人教版八年级数学上册13.1.2线段的垂直平分线的性质

知识点一：线段垂直平分线的性质
探究：如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，„是 l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，„ 到点A 与点B 的距 离之间的数量关系． P3 相等． 你能用不同的方法验证 这一结论吗？ A l P2 P1 B
命题：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距
离相等．” 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点 P 在l 上． 求证：PA =PB． l P A
M
A
①AB⊥MN,②AD=DB， ③MN⊥AB， ④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线
D
N
B
已知： △ABC中，边AB、 BC的垂直平分线交于 点P。求证：PA=PB=PC.
C
结论：三角形三边的垂 直平分线交于一点，并 且这点到三个顶点的距 离相等。
P A
B
如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个 公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽 车站应建在什么地方？
C
B
小结：线段垂直平分线的判定方法：
• 1、定义法 • 2、与一条线段两个端点距离相等的点，在 这条线段的垂直平分线上．
课堂练习
练习3 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的 垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？ 解：∵ AD⊥BC，BD =DC， ∴ AD 是BC 的垂直平分线， ∴ AB =AC． ∵ 点C 在AE 的垂直平 A 分线上， ∴ AC =CE． ∴ AB =AC =CE． ∵ AB =CE，BD =DC， ∴ AB +BD =CD +CE． B D C E 即 AB +BD =DE ．
P B
C
线段垂直平分线上的点 与这条线段两个端点的 距离相等．
用符号语言表示为： ∵ CA =CB，l⊥AB， ∴ 直线l是线段AB的垂直平分线 ∴PA =PB．
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个 端点的距离相等．
用符号语言表示为： ∵ CA =CB，l⊥AB， ∴ 直线l是线段AB的垂直平分线 ∴PA =PB．
则n就是这个五角星的一条对称轴． 用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五 条对称轴．
课堂练习
练习1 作出下列图形的一条对称轴，和同学比较 一下，你们作出的对称轴一样吗？
课堂练习
练习2 如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的 对称轴是什么？
课堂练习
练习3 如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？ 画出它的对称轴．
相交于C、D两点；
A B
⑵作直线CD .
CD即为所求的直线.
D 结论：对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对 应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.
【跟踪训练】
1.下图中的五角星有几条对称轴？作出
这些对称轴． 作法：（1）找出五角星的一对 对应点A和B，连接AB． A
n
B
（2）作出线段AB的垂直平分线n．
如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对轴？
如果两个图形成轴 对称，其对称轴是任何 一对对应点所连线段的 垂直平分线．因此，只 要找到任意一组对应点， 作出对应点所连线段的 垂直平分线，就得到此 图形的对称轴．
知识点三：作线段的垂直平分线
作法：（1）分别以点A，B 为圆心，以大于 AB的长为半径 2 作弧，两弧相交于C，D 两点；
A
B
课件说明
• 学习目标： 1．理解线段垂直平分线的性质和判定． 2．能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问 题． 3．会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线， 了解作图的道理． • 学习重点： 线段垂直平分线的性质．
知识回顾
• 线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么 ？ • 什么叫线段的垂直平分线？
N
M
O
B
如图,已知:AOB,点M、N. 求作:一点P,使点P到AOB两边的距离 相等,并且满足PM=PN.
A
.
O
M
.P
.
N
点P为所求 作的茶水供 应点 P
B
B A
【提示】连接AB，作AB的垂直平分线，则与公路的 交点就是要建的公共汽车站.
有A，B，C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校
到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置. 【提示】学校在连接任意两 点的两条线段的垂直平分线 的交点处. A C
B
如图，八（5）班与八（6）班两 个班的学生分别在M、N两处参加植树劳动， 现要在道路AO、BO的交叉区域内设一个 茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等， 且PM=PN，请你找出P点。 A
（2）作直线CD．
1
CD 就是所求作的直线．
A
C B D
这种作法的依据是什么？ 线段垂直平分线的判定 这种作图方法还有哪些作用？
确定线段的中点．作已知线段的垂线。
再一次巩固尺规作图 如图，已知线段AB，用直尺和圆规作AB 的垂直平分线. ⑴分别以点A、B为圆心，以大 C
1 于 AB的长为半径作弧，两弧 2
提示: 这个结论是经常用来证明两条线段相等的 根据之一.
小结：线段垂直平分线的性质：
1、垂直线段，平分线段。
2、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端 点的距离相等
课堂练习
练习1 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线 交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等 8 ． 于______ A
• 线段垂直平分线的判定定理的已知条件是一个点与一线 段两端点的距离相等，结论是这个点在线段的垂直平分 线上．
• 线段垂直平分线的性质是解决线段相等问题的一种重要 方法；线段垂直平分线的判定可用来证明两线的位置关 系（垂直平分）．
A
1、 ∵
AD为BC的中垂线 ， B ∴AB＝AC（ 线段垂直平分线上的点与这条线 _______________________ ）
B
D
E
C
知识点二：线段垂直平分线的判定
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直 平分线上呢？ 点P 在线段AB 的垂直平分线上． P 已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
证明： 如图作PC⊥AB于点C 则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， PA =PB， PC =PC，
A
B
C
D
课堂小结
性质：在线段垂直平分线上的点到线段两个端 点距离都相等。 判定：与线段两个端点距离相等的点都在线段 的垂直平分线上。
线段垂直平分线的集合定义：
线段垂直平分线可以看作是与 线段两个端点距离相等的所有点的 集合。
线段垂直平分线的性质与判定定理的区别
• 二者是互逆定理，线段垂直平分线的性质定理的已知条 件是线段垂直平分线，结论是垂直平分线上的点与这条 线段两端点的距离相等．
练习4 如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？ A 解：∵ AB =AC， ∴ 点A 在BC 的垂直平分线． ∵ MB =MC， M ∵ 点M 在BC 的垂直平分线上 ∴ 直线AM 是线段BC 的垂直 B D 平分线．
C
练习5、如图PA=PB， 则直线MN是线段AB的 垂直平分线。
C
B
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点 P 在l 上．求证：PA =PB． l 证明：∵ l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB= 90° ． 在△APC与△BPC中 PC=PC（公共边） ∠PCA=∠PCB（已证） A AC=BC（已知） ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． ∴ PA =PB(全等三角形的对应边相等)．
段两个端点的距离相等．
D
C
AB＝AC 2、∵ _______________________ ， ∴ A在线段BC的中垂线上（与一条线段两个端点距离相等的 _____________________ _______ ） 点，在这条线段的垂直平分线上。
3、如图， NM是线段AB的中垂线, 下列说法正确的有：①②③ 。
尺规作图
经过已知直线外一点作这条直线的垂线。 已知：直线AB和AB外一点C 求作：AB的垂线， 使它经过点C.
做法： （1）任意取一点K ，使点K与点 C 在直线AB两旁. （2）以点C为圆心，CK为半径作弧 ，交AB于点D和点E. C
A
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E F
K
B
（3）分别以点D和点E为圆心，大 1 于 DE 的长为半径作弧，两弧相交 2 于点F. （4）作直线CF，直线CF 就是所求作的垂线。
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上
A
C
B
线段垂直平分线的判定
与一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上．
P
用几何语言表示为：
∵ ∴
PA =PB，
A 点P 在AB 的垂直平分线上．
C B
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？ 能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？ 这些点能组成什么几何图形？ 在线段AB 的垂直平分线l 上的 点与A，B 的距离都相等；反过来， 与A，B 的距离相等的点都在直线l 上，所以直线l 可以看成与两点A、 B 的距离相等的所有点的集合． A P