4-2007年河南省赛区三维数字建模大赛试题(P15-17)
2007年河南省专升本真题高数（及答案）
2007年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试《高等数学》试卷题号一二三四五六总分核分人分数一. 单项选择题（每题2分，共计50分）在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分. 1.集合}5,4,3{的所有子集共有（）A. 5B. 6C. 7D. 8 2.函数x x x f 3)1arcsin()(的定义域为（）A. ]3,0[B. ]2,0[C.]3,2[ D. ]3,1[3. 当0x 时，与x不等价的无穷小量是( )A.x 2B.x sinC.1xeD.)1ln(x 4.当x是函数xx f 1arctan)(的（）A.连续点B. 可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点5. 设)(x f 在1x处可导，且1)1(f ，则hh f h f h)1()21(lim的值为（）A.-1B. -2C. -3D.-46.若函数)(x f 在区间),(b a 内有0)(,0)(x f x f ，则在区间),(b a 内，)(x f 图形（）A ．单调递减且为凸的B ．单调递增且为凸的C ．单调递减且为凹的D ．单调递增且为凹的7.曲线31x y 的拐点是（）A.)1,0( B. )0,1( C. )0,0( D. )1,1(8.曲线2232)(xxx f 的水平渐近线是（）A. 32yB. 32yC. 31yD. 31y9. 42tan lim xtdt x x （）A. 0B. 21C.2D. 110.若函数)(x f 是)(x g 的原函数，则下列等式正确的是（）A.C x g dx x f )()(B. C x f dx x g )()(C.C x f dxx g )()( D.Cx g dxx f )()( 11.dx x)31cos(（）A.C x)31sin(31B. C x)31sin(31C. C x)31sin( D. Cx)31sin(312. 设x dt tt y)3)(1(，则)0(y （）A.-3B.-1C.1D.3 13. 下列广义积分收敛的是（）A.1x dxB. 1x dxC.1xx dxD.10xx dx 14. 对不定积分dx xx 22cos sin 1，下列计算结果错误是（） A.C xxcot tan B.Cxxtan 1tan C. C x x tan cot D.C x2cot 15. 函数2x y 在区间]3,1[的平均值为（）A.326 B.313 C. 8 D. 416. 过Oz 轴及点)4,2,3(的平面方程为（）A. 023y xB. 02zyC. 032yx D.2z x 17. 双曲线014322y z x 绕z 轴旋转所成的曲面方程为（）A. 143222zy xB.143222z yxC. 143)(22z y x D.14)(322z yx18.xy xy yx 93lim（）A. 61 B.61 C.0 D. 极限不存在19.若yx z，则)1,(e yz （）A.e1 B. 1 C.e D. 0 20. 方程132xzyz 所确定的隐函数为),(y x f z，则x z （）A.xzyz 322B.yxzz 232C. xzyz 32 D.yxzz 2321. 设C 为抛物线2x y上从)0,0(到)1,1(的一段弧，则Cdyx xydx 22（） A.-1 B.0 C.1 D.2 22.下列正项级数收敛的是（）A.2131n n B. 2ln 1n n n C.22)(ln 1n n n D.21n nnn 23.幂级数1)1(31n nn x的收敛区间为（）A.)1,1(B.)3,3(C.)4,2( D.)2,4(24. 微分x eyy y xcos 23特解形式应设为y（）A. x Ce xcos B.)sin cos (21x C xC e xC.)sin cos (21x C xC xe xD.)sin cos (212x C xC e x x25.设函数)(x f y 是微分方程xe yy2的解，且0)(0x f ，则)(x f 在0x 处（）A.取极小值B. 取极大值C.不取极值D.取最大值二、填空题（每题2分，共30分）26.设52)(xx f ，则]1)([x f f _________.27.!2limn nn____________.28.若函数02203)(4xa xx ex f x，，在0x 处连续，则a ____________.29.已知曲线22x x y 上点M 处的切线平行于直线15x y，则点M的坐标为 ________30.设12)(x e x f ，则)0()2007(f _________31.设12132t tyt x ，则1t dxdy __________ 32. 若函数bx axx f 2)(在1x处取得极值2，则a______，b _____得分评卷人33. dxx f x f )()( _________34．1021dx x _________35.向量k ji a 43的模||a ________ 36. 已知平面1：0752zyx与平面2：01334mz y x垂直，则m ______37.设22),(y xxy y x f ，则),(y x f ________38.已知I 2122),(yydx y x f dy ，交换积分次序后，则I_______39.若级数11n nu 收敛，则级数1111n nnu u 的和为 _______40.微分方程02yy y 的通解为________三、判断题（每小题2分，共10分）你认为正确的在题后括号内划“√”，反之划“×”.41.若数列n x 单调，则n x 必收敛.( )42.若函数)(x f 在区间b a,上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f ，则一定不存在),(b a ，使)(f . ( )43.1sin sin limcos 1cos 1limsin sin limxx xx xxx x xxx由洛比达法则.( )44.2ln 23102ln 02dxe x. ( )45.函数),(y x f 在点),(y x P 处可微是),(y x f 在),(y x P 处连续的充分条件.( ) 四、计算题（每小题5分，共40分）46．求xxxsin 0lim .47.求函数3211xx xy 的导数dxdy .48.求不定积分dx x ex)]1ln([2.49.计算定积分dx x 02cos 22.50.设)3,sin (2y x y e f zx，且),(v u f 为可微函数，求dz.得分评卷人得分评卷人51．计算Ddxdy x 2，其中D 为圆环区域：4122yx.52．将242xx 展开为x 的幂级数，并写出收敛区间.53．求微分方程0)2(22dxx xy y dy x 的通解.五、应用题（每题7分，共计14分）54. 某工厂欲建造一个无盖的长方题污水处理池，设计该池容积为V 立方米，底面造价每平方米a 元，侧面造价每平方米b 元,问长、宽、高各为多少米时，才能使污水处理池的造价最低？55. 设平面图形D 由曲线xe y ,直线e y 及y 轴所围成.求：（1）平面图形D 的面积;(2) 平面图形D 绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.六、证明题（6分）56.若)(x f 在],[b a 上连续，则存在两个常数m 与M ，对于满足b x x a21的任意两点21,x x ，证明恒有)()()()(121212x x M x f x f x x m .2007年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试(答案)一1解：子集个数D n 8223。
河南省郑州市中考数学三模考试试卷
河南省郑州市中考数学三模考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）在“百度”搜索引擎中输入“姚明”，能搜索到与之相关的网页约27000000个，将这个数用科学记数法表示为（）A . 2.7×105B . 2.7×106C . 2.7×107D . 2.7×1082. （2分） (2018七上·和平期末) 如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，从左面看到几何体的形状图是（）A .B .C .D .3. （2分） (2017七下·萧山开学考) 实数的平方根是:（）A . 3B . -3C . ±3D . ±4. （2分）如果多项式y2+ky+4是一个完全平方式，那么k=（）A . ±2B . 2C . ±4D . 45. （2分）(2018·河北模拟) 下列命题：①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；②若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；③若b2-4ac ＞0，则二次函数的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．其中正确的是（）A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③6. （2分）如图，AB、CD、EF、MN均为直线，∠2=∠3=70°，∠GPC=80°，GH平分∠MGB，则∠1=（）A . 35°B . 40°C . 45°D . 50°7. （2分）如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2 ，则x的取值范围是（）A . x＜﹣1或x＞1B . x＜﹣1或0＜x＜1C . ﹣1＜x＜0或0＜x＜1D . ﹣1＜x＜0或x＞18. （2分）如图,∠BAC=110°若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,则∠PAQ的度数是（）A . 20°B . 40°C . 50°D . 60°9. （2分）(2019·张掖模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝3，BC＝5，⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，则图中阴影部分的面积为（）A . 12﹣πB . 12﹣πC . 6﹣πD . 6﹣π10. （2分）(2017·裕华模拟) 如图1，在等边△ABC中，点E、D分别是AC，BC边的中点，点P为AB边上的一个动点，连接PE，PD，PC，DE．设AP=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图像大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（）A . 线段PDB . 线段PCC . 线段PED . 线段DE二、填空题 (共6题；共17分)11. （1分）约分：________叫做约分，约分的结果应为________或者________．12. （1分）(2016·东营) 某学习小组有8人，在一次数学测验中的成绩分别是：102，115，100，105，92，105，85，104，则他们成绩的平均数是________．13. （1分）(2017·泰州模拟) 已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是________cm．14. （2分）(2019·上海模拟) 如图，点O是△ABC的重心，过点O作DE∥AB，分别交AC、BC于点D、E，如果，那么＝________（结果用表示）．15. （5分）(2017·祁阳模拟) 计算：（﹣1）2017+2sin60°﹣|﹣ |+（π﹣）0 ．16. （7分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22-02 ， 12＝42-22 ， 20＝62-42 ，因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1） 28和2012这两个数是神秘数吗?为什么?（2）设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?（3）两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?三、解答题 (共7题；共65分)17. （5分）(2018·襄阳) 我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？”该物品的价格是________元．19. （2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点（A点在B点右侧），一次函数的图象经过A、C两点，已知.（1）求该二次函数和一次函数的解析式（2）连接BC，求的面积20. （15分）(2018·建邺模拟) 图①是一张∠AOB＝45°的纸片折叠后的图形，P、Q分别是边OA、OB上的点，且OP＝2cm．将∠AOB沿PQ折叠，点O落在纸片所在平面内的C处．（1）①当PC∥QB时，OQ＝________cm；②在OB上找一点Q，使PC⊥QB（尺规作图，保留作图痕迹）；________（2）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，求OQ的长．21. （16分） (2017八下·徐州期中) 为了了解某中学初三年级650名学生升学考试的数学成绩，从中随机抽取了50名学生的数学成绩进行分析，并求得样本的平均成绩是93.5分．下面是根据抽取的学生数学成绩制作的统计表：分组频数累计频数频率60.5～70.5正3a70.5～80.5正正60.1280.5～90.5正正90.1890.5～100.5正正正正170.34100.5～110.5正正b0.2110.5～120.5正50.1合计501根据题中给出的条件回答下列问题：（1）表中的数据a=________，b=________；（2）在这次抽样调查中，样本是________；（3）在这次升学考试中，该校初三年级数学成绩在90.5～100.5范围内的人数约为________人．22. （15分） (2016·姜堰模拟) 已知抛物线y1=ax2﹣4ax+3（a≠0）与y轴交于点A，A、B两点关于对称轴对称，直线OB分别与抛物线的对称轴相交于点C．（1）直接写出对称轴及B点的坐标；（2）已知直线y2=bx﹣4b+3（b≠0）与抛物线的对称轴相交于点D．①判断直线y2=bx﹣4b+3（b≠0）是否经过点B，并说明理由；②若△BDC的面积为1，求b的值．23. （2分） (2011九上·黄冈竞赛) 如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，3），直线x=-3交x轴于点B，P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交于直线x=﹣3于点C。
07年全国数学建模竞赛试题解答（由于懒得将图片依次贴出，需要者可以下载相关附件）
07年全国数学建模竞赛试题解答（由于懒得将图⽚依次贴出，需要者可以下载相关附件）乘公交看奥运摘要本设计要解决的是合理给出两站点间的最佳路线选择问题，即给出⼀条经济且省时的路线。
在处理此问题之前，我们根据调查和分析，对影响线路选择的因素进⾏筛选，最终确定了以下三个影响较⼤的因素：第⼀是换乘次数；第⼆是乘车时间；第三是乘车费⽤。
依据各因素对路线选择的影响程度,我们按不同的权重对它们进⾏考虑。
从实际情况分析，⼈们通常宁愿多乘坐⼏站地也不愿换车，所以我们赋予换乘次数较⼤的权重。
为了解决换乘次数最少，乘车时间相对较短、乘车费⽤相对较少的问题，经过尝试与探索，我们采⽤了现代分析的⽅法，对起始站和终点站有⽆相交站点进⾏分类讨论，归纳出直达，换乘⼀次，换乘两次的情况（三次以上的情形可以类推），并通过Matlab编制程序，给出了任意两站点间的最佳乘车路线以及换车的地点，最后还提出了进⼀步的意见和建议。
关键词：最佳路线换乘次数乘车时间乘车费⽤⼀、问题的重述第29届奥运会明年8⽉将在北京举⾏，作为城市枢纽的公共交通承担着⾮常重的运输任务。
近年来，北京市的公交系统有很⼤的发展，公交线路的条数和公交车数量在迅速增多，给⼈民⽣活带来便利的同时，也⾯临多条线路得选择问题，有时出⾏往往还需要转乘多辆公交车才能到达⽬的地。
如何在短时间、换乘次数最少、成本最低的情况到达⽬的地，是⼈们所关注的问题。
因此，我们通过建⽴线路选择的模型与算法，设计⼀套⾃主查询计算机系统，查询到出⾏时所需的最佳公交路线及换乘⽅法，给⼈们出⾏节约更多的时间和⾦钱。
要求：1、仅考虑公汽线路，建⽴任意两公汽站点之间线路选择问题的数学模型与算法。
并求出以下6对起始站→终到站之间的最佳路线。
（1）S3359→S1828 （2）S1557→S0481 （3）S0971→S0485（4）S0008→S0073 （5）S0148→S0485 （6）S0087→S36762、同时考虑公汽与地铁线路，解决1中问题。
2007年第16届“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛试题
B 题 乘公交，看奥运
我国人民翘首企盼的第 29 届奥运会明年 8 月将在北京举行，届时有大量观众到现场观看奥运比赛，其
m 中大部分人将会乘坐公共交通工具（简称公交，包括公汽、地铁等）出行.这些年来，城市的公交系统有 co 了很大发展，北京市的公交线路已达 800 条以上，使得公众的出行更加通畅、便利，但同时也面临多条线 i. 路的选择问题.针对市场需求，某公司准备研制开发一个解决公交线路选择问题的自主查询计算机系统.
ww. xu 关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料.附录 2 就是从《中国人口统计年鉴》 w 00 上收集到的部分数据.
网 w.1 试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录 2 中的相关数据（也可以搜索相关文献和 习 ww 补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测； 才学 网 特别要指出你们模型中的优点与不足之处.
m 本地被叫免费，其他项目资费均同现行的资费标准，还要求用户至少在网一年.你们又如何评价这个方案？ co 并说明理由.
xi. （ 4 ）如果移动公司聘请你们帮助设计一个全球通手机的资费方案， 你们会考虑哪些因素？根据你 ue om 们的研究结果和北京、上海的实际情况，在较现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过10% 的条件下， 0x i.c 用数学建模方法设计一个你们认为合理的“套餐”方案.
圣 学习 附录1：《国家人口发展战略研究报告》； 才 附录 2 ：人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部分数据）及其说明.
圣
网 习
中华数学竞赛网
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00 xi 每个学生测试每个项目前要录入个人信息，即学号，平均需时 5 秒.仪器在每个学生测量完毕后学号将 w.1 ue 自动后移一位，于是如果前后测试的学生学号相连，就可以省去录入时间，而同一班学生的学号是相连的.
(完整版)数学建模模拟试题及答案
数学建模模拟试题及答案一、填空题(每题 5 分，共 20 分)1.一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是.2. 设银行的年利率为 0.2，则五年后的一百万元相当于现在的万元.3. 在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关：(1) 参加展览会的人数n； (2)气温T 超过10o C；(3)冰淇淋的售价p .由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 .4. 如图一是一个邮路，邮递员从邮局 A 出发走遍所有 A长方形街路后再返回邮局 .若每个小长方形街路的边长横向均为 1km，纵向均为 2km，则他至少要走 km .二、分析判断题(每题 10 分，共 20 分)1. 有一大堆油腻的盘子和一盆热的洗涤剂水。
为尽量图一多洗干净盘子，有哪些因素应予以考虑？试至少列出四种。
2. 某种疾病每年新发生 1000 例，患者中有一半当年可治愈 .若 2000 年底时有1200 个病人，到 2005 年将会出现什么结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向 2000 人，但不会达到 2000 人，试判断这个说法的正确性 .三、计算题(每题 20 分，共 40 分)1. 某工厂计划用两种原材料A, B 生产甲、乙两种产品，两种原材料的最高供应量依次为 22 和 20 个单位；每单位产品甲需用两种原材料依次为 1 、1 个单位，产值为 3 (百元)；乙的需要量依次为 3、1 个单位，产值为 9 (百元)；又根据市场预测，产品乙的市场需求量最多为 6 个单位，而甲、乙两种产品的需求比不超过 5： 2，试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：(1) 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由 .(2) 原材料的利用情况 .2. 两个水厂A1 , A2将自来水供应三个小区B1 , B2 , B3 , 每天各水厂的供应量与各小区的需求量以及各水厂调运到各小区的供水单价见下表 .试安排供水方案，使总供水费最小？四、 综合应用题(本题 20 分)某水库建有 10 个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全线，上游河水还在不断地流入 水库.为了防洪，须调节泄洪速度 .经测算，若打开一个泄洪闸， 30 个小时水位降至安全线， 若打开两个泄洪闸， 10 个小时水位降落至安全线 .现在，抗洪指挥部要求在 3 个小时内将水 位降至安全线以下，问至少要同时打开几个闸门？试组建数学模型给予解决 .注：本题要求按照五步建模法给出全过程 .小区 单价/元水厂A1A供应量 / t170B34B11 07 1B26数学建模 06 春试题模拟试题参考解答一、填空题(每题 5 分，共 20 分)1. 奇数顶点个数是 0 或 2；2. 约 40.1876 ；3. N = Kn(T10) / p, (T > 10 0 C), K 是比例常数； 4. 42.二、分析判断题(每题 10 分，共 20 分)1. 解： 问题与盘子、水和温度等因素直接相关，故有相关因素：盘子的油腻程度，盘子的温度，盘子的尺寸大小；洗涤剂水的温度、浓度； 刷洗地点 的温度等.注：列出的因素不足四个，每缺一个扣 2.5 分。
2007数学建模A题CUMCM全国二等奖
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f X (mi (t ),i di (t )) ——组间交换人口数； TFR——总和生育率；
S (t , a ) ——幸存矩阵； C (t , a ) ——人口组间交换矩阵；
mi (t ) ——组别迁入人口数； di (t ) ——组别迁出人口数；
μinf ant (t ) ——第 t 年代的婴儿死亡率; μ0 (t ) ——第 t 年代不能存活到 t 时代统计时刻的婴儿比率；
k =1
。
则 GM (1,1) 模型的微分方程为： dX (1) + aX (1) = u dt
2007CUMCM 全国二等奖
湖南大学
程雨
倪剑光
何良勇
湖南大学数学建模网站
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系数向量为：
a = [a , u]
Λ
T
。累加矩阵B为：
⎡ −[ X (1) (1) + X (1) (2)] 1⎤ ⎢ ⎥ −[ X (1) (2) + X (1) (3)] 1⎥ ⎢ B= ⎢M M⎥ ⎢ ⎥ (1) (1) ⎢− ⎣ [ X (n − 1) + X (n)]1⎦ ， Yn = [ X (0) (2)
⎧ x1 (t , a) ⎫ ⎪ x (t , a ) ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ X (t , a) = ⎨ x3 (t , a) ⎬ ⎪ x (t , a ) ⎪ ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ ( , ) x t a ⎩ 5 ⎭ 我们现在推导各年龄组的人口变化规律。 第 i 个年龄组第 t+1 年代人口数由两个因素决定：上一年代 t 的保留人口 f c (ui (t ), xi (t , a)) 和组间交换人口 f X (mi (t ),i di (t )) ：
2007年河南省 高级中等学校招生学业考试试卷
数学试卷 第1页（共8页）2007年河南省高级中等学校招生学业考试试卷数 学注意事项：1. 本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟. 请用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上.一、选择题（每小题3分，共18分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内．1．计算31）（－ 的结果是 【 】A ．－1B ． 1C ．－3D ． 32．使分式2+x x有意义的x 的取值范围为 【 】 A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x C ．2<x3．如图，ΔABC 与ΔA ’B ’C ’关于直线l 对称， 则∠B 的度数为 【 】A ．30°B ．50°C ．90°D ．100°4．为了某小区居民的用水情况，随机抽查了 10户家庭的月用水量，结果如下表：30︒lC'B'A'B CA50︒（第3题）数学试卷 第2页（共8页）则关于这10户家庭的约用水量，下列说法错误的是【 】A ．中位数是5吨B ． 极差是3吨C ．平均数是5.3吨D ．众数是5吨 5．由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数，那么，这个几何体的左视图是 【 】6．二次函数122-++=a x ax y 的图像可能是 【 】二、填空题（每小题3分，共27分）7．52的相反数是． 8．计算：423)2(x x ⋅-＝ .9．写出一个经过点（1，－1）的函数的表达式．10．如图，PA、PB 切⊙O 于点A 、B ，点C 是⊙O 上一点，且∠ACB =65°，则∠P = 度．A ．B ．C ．D ．A. B.C.D.（第10题图）OCB APDCA B（第11题图）数学试卷 第3页（共8页）11．如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，AD ⊥CD ，AB =1cm ，AD =2cm ，CD =4cm ，则BC = ．12．已知x 为整数，且满足32≤≤x －，则x ＝ ．13．将图①所示的正六边形进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样 的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，…，则第n 个图形中共有 个正六边形．14．将图，四边形OABC 为菱形，点B 、C 在以点O 为圆心的⌒EF 上，若OA =3，∠1=∠2，则扇形OEF 的面积为 ．15．如图，点P 是∠AOB 的角平分线上一点， 过P 作PC //OA 交OB 于点C ．若∠AOB ＝60°， OC =4，则点P 到OA 的距离PD 等于 ． 三、解答题（本大题共8个小题， 满分75分） 16．(8分) 32223=-++x x x（第14题图）EF OBC21（第15题图）PC ODA （第13题图）①∙∙∙②③数学试卷 第4页（共8页）17．（9分）如图，点E 、F 、G 分别 是□ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：ΔBEF ≌ΔDGH ．18．（9分）下图是2006年某省各类学校在校生数情况制作的扇形统计图和不完整的条形统计图．已知2006年该省普通高校在校生为97.41万人，请根据统计图中提供的信息解答下列问题：（1）2006年该省各类学校在校生总人数约多少万人？（精确到1万） （2）补全条形统计图；（3）请你写出一条合理化建议．G HE FDC BA 小学初中普通高中中等职业成人高校普通高校 人数（万人）100012008006004002000普通高中10.08%中等职业6.86%成人高校4.87%1.28%普通高校小学49.86%初中27.05%19．（9分）张彬和王华两位同学为得到一张观看足球比赛Array的入场券，各自设计了一种方案：张彬：如图，设计了一个可以自由转动的转盘，随意转动转盘，当指针指向阴影区域时，张彬得到了入场券；否则，王华得到入场券；王华：将三个完全相同的小球分别标上数字1、2、3后，放入一个不透明的袋子中．从中随机取出一个小球，然后放回袋子；混合均匀后，再随机取出一个小球．若两次取出的小球上的数字之和为偶数，王华得到入场券；否则，张彬得到入场券．请你运用所学的概率知识，分析张彬和王华的设计方案对双方是否公平．数学试卷第5页（共8页）数学试卷 第6页（共8页）20．（9分）如图，ABCD 是边长为1的正方形，其中⌒DE 、⌒EF 、⌒FG 的圆心依次是点A 、B 、C ．（1）求点D 沿三条圆弧运动到G 所经过的路线长；（2）判断直线GB 与DF 的位置关系，并说明理由．FG EBA21．（10分）请你画出一个以BC 为底边的等腰ΔABC ，使底边上的高AD =BC ．（1）求tan B 和 sin B 的值；（2）在你所画的等腰ΔABC 中设底边BC =5米，求腰上的高BE ．数学试卷 第7页（共8页）22．（10分）某商场用36万元购进A 、B 两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：（注：获利＝售价－进价）(1) 该商场购进A 、B 两种商品各多少件?(2) 商场第二次以原进价购进A 、B 两种商品．购进B 种商品的件数不变，而购进A 种商品的件数是第一次的2倍，A 种商品按原价出售，而B 种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B 种商品最低售价为每件多少元?数学试卷 第8页（共8页）23．（11分）如图，对称轴为直线x ＝27的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）①当四边形OEAF 的面积为24时，请判断OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．数学试卷 第9页（共8页）一、选择题（每小题3分，共18分）三、解答题（本大题8个小题，共75分）16．解：方程两边同乘以(2)(2)x x +-，得3(2)2(2)3(2)(2)x x x x x -++=+-． ················································································································································· 3分解这个整式方程，得4x =． ································································································ 6分 检验：当4x =时，(2)(2)(42)(42)0x x +-=+-≠，所以，4x =是原方程的解． ································································································ 8分 17．证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， B D ∠=∠∴，AB CD BC AD ==，． ············································································· 4分 又E F G H ∵，，，分别是ABCD 的四边中点， BE DG BF DH ==∴，． BEF DGH ∴△≌△． ········································································································ 9分18．解：（1）2006年该省各类学校在校生总数为97.4120004.87≈%（万人）． ······················ 3分 （2）普通高中在校生人数约为200010.08201.6⨯=%（万人）． ····································· 5分正确画出图形． ······················································································································ 6分 （注：没有计算，但图形正确者可给满分．） （3）（答案不唯一，根据图中的信息，回答合理即可）． ··················································· 9分 19．解：张彬的设计方案： 因为P （张彬得到入场券）360(10070)1936036-+==，P （王华得到入场券）100701736036+==，因为19173636>，所以，张彬的设计方案不公平． ··························································································· 4分王华的设计方案：可能出现的所有结果列表如下：数学试卷 第10页（共8页）P ∴（王华得到入场券）P =（和为偶数）9=， P （张彬得到入场券）P =（和不是偶数）49=，因为5499>，所以，王华的设计方案也不公平． ······················································································· 9分20．解：（1）1AD =∵，90DAE ∠=°，DE ∴的长190π1π1802l ⨯==． ······························································································ 2分 同理，EF 的长290π2π180l ⨯==， ······················································································ 3分 FG 的长390π33π1802l ⨯==， ······························································································· 4分 ∴点D 运动到点G 所经过的路线长1233πl l l l =++=． ·················································· 5分（2）直线GB DF ⊥． ········································································································· 6分理由如下：延长GB 交DF 于H ．CD CB =∵，DCF BCG ∠=∠，CF CG =， FDC GBC ∴△≌△．········································································································· 7分 F G ∠=∠∴． ······················································································································ 8分 又90F FDC ∠+∠=∵°， 90G FDC ∠+∠=∴°．即90GHD ∠=°，故BG DF ⊥． ······················································································ 9分 21．解：如图，正确画出图形． ························································································ (4)分（1）AB AC =∵，AD BC ⊥，AD BC =，1122BD BCAD ==∴．即2AD BD =． AB =∴．tan 2AD B BD ==∴，sin 5AD B AB ==． ······································································· 7分（2）作BE AC ⊥于E ．在Rt BEC △中，sin sin C ABC =∠=． B数学试卷 第11页（共8页） 又sin BE C BC =∵，5BE =．故BE =． ··········································································································· 10分22．解：（1）设购进A 种商品x 件，B 种商品y 件．根据题意，得12001000360000(13801200)(12001000)60000x y x y +=⎧⎨-+-=⎩，． ··············································· 3分 化简，得6518009103000x y x y +=⎧⎨+=⎩，．解之，得200120.x y =⎧⎨=⎩， ················································································································ 5分 答：该商场购进A B ，两种商品分别为200件和120件． ·················································· 6分（2）由于A 商品购进400件，获利为(13801200)40072000-⨯=（元）．从而B 商品售完获利应不少于81600720009600-=（元）．设B 商品每件售价为x 元，则120(1000)9600x -≥． ···················································· 8分 解得1080x ≥．所以，B 种商品最低售价为每件1080元． ········································································ 10分23．解：（1）由抛物线的对称轴是72x =，可设解析式为272y a x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 把A B ，两点坐标代入上式，得2276027042a k a k ⎧⎛⎫-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，． 解之，得22536a k ==-，． 故抛物线解析式为22725326y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，顶点为72526⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ········································· 3分数学试卷 第12页（共8页） （2）∵点()E x y ，在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合22725326y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 0y <∴，即0y ->，y -表示点E 到OA 的距离．OA ∵是OEAF 的对角线，12262OAE S S OA y y ==⨯⨯=-△∴· 274252x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭． ············································································································ 6分 因为抛物线与x 轴的两个交点是(10)，和(60)，， 所以，自变量x 的取值范围是16x <<． ············································································ 7分 ①根据题意，当24S =时，即27425242x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭． 化简，得27124x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．解之，得1234x x ==，． 故所求的点E 有两个，分别为1(34)E -，，2(44)E -，． ··················································· 9分 点1(34)E -，满足OE AE =，OEAF ∴是菱形；点2(44)E -，不满足OE AE =，所以OEAF 不是菱形． ···································································································· 10分②当OA EF ⊥，且O A E F =时，OEAF 是正方形，此时点E 的坐标只能是(33)-，．而坐标为(33)-，的点不在抛物线上， 故不存在这样的点E ，使OEAF 为正方形． ································································· 11分试卷乃本人制作，目的是让数学教师交流共享，请不要用于网站盈利目的．流水行云liuzf0729@。
2009年秋季学期三维竞赛样题(有答案)
1、参照下图构建模型，注意其中的对称、重合、等距、同心等约束关系。
零件壁厚均为E。
输入答案时请精确到小数点后两位（注意采用正常数字表达方法，而不要采用科学计数法）。
请问模型体积为多少？110307260 1.518654.352、参照下图构建三维模型，注意其中的对称、相切、同心、阵列等几何关系，输入答案时请精确到小数点后两位。
（注意采用正常数字表达方法，而不要采用科学计数法）。
其中：3、参照下图构建模型，注意通过方程式等方法设定其中尺寸的关联关系，并满足共线等几何关系。
需要确保的尺寸和几何关系包括:1)右侧立柱的高度为整个架体高度加15，即图中的A+15。
2)右侧立柱的壁厚为架体主区域（橘色区域）壁厚的两倍，即图中的2xC。
3)右侧立柱位于架体右侧圆角RB区域的中心位置，即图中的B/2。
4)架体外缘的长宽相等，均为D。
5)架体外缘蓝色区域的左右边线分别通过左右两个立柱的孔中心。
6)加强筋的上边缘与架体上方的圆角相切。
（输入答案时请精确到小数点后2位，注意采用正常数字表达方法，而不要采用科学计数法）。
请问模型体积为多少？按照如下参数调整模型参数，请问模型体积为多少？1~2，2~3……，10~1（第一题23分，第二题38分）4、参照下图构建模型，注意除去底部8mm厚的区域外，其他区域壁厚都是5mm。
注意模型中的对称、阵列、相切、同心等几何关系。
（输入答案时请精确到小数点后两位，注意采用正常数字表达方法，而不要采用科学计数法）请问模型体积为多少？136705.6919825505、题目：参照下图构建三维模型，请注意其中的偏距、同心、重合等约束关系。
（输入答案时请精确到小数点后2位，注意采用正常数字表达方法，而不要采用科学计数法）请问模型体积为多少?280645.618994470。