2.2_矩阵的运算
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2.2矩阵的运算
2). 矩阵乘法不满足消去律
AB = AC ⇒ B = C
1 0 0 0 0 0 如 A= , B = 0 1 , C = 0 0 . AB = AC , 但B ≠ C 0 0
3).两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵 3).两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵 AB=0时 一般不能得出A 若 AB=0时,一般不能得出A、B中至少有一个为零矩阵的 结论. 结论.
b1 b2 例 3 设矩阵 A = (a1 , a 2 , L,a n ) , B = , 求AB，BA . M b n
解 A1×n Bn×1 = a1b1 + a2b2 + L anbn = ∑ ai bi
n
Bn×1 A1× n
b1a1 b2 a1 = M b a n 1
k =1 i =1 i =1 k =1 i =1
n
n
n
n
n
故 AB 与 BA 的主对角线上的元素之 和相等 .
例6 用矩阵方程表示下式线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 LLLLLLLLLLLLL am1 x1 + am1 x2 + L + amn xn = bm
(1)
( 3)
(λ µ ) A = λ ( µ A)
λ ( A + B) = λ A + λ B
矩阵相加与数乘矩阵合 起来 ,统称为矩阵的线性运算 . 统称为矩阵的线性运算
二 、矩阵与矩阵的乘法
2.2矩阵的运算及其性质
2.2矩阵的运算及其性质1. 矩阵的加法矩阵的加法是指对应位置上的元素相加，即对两个相同大小的矩阵进行加法运算。
对于两个矩阵A和B，它们的加法运算可以表示为A + B，结果矩阵C的每个元素是A和B对应位置上元素的和。
矩阵的加法满足以下性质： - 交换律：A + B = B + A - 结合律：(A + B) + C = A + (B + C) - 零元素：存在一个零元素0，满足A + 0 = A - 负元素：对于任意矩阵A，存在一个负元素-A，满足A + (-A) = 02. 矩阵的减法矩阵的减法是指对应位置上的元素相减，即对两个相同大小的矩阵进行减法运算。
对于两个矩阵A和B，它们的减法运算可以表示为A - B，结果矩阵C的每个元素是A和B对应位置上元素的差。
矩阵的减法满足以下性质： - A - B = A + (-B)3. 矩阵的数乘矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素都乘以一个数。
对于一个矩阵A和一个数k，它们的数乘运算可以表示为k * A，结果矩阵B的每个元素都是A对应位置上的元素乘以k。
矩阵的数乘满足以下性质： - 结合律：(k1 * k2) * A = k1 * (k2 * A) - 分配律：(k1 + k2) * A = k1 * A + k2 * A - 分配律：k * (A + B) = k * A + k * B - 1 * A = A4. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指矩阵和矩阵之间的一种运算。
对于两个矩阵A和B，它们的乘法运算可以表示为A * B，结果矩阵C的元素是A的行向量与B的列向量进行内积后得到的。
矩阵的乘法满足以下性质： - 结合律：(A * B) * C = A * (B * C) - 分配律：A * (B + C) = A * B + A * C - 分配律：(B + C) * A = B * A + C * A - 乘法不满足交换律，即A *B ≠ B * A5. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
矩阵的运算
x 12
x 22
x 11
x 21
0
x 0
21
得 x x x
11
12
22
这样与A可交换的矩阵形如
x 12
x 22
x 12
0
x 22
其中 x12, x22为任意数.
例6 利用矩阵乘法与矩阵相等的概念,
线性方程组:
ax 11 1
ax 12 2
ax 1n n
b 1
a 21
x a x a x
1
22 2
解：由题设AX=XA及矩阵乘积的定义, X为二
阶方阵. 因此设
X
x 11
x 12
代入有
x 21
x 22
1
1
x 11
x 12
x 11
x 12
1
1
0
0
x 21
x 22
x 21
x 22
0
0
即
x 11
x 21
x 12
x 22
x 11
x 11
0
0
x 21
x 21
由矩阵相等的定义得方程组
x 11
x 21
x 11
矩阵加法的运算规律:
1 A B B A;
(交换律)
2 A B C A B C. (结合律)
a 11
3
Aபைடு நூலகம்
a 21
a 12
a 22
a 1n
a 2
n
a
,
ij
a m1
a m1
a mn
称为矩阵A的负矩阵.
4 A A 0, A B A B.
(5) A+0=A(0表示与A同型的0矩阵).
2.2 矩阵的运算
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铃
例8．求与矩阵 A=
0 1 0 0 0 1 可交换的一切矩阵。 0 0 0
a 解：设 B= a1 a2 0 AB= 0 0
b b1 b2 1 0 0
c c1 ，那么 c2 0 a b c a1 b1 c1 1 a1 b1 c1 = a2 b2 c2 ， 0 a2 b2 c2 0 0 0
。
9 15 21 6 = 6 0 12 9 0 3 6 9
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思考：数与行列式相乘和数与矩阵相乘有什么 区别？
答：数与行列式相乘，是将数乘到行列式中的某一行
（或列）； 而数与矩阵相乘，是将数乘矩阵中的每一个 元素。
即：行列式的某行（或列）有公因子即可提出 , 但矩阵的每一个元素都有公因子时才可以提出.
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2. 数乘矩阵满足的运算律
设 A, B 为同型矩阵, λ , μ为常数，则
(1) (λμ) A=λ (μ A);
(2) (λ + μ)A = λ A + μ A.
结合律
分配律
(3) λ(A + B) = λ A + λ B.
分配律
矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。
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四、方阵的幂
(１) 定义
如果 A 是 n 阶矩阵, 那么AA 有意义, 也有意义, 因此有下述定义:
AA A
m 个A
定义
Ａ1 = A,
设 A 是 n 阶矩阵, k 是正整数,
矩阵的基本运算
例如
1 3 5
2 2 8
19316
6 0
8 不存在. 1
乘积AB 维的关系
A
B
m n
n s
C ms
=
A
8
注 两个矩阵相乘, 乘积有可能是一个数.
1
2
3
3 2
1 3 2 2 3 1 10.
1
练习 计算下列矩阵的乘积，并观察结果.
1
1 2 1 4 1 2 1 4
1
5
8
0
2
5
8
0
2
13310 1 3 734 10 1 3 7 34
1
1 2 1 4
5
10
8 1
0 3
2 734
1
1
A
1
144
5 10
2 8
1
1 0 3
4
2
7
9
34
1
2
a11 a12 L a1s
a21
a22
L
a2s
O M M M M
nnnan1
an2
L
2an2
L na1n
L
na2n
M M
L
nann
nn
A
11
a1
b1
a2
b2
O
O
an nn
bn nn
a1b1
a2b2 O
anbn nn
结论 两个n 阶对角阵之积仍为n 阶对角阵.
结论 两个n阶上（下）三角阵A之积仍为n阶上（下）三角阵12 .
❖矩阵乘法的运算规律 (1 )结 合 律 :(A B )C A (B C )
矩阵的计算方式
矩阵的计算方式1 矩阵的定义矩阵是线性代数的基础概念之一。
它是一个由数构成的矩形阵列（一个表格），并按照特定的规则进行排列。
就像我们平时用的Excel 表格一样，矩阵可以用于描述各种各样的数学问题，例如线性方程组的求解、变换矩阵的应用等等。
2 矩阵的基本运算矩阵的运算有加、减、数乘、矩阵乘法等。
以下将从这几个方面来介绍矩阵的基本运算。
2.1 矩阵加法两个矩阵的加法定义为将它们的对应元素相加得到一个新矩阵。
例如：$\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6 & 8 \\ 10 & 12\end{bmatrix}$矩阵加法需要满足以下条件：- 两个矩阵必须具有相同的行数和列数。
- 相加的两个矩阵对应的元素必须都是相同类型的，例如都是实数。
2.2 矩阵减法两个矩阵的减法与加法类似，不同的是将它们的对应元素相减得到一个新矩阵。
例如：$\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-4 & -4 \\ -4 & -4\end{bmatrix}$矩阵减法需要满足与矩阵加法相同的条件（相同的行数和列数，相同类型的元素）。
2.3 矩阵数乘将矩阵的每个元素都乘以一个标量得到一个新的矩阵，这个操作称为矩阵数乘。
例如：$2 \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2 & 4 \\ 6 & 8\end{bmatrix}$矩阵数乘需要满足以下条件：- 被乘的标量必须是一个实数或者复数。
第2章 2.2矩阵的运算
解
X 1 (B A) 2
1 2
4 4 1
6 4 2
4 2
7
4 2 2
2
3 2
2
2 2 1 1
X 1B1A 22
1 2
1
7 2
1
二、矩阵的乘法
引例 某电子集团生产三种型号的彩电，第一季
度各40万台, 20万台, 30万台, 第二季度各30万台, 10 万台, 50万台, 每万台的利润分别是400万元, 300万 元, 500万元, 第一,二季度各类产品的利润是多少 ?
对应⑴可以用矩阵形式表示为 AX B ，称为矩阵
方程。其中
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
am1 am2 amn
，X
x1 x2
xn
，
b1
B
b2
。
bm
A称为系数矩阵，A ( A | B) 称为方程组的增广矩阵 对应齐次方程组⑵可用矩阵形式表示为 AX O
-18-
例4：计算下列矩阵的乘积.
1 1 1 1
1 1
0 0
0 0
-21-
比较：
Ø在数的乘法中，若 ab = 0 a = 0 或 b = 0
在矩阵乘法中,若 AB = O A = O 或 B = O 两个非零矩阵乘积可能为O。
Ø在数的乘法中，若 ac = ad，且 a 0 c = d (消去律成立)
在矩阵乘法中, 若 AC = AD, 且 A O C = D (消去律不成立)
例1
A
1 2
0 1
2 3
,
B
1 1
3 0
4 5,
求 3A 2B
2.1 矩阵的概念 2.2矩阵的运算
a11 b11 a 21 b21 a b m1 m1
a12 b12 a 22 b22 a m 2 bm 2
a1n b1n a 2 n b2 n a mn bmn
简记为：A B (aij ) (bij ) (aij bij )
三、矩阵与矩阵的乘法
定义2· 5
B 设矩阵 A (aij ) ms ， (bij ) sn，由元素
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj
k 1
s
构成的矩阵 C (cij ) mn称为矩阵A与矩阵B的乘积。 记为 即:
a11 a i1 a m1
a12 a 22 am2
a1n a2n a mn
•
1.
矩阵概念与行列式概念的区别：
a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n 一个行列式 D a n1 a n 2 a nn
代表一个数
（*）
把方程组中系数aij及常数项 bi 按原来次序取出， 作一个矩阵
a11 a 21 a m1 a12 a 22 a1n a2n b1 b2 bm m×(n+1)
=A
增广矩阵
a m 2 a mn
则线性方程组（*）与 A 之间的关系是1-1对应的
则称矩阵A与矩阵B相等。记为：A=B
1 a c 1 1 例如：若 A B 且A=B 2 b 3 0 d
则有c=0; a=-1; b=2; d=3
一、矩阵的加法
线性代数：2.2 矩阵的运算与概念
其中 aij 称为矩阵的第 i 行第 j 列的元素. 一般情况下，我们用大写字母 A，B，C 等表示矩阵.
mn矩阵A简记为 A(aij)mn 或记作 Amn .
什么是矩阵？
黑客帝国3 The matrix revolution
• 机器帝国集结了乌贼大军攻打真实世界仅存的人类 城市－锡安城，锡安城内的人类拼死抵抗，但最后 仍是兵败如山倒；另一方面，电脑人史密斯进化成 为更高等的电脑病毒，几乎占领了整个矩阵 （Matrix），甚至包括了“矩阵之母”－先知。经 过与先知密谈的救世主尼奥进入机器城市，与矩阵 的造物主达成停战协议。
则以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的mn矩阵称为数k与矩 阵A的积，记为kA.即
ka11 ka12 ka1n kA ka21 ka22 ka2n .
kam1 kam2 kamn
矩阵数乘的性质 设A，B，C，O都是mn矩阵，k，l为常数，则
(5) k(AB)kAkB； (6) (kl)AkAlA ； (7) (kl)Ak(lA)； (8) 1AA .
2.2 矩阵的运算与概念
2.1 矩阵的概念
说在明某2些点问：题中，存在若干个具有相同长度的有序数组.比如线 性1方. 程矩组阵的的每行个数方与程列对数应不一一个定有相序同数，组而：行列式两
者必须相同.
2. 矩阵是一个a11数x1表+ ，a1而2x2行+列式 +是a1一nx个n =数b1值. a21x1 + a22x2 + + a2nxn =b2 am1x1+ am2x2 + + amnxn =bm
这些有序数组可以构成一个表
a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2 ，这个表就称为矩阵. am1 am2 amn bm
mn矩阵A简记为 A(aij)mn 或记作 Amn .
什么是矩阵？
黑客帝国3 The matrix revolution
• 机器帝国集结了乌贼大军攻打真实世界仅存的人类 城市－锡安城，锡安城内的人类拼死抵抗，但最后 仍是兵败如山倒；另一方面，电脑人史密斯进化成 为更高等的电脑病毒，几乎占领了整个矩阵 （Matrix），甚至包括了“矩阵之母”－先知。经 过与先知密谈的救世主尼奥进入机器城市，与矩阵 的造物主达成停战协议。
则以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的mn矩阵称为数k与矩 阵A的积，记为kA.即
ka11 ka12 ka1n kA ka21 ka22 ka2n .
kam1 kam2 kamn
矩阵数乘的性质 设A，B，C，O都是mn矩阵，k，l为常数，则
(5) k(AB)kAkB； (6) (kl)AkAlA ； (7) (kl)Ak(lA)； (8) 1AA .
2.2 矩阵的运算与概念
2.1 矩阵的概念
说在明某2些点问：题中，存在若干个具有相同长度的有序数组.比如线 性1方. 程矩组阵的的每行个数方与程列对数应不一一个定有相序同数，组而：行列式两
者必须相同.
2. 矩阵是一个a11数x1表+ ，a1而2x2行+列式 +是a1一nx个n =数b1值. a21x1 + a22x2 + + a2nxn =b2 am1x1+ am2x2 + + amnxn =bm
这些有序数组可以构成一个表
a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2 ，这个表就称为矩阵. am1 am2 amn bm
第二章矩阵及其运算
数乘矩阵与数乘行 列式的区别所在！！
23
第二章 矩阵及其运算
3 1 2 0 A= 1 5 7 9
2 4 6 8
7 5 2 4 B= 5 1 9 7
3 2 1 6
求满足关系式 A+2X=B 的矩阵 X （3A—2B） 三、矩阵的乘法
定义 3：设 A=（ aij ） ms B =（ bij ） sn 则乘积 AB=C=( cij ) mn
线性代数教案
课题
教学内容 教学目标 教学重点
第二章 矩阵及其运算 §2.1 矩阵 §2.2 矩阵的运算
矩阵的概念； 矩阵的运算；
明确矩阵概念的形成； 掌握矩阵的加法、数与矩阵的乘法、矩阵与矩阵的乘法； 会求矩阵的转置、方阵的行列式、共轭矩阵；
掌握矩阵定义及运算法则
教学难点 矩阵乘法
教学内容、 安排
矩阵：matrix 矩阵运算：matrix operations 矩阵的加法：matrix addition 数与矩阵相乘：scalar muctiplication 转置矩阵：transposd matrix
A
的乘积。即
kA=
k
aij
=
ka21
kam1
ka12 ka22
kam2
ka1n
ka2n
kamn
用数乘以 矩阵中 的每一个元素
由定义可知 –A=(-1) A
A – B = A+(-B) 数乘矩阵满足以下的运算律 1、结合律：(kl)A=k(lA)=l(kA) 2、交换律：kA=Ak 3、分配律：k（A+ B）=kA+kB 例1、 设
教学手段、
措施
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( AB )k Ak B k ( A B )2 A2 2 AB B 2 ( A B )( A B ) A2 B 2
A、B可交换时成立
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2.2.3 矩阵的乘法
线性变换的矩阵式表示
设有变量 x1 , x2 , , xn 到变量 y1 , y2 , , ym 线性变换：
a12 c12 a22 c22 a32 c32
a13 c13 a23 c23 a33 c33
a14 c14 a24 c24 a34 c34
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2.2.1 矩阵的加法
【定义1】设有两个 m×n 矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩
2 1 1 2 0 2 AC 1 1 0 2 2 2
【注】 （1）矩阵相乘一般不满足交换律，即AB≠BA;
B=C； （2）矩阵乘法一般不满足消去律，即若AB=AC，则不一定有
（3）两个非零矩阵的乘积可以为0，即虽然AB=0，但 不能得出A=0或B=0.
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2.2.2 数乘矩阵 知识点比较
a11 a12 a13 l a11 l a12 l a13 a11 a12 l a13 l a21 a22 a23 a21 a22 a23 a21 a22 l a23 a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 l a33
2.2.3 矩阵的乘法
1 2 1 2 3 2 1 ，求AB与BA. 【例1】设矩阵 A , B 1 0 1 1 1
1 2 1 2 3 AB的行、列数分别多少？ 2 1 【解】AB 1 0 1 1 1
高等学校《工程数学》系列课程
— Linear Algebra — 线性代数 （第五版） （同济大学版）
线性代数
新余学院 ·数学教研室
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第二章 矩阵
内容提要 §2.1 矩阵的概念 §2.2 矩阵的运算 §2.3 分块矩阵
§2.4 逆矩阵
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2.2 矩阵的运算
11 2 (2) 3 1 1 2 2 1 3 1 0 7 1 1 0 ( 2 ) 0 1 1 2 0 1 1 1 2 3
2 5 1 2 3 1 2 3 同理有 BA 2 1 1 4 5 1 0 1 2 1 1 2 4
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn , y a x a x a x , 2 21 1 22 2 2n n ym am1 x1 am 2 x2 amn xn .
a11 a12 a1n y1 x1 a y x a a 22 2n A 21 ,Y 2 , X 2 a a a y n2 nn mn n1 m m1 xn n1
设矩阵 A = (aij) ，记－A = (－aij)，称为矩阵 A 的负矩阵． 显然
A ( A) 0, A B A ( B)
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2.2.2 数乘矩阵
【引例】（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：b 其中bi 1 表示第 i 种货物的单价，bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．b 设工厂向某家商店发送四种货物各 l 件，试求：工厂向该商店 发送第 j 种货物的总值及总重量． 【解】工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量
k 1
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a11
a12
a13
a14
4
4
2.2.3 矩阵的乘法 一般地，
cij ai 1b1 j ai 2b2 j ai 3b3 j ai 4b4 j aik bkj
k 1
4
(i 1, 2, 3; j 1, 2)
可用矩阵表示为
a11 a21 a 31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 b11 a14 b21 a24 b31 a34 b41 b12 c11 b22 c21 b32 c31 b42 c12 c22 c32
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2.2.3 矩阵的乘法
1 1 1 1 2 0 ,B ,C 【例2】设矩阵 A ，求AB,BA,AC. 1 1 1 1 0 2
2 1 1 1 1 2 【解】AB 1 1 1 1 2 2 1 1 1 0 0 1 BA 1 1 1 1 0 0
k 1
s
(i 1, 2, m; j 1, 2, , n)
并把此乘积记作 C = AB． 你发现矩阵的乘法有何要求和特点？ （1）“左列” = “右行”时，矩阵乘法才有意义；
（2）C的行数为A的行数，列数为B的列数；
（3）C的元素cij为A的第i行元素与B的第j列对应元素乘积之和.
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2.2.2 数乘矩阵 【定义2】数 l 与矩阵 A 的乘积记作 l A 或 A l ，规定为
l a11 l a21 l A Al l am 1
la 1 2 la 2 2
l am 1
la 1 n la 2 n l amn
试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量．
2.2.3 矩阵的乘法
以 ci1， ci2 分别表示工厂向第 i 家商店所发货物的总值及
总重量，其中 i = 1, 2, 3．于是
c11 a1k bk 1 k 1 b21 b31 b41 b11 c12 a11b12 a12b22 a13 b32 a14b42 a1k bk 2
a11 a21 a 31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a14 a24 a34
c11 c21 c 31
c12 c22 c32
c13 c23 c33
c14 c24 c34
a11 c11 a21 c21 a c 31 31
【引例】某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商 店发送货物的数量可用数表表示： 其中aij 表示 其中cij 表示 c c c c a a a a 11 12 13 14 11 12 13 14 上半年工厂 工厂下半年 向第 i 家商 a21 a22 a23 a24 c21 c22 c23 c24 向第 i 家商 店发送第 j a31 a32 a33 a34 c31 c32 c33 c34 店发送第 j 种货物数量 种货物数量 试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量． 【解】工厂在一年内向各商店发送货物的数量
说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算. a11 a12 a13 a11 b12 a13 a11 a12 b12 a13 a21 a22 a23 a21 b22 a23 a21 a22 b22 a23 知识点 a31 a32 a33 a31 b32 a33 a31 a32 b32 a33 比 较 a a a a b a a a b a 11 12 13 11 12 13 11 12 12 13 a a a a b a a a b a 21 22 23 21 22 23 21 22 22 23 a a a a b a a a b a 31 32 33 31 32 33 的作用类似于数1，即
Em Amn Amn En A
k AA A (5) 矩阵的幂 若 A 是 n 阶方阵，定义 A k
显然 A A A
k l
k l
, (A ) A
k l
kl
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2.2.3 矩阵的乘法 思考：下列等式在什么时候成立？
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a 24 a 34
其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量．
这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：
b11 b21 b31 b41
b12 b22 b32 b42
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其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．
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2.2.1 矩阵的加法
矩阵加法的运算规律
a, b, c R
设 A、B、C 是同型矩阵
交 换 律
ab ba
A B B A
( A B) C A ( B C )
结 合 ( a b) c a ( b c ) 律
其 他
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2.2.3 矩阵的乘法
矩阵乘法的运算规律
(1) 乘法结合律 ( AB)C A( BC ) (2) 数乘和乘法的结合律 l AB (l A) B（其中 l 是数） (3) 乘法对加法的分配律 A( B C ) AB AC
( B C ) A BA CA
阵 A 与 B 的和记作 A＋B，规定为
a11 b11 a21 b21 A B am 1 bm 1 a12 b12 a22 b22 am 2 bm 2 a1n b1n a2 n b2 n amn bmn