计算方法习题集及解答(总结版)

左边 （ ）- 右边 证明：当 m=0 时
∑∞
= T0 h
T=
∆ i
h
2i
=
i=1
设 时等式成立，即 （ ）- m=k
Tk h
∑∞
T=
∆ h (k ) 2k +2i i
i =1
当 时 m=k+1
∑ ∑ Tk+（1 h）-T=
4k
+1Tk
(
h 2
)
−
Tk
(h)
4k +1 −1
−T=
4k +1[T
+
∞ i =1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1.5 1.44444 1.47929 1.456976 1.47108 1.46209 1.46779 1.4416 1.46647
9 1.4650
10
11
1.46593 1.4653
x* ≈ 1.466
迭代公式（2）：
k
0
xk
1.5
12 1.46572
13 1.46548
14 1.46563
xk +1
=
ln(4 − xk ln 2
)
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
xk 1.5 1.322 1.421 1.367 1.397 1.380 1.390 1.384 1.387 1.386 1.386
x* ≈ 1.386
2. 方程 x3 − x2 −1 = 0 在 x = 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：
又 ∑ ∑ n
n
lim (
p→∞ i=1
xi
)p 1/ p
≥ lim( p→∞ i=1
xr
)p 1/ p
=
xr
即 x ∞ ≥ xr x ∞ = xr
⑵
设 ，不妨设 ， x = (x1,...xn ) ≠ 0
A≠0
令 ∑ ∑ ∑ ∑ n
µ
=
max
1≤i≤n
j =1
aij
n
n
n
Ax
∞
=
max
1≤i≤n
j =1
, A = (aij ) ∈ R n×n .
∑ ∑ ∑ x
n
∞
=
lim (
p→∞
i =1
xi
)p 1/ p
= lim p→∞
xr
[ n ( xi x i=1 r
) p ]1/ p
≤ lim p→∞
xr
[ n ( xr x i=1 r
) p ]1/ p
= lim p→∞
xr
⋅ n1/ p
=
xr
即 x ∞ ≤ xr
局部收敛于 x* 的迭代公式。 解：
方程 等价于 x = ϕ(x)
x = 0.5[ϕ(x) − 3x]
构造迭代公式 xk+1 = −0.5[ϕ(xk ) − 3xk ] 令φ(x) = −0.5[ϕ(x) − 3x]
3
由于 在 上也一阶可微 ϕ(x) [a,b]
（ ）迭代公式 ， 公式收敛 1
xk +1
=
cos
xk
+ sin 4
xk
,ϕ(x)
=
cos
x + sin 4
x
ϕ(x)' < 1
k
0
1
2
3
xk
0
0.25
0.25098
0.25098
x* ≈ 0.25098
（ ） ， ， 局部收敛 2 ϕ(x) = ln(4 − x) ln 2
x0 = 1.5
ϕ (x0 )' < 1
习题一 1. 什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？ 数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法
试证明 2.
x
∞
=
max
1≤i≤n
xi
,
证明：
（ ）令 1
xr
=
max
1≤i≤n
xi
及 ∑ x = (x1, x2 ,L xn )T ∈ Rn
n
A
∞
= max 1≤i≤n
j =1
aij
解： x = 325 =& 0.314159292 ×101 133
该近似值具有 为有效数字。 x − x∗ = π − 355 = 0.266×10−6 ≤ 0.5×101−7
7
113
1
4. 若 T(h)逼近其精确值 T 的截断误差为
∑∞
R(T ) := T (h) − T = Ai h2i
i =1
15
16
1.465534 1.465595
1 1.481
2 1.473
3 1.469
4 1.467
5 1.466
6 1.466
x* ≈ 1.466
3. 已知 x = ϕ(x) 在[a,b]内有一根 x* ，ϕ(x) 在[a,b]上一阶可微，且∀x ∈[a,b], ϕ′(x) − 3 < 1，试构造一个
其中，系数 与 无关。试证明由 Ai h
T0
(h)
Tm( h)
= =
T 4
(h) m Tm
−1
(h 2 4m
) − Tm−1 −1
(h)
,
m = 1,2,L
所定义的 的逼近序列 的误差为 ， T
{Tm (h)}
∑∞
Tm (h) − T = Ai(m) h 2m+2
i =1
其中诸 Ai(m) 是与 h 无关的常数。
∆( i
k
)
(
h 2
)2
k
+2i
]
−
[T
4k+1 −1
+
∞ i =1
∆( i
k
)
(h)2
k
+
2i
]
−T
∑ 即证。 ∞
=
∆(k i
)
(h)
2(
k
+1) + 2 i
i =1
习题 2
1. 试构造迭代收敛的公式求解下列方程：
（ ）1 x = cos x + sin x ;
。 (2) x = 4 − 2x
解： 4
解：
（ ）1
ϕ(x)
=1+
1 x2
ϕ
' ( x)
=
−
2 x3
ϕ(x0)' < 1 局部收敛
（ ） 局部收敛 2 ϕ(x) = 1+ x2
ϕ
'
(x)
=
−
2
x(
2 3
3
ϕ (x0 )' < 1
（ ）3
ϕ(x) =
1 x −1
迭代公式（1）：
ϕ
'
(
x)
=
−
1
(
x
−
−
1)
2 3
2
ϕ(x0)' > 1 不是局部收敛
x j = sign(ai0 j )( j = 1, 2,..., n)
j =1
显然 且 任意分量为 ， x0 ∞ =1 Ax0
∑ ∑ n
n
a x = a i=1 i0 j j
i=1 i0 j
故有 ∑ ∑ 即证。 n
n
Ax0
∞
=
max i
aij x j
i =1
=
ai0 j
j =1
=µ
3. 古代数学家祖冲之曾以 355 作为圆周率π 的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？ 113
（ ） 对应迭代公式 1
x
=1+
1 x2
,
xk
+1=1+
1
x
2 k
;
（ ） ，对应迭代公式 2 x3 = 1+ x2
xk +1 = 3 1 + xk2 ;
（3）
x2
=
1 x −1
,对应迭代公式
xk
+1
=
。 1
xk −1
判断以上三种迭代公式在 x0 = 1.5的收敛性，选一种收敛公式求出 x0 = 1.5附近的根到 4 位有效数字。
aij x j
≤ max 1≤i≤n
j =1
aij
xj
≤ max 1≤i≤n
xi
max
1≤i≤n
j =1
aij
=µ
x∞
即对任意非零 x ∈ Rn ，有 Ax ∞ ≤ µ x∞
下面证明存在向量 x0
≠ 0 ，使得
Ax0 ∞ x0 ∞
=µ，
设 ，取向量 。其中 。 ∑n µ = ai0 j
x0 = (x1,...xn )T