推荐2019高考数学专题十三三视图与体积表面积精准培优专练理
2019高考数学二轮复习 专题三 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图、表面积和体积练习
第1讲 空间几何体的三视图、表面积和体积高考定位 1.三视图的识别和简单应用；2.简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅲ卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )解析 由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆( ) C.82πD.10π8的正方形，所以圆柱的高为＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π. 3.(2018·天津卷)已知正方体ABCD －A1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M －EFGH 的体积为________.解析 连接AD 1，CD 1，B 1A ，B 1C ，AC ，因为E ，H 分别为AD 1，CD 1的中点，所以EH ∥AC ，EH ＝12AC .因为F ，G 分别为B 1A ，B 1C 的中点，所以FG ∥AC ，FG ＝12AC .所以EH∥FG ，EH ＝FG ，所以四边形EHGF 为平行四边形，又EG ＝HF ，EH ＝HG ，所以四边形EHGF 为正方形.又点M 到平面EHGF 的距离为12，所以四棱锥M －EFGH 的体积为13×⎝ ⎛⎭⎪⎫222×12＝112.答案1124.(2017·全国Ⅰ卷)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S －ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________.解析 如图，连接OA ，OB ，因为SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，所以OA ⊥SC ，OB ⊥SC .因为平面SAC ⊥平面SBC ，平面SAC ∩平面SBC ＝SC ，且OA ⊂平面SAC，所以OA ⊥平面SBC .设球的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ， 所以V A －SBC ＝13×S △SBC ×OA ＝13×12×2r ×r ×r ＝13r 3，所以13r 3＝9⇒r ＝3，所以球的表面积为4πr 2＝36π.答案 36π考 点 整 合1.空间几何体的三视图(1)几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等. (2)由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体. 2.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的表面积公式： ①圆柱的表面积S ＝2πr (r ＋l )； ②圆锥的表面积S ＝πr (r ＋l )；③圆台的表面积S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )； ④球的表面积S ＝4πR 2. (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；③V 球＝43πR 3.热点一 空间几何体的三视图与直观图【例1】 (1)(2018·兰州模拟)中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.已知某“堑堵”的正视图和俯视图如图所示，则该“堑堵”的侧视图的面积为( ) A.18 6 B.18 3 C.18 2D.2722(2)(2018·全国Ⅰ卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )A.217B.2 5C.3D.2解析 (1)在俯视图Rt △ABC 中，作AH ⊥BC 交于H . 由三视图的意义， 则BH ＝6，HC ＝3，根据射影定理，AH 2＝BH ·HC ，∴AH ＝3 2.易知该“堑堵”的侧视图是矩形，长为6，宽为AH ＝3 2.故侧视图的面积S ＝6×32＝18 2.(2)由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN ，则MS ＝2，SN ＝4.则从M 到N 的路径中，最短路径的长度为MS 2＋SN 2＝22＋42＝2 5.答案 (1)C (2)B探究提高 1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图. 2.由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面.(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.(3)确定几何体的直观图形状.【训练1】 (1)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面A 1B 1C 1D 1内一点，则三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图的面积之和为( )A.1B.2C.3D.4(2)(2017·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )C.2 2D.2P ′，在平面C 1CDD 1的射影为P P ′AD 与△P ″CD ， ＝12×1×2＋12×1×2＝2.(2)根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥P －ABCD )如图所示，将该四棱锥放入棱长为2的正方体中.由图可知该四棱锥的最长棱为PD ，PD ＝22＋22＋22＝2 3.答案 (1)B (2)B热点二 几何体的表面积与体积考法1 空间几何体的表面积【例2－1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( ) A.10 B.12C.14D.16(2)(2018·西安模拟)如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π解析 (1)由三视图可画出直观图，该直观图各面内只有两个相同的梯形的面，S 梯＝12×(2＋4)×2＝6，S 全梯＝6×2＝12.(2)由三视图知，该几何体由一圆锥和一个圆柱构成的组合体， ∵S 圆锥侧＝π×3×32＋42＝15π，S 圆柱侧＝2π×1×2＝4π，S 圆锥底＝π×32＝9π.故几何体的表面积S ＝15π＋4π＋9π＝28π. 答案 (1)B (2)C探究提高 1.由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小；(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式. 2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.【训练2】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π(2)(2018·烟台二模)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的表面积为( )A.3π＋42－2B.3π＋22－2 D.3π2＋22＋2它是一个球(被过球心O 切掉左上角的18后得到的组合体，其表面积是球2，则得S ＝78×4π×22S 底＝π×12－(2)2＝π－2.∴几何体表面积S ＝2(2×2)＋12(2π×1×2)＋S 底＝42＋2π＋π－2＝3π＋42－2. 答案 (1)A (2)A 考法2 空间几何体的体积【例2－2】 (1)(2018·河北衡水中学调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.6B.4C.223D.203(2)由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________.解析 (1)由三视图知该几何体是边长为2的正方体挖去一个三棱柱(如图)，且挖去的三棱柱的高为1，底面是等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边长为2.故几何体体积V ＝23－12×2×2×1＝6.(2)该几何体由一个长、宽、高分别为2，1，1的长方体和两个底面半径为1，高为1的14圆柱体构成.所以V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.答案 (1)A (2)2＋π2探究提高 1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.2.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.【训练3】 (1)(2018·江苏卷)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.(2)(2018·北京燕博园质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8π－163B.4πC.8π－4D.4π解析 (1)正方体的棱长为2体的所有棱长都是 2.2×1×2＝43.(2)＝12π×22×4－13×12×2×4×4＝8πABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥( )C.6πD.32π3解析 由AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，得AC ＝10.要使球的体积V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC 的内切圆的半径为r .则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r ，所以r ＝2. 2r ＝4＞3，不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R 最大.由2R ＝3，即R ＝32.故球的最大体积V ＝43πR 3＝92π.答案 B【迁移探究1】 若本例中的条件变为“直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上”，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，求球O 的表面积. 解 将直三棱柱补形为长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1， 则球O 是长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1的外接球. ∴体对角线BC 1的长为球O 的直径. 因此2R ＝32＋42＋122＝13. 故S 球＝4πR 2＝169π.【迁移探究2】 若将题目的条件变为“如图所示是一个几何体的三视图”试求该几何体外接球的体积.解 该几何体为四棱锥，如图所示，设正方形ABCD 的中心为O ，连接OP . 由三视图，PH ＝OH ＝1， 则OP ＝OH 2＋PH 2＝ 2. 又OB ＝OC ＝OD ＝OA ＝ 2. ∴点O 为几何体外接球的球心， 则R ＝2，V 球＝43πR 3＝823π.探究提高 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2.若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.【训练4】 (2018·广州三模)三棱锥P －ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝PC ＝AC ＝2，AB ＝4，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为( )A.23πB.234π C.64π D.643π解析 如图，设O ′为正△PAC 的中心，D 为Rt △ABC 斜边的中点，H 为AC 中点.由平面PAC ⊥平面ABC .则O ′H ⊥平面ABC .作O ′O ∥HD ，OD ∥O ′H ，则交点O 为三棱锥外接球的球心，连接OP ，又O ′P ＝23PH ＝23×32×2＝233，OO ′＝DH ＝12AB ＝2.∴R 2＝OP 2＝O ′P 2＋O ′O 2＝43＋4＝163.故几何体外接球的表面积S ＝4πR 2＝643π.答案 D1.求解几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算.(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解.(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，S 侧＋S 底.如棱长为a 的正方体的外接球、内切球、棱切，在求解锥体体积中，不能漏掉13.1.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )解析由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线，在俯视图中应为实线，因此，选项B可以是几何体的俯视图.答案 B2.(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P－ABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，是△PAD，△PCD，△PAB.答案 C3.(2018·湖南师大附中联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.8(π＋4)B.8(π＋8)C.16(π＋4)D.16(π＋8)解析由三视图还原原几何体如右图：该几何体为两个空心半圆柱相切，半圆柱的半径为2，母线长为4，左右为边长是4的正方形.∴该几何体的表面积为2×4×4＋2π×2×4＋2(4×4－π×22)＝64＋8π＝8(π＋8).答案 B4.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4C.π2解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心.球半径R ＝OA ＝1到底面圆的距离为OM ＝12. ∴底面圆半径r ＝OA 2－OM 2＝32，故圆柱体积V ＝π2×1＝3π4. 答案 B 三个视图中的曲线都是圆弧，则该C.7π6D.11π6该几何体是由半个圆柱与18个球组成的组合体，其体积为12×π×12×3＋18×4π3×13＝5π3.答案 B6.(2018·全国Ⅲ卷)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( ) A.12 3 B.18 3 C.24 3 D.54 3解析 设等边△ABC 的边长为x ，则12x 2sin 60°＝93，得x ＝6.设△ABC 的外接圆半径为r ，则2r ＝6sin 60°，解得r ＝23，所以球心到△ABC 所在平面的距离d ＝42－（23）2＝2，则点D 到平面ABC 的最大距离d 1＝d ＋4＝6.所以三棱锥D －ABC 体积的最大值V max ＝13S △ABC ×6＝13×93×6＝18 3.答案 B二、填空题7.(2018·浙江卷改编)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)为________.解析 由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积V ＝12×(1＋2)×2×2＝6. 答案 68.(2018·郑州质检)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内接于球O ，底面ABCD 是边长为2的正方形，E 为AA 1的中点，OA ⊥平面BDE ，则球O 的表面积为________.解析 取BD 的中点为O 1，连接OO 1，OE ，O 1E ，O 1A ，则四边形OO 1AE 为矩形，∵OA ⊥平面BDE ，∴OA ⊥EO 1，即四边形OO 1AE 为正方形，则球O 的半径R ＝OA ＝2，∴球O 的表面积S ＝4π×22＝16π.答案 16π 9.(2018·武汉模拟)某几何体的三视图如图所示，其中正视图的轮廓是底边为23，高为1的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，侧视图是个半圆.则该几何体的体积为________.解析 由三视图知，几何体是由两个大小相同的半圆锥的组合体. 其中r ＝1，高h ＝ 3.故几何体的体积V ＝13π×12×3＝33π. 答案 33π 三、解答题10.在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1＝A 1C＝AC ＝AB ＝BC ＝2，且点O 为AC 中点.(1)证明：A 1O ⊥平面ABC ；(2)求三棱锥C 1－ABC 的体积.(1)证明 因为AA 1＝A 1C ，且O 为AC 的中点，所以A 1O ⊥AC ，又面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，且A 1O ⊂平面AA 1C 1C ， ABC ，A 1到平面ABC 的距离. ＝3，×2×3×3＝1.中，平面PAB ⊥平面ABCD ，＝3，∠BAD ＝120°，M 为PC 的中点.(1)证明：DM ∥平面PAB ；(2)求四面体MABD 的体积.(1)证明 取PB 中点N ，连接MN ，AN .∵M 为PC 的中点，∴MN ∥BC 且MN ＝12BC ，又AD ∥BC ，且AD ＝12BC ，得MN 綉AD .∴ADMN 为平行四边形，∴DM ∥AN .又AN ⊂平面PAB ，DM ⊄平面PAB ，∴DM ∥平面PAB .(2)解 取AB 中点O ，连接PO ，∵PA ＝PB ，∴PO ⊥AB ，又∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，PO ⊂平面PAB ， 则PO ⊥平面ABCD ，取BC 中点H ，连接AH ，∵AB ＝AC ，∴AH ⊥BC ，又∵AD ∥BC ，∠BAD ＝120°，∴∠ABC ＝60°，Rt △ABH 中，BH ＝12BC ＝1，AB ＝2，∴AO ＝1，又AD ＝1，△AOD 中，由余弦定理知，OD ＝ 3.Rt △POD 中，PO ＝PD 2－OD 2＝ 6.又S △ABD ＝12AB ·AD sin 120°＝32，∴V M －ABD ＝13·S △ABD ·12PO ＝24.。
2020届高三精准培优专练十三 三视图与体积、表面积(理) 教师版
2020届高三好教育精准培优专练例1：中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图，应选A．例2：如图，在长方体1111ABCD A B C D-中，点P是棱CD上一点，则三棱锥11P A B A-的侧视图是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在长方体1111ABCD A B C D-中，从左侧看三棱锥11P A B A-，1B、1A、A的射影分别是1C、1D、D，1AB的射影为1C D，且为实线，一、根据几何体的结构特征确认其三视图培优点十三三视图与体积、表面积1PA 的射影为1PD ，且为虚线．故选D ．例3：如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体 是（ ）A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱【答案】B【解析】由题三视图得直观图如图所示，为三棱柱．故选B ．例4：若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由三视图知该几何体的上半部分是一个三棱柱，下半部分是一个四棱柱． 故选D ．二、根据三视图还原几何体的直观图例5：如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由正视图和俯视图可知，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥构成的， 结合正视图的宽及俯视图的直径知其侧视图应为A ．故选A ．例6：一个几何体的三视图中，正视图和侧视图如图所示，则俯视图不可以为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】A 中，该几何体是直三棱柱，所以A 有可能； B 中，该几何体是直四棱柱，所以B 有可能； C 中，由题干中正视图的中间为虚线知，C 不可能； D 中，该几何体是直四棱柱，所以D 有可能． 综上，故选C．四、根据几何体的三视图计算表面积三、已知几何体的三视图中某两个视图，确定另外一种视图例7：如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积 为（ ）A ．5π18+B ．6π18+C ．8π6+D ．10π6+【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的， 故该几何体的表面积为2211124π12π1232π138π6222⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯=+． 故选C ．例8：如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的 体积是28π3，则它的表面积是（ ）A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π【答案】A【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图． 设球的半径为R ，则3341428πππ3833R R -⨯=，解得2R =． 因此它的表面积为22734ππ17π84R R ⨯+=．故选A ．例9：某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：3cm)是（）A．π12+B．π32+C．3π12+D．3π32+【答案】A【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边3的三棱锥的组合体，∴该几何体的体积21111ππ22323221331⨯⨯⨯⨯+=+．故选A．例10：如图所示，已知多面体ABCDEFG中，AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，2AB AD DG===，1AC EF==，则该多面体的体积为________．【答案】4【解析】法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C作CH DG⊥于H，连接EH，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH ABC-和一个斜三棱柱BEF CHG-．由题意，知三棱柱DEH ABC-的体积11(2221)2DEHV S AD=⨯⨯⨯=⨯=△，五、根据几何体的三视图计算体积三棱柱BEF CHG -的体积21(2221)2BEF V S DE =⨯⨯⨯=⨯=△， 故所求多面体ABCDEFG 的体积为12224V V V =+=+=．法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半．又正方体ABHI DEKG -的体积328V '==，故所求多面体ABCDEFG 的体积为118422V V '==⨯=．一、选择题1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的各个面中是直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】三视图还原为如图所示三棱锥A BCD -，由正方体的性质得ABC △、BCD △、ACD △为直角三角形，ABD △为正三角形，故选C ．2．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积（ ）对点增分集训A ．5πB ．6πC ．6π2+D ．5π2+【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为两个半圆柱构成，其表面积为22π1π12π11215π2⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=+，故选D ． 3．已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）A ．12πB ．16πC ．32π3D ．403π【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为圆柱挖去其16后的剩余部分，该圆柱的底面半径为2，高为4， 故其体积为圆柱体积的56，25540ππ16π663V R h ==⨯=．故选D ．4．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．83D【答案】C【解析】该三视图还原成直观图后的几何体是如图所示的四棱锥A BCDE -，CBA △和ACD △是两个全等的直角三角形，且2AC CD BC ===， 故几何体的体积为1822233⨯⨯⨯=，故选C ．5．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图是一个刍童的三视图， 其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（ ）A ．1003B ．1043C ．27D ．18【答案】B【解析】由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2，所以几何体体积1104(436233V =++⨯=．故选B ． 6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各棱中， 最长的棱的长度为（ ）A ．B ．6C ．D ．4【答案】B【解析】三视图还原成如图所示的几何体，三棱锥S ABC -，则4SB BC ==，SC =AC AB ==6SA =．故选B ．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别为棱CD 、1CC 、11A B 的中点，用过点E 、F 、G 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】过点E ，F ，G 截正方体的平面为如图所示的平面EFKGHI ， 由图知位于截面以下部分的几何体的侧视图为C 选项，故选C ．8．如图所示的网格是由边长为1的小正方形构成，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．40B ．103C ．163D ．803【答案】D【解析】根据几何体三视图可得，该几何体是三棱柱BCE AGF -割去一个三棱锥A BCD -所得的几何体，如图所示，所以其体积为111180444(44)423223V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=．故选D ．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（ ）A．π3B．π2C ．3π D．【答案】B【解析】根据几何体的三视图知，该几何体是由一个正方体切去正方体的一角得到的，故该几何体的外接球为正方体的外接球，所以球的半径2r ==则34π3V =⋅⋅=⎝⎭B ． 10．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）ABCD．【答案】C【解析】由三视图可知三棱锥的直观图如图，由三视图可知底面三角形是边长为2，顶角120︒的三角形， 所以其外接圆半径结合正弦定理可得，224sin30r ==︒，由侧面为两等腰直角三角形，可确定出外接圆圆心，利用球的几何性质可确定出球心，且球心到底面的距离1d =，所以球半径R ==C ．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（ ）A ．6B ．8C ．62D ．【答案】B【解析】由三视图可得四棱锥为如图所示的长方体1111ABCD A B C D -中的四棱锥11C DEE D -，其中在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2AD =，13AA =，点E 、1E 分别为AB 、11A B 的中点， 由题意得CE DE ==CE DE ⊥，又1CE EE ⊥，所以CE ⊥平面11DEE D ，即线段CE 即为四棱锥11C DEE D -的高，所以四棱锥11C DEE D -的体积1111(3833DEE D V S CE =⋅⋅=⨯⨯⨯=．故选B ．12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ）A ．有最小值32B ．有最大值52C ．为定值3D ．为定值2【答案】D【解析】依题意，设四边形1D FBE 的四个顶点在后面、上面、左面的投影点分别为'D 、F '、B '、E '，则四边形1D FBE 在上面、后面、左面的投影分别如下图， 所以在后面的投影的面积为1111S =⨯=， 在上面的投影面积211S D E DE DE ''=⨯=⨯=， 在左面的投影面积311S B E CE CE ''=⨯=⨯=，所以四边形1D FBE 所围成的图形分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和为123112S S S S DE CE CD =++=++=+=．故选D ．二、填空题13．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积是 ．【答案】64+【解析】由三视图可知，该几何体的直观图为如图所示的四棱柱， 则11111(24)4122ABCD A B C D S S ==⨯+⨯=，11114416BCC B CC D D S S ==⨯=，11428ABB A S =⨯=，114AA D D S =⨯=所以该四棱柱的表面积为2432864S =+++=+14．《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．若某“阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为 ．【答案】2【解析】由三视图可得该“阳马”的底面是边长为1的正方形，且高为1，故该“阳马”的表面积为11211212122+⨯⨯⨯+⨯=+15．已知圆锥的高为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于 ．【答案】32π3【解析】设该圆锥的外接球的半径为R ，依题意得，222()3R R +-=，解得2R =， 故所求球的体积334432ππ2π333V R ==⨯=． 16．已知点P 、A 、B 、C 是半径为2的球面上的点，2PA PB PC ===，90ABC ∠=︒，点B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥P ABD -体积的最大值是 ．【答案】8【解析】设点P 在平面ABC 上的射影为G ，如图， 由2PA PB PC ===，90ABC ∠=︒知，点P 在平面ABC 上的射影G 为ABC △的外心，即AC 的中点， 设球的球心为O ，连接PG ，则O 在PG 的延长线上， 连接OB 、BG ，设PG h =，则2OG h =-，所以2222OB OG PB PG -=-，即22()424h h --=-，解得1h =，则AG CG ==设AD x =，则3GD x AG x =-=3BG =所以BD ==12ABD S AD BD ==⋅△令43()f x x =-+，则32()4f x x '=-+，由()0f x '=，得0x =或2x =，易知当2x =时，函数()f x 取得最大值24316，所以max 1()248ABD S =⨯=△．又1PG =，所以三棱锥P ABD -体积的最大值为11388⨯=．。
高考专题13 三视图与体积表面积精准培优专练
培优点十三 三视图与体积、表面积1．由三视图求面积例1：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________．【答案】33π【解析】由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥组成， 其表面积为半球面积和圆锥侧面积的和．球的半径为3， ∴半球的面积21143182S =⋅π⋅=π，圆锥的底面半径为3，母线长为5， ∴圆锥的侧面积为23515S rl =π=π⋅⋅=π，∴表面积为1233S S S =+=π．2．由三视图求体积例2：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．4B ．22C ．42D ．8【答案】D【解析】由于长方体被平面所截，∴很难直接求出几何体的体积，可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体，从而拼成了一个长方体，∵长方体由两个完全一样的几何体拼成，∴所求体积为长方体体积的一半。
从图上可得长方体的底面为正方形， 且边长为2，长方体的高为314+=，∴22416V =⋅=长方体，∴182V V ==长方体，故选D ．一、单选题1．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则俯视图中圆的半径为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，设圆半径为r ， ∴该几何体的表面积2222242216S r r r r r r =⨯⋅+⨯⋅-π⋅+π⋅=+π，得1r =，故选A ． 2．正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点（如图）用过点1B E D 、、的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）对点增分集训A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意可知：过点B 、E 、1D 的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图， 则几何体的左视图为D ，故选D ．3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．236B ．72C ．76D ．4【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体是如图所示的三棱柱11ABB DCC -挖去一个三棱锥E FCG -，故所求几何体的体积为()111232221112326⎛⎫⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选A ．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．()251++πB ．5212⎛⎫++π ⎪ ⎪⎝⎭C ．51222⎛⎫++π ⎪ ⎪⎝⎭D ．5122⎛⎫+π ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为1r =， 圆锥的高2h =，其母线长22125l =+=，则该几何体的表面积为：21115111522222222S ⎛⎫=⨯π⨯+⨯π⨯⨯+⨯⨯=++π ⎪ ⎪⎝⎭，本题选择C 选项． 5．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥．．．．．．的外接球的表面积等于（ ）A ．34πB ．32πC ．17πD ．172π 【答案】A【解析】由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形， 高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示，截去的是一个三棱锥，底面是边长为3，4，5的直角三角形，高为3的棱锥， 如图蓝色线条的图像是该棱锥，三棱锥上底面外接圆半径52圆心设为M 半径为r ，球心到底面距离为32，设球心为O ， 由勾股定理得到2222253342224h R r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2434S R =π=π，故选A ．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．16πC ．36πD ．72π【答案】C【解析】还原几何体如图所示三棱锥由1B BCD -（如下左图），将此三棱锥补形为直三棱柱111B C D BCD -（如上右图），在直三棱柱111B C D BCD -中取1BC B C 、的中点12O O 、，取12O O 中点O ，()()()22222523R O A OO =+=+=，2244336S R =π=⨯=π表，故答案为C ．7．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．642+B ．842+C ．643+D ．843+【答案】B【解析】根据三视图，画出原空间结构图如下图所示：∴表面积为111111111111DA D DA B DB C DC D A B C D S S S S S S =++++11112222222222228422222=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=+，∴故选B ． 8．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A ．174π B ．214π C ．4π D ．5π【答案】B【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体1111ABCD A B C D -的四个顶点，即为三棱锥11A CB D -，且长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为2，a ，b ，∴此三棱锥的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，且球半径为222222422a b a b R ++++==， ∴三棱锥外接球表面积为()()222222421445124a b a b a ⎛⎫++ππ=π++=π-+⎪ ⎪⎝⎭， ∴当且仅当1a =，12b =时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为214π．故选B ． 9．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA AB =，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．12 B ．13C ．14 D ．15【答案】B【解析】由三视图知，剩余部分的几何体是四棱锥P ABCD -被平面QBD 截去三棱锥Q BCD -（Q 为PC 中点）后的部分，连接AC 交BD 于O ，连楼OQ ，则OQ PA ∥，且12OQ PA =，设PA AB a ==，则313P ABCD V a -=，23111132212Q BCD V a a a -=⨯⨯=， 剩余部分的体积为：3311312a a -，则所求的体积比值为：3331112113312aa a =-．本题选择B 选项．10．如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A ．15B ．16C ．503D ．533【答案】C【解析】由题得几何体原图是下图中的四棱锥A BCDE -，底面四边形BCDE 的面积为114442221022⨯-⨯⨯-⨯⨯=，∴四棱锥的体积为15010533⨯⨯=，故答案为C ．11．某几何体的三视图如图（虚线刻画的小正方形边长为1）所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．94B ．823C ．12D ．83【答案】D【解析】几何体为如图多面体PABCDE ，∴体积为()11118221222132323D PABE A BCD V V --+=⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯=，故选D ．12．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．203B ．7C ．223D ．233【答案】B【解析】如图所示，该几何体为正方体去掉两个倒置的三棱锥，∴该多面体的体积为32111121212273232V =-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=；故选B ．二、填空题13．网格纸上小正方形的边长为1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为__________．【答案】12【解析】根据三视图知长方体挖去部分是一个底面为等腰梯形（上底为2，下底为4，高为2）高为2的直四棱柱，∴()12422122V Sh ==+⨯⨯=． 14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为_______与_______．【答案】404+π，4163π+ 【解析】由三视图可知，其对应的几何体是一个组合体，上半部分是一个直径为2的球，下半部分是一个直棱柱，棱柱的底面是边长为2的正方形，高为4，则该几何体的表面积224122424404S =π⨯+⨯+⨯⨯=+π， 几何体的体积：32441241633V =π⨯+⨯=+π． 15．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_________．【答案】1【解析】根据题中所给的三视图，还原几何体，可知其为有一条侧棱垂直于底面的一个四棱锥，该四棱锥的底面就是其俯视图中的直角梯形，根据图中所给的数据，结合椎体的体积公式， 可得其体积11212132V +=⨯⨯⨯=，故答案是1． 16．已知某几何体的三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的体积为__________．【答案】23【解析】由三视图知，该几何体由正方体沿面11AB D 与面11CB D 截去两个角所得，其体积为33112121233-⨯⨯⨯=，故答案为23．。
2020届高三文科数学精准培优专练十三：三视图体积与表面积(解析版)
2020届高三文科数学精准培优专练十三：三视图体积与表面积（解析版）1．由三视图求面积例1：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________．【答案】33【解析】由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥组成，其表面积为半球面积和圆锥侧面积的和．球的半径为3，∴半球的面积21143182S ，圆锥的底面半径为3，母线长为5，∴圆锥的侧面积为23515S rl ，∴表面积为1233SS S ．2．由三视图求体积例2：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A ．4B ．22C ．42D ．8【答案】D【解析】由于长方体被平面所截，∴很难直接求出几何体的体积，可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体，从而拼成了一个长方体，∵长方体由两个完全一样的几何体拼成，∴所求体积为长方体体积的一半。
从图上可得长方体的底面为正方形，且边长为2，长方体的高为314，∴22416V长方体，∴182V V长方体，故选D．对点增分集训一、单选题1．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则俯视图中圆的半径为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，设圆半径为r，∴该几何体的表面积2222242216S r r r r r r，得1r，故选A．2．正方体1111ABCD A B C D中，E为棱1AA的中点（如图）用过点1B E D、、的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知：过点B、E、1D的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图，则几何体的左视图为D，故选D．3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．236B．72C．76D．4【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体是如图所示的三棱柱11ABB DCC挖去一个三棱锥E FCG，故所求几何体的体积为111232221112326，故选A．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（）A ．251B ．5212C ．51222D ．5122【答案】C【解析】由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为1r，圆锥的高2h，其母线长22125l，则该几何体的表面积为：21115111522222222S，本题选择C 选项．5．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥．．．．．．的外接球的表面积等于（）A ．34B ．32C ．17D ．172【答案】A【解析】由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示，截去的是一个三棱锥，底面是边长为3，4，5的直角三角形，高为3的棱锥，如图蓝色线条的图像是该棱锥，三棱锥上底面外接圆半径52圆心设为M 半径为r ，球心到底面距离为32，设球心为O ，由勾股定理得到2222253342224h Rr，2434SR，故选A ．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为（）A ．32B ．16C ．36D ．72【答案】C【解析】还原几何体如图所示三棱锥由1B BCD （如下左图），将此三棱锥补形为直三棱柱111B C D BCD （如上右图），在直三棱柱111B C D BCD 中取1BC B C 、的中点12O O 、，取12O O 中点O ，22222523RO AOO ，2244336SR表，故答案为C ．7．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．642B ．842C ．643D ．843【答案】B【解析】根据三视图，画出原空间结构图如下图所示：∴表面积为111111111111DA DDA BDB CDC DA B C DS S S S S S 11112222222222228422222，∴故选B ．8．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且520,02abab，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（）A ．174B ．214C ．4D ．5【答案】B【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体1111ABCDA BC D 的四个顶点，即为三棱锥11A CB D ，且长方体1111ABCDA B C D 的长、宽、高分别为2，a ，b ，∴此三棱锥的外接球即为长方体1111ABCD A B C D 的外接球，且球半径为222222422a babR，∴三棱锥外接球表面积为222222421445124ababa ，∴当且仅当1a ，12b 时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为214．故选B ．9．在四棱锥PABCD 中，PA 底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA AB ，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】B【解析】由三视图知，剩余部分的几何体是四棱锥PABCD 被平面QBD 截去三棱锥QBCD （Q 为PC中点）后的部分，连接AC 交BD 于O ，连楼OQ ，则OQ PA ∥，且12OQPA ，设PAABa ，则313PABCDV a ，23111132212QBCDV aaa ，剩余部分的体积为：3311312aa ，则所求的体积比值为：3331112113312aaa．本题选择B 选项．10．如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A．15 B．16 C．503D．533【答案】C【解析】由题得几何体原图是下图中的四棱锥A BCDE，底面四边形BCDE的面积为114442221022，∴四棱锥的体积为15010533，故答案为C．11．某几何体的三视图如图（虚线刻画的小正方形边长为1）所示，则这个几何体的体积为（）A．94B．823C．12 D．83【答案】D【解析】几何体为如图多面体PABCDE，∴体积为11118221222132323DPABEABCDV V ，故选D ．12．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A ．203B ．7C ．223D ．233【答案】B【解析】如图所示，该几何体为正方体去掉两个倒置的三棱锥，∴该多面体的体积为32111121212273232V；故选B ．二、填空题13．网格纸上小正方形的边长为1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为__________．【答案】12【解析】根据三视图知长方体挖去部分是一个底面为等腰梯形（上底为2，下底为4，高为2）高为2的直四棱柱，∴12422122VSh．14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为_______与_______．【答案】404，4163【解析】由三视图可知，其对应的几何体是一个组合体，上半部分是一个直径为2的球，下半部分是一个直棱柱，棱柱的底面是边长为2的正方形，高为4，则该几何体的表面积224122424404S，几何体的体积：32441241633V．15．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_________．【答案】1【解析】根据题中所给的三视图，还原几何体，可知其为有一条侧棱垂直于底面的一个四棱锥，该四棱锥的底面就是其俯视图中的直角梯形，根据图中所给的数据，结合椎体的体积公式，可得其体积11212132V ，故答案是1．16．已知某几何体的三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的体积为__________．【答案】23【解析】由三视图知，该几何体由正方体沿面11AB D 与面11CB D 截去两个角所得，其体积为33112121233，故答案为23．。
2019高考数学二轮复习专题三立体几何第1讲空间几何体的三视图、表面积和体积练习
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……第1讲 空间几何体的三视图、表面积和体积高考定位 1.三视图的识别和简单应用；2.简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅲ卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )解析 由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A. 答案 A2.(2018·全国Ⅰ卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A.122πB.12πC.82πD.10π解析 因为过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为2 2.所以S 表面积＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π. 答案 B3.(2018·天津卷)已知正方体ABCD －A1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M －EFGH 的体积为________.解析 连接AD 1，CD 1，B 1A ，B 1C ，AC ，因为E ，H 分别为AD 1，CD 1的中点，所以EH ∥AC ，EH ＝12AC .因为F ，G 分别为B 1A ，B 1C 的中点，所以FG ∥AC ，FG ＝12AC .所以EH∥FG ，EH ＝FG ，所以四边形EHGF 为平行四边形，又EG ＝HF ，EH ＝HG ，所以四边形EHGF 为正方形.又点M 到平面EHGF 的距离为12，所以四棱锥M －EFGH 的体积为13×⎝ ⎛⎭⎪⎫222×12＝112.答案1124.(2017·全国Ⅰ卷)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S －ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________.解析 如图，连接OA ，OB ，因为SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，所以OA ⊥SC ，OB ⊥SC .因为平面SAC ⊥平面SBC ，平面SAC ∩平面SBC ＝SC ，且OA ⊂平面SAC ，所以OA ⊥平面SBC .设球的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ， 所以V A －SBC ＝13×S △SBC ×OA ＝13×12×2r ×r ×r ＝13r 3，所以13r 3＝9⇒r ＝3，所以球的表面积为4πr 2＝36π.答案 36π考 点 整 合1.空间几何体的三视图(1)几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等. (2)由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体. 2.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的表面积公式： ①圆柱的表面积S ＝2πr (r ＋l )； ②圆锥的表面积S ＝πr (r ＋l )；③圆台的表面积S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )； ④球的表面积S ＝4πR 2. (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；③V 球＝43πR 3.热点一 空间几何体的三视图与直观图【例1】 (1)(2018·兰州模拟)中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.已知某“堑堵”的正视图和俯视图如图所示，则该“堑堵”的侧视图的面积为( ) A.18 6 B.18 3 C.18 2D.2722(2)(2018·全国Ⅰ卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )A.217B.2 5C.3D.2解析 (1)在俯视图Rt △ABC 中，作AH ⊥BC 交于H . 由三视图的意义， 则BH ＝6，HC ＝3，根据射影定理，AH 2＝BH ·HC ，∴AH ＝3 2.易知该“堑堵”的侧视图是矩形，长为6，宽为AH ＝3 2.故侧视图的面积S ＝6×32＝18 2.(2)由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN ，则MS ＝2，SN ＝4.则从M 到N 的路径中，最短路径的长度为MS 2＋SN 2＝22＋42＝2 5.答案 (1)C (2)B探究提高 1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图. 2.由三视图还原到直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面.(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.(3)确定几何体的直观图形状.【训练1】 (1)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面A 1B 1C 1D 1内一点，则三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图的面积之和为( )A.1B.2C.3D.4(2)(2017·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A.3 2B.2 3C.2 2D.2解析 (1)设点P 在平面A 1ADD 1的射影为P ′，在平面C 1CDD 1的射影为P ″，如图所示.∴三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图分别为△P ′AD 与△P ″CD ， 因此所求面积S ＝S △P ′AD ＋S △P ″CD ＝12×1×2＋12×1×2＝2.(2)根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥P －ABCD )如图所示，将该四棱锥放入棱长为2的正方体中.由图可知该四棱锥的最长棱为PD ，PD ＝22＋22＋22＝2 3.答案 (1)B (2)B热点二 几何体的表面积与体积 考法1 空间几何体的表面积【例2－1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( ) A.10 B.12C.14D.16(2)(2018·西安模拟)如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π解析 (1)由三视图可画出直观图，该直观图各面内只有两个相同的梯形的面，S 梯＝12×(2＋4)×2＝6，S 全梯＝6×2＝12.(2)由三视图知，该几何体由一圆锥和一个圆柱构成的组合体， ∵S 圆锥侧＝π×3×32＋42＝15π，S 圆柱侧＝2π×1×2＝4π，S 圆锥底＝π×32＝9π.故几何体的表面积S ＝15π＋4π＋9π＝28π. 答案 (1)B (2)C探究提高 1.由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小；(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式. 2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.【训练2】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π(2)(2018·烟台二模)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的表面积为( )A.3π＋42－2B.3π＋22－2C.3π2＋22－2D.3π2＋22＋2解析 (1)由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O 且互相垂直的三个平面)切掉左上角的18后得到的组合体，其表面积是球面面积的78和三个14圆面积之和，易得球的半径为2，则得S ＝78×4π×22＋3×14π×22＝17π.(2)由三视图，该几何体是一个半圆柱挖去一直三棱柱，由对称性，几何体的底面面积S 底＝π×12－(2)2＝π－2.∴几何体表面积S ＝2(2×2)＋12(2π×1×2)＋S 底＝42＋2π＋π－2＝3π＋42－2. 答案 (1)A (2)A 考法2 空间几何体的体积【例2－2】 (1)(2018·河北衡水中学调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.6B.4C.223D.203(2)由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________.解析 (1)由三视图知该几何体是边长为2的正方体挖去一个三棱柱(如图)，且挖去的三棱柱的高为1，底面是等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边长为2.故几何体体积V ＝23－12×2×2×1＝6.(2)该几何体由一个长、宽、高分别为2，1，1的长方体和两个底面半径为1，高为1的14圆柱体构成.所以V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.答案 (1)A (2)2＋π2探究提高 1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.2.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.【训练3】 (1)(2018·江苏卷)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.(2)(2018·北京燕博园质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8π－163B.4π－163C.8π－4D.4π＋83解析 (1)正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是 2.则该正八面体的体积为13×(2)2×1×2＝43.(2)该图形为一个半圆柱中间挖去一个四面体，∴体积V ＝12π×22×4－13×12×2×4×4＝8π－163. 答案 (1)43(2)A热点三 多面体与球的切、接问题【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A.4πB.9π2C.6πD.32π3解析 由AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，得AC ＝10.要使球的体积V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC 的内切圆的半径为r .则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r ，所以r ＝2. 2r ＝4＞3，不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R 最大.由2R ＝3，即R ＝32.故球的最大体积V ＝43πR 3＝92π.答案 B【迁移探究1】 若本例中的条件变为“直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上”，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，求球O 的表面积. 解 将直三棱柱补形为长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1， 则球O 是长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1的外接球. ∴体对角线BC 1的长为球O 的直径. 因此2R ＝32＋42＋122＝13. 故S 球＝4πR 2＝169π.【迁移探究2】 若将题目的条件变为“如图所示是一个几何体的三视图”试求该几何体外接球的体积.解 该几何体为四棱锥，如图所示，设正方形ABCD 的中心为O ，连接OP . 由三视图，PH ＝OH ＝1， 则OP ＝OH 2＋PH 2＝ 2. 又OB ＝OC ＝OD ＝OA ＝ 2. ∴点O 为几何体外接球的球心， 则R ＝2，V 球＝43πR 3＝823π.探究提高 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2.若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.【训练4】 (2018·广州三模)三棱锥P －ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝PC ＝AC ＝2，AB ＝4，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为( )A.23πB.234π C.64π D.643π解析 如图，设O ′为正△PAC 的中心，D 为Rt △ABC 斜边的中点，H 为AC 中点.由平面PAC ⊥平面ABC .则O ′H ⊥平面ABC .作O ′O ∥HD ，OD ∥O ′H ，则交点O 为三棱锥外接球的球心，连接OP ，又O ′P ＝23PH ＝23×32×2＝233，OO ′＝DH ＝12AB ＝2.∴R 2＝OP 2＝O ′P 2＋O ′O 2＝43＋4＝163.故几何体外接球的表面积S ＝4πR 2＝643π.答案 D1.求解几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算.(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解.(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用.(4)求解几何体的表面积时要注意S 表＝S 侧＋S 底.2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a 的正方体的外接球、内切球、棱切球的半径分别为32a ，a 2，22a . 3.锥体体积公式为V ＝13Sh ，在求解锥体体积中，不能漏掉13.一、选择题1.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )解析由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线，在俯视图中应为实线，因此，选项B可以是几何体的俯视图.答案 B2.(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P－ABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，是△PAD，△PCD，△PAB.答案 C3.(2018·湖南师大附中联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.8(π＋4)B.8(π＋8)C.16(π＋4)D.16(π＋8)解析由三视图还原原几何体如右图：该几何体为两个空心半圆柱相切，半圆柱的半径为2，母线长为4，左右为边长是4的正方形.∴该几何体的表面积为2×4×4＋2π×2×4＋2(4×4－π×22)＝64＋8π＝8(π＋8).答案 B4.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4C.π2D.π4解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心.球半径R ＝OA ＝1，球心到底面圆的距离为OM ＝12. ∴底面圆半径r ＝OA 2－OM 2＝32，故圆柱体积V ＝π·r 2·h ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4. 答案 B5.(2018·北京燕博园押题)某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为( )A.4π3B.5π3C.7π6D.11π6解析 由三视图可知，该几何体是由半个圆柱与18个球组成的组合体，其体积为12×π×12×3＋18×4π3×13＝5π3.答案 B6.(2018·全国Ⅲ卷)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( ) A.12 3 B.18 3 C.24 3 D.54 3解析 设等边△ABC 的边长为x ，则12x 2sin 60°＝93，得x ＝6.设△ABC 的外接圆半径为r ，则2r ＝6sin 60°，解得r ＝23，所以球心到△ABC 所在平面的距离d ＝42－（23）2＝2，则点D 到平面ABC 的最大距离d 1＝d ＋4＝6.所以三棱锥D －ABC 体积的最大值V max ＝13S △ABC ×6＝13×93×6＝18 3.答案 B二、填空题7.(2018·浙江卷改编)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)为________.解析 由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积V ＝12×(1＋2)×2×2＝6. 答案 68.(2018·郑州质检)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内接于球O ，底面ABCD 是边长为2的正方形，E 为AA 1的中点，OA ⊥平面BDE ，则球O 的表面积为________.解析 取BD 的中点为O 1，连接OO 1，OE ，O 1E ，O 1A ，则四边形OO 1AE 为矩形，∵OA ⊥平面BDE ，∴OA ⊥EO 1，即四边形OO 1AE 为正方形，则球O 的半径R ＝OA ＝2，∴球O 的表面积S ＝4π×22＝16π.答案 16π 9.(2018·武汉模拟)某几何体的三视图如图所示，其中正视图的轮廓是底边为23，高为1的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，侧视图是个半圆.则该几何体的体积为________.解析 由三视图知，几何体是由两个大小相同的半圆锥的组合体. 其中r ＝1，高h ＝ 3.故几何体的体积V ＝13π×12×3＝33π. 答案 33π 三、解答题10.在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1＝A 1C ＝AC ＝AB ＝BC ＝2，且点O 为AC 中点.(1)证明：A 1O ⊥平面ABC ；(2)求三棱锥C 1－ABC 的体积.(1)证明 因为AA 1＝A 1C ，且O 为AC 的中点，所以A 1O ⊥AC ，又面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，且A 1O ⊂平面AA 1C 1C ， ∴A 1O ⊥平面ABC .(2)解 ∵A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴A 1C 1∥平面ABC ，即C 1到平面ABC 的距离等于A 1到平面ABC 的距离. 由(1)知A 1O ⊥平面ABC 且A 1O ＝AA 21－AO 2＝3，∴VC 1－ABC ＝VA 1－ABC ＝13S △ABC ·A 1O ＝13×12×2×3×3＝1.11.(2018·长春模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ＝PB ，AD ∥BC ，AB ＝AC ，AD ＝12BC ＝1，PD ＝3，∠BAD ＝120°，M 为PC 的中点.(1)证明：DM ∥平面PAB ；(2)求四面体MABD 的体积.(1)证明 取PB 中点N ，连接MN ，AN .∵M 为PC 的中点，∴MN ∥BC 且MN ＝12BC ，又AD ∥BC ，且AD ＝12BC ，得MN 綉AD . ∴ADMN 为平行四边形，∴DM ∥AN .又AN ⊂平面PAB ，DM ⊄平面PAB ，∴DM ∥平面PAB .(2)解 取AB 中点O ，连接PO ，∵PA ＝PB ，∴PO ⊥AB ，又∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，PO ⊂平面PAB ， 则PO ⊥平面ABCD ，取BC 中点H ，连接AH ，∵AB ＝AC ，∴AH ⊥BC ，又∵AD ∥BC ，∠BAD ＝120°，∴∠ABC ＝60°，Rt △ABH 中，BH ＝12BC ＝1，AB ＝2， ∴AO ＝1，又AD ＝1，△AOD 中，由余弦定理知，OD ＝ 3.Rt △POD 中，PO ＝PD 2－OD 2＝ 6.又S △ABD ＝12AB ·AD sin 120°＝32， ∴V M －ABD ＝13·S △ABD ·12PO ＝24.。
2020届高三精准培优专练十三 三视图与体积表面积(文) 学生版
例1：某几何体的三视图如图所示（图中小正方形网格的边长为1），则该几何体的体积是（）A．8B．6C．4D．2例2：如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两个线段组成，则该几何体的表面积为（）A．17π12+B．12π12+C．20π12+D．16π12+一、选择题1．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）培优点十三三视图与体积表面积一、三视图与体积的结合二、三视图与表面积的结合对点增分集训A．2π163-B．4π83-C．4π163-D．π16(1)3-2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥中最长棱的长度为（）A．2B C．D．33．古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分（看成一个简单的组合体）的体积为（）A．63πB．72πC．79πD．99π4．某几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面与底面的面积的比值为（）A ．13B ．23C ．25D ．455．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（ ）A ．13π2B ．7πC ．15π2D ．8π6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积 为（ ）A ．83π+B ．84π+C ．85π+D ．86π+7．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．168．某装饰品的三视图如图所示，则该装饰品的表面积为（ ）A ．16π+B ．161)π-C ．161)π+D ．201)π+9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（ ）A ．32π643-B ．648π-C ．16π643-D ．8π643-10．我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则对该几何体描述： ①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形； ④外接球的表面积为24π．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．311．某工人现欲用车床将一正方体铁块进行加工处理，加工后成品的三视图如图所示．网格纸上小正方形的边长为1，则加工后成品与去除部分几何体的体积比为（）A．32ππ-B．64ππ-C．16ππ-D．48ππ-12．某三棱锥的三视图如图所示，其中小正方形的边长均为1．三棱锥上的点M在俯视图上的对应点为A，点N在左视图上的对应点为B，则线段MN长度的最大值为（）A．B．C．9D．6二、填空题13．已知某几何体的三视图如图所示（侧视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的体积为．14．如图是某几何体的三视图，图中方格的单位长度为1，则该几何体的表面积为．15．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为．16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．例1：【答案】B【解析】由三视图可得该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱（如图所示），其中底面直角梯形的上、下底边分别为1，2，高为2，直四棱柱的高为2，所以该几何体的体积为(12)2262+⨯⨯=，故选B．例2：【答案】C【解析】由三视图知，该几何体是一个大半圆柱挖去一个小半圆柱得到的，两个半圆柱的底面半径分别为1和3，高均为3，所以该几何体的表面积为112π332π1322⨯⨯⨯+⨯⨯⨯22112(π3π1)22320π1222+⨯⨯-⨯+⨯⨯=+．一、选择题1．【答案】C【解析】根据三视图知，该几何体是一个直四棱柱内挖去一个圆锥后剩余的部分，画出直观图如图所示，设四棱柱的体积为1V，圆锥的体积为2V，结合图中数据，得该几何体的体积221214π24π141633V V V=-=⨯-⨯⨯=-，故选C．2．【答案】D培优点十三三视图与体积表面积答案【解析】如图，三棱锥A BCD -即为所求几何体，根据题设条件，知辅助的正方体棱长为2，1CD =，BD =，BC =，2AC =，3AB =，AD =AB ，长度为3．3．【答案】A【解析】由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体， 其中圆柱的高为5，底面圆的半径为3，半球的半径为3， 所以组合体的体积为2314π35π363π23⋅⨯+⨯⨯=，故选A ． 4．【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是高为4的四棱锥，如图所示，记为P ABCD -．易知面积最小的面为左侧面，其面积为1142⨯⨯． 将底面ABCD 补为梯形BCDE ，则底面ABCD 的面积为11(24)221522⨯+⨯-⨯⨯=， 所以面积最小的面与底面的面积的比值为25，故选C ． 5．【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是一个圆柱体和一个球体的四分之一的组合体，则所求的几何体的表面积为22214π1π1π12π127π4⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，故选B ． 6．【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是由底面半径为1，高为4的半圆柱挖去一个半径为1的半球得到的， 则该几何体的表面积2221112π142π142π14π186π222S =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯=+． 故选B ． 7．【答案】C 【解析】所求几何体可看作将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体， 如图中ABCD A B C D ''''-所示，长方体的长、宽、高分别为4，2，3， 两个三棱柱的高为2，底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形， 故该几何体的体积134232321522V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，故选C ． 8．【答案】C【解析】由装饰品的三视图可知，该装饰品是由一个棱长为2的正方体， 切去四个四分之一的圆锥所得的几何体，其中圆锥的底面半径为1，高为2，则该装饰品的表面积为222111224π14224π1161)π424+-⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=+，故选C ． 9．【答案】C【解析】由三视图知，该几何体是由棱长为4的正方体截去一个底面半径为2、高为4的14圆锥和一个底面半径为2、高为4的14圆柱而得到的，所以该几何体的体积3221116π4(π24π24)64433V =-⨯⨯+⨯⨯=-，故选C ． 10．【答案】D 【解析】对于①，由三视图知“阳马”的直观图如图中四棱锥S ABCD -所示，其中SA ⊥平面ABCD ， 所以SA AB ⊥，SA AD ⊥，SA BC ⊥，所以SAB △，SAD △为直角三角形， 结合BC AB ⊥，知BC ⊥平面SAB ，所以BC SB ⊥，故SBC △为直角三角形， 同理可知SCD △为直角三角形，所以“阳马”的四个侧面均为直角三角形，正确；对于②，由三视图及直观图得2SA =，SB ==SD ==连接AC ，则SC ===，所以“阳马”的最长的侧棱长为对于③，由②的侧棱长知，侧面四个直角三角形的斜边均不相等，所以不存在全等的直角三角形，错误； 对于④，考虑将“阳马”补形为一个长、宽、高分别为4、2、2的长方体，易知长方体的外接球即“阳马”的外接球其直径2R =，所以“阳马”的外接球的表面积为224ππ(2)24πR R ==，正确． 综上可知，正确的个数为3，故选D ． 11．【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为正方体中间挖去一个圆柱后所得，且正方体的棱长为4，圆柱的底面半径为1，高为4，设正方体的体积为1V ，圆柱的体积为2V ，所以加工后成品的体积32124π14644πV V V =-=-⨯⨯=-．加工后成品与去除部分的体积比为644π16π4ππ--=．故选C．12．【答案】A【解析】根据三视图，在棱长为3的正方体中还原该几何体的直观图，为如图所示的三棱锥P CNE-，则点B即点N在左视图上对应的点，点A为线段PC上任意一点M在底面CNE上的投影，因为PC上的点M到点N距离的最大值为PN的长，故线段MN长度的最大值为二、填空题13．【答案】π14 -【解析】由已知三视图得到几何体是棱长为1的正方体挖去底面半径为1的14圆柱，正方体的棱长为1，14圆柱的体积为21ππ1144⨯⨯⨯=，所以几何体体积为π14-．14．【答案】8+【解析】由三视图还原几何体如下图所示，可得三棱锥A BCD -，计算可得2BC =，2CD =，BD =，AD =，AB =12222BCD S =⨯⨯=△，122ADC S =⨯⨯=△122ABC S =⨯⨯=△ABD △=162ABD S =⨯=△，则该几何体表面积为268+=+15．【答案】1π36+【解析】，正四棱锥的底面边长为1，高为1，所以其体积为3114111ππ323236⨯⨯+⨯⨯=+．故答案为1π36+．16．【答案】3π【解析】由题意可知几何体的直观图如图：所以几何体的体积为231π43π4⨯⨯⨯=，故选C ．。
2020届高三文科数学精准培优专练：三视图与体积、表面积(附解析)
2020届高三文科数学精准培优专练：三视图与体积、表面积（附解析）一、三视图与体积的结合例1：某几何体的三视图如图所示（图中小正方形网格的边长为1），则该几何体的体积是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2二、三视图与表面积的结合例2：如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两个线段组成，则该几何体的表面积为（ ）A ．17π12+B ．12π12+C ．20π12+D ．16π12+对点增分集训一、选择题1．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A．2π163- B．4π83- C．4π163- D．π16(1)3-2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥中最长棱的长度为（）A．2 B． D．33．古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分（看成一个简单的组合体）的体积为（）A．63π B．72π C．79π D．99π4．某几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面与底面的面积的比值为（）A ．13B ．23 C ．25 D ．455．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（ ）A ．13π2 B ．7π C ．15π2D ．8π 6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积 为（ ）A ．83π+B ．84π+C ．85π+D ．86π+7．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．168．某装饰品的三视图如图所示，则该装饰品的表面积为（ ）A ．16π+B ．161)π-C ．161)π+D ．201)π+ 9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（ ）A ．32π643-B ．648π-C ．16π643-D ．8π643- 10．我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则对该几何体描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为24π．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．311．某工人现欲用车床将一正方体铁块进行加工处理，加工后成品的三视图如图所示．网格纸上小正方形的边长为1，则加工后成品与去除部分几何体的体积比为（）A．32ππ-B．64ππ-C．16ππ-D．48ππ-12．某三棱锥的三视图如图所示，其中小正方形的边长均为1．三棱锥上的点M在俯视图上的对应点为A，点N在左视图上的对应点为B，则线段MN长度的最大值为（）A．．．9 D．6二、填空题13．已知某几何体的三视图如图所示（侧视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的体积为．14．如图是某几何体的三视图，图中方格的单位长度为1，则该几何体的表面积为．15．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为．16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．例1：【答案】B【解析】由三视图可得该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱（如图所示），其中底面直角梯形的上、下底边分别为1，2，高为2，直四棱柱的高为2，所以该几何体的体积为(12)2262+⨯⨯=，故选B．例2：【答案】C【解析】由三视图知，该几何体是一个大半圆柱挖去一个小半圆柱得到的，两个半圆柱的底面半径分别为1和3，高均为3，所以该几何体的表面积为112π332π1322⨯⨯⨯+⨯⨯⨯22112(π3π1)22320π1222+⨯⨯-⨯+⨯⨯=+．一、选择题1．【答案】C【解析】根据三视图知，该几何体是一个直四棱柱内挖去一个圆锥后剩余的部分，画出直观图如图所示，三视图与体积表面积答案设四棱柱的体积为1V ，圆锥的体积为2V ，结合图中数据， 得该几何体的体积221214π24π141633V V V =-=⨯-⨯⨯=-，故选C ． 2．【答案】D【解析】如图，三棱锥A BCD -即为所求几何体，根据题设条件，知辅助的正方体棱长为2，1CD =，BD =，BC =，2AC =，3AB =，AD =AB ，长度为3．3．【答案】A【解析】由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体， 其中圆柱的高为5，底面圆的半径为3，半球的半径为3， 所以组合体的体积为2314π35π363π23⋅⨯+⨯⨯=，故选A ． 4．【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是高为4的四棱锥，如图所示，记为P ABCD -．易知面积最小的面为左侧面，其面积为1142⨯⨯．将底面ABCD 补为梯形BCDE ，则底面ABCD 的面积为11(24)221522⨯+⨯-⨯⨯=， 所以面积最小的面与底面的面积的比值为25，故选C ． 5．【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是一个圆柱体和一个球体的四分之一的组合体， 则所求的几何体的表面积为22214π1π1π12π127π4⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，故选B ．6．【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是由底面半径为1，高为4的半圆柱挖去一个半径为1的半球得到的，则该几何体的表面积2221112π142π142π14π186π222S =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯=+． 故选B ． 7．【答案】C 【解析】所求几何体可看作将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体， 如图中ABCD A B C D ''''-所示，长方体的长、宽、高分别为4，2，3，两个三棱柱的高为2，底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形， 故该几何体的体积134232321522V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，故选C ． 8．【答案】C【解析】由装饰品的三视图可知，该装饰品是由一个棱长为2的正方体，切去四个四分之一的圆锥所得的几何体，其中圆锥的底面半径为1，高为2， 则该装饰品的表面积为222111224π14224π1161)π424+-⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=+，故选C ． 9．【答案】C【解析】由三视图知，该几何体是由棱长为4的正方体截去一个底面半径为2、高为4的14圆锥和一个底面半径为2、高为4的14圆柱而得到的， 所以该几何体的体积3221116π4(π24π24)64433V =-⨯⨯+⨯⨯=-，故选C ． 10．【答案】D【解析】对于①，由三视图知“阳马”的直观图如图中四棱锥S ABCD -所示，其中SA ⊥平面ABCD ，所以SA AB ⊥，SA AD ⊥，SA BC ⊥，所以SAB △，SAD △为直角三角形， 结合BC AB ⊥，知BC ⊥平面SAB ，所以BC SB ⊥，故SBC △为直角三角形， 同理可知SCD △为直角三角形，所以“阳马”的四个侧面均为直角三角形，正确；对于②，由三视图及直观图得2SA =，SB ==SD =连接AC ，则SC ===，所以“阳马”的最长的侧棱长为，正确；对于③，由②的侧棱长知，侧面四个直角三角形的斜边均不相等，所以不存在全等的直角三角形，错误；对于④，考虑将“阳马”补形为一个长、宽、高分别为4、2、2的长方体，易知长方体的外接球即“阳马”的外接球其直径2R =，所以“阳马”的外接球的表面积为224ππ(2)24πR R ==，正确．综上可知，正确的个数为3，故选D ．11．【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为正方体中间挖去一个圆柱后所得，且正方体的棱长为4，圆柱的底面半径为1，高为4，设正方体的体积为1V ，圆柱的体积为2V ，所以加工后成品的体积32124π14644πV V V =-=-⨯⨯=-． 加工后成品与去除部分的体积比为644π16π4ππ--=．故选C ． 12．【答案】A【解析】根据三视图，在棱长为3的正方体中还原该几何体的直观图，为如图所示的三棱锥P CNE -，则点B 即点N 在左视图上对应的点，点A 为线段PC 上任意一点M 在底面CNE 上的投影，因为PC 上的点M 到点N 距离的最大值为PN 的长，故线段MN 长度的最大值为二、填空题13．【答案】π14- 【解析】由已知三视图得到几何体是棱长为1的正方体挖去底面半径为1的14圆柱， 正方体的棱长为1，14圆柱的体积为21ππ1144⨯⨯⨯=，所以几何体体积为π14-．14．【答案】8+【解析】由三视图还原几何体如下图所示，可得三棱锥A BCD -，计算可得2BC =，2CD =，BD =，AD =，AB =12222BCD S =⨯⨯=△，122ADC S =⨯⨯=△122ABC S =⨯⨯=△ABD △=162ABD S =⨯=△，则该几何体表面积为268+=+15．【答案】1π36+【解析】1，高为1，所以其体积为3114111ππ3233⨯⨯+⨯⨯=+．故答案为13+． 16．【答案】3π【解析】由题意可知几何体的直观图如图：所以几何体的体积为231π43π4⨯⨯⨯=，故选C ．。
高考数学 专题十三 三视图与体积、表面积精准培优专练 理-人教版高三全册数学试题
培优点十三 三视图与体积、表面积例1：中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图，应选A ．例2：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点P 是棱CD 上一点，则三棱锥11P A B A -的侧视图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】在长方体1111ABCD A B C D -中，从左侧看三棱锥11P A B A -，一、根据几何体的结构特征确认其三视图1B 、1A 、A 的射影分别是1C 、1D 、D ，1AB 的射影为1C D ，且为实线，1PA 的射影为1PD ，且为虚线．故选D ．例3：如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体 是（）A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱【答案】B【解析】由题三视图得直观图如图所示，为三棱柱．故选B ．例4：若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）二、根据三视图还原几何体的直观图A．B．C．D．【答案】D【解析】由三视图知该几何体的上半部分是一个三棱柱，下半部分是一个四棱柱．故选D．三、已知几何体的三视图中某两个视图，确定另外一种视图例5：如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正视图和俯视图可知，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径知其侧视图应为A．故选A．例6：一个几何体的三视图中，正视图和侧视图如图所示，则俯视图不可以为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A中，该几何体是直三棱柱，所以A有可能；B中，该几何体是直四棱柱，所以B有可能；C中，由题干中正视图的中间为虚线知，C不可能；D中，该几何体是直四棱柱，所以D有可能．综上，故选C．例7：如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）四、根据几何体的三视图计算表面积A ．5π18+B ．6π18+C ．8π6+D ．10π6+【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的，故该几何体的表面积为2211124π12π1232π138π6222⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯=+． 故选C ．例8：如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（）A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π【答案】A【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图． 设球的半径为R ，则3341428πππ3833R R -⨯=，解得2R =． 因此它的表面积为22734ππ17π84R R ⨯+=．故选A ．例9：某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：3cm)是（）A．π12+B．π32+C．3π12+D．3π32+【答案】A【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，∴该几何体的体积21111ππ323221331⨯⨯⨯⨯+=+．故选A．例10：如图所示，已知多面体ABCDEFG中，AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，2AB AD DG===，1AC EF==，则该多面体的体积为________．【答案】4【解析】法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，五、根据几何体的三视图计算体积过点C 作CH DG ⊥于H ，连接EH ，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH ABC -和一个斜三棱柱BEF CHG -．由题意，知三棱柱DEH ABC -的体积11(2221)2DEH V S AD =⨯⨯⨯=⨯=△，三棱柱BEF CHG -的体积21(2221)2BEF V S DE =⨯⨯⨯=⨯=△，故所求多面体ABCDEFG 的体积为12224V V V =+=+=．法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半．又正方体ABHI DEKG -的体积328V '==，故所求多面体ABCDEFG 的体积为118422V V '==⨯=．一、选择题1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的各个面中是直角三角形的个数为（）对点增分集训A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】三视图还原为如图所示三棱锥A BCD -，由正方体的性质得ABC △、BCD △、ACD △为直角三角形，ABD △为正三角形，故选C ．2．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积（）A ．5πB ．6πC ．6π2+D ．5π2+【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为两个半圆柱构成，其表面积为22π1π12π11215π2⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=+，故选D ． 3．已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A ．12πB ．16πC ．32π3D ．403π【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为圆柱挖去其16后的剩余部分，该圆柱的底面半径为2，高为4，故其体积为圆柱体积的56，25540ππ16π663V R h ==⨯=．故选D ．4．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A ．23B ．43C ．83D【答案】C【解析】该三视图还原成直观图后的几何体是如图所示的四棱锥A BCDE -，CBA △和ACD △是两个全等的直角三角形，且2AC CD BC ===，故几何体的体积为1822233⨯⨯⨯=，故选C ．5．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图是一个刍童的三视图， 其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A ．1003B ．1043C ．27D ．18【答案】B【解析】由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2，所以几何体体积1104(436233V =+⨯=．故选B ． 6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各棱中， 最长的棱的长度为（）A ．B ．6C ．D ．4【答案】B【解析】三视图还原成如图所示的几何体，三棱锥S ABC -，则4SB BC ==，SC =AC AB ==6SA =．故选B ．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别为棱CD 、1CC 、11A B 的中点，用过点E 、F 、G 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】过点E ，F ，G 截正方体的平面为如图所示的平面EFKGHI ， 由图知位于截面以下部分的几何体的侧视图为C 选项，故选C ．8．如图所示的网格是由边长为1的小正方形构成，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．40B ．103C ．163D ．803【答案】D【解析】根据几何体三视图可得，该几何体是三棱柱BCE AGF -割去一个三棱锥A BCD -所得的几何体，如图所示，所以其体积为111180444(44)423223V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=．故选D ．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（）A B C ．3π D ．【答案】B【解析】根据几何体的三视图知，该几何体是由一个正方体切去正方体的一角得到的，故该几何体的外接球为正方体的外接球，所以球的半径22r ==，则34π322V ⎛⎫=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭．故选B ．10．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球半径为（）ABCD．【答案】C【解析】由三视图可知三棱锥的直观图如图，由三视图可知底面三角形是边长为2，顶角120︒的三角形，所以其外接圆半径结合正弦定理可得，224sin30r ==︒，由侧面为两等腰直角三角形，可确定出外接圆圆心，利用球的几何性质可确定出球心，且球心到底面的距离1d =，所以球半径R ==，故选C ．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（）A ．6B ．8C ．D ．【答案】B【解析】由三视图可得四棱锥为如图所示的长方体1111ABCD A B C D -中的四棱锥11C DEE D -，其中在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2AD =，13AA =，点E 、1E 分别为AB 、11A B 的中点，由题意得CE DE ==CE DE ⊥，又1CE EE ⊥，所以CE ⊥平面11DEE D ，即线段CE 即为四棱锥11C DEE D -的高，所以四棱锥11C DEE D -的体积1111(3833DEE D V S CE =⋅⋅=⨯⨯⨯=．故选B ．12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（）A ．有最小值32B ．有最大值52C ．为定值3D ．为定值2【答案】D【解析】依题意，设四边形1D FBE 的四个顶点在后面、上面、左面的投影点分别为'D 、F '、B '、E '，则四边形1D FBE 在上面、后面、左面的投影分别如下图， 所以在后面的投影的面积为1111S =⨯=， 在上面的投影面积211S D E DE DE ''=⨯=⨯=， 在左面的投影面积311S B E CE CE ''=⨯=⨯=，所以四边形1D FBE 所围成的图形分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和为123112S S S S DE CE CD =++=++=+=．故选D ．二、填空题13．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积是．【答案】64+【解析】由三视图可知，该几何体的直观图为如图所示的四棱柱，则11111(24)4122ABCD A B C D S S ==⨯+⨯=，11114416BCC B CC D D S S ==⨯=，11428ABB A S =⨯=，114AA D D S =⨯=所以该四棱柱的表面积为2432864S =+++=+14．《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．若某“阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为．【答案】22【解析】由三视图可得该“阳马”的底面是边长为1的正方形，且高为1，故该“阳马”的表面积为1121121221222+⨯⨯⨯+⨯=+15．已知圆锥的高为33体积等于．【答案】32π3【解析】设该圆锥的外接球的半径为R ，依题意得，222()(3)3R R +-=，解得2R =，故所求球的体积334432ππ2π333V R ==⨯=． 16．已知点P 、A 、B 、C 是半径为2的球面上的点，2PA PB PC ===，90ABC ∠=︒，点B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥P ABD -体积的最大值是．33 【解析】设点P 在平面ABC 上的射影为G ，如图， 由2PA PB PC ===，90ABC ∠=︒知，点P 在平面ABC 上的射影G 为ABC △的外心，即AC 的中点， 设球的球心为O ，连接PG ，则O 在PG 的延长线上， 连接OB 、BG ，设PG h =，则2OG h =-，所以2222OB OG PB PG -=-，即22()424h h --=-，解得1h =，则AG CG ==设AD x =，则GD x AG x =-=-BG =所以BD ==12ABD S AD BD ==⋅△令43()f x x =-+，则32()4f x x '=-+，由()0f x '=，得0x =或2x =，易知当2x =时，函数()f x 取得最大值24316，所以max 1()248ABD S =⨯=△．又1PG =，所以三棱锥P ABD -体积的最大值为113=．。
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培优点十三 三视图与体积、表面积1．由三视图求面积例1：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________．【答案】33π【解析】由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥组成， 其表面积为半球面积和圆锥侧面积的和．球的半径为3， ∴半球的面积21143182S =⋅π⋅=π，圆锥的底面半径为3，母线长为5， ∴圆锥的侧面积为23515S rl =π=π⋅⋅=π，∴表面积为1233S S S =+=π．2．由三视图求体积例2：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．4B ．C ．D ．8【答案】D【解析】由于长方体被平面所截，∴很难直接求出几何体的体积，可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体，从而拼成了一个长方体，∵长方体由两个完全一样的几何体拼成，∴所求体积为长方体体积的一半。
从图上可得长方体的底面为正方形， 且边长为2，长方体的高为314+=，∴22416V =⋅=长方体，∴182V V ==长方体，故选D ．一、单选题1．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则俯视图中圆的半径为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，设圆半径为r ， ∴该几何体的表面积2222242216S r r r r r r =⨯⋅+⨯⋅-π⋅+π⋅=+π，得1r =，故选A ． 2．正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点（如图）用过点1B E D 、、的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）对点增分集训A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意可知：过点B 、E 、1D 的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图， 则几何体的左视图为D ，故选D ．3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．236B ．72C ．76D ．4【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体是如图所示的三棱柱11ABB DCC -挖去一个三棱锥E FCG -，故所求几何体的体积为()111232221112326⎛⎫⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选A ．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．)21+πB ．21⎫++π⎪⎪⎝⎭C ．122⎫++π⎪⎪⎝⎭D ．12⎫+π⎪⎪⎝⎭【答案】C【解析】由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为1r =，圆锥的高2h =，其母线长l ==21111112222222S ⎫=⨯π⨯+⨯π⨯⨯⨯=+π⎪⎪⎝⎭，本题选择C 选项． 5．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥．．．．．．的外接球的表面积等于（ ）A ．34πB ．32πC ．17πD ．172π 【答案】A【解析】由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形， 高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示，截去的是一个三棱锥，底面是边长为3，4，5的直角三角形，高为3的棱锥， 如图蓝色线条的图像是该棱锥，三棱锥上底面外接圆半径52圆心设为M 半径为r ，球心到底面距离为32，设球心为O ， 由勾股定理得到2222253342224h R r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2434S R =π=π，故选A ．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．16πC ．36πD ．72π【答案】C【解析】还原几何体如图所示三棱锥由1B BCD -（如下左图），将此三棱锥补形为直三棱柱111B C D BCD -（如上右图），在直三棱柱111B C D BCD -中取1BC B C 、的中点12O O 、，取12O O 中点O ，3R ===，2244336S R =π=⨯=π表，故答案为C ．7．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．6+B ．8+C ．6+D ．8+【答案】B【解析】根据三视图，画出原空间结构图如下图所示：∴表面积为111111111111DA D DA B DB C DC D A B C D S S S S S S =++++11112222222282222=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=+，∴故选B ． 8．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A ．174π B ．214π C ．4π D ．5π【答案】B【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体1111ABCD A B C D -的四个顶点，即为三棱锥11A CB D -，且长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为2，a ，b ，∴此三棱锥的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，且球半径为R ==，∴三棱锥外接球表面积为()()22222144514a b a ππ=π++=π-+⎝⎭， ∴当且仅当1a =，12b =时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为214π．故选B ． 9．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA AB =，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．12 B ．13C ．14 D ．15【答案】B【解析】由三视图知，剩余部分的几何体是四棱锥P ABCD -被平面QBD 截去三棱锥Q BCD -（Q 为PC 中点）后的部分，连接AC 交BD 于O ，连楼OQ ，则OQ PA ∥，且12OQ PA =，设PA AB a ==，则313P ABCD V a -=，23111132212Q BCD V a a a -=⨯⨯=， 剩余部分的体积为：3311312a a -，则所求的体积比值为：3331112113312aa a =-．本题选择B 选项．10．如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A ．15B ．16C ．503D ．533【答案】C【解析】由题得几何体原图是下图中的四棱锥A BCDE -，底面四边形BCDE 的面积为114442221022⨯-⨯⨯-⨯⨯=，∴四棱锥的体积为15010533⨯⨯=，故答案为C ．11．某几何体的三视图如图（虚线刻画的小正方形边长为1）所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．94B C ．12D ．83【答案】D【解析】几何体为如图多面体PABCDE ，∴体积为()11118221222132323D PABE A BCD V V --+=⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯=，故选D ．12．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．203B ．7C ．223D ．233【答案】B【解析】如图所示，该几何体为正方体去掉两个倒置的三棱锥，∴该多面体的体积为32111121212273232V =-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=；故选B ．二、填空题13．网格纸上小正方形的边长为1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为__________．【答案】12【解析】根据三视图知长方体挖去部分是一个底面为等腰梯形（上底为2，下底为4，高为2）高为2的直四棱柱，∴()12422122V Sh ==+⨯⨯=． 14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为_______与_______．【答案】404+π，4163π+ 【解析】由三视图可知，其对应的几何体是一个组合体，上半部分是一个直径为2的球，下半部分是一个直棱柱，棱柱的底面是边长为2的正方形，高为4，则该几何体的表面积224122424404S =π⨯+⨯+⨯⨯=+π， 几何体的体积：32441241633V =π⨯+⨯=+π． 15．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_________．【答案】1【解析】根据题中所给的三视图，还原几何体，可知其为有一条侧棱垂直于底面的一个四棱锥，该四棱锥的底面就是其俯视图中的直角梯形，根据图中所给的数据，结合椎体的体积公式， 可得其体积11212132V +=⨯⨯⨯=，故答案是1． 16．已知某几何体的三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的体积为__________．【解析】由三视图知，该几何体由正方体沿面11AB D 与面11CB D 截去两个角所得，。