乘，角相加； 除法：模相除，角相减。
例1. 5 47 + 1025 = (3.41+j3.657) + (9.063-j4.226)