统考版2021高考数学二轮专题复习课时作业2不等式推理与证明理含解析

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2021年高考数学二轮复习专题突破课时作业20算法初步、复数、推理与证明理

课时作业20 算法初步、复数、推理与证明1．[2021·全国卷Ⅲ](1＋i)(2－i)＝( )A．－3－i B．－3＋iC．3－i D．3＋i解析：(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.应选D.答案：D2．[2021·浙江卷]复数21－i(i为虚数单位)的共轭复数是( ) A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i解析：21－i＝21＋i1－i2＝21＋i2＝1＋i，∴ 共轭复数为1－i.应选B.答案：B3．[2021·唐山市高三五校联考摸底考试]执行如下图的程序框图，当输入的n为7时，输出的S的值是( )A．14 B．210C．42 D．840解析：n＝7，S＝1,7<5？，否，S＝7×1＝7，n＝6,6<5？，否，S＝6×7＝42，n＝5,5<5？，否，S＝5×42＝210，n＝4,4<5？，是，退出循环，输出的S的值为210，选择B.答案：B4．[2021·郑州一中高三入学测试]执行如下图的程序框图，输出的s的值为( )A ．－32B ．0C .32D . 3 解析：依题意，数列|sin n π3|的项以6为周期重复出现，且前6项和等于0，因为2 017＝6×336＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin n π3的前2 107项和等于336×0＋sin π3＝32，执行题中的程序框图，输出s 的值等于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin n π3的前2 017项和，等于32，应选C .答案：C5．[2021·石家庄市重点高中毕业班摸底考试]假设执行如下图的程序框图，输出的S 的值为4，那么判断框中应填入的条件是( )A ．k<18B ．k<17C ．k<16D ．k<15解析：由程序框图，得S ＝1·log 23·log 34·log 45·…·log k (k ＋1)＝log 2(k ＋1)＝4，解得k ＝15，此时k ＝15＋1＝16，循环中止．所以判断框中应填入的条件是k<16，应选C .答案：C6．[2021·山东潍坊市第一次模拟]“干支纪年法〞是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干〞，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支〞．“天干〞以“甲〞字开场，“地支〞以“子〞字开场，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，……、癸亥，60个为一周，周而复始，循环记录.2021年是“干支纪年法〞中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法〞中的( )A ．己亥年B ．戊戌年C ．庚子年D ．辛丑年解析：由题意知2021年是甲午年，那么2021 年到2021年分别为乙未年、丙申年、丁酉年、戊戌年、己亥年、庚子年．答案：C7．[2021·湖北省四校高三上学期第二次联考试题]复数z －是z 的共轭复数，假设z －满足(4－i )z －＝5＋3i ，那么z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析：由得z －＝5＋3i4－i ＝5＋3i 4＋i 4－i4＋i ＝17＋17i17＝1＋i ，∴z＝1－i ，应选A .答案：A8．[2021·南昌市摸底调研考试]执行如下图的程序框图，输出的n 为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：当n ＝1时，f(x)＝x′＝1，此时f(x)＝f(－x)，但f(x)＝0无解；当n ＝2时，f(x)＝(x 2)′＝2x ，此时f(x)≠f(－x)；当n ＝3时，f(x)＝(x 3)′＝3x 2，此时f(x)＝f(－x)，且f(x)＝0有解，此时完毕循环，输出的n 为3.答案：C9．[2021·惠州市高三第二次调研考试试卷]假设z1＋i ＝2－i (i 为虚数单位)，那么复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由题意知z ＝(1＋i )(2－i )＝3＋i ，其在复平面内对应的点的坐标为(3,1)，在第一象限，选A .A ．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 017项和B ．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 018项和C ．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和D ．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和解析：由程序框图得，输出的S ＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×5－1)＋…＋(2×2 017－1)，可看作数列{2n －1}的前2 017项中所有奇数项的和，即首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和．应选C.答案：C12．[2021·南昌市第一次模拟]平面内直角三角形两直角边长分别为a ，b ，那么斜边长为a 2＋b 2，直角顶点到斜边的距离为aba 2＋b 2.空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比推理可得底面积为S 21＋S 22＋S 23，那么三棱锥顶点到底面的距离为( )A.3S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23B.S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23C.2S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23D.3S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23解析：设空间中三棱锥O －ABC 的三条两两垂直的侧棱OA ，OB ，OC 的长分别为a ，b ，c ，不妨设三个侧面的面积分别为S △OAB ＝12ab ＝S 1，S △OAC ＝12ac ＝S 2，S △OBC ＝12bc ＝S 3，那么ab ＝2S 1，ac ＝2S 2，bc ＝2S 3.过O 作OD ⊥BC 于D ，连接AD ，由OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，且OB ∩OC ＝O ，得OA ⊥平面OBC ，所以OA ⊥BC ，又OA ∩OD ＝O ，所以BC ⊥平面AOD ，又BC ⊂平面OBC ，所以平面OBC ⊥平面AOD ，所以点O 在平面ABC 内的射影O ′在线段AD 上，连接OO ′. 在直角三角形OBC 中，OD ＝bcb 2＋c 2.因为AO ⊥OD ，所以在直角三角形OAD 中，OO ′＝OA ·ODOA 2＋OD 2＝a ·bc b 2＋c 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc b 2＋c 22＝abcab 2＋ac2＋bc2＝ab bc caab2＋ac2＋bc2＝2S 1·2S 2·2S 32S 12＋2S 32＋2S 22＝2S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23.答案：C13．[2021·福建省高三毕业班质量检查测试]复数z 满足z －(3＋4i)＝4＋3i ，那么|z |＝________.解析：解法一因为z －＝4＋3i3＋4i ＝4＋3i 3－4i 3＋4i 3－4i ＝2425－725i ，所以z ＝2425＋725i ，所以|z |＝1.解法二设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，那么z －＝x －y i ，所以(x －y i)(3＋4i)＝4＋3i ，所以3x ＋4y ＋(4x －3y )i ＝4＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝4，4x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2425，y ＝725.所以|z |＝1.解法三由z －(3＋4i)＝4＋3i ，得|z －(3＋4i)|＝|4＋3i|，即5|z －|＝5，所以|z |＝1. 答案：1 14．复数z ＝3＋i 1－3i 2，z －是z 的共轭复数，那么z ·z －＝________.解析：∵z ＝3＋i 1－3i2＝3＋i －2－23i ＝3＋i －21＋3i＝3＋i 1－3i－21＋3i1－3i＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z －＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14.答案：1415．[2021·济南市高考模拟试题]如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规那么标上标签：原点处标数字0，记为a 0；点(1,0)处标数字1，记为a 1；点(1，－1)处标数字0，记为a 2；点(0，－1)处标数字－1，记为a 3；点(－1，－1)处标数字－2，记为a 4；点(－1,0)处标数字－1，记为a 5；点(－1,1)处标数字0，记为a 6；点(0,1)处标数字1，记为a 7；……以此类推，格点坐标为(i ，j )的点处所标的数字为i ＋j (i ，j 均为整数)，记S n＝a1＋a2＋…＋a n，那么S2 018＝________.解析：设a n的坐标为(x，y)，那么a n＝x＋y.第一圈从点(1,0)到点(1,1)共8个点，由对称性可知a1＋a2＋…＋a8＝0；第二圈从点(2,1)到点(2,2)共16个点，由对称性可知a9＋a10＋…＋a24＝0，……以此类推，可得第n圈的8n个点对应的这8na2 018在第k圈，那么8＋16＋…＋8k＝4k(k＋1)，由此可知前22圈共有2 024个数，故S2 024＝0，那么S2 018＝S2 024－(a2 024＋a2 023＋…＋a2 019)，a2 024所在点的坐标为(22,22)，a2 024＝22＋22，a2 023所在点的坐标为(21,22)，a2 023＝21＋22，以此类推，可得a2 022＝20＋22，a2 021＝19＋22，a2 020＝18＋22，a2 019＝17＋22，所以a2 024＋a2 023＋…＋a2 019＝249，故S2 018＝－249.答案：－24916．[2021·全国卷Ⅰ]如下图的程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A．A>1 000和n＝n＋1B．A>1 000和n＝n＋2C．A≤1 000和n＝n＋1D．A≤1 000和n＝n＋2解析：因为题目要求的是“满足3n－2n＞1 000的最小偶数n〞，所以n的叠加值为2，所以内填入“n＝n＋2”．由程序框图知，当内的条件不满足时，输出n，所以内填入“A≤1 000”．应选D.答案：D。

2021年高考数学大二轮复习专题一集合、常用逻辑用语、不等式、平面向量、算法、复数、推理与证明1.2

1.2 不等式【课时作业】1．集合M ＝{x |x 2－4x >0}，N ＝{x |m <x <8}，假设M ∩N ＝{x |6<x <n }，那么m ＋n ＝( ) A ．10 B ．12 C ．14D ．16解析： M ＝{x |x 2－4x >0}＝{x |x >4或x <0}，N ＝{x |m <x <8}，由于M ∩N ＝{x |6<x <n }，∴m ＝6，n ＝8，∴m ＋n ＝14，应选C.答案： C2．假设a 1bB ．1a －b >1aC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2解析：因为a 1b，故A 对．因为a 1a －b，故B 错．因为a －b >0，即|－a |>|－b |，所以|a |>|b |，故C 对．因为a －b >0，所以(－a )2>(－b )2，即a 2>b 2，故D 对．答案： B 3．a ∈R ，不等式x －3x ＋a≥1的解集为p ，且－2∉p ，那么a 的取值范围为( ) A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析： ∵－2∉p ，∴－2－3－2＋a <1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.答案： D4．(2021·北京卷)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y >4，x －ay ≤2}，那么( ) A ．对任意实数a ，(2,1)∈A B ．对任意实数a ，(2,1)∉A C ．当且仅当a <0时，(2,1)∉A D ．当且仅当a ≤32时，(2,1)∉A解析：假设点(2,1)∈A ，那么不等式x －y ≥1显然成立，且同时要满足⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>4，2－a ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧a >32，a ≥0，解得a >32.即点(2,1)∈A ⇒a >32，其等价命题为a ≤32⇒点(2,1)∉A 成立．应选D. 答案： D5．(2021·广东清远清城一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，那么关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax 0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，∴所求解集是(－1,3)．应选C.答案： C6．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －4≤0，－2≤x <2，y ≤1，假设z ＝2x －y ，那么z 的取值范围是( )A ．[－5,6)B ．[－5,6]C ．(2,9)D ．[－5,9]解析：作出可行域如图中阴影局部所示，由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，并平移，可知当该直线经过点A (－2,1)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－2)－1＝－5，当该直线经过点B (2，－2)时，z ＝2×2＋2＝6，由于点B 不在可行域内，应选A.答案： A7．在平面直角坐标系中，假设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，那么a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3解析：如图，阴影局部即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的区域，而ax －y ＋1＝0的直线恒过点(0,1)，故看作直线绕点(0,1)旋转，当a ＝－5时，那么可行域不是一个封闭区域，当a ＝1时，面积是1；a ＝2时，面积是32；当a ＝3时，面积恰好为2，应选D.答案： D8．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，那么该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元解析：设底面矩形的一条边长是x m ，总造价是y 元，由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，那么另一条边长是4xm ，又设总造价是y 元，那么y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x ＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号．答案： C9．(2021·江西九江二模)实数x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≤0，x ＋y －2≥0，2x －y ＋2≥0，假设z ＝y －1x ＋3的最大值为1，那么z 的最小值为( ) A ．－13B ．－37C.13D ．－15解析：作出可行域如图中阴影局部所示，目标函数z ＝y －1x ＋3的几何意义是可行域内的点(x ，y )与点A (－3,1)两点连线的斜率，当取点B (a,2a ＋2)时，z 取得最大值1，故2a ＋2－1a ＋3＝1，解得a ＝2，那么C (2,0)．当取点C (2,0)时，z 取得最小值，即z min ＝0－12＋3＝－15.应选D.答案： D10．(2021·湖北省五校联考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，那么该企业每天可获得的最大利润为( )甲乙原料限额 A (单位：吨) 3 2 12 B (单位：吨)128A.15万元 B ．16万元 C ．17万元D ．18万元解析：设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，那么有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影局部所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点M (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18，应选D.答案： D11．假设两个正实数x ，y 满足13x ＋3y ＝1，且不等式x ＋y 4－n 2－13n12<0有解，那么实数n的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2512，1B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2512∪(1，＋∞)C.()1，＋∞D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2512 解析：因为不等式x ＋y 4－n 2－13n 12<0有解，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min <n 2＋13n 12，因为x >0，y >0，且13x ＋3y ＝1，所以x ＋y 4＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋3y ＝1312＋3x y ＋y 12x ≥1312＋23xy ·y 12x ＝2512，当且仅当3x y ＝y 12x ，即x ＝56，y ＝5时取等号，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min ＝2512，故n 2＋13n 12－2512>0，解得n <－2512或n >1，所以实数n 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2512∪(1，＋∞)，应选B.答案： B12．实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，假设y ≥kx －3恒成立，那么实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－115，0B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，113C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫115，＋∞D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－115∪[0，＋∞)解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，作可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x ＋y ＝0，解得B (3，－3)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －y ＋5＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，52.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－3≥3k －3，52≥－52k －3，解得－115≤k ≤0.所以实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－115，0.答案： A13．不等式12x －3>0的解集为________．解析：由题意知2x－3>0，所以x >log 23，即不等式12x－3>0的解集为(log 23，＋∞)．答案： (log 23，＋∞)14．(2021·南昌市摸底调研)函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，那么正数m 的值为________．解析： ∵x >2，m >0，∴y ＝x －2＋mx －2＋2≥2x －2·mx －2＋2＝2m ＋2，当x＝2＋m 时取等号，又函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，即2m ＋2＝6，解得m ＝4.答案： 415．(2021·北京卷)假设x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，那么2y －x 的最小值是________．解析：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤y ，y ≤2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，作出可行域，如图阴影局部所示．设z ＝2y －x ，即y ＝12x ＋12z ，作直线l 0：y ＝12x 并向上平移，显然当l 0过点A (1,2)时，z 取得最小值，z min ＝2×2－1＝3.答案： 316．定义min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <y ，y ，x ≥y ，那么不等式min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ＋4x，4≥8 min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，1x 的解集是________．解析：因为min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ＋4x ，4＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x >0，x ＋4x，x <0，min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤－1，1x ，－1<x <0，x ，0<x ≤1，1x ，x >1，所以当x >1时，由4≥8x得x ≥2；当0<x ≤1时，由4≥8x ，得0<x ≤12；当x ≤－1时，由x ＋4x≥8x ，得x ≤－1；当－1<x <0时，由x ＋4x ≥8x得－1<x <0.综上所述，原不等式的解集为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)．答案： (－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)。

2021年高考数学大二轮复习专题一集合、常用逻辑用语、不等式、平面向量、算法、复数、推理与证明1.3

1.3 平面向量【课时作业】1．向量m ＝(t ＋1,1)，n ＝(t ＋2,2)，假设(m ＋n )⊥(m －n )，那么t ＝( ) A ．0 B ．－3 C ．3D ．－1解析：法一：由(m ＋n )⊥(m －n )可得(m ＋n )·(m －n )＝0，即m 2＝n 2，故(t ＋1)2＋1＝(t ＋2)2＋4，解得t ＝－3.法二：m ＋n ＝(2t ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴－(2t ＋3)－3＝0，解得t ＝－3.答案： B2．在△ABC 中，P ，Q 分别是边AB ，BC 上的点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC .假设AB →＝a ，AC →＝b ，那么PQ →＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13b D ．－13a －13b解析： PQ →＝PB →＋BQ →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b ，应选A.答案： A3．向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,2)那么向量a ，b 的夹角的余弦值为( ) A.31010 B ．－31010 C.22D ．－22解析：因为向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,2)，所以b ＝(2,0)，那么向量a ，b 的夹角的余弦值为1×2＋1×02×2＝22.答案： C4．在平面直角坐标系中，点A (0,1)，向量AB →＝(－4，－3)，BC →＝(－7，－4)，那么点C 的坐标为( )A ．(11,8)B ．(3,2)C ．(－11，－6)D ．(－3,0)解析：设C (x ，y )，∵在平面直角坐标系中，点A (0,1)，向量AB →＝(－4，－3)，BC →＝(－7，－4)，∴AC →＝AB →＋BC →＝(－11，－7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －0＝－11，y －1＝－7，解得x ＝－11，y ＝－6，故C (－11，－6)．应选C.答案： C5．(2021·广东广雅中学等四校2月联考)两个单位向量a ，b 的夹角为120°，k ∈R ，那么|a －k b |的最小值为( )A.34 B ．32C ．1D ．32解析： ∵两个单位向量a ，b 的夹角为120°，∴|a |＝|b |＝1，a·b ＝－12，∴|a －k b |＝a 2－2k a ·b ＋k 2b 2＝1＋k ＋k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＋34.∵k ∈R ，∴当k ＝－12时，|a －k b |取得最小值32，应选B. 答案： B6．在平面直角坐标系xOy 中，P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3→与向量a ＝(1，－1)共线，假设OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→，那么λ＝( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1解析：设OP 3→＝(x ，y )，那么由OP 3→∥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3→＝(x ，－x )．假设OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→，那么有(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即⎩⎪⎨⎪⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，应选D.答案： D7．(2021·河北衡水中学2月调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，假设AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ，μ∈R )，那么52μ－λ＝( )A ．－12B ．1 C.32D ．－3解析： AM →＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →，因为E 、M 、F 三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，∴52μ－λ＝－12，应选A.答案： A8．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E 为线段BC 上的点，那么AE →·DE →的最小值为( ) A ．2 B ．154C.174D ．4解析：如图，以B 为原点，BC 所在的直线为x 轴，BA 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，那么A (0,2)，D (1,2)．设E (x,0)(0≤x ≤1)，那么AE →＝(x ，－2)，DE →＝(x －1，－2)．∴AE →·DE →＝(x ，－2)·(x －1，－2)＝x 2－x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋154.∵0≤x ≤1，∴当x ＝12，即E 为BC 的中点时，AE →·DE→取得最小值，最小值为154.应选B.答案： B9．a ，b 为平面向量，假设a ＋b 与a 的夹角为π3，a ＋b 与b 的夹角为π4，那么|a ||b |＝( )A.33 B ．63C.53D ．2解析：在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，那么AC →＝a ＋b ，∠BAC ＝π3，∠DAC＝π4.在△ABC 中，由正弦定理，得|a ||b |＝sin ∠ACB sin ∠BAC ＝sin ∠DACsin ∠BAC ＝sinπ4sinπ3＝2232＝63.应选B. 答案： B10．向量OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，OC →＝mOA →－nOB →(m >0，n >0)，假设m ＋n ＝1，那么|OC →|的最小值为( )A.52B ．102C. 5 D ．10解析：由OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)得OC →＝mOA →－nOB →＝(3m ＋n ，m －3n )，因为m ＋n ＝1(m >0，n >0)，所以n ＝1－m 且0<m <1，所以OC →＝(1＋2m,4m －3)，那么|OC →|＝1＋2m2＋4m －32＝20m 2－20m ＋10＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋5(0<m <1)，所以当m ＝12时，|OC →|min ＝ 5.答案： C11．(2021·惠州市第二次调研)等边三角形ABC 的边长为2，其重心为G ，那么BG →·CG →＝( )A ．2B ．－14C ．－23D ．3解析：法一：如图，建立平面直角坐标系，那么A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，得重心G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，那么BG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，CG →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，33，所以BG →·CG →＝－1×1＋33×33＝－23，应选C. 法二：因为AC →·AB →＝|AC →|·|AB →|cos 60°＝2×2×12＝2，BG →＝13AC →－23AB →，CG →＝13AB →－23AC →，所以BG →·CG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →－23AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－23AC →＝19AC →·AB →－29AC →2－29AB →2＋49AC →·AB →＝59AC →·AB →－29×4－29×4＝59×2－169＝－69＝－23，应选C. 答案： C12．向量a ，b 满足|a |＝1，(a ＋b )·(a －2b )＝0，那么|b |的取值范围为( ) A ．[1,2]B ．[2,4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析：由题意知b ≠0，设向量a ，b 的夹角为θ，因为(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a·b －2b 2＝0，又|a |＝1，所以1－|b |cos θ－2|b |2＝0，所以|b |cos θ＝1－2|b |2，因为－1≤cosθ≤1，所以－|b |≤1－2|b |2≤|b |，所以12≤|b |≤1，所以|b |的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案： D13．(2021·全国卷Ⅲ)向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．假设c ∥(2a ＋b )，那么λ＝________.解析： 2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.答案： 1214．等边△ABC 的边长为2，假设BC →＝3BE →，AD →＝DC →，那么BD →·AE →＝________.解析：如下图，BD →·AE →＝(AD →－AB →)·(AB →＋BE →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13AC →－13AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC→－AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →＋23AB →＝ 16AC →2－23AB →2＝16×4－23×4＝－2. 答案：－215．(2021·益阳市，湘潭市调研试卷)向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，3)，记向量a ，b 的夹角为θ，那么tan θ＝________.解析：法一：∵|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，3)，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝5＋2a·b ＝1＋3，∴a ·b ＝－12，∴cos θ＝a·b |a |·|b |＝－14，∴sin θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝154，∴tan θ＝sin θcos θ＝－15. 法二：∵a ＋b ＝(1，3)，∴|a ＋b |＝1＋3＝2，记OA →＝a ，AB →＝b ，那么OB →＝a ＋b ，由题意知|AB →|＝|OB →|＝2，|OA →|＝1，θ＝π－∠OAB ，∴在等腰三角形OBA 中，tan ∠OAB ＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫12212＝15，∴tan θ＝－tan ∠OAB ＝－15. 答案：－1516．(2021·福州市质量检测)如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠DCA ＝2∠BAC .假设BD →＝xBA →＋yBC →(x ，y ∈R )，那么x －y 的值为________．解析：如图，延长DC ，AB 交于点E ，因为∠DCA ＝2∠BAC ，所以∠BAC ＝∠CEA . 又∠ABC ＝90°，所以BA →＝－BE →.因为BD →＝xBA →＋yBC →，所以BD →＝－xBE →＋yBC →.因为C ，D ，E 三点共线，所以－x ＋y ＝1，即x －y ＝－1.答案：－1。

2021年高考数学二轮复习不等式专题训练(含解析)

2021年高考数学二轮复习不等式专题训练（含解析）一、选择题1．(xx·四川卷)已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B ＝( ) A ．{－1,0,1,2} B ．{－2，－1,0,1} C ．{0,1}D ．{－1,0}解析 A ＝{x |－1≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{－1,0,1,2}，选A. 答案 A2．已知a 1bB ．a 2>b 2C ．2－a >2－bD ．2a>2b解析 ∵a －b ，∴2－a >2－b . 答案 C3．(xx·皖南八校联考)若“0<x <1”是“(x －a )[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)解析依题意0<x <1⇒a ≤x ≤a ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋2≥1.∴－1≤a ≤0. 答案 A4．(xx·山东卷)已知实数x ，y 满足a x <a y(0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3解析由a x<a y(0<a <1)，知x >y ，所以x 3>y 3，选D. 答案 D5．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP→的最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析如图作可行域，z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max ＝2.故选D.答案 D6．(xx·山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5D ．2解析约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0满足的可行域如图中的阴影部分所示．由图可知，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取最小值时，最优解为(2,1)．所以2a ＋b ＝25，则b ＝25－2a ，所以a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝5a 2－85a ＋20＝5⎝⎛⎭⎪⎫a －4552＋4，即当a ＝455，b ＝255时，a 2＋b 2有最小值4. 答案 B 二、填空题7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x x ≥0，－x 2＋x x <0，则不等式f (x 2－x ＋1)<12的解集是________．解析作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x x ≥0－x 2＋x x <0的图象，可知该函数是奇函数，且在R 上单调递增，所以由f (x 2－x ＋1)<12＝f (3)可得x 2－x ＋1<3，解得－1<x <2，故不等式f (x 2－x ＋1)<12的解集是(－1,2)．答案 (－1,2)8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋4≥0，4x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为8，则ab 的最大值为________．解析画出可行域，如图所示，目标函数变形为y ＝－ab x ＋z b ，由已知得－a b<0，且纵截距最大时，z 取到最大值，故当直线l 过点B (2,4)时，目标函数取到最大值，即2a ＋4b ＝8，因a >0，b >0，由基本不等式，得2a ＋4b ＝8≥42ab ，即ab ≤2(当且仅当2a ＝4b ＝4，即a ＝2，b ＝1时取“＝”)，故ab 的最大值为2.答案 29．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．解析因为x ＋2y ＋2xy ＝8，所以y ＝8－x2x ＋2>0，所以－1<x <8，所以x ＋2y ＝x ＋2·8－x 2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2x ＋1·9x ＋1－2＝4，当且仅当x ＝2时取等号．答案 4 三、解答题10．设集合A ＝{x |x 2<4}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4x ＋3>1. (1)求集合A ∩B ；(2)若不等式2x 2＋ax ＋b <0的解集为B ，求a ，b 的值．解 A ＝{x |x 2<4}＝{x |－2<x <2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4x ＋3>1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋3<0＝{x |－3<x <1}， (1)A ∩B ＝{x |－2<x <1}．(2)因为2x 2＋ax ＋b <0的解集为B ＝{x |－3<x <1}，所以－3和1为2x 2＋ax ＋b ＝0的两根．由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－a2＝－3＋1，b2＝－3×1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－6.11．(xx·课标全国卷Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．解 (1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立，故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.B 级——能力提高组1．(xx·课标全国卷Ⅰ)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2， p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1，其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 1，p 4D ．p 1，p 3解析画出可行域如图阴影部分所示．作直线l 0：y ＝－12x ，平移l 0，当直线经过A (2，－1)时，x ＋2y 取最小值，此时(x ＋2y )min ＝0.故p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2为真．p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2为真．故选B.答案 B2．(xx·辽宁卷)对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a－4b ＋5c的最小值为________．解析要求|2a ＋b |最大值，只需求(2a ＋b )2的最大值．∵4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0，∴4a 2＋b 2＝c ＋2ab －3b 2.∴(2a ＋b )2＝4a 2＋b 2＋4ab ＝c ＋2ab －3b 2＋4ab ＝c ＋6ab －3b 2＝c ＋3b (2a －b )＝c ＋32·2b (2a －b )≤c ＋32⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b ＋2a －b 22＝c ＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 22，即(2a ＋b )2≤85c ，当且仅当2b ＝2a －b ，即3b ＝2a 时取到等号，即(2a ＋b )2取到最大值．故3b ＝2a 时，|2a ＋b |取到最大值．把3b ＝2a ，即b ＝2a 3代入4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0，可得c ＝409a 2. ∴3a －4b ＋5c ＝3a －423a ＋5409a 2＝3a －6a ＋98a 2＝98⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－83a ＝98⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －432－2.∴当1a ＝43时，3a －4b ＋5c取到最小值－2.答案－23．已知函数f (x )＝13x 3＋a －22x 2－2ax －3，g (a )＝16a 3＋5a －7.(1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在区间[－2,0]上不单调，且x ∈[－2，0]时，不等式f (x )<g (a )恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝13x 3－12x 2－2x －3，定义域为R ，f ′(x )＝x 2－x －2＝(x －2)(x ＋1)．令f ′(x )>0，得x <－1或x >2.∴函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(2，＋∞)． (2)f ′(x )＝x 2＋(a －2)x －2a ＝(x ＋a )(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－a . ∵函数f (x )在区间[－2,0]上不单调， ∴－a ∈(－2,0)，即0<a <2.又∵函数在(－2，－a )上，f ′(x )>0，在(－a,0)上，f ′(x )<0，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x －2 (－2，－a )－a (－a,0) 0 f ′(x ) ＋0 －f (x )f (－2)极大值↘f (0)∴f∴f (x )在[－2,0]上的最大值为f (－a )．∵当x ∈[－2,0]时，不等式f (x )<g (a )恒成立，等价于f (－a )<g (a )， ∴－13a 3＋a －22·a 2＋2a 2－3<16a 3＋5a －7.∴16a 3＋a 2－3<16a 3＋5a －7. ∴a 2－5a ＋4<0，解得1<a <4.综上所述，a 的取值范围是(1,2)．24228 5EA4 庤38601 96C9 雉34051 8503 蔃^29586 7392 玒29671 73E7 珧Zh34944 8880 袀20741 5105 儅23866 5D3A 崺31095 7977 祷40302 9D6E 鵮H36899 9023 連。

2021年高考数学二轮复习推理与证明、算法初步、复数专题训练(含解析)

2021年高考数学二轮复习推理与证明、算法初步、复数专题训练（含解析）一、选择题1．(xx·安徽卷)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A．34 B．55C．78 D．89解析由程序框图知依次为：x＝1，y＝1，z＝2；x＝1，y＝2，z＝3；x＝2，y＝3，z＝5；x＝3，y＝5，z＝8；x＝5，y＝8，z＝13；x＝8，y＝13，z＝21；x＝13，y＝21，z＝34；x＝21，y＝34，z＝55>50，故输出55.答案B2．(xx·北京卷)当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )A．7 B．42C．210 D．840解析开始：m＝7，n＝3.计算：k＝7，S＝1.第一次循环，此时m－n＋1＝7－3＋1＝5，显然k<5不成立，所以S＝1×7＝7，k＝7－1＝6.第二次循环，6<5不成立，所以S＝7×6＝42，k＝6－1＝5.第三次循环，5<5不成立，所以S＝42×5＝210，k＝5－1＝4.显然4<5成立，输出S的值，即输出210，故选C.答案C3．若复数z满足i z＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( ) A．(2,4) B．(2，－4)C．(4，－2) D．(4,2)解析由i z＝2＋4i得：z＝2＋4ii＝2＋4i i－1＝4－2i，对应点为(4，－2)，故选C.答案C4．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )A ．－4B ．－45C ．4D .45解析 |4＋3i |＝42＋32＝5，所以(3－4i )z ＝5，即z ＝53－4i ＝53＋4i 3－4i 3＋4i＝35＋45i ，所以z 的虚部为45，故选D .答案 D5．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n ，由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f(x)＝x cos x 满足f(－x)＝－f(x)对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2>2n解析注意到，选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n 1＋2n －12＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A.答案 A6．类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S (x )＝a x －a －x ，C (x )＝a x＋a －x，其中a >0，且a ≠1，下面正确的运算公式是( )①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )；③2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；④2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )．A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③解析经验证易知①②错误．依题意，注意到2S (x ＋y )＝2(a x ＋y－a－x －y)，又S (x )C (y )＋C (x )S (y )＝2(ax ＋y－a－x －y)，因此有2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；同理有2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )，综上所述，选B.答案 B 二、填空题7．(xx·江苏卷)下图是一个算法流程图，则输出的n 的值是________．解析本题实质上是求不等式2n>20的最小整数解，2n>20的整数解为n ≥5，因此输出的n ＝5. 答案 58．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝________.解析 z 2－2z z －1＝z －12－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i －i·i＝－2i.答案－2i 9．观察下列等式： 13＋23＝1； 73＋83＋103＋113＝12； 163＋173＋193＋203＋223＋233＝39； ……则当m <n 且m ，n ∈N 时，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝________(最后结果用m ，n 表示)．解析由13＋23＝1，知m ＝0，n ＝1,1＝12－02；由73＋83＋103＋113＝12，知m ＝2，n ＝4,12＝42－22；由163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，知m ＝5，n ＝8,39＝82－52； ……依此规律可归纳，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝n 2－m 2.答案 n 2－m 2三、解答题10．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解 ∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ， ∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵z 1·z 2∈R ， ∴a ＝4. ∴z 2＝4＋2i.11．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解 (1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r . 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0. ∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.∵⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r .与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．B 级——能力提高组1．若数列{a n }是等差数列，则数列 {b n }⎝⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝ n c n1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n 解析若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ，∴b n ＝a 1＋n －12d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n1·q1＋2＋…＋(n －1)＝c n1·qn n －12，∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D. 答案 D2．(xx·湖北卷)设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a ＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝________.解析不妨取a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851，b＝693；则取a＝693，则I(a)＝369，D(a)＝963，b＝594；则取a＝594，则I(a)＝459，D(a)＝954，b＝495；则取a＝495，则I(a)＝459，D(a)＝954，b＝495.故输出结果b＝495.答案4953．根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，…，x k，…；y1，y2，…，y k，….(1)分别求数列{x k }和{y k }的通项公式；(2)令z k ＝x k y k ，求数列{z k }的前k 项和T k ，其中k ∈N *，k ≤2 007. 解 (1)由程序框图，知数列{x k }中，x 1＝1，x k ＋1＝x k ＋2， ∴x k ＝1＋2(k －1)＝2k －1(k ∈N *，k ≤2 007)．由程序框图，知数列{y k }中，y k ＋1＝3y k ＋2， ∴y k ＋1＋1＝3(y k ＋1)． ∴y k ＋1＋1y k ＋1＝3，y 1＋1＝3. ∴数列{y k ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列． ∴y k ＋1＝3·3k －1＝3k.∴y k ＝3k－1(k ∈N *，k ≤2 007)．(2)T k ＝x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x k y k ＝1×(3－1)＋3×(32－1)＋…＋(2k －1)(3k －1)＝1×3＋3×32＋…＋(2k －1)·3k－[1＋3＋…＋(2k －1)]．记S k ＝1×3＋3×32＋…＋(2k －1)·3k，① 则3S k ＝1×32＋3×33＋…＋(2k －1)·3k ＋1，②①－②，得－2S k ＝3＋2·32＋2·33＋…＋2·3k－(2k －1)·3k ＋1＝2(3＋32＋…＋3k )－3－(2k －1)·3k ＋1＝2×3×1－3k1－3－3－(2k －1)·3k ＋1＝3k ＋1－6－(2k －1)·3k ＋1＝2(1－k )·3k ＋1－6，∴S k ＝(k －1)·3k ＋1＋3.又∵1＋3＋…＋(2k －1)＝k 1＋2k －12＝k 2，∴T k ＝(k －1)·3k ＋1＋3－k 2.27235 6A63 橣@qc24387 5F43 彃26788 68A4 梤24556 5FEC 忬25364 6314 挔36889 9019 這}29383 72C7 狇 23216 5AB0 媰34210 85A2薢。

(山东专版)高考数学二轮专题复习与策略第2部分必考补充专题技法篇 6招巧解客观题,省时、省力得

必考补充专题技法篇 6招巧解客观题，省时、省力得高分教师用书理必考补充专题中的4个突破点在高考考查中较为简单，题型为选择、填空题，属送分题型，通过一轮复习，大多数考生已能熟练掌握，为节省宝贵的二轮复习时间，迎合教师与考生的需求，本部分只简单提炼核心知识，构建知识体系，讲解客观题解法，其余以练为主.建知识网络明内在联系[高考点拨] 必考补充专题涉及的知识点比较集中，多为新增内容，在高考中常以“四小”的形式呈现．本专题的考查也是高考中当仁不让的高频考点，考查考生应用新知识解决问题的能力和转化与化归能力等．综合近年高考命题规律，本专题主要从“集合与常用逻辑用语”“不等式与线性规划”“算法初步、复数、推理与证明”“排列组合、二项式定理”四大角度进行精练，引领考生明确考情，高效备考．技法篇：6招巧解客观题，省时、省力得高分[技法概述] 选择题、填空题是高考必考的题型，共占有75分，因此，探讨选择题、填空题的特点及解法是非常重要和必要的．选择题的特点是灵活多变、覆盖面广，突出的特点是答案就在给出的选项中．而填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，不设中间分，所以要求所填的是最简最完整的结果．解答选择题、填空题时，对正确性的要求比解答题更高、更严格．它们自身的特点决定选择题及填空题会有一些独到的解法．解法1 直接法直接法是直接从题设出发，抓住命题的特征，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得出结果.直接法是求解填空题的常用方法.在用直接法求解选择题时，可利用选项的暗示性作出判断，同时应注意：在计算和论证时尽量简化步骤，合理跳步，还要尽可能地利用一些常用的性质、典型的结论，以提高解题速度.(1)(2016·高考)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3(2)(2015·某某高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为______．[解题指导] (1)先求点P 坐标，再求点P ′的坐标，最后将点P ′的坐标代入y ＝sin 2x 求s 的最小值．(2)可以利用向量的坐标运算，通过坐标相等，直接得出参量m ，n 的值． (1)A (2)－3 [(1)因为点P ⎝⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，12.将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12.因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图象上，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝12，即cos 2s ＝12，所以2s＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z)，所以s 的最小值为π6.(2)∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝－3.][变式训练1] (2015·某某高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x (万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y (万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝0.76，a ^＝y －b ^x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元B [由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．] 解法2 等价转化法所谓等价转化法，就是通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果.(1)(2016·某某模拟)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6(2)(2015·某某高考)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.[解题指导] (1)把向量AM →，NM →用AB →，BC →表示，再求数量积．(2)利用∠AOB ＝120°，得到圆心到直线的距离，最后用点到直线的距离公式求解．(1)C (2)2 [(1)依题意有AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34BC →，NM →＝NC →＋CM →＝13DC →－14BC →＝13AB →－14BC →，所以AM →·NM →＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋34BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－14BC →＝13AB →2－316BC →2＝9.故选C.(2)如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则|OD |＝532＋－42＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°，∴|OB |＝2|OD |＝2，即r ＝2.][变式训练2] (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，则AB 的长为( ) 【导学号：67722071】A ．2B.32 C ．1D.12(2)若直线y ＝kx ＋1(k ∈R)与圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2－2a －4＝0恒有交点，则实数a 的取值X 围是________．(1)D (2)[－1,3] [(1)因为AC →＝AD →＋DC →，BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12DC →，所以AC →·BE →＝(AD →＋DC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12DC →＝AD →2＋12AD →·DC →－12DC 2，所以1＋12|DC →|·cos 60°－12|DC →|2＝1，|DC →|＝12，故AB 的长为12.(2)直线y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，则直线与圆恒有交点等价于点(0,1)在圆内或圆上，即02＋12－2a ×0＋a 2－2a －4≤0，即a 2－2a －3≤0，解得－1≤a ≤3.]解法3 特殊值法在解决选择题和填空题时，可以取一个或一些特殊数值或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等来确定其结果，这种方法称为特值法.特值法由于只需对特殊数值、特殊情形进行检验，省去了推理论证、繁琐演算的过程，提高了解题的速度.特值法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法，应用得当可以起到“四两拨千斤”的功效.(1)(2015·某某高考)设f (x )＝ln x,0<a pC ．p ＝r <qD ．p ＝r >q(2)(2015·某某高考)“对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，k sin x cos x <x ”是“k <1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解题指导] (1)从条件看这应是涉及利用基本不等式比较函数值大小的问题，若不等式在常规条件下成立，则在特殊情况下更能成立，所以不妨对a ，b 取特殊值处理，如a ＝1，b ＝e.(2)正常来说分析不等式k sin x cos x ＜x 成立的条件很复杂，也没必要，所以可以尝试在满足条件的情况下对x 取特殊值进行分析，这样既快又准确．(1)C (2)B [(1)根据条件，不妨取a ＝1，b ＝e ，则p ＝f (e)＝ln e ＝12，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋e 2＞f (e)＝12，r ＝12(f (1)＋f (e))＝12，在这种特例情况下满足p ＝r ＜q ，所以选C.(2)若对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，k sin x cos x ＜x 成立，不妨取x ＝π4，代入可得k ＜π2，不能推出k ＜1，所以是非充分条件；因为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，恒有sin x ＜x ，若k ＜1，则k cos x ＜1，一定有k sin x cos x ＜x ，所以选B.][变式训练3] (1)如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，那么( ) A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＞a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 5(2)(2016·某某模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________.(1)B (2)45 [(1)取特殊数列1,2,3,4,5,6,7,8，显然只有1×8＜4×5成立．(2)令a ＝b ＝c ，则A ＝C ＝60°，cos A ＝cos C ＝12.从而cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝45.]解法4 数形结合法数形结合法是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思考，促使抽象思维和形象思维有机结合，通过对规X 图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决的方法.(1)(2016·某某模拟)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x＋y 的最大值是( )【导学号：67722072】A ．－1B ．－2C ．－5D ．1(2)(2015·某某高考)函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为______．[解题指导] (1)要确定目标函数的最大值，需知道相应的x ，y 的值，从约束条件中不可能解出对应的x ，y 的值，所以只有通过图解法作出约束条件的可行域，据可行域数形结合得出目标函数的最大值．(2)函数的零点即对应方程的根，但求对应方程的根也比较困难，所以进一步转化为求两函数的图象的交点，所以作出两函数的图象确定交点个数即可．(1)A (2)2 [(1)二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的△ABC 内部及其边界，当直线y ＝2x ＋z 过A 点时z 最大，又A (1,1)，因此z 的最大值为－1.(2)f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)| ＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)| ＝2sin x cos x －|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|. 由f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.设y 1＝sin 2x ，y 2＝|ln(x ＋1)|，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f (x )有两个零点．] [变式训练4] (1)(2016·某某模拟)方程x lg(x ＋2)＝1的实数根的个数为( )A ．1B ．2C ．0D ．不确定(2)已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R)在区间[0,2]上单调递增，在区间(2，＋∞)上单调递减，且满足f (－3)＝f (1)＝0，则不等式x 3f (x )＜0的解集为________．(1)B (2)(－3，－1)∪(0,1)∪(3，＋∞) [(1)方程x lg(x ＋2)＝1⇔lg(x ＋2)＝1x，在同一坐标系中画出函数y ＝lg(x ＋2)与y ＝1x的图象，可得两函数图象有两个交点，故所求方程有两个不同的实数根．(2)由题意可画出y ＝f (x )的草图，如图．①x ＞0，f (x )＜0时，x ∈(0,1)∪(3，＋∞)； ②x ＜0，f (x )＞0时，x ∈(－3，－1)．故不等式x 3f (x )＜0的解集为(－3，－1)∪(0,1)∪(3，＋∞)．] 解法5 构造法用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到解决，它需要对基础知识和基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化.(1)(2016·某某一模)已知f (x )为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f (x )＞xf ′(x )恒成立，则不等式x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )＞0的解集为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)(2)如图1，已知球O 的面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．图1[解题指导] (1)构造函数g (x )＝f xx，可证明函数g (x )在(0，＋∞)上是减函数，再利用 x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )＞0⇔f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1x＞f x x ⇔g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞g (x )求解． (2)以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，则球O 是此正方体的外接球，从而球O 的直径是正方体的体对角线长．(1)C (2)6π [(1)设g (x )＝f x x ，则g ′(x )＝xf ′x －f xx 2，又因为f (x )＞xf ′(x )，所以g ′(x )＝xf ′x －f xx 2＜0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数g (x )＝f x x 为(0，＋∞)上的减函数，又因为x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )＞0⇔f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1x＞f x x ⇔g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞g (x )，则有1x＜x ，解得x ＞1，故选C.(2)如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝22＋22＋22＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR33＝6π.][变式训练5] (1)(2016·某某高三诊断)已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )＜f (x )，且f (x ＋2)为偶函数，f (4)＝1，则不等式f (x )＜e x 的解集为( )A ．(－2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)(2)已知a ，b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a ，b 在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)． (1)B (2)①②④ [(1)因为f (x ＋2)为偶函数，所以f (x ＋2)的图象关于x ＝0对称，所以f (x )的图象关于x ＝2对称，所以f (4)＝f (0)＝1，设g (x )＝f xex(x ∈R)，则g ′(x )＝f ′x e x －f x e xex2＝f ′x －f xex，又因为f ′(x )＜f (x )，所以g ′(x )＜0(x ∈R)，所以函数g (x )在定义域上单调递减，因为f (x )＜e x⇔g (x )＝f xex＜1，而g (0)＝f 0e＝1，所以f (x )＜e x⇔g (x )＜g (0)，所以x ＞0，故选B.(2)用正方体ABCD A 1B 1C 1D 1实例说明A 1D 与BC 1在平面ABCD 上的射影互相平行，AB 1与BC 1在平面ABCD 上的射影互相垂直，BC 1与DD 1在平面ABCD 上的射影是一条直线及其外一点．故正确的结论为①②④.]解法6 排除法排除法就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选项这一信息，从选项入手，根据题设条件与各选项的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选项进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论的方法.使用该法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确.排除法适用于定性型或不宜直接求解的选择题，当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件，在选项中找到明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件，在剩余的选项内找出矛盾，这样逐步筛选，直至得出正确的答案.(1)(2016·北师大附中模拟)函数y ＝cos 6x2x －2－x 的图象大致为( )【导学号：67722073】A BC D(2)(2015·某某高考)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x [解题指导] (1)根据函数的奇偶性和x →＋∞时函数值的正负，以及x →0且x ＞0时函数值的正负，排除可得答案．(2)可验证当x ＜0时，等式成立的情况．(1)D (2)D [(1)函数y ＝cos 6x 为偶函数，函数y ＝2x －2－x为奇函数，故原函数为奇函数，排除A.又函数y ＝2x －2－x 为增函数，当x →＋∞时，2x －2－x →＋∞且|cos 6x |≤1，∴y ＝cos 6x 2x －2－x →0(x →＋∞)，排除C.∵y ＝cos 6x 2x －2－x ＝2x ·cos 6x 4x －1为奇函数，不妨考虑x ＞0时函数值的情况，当x →0时，4x →1,4x －1→0,2x →1，cos 6x →1，∴y →＋∞，故排除B ，综上知选D.(2)当x <0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C ，故选D.] [变式训练6] (1)(2015·某某高考)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )(2)(2015·高考)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( )A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0(1)D (2)C [(1)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当x ＝π时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫π－1πcos π＝1π－π<0，排除选项C ，故选D. (2)设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋a 2>0，a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ，由于d 正负不确定，因而a 2＋a 3符号不确定，故选项A 错；若a 1＋a 3<0，a 1＋a 2＝a 1＋a 3－d ＝(a 1＋a 3)－d ，由于d 正负不确定，因而a 1＋a 2符号不确定，故选项B 错；若0<a 1<a 2，可知a 1>0，d >0，a 2>0，a 3>0，∴a 22－a 1a 3＝(a 1＋d )2－a 1(a 1＋2d )＝d 2>0，∴a 2>a 1a 3，故选项C 正确；若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故选项D 错．]客观题常用的6种解法已初步掌握，在突破点19～22的训练中一展身手吧！。

高考数学二轮复习考点知识讲解与练习72---不等式的证明

高考数学二轮复习考点知识讲解与练习第72讲不等式的证明考点知识：通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．知识梳理1．基本不等式定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b＞0，那么a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算数平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a，b，c∈(0，＋∞)，那么a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．2．不等式的证明(1)比较法①作差法(a，b∈R)：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.②作商法(a＞0，b＞0)：ab＞1⇔a＞b；ab＜1⇔a＜b；ab＝1⇔a＝b.(2)综合法与分析法①综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理论证而得出命题成立．综合法又叫顺推证法或由因导果法．②分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．1．作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系．2．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等．3．几个重要不等式(1)ba＋ab≥2(a，b同号)；(2)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．( )(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．( )(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．( )答案(1)×(2)√(3)×(4)×解析(1)作商比较法是商与1的大小比较．(3)分析法是从结论出发，寻找结论成立的充分条件．(4)应用反证法时，“反设”可以作为推理的条件应用．2．若a＞b＞1，x＝a＋1a，y＝b＋1b，则x与y的大小关系是( )A．x＞y B．x＜y C．x≥y D．x≤y 答案 A解析x－y＝a＋1a－⎝⎛⎭⎪⎫b＋1b＝a－b＋b－aab＝(a－b)(ab－1)ab.由a＞b＞1得ab＞1，a－b＞0，所以(a－b)(ab－1)ab＞0，即x－y＞0，所以x＞y.3．已知a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________．答案M≥N解析M－N＝2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b，即M≥N.4．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ac>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为( ) A．a<0，b<0，c<0 B．a≤0，b>0，c>0C．a，b，c不全是正数 D．abc<0答案 C5．(2021·聊城模拟)下列四个不等式：①log x10＋lg x≥2(x>1)；②|a－b|<|a|＋|b|；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)；④|x －1|＋|x －2|≥1，其中恒成立的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 log x 10＋lg x ＝1lg x＋lg x ≥2(x >1)，①正确；ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确；因为ab ≠0，b a 与a b同号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2，③正确；由|x －1|＋|x －2|的几何意义知， |x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确，综上①③④正确．6．(2021·西安调研)已知a ＞0，b ＞0且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是________．答案 4解析由ln(a ＋b )＝0，得a ＋b ＝1.又a ＞0，b ＞0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·a b ＝4.当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．故1a ＋1b的最小值为4.考点一比较法证明不等式【例1】设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ＜14；(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由． (1)证明设f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎨⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ＜1，－3，x ≥1.由－2＜－2x －1＜0，解得－12＜x ＜12.因此集合M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，则|a |＜12，|b |＜12.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14.(2)解由(1)得a 2＜14，b 2＜14.因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝16a 2b 2－4a 2－4b 2＋1＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0，所以|1－4ab |2＞4|a －b |2，故|1－4ab |＞2|a －b |. 感悟升华比较法证明不等式的方法与步骤 (1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论． (2)作商比较法：作商、变形、判断、下结论．提醒 ①当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法． ②当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．【训练1】设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是________．答案s ≥t解析 s －t ＝a ＋b 2＋1－(a ＋2b )＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴s ≥t . 考点二综合法证明不等式【例2】(2022·全国Ⅲ卷)设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1. (1)证明：ab ＋bc ＋ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c }≥34. 证明 (1)由题设可知，a ，b ，c 均不为零，所以ab ＋bc ＋ca ＝12[(a ＋b ＋c )2－(a 2＋b 2＋c 2)]＝－12(a 2＋b 2＋c 2)<0. (2)不妨设max{a ，b ，c }＝a .因为abc ＝1，a ＝－(b ＋c )，所以a >0，b <0，c <0.由bc ≤(b ＋c )24，可得abc ≤a 34，当且仅当b ＝c ＝－a2时取等号，故a ≥34，所以max{a ，b ，c }≥34.感悟升华 1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．2．在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．【训练2】已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明： (1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2；(2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.证明 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝ab＋bc＋caabc＝1a＋1b＋1c.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．所以1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥33(a＋b)3(b＋c)3(c＋a)3＝3(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥3×(2ab)×(2bc)×(2ca)＝24.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立，所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.考点三分析法证明不等式【例3】(2021·哈尔滨一模)设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1. 求证：(1)a＋b＋c≥3；(2)abc＋bac＋cab≥3(a＋b＋c)．证明(1)要证a＋b＋c≥3，由于a，b，c>0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3，即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，又ab＋bc＋ca＝1，故需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.又易知ab＋bc＋ca≤a2＋b22＋b2＋c22＋c2＋a22＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)，∴原不等式成立．(2)abc＋bac＋cab＝a＋b＋cabc.由于(1)中已证a＋b＋c≥3，因此要证原不等式成立，只需证明1abc≥a＋b＋c，即证a bc＋b ac＋c ab≤1，即证a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ca.又a bc＝ab·ac≤ab＋ac2，b ac≤ab＋bc2，c ab≤bc＋ca2，∴a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ca(a＝b＝c＝33时等号成立)．∴原不等式成立．感悟升华 1.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．2．分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件【训练3】已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac＜3a. 证明要证b2－ac＜3a，只需证b2－ac＜3a2.因为a＋b＋c＝0，只需证b2＋a(a＋b)＜3a2，只需证2a2－ab－b2＞0，只需证(a－b)(2a＋b)＞0，只需证(a－b)(a－c)＞0.因为a＞b＞c，所以a－b＞0，a－c＞0，所以(a－b)(a－c)＞0显然成立，故原不等式成立.1．(2021·江西协作体联考)(1)已知x，y是实数，求证：x2＋y2≥2x＋2y－2；(2)用分析法证明：6＋7>22＋ 5.证明(1)(x2＋y2)－(2x＋2y－2)＝(x2－2x＋1)＋(y2－2y＋1)＝(x－1)2＋(y－1)2，而(x －1)2≥0，(y－1)2≥0，∴(x2＋y2)－(2x＋2y－2)≥0，∴x2＋y2≥2x＋2y－2.(2)要证6＋7>22＋5，只需证(6＋7)2>(22＋5)2成立，即证13＋242>13＋240成立，即证42>40成立，即证42>40成立，因为42>40显然成立，所以原不等式成立．2．(2022·兰州诊断)函数f(x)＝x2－2x＋1＋24－4x＋x2.(1)求f(x)的值域；(2)若关于x的不等式f(x)－m<0有解，求证：3m＋2m－1>7.解f(x)＝x2－2x＋1＋24－4x＋x2＝|x－1|＋2|x－2|.(1)当x ≥2时，f (x )＝3x －5≥1；当1<x <2时，f (x )＝3－x,1<f (x )<2；当x ≤1时，f (x )＝5－3x ≥2. 综上可得，函数的值域为[1，＋∞)． (2)证明若关于x 的不等式f (x )－m <0有解，则f (x )<m 有解，故只需m >f (x )min ，即m >1， ∴3m ＋2m －1＝3(m －1)＋2m －1＋3≥26＋3>7，原式得证． 3．(2021·沈阳五校协作体联考)已知a ，b ，c ，d 均为正实数． (1)求证：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2； (2)若a ＋b ＝1，求证：a 21＋a＋b 21＋b ≥13. 证明 (1)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2. 当且仅当ad ＝bc 时取等号．(2)3⎝ ⎛⎭⎪⎫a 21＋a ＋b 21＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 21＋a ＋b 21＋b (1＋a ＋1＋b )＝a 2＋1＋b 1＋a ·a 2＋1＋a 1＋b ·b 2＋b 2≥a 2＋2ab＋b 2＝(a ＋b )2＝1，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，所以a 21＋a＋b 21＋b ≥13. 4．(2021·西安质检)已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1. (1)求证：a 2＋b 2＋c 2≥13；(2)求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明(1)∵a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，取“＝”)，b2＋c2≥2bc(当且仅当b＝c时，取“＝”)，c2＋a2≥2ca(当且仅当a＝c时，取“＝”)，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，∵(a＋b＋c)2＝1，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，∴3(a2＋b2＋c2)≥1，即a2＋b2＋c2≥1 3 .(2)∵a2b＋b≥2a(当且仅当a＝b时，取“＝”)，b2c＋c≥2b(当且仅当b＝c时，取“＝”)，c2a＋a≥2c(当且仅当a＝c时，取“＝”)，∴a2b＋b2c＋c2a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c，∵a＋b＋c＝1，∴a2b＋b2c＋c2a≥1.5．(2021·开封一模)已知a，b，c为一个三角形的三边长．证明：(1)ba＋cb＋ac≥3；(2)(a＋b＋c)2a＋b＋c>2.证明(1)因为a，b，c为一个三角形的三边长，所以ba＋cb＋ac≥33ba·cb·ac＝3⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当ba＝cb＝ac时，取等号，所以不等式得证．(2)由于a ，b ，c 为一个三角形的三边长，则有 (b ＋c )2＝b ＋c ＋2bc >a ，即b ＋c >a ，所以ab ＋ac ＝a (b ＋c )>a ，同理，ab ＋bc >b ，ac ＋bc >c ，三式相加得2ac ＋2bc ＋2ab >a ＋b ＋c ，左右两边同加a ＋b ＋c 得(a ＋b ＋c )2>2(a ＋b ＋c )，所以(a ＋b ＋c )2a ＋b ＋c>2，不等式得证． 6．(2022·贵阳诊断)∀a ∈R ，|a ＋1|＋|a －1|的最小值为M .(1)若三个正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝M ，证明：x 2y ＋y 2z ＋z 2x≥2； (2)若三个正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝M ，且(x －2)2＋(y －1)2＋(z ＋m )2≥13恒成立，求实数m 的取值范围．(1)证明由∀a ∈R ，|a ＋1|＋|a －1|≥|a ＋1－a ＋1|＝2，当且仅当－1≤a ≤1时取等号，得x ＋y ＋z ＝2，即M ＝2. 又x ，y ，z >0，所以x 2y ＋y ≥2x 2y ·y ＝2x ，同理可得y 2z ＋z ≥2y ，z 2x ＋x ≥2z ，三式相加可得，x 2y ＋y 2z ＋z 2x≥x ＋y ＋z ＝2，当且仅当x ＝y ＝z ＝23时，取等号，所以x 2y ＋y 2z ＋z 2x≥2.(2)解(x－2)2＋(y－1)2＋(z＋m)2≥13恒成立，等价于13≤[(x－2)2＋(y－1)2＋(z＋m)2]min，由(12＋12＋12)[(x－2)2＋(y－1)2＋(z＋m)2]≥(x－2＋y－1＋z＋m)2＝(m－1)2，当且仅当x－2＝y－1＝z＋m时取等号，可得13≤13(m－1)2，即|m－1|≥1，解得m≥2或m≤0，即m的取值范围是(－∞，0]∪[2，＋∞)．。

2021年高考数学二轮复习专题六不等式、推理与证明、算法框图与复数限时检测(文、理)

年高考数学二轮复习专题六不等式、推理与证明、算法框图与复数限时检测（文、理）一、选择题(本大题共8小题，每小题6分，共48分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a 1、a 2∈(1，＋∞)，设P ＝1a 1＋1a 2，Q ＝1a 1a 2＋1，则P 与Q 的大小关系为( )A ．P >QB ．P <QC ．P ＝QD ．不确定[答案] B[解析] ∵a 1>1，a 2>1，∴P －Q ＝(1a 1＋1a 2)－(1a 1a 2＋1)＝a 1＋a 2－1－a 1a 2a 1a 2＝－a 1－1a 2－1a 1a 2<0，∴P <Q ，故选B.2．(文)复数z ＝2＋m i 1＋i (m ∈k )是纯虚数，则m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] A[解析] 由于z ＝2＋m i1＋i＝2＋m i1－i2＝2＋m ＋m －2i2，根据纯虚数的概念可得2＋m2＝0，解得m ＝－2.(理)(xx·新乡、许昌、平顶山调研)复数z 1、z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m 、λ、θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－916，1]C ．[－916，7]D. [916，1][答案] C[解析] ∵z 1＝z 2，∴m ＋(4－m 2)i ＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i ，∴⎩⎨⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ.∴λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4(sin θ－38)2－916，当sin θ＝38时，λ取最小值－916，当sin θ＝－1时，λ取最大值7，故选C. 3．(文)(xx·保定市一模)已知x 、y 满足不等式组⎩⎨⎧y ≤x x ＋y ≥2x ≤2，则z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的比值为( )A.12B.43C.32 D ．2[答案] D[解析] 作出可行域如图，作直线l 0：2x ＋y ＝0，平移l 0当经过点A 时，z min ＝3，当经过点C 时，z max ＝6，∴所求比值为2.(理)(xx·西城区月考)设实数x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，则y －4x 的最大值是( )A ．－4B ．－12C ．4D ．7[答案] C[解析] 作出可行域如图，令y －4x ＝z ，则当直线y ＝4x ＋z 经过点A (－1,0)时，z max＝4.4．(文)(xx·西城区月考)执行如图所示的程序框图．若输出y ＝－3，则输入角θ＝( )A.π6 B ．－π6C.π3D ．－π3[答案] D[解析] 由输出y ＝－3得， ⎩⎪⎨⎪⎧|θ|<π4，sin θ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧π4≤|θ|<π2，tan θ＝－ 3.∴θ＝－π3.(理)(xx·大兴区模拟)执行如图所示的程序框图，若n ＝4，则输出s 的值是( )A ．－42B ．－21C ．11D ．43[答案] C[解析] 程序运行过程依次为：n ＝4→S ＝1，i ＝1，i ≤n 成立→S ＝1＋(－2)1＝－1，i ＝1＋1＝2，i ≤n 仍成立→S ＝－1＋(－2)2＝3，i ＝2＋1＝3，i ≤n 仍成立→S ＝3＋(－2)3＝－5，i ＝3＋1＝4，i ≤n 仍成立→S ＝－5＋(－2)4＝11，i ＝4＋1＝5，i ≤n 不成立→输出S 的值11后结束．5．已知a 、b 分别为直线y ＝x ＋1的斜率与纵截距，复数z ＝a －ib ＋ii在复平面上对应的点到原点的距离为( )A ．1B ．2C ．4 D. 2[答案] B[解析] 由已知得，a ＝1，b ＝1，z ＝1－i1＋ii＝1＋i －i ＋1i ＝2i＝－2i ，故复数z 在复平面上对应的点的坐标为(0，－2)，所求距离为2，选B.6．(文)(xx·吉林一中二模)“a 2＋b 2ab≤－2”是“a >0且b <0”的( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 若a >0且b <0，则a 2＋b 2≥2|ab |＝－2ab ，a 2＋b 2ab ≤－2；若a 2＋b 2ab≤－2，则ab <0，a >0且b <0不一定成立，故选A.(理)已知点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)的图象上，则a 2＋a 10与2a 6的大小关系为( )A ．a 2＋a 10>2a 6B ．a 2＋a 10<2a 6C ．a 2＋a 10＝2a 6D ．a 2＋a 10与2a 6的大小与a 有关 [答案] D[解析] 由条件知a n ＝log a n ， ∴a 2＋a 10＝log a 2＋log a 10＝log a 20， 2a 6＝2log a 6＝log a 36，若a >1，y ＝log a x 为增函数，则log a 20<log a 36，∴a 2＋a 10<2a 6，若0<a <1，同理得a 2＋a 10>2a 6，故选D.7．(文)(xx·和平区模拟)在如图所示的计算1＋3＋5＋…＋xx 的程序框图中，判断框内应填入( )A ．i ≤1007B ．i ≤2011C ．i <xxD ．i ≤xx[答案] D[解析] 由框图知，S ＝1＋3＋5＋…＋xx ，i 初值为1，步长为2，S 中加上的最后一项为xx ，故判断框中的条件应为i ≤xx.(理)(xx·郑州市质检)阅读下边的程序框图，则输出的S 为( )A ．6B ．10C ．14D ．30[答案] D[解析] 执行一次，S ＝1，i ＝2；执行二次，S ＝1＋4＝5，i ＝3；执行三次，S ＝5＋32＝14，i ＝4；执行四次，S ＝14＋42＝30，i ＝5，此时满足条件i >4，故输出的S 为30.8．(文)(xx·耀华中学月考)设A 1、A 2、A 3、A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )且1λ＋1μ＝2，则称A 3、A 4调和分割A 1A 2.已知点C (c,0)、D (d,0)(c 、d ∈R )调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上 [答案] D[解析] 由A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )知：四点A 1、A 2、A 3、A 4在同一条直线上，因为C 、D 调和分割点A 、B ，所以A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，且1c ＋1d＝2，故选D.(理)△ABC 满足AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，设M 是△ABC 内的一点(不在边界上)，定义f (M )＝(x ，y ，z )，其中x 、y 、z 分别表示△MBC 、△MCA 、△MAB 的面积，若f (M )＝(x ，y ，12)，则1x ＋4y的最小值为( ) A ．9 B ．8 C ．18D ．16[答案] C[解析] ∵AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°， ∴|AB →|·|AC →|＝4，∴S △ABC ＝12AB ·AC sin30°＝12|AB →|·|AC →|·sin30°＝1，∵f (M )＝(x ，y ，12)，∴x ＋y ＋12＝S △MBC ＋S △MCA ＋S △MAB ＝S △ABC ＝1，∴x ＋y ＝12，∴1x ＋4y ＝(1x ＋4y )·2(x ＋y )＝2(5＋4x y ＋yx)≥2(5＋24x y ·y x )＝18，等号在4x y ＝y x，即x ＝16，y ＝13时成立．二、填空题(本大题共2小题，每小题6分，共12分，将答案填写在题中横线上．) 9．若不等式－1<ax 2＋bx ＋c <1的解集为(－1,3)，则实数a 的取值范围是________． [答案] (－12，12)[解析] 当a ＝0时，存在b ＝12，c ＝－12，使得相应的不等式－1<ax 2＋bx ＋c <1的解集是(－1,3)，因此a ＝0适合题意；当a >0时，依题意得，－1与3是方程ax 2＋bx ＋c ＝1的两根，且ax 2＋bx ＋c >－1恒成立，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，－b a＝－1＋3，c －1a ＝－1×3，b 2－4a c ＋1<0.解得0<a <12；当a <0时，依题意得，－1与3是方程ax 2＋bx ＋c ＝－1的两根，且ax 2＋bx ＋c <1恒成立，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－b a＝－1＋3，c ＋1a ＝－1×3，b 2－4a c －1<0.解得－12<a <0.综上所述，满足题意的实数a 的取值范围是(－12，12)．10．(文)已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0，p ＝m 2－n 2)上，椭圆的离心率是e ，则sin A ＋sin C sin B ＝1e.试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题________．[答案] 在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >n >0，p ＝m 2＋n 2)上，双曲线的离心率是e ，则|sin A －sin C |sin B ＝1e. [解析] 由已知命题，根据类比推理可得出答案． (理)(xx·福建理，15)当x ∈R ，|x |<1时，有如下表达式： 1＋x ＋x 2＋…＋x n＋…＝11－x，两边同时积分得：∫1201d x ＋∫120x d x ＋∫120x 2d x ＋…＋∫120x n d x ＋…＝∫12011－x d x ，从而得到如下等式：1×12＋12×(12)2＋13×(12)3＋…＋1n ＋1×(12)n ＋1＋…＝ln2，请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：C 0n ×12＋12C 1n ×(12)2＋13C 2n ×(12)3＋…＋1n ＋1C n n ×(12)n ＋1＝________.[答案]1n ＋1[(32)n ＋1－1] [解析] 令f (x )＝C 0n x ＋12C 1n x 2＋13C 2n x 3＋…＋1n ＋1C n n x n ＋1，则f ′(x )＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n，由C 0n x 0＋C 1n x ＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n两边积分得，∫120C 0n x 0d x ＋∫120C 1n x d x ＋…＋∫120C n n x n d x ＝∫120(1＋x )nd x ，即C 0n 12＋12C 1n ×(12)2＋13C 2n ×(12)3＋…＋1n ＋1C n n (12)n ＋1＝1n ＋1(1＋x )n ＋1|120＝1n ＋1[(32)n ＋1－1]．三、解答题(本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 11．(本小题满分13分)设[x ]表示取x 的整数部分，如[5]＝5，[2.7]＝2，下面程序框图运行后输出结果为S 、T ，设z 1＝S －Ti ，z 2＝1＋i ，z ＝z 1·z 2，求z 在复平面内对应点所在的象限，并求|z |.[解析] 由题意知，程序框图运行后跳出循环时，S 为等差数列{a n }，a n ＝2n ＋1的前5项的和，T 为等比数列{b n }，b n ＝2n的前5项的和，∴S ＝35，T ＝62，故输出的S ＝[355]＝7，T ＝[625]＝12，∴z 1＝7－12i ，z 2＝1＋i ，∴z ＝z 1z 2＝(7－12i )(1＋i )＝19－5i ，∴z 在复平面内对应点(19，－5)在第四象限，|z |＝192＋－52＝386.12．(本小题满分13分)(文)(xx·霍邱二中模拟)解关于x 的不等式：log a (x 2－x －2)>1＋log a (x －2a)(a >0，a ≠1)．[解析] 原不等式等价于log a (x 2－x －2)>log a (ax －2)①当a >1时，①式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，ax －2>0，x 2－x －2>ax －2.即⎩⎪⎨⎪⎧ax －2>0，x 2－x －2>ax －2，亦即⎩⎪⎨⎪⎧x >2a，x <0或x >a ＋1.∴x >a ＋1.②当0<a <1时，①式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，ax －2>0，x 2－x －2<ax －2.即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2<ax －2，亦即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >2，0<x <a ＋1.此不等式组的解集为∅.综上所述，当a >1时，原不等式的解集为{x |x >a ＋1}；当0<a <1时，原不等式的解集为∅.(理)(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .(2)1≤a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .[证明] (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得 (y ＋x ＋(xy )2)－(xy (x ＋y )＋1) ＝((xy )2－1)－(xy (x ＋y )－(x ＋y )) ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)．由于x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立． (2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得 log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y，log a c ＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ，其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 故由(1)知所要证明的不等式成立． 13．(本小题满分14分)观察下表： 1， 2,3 4,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15， ……问：(1)此表第n 行的最后一个数是多少？ (2)此表第n 行的各个数之和是多少？ (3)xx 是第几行的第几个数？(4)是否存在n ∈N *，使得第n 行起的连续10行的所有数之和为227－213－120？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵第n ＋1行的第1个数是2n， ∴第n 行的最后一个数是2n－1. (2)2n －1＋(2n －1＋1)＋(2n －1＋2)＋…＋(2n－1)＝2n －1＋2n －1·2n －12＝3·22n －3－2n －2.(3)∵210＝1024,211＝2048,1024<xx<2048，∴xx 在第11行，该行第1个数是210＝1024，由xx －1024＋1＝989，知xx 是第11行的第989个数．(4)设第n 行的所有数之和为a n ，第n 行起连续10行的所有数之和为S n . 则a n ＝3·22n －3－2n －2，a n ＋1＝3·22n －1－2n －1，a n ＋2＝3·22n ＋1－2n ，…，a n ＋9＝3·22n ＋15－2n ＋7，∴S n ＝3(22n －3＋22n －1＋…＋22n ＋15)－(2n －2＋2n －1＋…＋2n ＋7)＝3·22n －3410－14－1－2n －2210－12－1＝22n ＋17－22n －3－2n ＋8＋2n －2，n ＝5时，S 5＝227－128－213＋8＝227－213－120.∴存在n ＝5使得第5行起的连续10行的所有数之和为227－213－120.一、选择题1．(文)(xx·福建理，1)已知复数z 的共轭复数z －＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] D[解析] ∵z －＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，对应点为(1，－2)在第二象限．点评：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应复平面内的点z (a ，b )． (理)已知复数z ＝2ii －1，则复数z 的共轭复数为( )A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i [答案] A[解析] 由已知得z ＝2i i －1＝2i－i －12＝1－i ，故其共轭复数z －＝1＋i.2．(xx·浙江理，5)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则( )A ．a ＝4B ．a ＝5C ．a ＝6D ．a ＝7[答案] A[解析] 由框图的变化规律可知k 1 2 3 4 S32537495故a 应取4.3．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．－1[答案] B[解析] ∵(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0a ≠1，∴a ＝2.故选B.4．(xx·泗县双语中学模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1[答案] D[解析] 由于不等式组表示面积为1的直角三角形区域，∴直线y ＝kx 与直线x ＝1垂直或与直线x ＋y －4＝0垂直，再由围成面积为1的直角三角形区域知k ＝1.5．(xx·山东理，9)已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．2[答案] B[解析] 本题考查线性规划与点到直线的距离．如图所示由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.∴A 点坐标为(2,1)，z ＝ax ＋by 在A 点处取得最小值25，即2a ＋b ＝2 5.a 2＋b 2可看作两点(0,0)(a ，b )的距离的平方，原点到直线2a ＋b ＝25的距离的平方是(255)2＝4.6．(文)(xx·安徽理，3)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A ．34B ．55C ．78D ．89[答案] B[解析] 程序运行过程依次为：x ＝1，y ＝1，z ＝1＋1＝2，z ≤50成立→x ＝1，y ＝2，z ＝1＋2＝3，z ≤50成立→x ＝2，y ＝3，z ＝2＋3＝5，z ≤50成立，…依次进行下去得到z的值依次为2,3,5,8,13,21,34,55，当z ＝34时，循环最后一次得到z ＝55，此时不满足z ≤50，输出z ＝55后结束．(理)(xx·新课标Ⅱ文，8)执行下面的程序框图，如果输入的x 、t 均为2，则输出的S ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7[答案] D[解析] 程序运行过程依次为：x ＝2，t ＝2，M ＝1，S ＝3，k ＝1→M ＝11×2＝2，S ＝2＋3＝5，k ＝2→M ＝22×2＝2，S ＝2＋5＝7，k ＝3，∵3>2，不满足k ≤t ，输出S ＝7后结束．7．(文)(xx·内江市模拟)已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是( )A ．4B ．8C ．16D ．64[答案] D[解析] 初值S ＝1，n ＝0；第一次运行后，S ＝1×20＝1，n ＝0＋1＝1；第二次运行后，S ＝1×21＝2，n ＝1＋1＝2；第三次运行后，S ＝2×22＝8，n ＝2＋1＝3；第四次运行后，S＝8×23＝64，n ＝3＋1＝4，此时n >3成立，输出S 值为64.(理)(xx·江西八校联考)一个算法的程序框图如下，则其输出结果是( )A ．0 B.22C.22＋1 D.2＋1[答案] B[解析] 依程序框图可知，S ＝sin π4＋sin 2π4＋sin 3π4＋…＋sin 2014π4＝251×(sinπ4＋sin2π4＋…＋sin 8π4)＋(sin π4＋sin 2π4＋…＋sin 6π4)＝251×0＋(22＋1＋22＋0－22－1)＝22，故选B. 8．(文)(xx·求知中学月考)已知x 、y ∈R ，且满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x －2y ＋3≥0y ≥x，则x 2＋y 2－6x的最小值等于( )A ．－92B ．－4C ．0D ．－1[答案] A[解析] 作出可行域如图，x 2＋y 2－6x ＝(x －3)2＋y 2－9表示平面区域ABC 内的点到点P (3,0)距离的平方减去9，由于|PA |＝5，P 到直线y ＝x 的距离d ＝322，∴x 2＋y 2－6x ≥－92，故选A.(理)定义max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≥b b a <b，已知实数x 、y 满足|x |≤1，|y |≤1，设z ＝max{x ＋y,2x －y }，则z 的取值范围是( )A ．[－32，2]B ．[32，2]C ．[32，3]D ．[－32，3][答案] D[解析] 由x ＋y ≥2x －y 得x ≤2y ，∴z ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y x ≤2y 2x －yx >2y，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ |x |≤1|y |≤1x ≤2y及⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤1|y |≤1x ≥2y表示的平面区域分别为正方形BCEF ，被直线AD ：x ＝2y 分开所成的两部分，作直线l 1：x ＋y ＝0和直线l 2：2x －y ＝0，平移l 1可知在平面区域ADEF 内z ＝x ＋y 在A (－1，－12)处取最小值，在E (1,1)处取最大值，∴－32≤z ≤2；平移l 2可知在平面区域ABCD 内的点A (－1，－12)处z ＝2x －y 取最小值，在点C (1，－1)处z ＝2x －y 取最大值，∴－32≤z ≤3，综上知，z 的取值范围是－32≤z ≤3，故选D.[点评] 作为选择题可在正方形BCEF 内取点检验，例如取点C (1，－1)，则x ＋y ＝0,2x －y ＝3，∴z ＝3，排除A 、B ；取B (－1，－1)，则x ＋y ＝－2,2x －y ＝－1，∴z ＝－1，排除C ，故选D. 二、填空题9．(文)(xx·北京东城区模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y ≤0，x ＋y ≥0表示的平面区域为D ，则区域D 的面积为________，z ＝x ＋y 的最大值为________．[答案] 2 2[解析] 作出区域D 如图，其面积S ＝12×2×2＝2，当直线z ＝x ＋y 过点A (2,0)时，z max＝2.(理)如果直线ax －by ＋5＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝mx ＋1＋1(m >0，m ≠1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b ＋12)2＝854的内部或圆上，那么ab 2a ＋b 的取值范围是________．[答案] [37，59][解析] 根据指数函数的性质，可知函数f (x )＝mx ＋1＋1(m >0，m ≠1)恒过定点(－1,2)，将点(－1,2)代入ax －by ＋5＝0，可以得到a ＋2b ＝5.对ab2a ＋b作如下变形：ab 2a ＋b ＝11a ＋2b ＝5a ＋2b ·1a ＋2b＝55＋2b a ＋a b.由于(－1,2)始终落在所给圆的内部或圆上，所以a 2＋(b ＋52)2≤854.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝5，a 2＋b ＋522＝854，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，这说明点(a ，b )在以A (1,2)和B (3,1)为端点的线段上运动，所以b a 的取值范围是[13，2]，从而b a ＋a b 的取值范围是[2，103]，进一步可以推得ab 2a ＋b 的取值范围是[37，59]．[点评] 对于指数函数恒过定点的问题，就是让幂指数为零，则函数值必然为 1.同时对于点在圆内和圆上的文字语言，只有准确翻译为符号语言，才能得到a ，b 的关系式，进一步求解后面的问题．另外，我们得到a ，b 表达式后，能否利用b a ，来表示b a ＋a b的范围，即为所求的结果，这个是难点，体现了数学中的转化思想的运用．10．(文)(xx·武汉市模拟)设M 1(0,0)、M 2(1,0)，以M 1为圆心，|M 1M 2|为半径作圆交x 轴于点M 3(不同于M 2)，记作⊙M 1；以M 2为圆心，|M 2M 3|为半径作圆交x 轴于点M 4(不同于M 3)，记作⊙M 2；…；以M n 为圆心，|M n M n ＋1|为半径作圆交x 轴于点M n ＋2(不同于M n ＋1)，记作⊙M n ；…当n ∈N *时，过原点作倾斜角为30°的直线与⊙M n 交于A n ，B n .考察下列论断：当n ＝1时，|A 1B 1|＝2；当n ＝2时，|A 2B 2|＝15；当n ＝3时，|A 3B 3|＝35×42＋23－13；当n ＝4时，|A 4B 4|＝35×43－24－13；……由以上论断推测一个一般的结论：对于n ∈N *，|A n B n |＝________. [答案]35×4n －1＋－1n －1×2n－13[解析] 当n ＝4时，圆心为M 4(3,0)，又点M 5(－5,0)，所以半径为|M 4M 5|＝8.故圆心M4(3,0)到直线y ＝33x的距离为d＝|3－0|1＋13＝32，故|A4B4|＝282－322＝22474＝247＝35×43－24－13.因为|A1B1|＝35×41－1＋－11－1×21－13，|A2B2|＝35×42－1＋－12－1×22－13，|A3B3|＝35×43－1＋－13－1×23－13，|A4B4|＝35×44－1＋－14－1×24－13，由归纳推理得|A n B n|＝35×4n－1＋－1n－1×2n－13.(理)(xx·合肥市质检)先阅读第(1)题的解法，再解决第(2)题：(1)已知a＝(3,4)，b＝(x，y)，a·b＝1，求x2＋y2的最小值．解：|a·b|≤|a|·|b|⇒1≤5x2＋y2⇒x2＋y2≥125，故x2＋y2的最小值为125.(2)已知实数x、y、z满足：2x＋3y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为________．[答案]1 14[解析] 设a＝(2,3,1)，b＝(x，y，z)，则a·b＝1，因为|a·b|≤|a||b|，所以1≤x2＋y2＋z2·4＋9＋1，所以x2＋y2＋z2≥114.三、解答题11．(文)如图所示，在复平面内有三点P1、P2、P3对应的复数分别为1＋a、1＋2a、1＋3a，且OA＝1，|a|＝2，O为原点，若S△P1OP2＋S△P2OP3＝2，求对应的复数a.[解析] 由向量加法的运算法则知，OA →＋AP i →＝OP i →，i ＝1,2,3. ∵P 1、P 2、P 3对应的复数分别为1＋a 、1＋2a 、1＋3a ， ∴AP 1→、AP 2→、AP 3→对应的复数为a 、2a 、3a ， ∴AP 1→＝12AP 2→＝13AP 3→，即A 、P 1、P 2、P 3共线，设AP 3→与x 轴正方向夹角为θ.∵|a |＝2，∴S △AOP 3＝12|OA →|·|AP 3→|sin θ＝12×1×|3a |·sin θ＝3sin θ.∴S △AOP 1＝12|OA →|·|AP 1→|sin θ＝12×1×|a |·sin θ＝sin θ.显然S △P 1OP 2＋S △P 2OP 3＝S △OAP 3－S △OAP 1＝2sin θ. 从而2sin θ＝2，sin θ＝1，∵θ∈(0，π)，∴θ＝π2，因此a ＝2i.(理)对于任意的复数z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，定义运算P (z )＝x 2[cos(y π)＋isin(y π)]． (1)集合A ＝{ω|ω＝P (z )，|z |≤1，x 、y 均为整数}，试用列举法写出集合A ； (2)若z ＝2＋y i(y ∈R )，P (z )为纯虚数，求|z |的最小值；(3)直线l ：y ＝x －9上是否存在整点(x ，y )(坐标x 、y 均为整数的点)，使复数z ＝x ＋y i 经运算P 后，P (z )对应的点也在直线l 上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧ z ＝x ＋y i ，|z |≤1⇒x 2＋y 2≤1，由于x 、y ∈Z ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±1，y ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝±1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0.∴P (±1)＝1，P (±i)＝0，P (0)＝0，∴A ＝{0,1}．(2)若z ＝2＋y i(y ∈R )，则P (z )＝4[cos(y π)＋isin(y π)]．若P (z )为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧cos y π＝0，sin y π≠0，∴y ＝k ＋12，k ∈Z ，∴|z |＝22＋y 2＝k ＋122＋4，k ∈Z ，当k ＝0或－1时，|z |min ＝172. (3)P (z )对应点坐标为(x 2cos(y π)，x 2sin(y π))，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －9，x 2sin y π＝x 2cos y π－9，x 、y ∈Z ，∴x 2sin(x π－9π)＝x 2cos(x π－9π)－9， ∴x 2sin x π＝x 2cos x π＋9. ∵x ∈Z ，∴①当x ＝2k ，k ∈Z 时，得x 2＋9＝0不成立； ②当x ＝2k ＋1，k ∈Z 时，得x 2－9＝0， ∴x ＝±3成立．此时⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－12，即z ＝3－6i 或z ＝－3－12i.12．(文)看下面一段发现数学公式的过程，指出各自运用了哪种推理方式．公式：S 2(n )＝12＋22＋32＋…＋n 2(n ∈N *)． (1)首先列表计算观察：n 1 2 3 4 5 6 7 8 … S 2(n )1514305591140204…(2)从上表中的数据没有明显的发现，于是联想到正整数之和的公式S 1(n )＝1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)，二者能否有关系呢？此处思维过程运用了什么推理？(3)再列表计算、比对：n 1 2 3 4 5 6 7 8 … S 1(n ) 1 3 6 10 15 21 28 36 … S 2(n )1514305591140204…(4)从上表中数据没有看出明显的规律，再进一步列表计算：n 1 2 3 4 5 6 7 8 … S 1(n ) 1 3 6 10 15 21 28 36 … S 2(n ) 1 5 14 30 55 91 140 204 … S 2nS 1n33537393113133153173…此处思维过程运用了什么推理？ (5)从上表发现了规律：S 2n S 1n ＝2n ＋13，于是猜想：S 2(n )＝16n (n ＋1)(2n ＋1)．此处思维过程运用了什么推理？[解析] (1)通过直接计算得到对应的数字，用的是演绎推理． (2)通过比较，用的是类比推理．(3)通过直接计算得到对应的数字，用的也是演绎推理． (4)通过直接计算得到对应的数字，用的还是演绎推理． (5)通过分析规律，加以总结，用的是归纳推理． (理)先阅读下列框图，再解答有关问题： (1)当输入的n 分别为1,2,3时，a 各是多少？(2)当输入已知量n 时，①输出a 的结果是什么？试证明之； ②输出S 的结果是什么？写出求S 的过程．[解析] (1)当n ＝1时，a ＝13；当n ＝2时，a ＝115；当n ＝3时，a ＝135.(2)(方法一)当输入n 时，①中输出结果为a n ，②中输出结果为S n ，则a 1＝13，a n ＝2n －32n ＋1a n －1(n ≥2)，所以a n a n －1＝2n －32n ＋1(n ≥2) 所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a 2a 1·a 1＝2n －32n ＋1·2n －52n －1·2n －72n －3…15·13＝12n ＋1·12n －1＝14n 2－1. (方法二)由a 1＝13＝14×12－1，a 2＝115＝14×22－1，a 3＝135＝14×32－1，猜想a n ＝14n 2－1. 证明：(1)当n ＝1时，结论成立，(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即a k ＝14k 2－1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2k ＋1－32k ＋1＋1a k ＝2k －12k ＋3·14k 2－1＝12k ＋32k ＋1＝14k ＋12－1. 所以当n ＝k ＋1时，结论成立，故对n ∈N *，都有a n ＝14n 2－1成立．因为a n ＝14n 2－1＝12n ＋12n －1＝12(12n －1－12n ＋1)，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝12(1－13)＋12(13－15)＋…＋12(12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1. 13．(文)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象(如图)与x 轴有两个不同的公共点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)试比较1a与c 的大小；(2)证明：－20，故1a >0，即0<1a <c ，而当0<x <c 时，f (x )>0，所以有f (1a )>0.这与1a是f (x )＝0的根矛盾，所以1a>c .(2)证明：因为f (c )＝0，所以ac 2＋bc ＋c ＝0.又c >0，故ac ＋b ＋1＝0. 因为a >0，c >0，所以ac >0.于是b ＋1<0.故b <－1.又f (x )的图象的对称轴为x ＝－b 2a ，且f (x )＝0的两根为c 和1a ，且c <1a ，所以－b 2a <1a ⇒b >－2.故－2<b <－1.(理)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1，其中n ∈N *.(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求证：12＋13＋14＋…＋12n －1<b n －1(n ∈N *，n ≥2)．[解析] (1)证明：b n ＋1－b n ＝12a n ＋1－1－12a n －1＝121－14a n－1－12a n －1＝12－12a n－1－12a n －1＝1， ∴数列{b n }为等差数列． (2)因为b 1＝12a 1－1＝1，所以b n ＝1＋(n －1)＝n ，b n －1＝n －1(n ≥2)，原不等式即为证明12＋13＋14＋…＋12n －1<n －1(n ∈N *，n ≥2)，即1＋12＋13＋14＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n ≥2)成立．用数学归纳法证明如下：当n ＝2时，1＋12＋13<2成立，所以n ＝2时，原不等式成立；假设当n ＝k 时，1＋12＋13＋…＋12k －1<k 成立；当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋14＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1 <k ＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋2k－1 <k ＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝k ＋2k2k ＝k ＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立，所以n ∈N *，n ≥2，总有12＋13＋14＋…＋12n －1<b n －1成立．。

2021年高考数学二轮复习课时跟踪检测 22不等式选讲理数(含答案解析)

课时跟踪检测不等式选讲1．已知定义在R上的函数f(x)=|x－m|＋|x|，m∈N*，存在实数x使f(x)<2成立．(1)求实数m的值；(2)若α≥1，β≥1，f(α)＋f(β)=4，求证：4α＋1β≥3.2．设f(x)=|x|＋2|x－a|(a>0)．(1)当a=1时，解不等式f(x)≤4；(2)若f(x)≥4，求实数a的取值范围．3．设函数f(x)=|2x＋1|＋|x－1|.(1)画出y=f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．4．已知函数f(x)=|x－m|，m<0.(1)当m=－1时，求解不等式f(x)＋f(－x)≥2－x；(2)若不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，求m的取值范围．5．设函数f(x)=|x －a|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2a (a ≠0，a ∈R)． (1)当a=1时，解不等式f(x)≤5；(2)记f(x)的最小值为g(a)，求g(a)的最小值．6．已知函数f(x)=|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f(x)≤3；(2)记函数g(x)=f(x)＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，证明：t 2＋1≥3t＋3t.7．设函数f(x)=|x －1|.(1)求不等式f(x)≤3－f(x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f(x)≤f(x ＋1)－|x －a|的解集为M ，若⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32⊆M ，求实数a 的取值范围．8．已知f(x)=|2x －1|＋|ax －5|(0<a<5)． (1)当a=1时，求不等式f(x)≥9的解集；(2)若函数y=f(x)的最小值为4，求实数a 的值．答案解析1．解：(1)因为|x －m|＋|x|≥|(x －m)－x|=|m|. 所以要使不等式|x－m|＋|x|<2有解，则|m|<2，解得－2<m<2.因为m ∈N *，所以m=1. (2)证明：因为α≥1，β≥1，所以f(α)＋f(β)=2α－1＋2β－1=4，即α＋β=3，所以4α＋1β=13⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋1β(α＋β)=13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4βα＋αβ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24βα·αβ=3. 当且仅当4βα=αβ，即α=2，β=1时等号成立，故4α＋1β≥3.2．解：(1)当a=1时，f(x)=|x|＋2|x －1|=⎩⎪⎨⎪⎧2－3x ，x<0，2－x ，0≤x ≤1，3x －2，x>1.当x<0时，由2－3x ≤4，得－23≤x<0；当0≤x ≤1时，由2－x ≤4，得0≤x ≤1；当x>1时，由3x －2≤4，得1<x ≤2.综上，不等式f(x)≤4的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，2. (2)f(x)=|x|＋2|x －a|=⎩⎪⎨⎪⎧2a －3x ，x<0，2a －x ，0≤x ≤a ，3x －2a ，x>a.可见，f(x)在(－∞，a]上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．当x=a 时，f(x)取得最小值a. 若f(x)≥4恒成立，则应a ≥4. 所以a 的取值范围为[4，＋∞)．3．解：(1)f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x<－12，x ＋2，－12≤x<1，3x ，x ≥1.y=f(x)的图象如图所示．(2)由(1)知，y=f(x)的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f(x)≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5. 4．解：(1)设F(x)=f(x)＋f(－x)=|x －1|＋|x ＋1| =⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x<－1，2，－1≤x<1，G x ＝2－x ，2x ，x ≥1，由F(x)≥G(x)解得{x|x ≤－2或x ≥0}．(2)f(x)＋f(2x)=|x －m|＋|2x －m|，m<0. 设g(x)=f(x)＋f(2x)，当x ≤m 时，g(x)=m －x ＋m －2x=2m －3x ，则g(x)≥－m ；当m<x<m 2时，g(x)=x －m ＋m －2x=－x ，则－m2<g(x)<－m ；当x ≥m 2时，g(x)=x －m ＋2x －m=3x －2m ，则g(x)≥－m 2.则g(x)的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－m 2，＋∞，不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，即1>－m2，解得m>－2，由于m<0，则m 的取值范围是(－2,0)．5．解：(1)当a=1时，f(x)=|x －1|＋|x ＋2|，故f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x>1，3，－2≤x ≤1，－2x －1，x<－2.①当x>1时，由2x ＋1≤5，得x ≤2，故1<x ≤2；②当－2≤x ≤1时，由3≤5，得x ∈R ，故－2≤x ≤1； ③当x<－2时，由－2x －1≤5，得x ≥－3，故－3≤x<－2. 综上，不等式的解集为[－3,2]．(2)f(x)=|x －a|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2a ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2a =⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2a ≤0时等号成立，所以g(a)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a ，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a =|a|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ≥2|a|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a =22，当且仅当|a|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ，即a=±2时等号成立，所以g(a)min =2 2.6．解：(1)依题意，得f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x<12，3x ，x ≥12，于是f(x)≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x<12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1.故不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x ≤1}．(2)证明：g(x)=f(x)＋|x ＋1|=|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x －1－2x －2|=3，当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时取等号， ∴M=[3，＋∞)．t 2＋1≥3t ＋3t 等价于t 2－3t ＋1－3t≥0，t 2－3t ＋1－3t =t 3－3t 2＋t －3t =t －3t 2＋1t.∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1>0，∴t －3t 2＋1t ≥0，∴t 2＋1≥3t＋3t.7．解：(1)因为f(x)≤3－f(x －1)，所以|x －1|≤3－|x －2|，即|x －1|＋|x －2|≤3，则⎩⎪⎨⎪⎧ x<1，3－2x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ≤2，1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x>2，2x －3≤3，解得0≤x<1或1≤x ≤2或2<x ≤3，所以0≤x ≤3，故不等式f(x)≤3－f(x －1)的解集为[0,3]．(2) 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32⊆M ，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，f(x)≤f(x ＋1)－|x －a|恒成立，而f(x)≤f(x ＋1)－|x －a|⇔|x －1|－|x|＋|x －a|≤0⇔|x －a|≤|x|－|x －1|，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，所以|x －a|≤1，即x －1≤a ≤x ＋1，由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32恒成立，所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 8．解：(1)当a=1时，f(x)=|2x －1|＋|x －5|=⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ，x<12，x ＋4，12≤x<5，3x －6，x ≥5，∴f(x)≥9⇔⎩⎪⎨⎪⎧x<12，6－3x ≥9或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x<5，x ＋4≥9或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥5，3x －6≥9.解得x ≤－1或x ≥5，即所求不等式的解集为(－∞，－1]∪[5，＋∞)．(2)∵0<a<5，∴5a>1，则f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2x ＋6，x<12，2－a x ＋4，12≤x ≤5a，a ＋2x －6，x>5a.∵当x<12时，f(x)单调递减，当x>5a时，f(x)单调递增，∴f(x)的最小值在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5a 上取得， ∵在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5a 上，当0<a ≤2时，f(x)单调递增，当2<a ≤5时，f(x)单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤2，f x min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4或⎩⎪⎨⎪⎧2<a ≤5，f x min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ＝4.解得a=2.。

2021高考数学(文)二轮复习《不等式、推理与证明》

1．不等式的性质及解法求解不等式问题的2个易错点(1)解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a＞0，a＜0进行讨论．(2)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．A．a＋1b＞b＋1a B．a＋1a＞b＋1bC.ba＞b＋1a＋1D.a＋b2＞abA[因为a＞b＞0，所以1a＜1b，根据不等式的性质可得a＋1b＞b＋1a，故A正确；对于选项B，取a＝1，b＝12，则a＋1a＝1＋11＝2，b＋1b＝12＋2＝52，故a＋1 a ＞b＋1b不成立；根据不等式的性质可得ba＜b＋1a＋1，故C错误；取a＝2，b＝1，可知D错误．]2．若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2] B．(－∞，－2)C．(－2,2) D．(－2,2]D[不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0恒成立的条件：当a＝2时，－4＜0恒成立；当a ≠2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，4(a －2)2－4(a －2)×(－4)＜0，解得－2＜a ＜2.故－2＜a ≤2，选D.]3．若关于x 的不等式x 2－ax ＋1≤0的解集中只有一个整数，且该整数为1，则a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52 A [令f (x )＝x 2－ax ＋1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)＞0，解得2≤a ＜52.]4．若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜45 [由ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15.将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同时除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，所以x 2＋15x －45＜0，即5x 2＋x －4＜0，解得－1＜x ＜45，故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜45.] 5．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围是________．[－5，＋∞) [由题意得，a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ，设f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ，x ∈(0,1]，则只要a ≥f (x )max ，由于函数f (x )在(0,1]上单调递增，所以f (x )max ＝f (1)＝－5，故a ≥－5.]2．简单的线性规划问题解决线性规划问题的2个易错点(1)忽视目标函数中y 的系数的正负，而由直线截距的最值确定目标函数的最值．如T 1，T 4.(2)求解含参数的线性规划问题，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值．如T 2.1．已知x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，y ≥0，则z ＝8－ x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y的最小值为( ) A ．1 B.324 C.116 D.132D [可行域如图中阴影部分所示，而z ＝8－x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝2－3x －y，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x －y 最小，最小值为132.故选D.]2．实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥2，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0，若z ＝kx －y 的最大值为13，则实数k＝( )A.132或8 B.132或174 C.174D ．8C [由不等式组可得可行域为由点A (2,0)，B (2,3)，C (4,4)构成的三角形内部及其边界，如图所示．若k≥2，可得当x＝4，y＝4时，z有最大值，得4k－4＝13，解得k＝174；若0＜k＜2，可得当x＝2，y＝0时，z有最大值，得2k＝13，不合题意；若k≤0，可得当x＝2，y＝0时，z有最大值，得2k＝13，不合题意．故k＝174，选C.]3．某中学生在制作纸模过程中需要A，B两种规格的小卡纸，现有甲、乙两种大小不同的卡纸可供选择，每张卡纸可同时截得A，B两种规格的小卡纸的块数如下表，现需A，B两种规格的小卡纸分别为4块、7块，所需甲、乙两种大小不同的卡纸的张数分别为m，n(m，n为整数)，则m＋n的最小值为()A规格B规格甲种卡纸2 1乙种卡纸1 3B[由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2m＋n≥4，m＋3n≥7，m≥0，n≥0，m，n∈N，又不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2m＋n≥4，m＋3n≥7，m≥0，n≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，可得目标函数z＝m＋n在点(1,2)处取得最小值3，故选B.]4．(2019·全国卷Ⅱ)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －6≥0，x ＋y －3≤0，y －2≤0，则z ＝3x－y 的最大值是________．9 [作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y ＝3x －z 过点C 时，－z 最小，即z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3＝0，2x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，即C 点坐标为(3,0)，故z max ＝3×3－0＝9.]5．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －4≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝y ＋2x －1的取值范围为________．(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ [点(x ，y )表示的是以点O (0,0)，A (4,0)，B (0,2)为顶点的三角形的内部及其边界，如图所示．目标函数z ＝y ＋2x －1是区域内的点(x ，y )与点Q (1，－2)连线的斜率．易知k QA ＝－2－01－4＝23，k QO ＝－21＝－2，k QB ＝－2－21＝－4，分析可知，z ＝y ＋2x －1的取值范围为(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.]3．基本不等式应用基本不等式的2个易错点(1)运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指“正数”；“二定”指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．如T 1.1．已知正数a ，b 的等比中项是2，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6C [由正数a ，b 的等比中项是2，可得ab ＝4，又m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，所以m ＋n ＝a ＋b ＋1a ＋1b ≥2ab ＋2ab ＝5，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故m ＋n 的最小值为5.]2．已知P (a ，b )为圆x 2＋y 2＝4上任意一点，则当1a 2＋4b 2取最小值时，a 2的值为( )A.45 B ．2 C.43 D ．3C [∵P (a ，b )为圆x 2＋y 2＝4上任意一点，∴a 2＋b 2＝4.又a ≠0，b ≠0，∴1a 2＋4b 2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋4b 2(a 2＋b 2)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b 2a 2＋4a 2b 2≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝94，当且仅当b 2＝2a 2＝83时取等号，故a 2＝43，选C.]3．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92 D.112B [由题意得x ＋2y ＝8－x ·2y ≥8－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，当且仅当x ＝2y 时，等号成立，整理得(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，即(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0，又x ＋2y ＞0，所以x ＋2y ≥4，故选B.]4．设x ＞0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为________． 0 [y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2－2＝0.当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．]5．(2019·天津高考)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy的最小值为________．92[(x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋5xy ＝2＋5xy . ∵x ＞0，y ＞0且x ＋2y ＝4，∴4≥22xy (当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号)， ∴2xy ≤4，∴1xy ≥12， ∴2＋5xy ≥2＋52＝92.]4．推理与证明1．破解归纳推理题的思维3步骤(1)发现共性：通过观察特例发现某些相似性；(2)归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题； (3)检验结论：对所得的一般性命题进行检验． 2．破解类比推理题的3个关键行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙A[由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．故选A.]2．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，按照以上规律，若88n＝88n具有“穿墙术”，则n＝()A ．7B ．35C ．48D ．63 D [由223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，归纳猜想出一般规律为nn n 2－1＝n ＋n n 2－1(n ∈N *，n ≥2)．下面证明：n ＋n n 2－1＝n (n 2－1)＋n n 2－1＝n 3n 2－1＝n nn 2－1，故猜想正确．所以n ＝82－1＝63，故选D.]3．[新题型：多选题]2019年全国两会之后，某地区为改善民生，调研了甲、乙、丙、丁、戊5个民生项目，得到如下信息：①若该地区引进甲项目，就必须引进与之配套的乙项目；②丁、戊两个项目与民生密切相关，这两个项目至少要引进一个；③乙、丙两个项目之间有冲突，两个项目只能引进一个；④丙、丁两个项目关联度较高，要么同时引进，要么都不引进；⑤若引进项目戊，甲、丁两个项目也必须引进．则该地区应引进的项目为( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁CD [由②知丁、戊两个项目至少要引进一个，若引进戊项目，则由⑤可知甲、丁两个项目也必须引进；由①④可知必须引进乙、丙两个项目，与③矛盾；因此必须引进丁项目．由④可知必须引进丙项目；由③可知不能引进乙项目；由①可知不能引进甲项目，故该地区只能引进丙、丁两个项目．故选CD.]4．在平面内，三角形的面积为S ，周长为C ，则它的内切圆的半径r ＝2SC .在空间中，三棱锥的体积为V ，表面积为S ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R ＝________.3V S [若三棱锥表面积为S ，体积为V ，则其内切球半径R ＝3V S .理由如下：设三棱锥的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径，所以V ＝13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ＝13SR ，所以内切球的半径R＝3VS.]5．如图，一个质点在坐标系内运动，在第一秒钟它由原点运动到点(0,1)，而后按图所示在与x轴、y轴平行的方向运动，且每秒移动一个单位长度，那么经过2 000秒，这个质点所处的位置的坐标是_______．(24,44)[质点运动3秒时建构出第一个正方形，8秒时建构出第二个正方形，15秒时建构出第三个正方形，24秒时建构出第四个正方形，所以，建构出第n个正方形需要的时间为(n2＋2n)秒，所以，当第四十三个正方形完成时需要1 935秒，结合走向可得质点在2 000秒时的坐标为(24,44)．]。

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课时作业2 不等式、推理与证明
一、选择题
1．若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A ．ad >bc B ．ad <bc C ．ac <bd D ．ac >bd
2．|x |·(1－2x )>0的解集为( )
A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 3．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，
0≤x ≤4，
则该不等式组表示的平面区域的
面积为( )
A.94
B.274
C ．9 D.27
2
4．甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生．已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )
A ．甲是教师，乙是医生，丙是记者
B ．甲是医生，乙是记者，丙是教师
C ．甲是医生，乙是教师，丙是记者
D ．甲是记者，乙是医生，丙是教师
5．已知a ∈R ，不等式x －3
x ＋a
≥1的解集为p ，且－2∉p ，则a 的取值范围为( )
A ．(－3，＋∞) B．(－3,2)
C ．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪[2，＋∞)
6．已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2
＝15－ab ，则ab 的最大值是( ) A ．15 B ．12 C ．5 D ．3
7．已知关于x 的不等式a
22
2x ax a －－>1(a >0，a ≠1)的解集为(－a,2a )，且函数f (x )
＝
的定义域为R ，则实数m 的取值范围为( )
A ．(－1,0)
B ．[－1,0]
C ．(0,1]
D ．[－1,1]
8．大于1的自然数的三次幂可以分解成若干个奇数的和，比如23＝3＋5,33＝7＋9＋11,4
3
＝13＋15＋17＋19，…，按此规律，可得453
的分解和式中一定不含有( )
A ．2 069
B ．2 039
C ．2 009
D ．1 979 9．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤2，y －x ≤2，
y ≥1，
则x 2＋y 2
的取值范围是( )
A ．[1,2]
B ．[1,4]
C ．[2，3]
D ．[2,4]
10．[2020·四川西南四省八校联考]若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy
2x ＋y
的最大值为( )
A.14
B.15
C.19
D.112
11．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥0，x ＋y －3≤0，
x －2y ＋6≥0，
若目标函数z ＝a |x |＋2y 的最小
值为－6，则实数a 等于( )
A ．2
B ．1
C ．－2
D ．－1
12．已知∀x ∈(1，＋∞)，不等式2x ＋m ＋8
x －1
>0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m >－10 B ．m <－10 C ．m >－8 D ．m <－8 二、填空题
13．[2020·全国卷Ⅰ]若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y －2≤0，x －y －1≥0，
y ＋1≥0，
则z ＝x ＋7y 的最大
值为________．
14．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，ab 可被11整除，那么a ，b 中至少有一个能被11整除．”那么反设的内容是________．
15．在平面几何中：在△ABC 中，∠C 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝
AE
BE
，把这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD 中(如图)，平面DEC 平分二面角A CD B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是________________．
16．已知a ，b ∈R ，且a >b >0，a ＋b ＝1，则a 2
＋2b 2
的最小值为________，4a －b ＋12b
的最小值为________．
课时作业2 不等式、推理与证明
1．解析：∵c <d <0，∴－c >－d >0，又a >b >0，∴－ac >－bd ，∴ac <bd .故选C. 答案：C
2．解析：法一当x >0时，不等式为x (1－2x )>0，解得0<x <1
2
；当x <0时，不等式为
－x (1－2x )>0，即x (2x －1)>0，解得x <0.综上可得，原不等式的解集为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12.故选A.
法二很明显|x |≥0，则原不等式等价于{ 1－2x >0，x ≠0，解得x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.故选A. 答案：A
3．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
由图象可知该平面区域表示一个三角形(阴影部分)，其面积S ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32×3＝27
4.故选
B.
答案：B
4．解析：由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，从而排除B 和D ；故丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是教师，甲是医生．故选C.
答案：C
5．解析：∵－2∉p ，∴－2－3
－2＋a
<1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.
答案：D
6．解析：∵a 2＋b 2
＝15－ab ≥2ab ，∴3ab ≤15，即ab ≤5，当且仅当a ＝b ＝±5时等号成立．∴ab 的最大值为5.故选C.
答案：C
7．解析：当a >1时，由题意可得x 2－ax －2a 2
>0的解集为(－a,2a )，这显然是不可能的．当
0<a <1时，由题意可得x 2－ax －2a 2<0的解集为(－a,2a )，且⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 22x mx m ＋－≥1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a 0，即x 2
＋
2mx －m ≥0恒成立，则Δ＝4m 2
＋4m ≤0，解得－1≤m ≤0.
答案：B
8．解析：根据题中规律，443可以分解成44个奇数的和，443
的分解和式中最后一个奇
数是44×45－1＝1 979，所以453
＝1 981＋1 983＋…＋2 069.故选D.
答案：D
9．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤2y －x ≤2
y ≥1
表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知x 2
＋
y 2的几何意义为平面区域内(包括边界)点(x ，y )到点(0,0)的距离的平方，所以|OA |为最大距
离，|OA |＝2，|OB |为最小距离，|OB |＝1，所以x 2＋y 2
∈[1,4]．故选B.
答案：B
10．解析：由x ＋2y ＝1得y ＝1－x 2，则xy 2x ＋y ＝x －x 2
3x ＋1.设3x ＋1＝t ，则x ＝t －1
3
(1<t <4)，
xy 2x ＋y ＝－t 2
＋5t －49t ＝59－⎝ ⎛⎭⎪⎫t 9＋49t ≤59－2481＝19，当且仅当t 9＝49t ，即t ＝2，x ＝13，y ＝1
3
时取等号．故xy 2x ＋y 的最大值为1
9.故选C.
答案：C
11．解析：作出约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥0x ＋y －3≤0
x －2y ＋6≥0，
的可行域如图中阴影部分所示，因为目
标函数z ＝a |x |＋2y 的最小值为－6，数形结合可知目标函数的最优解为B ，由
⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝0
x －2y ＋6＝0，
得B (－6,0)，所以－6＝a ×|－6|，得a ＝－1.故选D.
答案：D
12．解析：原不等式可化为－m <2x ＋8x －1，令f (x )＝2x ＋8
x －1
，x ∈(1，＋∞)，则f (x )＝2(x －1)＋
8x －1＋2≥22x －1·8x －1＋2＝10，当且仅当2(x －1)＝8
x －1
，即x ＝3时，f (x )取得最小值10，因此要使原不等式恒成立，应有－m <10，解得m >－10，故选A.
答案：A 13．解析：作出可行域如图，由z ＝x ＋7y 得y ＝－x 7＋z 7，易知当直线y ＝－x 7＋z
7
经过点
A (1,0)时，z 取得最大值，z max ＝1＋7×0＝1.
答案：1
14．解析：用反证法证明命题“a ，b ∈N ，ab 可被11整除，那么a ，b 中至少有一个能被11 整除．”反设的内容应为a ，b 都不能被11整除．
答案：a ，b 都不能被11整除。