【创新设计】2015高考数学(人教通用,文科)二轮专题训练：小题分类补偿练 不等式
2015届高三下文科数学综合训练二参考答案
2015届高三（下）文科数学综合训练二参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．8； 14． 15．1； 16．1(0,]3．三、解答题：（第22题14分，其他每题12分，共74分）17. 本题主要考等差数列、数列求和等基础知识；考查推理论证与运算求解能力，满分12分． 解：（I ）∵点(,)n n S 在函数2()f x x =的图象上，∴2.n S n = ················································································································ 1分∴当1n =时，111a S ==, ······················································································· 2分 当2n ≥时，1n n n a S S -=- ··················································································· 3分22(1)21n n n =--=- ································································· 4分 又11a =满足21,n a n =- ························································································ 5分 ∴2 1.n a n =- ·········································································································· 6分(II) ∵111(21)(21)n n n b a a n n +==⋅-⋅+ ·································································· 7分111()22121n n =--+，············································································ 9分 ∴12n n T b b b =++⋅⋅⋅+111111[(1)()()]23352121n n =-+-+⋅⋅⋅+--+ ·················································· 11分 11(1)221n =-+.21nn =+ ················································································ 12分 18．本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解 能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．满分12分． 解：（I ）从统计的5年发电量中任取2年的基本事件为(7.4,7.0),(7.4,9.2),(7.4,7.9),(7.4,10.0),(7.0,9.2),(7.0,7.9),(7.0,10.0),(9.2,7.9),(9.2,10.0),(7.9,10.0) 共10个． ······························ 3分 （说明：若列出不足6个，不给分；若列出6个，不足10个且所列均正确者得1分） 其中2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的基本事件为 (7.4,7.0),(7.4,7.9),(7.0,7.9),共3个． ······························································· 5分所以这2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率3.10P = ·································· 6分（II ）∵1500140019001600210085001700,55x ++++=== ································ 7分 7.47.09.27.910.041.58.3.55y ++++=== ····························································· 8分 又直线 0.004y x a =+ 过点(,)x y ， ····································································· 9分 ∴8.30.0041700,a =⨯+ 解得 1.5a =，∴0.004 1.5y x =+． ······························································································· 10分 当1800x =时，0.0041800 1.58.79.0y =⨯+=<,··················································· 11分 所以不能完成发电任务，缺口量为0.3（亿千瓦时）． ········································· 12分 19．本题主要考查空间线与线、线与面、面面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，满分12分． 证法一：（I ）连接1AC 交1A C 于点N ，则N 为1A C 的中点．……1分∵M 为AB 的中点，∴1//MN BC ．……………………………………………3分又∵1MN ACM ⊂平面， ………………………………4分 11BC ACM ⊄平面， ……………………………………5分 ∴11//BC ACM 平面．……………………………………6分 （II ）∵CA CB =，M 为AB 的中点，∴CM AB ⊥． …………………………………………7分 ∵1A 在平面ABC 的射影为M ，∴1A M ACB ⊥平面，……………………………………8分 ∴1A M AB ⊥，…………………………………………9分 又1CMA M M =，∴1AB ACM ⊥平面，…………………………………10分 又11AB ABB A ⊂平面，………………………………11分 ∴111.ACM ABB A ⊥平面平面 …………………………12分 证法二：（I ）取11A B 中点N ，连结1,BN C N ，………1分∵M 为AB 的中点，∴1A N MB =，1A N //MB∴四边形1A MBN 为平行四边形，∴1//BN A M ．…………………………………………2分 同理可得1//C N CM ，又11C N ACM ⊄平面，1CM ACM ⊂平面，…………3分 ∴11//C N ACM 平面．…………………………………4分 同理1//BN ACM 平面． ∵1C NBN N =，∴11//BC N ACM 平面平面，……………………………5分 ∵11BC BC N ⊂平面，A 1ABC 1CMB 1N证法二图B 1 A 1 ABC 1 C MN证法一图∴11//BC ACM 平面． …………………………………6分 （II ）同解法一．20．本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．满分12分． 解：（I ）依题意得：1()2cos 222f x x x x ωωω=+- ····························································· 2分12cos 22x x ωω=+ ················································································· 3分 sin(2)6x πω=+， ···························································································· 4分 ∵0ω>，∴222T ππω==，∴12ω=， ··············································································································· 5分∴()sin()6f x x π=+． ······························································································ 6分（II ）∵0A π<<， ∴7666A πππ<+<． ∵()sin()6f x x π=+在x A =时取得最值，∴,623A A πππ+==． ···························································································· 8分∵1sin 2ABC S bc A ∆===，∴6bc =． ··············································································································· 9分 ∵5b c +=，∴2222cos a b c bc A =+- ·························································································· 10分22b c bc =+- 2()3b c bc =+- 2518=-7=， ·································································································· 11分∴a = ················································································································· 12分 21．本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归转化思想、函数方程的思想、数形结合思想．满分12分．解法一：（I ）()1,x f x e '=- ···················································································· 1分由()0f x '>可得0,x >；由()0f x '<可得0,x < ············································ 2分 ∴()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． ······································ 3分(II) (),x g x e x '=- ································································································· 4分 由（I ）知()g x '在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， ∴()(0)10,g x g ''≥=> ······························································································ 5分∴()g x 在[0,)+∞上单调递增， ··············································································· 6分 ∴[0,)x ∈+∞时，min ()(0)0.g x g == ······································································· 7分 （III ）由(II) 知当0x >时，()0,g x >即0x >时，211,2x e x >+ ····················································································· 8分设函数221311()1(ln )ln ,2222h x x x x x =+-+=--则211()(0),x h x x x x x-'=-=> ············································································· 9分 由()0h x '>可得1x >；由()0h x '<可得01,x <<∴()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． ··········································· 10分 ∴()(1)0,h x h ≥=∴0x >时，2131ln ,22x x +≥+ ·············································································· 11分∴3ln .2x e x >+ ······································································································ 12分解法二：（I ）(II)同解法一．（III ）设3()ln ,2x h x e x =--则1()(0),x h x e x x '=-> ························································································· 8分∵1()x h x e x '=-在 (0,)+∞上单调递增，且121()20,(1)10,2h e h e ''=-<=-> ()h x 在1(,1)2上连续， ·································· 9分∴存在唯一01(,1)2x ∈，使得0()0h x '=，即00001,ln ,x e x x x ==-························· 10分∴0(0,)x x ∈时，()0,h x '<()h x 在0(0,)x 上单调递减，0(,)x x ∈+∞时，()0,h x '>()h x 在0(,)x +∞上单调递增， …………………………11分∴0000031331()()ln 20,2222x h x h x e x x x ≥=--=+->-=>∴()0h x >， 即3ln .2x e x >+················································································ 12分 22．本题主要考查直线、抛物线、椭圆等基础知识及直线与抛物线的位置关系；考查运算求解、抽象概括能力，化归与转化思想．满分14分．解法一：（I ）∵抛物线22(0)x py p =>的焦点为(0,).2pF ···································· 1分椭圆22143y x +=的焦点为(0,1)± ············································································ 2分 ∴1,2,2pp == ∴抛物线的方程为24.x y = ····················································································· 3分（II ）（ⅰ）联立21,4y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440,x kx --=······················································ 4分 216160,k ∆=+>设1122(,),(,)A x y B x y则12124,4x x k x x +=⋅=-， ···················································································· 5分由24x y =，得2,,42x x y y '==所以过A 的切线PA 的方程为：1111(),2y y x x x -=- 整理得： 2111124y x x x =- ⋅⋅⋅① …………………………………6分 同理切线PB 的方程为：2221124y x x x =- ⋅⋅⋅②联立①②解得122,1,2P P x xx k y +===-即(2,1).P k - ········································ 7分当0k =时，(0,1),(0,1),P F -有.PF AB ⊥……………………………………………8分当0k ≠时，1(1)1,02PF k k k--==--有.PF AB ⊥所以0PF AB ⋅=为定值． ······················································································ 9分（ⅱ）由（ⅰ）可设直线PF 的方程为：11(0)y x k k=-+≠．…………………10分由211,4y x k x y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩得2440,x x k +-= 设223434(,),(,)44x x C x D x则34344,4,x x x x k+=-⋅=-…………………11分∵(2,1)P k -，(0,1).F∴PC FD PD CF ⋅-⋅2222334444331111(2,1)(,1)(2,1)(,1)4444x k x x x x k x x x =-+⋅---+⋅--2222343443431111(2)(1)(1)(2)(1)(1)4444x k x x x x k x x x =-⋅++⋅-+-++⋅-………12分22343434122()28x x k x x x x =-++-24182()(4)28k k =---+⋅--=0∴PC FD PD CF ⋅=⋅， ·························································································· 13分 又,,,P C F D 共线，∴||||||||.PC FD PD CF ⋅=⋅ ···················································································· 14分。
《创新设计》全国通用高考数学文科二轮专题复习小题分类补偿练高考_5
补偿练5 平面向量(限时：40分钟)一、选择题1.向量a ＝(m ，1)，b ＝(n ，1)，则m n＝1是a ∥b 的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 若m ＝n ，则由向量的定义显然有a ＝b ，必有a ∥b ，若a ∥b ，则m ·1－n ·1＝0，得m ＝n ，不能推出m n＝1，故选A. 答案 A2.已知向量a ＝(3，4)，若|λa |＝5，则实数λ的值为( )A.15B.1C.±15D.±1 解析 因为a ＝(3，4)，所以|a |＝32＋42＝5，因为|λa |＝|λ|·|a |＝5，所以5|λ|＝5，解得：λ＝±1.答案 D3.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，0)，c ＝(1，－2)，若向量λa ＋b 与c 共线，则实数λ的值为( )A.－2B.－13C.－1D.－23解析 由题知λa ＋b ＝(λ＋2，2λ)，又λa ＋b 与c 共线，∴－2(λ＋2)－2λ＝0，∴λ＝－1.答案 C4.已知a ＝(－3，2)，b ＝(－1，0)，向量λa ＋b 与向量a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A.－17B.17C.－16D.16解析 λa ＋b ＝(－3λ－1，2λ)，a －2b ＝(－1，2)，由(λa ＋b )·(a －2b )＝0得(－3λ－1，2λ)·(－1，2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17. 答案 A5.在平面四边形ABCD 中，满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( )A.矩形B.正方形C.菱形D.梯形解析 因为AB →＋CD →＝0，所以AB →＝－CD →＝DC →，所以四边形ABCD 是平行四边形，又(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →＝0，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形.答案 C6.已知a ＝(1，－2)，|b |＝25，且a ∥b ，则b ＝( ) A.(2，－4) B.(－2，4)C.(2，－4)或(－2，4)D.(4，－8)解析 设b ＝(x ，y )，由题意可得⎩⎨⎧y ＋2x ＝0，x 2＋y 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4， ∴b ＝(2，－4)或(－2，4).答案 C7.已知△ABC 中，平面内一点P 满足CP →＝23CA →＋13CB →，若|PB →|＝t |P A →|，则t 的值为( ) A.3 B.13 C.2 D.12解析 由题意可知PB →＝CB →－CP →＝CB →－⎝⎛⎭⎫23CA →＋13CB →＝23(CB →－CA →)＝23AB →，同理可得P A →＝－13AB →， ∴|PB →|＝2|P A →|，即t ＝2.答案 C8.若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为( )A.π6B.π3C.5π6D.2π3解析 由题意作图，设AB →＝b ，AD →＝a ，结合向量的几何意义可知∠ABD ＝∠CAB ＝π6， 故向量a ＋b 与a －b 的夹角为AC →与BD →的夹角为2π3. 答案 D9.在△ABC 中，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E 、F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF→＝( )A.89B.109C.259D.269解析 若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即有AB →·AC →＝0，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →＝(AC →＋CE →)·(AB →＋BF →)＝⎝⎛⎭⎫AC →＋13CB →·⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC → ＝⎝⎛⎭⎫23AC →＋13AB →·⎝⎛⎭⎫13AC →＋23AB →＝29AC →2＋29AB →2＋59AB →·AC →＝29×(1＋4)＋0＝109. 答案 B10.已知△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →|＝( )A.6B.5C.4D.3解析 ∵AD →＝12(AB →＋AC →)，AB →·AC →＝－16， ∴|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝－16，在△ABC 中，|BC →|2＝|AB →|2＋|AC →|2－2|AB →||AC →|·cos ∠BAC ，∴102＝|AB →|2＋|AC →|2＋32，即|AB →|2＋|AC →|2＝68，∴|AD →|2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝14(68－32)＝9， ∴|AD →|＝3.答案 D11.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12bB.12a ＋14b C.23a ＋13b D.13a ＋23b 解析 AD →＝AO →＋OD →＝12AC →＋12BD →＝12a ＋12b ，∵E 是OD 的中点，DE EB ＝13，∴DF →＝13AB →＝13(OB →－OA →)＝13×⎣⎡⎦⎤－12BD →－⎝⎛⎭⎫－12AC →＝16AC →－16BD →＝16a －16b ， ∴AF →＝AD →＋DF →＝12a ＋12b ＋16a －16b ＝23a ＋13b . 答案 C12.已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c ·a ＝c ·b ＝1，则对任意的正实数t ，|c ＋t a ＋1tb |的最小值是( )A.2B.2 2C.4D.4 2解析 设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，则c ＝(1，1)，代入得c ＋t a ＋1tb ＝⎝⎛⎭⎫1＋t ，1＋1t ， 所以|c ＋t a ＋1tb |＝（1＋t ）2＋⎝⎛⎭⎫1＋1t 2 ＝t 2＋1t 2＋2t ＋2t＋2≥2 2. 答案 B二、填空题13.设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝________.解析 ∵|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6，两式相减得：4a ·b ＝4，即a ·b ＝1.答案 114.在△ABC 中，已知AB →·(BC →－BA →)＝4，AB →·BC →＝－12，则|AC →－BC →|＝________.解析 由AB →·(BC →－BA →)＝4得AB →·AC →＝4，又AB →·AC →－AB →·BC →＝|AB →|2＝16得|AB →|＝4，故|AC →－BC →|＝|AB →|＝4.答案 415.已知向量p ＝(2，－1)，q ＝(x ，2)，且p ⊥q ，则|p ＋λq |的最小值为________.解析 p ·q ＝(2，－1)·(x ，2)＝2x －2＝0，从而x ＝1，∴p ＋λq ＝(2，－1)＋λ(1，2)＝(2＋λ，2λ－1)，|p ＋λq |＝（2＋λ）2＋（2λ－1）2＝5λ2＋5≥5，∴最小值为 5.答案 516.圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC→方向上的投影为________.解析 ∵AB →＋AC →＝2AO →，∴O 是BC 的中点，故△ABC 为直角三角形，在△AOC 中，有|OA →|＝|AC →|，∴∠B ＝30°.由定义，向量BA →在向量BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝23×32＝3. 答案 3。
《创新设计》全国通用高考数学文科二轮专题复习小题分类补偿练高考_6
补偿练6 数 列(限时：40分钟)一、选择题1.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n (n ≥2)，则a 7＝( )A.53B.54C.55D.109解析 a 7＝(a 7－a 6)＋(a 6－a 5)＋(a 5－a 4)＋(a 4－a 3)＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝2(7＋6＋5＋4＋3＋2)＋1＝55.答案 C2.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若6a 3＋2a 4－3a 2＝5，则S 7＝( )A.28B.21C.14D.7解析 6a 3＋2a 4－3a 2＝6(a 1＋2d )＋2(a 1＋3d )－3(a 1＋d )＝5a 1＋15d ＝5a 4， ∴a 4＝1，∴S 7＝7a 4＝7.答案 D3.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( ) A.2 B.73 C.83D.3 解析 ∵数列{a n }是等比数列，∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，则(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)，令S 6＝3，S 3＝1，解得：S 9＝7，∴S 9S 6＝73. 答案 B4.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( )A.5B.6C.7D.8解析 由S n ＋2－S n ＝36，得：a n ＋1＋a n ＋2＝36，即a 1＋nd ＋a 1＋(n ＋1)d ＝36，又a 1＝1，d ＝2，∴2＋2n ＋2(n ＋1)＝36.解得n ＝8.答案 D5.设{a n }是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 4”是“数列{a n }是递增数列”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 当a 1＜0，q ＜－1时，满足a 1＜a 2＜a 4，但此时的数列a 1，a 3，a 5，…＜0，a 2，a 4，a 6，…＞0，是摆动数列，所以a 1＜a 2＜a 4时，数列{a n }不一定是递增数列，充分性不成立；若数列{a n }是递增数列，则一定有a 1＜a 2＜a 4，必要性成立.答案 B6.数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋1＝(2n －λ)a n (n ＝1，2，…)，则a 3等于( )A.15B.10C.9D.5解析 由a 2＝(2－λ)a 1，可得2－λ＝3，解得λ＝－1，∴a 3＝(2×2＋1)×3＝15. 答案 A7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＋a 7＋a 10＝9，S 14－S 3＝77，则S n 取得最小值时，n 的值为( )A.4B.5C.6D.7解析 设{a n }的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＋a 10＝9，S 14－S 3＝77，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝2，因此等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －11，令a n ＞0，解得n ＞112，故前5项和最小. 答案 B8.在正项等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且－a 3，a 2，a 4成等差数列，则S 7的值为( )A.125B.126C.127D.128解析 设正项等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，且a 1＝1，由－a 3，a 2，a 4成等差数列，得2a 2＝a 4－a 3，即2a 1q ＝a 1q 3－a 1q 2.因为q ＞0.所以q 2－q －2＝0.解得q ＝－1(舍)，或q ＝2.则S 7＝a 1（1－q 7）1－q ＝1·（1－27）1－2＝127. 答案 C9.已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( )A.1B.2C.4D.8解析 由a 4－2a 27＋3a 8＝0得：2a 27＝a 4＋3a 8＝4a 7，∴a 7＝2，∴b 7＝2，又∵b 2b 8b 11＝b 1q ·b 1q 7·b 1q 10＝b 31·q 18＝(b 7)3＝8. 答案 D10.设等差数列{a n }和等比数列{b n }的首项都是1，公差与公比都是2，则ab 1＋ab 2＋ab 3＋ab 4＋ab 5＝( )A.54B.56C.58D.57解析 由题意，a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，b n ＝1×2n －1＝2n －1，∴ab 1＋…＋ab 5＝a 1＋a 2＋a 4＋a 8＋a 16＝1＋3＋7＋15＋31＝57.答案 D11.已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线斜率为3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （n ）的前n 项和为S n ，则S 2 014的值为( )A.2 0122 013B.2 0132 014C.2 0142 015D.2 0152 016解析 函数的导数f ′(x )＝2x ＋b ，∵点A (1，f (1))处的切线的斜率为3，∴f ′(1)＝2＋b ＝3，解得b ＝1.∴f (x )＝x 2＋x ＝x (x ＋1)，∴1f （n ）＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1， ∴S 2 014＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫12 014－12 015＝1－12 015＝2 0142 015. 答案 C12.已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }前n项的和，则2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为( ) A.4 B.3 C.23－2 D.92解析 据题意由a 1，a 3，a 13成等比数列可得(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2，故a n ＝2n －1，S n ＝n 2，因此2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1＝（n ＋1）2－2（n ＋1）＋9n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2，据基本不等式知2S n ＋16a n ＋3＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥2（n ＋1）×9n ＋1－2＝4，当n ＝2时取得最小值4.答案 A二、填空题13.已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d的值为________. 解析 ∵a 1，a 3，a 7成等比数列，∴a 23＝a 1a 7，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，∴4d 2＝2a 1d ，∴a 1d＝2. 答案 214.已知数列{a n }，a n ＝2n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝________. 解析 由题意得数列{a n }为首项是2，公比为2的等比数列， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为12的等比数列，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－12n . 答案 1－12n 15.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________. 解析 由a 5＝14＝a 2·q 3＝2·q 3，解得q ＝12.数列{a n a n ＋1}仍是等比数列，其首项是a 1a 2＝8，公比为14， 所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n 1－14 ＝323(1－4－n ). 答案323(1－4－n ) 16.数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝3，a n ＝2S n －1＋3n (n ≥2)，则该数列的通项公式a n ＝________. 解析 ∵a n ＝2S n －1＋3n ，∴a n －1＝2S n －2＋3n －1(n ≥3)，相减得：a n －a n －1＝2a n －1＋2×3n －1，即a n ＝3a n －1＋2×3n －1，∴a n 3n ＝a n －13n －1＋23(n ≥3).又a 2＝2S 1＋32＝2a 1＋32＝15，a 232＝53，a 13＋23＝53，即a 232＝a 13＋23，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是以1为首项，23为公差的等差数列，∴a n 3n ＝1＋(n －1)×23，∴a n ＝(2n ＋1)3n －1.答案 (2n ＋1)·3n －1。
【创新设计】(人教通用)2015高考数学二轮复习 专题整合 2-2 解三角形问题 理(含最新原创题,
第2讲 解三角形问题一、选择题1．(2014·某某模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba＝( )．A. 2 B ．2 2 C. 3D ．2 3解析 因为a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，所以由正弦定理，得sin A sin A sinB ＋sinB ()1－sin 2A ＝2sin A ，即sinB ＝2sin A ，所以b a＝ 2.答案 A2．(2014·某某模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a sin A ＋b sin B －c sin C ＝3a sin B ，则角C 等于( )． A.π6 B ．π4C.π3D ．5π6解析 由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝3ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，又0＜C ＜π，所以C ＝π6.答案 A3．(2014·某某省实验中学一模)在△ABC 中，sin(A ＋B )·sin(A －B )＝sin 2C ，则此三角形的形状是( )． A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析 因为sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2C ，所以sin (A －B )＝sin C ，又因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A －B ＝C ，所以A ＝90°，所以△ABC 为直角三角形． 答案 B4．(2014·某某模拟)在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积S ＝3，则sin C ＝( )．A.1313B ．35 C.45D ．23913解析 因为在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积S ＝3，所以S △ABC ＝12BC ×BA sin B＝3，即12×1×BA ×32＝3，解得BA ＝4.又由余弦定理，得AC 2＝BC 2＋BA 2－2BC ·BA cosB ，即得AC ＝13，由正弦定理，得BAsin C＝ACsin B ，解得sin C ＝23913. 答案 D5．(2014·某某卷)已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin 2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )． A ．bc (b ＋c )>8 B ．ab (a ＋b )>16 2 C ．6≤abc ≤12D ．12≤abc ≤24解析 由sin 2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，得2sin A ·cos A ＋sin(C －B )·cos A ＋cos (C －B )· sin A ＝sin(C －B )·cos A －cos (C －B )·sin A ＋12，即2sin A [cos A ＋cos C ·cos B ＋sin C ·sin B ]＝12，即2sin A [－cos (B ＋C )＋cos B ·cos C ＋sin C ·sin B ]＝12，化简，得sin A ·sin B ·sin C ＝18，由面积公式，得8S3abc2＝18，所以(abc )2＝64S 3∈[64,512]，即abc ∈[8,16 2 ]，从而可以排除选项C 和D ；对于选项A ：bc (b ＋c )>bca ≥8，即bc (b ＋c )>8，故A 正确；对于选项B ：ab (a ＋b )＞abc ≥8，即ab (a ＋b )＞8，故B 错误，故选A. 答案 A 二、填空题6．(2014·某某卷)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．解析 由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ， ∴12＝AB 2＋16－2×AB ×4×cos 60°，解得AB ＝2， ∴S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝12×2×4×sin 60°＝2 3.答案 2 37．(2014·某某卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sinB ＝3sinC ，则cos A 的值为________．解析 ∵2sin B ＝3sin C ，由正弦定理得2b ＝3c ，∴b ＝32c ，又b －c ＝14a ，∴a ＝4(b －c )，∴a ＝2c .∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22·32c 2＝－14.答案 －148．(2014·某某卷)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．解析 ∵sin A ＋2sin B ＝2sin C . 由正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，即c ＝a ＋2b2，cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2即ab＝23时等号成立．∴cos C 的最小值为6－24. 答案 6－24三、解答题9．(2014·卷)如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B ) ＝sin ∠ADC cos ∠B －cos ∠ADC sin ∠B ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，B ＝2π3，b ＝3，求a ＋c 的X 围．解 法一 由B ＝2π3，得A ＋C ＝π3.所以sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝sin A ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos A －cos π3sin A ＝12sin A ＋32cos A ＝ sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3.又0＜A ＜π3，所以π3＜A ＋π3＜2π3.所以32＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3≤1.所以sin A ＋sin C ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1.由正弦定理，得a sin A ＝c sin C ＝b sin B ＝3sin2π3＝2，所以a ＋c ＝2sin A ＋2sin C ＝2(sin A ＋sin C )． 所以a ＋c ∈(3，2]．法二 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝(a ＋c )2－2ac ＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a＋c )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝3a ＋c24，当且仅当a ＝c 时，取等号．所以(a ＋c )2≤4，故a ＋c ≤2.又a ＋c ＞b ＝3，所以3＜a ＋c ≤2，即a ＋c ∈(3，2]．11.如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C . 现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么X 围内？解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，得AB ＝ACsin B ·sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)． 所以索道AB 的长为1 040 m.(2)设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)， 因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ·sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)X 围内．。
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补偿练10统计与概率(建议用时：40分钟)一、选择题1．将参加夏令营的编号为1,2,3，…，52的52名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号为()．A．3 B．12C．16 D．19解析把52人分成4组，每组13人，第一组抽6号，则第二组抽19号，故未知的学生编号是19.答案 D2．某学校有体育特长生25人，美术特长生35人，音乐特长生40人．用分层抽样的方法从中抽取40人，则抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为()．A．8,14,18 B．9,13,18C．10,14,16 D．9,14,17解析设抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为x，y，z，则x25＝y35＝z40＝40100，解得x＝10，y＝14，z＝16.答案 C3．如图是2014年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为()．A．85,84 B．84,85C．86,84 D．84,86解析由图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,84,86,87.∴平均数为84＋84＋84＋86＋875＝85，众数为84.答案 A4．为了估计某水池中鱼的尾数，先从水池中捕出2 000尾鱼，并给每尾鱼做上标记(不影响存活)，然后放回水池，经过适当的时间，再从水池中捕出500尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该水池中鱼的尾数为()．A．10 000 B．20 000C．25 000 D．30 000解析由题意可得有记号的鱼所占的比例大约为40500＝225，设水池中鱼的尾数是x，则有225＝2 000x，解得x＝25 000.答案 C5.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是()．A．甲B．乙C．甲、乙相等D．无法确定解析从茎叶图上可以观察到：甲监测点的样本数据比乙监测点的样本数据更加集中，因此甲地浓度的方差较小．答案 A6．某大学对1 000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图)，则这1 000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是()．A ．300B ．400C ．500D ．600解析 依题意得，题中的1 000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是1 000×(0.035＋0.015＋0.010)×10＝600. 答案 D7．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y ^＝13x ＋a ^，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a ^的值是( )． A.116 B ．18 C.14D ．12解析 由题意知x ＝34，y ＝38，故样本中心为(34，38)，代入回归直线方程y ^＝13x ＋a ^，得a ^＝18. 答案 B8．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{2,3,4}中随机选取一个数为b ，则b ＞a 的概率是( )． A.45 B ．35 C.25D ．15解析 从两个集合中各选1个数有15种选法，满足b ＞a 的选法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共有6种，所以b＞a的概率是615＝25.答案 C9．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：附：K2＝n(ad(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)参照附表，得到的正确结论是()．A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居居民能否做到‘光盘’与性别有关”B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”解析因为K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)≈3.030，因为K2＞2.706，所以P(K2＞2.706)≈0.10.所以说有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．答案 C10．从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数a，b，使得a2≥4b的概率是()．A.13B．512C.12D．712解析从1,2,3,4这四个数字中依次取两个数a，b的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)(4,3)，共12个，其中符合a 2≥4b 的事件有6个，故所求概率为P ＝612＝12. 答案 C11．在满足不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面点集中随机取一点M (x 0，y 0)，设事件A 为“y 0＜2x 0”，那么事件A 发生的概率是( )．A.14 B ．34 C.13D ．23解析不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0表示的平面区域的面积为12×(1＋3)×2＝4；不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0，y ＜2x表示的平面区域的面积为12×3×2＝3，因此所求的概率等于34. 答案 B12. 如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC 的内角A ，B 分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC 内的概率为( )．A.3＋316π B ．3＋34π C.4π3＋3D ．16π3＋3解析 由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ＝2R (R 为圆的半径)⇒⎩⎨⎧BC ＝20 sin 60°，AC ＝20 sin 45°⇒⎩⎨⎧BC ＝103，AC ＝102， 那么S △ABC ＝12×103×102sin 75°＝12×103×102×6＋24＝25(3＋3)．于是，豆子落在三角形ABC 内的概率为P ＝S △ABC 圆的面积＝25(3＋3)102π＝3＋34π.答案 B 二、填空题13．现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为__________．解析 从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，有甲、乙；甲、丙；乙、丙三种可能，则甲被选中的概率为23. 答案2314．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．解析 第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为 1 020×0.5＋980×0.2＋1 030×0.3＝1 015. 答案 50 1 01515．投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1,2,3,4,5,6)一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为________．解析抛掷两颗相同的正方体骰子共有36种等可能的结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)．点数积等于12的结果有：(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4种，故所求事件的概率为436＝19.答案1 916．在边长为2的正方形ABCD内部任取一点M，则满足∠AMB＞90°的概率为__________．解析如图，如果M点位于以AB为直径的半圆内部，则∠AMB＞90°，否则，M点位于半圆上及空白部分，则∠AMB≤90°，所以∠AMB＞90°的概率P＝12×π×1222＝π8.答案π8。
2015高考数学(人教通用,文科)二轮专题训练：小题分类
补偿练11复数、程序框图、推理与证明(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知复数z＝－2i，则1z＋1的虚部为()．A.25i B．25C.255i D．255解析因为z＝－2i，所以1z＋1＝1－2i＋1＝1＋2i(1－2i)(1＋2i)＝15＋25i，所以虚部为25.答案 B2．复数z＝11＋i3(i是虚数单位)，则z的共轭复数为()．A．1－i B．1＋iC.12＋12i D．12－12i解析∵z＝11＋i3＝11－i＝12＋12i，∴z＝12－12i.答案 D3．复数z＝1＋ii(i是虚数单位)在复平面内对应的点在()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析z＝1＋ii＝(1＋i)·ii·i＝1－i，其实部与虚部分别是1，－1，因此在复平面内对应的点在第四象限．答案 D4．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f(x)＝sin x，②f(x)＝cos x，③f (x )＝1x ，④f (x )＝x 2，则输出的函数是( )． A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝cos x C ．f (x )＝1x D ．f (x )＝x 2解析 结合题中的程序框图得知，输出的函数是奇函数，且存在零点． 答案 A5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 值为( )． A ．15 B ．14 C ．7D ．6解析 第一次循环，得a ＝2，S ＝1＋2＝3＜10；第二次循环，得a ＝4，S ＝3＋4＝7＜10；第三次循环，得a ＝8，S ＝7＋8＝15＞10，输出S ，故输出的S ＝15. 答案 A第5题图第6题图6．执行如图所示的程序框图，输出的S值为()．A.34B．45C.56D．1解析由程序框图得S＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝1－15＝45.答案 B7．运行如图所示的程序框图，若输出的S是254，则①处应为()．A．n≤5? B．n≤6?C．n≤7? D．n≤8?解析由程序框图可知，输出的S＝21＋22＋…＋2n，由于输出的S＝254，即2(1－2n)1－2＝254，解得n＝7，故①处应为“n≤7？”．答案 C8．给出30个数：1,2,4,7,11,16，…，要计算这30个数的和．如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可以分别填入()．A．i≤30？和p＝p＋i－1B．i≤31？和p＝p＋i＋1C．i≤31？和p＝p＋iD．i≤30？和p＝p＋i解析当执行循环时，对于选项A，B，第一次循环时，②处分别计算出p＝1＋1－1＝1和p＝1＋1＋1＝3，但实际上此时p＝2，故排除．然后由题意，求的是30项的和，故①处应填入“i≤30？”．答案 D9．有如图所示的程序框图，则该程序框图表示的算法的功能是()．A．输出使1×2×4×…×n≥1 000成立的最大整数nB．输出使1×2×4×…×n≥1 000成立的最小整数nC．输出使1×2×4×…×n≥1 000成立的最大整数n＋2D．输出使1×2×4×…×n≥1 000成立的最小整数n＋2解析依题意与题中的程序框图可知，该程序框图表示的算法的功能是输出使1×2×4×…×n≥1 000成立的最小整数n＋2.答案 D10．已知某算法的程序框图如图所示，输入的数x和y为自然数，若已知输出的有序数对为(13,14)，则开始输入的有序数对(x，y)可能为()．A．(6,7) B．(7,6)C．(4,5) D．(5,4)解析设开始输入的有序数对为(x0，y0)，当n＝1时，x＝y0＋1，y＝y0＋2；当n＝2时，x＝y0＋3，y＝y0＋4；当n＝3时，x＝y0＋5，y＝y0＋6；当n＝4时，x＝y0＋7，y＝y0＋8；∴输出的有序数对为(y0＋7，y0＋8)＝(13,14)，∴y0＝6.答案 B11．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的k的值是6，则满足条件的整数S0一共有()个()．A．31 B．32C．63 D．64解析输出k的值为6说明最后一次参与运算的k＝5，所以S＝S0－20－21－22－23－24－25＝S0－63，上一个循环S＝S0－20－21－22－23－24＝S0－31，所以31＜S0≤63，总共32个．答案 B12．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( )． A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2 C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22解析 由|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝0，∴z 1＝z 2，所以z 1＝z 2，故A 为真命题；由于z 1＝z 2，则z 1＝z 2＝z 2，故B 为真命题；由|z 1|＝|z 2|，得|z 1|2＝|z 2|2，则有z 1·z 1＝z 2·z 2，故C 为真命题，D 为假命题． 答案 D 二、填空题13．观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为__________． 解析 由题知13＝12； 13＋23＝(2×32)2；13＋23＋33＝(3×42)2； 13＋23＋33＋43＝(4×52)2； …∴ 13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝[n (n ＋1)2]2. 答案 13＋23＋33＋…＋n 3＝[n (n ＋1)2]214．将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101112131415…根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3个数是________．解析前n－1行共用了[1＋(n－1)](n－1)2个数，即n(n－1)2个数，也就是说第n－1行的最后一个数就是n(n－1)2，那么，第n(n≥3)行的从左至右的第3个数是n(n－1)2＋3，也就是n2－n＋62.答案n2－n＋6215．设n为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n，计算得f(2)＝32，f(4)＞2，f(8)＞52，f(16)＞3.观察上述结果，按照上面规律，可推测f(128)＞__________.解析观察f(2)＝32，f(4)＞2，f(8)＞52，f(16)＞3可知，等式及不等式右边的数构成首项为32，公差为12的等差数列，故f(128)＞32＋6×12＝92.答案9 216．椭圆中有如下结论：椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上斜率为1的弦的中点在直线xa2＋yb2＝0上，类比上述结论：双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)上斜率为1的弦的中点在直线________上．解析将椭圆方程x2a2＋y2b2＝1中的x2变为x，y2变为y，右边变为0，得到椭圆x2a2＋y2b2＝1上斜率为1的弦的中点在直线xa2＋yb2＝0上．类比上述结论，将双曲线的方程作上述变换可知：双曲线x2a2－y2b2＝1上斜率为1的弦的中点在直线xa2－yb2＝0上，不妨设弦的两个端点为(x1，y1)，(x2，y2)，则y2－y1x2－x1＝1，弦中点设为(x0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，将上述两端点代入双曲线方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1x 22a 2－y 22b2＝1，两式相减得x 22－x 21a 2－y 22－y 21b 2＝0，(x 2－x 1)(x 2＋x 1)a 2－(y 2－y 1)(y 2＋y 1)b 2＝0，所以(x 2－x 1)(x 2＋x 1)a 2－(x 2－x 1)(y 2＋y 1)b 2＝0，化简得x 2＋x 1a 2－y 2＋y 1b 2＝0，2x 0a 2－2y 0b 2＝0，所以x 0a 2－y 0b 2＝0，于是(x 0，y 0)在直线x a 2－yb 2＝0上． 答案 x a 2－yb 2＝0。
【创新设计】2015高考数学(人教通用,文科)二轮专题训练：大题综合突破练4
页眉内容突破练(四)1．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ，x ∈R . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到函数h (x )的图象，再将h (x )的图象向右平移π3个单位得到g (x )的图象，求函数g (x )的解析式，并求g (x )在[0，π]上的值域．解 (1)∵f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ， ∴f (x )＝2sin (2x ＋π6)＋1.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)∵f (x )＝2sin (2x ＋π6)＋1―――――――――――→横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变h (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1，∵x ∈[0，π]， ∴x －π6∈[－π6，5π6]． ∴sin (x －π6)∈[－12，1]． ∴g (x )在[0，π]上的值域为[0,3]．2．某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查．调查问卷共10道题，答题情况如下表：答对题目数[0,8) 8 9 10 女 2 13 12 8 男337169(1)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率； (2)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率．解 (1)答对题目数小于9的人数为55，记“答对题目数大于等于9”为事件A ， P (A )＝1－55100＝0.45.(2)设答对题目数小于8的司机为A 、B 、C 、D 、E ，其中A 、B 为女司机，任选出2人包含AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 、CD 、CE 、DE ，共10种情况，至少有一名女出租车司机的事件为AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE ，共7种． 记“选出的2人中至少有一名女出租车司机”为事件M ，则P (M )＝710＝0.7. 3．已知四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，PC ＝2，且底面ABCD 是边长为1的正方形．E 是最短的侧棱PC 上的动点．(1)求证：P 、A 、B 、C 、D 五点在同一个球面上，并求该球的体积； (2)如果点F 在线段BD 上，DF ＝3BF ，且EF ∥平面P AB ，求PEEC 的值． (1)证明 设P A 的中点为M ，连接AC ，CM ，则△P AC 为直角三角形， ∴CM ＝PM ＝AM ＝62.设正方形ABCD 的中心为点O ，连接OM ，则OM ∥PC ，OM ＝1，∵PC ⊥底面ABCD ，∴OM ⊥底面ABCD ，又O 为BD 的中点，连接BM ，DM ， 则BM ＝DM ＝1＋(22)2＝62，∴CM ＝PM ＝AM ＝BM ＝DM ，故点P 、A 、B 、C 、D 在以M 为球心，半径为62的球上，且V 球M ＝43π(62)3＝6π. (2)解 连接CF 并延长交AB 于K ，连接PK . ∵EF ∥平面P AB ，EF ⊂平面PCK ， 平面PCK ∩平面P AB ＝PK ，∴EF ∥PK ，∵DF ＝3BF ，又AB ∥CD ，∴CF ＝3KF . ∵EF ∥PK ，∴CE ＝3PE ，∴PE EC ＝13.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋n 2－1，数列{b n }满足3n ·b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，且b 1＝3. (1)求a n ，b n ；(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n .解 (1)当n ≥2时，S n ＝a n ＋n 2－1，S n －1＝a n －1＋(n －1)2－1， 两式相减，得a n ＝a n －a n －1＋2n －1，∴a n －1＝2n －1， ∴a n ＝2n ＋1，∴3n ·b n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋3)－n (2n ＋1)＝4n ＋3， ∴b n ＋1＝4n ＋33n .∴当n ≥2时，b n ＝4n －13n －1，又b 1＝3适合上式，∴b n ＝4n －13n －1.(2)由(1)知，b n ＝4n －13n －1， ∴T n ＝31＋73＋1132＋…＋4n －53n －2＋4n －13n －1，①13T n ＝33＋732＋1133＋…＋4n －53n －1＋4n －13n ，② ①－②，得23T n ＝3＋43＋432＋…＋43n －1－4n －13n＝3＋4×13(1－13n －1)1－13－4n －13n ＝5－4n ＋53n ， ∴T n ＝152－4n ＋52×3n －1.5．已知点M (－1,0)，N (1,0)，动点P (x ，y )满足：|PM |＋|PN |＝2 3. (1)求P 的轨迹C 的方程；(2)是否存在过点N (1,0)的直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，并且曲线C 上存在点Q ，使四边形OAQB 为平行四边形？若存在，求出直线l 的方程． 解 (1)由|PM |＋|PN |＝23知道曲线C 是以M ，N 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝1，b ＝2，所以曲线C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由题意知l 的斜率一定不为0，故不妨设l ：x ＝my ＋1，代入椭圆方程整理得 (2m 2＋3)y 2＋4my －4＝0，显然Δ＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－4m2m 2＋3，y 1y 2＝－42m 2＋3，①假设存在点Q ，使得四边形OAQB 为平行四边形，其充要条件为OQ →＝OA →＋OB →，则点Q 的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．由点Q 在椭圆上，即(x 1＋x 2)23＋(y 1＋y 2)22＝1.整理得2x 21＋3y 21＋2x 22＋3y 22＋4xx 21＋6y 1y 2＝6. 又A 、B 在椭圆上，即2x 21＋3y 21＝6,2x 22＋3y 22＝6.故2x 1x 2＋3y 1y 2＝－3，②所以x 1x 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1， 将①②代入上式解得m ＝±22.即直线l的方程是：x＝±22y＋1，即2x±2y－2＝0.6．已知f(x)＝e x＋ax－1(e为自然对数)(1)当a＝1时，求过点(1，f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥x2在(0,1)上恒成立，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝e x＋x－1，f(1)＝e，f′(x)＝e x＋1，f′(1)＝e＋1，∴函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝(e＋1)(x－1)，即y＝(e＋1)x－1，设切线与x、y轴的交点分别为A，B，令x＝0，得y＝－1；令y＝0，得x＝1e＋1.∴A(1e＋1，0)，B(0，－1)．∴S△OAB ＝12×1e＋1×1＝12(e＋1).(2)由f(x)≥x2得a≥1＋x2－e xx，令h(x)＝1＋x2－e xx＝1x＋x－e xx，则h′(x)＝1－1x2－e x(x－1)x2＝(x－1)(x＋1－e x)x2，令k(x)＝x＋1－e x，k′(x)＝1－e x，∵x∈(0,1)，∴k′(x)＝1－e x＜0，k(x)在x ∈(0,1)为减函数，∴k(x)＜k(0)＝0，又∵x－1＜0，x2＞0，∴h′(x)＝(x－1)(x＋1－e x)x2>0，∴h(x)在x∈(0,1)为增函数，h(x)＜h(1)＝2－e，因此只需a≥2－e.。
2015年高考数学创新设计二轮精品补偿练1
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x－1≥0}，则集合A∩B＝()．
A．(0,1)B．(0,1]
C．(1,2)D．[1,2)
解析A∩B＝{x|1≤x＜2}＝[1,2)．
答案D
2．已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋2}，若A⊆B，则a的值为()．
答案D
4．下列命题中的假命题是()．
A．∀x∈R,2x－1＞0B．∃x∈R，lgx＜1
C．∀x∈R，x2＞0D．∃x∈R，tanx＝2
解析当x＝0时，x2＝0，故C不成立．
答案C
5．已知集合M＝{x|y＝ln(1－x)}，集合N＝{y|y＝ex，x∈R}(e为自然对数的底数)，则M∩N＝()．
A．{x|x＜1}B．{x|x＞1}
答案B
10．下列有关命题的说法正确的是()．
A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy＝0，则x≠0”
B．命题“∃x0∈R，使得2x－1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有2x2－1＜0”
C．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题
D．命题“若cosx＝cosy，则x＝y”的逆否命题为真命题
∴2＜x＜4，
∴B＝{x|2＜x＜4}，
∴∁UB＝{x|x≤2或x≥4}，
∴A∩(∁UB)＝{x|－1≤x≤2}．
答案{x|－1≤x≤2}
12．命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”与它的逆命题、逆否命题、否命题中，真命题有__________个．
解析原命题：“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”是真命题，故其逆否命题也是真命题；它的逆命题是“若△ABC的任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形”，也是真命题，故其否命题也是真命题．
2015届高三人教通用文科数学二轮复习规范练6份
目录规范练一 三角函数与解三角形 ................................................................ 1 规范练二 数 列 ...................................................................................... 3 规范练三 概率与统计 ............................................................................... 6 规范练四 立体几何 .................................................................................. 9 规范练五 圆锥曲线 ................................................................................ 13 规范练六 函数与导数 .. (16)规范练(一) 三角函数与解三角形1．已知函数f (x )＝32sin ωx －sin 2ωx 2＋12(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值及函数f (x )的单调递增区间； (2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的最值．解 (1)f (x )＝32sin ωx －1－cos ωx 2＋12＝32sin ωx ＋12cos ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，因为f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .(2)∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )的最大值为1， 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )的最小值为－12.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知角A ＝π3，sin B ＝3sin C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解 (1)因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－C ＝3sin C ，所以32cosC ＋12sin C ＝3sin C ，即32cos C ＝52sin C ，得tan C ＝35. (2)由b sin B ＝csin C ，sin B ＝3sin C ，得b ＝3c .在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9c 2＋c 2－2×(3c )×c ×12＝7c 2，又∵a ＝7，∴c ＝1，b ＝3，所以△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝334. 3．已知向量m ＝(cos A ，－sin A )，n ＝(cos B ，sin B )，m·n ＝cos 2C ，其中A ，B ，C 为△ABC 的内角． (1)求角C 的大小；(2)若AB ＝6，且CA →·CB →＝18，求AC ，BC 的长．解 (1)m·n ＝cos A cos B －sin A sin B ＝cos (A ＋B )，因为A ＋B ＋C ＝π，所以cos (A ＋B )＝－cos C ＝cos 2C ， 即2cos 2C ＋cos C －1＝0， 故cos C ＝12或cos C ＝－1. 又0＜C ＜π，所以C ＝π3.(2)因为CA →·CB →＝18，所以CA ·CB ＝36，①由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos π3，及AB ＝6和①得，AC ＋BC ＝12，②由①②解得AC ＝6，BC ＝6.4．已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3A cos x ，A 2cos 2x (A ＞0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6. (1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域．解 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x ＝A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 因为A ＞0，由题意知A ＝6. (2)由(1)得f (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到 y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象； 再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝6sin⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象； 因此g (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3,6]．规范练(二) 数 列1．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －p ，其中p 是不为零的常数． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)当p ＝3时，数列{b n }满足b n ＋1＝b n ＋a n (n ∈N *)，b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．(1)证明 因为S n ＝4a n －p (n ∈N *)，则S n －1＝4a n －1－p (n ∈N *，n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1. 由S n ＝4a n －p ，令n ＝1，得a 1＝4a 1－p ，解得a 1＝p3. 所以{a n }是首项为p 3，公比为43的等比数列． (2)解 当p ＝3时，由(1)知，则a n ＝(43)n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ＝1,2，…)，得b n ＋1－b n ＝(43)n －1，当n ≥2时， 可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝2＋1－(43)n －11－43＝3(43)n －1－1， 当n ＝1时，上式也成立．∴数列{b n }的通项公式为b n ＝3(43)n －1－1(n ∈N *)．2．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2n ·(a n ＋2)，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由a 1＝2和a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，得 (2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，解得d ＝2或d ＝－1.当d ＝－1时，a 3＝0与a 2，a 3，a 4＋1成等比数列矛盾，舍去． 所以d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n ，即数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)b n ＝2n ·(a n ＋2)＝2n ·(2n ＋2)＝1n ·(n ＋1)＝1n －1n ＋1.S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，b n ＝log 24a n . (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，解得a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －1－2a n －1＋1＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，则a na n －1＝2，数列{a n }为以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n －1；b n ＝log 24a n ＝log 24×2n －1＝log 22n＋1＝n ＋1；(2)由(1)可知a n b n ＝(n ＋1)2n －1，T n ＝2×20＋3×21＋4×22＋…＋(n ＋1)×2n －1， 2T n ＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋(n ＋1)×2n ，上面两式相减：－T n ＝2＋21＋22＋23＋…＋2n －1－(n ＋1)×2n ＝－n ×2n ，∴T n ＝n ·2n .4．已知n ∈N *，数列{d n }满足d n ＝3＋(－1)n 2，数列{a n }满足a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ；数列{b n }为公比大于1的等比数列，且b 2，b 4为方程x 2－20x ＋64＝0的两个不相等的实根．(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2)将数列{b n }中的第a 1项，第a 2项，第a 3项，……，第a n 项，……删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前2 015项和． 解 (1)∵d n ＝3＋(－1)n2，∴a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ＝3×2n2＝3n ，因为b 2，b 4为方程x 2－20x ＋64＝0的两个不相等的实数根． 所以b 2＋b 4＝20，b 2·b 4＝64， 解得：b 2＝4，b 4＝16，所以：b n ＝2n .(2)由题知将数列{b n }中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{c n }中的奇数项与偶数项仍成等比数列，首项分别是b 1＝2，b 2＝4，公比均是8，T 2015＝(c 1＋c 3＋c 5＋…＋c 2015)＋(c 2＋c 4＋c 6＋…＋c 2014) ＝2×(1－81 008)1－8＋4×(1－81 007)1－8＝20×81 007－67.规范练(三)概率与统计1．一个盒子中装有形状大小相同的5张卡片，上面分别标有数字1,2,3,4,5，甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张．(1)写出所有可能的结果，并求出甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数的概率；(2)以盒子中剩下的三张卡片上的数字作为边长来构造三角形，求出能构成三角形的概率．解(1)甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张，基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)共20个．设事件A＝“甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数”，则事件A包含的基本事件有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,1)，(3,5)，(4,2)，(5,1)，(5,3)共8个．所以P(A)＝820＝25.(2)剩下的三边长包含的基本事件为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)共10个；设事件B＝“剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形”则事件B包含的基本事件有：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)共3个，所以P(B)＝3 10.2．某个团购网站为了更好地满足消费者，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分．上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0,2)，第二组[2,4)，第三组[4,6)，第四组[6,8)，第五组[8,10]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)分别求第三、四、五组的频率；(2)该网站在得分较高的第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6个产品作为下个月团购的特惠产品，某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，求他抽到的2个产品均来自第三组的概率．解(1)第三组的频率是0.150×2＝0.3；第四组的频率是0.100×2＝0.2；第五组的频率是0.050×2＝0.1.(2)设“抽到的2个产品均来自第三组”为事件A，由题意可知，分别抽取3个、2个、1个．不妨设第三组抽到的是A1、A2、A3；第四组抽到的是B1、B2；第五组抽到的是C1，所含基本事件为：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，C1}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，C1}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，C1}，{B1，B2}，{B1，C1}，{B2，C1}，共15个，事件A包含的基本事件有3个，所以P(A)＝315＝15.3．已知某山区小学有100名四年级学生，将全体四年级学生随机按00～99编号，并且按编号顺序平均分成10组，现要从中抽取10名学生，各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样．(1)若抽出的一个号码为22，则此号码所在的组数是多少？据此写出所有被抽出学生的号码；(2)分别统计这10名学生的数学成绩，获得成绩数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；(3)在(2)的条件下，从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，求被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率．解(1)由题意，得抽出号码为22的组数为3.因为2＋10×(3－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为02，抽出的10名学生的号码依次分别为：02,12,22,32,42,52,62,72,82,92.(2)这10名学生的平均成绩为：x＝110×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，故样本方差为：s2＝110×(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.(3)从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，共有如下10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．其中成绩之和不小于154分的有如下7种：(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．故被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率为：P＝7 10.4．随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数API一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了严重的影响，现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康，得到2×2列联表如下：室外工作室内工作合计有呼吸系统疾病150无呼吸系统疾病100合计200(1)补全2×2列联表；(2)你是否有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关；(3)现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中随机的抽取两人，求两人都有呼吸系统疾病的概率．参考公式与临界值表：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828 解(1)列联表如下室外工作室内工作合计有呼吸系统疾病150200350 无呼吸系统疾病50100150 合计200300500(2)计算得，K2＝500×(150×100－200×50)2350×150×200×300≈3.968>3.841，所以有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关．(3)采用分层抽样从室内工作的居民中抽取6名进行座谈，有呼吸系统疾病的抽4人，记为A、B、C、D，无呼吸系统疾病的抽2人，记为E、F，从中抽两人，共有15种抽法，A＝“从中随机的抽取两人，两人都有呼吸系统疾病”有6种，∴P(A)＝25.规范练(四)立体几何1．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且P A⊥底面ABCD，BD⊥PC，E是P A的中点．(1)求证：平面P AC⊥平面EBD；(2)若P A＝AB＝AC＝2，求三棱锥P－EBD的体积．(1)证明∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD，又BD⊥PC，P A∩PC＝P，∴BD⊥平面P AC，∵BD⊂平面EBD，∴平面P AC⊥平面EBD.(2)解 由(1)可知BD ⊥AC ，所以四边形ABCD 是菱形， ∠BAD ＝120°，∴S △ABD ＝12BD ·OA ＝12×23×1＝ 3.∴V P －EBD ＝V P －ABD －V E －ABD ＝13×3×2－13×3×1＝33.2．如图所示，AB 是圆O 的直径，点C 是弧AB 的中点，点V 是圆O 所在平面外一点，D 是AC 的中点，已知AB ＝2，VA ＝VB ＝VC ＝2.(1)求证：OD ∥平面VBC ； (2)求证：AC ⊥平面VOD ； (3)求棱锥C －ABV 的体积．(1)证明 ∵O 、D 分别是AB 和AC 的中点， ∴OD ∥BC .又OD ⊄平面VBC ，BC ⊂平面VBC ， ∴OD ∥平面VBC .(2)证明 ∵VA ＝VB ，O 为AB 中点，∴VO ⊥AB .连接OC ，在△VOA 和△VOC 中，OA ＝OC ，VO ＝VO ，VA ＝VC ，∴△VOA ≌△VOC ，∴∠VOA ＝∠VOC ＝90°，∴VO ⊥OC .又∵AB ∩OC ＝O ，AB ⊂平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，∴VO⊥平面ABC.又∵AC⊂平面ABC，∴AC⊥VO.又∵VA＝VC，D是AC的中点，∴AC⊥VD.∵VO⊂平面VOD，VD⊂平面VOD，VO∩VD＝V，∴AC⊥平面VOD.(3)解由(2)知VO是棱锥V－ABC的高，且VO＝VA2－AO2＝ 3. 又∵点C是弧AB的中点，∴CO⊥AB，且CO＝1，AB＝2，∴三角形ABC的面积S△ABC ＝12AB·CO＝12×2×1＝1，∴棱锥V－ABC的体积为V V－ABC ＝13S△ABC·VO＝13×1×3＝33，故棱锥C－ABV的体积为3 3.3.已知三棱柱ABC－A′B′C′中，平面BCC′B′⊥底面ABC，BB′⊥AC，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA′＝3，E、F分别在棱AA′，CC′上，且AE＝C′F＝2.(1)求证：BB′⊥底面ABC；(2)在棱A′B′上找一点M，使得C′M∥平面BEF，并给出证明．(1)证明取BC中点O，连接AO，因为三角形ABC是等边三角形，所以AO⊥BC，又因为平面BCC′B′⊥底面ABC，AO⊂平面ABC，平面BCC′B′∩平面ABC＝BC，所以AO⊥平面BCC′B′，又BB′⊂平面BCC′B，所以AO⊥BB′.又BB′⊥AC，AO∩AC＝A，AO⊂平面ABC，AC⊂平面ABC.所以BB ′⊥底面ABC .(2)解 显然M 不是A ′，B ′，棱A ′B ′上若存在一点M ，使得C ′M ∥平面BEF ，过M 作MN ∥AA ′交BE 于N ，连接FN ，MC ′，所以MN ∥CF ，即C ′M 和FN 共面， 所以C ′M ∥FN ，所以四边形C ′MNF 为平行四边形， 所以MN ＝2，所以MN 是梯形A ′B ′BE 的中位线，M 为A ′B ′的中点．4．正△ABC 的边长为2，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 、BC 的中点(如图(1))，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B (如图(2))．在图(2)中： (1)求证：AB ∥平面DEF ； (2)求多面体D －ABFE 的体积．(1)证明 在△ABC 中，因为E 、F 分别是AC 、BC 的中点，所以EF ∥AB . 又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF .所以AB ∥平面DEF(2)解 由二面角A －DC －B 是直二面角知平面ADC ⊥平面BCD ，又在正△ABC 中，D 为边AB 的中点，故AD ⊥CD ，所以AD ⊥平面BCD ， V 三棱锥A －BCD ＝13·S △BCD ·AD ＝36，V 三棱锥E －FCD ＝13·12S △BCD ·12AD ＝324， 所以多面体D －ABFE 的体积V ＝V 三棱锥A －BCD －V 三棱锥E －FCD ＝38.规范练(五) 圆锥曲线1．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E . (1)求E 的方程；(2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且O A →·O B →＝－16，求证：直线AB 恒过定点．(1)解 设P (x ，y )，则x 2＋(y －2)2＝(y ＋1)＋1，∴x 2＝8y .∴E 的方程为x 2＝8y .(2)证明 设直线AB ：y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将直线AB 的方程代入x 2＝8y 中得x 2－8kx －8b ＝0，所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b .O A →·O B →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 21x 2264＝－8b ＋b 2＝－16，∴b ＝4，所以直线AB 恒过定点(0,4)．2．如图，已知点A (1，2)是离心率为22的椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值．(1)解 由题意，可得e ＝c a ＝22，将(1，2)代入y 2a 2＋x 2b 2＝1，得2a 2＋1b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝2，c ＝2， 所以椭圆C 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)证明 设直线BD 的方程为y ＝2x ＋m ，又A 、B 、D 三点不重合，所以m ≠0.设D (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝2x ＋m 2x 2＋y 2＝4得，4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0， 所以Δ＝－8m 2＋64＞0，∴－22＜m ＜22， x 1＋x 2＝－22m ①，x 1x 2＝m 2－44②. 设直线AB 、AD 的斜率分别为k AB 、k AD ， 则k AD ＋k AB ＝y 1－2x 1－1＋y 2－2x 2－1＝2x 1＋m －2x 1－1＋2x 2＋m －2x 2－1＝22＋m ·x 1＋x 2－2x 1x 2－x 1－x 2＋1(*)． 将①②式代入(*)，得22＋m －22m －2m 2－44＋22m ＋1＝22－22＝0，所以k AD ＋k AB ＝0，即直线AB 、AD 的斜率之和为定值0.3．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且经过点P (1，22)．过坐标原点的直线l 1与l 2均不在坐标轴上，l 1与椭圆M 交于A ，C 两点，l 2与椭圆M 交于B ，D 两点． (1)求椭圆M 的方程；(2)若平行四边形ABCD 为菱形，求菱形ABCD 面积的最小值．解(1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝22a ，1a 2＋12b 2＝1，又因为a 2＝b 2＋c 2，所以⎩⎨⎧a 2＝2，b 2＝1，故椭圆M 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线AC ：y ＝k 1x ，直线BD ：y ＝k 2x ，A (x A ，y A )，C (x C ，y C )．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k 1x ，得方程(2k 21＋1)x 2－2＝0，x 2A ＝x 2C ＝22k 21＋1， 故|OA |＝|OC |＝1＋k 21·22k 21＋1. 同理，|OB |＝|OD |＝1＋k 22·22k 22＋1. 又因为AC ⊥BD ，所以|OB |＝|OD |＝1＋(1k 1)2·22(1k 1)2＋1，其中k 1≠0.从而菱形ABCD 的面积S ＝2|OA |·|OB |＝21＋k 21·22k 21＋1·1＋(1k 1)2·22(1k 1)2＋1， 整理得S ＝412＋1(k 1＋1k 1)2，其中k 1≠0.故当k 1＝1或－1时，菱形ABCD 的面积最小，该最小值为83.4．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →. (1)求椭圆方程； (2)求m 的取值范围．解 (1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上 ， 设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2， 所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，即⎩⎨⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m ，则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)＞0， 由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k 2，x 1·x 2＝m 2－42＋k 2.又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )． ∴－x 1＝2x 2，∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22.∴m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22，整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2， 又9m 2－4＝0时不成立，∴k 2＝8－2m 29m 2－4＞0，得49＜m 2＜4，此时Δ＞0.∴m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.规范练(六) 函数与导数1．已知函数f (x )＝ax 2＋x －x ln x . (1)若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；(2)若f (1)＝2，且在定义域内f (x )≥bx 2＋2x 恒成立，求实数b 的取值范围． 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x －x ln x ，函数定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝－ln x ，由－ln x ＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(0,1)上是增函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )在(1，＋∞)上是减函数． (2)由f (1)＝2，得a ＋1＝2，∴a ＝1， ∴f (x )＝x 2＋x －x ln x ，由f (x )≥bx 2＋2x ，得(1－b )x －1≥ln x .又∵x ＞0，∴b ≤1－1x －ln xx 恒成立．令g (x )＝1－1x －ln x x ，可得g ′(x )＝ln xx 2，由g ′(x )＝0，得x ＝1. ∴g (x )在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增， ∴g (x )min ＝g (1)＝0，∴b 的取值范围是(－∞，0]． 2．设f (x )＝e x (ax 2＋x ＋1)． (1)若a ＞0，讨论f (x )的单调性；(2)x ＝1时，f (x )有极值，证明：当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，|f (cos θ)－f (sin θ)|＜2.(1)解 f ′(x )＝e x (ax 2＋x ＋1)＋e x (2ax ＋1)＝a e x (x ＋1a )(x ＋2)， 当a ＝12时，由f ′(x )＝12e x (x ＋2)2≥0，所以f (x )在R 上单增递增； 当0＜a ＜12时，由f ′(x )＞0，得x ＞－2或x ＜－1a ； 由f ′(x )＜0，得－1a ＜x ＜－2，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1a 和(－2，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，－2上单调递减．当a ＞12时，由f ′(x )＞0，得x ＞－1a 或x ＜－2， 由f ′(x )＜0，得－2＜x ＜－1a ，∴f (x )在(－∞，－2)和⎝ ⎛－1a ，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－1a 上单调递减．(2)证明 ∵x ＝1时，f (x )有极值， ∴f ′(1)＝3e(a ＋1)＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝e x (－x 2＋x ＋1)，f ′(x )＝－e x (x －1)(x ＋2)． 由f ′(x )＞0，得－2＜x ＜1，∴f (x )在[－2,1]上单增． ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴sin θ，cos θ∈[0,1]，∴|f (cos θ)－f (sin θ)|≤f (1)－f (0)＝e －1＜2.3．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx ＋c 在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f (x )在R 上有三个零点，且1是其中一个零点． (1)求b 的值；(2)求f (2)的取值范围；(3)设g (x )＝x －1，且f (x )＞g (x )的解集为(－∞，1)，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b∴当x ＝0时，f (x )取到极小值，即f ′(0)＝0，∴b ＝0. (2)由(1)知，f (x )＝－x 3＋ax 2＋c ，∵1是函数f (x )的一个零点，即f (1)＝0，∴c ＝1－a . ∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝0的两个根分别为 x 1＝0，x 2＝2a3.又∵f (x )在(0,1)上是增函数，且函数f (x )在R 上有三个零点， ∴x 2＝2a 3＞1，即a ＞32.∴f (2)＝－8＋4a ＋(1－a )＝3a －7＞－52. 故f (2)的取值范围为(－52，＋∞)．(3)法一 由(2)知f (x )＝－x 3＋ax 2＋1－a ，且a ＞32. ∵1是函数f (x )的一个零点，∴f (1)＝0， ∵g (x )＝x －1，∴g (1)＝0，∴点(1,0)是函数f (x )和函数g (x )的图象的一个交点结合函数f (x )和函数g (x )的图象及其增减特征可知，当且仅当函数f (x )和函数g (x )的图象只有一个交点(1,0)时， f (x )＞g (x )的解集为(－∞，1)．即方程组⎩⎨⎧ y ＝x －1y ＝－x 3＋ax 2＋1－a ①只有一解：⎩⎨⎧x ＝1y ＝0. 由－x 3＋ax 2＋1－a ＝x －1， 得(x 3－1)－a (x 2－1)＋(x －1)＝0， 即(x －1)[x 2＋(1－a )x ＋(2－a )]＝0， ∴x ＝1或x 2＋(1－a )x ＋(2－a )＝0， 由方程x 2＋(1－a )x ＋(2－a )＝0②， 得Δ＝(1－a )2－4(2－a )＝a 2＋2a －7，当Δ＜0，即a 2＋2a －7＜0，又因为a ＞32，解得32＜a ＜22－1.此时方程②无实数解，方程组①只有一个解⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0，所以32＜a ＜22－1时，f (x )＞g (x )的解集为(－∞，1)． 法二 由(2)知f (x )＝－x 3＋ax 2＋1－a ，且a ＞32. ∵1是函数f (x )的一个零点， ∴f (x )＝－(x －1)[x 2＋(1－a )x ＋1－a ] 又f (x )＞g (x )的解集为(－∞，1)，∴f (x )－g (x )＝－(x －1)[x 2＋(1－a )x ＋2－a ]＞0的解集为(－∞，1)． ∴x 2＋(1－a )x ＋2－a ＞0恒成立． ∴Δ＝(1－a )2－4×1×(2－a )＜0. ∴a 2＋2a －7＜0，∴(a ＋1)2＜8. 又∵a ＞32，∴32＜a ＜22－1， ∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，22－1.4．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数 (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值； (3)当a ＝－1时，试推断方程|f (x )|＝ln x x ＋12是否有实数解． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x (x >0)， f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx ，当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0；当x ＞1时，f ′(x )＜0.∴f (x )在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，f (x )max ＝f (1)＝－1， (2)∵f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞.①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，f (x )在(0，e]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0不合题意． ②若a ＜－1e ，则由f ′(x )＞0⇒a ＋1x ＞0， 即0＜x ＜－1a .由f ′(x )＜0得a ＋1x ＜0，即－1a ＜x ≤e.从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，e 上是减函数， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a令－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－3，则ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－2，∴－1a ＝e －2，即a ＝－e －2. ∵－e 2＜－1e ， ∴a ＝－e 2为所求．(3)由(1)知当a ＝－1时，f (x )max ＝f (1)＝－1， ∴|f (x )|≥1又令g (x )＝ln x x ＋12，g ′(x )＝1－ln x x 2. 令g ′(x )＝0，得x ＝e.当0＜x ＜e 时，g ′(x )＞0，g (x )在(0，e)上单调递增， 当x ＞e 时，g ′(x )＜0，g (x )在(e ，＋∞)上单调递减， ∴g (x )max ＝g (e)＝1e ＋12＜1， ∴g (x )＜1，∴|f (x )|＞g (x )，即|f (x )|＞ln x x ＋12， ∴方程|f (x )|＝ln x x ＋12没有实数解．。
《创新设计》全国通用高考数学文科二轮专题复习小题分类补偿练4.doc
补偿练4三角两数与三角恒等变换(限时：40分钟)一、选择题 1.已矢II sin a +cos贝ij si 『仔()D.答案B2.已知函数/(x)=2^/2sinxcosx,为了得到函数g(x) = sin 2r+cos2x 的图彖，只需要将y=f (x)的图 象()当 x=-号时,sinf - j = 1 => ■ 4 + ^ = 2 + 2kn(kW Z), 3兀° =才 + 2kjt(kW Z) rAsin2«=sin 2a17A. 向右平移扌个单位长度B. 向左平移扌个单•位长度C. 向右平移彳个单位长度D.向左平移彳个单•位长度解析由于函数/⑴=2、伫sin xcos x 迈sin 2x ,函数 g(x) = sin 2x + cos 2x =迈sin (2x + 另二迈sin 2(x + £ JT,故将尸/(X )的图象向左平移彳个单位长度，即可得到g(x)的图象.答案D3•若函数f (x)=A sin(cox+(p)(A>0, co>0)的部分图彖如图所示，贝"(x)的 解析式可以为()解析由图象可知// = 3^\ = 2Tt=>T=4n=>Of =*./.(sin a + cos a)2・•・解析式可以为/(x) = 3sin(jx +乎) 答案D 4.已知函数/(x)=2sinx (V3cosx —sinx)+ h 若J\x —(p)为偶函数，则卩可以为( )D6解析 f (x) = sin 2x ・ 2sin 2x + 1 二书 sin 2x + cos 2x = 2sin (2x + 号,则 f (x - (p)= 2sin (2r ・2° +号，*：J(x ・p)为偶函数，二・2° +彳*兀+乡，圧Z , ：.(/)=・号■爲圧Z ,结 合各选项可知，(P 可以为扌，故选B. 答案B 5. 已知函数/(x) = hm (2x —另，则下列说法错误的是()A. 函数/⑴的周期为号JT解析由题设知，A ： 7=2 ,正确；B ：产R ,正确， C : / (?) = °，正确；_(2兀、7兀小 〃3兀\ 13K 7兀 13兀 D : f (yj = tan 花> °，/(3■丿二 tan 百< 0 , tan y^> tan 右，错i 天. 答案D6. 在△ ABC 中内fijA, B, C 所对的边分别为G , b, c,若b=2ccosA, c=2bcosA,则厶ABC 的形状为()A.H 角三角形 B.锐角三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形解析 由b 二2ccos A ,根据正弦定理得sin B = 2sin Ceos A ,因为在三角形中， sin B = sin(/ + 0 = sin Jcos C + cos / sin C , 代入上式可得：sin Acos C + cos /sin C = 2sin Ceos A ,艮卩 sin /cos C - cos /sin C = sin(/l -0 = 0,又-7t<A-C<7i,所以A-C=0 ,即八C,同理八叭所以A/BC 的形状为等边三角形. 答案C 7. 使奇函数/•(x)=s in(2x+&)+75cos(2x+&)在一歩0上为减函数的&值为()B3解析 由已知得：/（X ）= 2sin （2x + 0 +扌）, 由于函数为奇函数， 故有& +鈔航，AEZ ,即O=kn-扌（圧Z ）,可淘汰B 、C 选项， 然后分别将A 和D 选项代入检验， 易知当6> = y 时，7Tf （x ） = - 2sin 2x 其在区间［盲,0」上递减. 答案D8. 在△ ABC +，内角/、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,已知小：=£,且a1~c 1=2b i 贝U b =COS C-* c() A.lB.2C.3D.43cos A a cT + b? -解析 在/\ABC 中，由cos I 得6/cos C=3ccos A ,由余弦定理有cos C = ----------- = -2 2 23 /，化简并整理得2(/・c 2)=员又由已知a 2-c 2= 2b, :Ab = / ,解得b = 4或b 二0（舍）. 答案D9. 设e>0,函数y=sin （ov+3的图象向右平移普个单位长度后与原图象重合，则①的最小值为解析 ・・•函数厂血（亦+扌）的图象向右平移罟个单位后与原图象重合，•葺f X 号，3又®>0,故其最小值是寺创 <号）在一个周期内的图象如图所示•若方程j{x ）=m在区间［0,兀］上有两个不同的实数解X" X2,则X|+X2的值为（）_ 2兀 D T2A 3C 2 co>09解析 要使方程/(x) = w 在区间［0 ,刃上有两个不同的实数解•只需函数y=f(x)与函数尸加的 图象在区间［0 ,兀］上有两个不同的交点，由图象知，两个交点关于直线x = f 或关于x = y 对 B. y=f(x)的最小止周期为7i,且在(0,申)上为减函数C. y=f(x)的最小止周期为乡且在(0,中)上为增函数D. y=f(x)的最小正周期为号，且在(0,子)上为减函数解析 /(x)=<x/5sin(2x + 0)+ cos(2x + 0):=2sin (2x + 0 + g) , 丁函数图象关于直线 x 二 0 对称, ・・・函数/(x)为偶函数，7U0 =「•：/(兀)=2cos 2x f2T I7T.\T = ^ = it , \e 0 <x< 2 / /• 0 < 2x< K r洌<3的最小正周期是K,若其图彖向右平移申个单位后得到 的函数为奇函数，则函数y =/(x)的图象()A.关于点(令，0)对称B. 关于直线^=令对称C. 关于点(晋，0)对称称，因此.Y| + x 2 = 2= joJcX, + X 2 = 2Xy = y.・•・函数/⑴在(o ,于)上为减函数.D.关于直线x=寻对称解析由题意可得手兀，解得3 = 2 ,故函数f (x) = sin(2x + cp),其图象向右平移扌个单位后得到的图象对应的函数为y =sin 2(兀-j返(^cos a + ^sin J = cos a + sin a = #• 寸+ »是奇函数，又M<^,故厂■扌，故函数/(x)=故当x = y5时，函数j\x) = sin 号=1 ,故函数/(兀)二sin (2x ・咼关于直线x 二誇对称， 答案D 二、填空题13.己知sin2a=¥，0G<号，贝I 」迈cos 许一 J 的值等于解析 T (sin a + cos a)2= sin 2a + cos 2a + 2sin acos a・ a 24 49 ° it =1 + sin 2a = 1 + 25 = 25r 0<a<^ / • • sin a + cos « = ,・.•迈cos% - a)= 7 答案57T14 •在AABC 中,角彳、B 、C 所对的边分别为小b 、C,若B=A + y b = 2a,则3 =解析•: b = 2a ,sin B - 2sin A = 2sin (8 - Jj = sin B -羽cos 3=>cos B = 0 ,：・B =与.15•己知函数 f (x)=As\n(cox-^(/))(A 9 co, (p 是常数,A>0, co>0)的部分图象如图所示.若/(«)=!,炸(0, |),则 sin 2a =T 7兀 解析由函数图象知：八3,才二誇 兀 兀亍二才，所以T=7i,则co = 2 ；故/⑴=3sin(2x + © ,又过2^2 3+ 0・・・2炸(0 ,普),即31 ,得因为 f (a) = 1 f I ，VaG (0/(x) = 316.设函数/(x)=3sin 伽+砒(3>0, -詁令的图象关于直线尸普对称，它的周期是兀，则④将/(x)的图彖向右平移妙|个单位得到函数y=3sin ex的图象解析・・•周期为兀，・2兀小…—=兀=>0 = 2 rco/•/(%) = 3sin(2x + (p) t f■ 4兀3兀7T••了+0 计0 飞,・；/(x) = 3sin(2x + 号3①：令X = 0=5/⑴二㊁r正确.入7C 兀《5兀7C 2兀 c 兀27T②:令2kn + ㊁v 2x + & < 2kn + 迈# k e Z=>A：n + & v x < 斤兀 + 了，kW 乙令 k = 0=>& <x<~^即/(x)在,刍I)上单调递减，而在(令，3上单调递增，错误.③：令x 二Y^=>/(x) = 3sin 71 = 0 ,正确.④：应平移令个单位，错误.答案①③。
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补偿练4 不等式
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若a ＞b ＞0，则( )． A ．a 2c ＞b 2c (c ∈R ) B ．b a ＞1 C ．lg (a －b )＞0
D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭
⎪⎫12b
解析 取a ＝2，b ＝1，c ＝0验证可得D 正确． 答案 D
2．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( )． A.52
B ．72 C.154 D ．152
解析 由题意知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两个根， ∴x 1＋x 2＝2a ，x 1·x 2＝－8a 2，
∴|x 2－x 1|＝(x 2＋x 1)2－4x 1x 2＝4a 2＋32a 2＝15. 又a ＞0，解得a ＝52. 答案 A
3．“x ＞y ＞0”是“x
y ＞1”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 x y ＞1⇔(x －y )y ＞0，由x ＞y ＞0，得(x －y )＞0，y ＞0，所以x ＞y ＞0⇒x y ＞
1，具有充分性．由x y ＞1，得⎩⎨⎧ x ＞y ，y ＞0或⎩⎨⎧
x ＜y ，y ＜0，所以x y ＞1⇒/ x ＞y ＞0，不具
有必要性，故选A. 答案 A
4．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧
x ＋2y －2≥0，
x －y －1≤0，
x －2y ＋2≥0，
则x ＋y 的最大值为( )．
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析 画出可行域(如图)，目标函数向上平移至点A 时，取得最大值，由⎩⎨⎧
x －y －1＝0x －2y ＋2＝0
得A (4,3)，∴(x ＋y )max ＝4＋3＝7.
答案 D 5．若x ∈(e
－1,
1)，a ＝ln x ，b ＝(12)ln x
，c ＝e ln x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )．
A ．c ＞b ＞a
B ．b ＞c ＞a
C ．a ＞b ＞c
D ．b ＞a ＞c
解析 ∵x ∈(e －1,1)，∴－1＜ln x ＜0,1＜(12)ln x ＜2，1
e ＜e ln x ＜1，∴b ＞c ＞a . 答案 B
6．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( )． A.23
B ．223 C.33 D ．233
解析 对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13(1x －x )，∴x ＋y ＝2x 3＋1
3x ≥229＝223(当
且仅当2x 3＝13x ，即x ＝2
2时等号成立)．
答案 B
7．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
x －y ≤0，
x ＋y －1≥0，
x －2y ＋2≥0，
若z ＝x ＋3y ＋m 的最小值为4，则m
＝( )． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析 画出可行域，如图所示，设z ′＝x ＋3y ，变形为y ＝－13x ＋1
3z ′，当z ′取到最小值时，直线的纵截距最小，此时直线过C 点．
由⎩⎨⎧
x －y ＝0，x ＋y －1＝0，可知C (12，12)，代入目标函数z ＝x ＋3y ＋m ，得4＝12＋3×
12＋m ，得m ＝2.
答案 B
8．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(bc ＞0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1
c 的最小值是( )． A ．9 B ．8 C ．4
D ．2
解析 依题意得，题中的圆心坐标是(0,1)，于是有b ＋c ＝1，4b ＋1c ＝(4b ＋1
c )(b ＋c )＝5＋4c b ＋b
c ≥5＋2
4c b ×b
c ＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧
b ＋
c ＝1(bc ＞0)，4c b ＝b
c
，即b ＝2c ＝2
3时
取等号，因此4b ＋1
c 的最小值是9. 答案 A
9．若存在x 使不等式x －m
e x ＞x 成立，则实数m 的取值范围为( )． A ．(－∞，－1
e ) B ．(－1
e ，e) C ．(－∞，0)
D ．(0，＋∞)
解析 依题意得，关于x 的不等式x －m
e x ＞x ，即－m ＞e x x －x 有解．记
f (x )
＝e x x －x (x ≥0)，则f ′(x )＝e x ⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋
12x －1≥e x ×2x ×
12x
－1＝2e x －1
＞2－1＞0(x ＞0)，因此函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，f (x )的最小值是f (0)＝0，于是有－m ＞0，m ＜0，实数m 的取值范围是(－∞，0)． 答案 C
10．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧
2x ＋y －2≥0，
x －2y ＋4≥0，
3x －y －3≤0
上的一个动点，则|AM |的最小值是( )． A.355
B ． 2 C. 5 D ．13
解析 依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，|AM |的最小值等于点A (－1,1)到直线2x ＋y －2＝0的距离，即等于|2×(－1)＋1－2|22＋12＝35
5.
答案 A 11．已知不等式
x ＋2
x ＋1
＜0的解集为{x |a ＜x ＜b }，点A (a ，b )在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则2m ＋1
n 的最小值为( )． A ．4 2 B ．8 C ．9
D ．12
解析 易知不等式
x ＋2
x ＋1
＜0的解集为(－2，－1)，所以a ＝－2，b ＝－1,2m ＋n ＝1，2m ＋1n ＝(2m ＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2n m ≥5＋4＝9(当且仅当m ＝n ＝1
3时取等号)，所以2m ＋1
n 的最小值为9. 答案 C
12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x ，x ＞0，
－x 2＋4x ，x ≤0，若|f (x )|≥ax －1恒成立，则实数a 的取值
范围是( )．
A ．(－∞，－6]
B ．[－6,0]
C ．(－∞，－1]
D ．[－1,0]
解析 在同一直角坐标系下作出y ＝|f (x )|和y ＝ax －1的图象如图所示，由图象可知当y ＝ax －1与y ＝x 2－4x 相切时符合题意，由x 2－4x ＝ax －1有且只有一负根，则Δ＝0且a ＋4
2<0，得a ＝－6，绕点(0，－1)逆时针旋转，转到水平位置时都符合题意，所以a ∈[－6,0]．
答案 B 二、填空题
13．不等式x ＋5
(x －1)2
≥2的解集是__________．
解析 ∵(x －1)2≥0且x ≠1， ∴
x ＋5(x －1)2
≥2⇔x ＋5≥2(x －1)2且x ≠1⇔2x 2
－5x －3≤0且x ≠1，解得－
12≤x ＜1或1＜x ≤3.
答案 [－1
2，1)∪(1,3]
14．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．
解析 x 2
＋y 2
＋xy ＝1⇔(x ＋y )2
－xy ＝1⇔(x ＋y )2
－1＝xy ≤(x ＋y 2)2，解得－23
3
≤x ＋y ≤23
3. 答案
233
15．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
2x ＋y －2≥0，
x －2y ＋4≥0，
3x －y －3≤0，
且目标函数z ＝kx ＋y 的最大值
为11，则实数k ＝________.
解析 画图后易知，目标函数在点(2,3)处取到最大值11，所以2k ＋3＝11，即
k ＝4. 答案 4
16．已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点N (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤2，x ≥1
2，
y ≥x 上的一个动点，则OM →·ON →
的最大值是__________．
解析 OM →·ON →＝2x ＋y ，如图：当直线2x ＋y ＝z 经过点(1,1)时，达到最大值，z max ＝3.
答案 3。