【恒心】2015届山西省朔州市怀仁县第一中学高三一轮复习摸底考试数学(文科)试题及参考答案
《含高考13套》山西省朔州市怀仁一中2020-2021学年高三一轮摸底数学试题含解析
山西省朔州市怀仁一中2020-2021学年高三一轮摸底数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（ ） A ．17种B ．27种C ．37种D ．47种3．点(,)P x y 为不等式组+4x y y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域上的动点，则+22-y x 的取值范围是（ ）A ．()(),21,-∞-⋃+∞B ．(][),11,-∞-+∞ C ．()2,1- D ．[]2,1-4．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，5PA =E 为PC的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ） A ．13B 13C ．15D 15 5．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）A ．30i >?B ．40i >?C ．50i >?D ．60i >?6．已知平面向量()4,2a →=，(),3b x →=，//a b →→，则实数x 的值等于（ ） A ．6B ．1C ．32D ．32-7．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）． A ．0 B ．1C ．2D ．38．复数12i2i+=-（ ）． A ．iB ．1i +C ．i -D ．1i -9．已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则 A ．{|02}A B x x ⋂=<< B ．{|2}A B x x ⋂=< C ．{|2}A B x x ⋃=< D ．{|12}AB x x =-<<10．已知数列1a ，21a a ，32a a ，…，1n n a a -是首项为8，公比为12得等比数列，则3a 等于（ ）A ．64B ．32C ．2D ．411．已知复数z 满足(1)43z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为（ ） A 5B ．522C ．52D ．5412．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e xf x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，5)c f =的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年山西省朔州市怀仁一中高考数学三模试卷+答案解析(附后)
2023年山西省朔州市怀仁一中高考数学三模试卷1. 已知复数z满足，则( )A. B. C. D.2. 集合，，则中的元素个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知双曲线C：的焦距为，且实轴长为2，则双曲线C 的渐近线方程为( )A. B. C. D.4. 已知为锐角，且，则( )A. B. C. D.5. 共有5名同学参加演讲比赛，在安排出场顺序时，甲、乙排在一起，且丙与甲、乙都不相邻的概率为( )A. B. C. D.6. 已知某圆台的高为，上底面半径为，下底面半径为，则其侧面展开图的面积为( )A. B. C. D.7. 已知，，，则( )A. B. C. D.8. 在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，点B在y轴上，，点C满足，则点C到点的距离的最大值为( )A. 3B.C. 4D. 59. 已知等差数列的前n项和为，公差为d，则( )A.B.C.D.10. 在某独立重复实验中，事件A，B相互胜立，且在一次实验中，事件A发生的概率为p，事件B发生的概率为，其中若进行x次实验，记事件A发生的次数为X，事件B发生的次数为Y，事件AB发生的次数为Z，则下列说法正确的是( )A. B.C. D.11. 已知三棱锥外接球的球心为O，外接球的半径为4，，，为正数，则下列命题是真命题的是( )A. 若，则三棱锥的体积的最大值为B. 若P，O，A不共线，则平面平面ABCC. 存在唯一点P，使得平面ABCD. m的最大值为12. 已知函数，若函数的图象在区间上的最高点和最低点共有6个，下列说法正确的是( )A. 在上有且仅有5个零点B. 在上有且仅有3个极大值点C. 的取值范围是D. 的取值范围是13. 已知向，，若，则实数______.14. 已知奇函数在上单调递增，在上单调递减，且有且仅有一个零点，则的函数解析式可以是______.15. 已知抛物线与抛物线在第一象限内的交点为，若点P在圆C：上，且直线OP与圆C相切，则__________.16. 在处理多元不等式的最值时，我们常用构造切线的方法来求解．例如：曲线在处的切线方程为，且，若已知，则，取等条件为，所以的最小值为已知函数，若数列满足，且，则数列的前10项和的最大值为______；若数列满足，且，则数列的前100项和的最小值为______. 17. 已知数列中，，记，证明：数列为等比数列；求数列的通项公式；记，求数列的前n项和18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足求角C的大小；如图，若，E为BC的中点，的面积为，的周长为6，求AB边的长度．19. 通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检.单检是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本.混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等.调查研究显示，在群体总阳性率较低低于时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本.根据流行病学调查结果显示，某城市每位居民感染新冠病毒的概率为若对该城市全体居民进行一轮核酸检测，记每一组n位居民采用“n合1”混检方式共需检测X次.求随机变量X的分布列和数学期望；已知当时，若，采用“n合1”混检时，请估计当n为何值时，这一轮核酸检测中每位居民检测的次数最少？20.如图，在三棱柱中，平面平面ABC，四边形是边长为2的菱形，为等边三角形，，E为BC的中点，D为的中点，P 为线段AC上的动点，平面请确定点P在线段AC上的位置；求平面PDE和平面所成二面角的正弦值.21. 已知椭圆的短轴长为，且点在椭圆上.求椭圆C的标准方程；椭圆C的左、右顶点分别为A、B，点P、Q是椭圆C上异于A、B的不同两点，直线BP 的斜率为，直线AQ的斜率为2k，求证：直线PQ过定点.22. 已知函数若曲线在点处的切线l过点，求实数a的值；当时，若函数有且仅有3个零点，求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查共轭复数的概念，复数模公式，属于基础题．根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数模公式，即可求解．【解答】解：设，a，，则，，，，解得，，故选2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了集合表示方法的理解与应用，集合交集定义的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．利用集合交集的定义，列出，，求出n的值即可得到答案．【解答】解：因为集合，，则，，解得，2，所以中的元素个数为2个．故选：3.【答案】B【解析】【分析】由双曲线的截距和实轴长可得c，a的值，再由a，b，c之间的关系可得b的值，进而求出焦点在x轴的双曲线的渐近线的方程．本题考查双曲线的性质的简单应用，属于基础题．【解答】解：由焦距可知，再由实轴长2可知，所以，即，所以焦点在x轴上的双曲线的渐近线的方程为，故选：4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，属于基础题．由题意，利用两角和差的三角公式，计算求得的值．【解答】解：为锐角，且，即，即，则故选5.【答案】B【解析】【分析】甲乙相邻使用捆绑法，丙与甲乙不相邻使用插空法，即可解出．本题考查了概率的计算，学生的数学运算能力，属于基础题．【解答】解：5人参加比赛出场顺序总的方法有：种；将甲乙捆绑，丙进行插空，总的方法有：种，故甲、乙排在一起，且丙与甲、乙都不相邻的概率，故选：6.【答案】D【解析】解：易知母线长为，且上底面圆周为，下底面圆周为，易知展开图为圆环的一部分，圆环所在的小圆半径为3，则大圆半径为6，所以面积故选：可得展开图为圆环的一部分，求出小圆和大圆半径即可求出．本题考查了圆台的特征，侧面展开图面积的计算，属于基础题．7.【答案】C【解析】【分析】构造函数，判断函数的奇偶性及单调性，再利用三角函数比较三个数的大小，结合单调性判断即可．本题综合考查了导数的综合应用、三角函数，奇偶性等，属于中档题．【解答】解：令，则，故为偶函数，，当时，，故在上是增函数，而，，，，，即，故选：8.【答案】C【解析】解：如图所示，因为点A在x轴上，点B在y轴上，，点C满足，所以点C在以AB为直径的圆上，设AB的中点为，则，所以，所以，所以，即点C到点P的距离的最大值为故选：根据题意画出图形，结合图形得出点C在以AB为直径的圆上，由此求出点C到点P距离的最大值．本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了数形结合思想与运算求解能力，是中档题．9.【答案】ABD【解析】解：当时，得，解得，A正确，，所以时，，，B正确；，，C错误；，，D正确．故选：由已知结合等差数列的通项公式及求和公式分别检验各选项即可判断．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题．10.【答案】BC【解析】解：因为，，即A错误；因为，，即B正确；因为A，B独立，所以，所以，即C正确；因为，，即D错误．故选：利用独立事件的乘法公式和二项分布的期望和方差公式进行判断即可．本题考查了独立事件的乘法公式和二项分布的期望和方差公式，属于基础题．11.【答案】AB【解析】【分析】本题主要考查锥体体积的最值，面面垂直的判定，线面垂直的判定，立体几何中的最值与范围问题等知识，属于中等题．由可求得球心O到平面ABC的距离，由此可得三棱锥高的最大值，由棱锥体积公式可知A正确；设BC的中点为H，可证得平面PHA，由外接球性质可知平面PHA，由面面垂直判定可知B正确；设直线OP与球的另一交点为，可知平面ABC，知C错误；由O，A，B，C四点共面可求得，由此可得BC，知D错误．【解答】解：对于A，若，则，，则外接圆的半径，球心O到平面ABC的距离，三棱锥高的最大值为，体积的最大值为，A正确；对于B，设BC的中点为H，连接OB，OC，OH，PH，AH，则，，，又，，PH，平面PHA，PH，平面PHO，平面PHA，平面PHO，又平面平面，，O，H，A四点共面，平面POA，又平面ABC，平面平面ABC，B正确；对于C，设直线OP与球的另一交点为，若平面ABC，则平面ABC，C错误；对于D，当m最大时，O，A，B，C四点共面，，，，D错误．故答案选：12.【答案】BC【解析】【分析】本题考查了三角函数的图象和性质，考查了运算求解能力，属于中档题．先根据辅助角公式化简，再结合图象和函数的图象在区间上的最高点和最低点共有6个，即可判断各选项．【解答】解：，由，，则，函数的图象在区间上的最高点和最低点共有6个，，解得，的取值范围是函数的图象在区间上的最高点和最低点共有6个，在上有5个零点或6个零点，只有3个极大值．故选：13.【答案】【解析】解：，，且，故答案为：根据即可得出，再根据即可求出k的值．本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量数量积的坐标表示，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】答案不唯一【解析】解：因为奇函数在上单调递增，在上单调递减，由奇函数性质可得，又有且仅有一个零点，则，时，，故满足条件的答案不唯一故答案为：答案不唯一由已知结合奇函数性质可得，由有且仅有一个零点得，时，，结合基本初等函数性质可求．本题主要考查了奇函数的性质的应用，解题的关键是灵活利用函数性质，属于基础题．15.【答案】【解析】【分析】由点P在圆C上，得到，而点P也在两抛物线上，代入抛物线方程可得，当OP与圆相切时，可得，由此能求出结果．本题考查抛物线、圆、直线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．【解答】解：点P在圆C：上，，抛物线与抛物线在第一象限内的交点为，，，，当OP与圆相切时，，，，故答案为：16.【答案】70 540【解析】解：，则，，曲线在处的切线方程为，当时，可知，，则，当且仅当时，等号成立；曲线在处的切线为，，则令此切线过原点，解得或，曲线在处的切线方程为，且，，当且仅当或时，等号成立，取，，即的前100项中有60项为3，40项为0时，等号成立．故答案为：70，求出原函数的导函数，得到函数在处的切线方程为，由时，，可得，分别取，2，，10，即可求得数列的前10项和的最大值；求出曲线在处的切线方程，由，则令此切线过原点，解得或，可得曲线在处的切线方程为，且，取x分别为，，，，即可得到数列的前100项和的最小值．本题是新定义题，考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查分析问题与解决问题的能力，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：证明：，，故数列是公比为2的等比数列；，，，；，【解析】由已知可推出，即可得出证明；求出，写出的通项公式，即可得出；将的表达式代入，裂项可推得，然后求和即可得出答案．本题考查等比数列的性质和裂项相消法求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：由余弦定理有，可得，可得，可得：，有，又由，可得设，，由的面积为，有，可得，由余弦定理有，由的周长为6，有，解得，联立方程，解得，又由，E为BC的中点，可得，，由余弦定理可得【解析】由余弦定理化简已知等式，可求的值，结合范围，可得C的值．设，，利用三角形的面积公式可求mn的值，利用余弦定理可求的值，联立即可求解m，n的值，又由，E为BC的中点，可得，，根据余弦定理即可求解AB的值．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】解：的取值为1和，，，随机变量X的分布列为：X1P可得；由可知每位居民检测的次数约为，又由，当且仅当，即时等号成立．故当时，采用“100合1”，这一轮核酸检测中每位居民检测的次数最少．【解析】根据题干条件分情况和求概率，写出分布列计算数学期望即可；由的数学期望得出每位居民检测的次数，再应用基本不等式求出核酸检测中每位居民检测的最少次数，取等条件可求本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：如图1，连接与DE相交于F，连接PF，连接与交于点平面PDE，平面平面，平面，，，，，，，，，点P是线段AC上靠近点C的四等分点．如图2，取AB的中点O，连接OC，，四边形为边长为2的菱形，，，为等边三角形．，为等边三角形，平面平面ABC，平面平面，，平面，平面为等边三角形，，，可得OB，OC，两两垂直．建立如图所示的空间直角坐标系，可得，，，，，，，，，，设平面PDE的法向量为，由，，则，即，可得设平面的法向量为，由，，则，即，可得所以，，，所以，所以平面PDE和平面所成二面角的正弦值为【解析】根据线面平行的性质定理可推出由已知可推得，得出，得到然后根据，即可得出；先证明，然后根据面面垂直的性质推得平面以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标．然后求出平面PDE和平面的法向量，根据法向量求出二面角的余弦值，进而即可求出正弦值．本题考查空间中线线，线面间的位置关系，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．21.【答案】解：由题意有，解得，故椭圆C的标准方程为；证明：设点P、Q的坐标分别为，，由知，点A的坐标为，点B的坐标为，直线BP的方程为，联立方程，消去y后整理为，有，可得，直线AQ的斜率为，联立方程，消去y后整理为，有，可得当时，解得，直线PQ的方程为，过点，当时，，即，所以P，M，Q三点共线，故直线PQ过定点【解析】根据题意得，解方程即可得答案；设点P、Q的坐标分别为，，根据题意得直线BP的方程为，直线AQ的方程为，进而联立方程得再讨论当时得直线PQ过点，当时，三点共线，即直线PQ过定点本题考查了直线与椭圆的综合应用，属于中档题．22.【答案】解：函数的导数为，可得，，则曲线在点处的切线l的方程为，又切线过点，可得，解得；由的导数，当时，，有，，递增；当时，令，，可得为增函数，又，，存在，，即，可得当时，，；当时，，，所以在，递增，在递减，再令，，递增，，又，所以，有，由，故在有且只有一个零点，由题意可得有三个零点，必有，令，，为减函数，由，当，时，，当且时，，，，所以当时，若有三个零点，则a的取值范围是【解析】求得的导数，可得切线的斜率和切点，求得切线的方程，代入，解方程可得a的值；求得的导数，判断时，递增，且有一个负的零点；讨论时，运用函数零点存在定理和构造函数，求得导数和单调性，计算可得所求范围．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、最值，以及函数零点个数问题解法，考查构造函数法、方程思想和化简运算能力、推理能力，是一道难题．。
【百强校】2015-2016学年山西省怀仁一中高二下期末文科数学试卷(带解析)
绝密★启用前【百强校】2015-2016学年山西省怀仁一中高二下期末文科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：139分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，若，则．类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第个面的面积记为，此三棱锥内任一点到第个面的距离记为，若，则（）A． B． C． D．2、已知，在区间上任取三个数，均存在以为边长的三角形，则的取值范围是（）A． B． C． D．3、若直线与的图象有三个不同的交点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．4、不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．5、如果实数满足，则的最小值是（）A．4 B．6 C．8 D．106、在平面上，若两个正三角形的边长的比是1:2，则它们的面积比为1:4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比是1:2，则它们的体积比为（）A．1:4 B．1:8 C．1:2 D．1:37、用反证法证明命题：“三角形的内角至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度8、下列使用类比推理所得结论正确的是（）A．直线，若，则．类推出：向量，若，则B．同一平面内，直线，若，则．类推出：空间中，直线，若，则．C．实数，若方程有实根，则．类推出：复数，若方程有实数根，则．D．以点为圆心，为半径的圆的方程是．类推出：以点为球心，为半径的球的方程是．9、某医疗所为了检查新开发的流感疫苗对甲型H1N1流感的预防作用，把1000名注射疫苗的人与另外1000名未注射疫苗的人半年的感冒记录比较，提出假设“这种疫苗不能起到预防甲型H1N1流感的作用”，并计算，则下列说法正确的是（）A．这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的有效率为1%B．若某人未使用疫苗则他在半年中有99%的可能性得甲型H1N1C．有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”D．有1%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”10、设某大学的女生体重（单位：kg ）与身高（单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是（ ）A ．与具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg11、设是虚数单位，若复数，则（ ）A ．B ．C ．3D ．512、在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为（） A ．B ．2C ．D ．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、将全体正整数排成一个三角形数阵按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为 ．14、关于不等式的解集是 ．15、在极坐标系中，点到直线的距离为 ．16、某单位为了了解用电量（千瓦时）与气温（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表： 由表中数据得到线性回归方程中，预测当气温为-4℃时，用电量的度数约为 ．三、解答题（题型注释）17、已知函数．（1）求的单调区间及最小值；（2）若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围．18、已知函数．（1）计算及的值；（2）由（1）的结果猜想一个普遍的结论，并加以证明；（3）求值：．19、某大学餐饮中心为了了解新生的习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查调查结果如下表所示： （1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率. 参考数据：（参考公式：，其中）20、在直角坐标系中，已知曲线的方程为，以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．（1）将曲线上的所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线，试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；（2）设为曲线上任意一点，求点到直线的最大距离．21、已知函数．（1）解不等式；（2）若存在实数使得，求实数的取值范围22、“奶茶妹妹”对某段时间的奶茶销售量及其价格进行调查，统计出售价元和销售量杯之间的一组数据如下表所示： 销售量通过分析，发现销售量对奶茶的价格具有线性相关关系． （1）求销售量对奶茶的价格的回归直线方程；（2）欲使销售量为13杯，则价格应定为多少？ 注：在回归直线中，．参考答案1、D2、B3、A4、C5、C6、B7、B8、D9、C10、D11、B12、C13、14、15、16、17、（1）单调增区间为，单调减区间为，最小值为；（2）.18、（1）；（2），证明见解析；（3）.19、（1）有%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）.20、（1），；（2）.21、（1）；（2）.22、（1）；（2）.【解析】1、试题分析：由题设中提供的信息及类比推理的思维模式可知答案D是正确的，应选D.考点：推理和证明的方式和方法．【易错点晴】类比推理与归纳推理是高中数学的重要内容之一，也是高中数学中的难点内容，属于合情推理的范畴.由于这部分内容涉及到的内容较为广泛广泛，知识点较多所以解答这类问题除了要扎实掌握合情推理和逻辑推理的基本方式和方法外还要掌握和运用整个高中学段的数学知识.解答本题的关键是学会类比推理的格式和内容，本题中涉及到是面积与体积的关系，所以很容易获得答案D.2、试题分析：因，故当，函数单调递减；当，函数单调递增，所以.由于问题等价于满足:，即，应选B.考点：导数及运用．【易错点晴】导数是研究和解决函数问题的重要工具之一，也是高中数学中的重要知识点和考点.本题以三个函数值能构成三角形为背景，设置了求函数解析式中参数的取值范围问题.解答时充分运用题设中提供的信息，先运用导数求出了函数的最大值和最小值，再将问题进行合理转化，通过解不等式使问题获解.3、试题分析：因，故函数在处取极大值，在取极小值，故结合函数的图象可知当，两函数与的图象有三个交点，应选A.考点：导数在研究函数的零点中的运用．4、试题分析：因的最大值为，故，解之得，所以应选C.考点：绝对值不等式恒成立的问题及处理方法．5、试题分析：因，故，所以应选C.考点：基本不等式及运用．6、试题分析：借助类比推理及平面与空间的数量之间的关系可推知其体积之比是，所以应选B.考点：类比推理．7、试题分析：有反证法的证明命题的格式和语言可知答案B是正确的，所以应选B.考点：反证法的证明步骤和格式．8、试题分析：依据类比推理的思维模式可知答案D是使用类比推理所得正确结论的，所以应选D.考点：推理及类比推理的运用．9、试题分析：根据线性回归和线性相关系数的知识可知答案A，B，D都是错误的，应选C.考点：线性相关系数的知识及运用．10、试题分析：由线性回归与线性相关的知识可知A ，B ，C 都是正确的，所以应选D. 考点：线性回归和线性相关系数的运用．11、试题分析：因，故，所以应选B.考点：复数的运算及模的计算．12、试题分析：将极坐标化为直角坐标可得和，圆心到直线的距离，故，所以应选C.考点：极坐标方程与直角坐标之间的互化．【易错点晴】极坐标和参数方程是高中数学选修内容中的核心内容，也是高考必考的重要考点.解答这类问题时，一定要扎实掌握极坐标与之交坐标之间的关系，并学会运用这一关系进行等价转换.本题在解答时充分利用题设条件，运用将极坐标方程转化为直角坐标方程，最后通过直角坐标中的运算公式求出弦长，从而使问题巧妙获解.13、试题分析：由于第行的最后一个数是，因此第行的第三个数是.考点：归纳推理及数列的求和方法等知识．【易错点晴】推理证明是高中数学的重要内容之一，也是高中数学中的难点内容.由于这部分内容涉及到的内容较为广泛，知识点较多所以解答这类问题除了要扎实掌握合情推理和逻辑推理的基本方式和方法外还要掌握和运用整个高中学段的数学知识.解答本题的关键是怎样观察出这个数表中每行的最后一个数是规律和构成:依据归纳推理的思维方式得到第行的最后一个数是从而找到解答本题的突破口.14、试题分析：当，即时，原不等式可化为，则；当，即时，原不等式可化为，则，故原不等式的解集是.考点：绝对值不等式的解法．15、试题分析：将点和直线的极坐标形式化为直角坐标可得和，由点到直线的距离公式可得，所以应填. 考点：极坐标和直角坐标的互化．16、试题分析：因，将，代入，可得，所以当代人可得.考点：线性回归方程及运用．【易错点晴】线性回归方程是高中数学的统计中的内容之一，也是高中数学中的重要知识点，属于统计学中工具的范畴.由于这个知识点在日常生活与实际运用中的价值性，因此这部分内容常常涉及到的内容都是较为广泛.如本题的解答中要求先建立符合题设条件的线性回归方程，再运用这个线性回归方程求出当时用电量的度数，使得实际问题得以获解.17、试题分析：（1）借助题设运用导数求解；（2）借助题设条件构造函数运用导数的知识求解.试题解析:（1）当时，，是减函数当时，，是增函数的最小值为所以的单调增区间为，单调减区间为，最小值为0（2）构造函数，则因为，所以的符号就是的符号设，因为，所以①当时，，在上为增函数，而，所以，即，所以在上为增函数，而，所以，故合乎题意②当时，由，得，在区间内，，是减函数所以在区间内，小于0，所以，在上为减函数，，故不合题意，综上所述，所求的实数的取值范围为考点：导数在研究函数的单调性和极值中的综合运用．【易错点晴】函数是高中数学的核心内容，也是高考必考的重要考点.运用导数这一工具研究函数的单调性和极值最值等问题是高考的基本题型.解答这类问题时，一定要先求导，再对求导后的导函数的解析式进行变形（因式分解或配方），其目的是搞清求导后所得到的导函数的值的符号，以便确定其单调性，这是解答这类问题容易忽视的.本题第二问的求解过程则先构造函数，再借助导数运用分析转化的思维方式进行求解，最后求出实数的取值范围.18、试题分析：（1）借助题设直接求解；（2）借助题设条件和已知简捷求解;（3）依据题设和结论规律巧妙求解.试题解析:（1）解得（2）猜想，证明如下：，则（3），且，即考点：函数的求值的整体思维法及有关知识的运用．19、试题分析：（1）借助题设运用卡方系数进行推断；（2）借助题设条件和列举法进行求解. 试题解析:（1）将列联表中数据代入公式计算得由于，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”（2）从5名数学系的学生任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间其中表示喜欢甜品的学生，．表示不喜欢甜品的学生，．由10个基本事件组成，切这些基本事件出现是等可能的．用表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则．事件由7个基本事件组成．因而．考点：线性相关系数及运用列举法求古典概型的概率．20、试题分析：（1）借助直角坐标和极坐标的互化求解；（2）借助题设条件和椭圆的参数方程，运用点到直线的距离公式求解. 试题解析:（1）由题意知，直线的直角坐标方程为：由于曲线的直角坐标方程为：即所以曲线的参数方程为：（为参数） （2）设点的坐标为，则点到直线的距离为所以当时，考点：参数方程和极坐标方程等有关知识的运用．【易错点晴】极坐标和参数方程是高中数学选修内容中的核心内容，也是高考必考的重要考点.解答这类问题时，一定要扎实掌握极坐标与之交坐标之间的关系，并学会运用这一关系进行等价转换.关于参数方程问题求解时，要学会消参、用参、设置参数等几个方面的运用.如本题在解答时充分利用题设条件，运用参数方程与直角坐标、极坐标之间的相互转化，从而使问题巧妙获解.特别是第二问中求点到直线的最大值时，巧妙运用曲线的参数方程和点到直线的距离公式，将问题合理转化，进而获解.21、试题分析：（1）借助题设分类建立不等式组求解；（2）借助题设条件和分类整合思想求解. 试题解析:（1） 或或解得或，解集为（2），，所以只需满足考点：绝对值函数和不等式等关知识及运用．22、试题分析：（1）由已知可得回归直线方程为：；（2）令.试题解析：（1）, 故回归直线方程为：. （2）令，. 答：商品的价格定为元.考点：线性回归方程.。
2021-2022学年山西省朔州市怀仁一中高三(上)期末数学试卷(文科)(含解析)
2021-2022学年山西省朔州市怀仁一中高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合*{|24}x A x N =∈<，{|12}B x N x =∈-<<，则(A B = )A ．{|12}x x -<<B ．{|2}x x <C ．{0，1}D ．{1}2．（5分）若21()2z =-+，则z 的虚部为( )A ．12-B ．12C D ．3．（5分）命题P ：若αsin 10αα-+<；命题:Q x R ∃∈，210mx mx -+是假命题，则实数m 的取值范围是04m <<．下列命题为真命题的是( ) A ．()P Q ∧⌝B ．P Q ∧C ．()P Q ⌝∧D ．()()P Q ⌝∧⌝4．（5分）已知O 是ABC ∆内一点，满足21()32AO AB BC =+，则:(ABC OBC S S ∆∆= )A ．3:1B ．1:3C ．2:1D ．1:25．（5分）已知Rt ABC ∆中，,26B AC π∠==，在ABC ∆内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点C 的距离不小于1的概率为( )A B C ．1D ．16．（5分）已知()f x lgx =，则曲线()y f x =与sin y x π=交点个数为( ) A ．6B ．7C ．8D ．97．（5分）已知sin()6πα+=2cos(2)(3πα-= )A B ．C ．79 D ．79-8．（5分）祖暅（公元5—6世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容易．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图将底面直径皆为2b ，高皆为a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，用平行于平面β且与β距离为d 的平面截两个几何体得到S 圆及S 环两截面，可以证明S S =圆环总成立．据此，短轴AB 长为3cm ，长半轴CD 为2cm 的椭半球体的体积是( )A ．33cm πB ．36cm πC ．348cm πD ．396cm π9．（5分）已知3log 5a =，2log 3b =，4log 5c =，则( ) A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c b a >>10．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，坐标原点为O ，左、右顶点分别为A ，B ，双曲线上一点D 且DF x ⊥轴，连接AD 交y 轴于C ，连接CB 交直线DF 于E ，1233BF BD BE =+，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．3C ．4D ．511．（5分）已知数列{}n a ，n S 为{}n a 的前n 项和，其中11010a =-，13,1,n n na n a a n ++⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，则2021(S = ) A ．2019B ．2020C ．2021D ．202212．（5分）已知正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点都在表面积为12π的球上，点E 是线段1AC 上一动点，1//EF AB 交11B C 于F 点，12AG GB =EF λ+，则实数λ的最大值为( ) AB．C ．2D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）某工厂为研究某种产品的产量x （吨)与所需某种原材料y （吨)的相关性，在生产过程中收集了对应数据如表所示：根据表中数据，得出y 关于x 的回归直线方程为ˆˆ0.6yx a =+．据此计算出在样本(4,3)处的残差为0.15-，则表中m 的值为 .（注：残差是实际观察值与估计值之间的差，ˆˆˆ)y bt a =+ 14．（5分）已知抛物线2:40C x my +=恰好经过圆22:(1)(2)1M x y -+-=的圆心，则抛物线C 的焦点坐标为 ．15．（5分）已知数列{}n a ，n S 为{}n a 的前n 项和，121n n S a +=+，132a =，则n a = ． 16．（5分）若1()x f x e a -=-与()g x lnx b =-有公共零点，则a b -的取值范围是 ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，(2,cos )m b c C =+，(,cos )n a A =-，且//m n ，a =（1）求A 角大小；（2）D 为BC 边上一点，1AD =，且 ______，求ABC ∆的面积．（从①AD 为BAC ∠的平分线，②D 为BC 的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线并作答．如果都选，以选①计分．)18．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ⊥底面ABC ，O 为AC 的中点，且11AC AB BC ===== （1）求证：1A O ⊥平面ABC ； （2）求点1B 到平面11A BC 的距离．19．（12分）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]分组，绘制频率分布直方图如图所示．试验发现小白鼠体内产生抗体的共有150只，其中该项指标值小于130的有110只．（1）求该指标值的平均数x （同一组数据取该区间中点值）和中位数（中位数结果精确到0.01)；（2）填写下面的22⨯列联表，并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值小于130有关．参考公式：2()()()()K a b c d a c b d =++++．（其中n a b c d =+++为样本容量）参考数据：20)k0.5000.45520．（12分）已知定圆22:(1)16A x y ++=，动圆M 过点(1,0)B ，且和圆A 相切． （1）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；（2）若过点B 的直线l 交轨迹E 于P ，Q 两点，与y 轴于点N ，且NP PB λ=，NQ QB μ=，当直线l 的倾斜角变化时，探求λμ+的值是否为定值？若是，求出λμ+的值；否则，请说明理由．21．（12分）已知函数31()4f x x ax =++，()1g x x lnx =--． （1）若过点(1,0)可作()f x 的两条切线，求a 的值；（2）用{min m ，}n 表示m ，n 中的最小值，设函数(){()h x min f x =，()}(01)g x x <<，讨论()h x 零点的个数．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，(t 为参数），以坐标原点O 极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标系方程为2222sin 6ρρθ+=．（1）求曲线1C 的普通方程，并求2C 的直角坐标方程；（2）曲线1C 与x 轴交于点M ，1C 与2C 交于A ，B 两点，若2AM MB =，求tan α的值． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知2()|||21|f x x a a x =-+--． （1）当3a =时，求不等式()5f x 的解集； （2）若()f x a ，求a 的取值范围．2021-2022学年山西省朔州市怀仁一中高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合*{|24}x A x N =∈<，{|12}B x N x =∈-<<，则(A B = )A ．{|12}x x -<<B ．{|2}x x <C ．{0，1}D ．{1}【考点】并集及其运算【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算 【分析】求出集合A ，B ，利用并集定义能求出AB ．【解答】解：集合*{|24}{*|2}{1}x A x N x N x =∈<=∈<=， {|12}{0B x N x =∈-<<=，1}，则{0A B =，1}．故选：C ．【点评】本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）若21()2z =-+，则z 的虚部为( )A ．12-B ．12C D ． 【考点】复数的运算【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算【分析】根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．【解答】解：21131()2442z =-=-=-，z ∴的虚部为． 故选：D ．【点评】本题考查了复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3．（5分）命题P ：若αsin 10αα-+<；命题:Q x R ∃∈，210mx mx -+是假命题，则实数m 的取值范围是04m <<．下列命题为真命题的是( ) A ．()P Q ∧⌝B ．P Q ∧C ．()P Q ⌝∧D ．()()P Q ⌝∧⌝【考点】命题的真假判断与应用【专题】计算题；方程思想；综合法；简易逻辑；数学运算；转化思想【分析】根据题意，分析命题p 和q 的真假，进而由复合命题真假的判断方法分析可得答案． 【解答】解：根据题意，对于P ，1sin 1sin )12sin()112sin()233ππαααααα-+=-+=-+=--， 又由α为钝角，即2παπ<<，则有2633πππα<-<，必有1sin()32πα->，故12sin()03πα--<，P 是真命题； 对于Q ，当0m =时，210mx mx -+是假命题，故Q 是假命题； 故()P Q ∧⌝是真命题； 故选：A ．【点评】本题考查命题真假的判断，涉及全称、特称命题的关系，属于基础题． 4．（5分）已知O 是ABC ∆内一点，满足21()32AO AB BC =+，则:(ABC OBC S S ∆∆= )A ．3:1B ．1:3C ．2:1D ．1:2【考点】平面向量的综合题【专题】计算题；转化思想；综合法；转化法；平面向量及应用；数学运算 【分析】根据题意，设BC 的中点为D ，由条件，可得23AO AD =，O 是中线AD 上靠近点D 的三等分点，由此求出:ABC OBC S S ∆∆．【解答】解：根据题意，设BC 的中点为D ，则12BD BC =， 则12AB BC AB BD AD +=+=，若21()32AO AB BC =+，则23AO AD =，所以O 是中线AD 上靠近点D 的三等分点， 即13OD AD =，则:3:1ABC OBC S S ∆∆=， 故选：A ．【点评】本题考查平面向量基本定理，涉及向量的数乘运算，属于基础题． 5．（5分）已知Rt ABC ∆中，,26B AC π∠==，在ABC ∆内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点C 的距离不小于1的概率为( )A B C ．1D ．1【考点】几何概型【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算【分析】根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积，利用面积法进行求解即可． 【解答】解：单位圆在直角三角形内的部分面积为14π，,26B AC π∠==，4AB ∴=，BC =122S =⨯⨯，则点到此三角形的直角顶点C 的距离不小于1的区域为圆外部分，对应面积14S π=，则对应概率11P π==-， 故选：C ．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键，是中档题．6．（5分）已知()f x lgx =，则曲线()y f x =与sin y x π=交点个数为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算【分析】在同一坐标系内作出函数y lgx =，sin y x π=的函数图像，结合三角函数的范围，当10x =时，101lg =，当10x >时，1lgx >，可得答案．【解答】解：在同一坐标系内作出函数y lgx =，sin y x π=的函数图像，如图所示： 因为1sin 1x π-， 当10x =时，101lg =，当10x >时，1lgx >，根据图像可知，交点个数为9个． 故选：D ．【点评】本题考查了两函数的交点个数，也考查了学生作图能力，作出图像是解答本题的难点，也是关键点，属于基础题．7．（5分）已知sin()6πα+=2cos(2)(3πα-= )A ．9B ．9-C ．79 D ．79-【考点】两角和与差的三角函数；二倍角的三角函数【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算【分析】把已知条件根据诱导公式化简，然后把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后代入即可求解．【解答】解：sin()sin[()]cos()cos()62333πππππαααα+=--=-=-=，则2227cos(2)2cos ()12()13339ππαα-=--=⨯-=． 故选：C ．【点评】本题主要考查了诱导公式及二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．8．（5分）祖暅（公元5—6世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容易．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图将底面直径皆为2b ，高皆为a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，用平行于平面β且与β距离为d 的平面截两个几何体得到S 圆及S 环两截面，可以证明S S =圆环总成立．据此，短轴AB 长为3cm ，长半轴CD 为2cm 的椭半球体的体积是( )A ．33cm πB ．36cm πC ．348cm πD ．396cm π【考点】球的体积和表面积【专题】转化思想；定义法；空间位置关系与距离；数学运算【分析】根据题中的S S =圆环总成立，可得半椭球体的体积，再利用柱体的体积公式和锥体的体积公式求解即可．【解答】解：根据题意，因为S S =圆环总成立，所以半椭球体的体积为2221233V V b a b a b a πππ-=-=柱锥，由题意可知，32b =，2a =， 所以半椭球体的体积为223()2332ππ⨯⨯=，所以椭半球体的体积是33cm π． 故选：A ．【点评】本题考查了空间几何体的理解和应用，主要考查了柱体体积公式以及锥体体积公式的运用，考查了空间想象能力与运算能力，属于中档题． 9．（5分）已知3log 5a =，2log 3b =，4log 5c =，则( ) A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c b a >>【考点】对数值大小的比较【专题】转化法；计算题；转化思想；函数的性质及应用；数学运算 【分析】利用对数函数的单调性和换底公式求解即可． 【解答】解：33log 5log 3a =<32，22log 3log 2b =>32，b a ∴>， 35log 53lg a lg ==，45log 54lg c lg ==，a c ∴>， b a c ∴>>，故选：B ．【点评】本题考查对数值大小的比较，对数的性质和换底公式，属于基础题．10．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，坐标原点为O ，左、右顶点分别为A ，B ，双曲线上一点D 且DF x ⊥轴，连接AD 交y 轴于C ，连接CB 交直线DF 于E ，1233BF BD BE =+，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【考点】双曲线的性质【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算【分析】由双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的方程可知(,0)A a -，(,0)B a ，(,0)F c ，不妨设2(,)b D c a ，求出点2(0,)b C a c +，进而求出(E c ，2())()a c b a a c -+，由1233BF BD BE =+，得2212()033()b ac b a a a c -⨯+⨯=+，计算可得离心率． 【解答】解：由双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的方程可知(,0)A a -，(,0)B a ，(,0)F c ，不妨设2(,)b D c a ，可知直线AD 的方程为2()()b y x a a a c =++，令0x =，得2b y a c =+，故2(0,)b C a c+， 可得直线BC 的方程为21x y b a a c+=+，令x c =，得2()()a c b y a a c -=+，故(E c ，2())()a c b a a c -+，从而2(,)b BD c a a=-，(BE c a =-，2())()a c b a a c -+，(,0)BF c a =-，由1233BF BD BE =+，得2212()033()b a c b a a a c -⨯+⨯=+，化简整理得30a c -=，所以3ca=，故双曲线的离心率为3e =， 故选：B ．【点评】本题考查双曲线的离心率问题，属中档题．11．（5分）已知数列{}n a ，n S 为{}n a 的前n 项和，其中11010a =-，13,1,n n na n a a n ++⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，则2021(S = ) A ．2019 B ．2020 C ．2021 D ．2022【考点】数列的求和【专题】计算题；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算【分析】由11010a =-和13,1,n n na n a a n ++⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，分别求出2a ，3a ，4a ，5a ，6a ，7a ，⋯⋯，从而得到232015a a +=-，452011a a +=-，672007a a +=-，⋯⋯，令221n n n b a a +=+，则数列{}n b 是以2015-为首项，4为公差的等差数列，结合等差数列的前n 项和公式即可求出结果．【解答】解：因为13,1,n n n a n a a n ++⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，11010a ∴=-， 2131007a a =+=-， 3211008a a =-=-， 4331005a a =+=-， 5411006a a =-=-， 6531003a a =+=-， 7611004a a =-=-，⋯⋯，232015a a ∴+=-，452011a a +=-，672007a a +=-，⋯⋯，令221n n n b a a +=+，则数列{}n b 是以2015-为首项，4为公差的等差数列， 设数列{}n b 的前n 项和为n T ， 则1010101010091010(2015)430302T ⨯=⨯-+⨯=， 又1010234520202021T a a a a a a =++++⋯⋯++， 202110101303010102020S T a ∴=+=-=，故选：B ．【点评】本题主要考查了数列的递推式，考查了等差数列的前n 项和公式，同时考查了学生的计算能力，属于中档题．12．（5分）已知正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点都在表面积为12π的球上，点E 是线段1AC 上一动点，1//EF AB 交11B C 于F 点，12AG GB =EF λ+，则实数λ的最大值为( )A B ．C ．2D ．【考点】球内接多面体【专题】分类讨论；综合法；立体几何；直观想象；数学运算【分析】求出正方体1111ABCD A B C D -的棱长，提取出四边形11AB C D ，过点E 作1EM DC ⊥交1DC 于点M ，求得1EF F =，)EF GE EM +=+，利用当G 、E 、M 三点共线时，GE EM +EF +的最小值，即可求得λ的最大值．【解答】解：因为正方体1111ABCD A B C D -的外接球表面积为12π因为正方体1111ABCD A B C D -的外接球的直径为1AC ，所以1AC ==，则2AB =，因为G 为1AB 的三等分点且靠近1B 点，提取出平面图形：EF +最小，过点E 作1EM DC ⊥交1DC 于点M ， 则有1FC EM =，因为11111tan AB EF EC F C F B C ∠==所以1EF F =，1)EF F GE EM +=+， 当G 、E 、M 三点共线时，GE EM +最小，最小值为2，EF +的最小值为22λ． 故选：B ．EF +的最小值，)GE EM +的最小值，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）某工厂为研究某种产品的产量x （吨)与所需某种原材料y （吨)的相关性，在生产过程中收集了对应数据如表所示：根据表中数据，得出y 关于x 的回归直线方程为ˆˆ0.6yx a =+．据此计算出在样本(4,3)处的残差为0.15-，则表中m 的值为 4.8 .（注：残差是实际观察值与估计值之间的差，ˆˆˆ)ybt a =+ 【考点】线性回归方程【专题】转化法；概率与统计；数学运算；转化思想【分析】根据已知条件，结合残差的定义，以及线性回归方程的性质，即可求解． 【解答】解：样本(4,3)处的残差为0.15-且y 关于x 的回归直线方程为ˆˆ0.6y x a =+， ∴ˆ3(0.64)0.15a-⨯+=-，解得ˆ0.75a =， 故回归直线方程为ˆ0.60.75y x =+， 3456942x +++==，234944m my ++++==， ∴990.60.7542m +=⨯+，解得 4.8m =． 故答案为：4.8．【点评】本题主要考查残差的定义，以及线性回归方程的性质，属于基础题．14．（5分）已知抛物线2:40C x my +=恰好经过圆22:(1)(2)1M x y -+-=的圆心，则抛物线C 的焦点坐标为 1(0,)8．【考点】抛物线的性质【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算【分析】求出圆的圆心坐标，代入抛物线方程，求出m ，然后求解焦点坐标． 【解答】解：圆22:(1)(2)1M x y -+-=的圆心(1,2)， 代入抛物线方程可得：420m +=，解得2m =-，所以抛物线21:2C x =，焦点坐标为1(0,)8． 故答案为：1(0,)8．【点评】本题考查抛物线的简单性质，圆的方程的应用，是中档题． 15．（5分）已知数列{}n a ，n S 为{}n a 的前n 项和，121n n S a +=+，132a =，则n a = 23(1)213()(2)42n n n -⎧=⎪⎪⎨⎪⨯⎪⎩ ． 【考点】数列递推式【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算【分析】直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式． 【解答】解：由于121n n S a +=+，①， 当2n 时，121n n S a -=+，2n ，② ①-②得：122n n n a a a +=-， 整理得132n n a a +=，(2)n ，所以数列{}n a 是以14为首项，32为公比的等比数列； 所以213()42n n a -=⨯．由于121n a a =+，所以21139424a a =≠=， 所以23(1)213()(2)42n n n a n -⎧=⎪⎪=⎨⎪⨯⎪⎩．故答案为：23(1)213()(2)42n n n -⎧=⎪⎪⎨⎪⨯⎪⎩． 【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．16．（5分）若1()x f x e a -=-与()g x lnx b =-有公共零点，则a b -的取值范围是 [1，)+∞ ． 【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用；直观想象；数学运算 【分析】根据零点的意义先构建函数，然后再求最值，从而可求出范围．【解答】解：函数1()x f x e a -=-与()g x lnx b =-都是单调递增函数，都至多有一个零点，函数）1x e a -=-与()g x lnx b =-有公共零点，记为00(0)x x >，则 01000x e a lnx b -⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，即010x a e b lnx -⎧=⎪⎨=⎪⎩， 所以0100(0)x a b e lnx x --=->， 设1()(0)x f x e lnx x -=->，11()x f x e x-'=-，f '（1）0=且()f x '在(0,)+∞单调递增，()f x ∴在(0,1)单调递减，(1,)+∞单调递增 ()min f x f ∴=（1）1=，当x →+∞时，()f x →+∞， [1a b ∴-∈，)+∞．故答案为：[1，)+∞．【点评】本题考查了函数的零点，也考查了利用导数求函数的最值，属于基础题． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，(2,cos )m b c C =+，(,cos )n a A =-，且//m n，a =（1）求A 角大小；（2）D 为BC 边上一点，1AD =，且 ______，求ABC ∆的面积．（从①AD 为BAC ∠的平分线，②D 为BC 的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线并作答．如果都选，以选①计分．)【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；正弦定理；三角形中的几何计算【专题】综合题；转化思想；分析法；解三角形；数学运算【分析】（1）利用向量共线的坐标运算可求得(2)cos cos 0b c A a C ++=，再利用正弦定理可求得1cos 2A =-，从而可求得角A 的大小；（2）选①：利用ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+，结合三角形面积公式可得bc b c =+，再由余弦定理求得bc ，即可求出面积；选②：利用中点以及cos cos BDA BDC ∠=-∠，得到228b c +=，再利用余弦定理求得bc ，即可求出面积． 【解答】解：（1）(2,cos )m b c C =+，(,cos )n a A =-，且//m n ，(2)cos cos 0b c A a C ∴++=，(2sin sin )cos sin cos 0B C A A C ∴++=， 2sin cos sin()sin B A A C B ∴=-+=-，在三角形ABC 中，sin 0B >， 1cos 2A ∴=-，故23A π=； （2）选①：因为AD 为BAC ∠的平分线，所以3BAD DAC π∠=∠=，又因为ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+，所以1211sin 1sin 1sin 232323bc c b πππ=⨯⨯+⨯⨯，)b c =+，则bc b c =+， 又由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即212()b c bc =++，所以212()bc bc =+，即2()120bc bc +-=，解得3bc =或4bc =-（舍去）．所以1sin 2ABC S bc A ∆==选②：因为D 为BC 的中点，则BD DC ==，BDA ADC π∠=-∠，则cos cos BDA BDC ∠=-∠，22=228b c +=，又由余弦定理可得2212()122b c bc +-⨯-=，解得4bc =，所以1sin 2ABC S bc A ∆=【点评】本题考查三角函数的恒等变换和三角形的余弦定理、面积公式的运用，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ⊥底面ABC ，O 为AC 的中点，且11AC AB BC ===== （1）求证：1A O ⊥平面ABC ； （2）求点1B 到平面11A BC 的距离．【考点】直线与平面垂直；点、线、面间的距离计算【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象；数学运算【分析】（1）证明1AO AC ⊥，然后证明1A O ⊥平面ABC ． （2）利用111111B A B C B A BC V V --=，转化求解点1B 到平面11A BC 的距离． 【解答】（1）证明：11AA AC =，且O 为AC 的中点，1AO AC ∴⊥， 又侧面11AAC C ⊥底面ABC ，交线为AC ，且1A O ⊂平面11AA C C ， 1A O ∴⊥平面ABC ．（2）解：111111B A B C B A BC V V --=， 已知1A O ⊥平面111A B C ，∴111111113B A BC A B C V AO S-=⨯⨯，111211,A B C AO S ===∴111B A B C V -111A C A B ==11AC OB ⊥，111A C A O ⊥，OB ，1A O 是平面1AOB 内的两条相交直线，11AC ∴⊥平面1AOB ，1A B ⊂平面1AOB ，111AC A B ∴⊥，∴1112A BC S=⨯设点1B 到平面11A BC 的距离为d ，则13d ⨯∴d =1B 到平面11A BC ． 【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，平面与平面垂直的性质定理的应用，空间点、线、面距离的求法，是中档题．19．（12分）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]分组，绘制频率分布直方图如图所示．试验发现小白鼠体内产生抗体的共有150只，其中该项指标值小于130的有110只．（1）求该指标值的平均数x （同一组数据取该区间中点值）和中位数（中位数结果精确到0.01)；（2）填写下面的22⨯列联表，并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值小于130有关．参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．（其中n a b c d =+++为样本容量）参考数据：20)k0.50【考点】频率分布直方图；独立性检验【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算 【分析】（1）由频率分布直方图求平均数，中位数； （2）填写列联表，计算2K ，进行独立性检验． 【解答】解：（1）由频率分布直方图可得1050.051150.41250.31350.21450.05123x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．由频率分布直方图知，任取一指标值，这个指标值在区间[100，120)上的概率为0.45，这个指标值在区间[120，130)上的概率为0.3， 所以该指标值的中位数为0.0536512010121.670.33+⨯=≈； （2）由题意，有抗体共有150只，有抗体且指标值小于130的有110 只，故大于等于130 的有40只；无抗体共有20015050-=，由直方图可得，无抗体的大于等于130的有(0.020.005)102004010+⨯⨯-= 只，故小于130的无抗体的小白鼠共有501040-=（只)， 故列联表如下：根据列联表中数据，得2200(110104040)0.889 5.0241505015050K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下不能认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于130有关．【点评】本题考查了直方图中的数字特征以及独立性检验的知识，属于基础题． 20．（12分）已知定圆22:(1)16A x y ++=，动圆M 过点(1,0)B ，且和圆A 相切． （1）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；（2）若过点B 的直线l 交轨迹E 于P ，Q 两点，与y 轴于点N ，且NP PB λ=，NQ QB μ=，当直线l 的倾斜角变化时，探求λμ+的值是否为定值？若是，求出λμ+的值；否则，请说明理由． 【考点】轨迹方程【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算 【分析】（1）由条件可判断M 的轨迹为椭圆，由此可得轨迹方程；（2）设直线l 方程(1)y k x =-，求得N 点坐标，将直线l 的方程与椭圆方程进行联立，结合韦达定理和NP PB λ=，NQ QB μ=，可求得λμ+为定值． 【解答】解：（1）设(,)M x y ，(1,0)A -， 因为(1,0)B 在圆内， 所以||||42MA MB +=>，所以M 的轨迹为椭圆，其中2a =，1c =，所以M 的轨迹方程为：22143x y +=；（2）易知直线l 的斜率存在，设直线l 方程(1)y k x =-， 则l 与y 轴交于(0,)N k -，设直线l 交椭圆于1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ， 由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(34)84120k x k x k +-+-=，∴2122834k x x k +=+，212241234k x x k -⋅=+，又由NP PB λ=，NQ QB μ=， 1(x ∴，11)(1y x λ=-，1)y -，∴111x x λ=-， 同理可得221x x μ=-， ∴12121212121228111()3x x x x x x x x x x x x λμ+-⋅+=+==----++⋅， 所以当直线l 的倾斜角变化时，λμ+的值为定值83-．【点评】本题考查了轨迹方程，直线与椭圆的综合，属于中档题． 21．（12分）已知函数31()4f x x ax =++，()1g x x lnx =--．（1）若过点(1,0)可作()f x 的两条切线，求a 的值；（2）用{min m ，}n 表示m ，n 中的最小值，设函数(){()h x min f x =，()}(01)g x x <<，讨论()h x 零点的个数．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算【分析】（1）设切点为30001(,)4x x ax ++，则切线方程为3200001()(3)()4y x ax x a x x -++=+-，再结合(1,0)在直线上，则32001234a x x =--，令321()234h x x x =--，再对()h x 求导，即可依次求解．（2）当(0,1)x ∈时，()g x 单调递减，在1x =取得最大值，()g x g >（1）0=，所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数，再对a 分类讨论，即可求解． 【解答】解：（1）设切点为30001(,)4x x ax ++，则切线方程为3200001()(3)()4y x ax x a x x -++=+-，因为(1,0)在直线l 上，则32001234a x x =--， 令321()234h x x x =--， 则2()66h x x x '=-，令()0h x '=，解得10x =，21x =， 所以(0)a h =或a h =（1）要想让切线有两条，只需满足14a =-或54-．（2）当(0,1)x ∈时，()g x 单调递减，在1x =取得最大值，()g x g >（1）0=， 所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数， ()i 若3a -或0a ，则2()3f x x a '=+，当0a 时，()f x 在(0,1)无零点，当3a -时，()f x 在(0,1)单调，而15(0),(1),()44f f a f x ==+在(0,1)有一个零点，()ii 若30a -<<，则()f x 在单调递减，在单调递增，故当x =时，()f x 取得最小值，最小值为14f ，①若0f >，即30,()4a f x -<<在(0,1)无零点，②若0f =，即34a =-，则()f x 在(0,1)有唯一零点，③若0f <，即334a -<<-，由于15(0),(1)44f f a ==+，所以当5344a -<<-时，()f x 在(0,1)有两个零点，当534a -<-时，()f x 在(0,1)有一个零点， 综上所述，当3,()4a h x >-有0个零点，当34a =-或54a -时，()h x 有一个零点，当5344a -<<-时，()h x 有两个零点．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，需要学生较强的综合能力，属于难题． （二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，(t 为参数），以坐标原点O 极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标系方程为2222sin 6ρρθ+=．（1）求曲线1C 的普通方程，并求2C 的直角坐标方程；（2）曲线1C 与x 轴交于点M ，1C 与2C 交于A ，B 两点，若2AM MB =，求tan α的值． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数的关系式的变换和三角函数的值的应用求出结果．【解答】解：（1）曲线1C 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，(t 为参数），转换普通方程为(1)sin cos 0x y αα--=，曲线2C 的极坐标系方程为2222sin 6ρρθ+=，根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，转换为直角坐标方程为2236x y +=．（2）设A 、B 对应的参数为1t ，2t ，将cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入2236x y +=中，可得：22(12sin )2cos 50t t αα++-=， 故1222cos 12sin t t αα-+=+，122512sin t t α-⋅=+． 由于122t t =-， 所以222222cos 12sin 5212sin t t ααα-⎧-=⎪⎪+⎨-⎪-=⎪+⎩，所以2214cos 2(12sin )(5)αα-=+-，整理得tan α=． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知2()|||21|f x x a a x =-+--． （1）当3a =时，求不等式()5f x 的解集； （2）若()f x a ，求a 的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法【专题】对应思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算 【分析】（1）代入a 的值，通过讨论x 的范围求出不等式的解集即可； （2）根据绝对值不等式的性质得到关于a 的不等式，解出即可． 【解答】解：（1）当3a =时，()|9||5|f x x x =-+-，当5x 时，()951425f x x x x =-+-=-，解得：92x ， 当59x <<时，()9545f x x x =-+-=，无解， 当9x 时，()952145f x x x x =-+-=-，解得：192x ， 综上所述：()4f x 的解集为9{|2x x 或19}2x ． （2）2222()|||21||()(21)||21|(1)f x x a x a x a x a a a a =-+-+---+=-+-=-（当且仅当221a x a -时取等号），2(1)a a ∴-，解得：352a -或352a +，a ∴的取值范围为35([,)2+-∞+∞． 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想，是中档题．。
2020-2021学年山西省朔州市怀仁一中高三(上)期中考试数学(文科)试题Word版含解析
2020-2021学年山西省朔州市怀仁一中高三（上）期中考试数学（文科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}，B={y|y⊆A}，则集合B中元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．（5分）命题“对任意x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（）A．a≥4 B．a＞4 C．a≥1 D．a＞13．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．4．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b5．（5分）下列四个函数中，图象如图所示的只能是（）A．y=x+lgx B．y=x﹣lgx C．y=﹣x+lgx D．y=﹣x﹣lgx6．（5分）已知，cos2x=a，则sinx=（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）=e x cosx的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为（）A．0 B．1 C．D．8．（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则 b等于（）A．B．5 C．41 D．10．（5分）若实数x，y满足|x﹣3|≤y≤1，则z=的最小值为（）A．B．2 C．D．11．（5分）对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2﹣36[x]+45＜0成立的x的范围是（）A．（）B．[2，8] C．[2，8）D．[2，7]12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f （x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）A． B． C．（0，3] D．[3，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数y=log a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线+﹣4=0（m＞0，n＞0）上，则+= ；m+n的最小值为．14．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为．15．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则∠A的值为，△ABC面积的最大值为．16．（5分）对于函数f（x）=，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x=π+kπ（k∈Z）时，该函数取得最小值﹣1；③该函数的图象关于x=+2kπ（k∈Z）对称；④当且仅当2kπ＜x＜+2kπ（k∈Z）时，0＜f（x）≤．其中正确命题的序号是．（请将所有正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x+1|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜3；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．18．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．19．（12分）设数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．20．（12分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g （x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．21．（12分）已知函数．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当时，讨论f（x）的单调性．22．（12分）已知函数f（x）=xlnx．（I）若函数g（x）=f（x）+x2+ax+2有零点，求实数a的最大值；（II）若∀x＞0，≤x﹣kx2﹣1恒成立，求实数k的取值范围．2020-2021学年山西省朔州市怀仁一中高三（上）期中考试数学（文科）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}，B={y|y⊆A}，则集合B中元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由题意，全集A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}={0，1}，B={y|y⊆A}中的元素为集合A的子集，从而求解．【解答】解：全集A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}={0，1}，B={y|y⊆A}中的元素为集合A的子集，故集合B中元素的个数为22=4；故选C．【点评】本题考查了集合的元素与集合关系的应用，属于基础题．2．（5分）命题“对任意x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（）A．a≥4 B．a＞4 C．a≥1 D．a＞1【分析】根据全称命题为真命题，求出a的取值范围，结合充分不必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：对任意x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，则对任意x∈[1，2]，x2≤a”，∵当x∈[1，2]，x2∈[1，4]，∴a≥4，则命题“对任意x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是a＞4，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据命题为真命题求出a的取值范围是解决本题的关键．3．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．4．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】可得b=sin35°，易得b＞a，c=tan35°=＞sin35°，综合可得．【解答】解：由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，由正弦函数的单调性可知b＞a，而c=tan35°=＞sin35°=b，∴c＞b＞a故选：C【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题．5．（5分）下列四个函数中，图象如图所示的只能是（）A．y=x+lgx B．y=x﹣lgx C．y=﹣x+lgx D．y=﹣x﹣lgx【分析】先求出所给函数的导数，再结合导数的符号，判断函数的单调性，然后利用函数的单调性进行判定，可得正确选项．【解答】解：在y=x+lgx中，＞0，∴y=x+lgx是（0，+∞）上单调递增函数，∴A不成立；在y=x﹣lgx中，，当0＜x＜lge时，＜0，当x＞lge时，＞0．∴y=x﹣lgx的增区间是（lge，+∞），减区间是（0，lge），∴B成立；在y=﹣x+lgx中，．当0＜x＜lge时，＞0，当x＞lge时，＜0．∴y=﹣x+lgx的减区间是（lge，+∞），增区间是（0，lge），∴C不成立；在y=﹣x﹣lgx中，＜0，∴y=﹣x﹣lgx是（0，+∞）上单调递减函数，∴D不成立．故选B．【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，解题时要注意导数的合理运用，属于中档题．6．（5分）已知，cos2x=a，则sinx=（）A．B．C．D．【分析】根据二倍角的余弦公式，结合题意算出sin2x=，再由sinx＜0得sinx=﹣，从而得到答案．【解答】解：∵cos2x=a，∴1﹣2sin2x=a，可得sin2x=，又∵，可得sinx＜0，∴sinx=﹣．故选：B【点评】本题给出cos2x的值，求sinx．着重考查了任意角的三角函数、二倍角的余弦公式等知识，属于基础题．7．（5分）函数f（x）=e x cosx的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为（）A．0 B．1 C．D．【分析】由求导公式和法则求出f′（x），求出f′（0）的值可得切线的斜率，再由斜率公式求出切线的倾斜角．【解答】解：由题意得，f′（x）=e x cosx﹣e x sinx，则f′（0）=e0（cos0﹣sin0）=1，所以在点（0，f（0））处的切线的斜率k=1，又k=tanθ，则切线的倾斜角θ=，故选：C．【点评】本题考查了导数的运算及法则，导数的几何意义，以及直线的倾斜角与斜率的关系．8．（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】把化为，故把的图象向左平移个单位，即得函数y=cos2x的图象．【解答】解：=，故把的图象向左平移个单位，即得函数的图象，即得到函数的图象．故选 C．【点评】本题考查诱导公式，以及y=Asin（ωx+∅）图象的变换，把两个函数化为同名函数是解题的关键．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则 b等于（）A．B．5 C．41 D．【分析】利用三角形的面积求出c，然后利用余弦定理求出b即可．【解答】解：在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，可得2=，解得c=4．由余弦定理可得：b===5．故选：B．【点评】本题考查余弦定理的应用三面角的面积的求法，考查计算能力．10．（5分）若实数x，y满足|x﹣3|≤y≤1，则z=的最小值为（）A．B．2 C．D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：依题意，得实数x，y满足，画出可行域如图所示，其中A（3，0），C（2，1），z===1+，设k=，则k的几何意义为区域内的点与原点的斜率，则OC的斜率最大为k=，OA的斜率最小为k=0，则0≤k≤，则1≤k+1≤，≤≤1，故≤1+≤2，故z=的最小值为，故选A．【点评】本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的应用，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2﹣36[x]+45＜0成立的x的范围是（）A．（）B．[2，8] C．[2，8）D．[2，7]【分析】先求出关于[x]的不等式的解集，然后根据新定义得到x的范围即可．【解答】解：由4[x]2﹣36[x]+45＜0，得，又[x]表示不大于x的最大整数，所以2≤x＜8．故选C【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查学生理解新定义的能力，是一道中档题．12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f （x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）A． B． C．（0，3] D．[3，+∞）【分析】根据二次函数的图象求出f（x）在[﹣1，2]时的值域为[﹣1，3]，再根据一次g（x）=ax+2（a＞0）为增函数，求出g（x2）∈[2﹣a，2a+2]，由题意得f（x）值域是g（x）值域的子集，从而得到实数a 的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称∴x1∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为f（1）=﹣1，最大值为f（﹣1）=3，可得f（x1）值域为[﹣1，3]又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[﹣1，2]，∴g（x）为单调增函数，g（x2）值域为[g（﹣1），g（2）]即g（x2）∈[2﹣a，2a+2]∵∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），∴⇒a≥3故选D【点评】本题着重考查了函数的值域，属于中档题．本题虽然是一道小题，但完全可以改成一道大题，处理的关键是对“任意”、“存在”的理解．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数y=log a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线+﹣4=0（m＞0，n＞0）上，则+= 4 ；m+n的最小值为 1 ．【分析】利用对数的性质可得：函数y=log a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（1，1），代入直线+﹣4=0（m＞0，n＞0）上，可得+=4，再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：当x=1时，y=log a1+1=1，∴函数y=log a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（1，1），∵点A在直线+﹣4=0（m＞0，n＞0）上，∴+=4．∴m+n=（+）（m+n）=（2+m+n），≥（2+2）=1，当且仅当m=n=时取等号．故答案是：4；1．【点评】本题考查了对数的运算性质、“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．14．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．【分析】构建函数F（x）=f（x）﹣（2x+4），由f（﹣1）=2得出F（﹣1）的值，求出F（x）的导函数，根据f′（x）＞2，得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．【解答】解：设F（x）=f（x）﹣（2x+4），则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣2+4）=2﹣2=0，又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）=f′（x）﹣2＞0，即F（x）在R上单调递增，则F（x）＞0的解集为（﹣1，+∞），即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）【点评】本题考查学生灵活运用函数思想求解不等式，解题的关键是构建函数，确定函数的单调性，属于中档题．15．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则∠A的值为，△ABC面积的最大值为．【分析】已知等式利用正弦定理化简，整理得到关系式，再利用余弦定理表示出cosA，把得出关系式代入求出cosA的值，即可确定出角A的大小；由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积bc•sinA【解答】解：由已知可得等式：（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，利用正弦定理化简得：（a+b）（a﹣b）=c（c﹣b），即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，则A=；在△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理可得（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即 b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得 4≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为bc•sinA=×=，故答案为：，．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式的应用，属于中档题．16．（5分）对于函数f（x）=，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x=π+kπ（k∈Z）时，该函数取得最小值﹣1；③该函数的图象关于x=+2kπ（k∈Z）对称；④当且仅当2kπ＜x＜+2kπ（k∈Z）时，0＜f（x）≤．其中正确命题的序号是③④．（请将所有正确命题的序号都填上）【分析】由题意作出此分段函数的图象，由图象研究该函数的性质，依据这些性质判断四个命题的真假，此函数取自变量相同时函数值小的那一个，由此可顺利作出函数图象．【解答】解：由题意函数f（x）=，画出f（x）在x∈[0，2π]上的图象．由图象知，函数f（x）的最小正周期为2π，在x=π+2kπ（k∈Z）和x=+2kπ（k∈Z）时，该函数都取得最小值﹣1，故①②错误，由图象知，函数图象关于直线x=+2kπ（k∈Z）对称，在2kπ＜x＜+2kπ（k∈Z）时，0＜f（x）≤，故③④正确．故答案为③④【点评】本题考点是三角函数的最值，本题是函数图象的运用，由函数的图象研究函数的性质，并以由图象研究出的结论判断和函数有关的命题的真假．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x+1|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜3；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．【分析】（Ⅰ）当a=1时，求出函数的分段函数形式，然后求解不等式f（x）＜3的解集即可；（Ⅱ）利用绝对值的几何意义求出f（x）的最小值的表达式，利用最小值为1，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=|2x﹣1|+|x+1|=；且f（1）=f（﹣1）=3，所以，f（x）＜3的解集为{x|﹣1＜x＜1}；…（4分）（Ⅱ）|2x﹣a|+|x+1|=|x﹣|+|x+1|+|x﹣|≥|1+|+0=|1+|当且仅当（x+1）（x﹣）≤0且x﹣=0时，取等号．所以|1+|=1，解得a=﹣4或0．…（10分）【点评】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义的应用，考查转化是以及计算能力．18．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD的值．（Ⅱ）根据cos∠CAD，cos∠BAD的值分别，求得sin∠BAD和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC．【解答】解：（Ⅰ）cos∠CAD===．（Ⅱ）∵cos∠BAD=﹣，∴sin∠BAD==，∵cos∠CAD=，∴sin∠CAD==∴sin∠BAC=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=×+×=，∴由正弦定理知=，∴BC=•sin∠BAC=×=3【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．19．（12分）设数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）由a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=⇒当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2a n﹣1=，两式作差求出数列{a n}的通项．（2）由（1）的结论可知数列{b n}的通项．再用错位相减法求和即可．【解答】解：（1）∵a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，①∴当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2a n﹣1=．②①﹣②，得3n﹣1a n=，所以（n≥2），在①中，令n=1，得也满足上式．∴．（2）∵，∴b n=n•3n．∴S n=3+2×32+3×33+…+n•3n．③∴3S n=32+2×33+3×34+…+n•3n+1．④④﹣③，得2S n=n•3n+1﹣（3+32+33+…+3n），即2S n=n•3n+1﹣．∴．【点评】本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．20．（12分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g （x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．【分析】（I）根据二倍角的三角函数公式与辅助角公式化简得，利用周期公式算出ω=1，得函数解析式为．再由正弦函数单调区间的公式，解关于x的不等式即可得到函数f（x）的单调增区间；（II）根据函数图象平移的公式，得出函数g（x）的解析式为g（x）=2sin2x+1．由此解g（x）=0得sin2x=﹣，利用正弦函数的图象解出或，可见g（x）在每个周期上恰有两个零点，若g（x）在[0，b]上至少含有10个零点，则b大于或等于g（x）在原点右侧的第10个零点，由此即可算出b的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，可得f（x）==．∵函数的最小正周期为π，∴=π，解之得ω=1．由此可得函数的解析式为．令，解之得∴函数f（x）的单调增区间是．（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，可得函数y=f（x+）+1的图象，∵∴g（x）=+1=2sin2x+1，可得y=g（x）的解析式为g（x）=2sin2x+1．令g（x）=0，得sin2x=﹣，可得2x=或2x=解之得或．∴函数g（x）在每个周期上恰有两个零点，若y=g（x）在[0，b]上至少含有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为．【点评】本题给出三角函数式满足的条件，求函数的单调区间并依此求解函数g（x）在[0，b]上零点的个数的问题．着重考查了二倍角的三角函数公式、辅助角公式与三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．21．（12分）已知函数．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当时，讨论f（x）的单调性．【分析】（1）当a=1时，直接求出f′（x）从而确定f（2）和f′（2），利用点斜式方程即可求出切线方程；（2）分情况讨论a=0，，三种情况下f′（x）的正负，即可确定f（x）的单调性．【解答】解：（1）当a=1时，，此时，又，∴切线方程为：y﹣（ln2+2）=x﹣2，整理得：x﹣y+ln2=0；（2），当a=0时，，此时，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当时，，当，即时，在（0，+∞）恒成立，∴f（x）在（0，+∞）单调递减；当时，，此时在（0，1），，f′（x）＜0，f（x）单调递减，f（x）在，f′（x）＞0单调递增；综上所述：当a=0时，f（x）在（0，1）单调递减，f（x）在（1，+∞）单调递增；当时，f（x）在单调递减，f（x）在单调递增；当时f（x）在（0，+∞）单调递减．【点评】本题考查导数的几何意义和曲线切线的求法，考查导数在研究函数单调性中的作用，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）=xlnx．（I）若函数g（x）=f（x）+x2+ax+2有零点，求实数a的最大值；（II）若∀x＞0，≤x﹣kx2﹣1恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（I））由函数g（x）=f（x）+x2+ax+2有零点，即g（x）=xlnx+x2+ax+2在（0，+∞）上有实数根．即﹣a=lnx+x+在（0，+∞）上有实数根．令h（x）=，（x＞0），利用导数求出h（x）的最小值，则﹣a≤h（x）min．（II））由已知∀x＞0，≤x﹣kx2﹣1恒成立⇔．令g（x）=x﹣1﹣lnx，x＞0．利用导数得出g（x）的最小值即可．【解答】解：（I）∵函数g（x）=f（x）+x2+ax+2有零点，∴g（x）=xlnx+x2+ax+2在（0，+∞）上有实数根．即﹣a=lnx+x+在（0，+∞）上有实数根．令h（x）=，（x＞0），则=．解h′（x）＜0，得0＜x＜1；解h′（x）＞0，得x＞1．∴h（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．∴h（x）在x=1时取得极小值，即最小值h（1）=3．∴﹣a≥3，解得a≤﹣3．∴实数a的最大值为﹣3．（II）∵∀x＞0，≤x﹣kx2﹣1恒成立，∴lnx≤x﹣1﹣kx2，即．令g（x）=x﹣1﹣lnx，x＞0．=，令g′（x）＞0，解得x＞1，∴g（x）在区间（1，+∞）上单调递增；令g′（x）＜0，解得0＜x＜1，∴g（x）在区间（0，1）上单调递减．∴当x=1时，g（x）取得极小值，即最小值，∴g（x）≥g（1）=0，∴k≤0，即实数k的取值范围是（﹣∞，0]．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、等价转化的方法等是解题的关键．。
精品：【全国百强校】山西省怀仁县第一中学2015-2016学年高一下学期期中考试文数试题(解析版)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.210sin 的值等于（ ）A ．21 B ．21- C ．23 D ．23-【答案】B 【解析】试题分析：()1sin 210sin 18030sin 302=︒+︒=-︒=-. 考点：诱导公式.2. 与函数x y =相同的函数是（ ）A ．2x y = B ．xx y 2= C ．2)(x y = D ．0(log >=a a y x a 且)1≠a【答案】D考点：函数的概念.3. 下列结论一定正确的是（ ）A ．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等B ．角α是第四象限角，则)(222Z k k k ∈<<-παππC ．第二象限的角比第一象限的角大D ．第一象限的角是锐角 【答案】B 【解析】试题分析：对于选项A ，圆心角为1弧度是指，圆心角所对的弧长与半径的比值为1，因此圆心角为1弧度的扇形的弧长不一定相等；选项B ，显然正确；对于选项C ，可举反例，例如210-︒是第二象限角，而30︒是是第一象限角；此时第二象限角比第一象限角小，故选项C ，错误；对于选项D ，显然错误. 考点：1.命题的真假；2.象限角的概念. 4. 下列函数是偶函数的是（ ）A ．x y sin =B ．21x y = C ．x x y sin = D ．xxy 212-= 【答案】C考点：偶函数的性质.5. 如图所示，程序框图的输出结果是（ ） A ．3 B ．8 C ．5 D ．4【答案】D 【解析】试题分析：由框图可知1,1x y ==，①14≤，满足条件，则2,2x y ==；②24≤，满足条件，则4,3x y ==；③44≤，满足条件，则8,4x y ==；④84≤，不满足条件，输出4y =；选D. 考点：程序框图.6. 设α角的终边上一点P 的坐标是)4,3(--，则αcos 等于（ ） A ．54 B ．53- C ．53 D ．54- 【答案】B考点：任意角的三角函数.7. 掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是（ ） A ．9991 B ．10001 C ．1000999 D ．21【答案】D 【解析】试题分析：掷一枚均匀的硬币，每次出现正面向上的概率都是12，故选择B. 考点：概率的概念.8. 向高为H 的水瓶中匀速注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系如下面左图所示，那么水瓶的形状是（ ）【答案】A 【解析】 试题分析：取2H h =，由图象可知，此时注水量V 大于容器容积的12，故选B. 考点：函数图像．9. 如图所示，在ABC ∆中，CD BD 2=，若=，=，则=（ ）A C D【答案】C考点：平面向量的数量积. 10. 已知函数)6cos()6sin()(ππ++=x x x f ，下列结论中正确的是（ ） A ．)(x f 的最小正周期是π2 B ．)(x f 的一条对称轴是6π=xC ．)(x f 的一个对称中心是)0,6(πD ．)6(π-x f 是奇函数 【答案】D 【解析】试题分析：对于函数()sin()cos(1sin 2)6623f x x x x πππ⎛⎫=+ ⎪⎝=+⎭+，它的最小正周期为22ππ=，故排除A ；令322x k πππ+=+，求得212k x k Z ππ=+∈，，可得它的对称轴方程为212k x ππ=+，k Z ∈，故排除B ；令23x k ππ+=，求得26k x ππ=-，k Z ∈，可得它的对称中心为026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，，故排除C ；根据11sin 2sin 262632f x x x πππ⎛⎫⎛⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，为奇函数，故选：D ． 考点：1.三角函数的化简求值；2.正弦函数的图象．11. 函数)0(cos )(>=ωωx x f ，将函数)(x f y =的图象向右平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（ ） A ．31B ．3C ．6D ．9 【答案】C考点：三角函数的图形与性质.【思路点睛】本题考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，函数图象平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果． 12. 在ABC ∆中，点D 在线段BC 上，且满足DC BD 21=，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若m =，n =，则（ ）A ．n m +是定值，定值为2B ．n m +2是定值，定值为3C ．n m 11+是定值，定值为2 D ．nm 12+是定值，定值为3【答案】D 【解析】试题分析：过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E .由AN nAC = 可得1AC AN n =,所以11AE AC EM CN n ==-,由12BD DC =可得12BM ME =,所以21312AM n nn AB n n ==--+,因为AM mAB = 所以231n m n =-,整理可得213m n+=.故D 正确. 考点：向量共线.【一题多解】连接DA ，由AM mAB = 得： DM DA mDB mDA -=- ；∴11(1)DB DM DA m m=+-；同理，由AN nAC = ： DN DA nDC nDA -=- ；∴1)11(DC DN DA n n =+-；∵12BD DC = ；∴2DC BD =；∴2DB DB =- ；∴112(2))11(1DN DA DM DA n n m m-+-=--； DM 和DN ，∴存在实数λ，使DM DN λ= ；∴1122 1? 2()()DN DA DN DA n n m m λ+-=-+-+ ；∴1212n m-=-+；∴123n m +=；∴21m n+是定值，定值为3．故选：D ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知2||=,与的夹角为120，则在上的射影为 . 【答案】1-考点：投影的概念.14. 已知)1,3(=a ，)cos ,(sin αα=b ，且b a //，则=+-ααααsin 3cos 5cos 2sin 4 .【答案】75 【解析】试题分析：因为b a //，所以3cos sin tan 3ααα=∴=；又4sin 2cos 4tan 21055cos 3sin 3tan 5147αααααα--===++.考点：1.平行向量的坐标运算；2.同角的基本关系. 15. 已知432παβπ<<<，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα,则=α2cos . 【答案】6533-考点：1.二倍角的余弦；2.两角和与差的余弦函数；3.两角和与差的正弦函数．【思路点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系以及两角和余弦公式的应用．在求同角三角函数之间的值时，一般要注意角的取值范围，避免出错．先根据角的范围以及()()sin cos αβαβ+-，求出()cos αβ+以及()sin αβ+，再代入两角和余弦公式即可得到结论．16. 已知C B A ,,三点的坐标分别是)sin ,(cos ),3,0(),0,3(ααC B A ，)23,2(ππα∈，若1-=⋅BC AC ，则=++ααα2sin sin 2tan 12 .【答案】59-【解析】 试题分析：由()cos 3sin AC αα=-，，()cos sin 3BC αα-＝，，得()()cos 3cos sin sin 31AC BC αααα⋅=--=- ＋，∴sin co 23s αα+=，∴2sin co 5s 9αα=-， 21tan 2sin sin 2ααα++=2sin 1cos 2sin 2sin cos ααααα++⋅=12sin cos αα⋅=-95. 考点：同角的基本关系.【思路点睛】解决此题的关键是：熟练掌握向量数量积公式以及三角函数的变换方法．已知某三角函数值、求其它三角函数的值．一般先化简，再求值．化简三角函数的基本方法：统一角、统一名通过观察“角”“名”“次幂”，找出突破口，利用切化弦、降幂、逆用公式等手段将其化简．先由A B C ,,三点的坐标，求出AC 与BC的坐标，再根据1AC BC ⋅=-，列出一个关于α的方程，可将问题转化为简单的三角函数化简求值问题．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （10分）已知)sin ,(cos αα=a ，)sin ,(cos ββ=b ，πβα<<<0. （1）求||的值；（2）求证：b a +与b a -互相垂直. 【答案】（1）1；（2）详见解析考点：1.数量积判断两个平面向量的垂直关系；2.平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． 18. （本题满分12分）已知55cos =α，53cos =β，其中βα,都是锐角.求（1）)sin(βα-的值； （2）)tan(βα+的值.【答案】（1（2）2- 【解析】试题分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求出sin ,sin αβ的值，再利用两角差的正弦公式求得()sin αβ-的值．（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求出tan ,tan αβ的值，再利用两角和的正切公式求得()tan αβ+的值．试题解析：解：（1）∵βα,都是锐角，所以552cos 1sin 2=-=αα，54cos 1sin 2=-=ββ，所以2552555455253sin cos cos sin )sin(=⨯-⨯=-=-βαβαβα. （2）2tan =α，34tan =β，所以2tan tan 1tan tan )tan(-=-+=+βαβαβα.考点：1.两角和与差的正弦函数；2.两角和与差的余弦函数；3.两角和与差的正切函数． 19. （12分）设平面三点)5,2(),1,0(),0,1(C B A . （1）试求向量+2的模； （2）试求向量与夹角的余弦值； （3）试求与BC 垂直的单位向量的坐标.【答案】（1）（2；（3）)55,552(-=或)55,552(-⎩⎨⎧=+=+104222y x y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==55552y x ，∴所求单位向量)55,552(-=或)55,552(-. 考点：1.数量积判断两个平面向量的垂直关系；2.平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．20. （12分）已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示：（1）求函数)(x f 的解析式； （2）求出函数)(x f 的单调递增区间.【答案】（1）)48sin(2)(ππ+=x x f ；（2）]216,616[+-k k （Z k ∈）考点：1.由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式；2.正弦函数的单调性．【方法点睛】三角函数()sin y A x k ωϕ=++的一般性质研究：1.周期性：根据公式2T πω=可求得；2.单调性：令22,22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈，解出不等式，即可求出函数的单调递增区间；令322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈，解出不等式，即可求出函数的单调递减区间；3.令2,2x k k Z πωϕπ+=+∈或2,2x k k Z πωϕπ+=-+∈，即可求出函数取最大或最小值时的x 取值集合.21. （本小题12分）已知函数x x x x f 2cos 3cos sin 2)(-=.（1）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）当]2,0[π∈x 时，求函数)(x f 的最大值和最小值.【答案】（1）最小正周期为π，单调增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（2）()max 2f x =，()min f x =．考点：1.三角函数()sin y A x ωϕ=+的性质；2.三角函数的单调区间.【方法点睛】本题考查三角函数的变换，三角函数的图象平移，三角函数在闭区间上的最值，属于中档题，求函数()()ϕω+=x A x f sin 在区间[]b a ,上值域的一般步骤：第一步：把三角函数式根据三角函数的有关公式进行化简，一般化成形如()k x A y ++=ϕωsin 的形式，第二步：由x 的取值范围确定ϕω+x 的取值范围，再确定()ϕω+x sin 的取值范围，第三步：求所给函数的值域（或最值)．22. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，C B A ,,三点满足=. （1）求证：C B A ,,三点共线； （2||CB 的值；（3）已知)cos ,1(x A ，)cos ,cos 1(x x B +，]2,0[π∈x ，||)322()(m x f +-⋅=的最小值为23-，求实数m 的值.【答案】（1）详见解析；（22||=CB ；（3）47=m考点：1.三点共线；2.三角函数的最值．。
山西省怀仁县第一中学2015-2016学年高一下学期第三次月考数学(文)试题 Word版含答案
数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 数列1,3,6,10…的一个通项公式是 （ ）A ．21n a n n =-+B ．()12n n n a -=C ．()12n n n a += D ．21n a n =+2. 已知数列{}n a 的首项为11a =,且满足11122n n n a a +=+，则此数列第4项是（ ） A ．1 B ．12 C ．34D ．583. 已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -=（ ）A D ．44. 已知,αβ为锐角，()31cos ,tan 53ααβ=-=-，则tan β的值为（ ） A ．13 B ．3 C ．913 D ．1395. 在ABC ∆中，若sin :sin :sin 3:4:5A B C =,则cos A 的值为（ ） A ．35 B ．45C ．0D ．1 6. ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos a A b B =,则ABC ∆的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 7. 已知等差数列{}n a 满足123101...0a a a a ++++=则有（ ） A ．11010a a +> B ．21000a a +<C ．3990a a +=D ．5151a =8. 已知等差数列{}n a 的公差2d =-，14797...50a a a a +-++=，那么36999...a a a a ++++的值为 （ ）A ．78-B ．82-C ．148-D ．182- 9. 已知 {}n a 是首项为1的等差数列,n S 是{}n a 的前n 项和，且513S a =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前五项 和为（ ） A ．1011 B ．511 C ．45 D ．2510. 已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+= ⎪⎝⎭，且2AB AC AB AC =，则ABC ∆为 （ ）A ．三边都不等的三角形B ．直角三角形C ．等腰不等边三角形D ．等边三角形 11. 给下列结论：（ ） （1）若02x π<<，则sin tan x x x <<（2）若02x π-<<，则sin tan x x x <<（3）设,,A B C 是ABC ∆的三个内角，若A B C >>，则sin sin sin A B C >> （4）设,A B 是钝角ABC ∆的两个锐角，则sin cos A B >. 其中，正确结论的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1 12. 函数()()sin f x A x b ωϕ=++的图象如图，则()f x 的解析式和()()()()012...2013S f f f f =++++的值分别为（ ）A ．()1sin 21,20132f x x S π=+=B ．()11sin 21,201322f x x S π=+=C ．()1sin 1,201422f x x S π=+=D ．()11sin 1,2014222f x x S π=+=第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在等差数列{}n a 中，若598,24a a ==，则公差d = ．14. 已知等差数列{}n a 其前n 项和为n S ，且17100,a S S >=，则使n S 取到最大值的n 为 ．15. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足已4sin b A =,若,,a b c 成等差数列，且公差大于0，则cos cos A C -的值为 ． 16. 已知,,a b c 为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，向量()()3,1,cos ,sin m n A A =-=，若m n ⊥，且cos cos sin a B b A c C +=,则角B = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）已知函数())22sin cos 2sin cos f x x x x x =--.（1）求()f x 的最小正周期； （2）设,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域和单调递增区间. 18. （本小题满分12分）ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3,cos 32a A B A π===+. （1）求b 的值； （2）求ABC ∆的面积.19. （本小题满分12分）n S 表示等差数列{}n a 前n 项和，且491,12S S a ==-. （1）求数列的通项n a 及n S ； （2）求和12...n n T a a a =+++.20. （本小题满分12分）海滨某城市A 附近海面上有一台风，在城市A 测得该台风中心位于方位角150︒、距离400km 的海面P 处，并正以70/km h 的速度沿北偏西60︒的方向移动，如果台风侵袭的范围是半径为250km 的圆形区域. （1）几小时后该城市开始受到台风侵袭？ （2）该台风将持续影响该城市多长时间？ (1.73≈)21. （本小题满分12分）已知数列{}n a 中，1131,2(2)5n n a a n a -==-≥，数列{}n b 满足11n n b a =-. （1）求证数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 中的最大项与最小项； （3）设数列{}n c 满足()()42729n n n c b b =++，求数列{}n c 前n 项和.22.（本小题满分12分）已知点集(){},L x y y m n ==，其中()()22,11,12m x b n b =-=+，点列(),nnnP a b ，在点集L 中，1P 为L 的轨迹与y 轴的交点，已知数列{}n a 为等差数列，且公差为1，n N *∈. （1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （2）求1n n OP OP +的最小值 （3）设()152n n n n c n n a P P +=≥，求234...n c c c c ++++的值.山西省怀仁县第一中学2015-2016学年高一下学期第三次月数学（文）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.CBABB BBD 11-12.CD 二、填空题（每小题5分，共20分） 13.414.8 或9 15.216.6π三、解答题17.解：（1）())22cos sin 2sin cos f x x x x x =--2sin 22sin 23x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭,()f x ∴的最小正周期为π.（2）,,23333x xπππππ⎡⎤∈--≤+≤⎢⎥⎣⎦,sin 2123x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭，()f x ∴的值域为⎡-⎣.当sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭递减时，()f x 递增, 令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈, 则7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，又,,33123x x ππππ⎡⎤∈-∴≤≤⎢⎥⎣⎦,又,sin sin cos 223B A B A A ππ⎛⎫=+∴=+==⎪⎝⎭. 又3,a =∴由正弦定理得,sin sin a b A B = ,b =∴=. （2）cos cos sin 2B A A π⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭∴在ABC ∆中，()1sin sin sin cos cos sin 33333C A B A B A B ⎛=+=+=-+= ⎝⎭, 111sin 3223ABC S ab C ∆∴==⨯⨯=. 19. 解：（1）()()491,12,412691236,2S S a d d d ==-∴⨯-+=⨯-+∴=，()()21221214,12113n n a n n S n n n n n ∴=-+-=-=-+-=-.（2）令2140n a n =-≤,得7n ≤，当7n ≤时，()212...13n n n T a a a S n n =-+++=-=-,当8n ≥时,0n a > ，()()212787......21384n n n T a a a a a S S n n =-++++++=-=-+.20. 解：（1）设台风中心在点B 处时该城市开始受到台风侵袭，即250BP km =， 由题400,30AP APB =∠=︒,由余弦定理得222250400BP =+-解得150BP =舍去)1962.870≈=.故2.8小时后该城市开始受到台风侵袭.（2）设台风中心移到点C 处时 250AC =(与B 不重合) 由（1）知150CP =，故300BC km = 3004.2970≈ 即该台风中心持续影响该城市4.29小时. 21. 解：（1）由题11111111111111n n n n n n n na b b a a a a a ++--=-=-==-----又11512n b a ==--,{}n b ∴是以52-为首项，1为等差数列.（2）由（1）72n b n =-，1172,11227n n a a n ∴=-∴=+--, 当3n ≤时，123315a a a =>>=-；当4n ≥时，4563...a a a =>>> {}n a ∴中的最大项为43a =，最小项为31a =-.（3）()()411122211n c n n n n n n ===-+++, {}n a ∴前n 项和为1111111 (11223111)n nT n n n n =-+-++-=-=+++.22. 解：（1）由()(),22,1,1,12y m n m x b n b ==-=+，得：21y x =+，即:21l yx =+.1P 为L 的轨迹与y 轴的交点，()10,1P ∴，则110,1a b==, 数列{}n a 为等差数列，且公差为1，()1n a n n N *∴=-∈，代入21y x =+，得()21n b n n N *∴=-∈.（2()()11,21,21n n P n n P n +--∴+()()2211211,21,215151020n n OP OP n n n n n n n +⎛⎫∴=--+=--=-- ⎪⎝⎭,n N *∈，当1n =时，1n n OP OP +有最小值为3.(3) 当2n ≥时，由()1,21n P n n --，得)151n n n a P P n +=-， ()1511111n n n n c n n n nn a P P +===---，23111111...1...12231n c c c n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。
【全国百强校】山西省怀仁县第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题(原卷版)
山西省怀仁县第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ，{}3,2=B ，则=B A C U （ ）A.{}3,2B.{}3,2,1C. {}4,3,2D.{}4,3,2,12.函数x x f x4log 41)(-=的零点所在的区间是（ ） A.)21,0( B.)2,1( C.)1,21( D.)4,2( 3.执行如图所示的程序框图，若输出的48=S ，则输入k 的值可以为（ ）A.4B.6C.10D.84.下列各函数中，表示同一函数的是（ ）A.x y =与)10(log ≠>=a a a y xa 且 B.112--=x x y 与1+=x y C.12-=x y 与1-=x y D.x y lg =与2lg 21x y = 5.下列式子中成立的是（ ）A.7log 6log 67<B.5.34.301.101.1>C.3.03.04.35.3<D.6log 4log 4.04.0<6.某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在)45,20[岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（ ）A.6.31岁B.6.32岁C.6.33岁D.6.36岁7.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和小于6的概率记为1p ，点数之和大于6的概率记为2p ，点数之和为偶数的概率记为3p ，则（ ）A.321p p p <<B.231p p p <<C.312p p p <<D.213p p p <<8.已知2)()(+=x g x f ，且)(x g 为奇函数，若3)2(=f ，则)2(-f 的值为（ ）A.0B.3-C.1D.39.已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为∧∧∧+=a x b y ，若某同学根据上表中的前两组数据)0,1(和)2,2(，求得的直线方程为a x b y '+'=，则以下结论正确的是（ ）A.a a b b '>'>∧∧,B. a a b b '<'>∧∧,C.a a b b '<'<∧∧,D.a a b b '>'<∧∧, 参考公式：回归直线的方程是：∧∧∧+=a x b y ，其中∑∑==∧--=n i in i i ix n xyx n y x b 1221，x b y a ∧∧-=.10.函数xx f +=11)(的图象是（ ）11.已知)(x f 为定义在),(+∞-∞上的偶函数，且)(x f 在),0[+∞上为增函数，则)3(),(),2(f f f π--的大小顺序是（ ）A.)()3()2(π-<<-f f fB.)3()2()(f f f <-<-πC.)2()3()(-<<-f f f πD.)()2()3(π-<-<f f f12.若*∈∈N n R x ,，规定：)1()2)(1(-+⋅⋅⋅++=n x x x x H n x ，例如：24)1()2()3()4(44=-⋅-⋅-⋅-=-H ，则H x x x f 52)(-⋅=的奇偶性为（ ）A.是奇函数不是偶函数B.是偶函数不是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.满足23)3sin(=-x π，]2,2[ππ-∈x 的x 的集合是_______. 14.已知角)20(παα<≤的终边过点)32cos ,32(sin ππP ，则=α______. 15.扇形周长为4，当扇形面积最大时，其圆心角的弧度数为______. 16.设函数)10(log )(<<=a x x f a 的定义域为)](,[n m n m <，值域为]1,0[，若m n -的最小值为31，则实数=a _______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）（1）已知πααα<<=+0,54cos sin ，求ααcos sin -；（2）已知2tan =α，求ααααcos 3sin cos sin 2+-. 18.已知函数c bx x x f ++=2)(，其中c b ,为常数.（1）若函数)(x f 在区间),1[+∞上单调，求b 的取值范围；（2）若对任意R x ∈，都有)1()1(x f x f --=+-成立，且函数)(x f 的图象经过点),(b c -，求c b ,的值.19.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字3,2,1这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为c b a ,,.（1）求“抽取的卡片上的数字满足c b a =+”的概率；（2）求“抽取的卡片上的数字c b a ,,不完全相同”的概率.20.某班同学利用国庆节进行社会实践，对]55,25[岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为：非低碳族“，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（1）补全频率分布直方图，并求p a n ,,的值；（2）从)50,40[岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，求选取的3名领队中年龄都在)45,40[岁的概率.21.在某幼儿园的美术课上，老师带领小朋友用水彩笔为本子上两个大小不同的气球涂色，要求一个气球只涂一种颜色，两个气球分别涂不同的颜色.小朋友豆豆可用的有暖色系水彩笔红色、橙色各一支，冷色系水彩笔绿色、蓝色、紫色各一支.（1）豆豆从他可用的五支水彩笔中随机取出两支按老师要求给气球涂色，求两个气球同为冷色的概率；（2）一般情况下，老师发出开始指令到涂色活动全部结束需要10分钟，豆豆至少需要2分钟完成该项任务.老师发出开始指令1分钟后随时可能来到豆豆身边查看涂色情况.求当老师来到豆豆身边时，豆豆已经完成任务的概率.22.对于函数)(x f ，)(x g ，)(x ϕ，如果存在实数b a ,使得)()()(x g b x f a x ⋅+⋅=ϕ，那么称)(x ϕ为)(x f ，)(x g 的线性组合函数.如对于1)(+=x x f ，x x x g 2)(2+=， 22)(x x -=ϕ，存在1,2-==b a ，使得)()(2)(x g x f x -=ϕ，此时)(x ϕ就是)(x f ，)(x g 的线性组合函数.（1）设1)(2+=x x f ，x x x g -=2)(，32)(2+-=x x x ϕ，试判断)(x ϕ是否为)(x f ，)(x g 的线性组合函数？并说明理由；（2）设x x f 2log )(=，x x g 21log )(=，1,2==b a ，线性组合函数为)(x ϕ，若不等式0)(2)(32<+-m x x ϕϕ在]4,2[∈x 上有解，求实数m 的取值范围；（3）设x x f =)(，)91(1)(≤≤=x xx g ，取0,1>=b a ，线性组合函数)(x ϕ使b x ≥)(ϕ恒成立，求b 的取值范围.高考一轮复习：。
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怀仁县第一中学2015届高三一轮复习摸底考试
数学（文）试题
注意事项：
1．本试题分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置．
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．
4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回，
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．已知集合
2．已知复数
3．函数的零点个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知是等比数列，且
5．若变量x，y满足条件的取值范围为
6．若APA口是圆，则线段AB中点的轨迹方程为
7．若
8．某几何体的三视图如图所示，若其正视图为等腰梯形侧视图
为正三角形，则该几何体的表面积为
9．已知D，E分别是AABC的边AB，AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点．P是线段DE上的任意一点．若的最大值为
A．1个B．2个C．3个
11．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，则为坐标原点）的最小值为
A．4 B．8 C．10 D．12
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．某商场根据甲、乙两种不同品牌的洗衣粉在周一至周五每天的销量绘制成下而的茎叶图，则销
量的中位数较大的品牌是。
14．执行如图所示的程序框图，若输入p的值为31，则输出的k的
值为．
15．定义在区间上的函数在该区间
上不是单调函数，则实数m的取值范围是。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
△ABC的内角A，B，C所对的边分别为
（I）求A；
（Ⅱ）若，求△ABC的面积．
18．（本小题满分12分）
某次比赛结束后，a，b，c，d四名选手成功晋级四强，在接下来的比赛中，他们取得任何一个名次的机会均相等，且无并列名次．已知c，d两名选手已全部进入前3名．求：
（I）选手。
取得第一名的概率；
（Ⅱ）选手c的名次排在选手a的名次之前的概率．
19．（本小题满分12分）
如图1，已知四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥，如图2．
（I）当
（Ⅱ）设BD的中点为E，当三棱锥的体积最大时，求点E到平面的距离
20．（本小题满分12分）
已知离心率为
（I）求椭圆C的方程；
21．（本小题满分12分）
已知函数
（I）若处的切线方程；
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选惨4-1:几何证明选讲
如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交
圆于C，E两点（C，D两点在4B的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G．
（I）证明：PC= PD；
（Ⅱ）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分
23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程选讲
已知曲线C1的参数方程是，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是
（I）求曲线C1与C2交点的极坐标；
（Ⅱ）A，B两点分别在曲线C1与C2上，当IAB l最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．
24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
设函数
（I）当a=2时，求不等式，（x）≤4的解集；
（Ⅱ）当成立，求a的取值范围，。