2020版高考数学一轮复习 第5章 数列 第2讲 等差数列及其前n项和讲义 理(含解析)
2019-2020年高考数学一轮总复习第五章数列5.3等比数列及其前n项和课时跟踪检测理
2019-2020年高考数学一轮总复习第五章数列5.3等比数列及其前n项和课时跟踪检测理
[课 时 跟 踪 检 测]
[基 础 达 标]
1．已知数列{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a7(a1＋2a3)＋a3a9的值为( )
A．10 B．20
C．100 D．200
解析：a7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝a24＋2a4a6＋a26＝(a4＋a6)2＝102＝100.
答案：C
2．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于( )
A.18 B．－18
C.578 D．558
解析：因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝18.所以a7＋a8＋a9＝18.
答案：A
3．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log13(a5＋a7＋a9)的值是( )
A．－5 B．－15
C．5 D．15
解析：∵log3an＋1＝log3an＋1，∴an＋1＝3an.
∴数列{an}是公比q＝3的等比数列．
∵a5＋a7＋a9＝q3(a2＋a4＋a6)，
∴log13(a5＋a7＋a9)＝log13(9×33)＝log1335＝－5.
答案：A
4．(xx届太原一模)在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝52，则a1＝( )
A．2 B．4
C.2 D．22 解析：在等比数列{an}中，a2a4＝a23＝1，又a2＋a4＝52，数列{an}为递减数列，所以a2＝2，a4＝12，所以q2＝a4a2＝14，所以q＝12，a1＝a2q＝4.
答案：B
5．(xx届莱芜模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝bn＋1bn＝3，n∈N*，若数列{cn}满足cn＝ban，则c2 017＝( )
专题5.4 数列求和及数列的综合应用-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版)
第五篇 数列及其应用
专题5.04 数列求和及数列的综合应用
【考试要求】
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；
2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法；
3.了解数列是一种特殊的函数；4.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题.
【知识梳理】
1.特殊数列的求和公式
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝n（a1＋an）2＝na1＋n（n－1）2d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝na1，q＝1，a1－anq1－q＝a1（1－qn）1－q，q≠1.
2.数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
3.数列应用题常见模型
(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差. (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑an与an＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者Sn与Sn＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系.
【微点提醒】
1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋1）2.
2.12＋22＋…＋n2＝n（n＋1）（2n＋1）6.
3.裂项求和常用的三种变形
(1)1n（n＋1）＝1n－1n＋1.
(2)1（2n－1）（2n＋1）＝1212n－1－12n＋1.
2022届高考数学(理)大一轮复习教师用书：第六章第二节等差数列及其前n项和 Word版含解析
其次节等差数列及其前n项和
突破点(一) 等差数列的性质及基本量的计算
基础联通
抓主干学问的“源”与“流”
1．等差数列的有关概念
(1)定义：假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b2，其中A叫做a，b的等差中项．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋nn－12d＝na1＋an2.
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(5)若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2.
考点贯穿 抓高考命题的“形”与“神”
等差数列的基本运算
[例1] (1)(2022·东北师大附中摸底考试)在等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)(2022·惠州调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，a1＝4，则公差d等于( ) A．1 B.53
C．－2 D．3
[解析] (1)∵a1＋a5＝2a3＝10，
2020届高考数学(理)一轮复习讲义 6.3 等比数列及其前n项和 - 副本
§6.3 等比数列及其前n项和
最新考纲
考情考向分析
1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.
3.了解等比数列与指数函数的关系. 主要考查等比数列的基本运算、基本性质，等比数列的证明也是考查的热点.本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查.解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查.属于中低档题.
1.等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0).
2.等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.
3.等比中项
如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项.
4.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N＋).
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列.
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
5.等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q. 6.等比数列前n项和的性质
公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
概念方法微思考
1.将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？
【金版教程】2021届高考数学大一轮总温习 5-2（2）等差数列及其前n项和限时标准训练 理(1)
05限时标准特训
A级 基础达标
1．假设等差数列的第一、二、三项依次是1x＋1、56x、1x，那么数列的公差d是( )
A.112 B.16
C.14 D.12
解析：依题意得2×56x＝1x＋1＋1x，解得x＝2，因此d＝512－13＝112.选A.
答案：A
2．在等差数列{an}中，已知a4＝7，a3＋a6＝16，an＝31，那么n为( )
A．13 B．14
C．15 D．16
解析：由已知可得a4＋a5＝7＋a5＝a3＋a6＝16，得a5＝16－7＝9，故公差d＝a5－a4＝9－7＝2，同时解得a1＝1，由1＋(n－1)×2＝31，解得n＝16，选D.
答案：D
3．[2021·安庆模拟]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，假设2a6＝a8＋6，那么S7＝( )
A．49 B．42
C．35 D．28
解析：2a6＝a8＋6⇒a1＋3d＝6⇒a4＝6，故S7＝7a1＋a72＝7a4＝42，应选B.
答案：B
4．[2021·湖南四市联考]数列{an}中，a2＝2，a6＝0且数列{1an＋1}是等差数列，那么a4＝( )
A.12 B.13
C.14 D.16 解析：设数列{1an＋1}的公差为d，那么4d＝1a6＋1－1a2＋1得d＝16，
∴1a4＋1＝12＋1＋2×16，解得a4＝12.
答案：A
5．[2021·金版]在各项均不为零的等差数列{an}中，假设a2n－an＋1＝an－1(n≥2，n∈N*)，那么S2021的值为( )
A．2021 B．2021
C．4026 D．4028
解析：由a2n－an＋1＝an－1(n≥2，n∈N*)可得a2n＝an＋1＋an－1＝2an，因为an≠0，因此an＝2，故S2021＝2×2021＝4028.选D.
答案：D
6．等差数列{an}的前n项和是Sn，且a1＝10，a5＝6，那么以下不等式中不成立的是( )
2020届高考数学二轮教师用书：第五章第3节 等比数列及其前n项和 Word版含解析
第3节 等比数列及其前n项和
1．等比数列的概念
(1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于 同一个非零 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比 ，公比通常用字母q(q≠0)表示．
数学语言表达式：anan－1＝ q (n≥2，q为非零常数)，或an＋1an＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的 等比中项 ，其中G＝ ±ab .
2. 等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝ a1qn－1 ；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝ a11－qn1－q ＝a1－anq1－q.
推广：当q≠0,1时，{an}是等比数列⇔Sn＝Aqn－A(A为常数且A≠0)．
3．等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和．
(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝ apaq ，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a2s，其中p，s，r∈N*.
(2)等比数列{an}的单调性
当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是 递增 数列；
当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是 递减 数列；
当q＝1时，数列{an}是 常数列 .
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为 qm (k，m∈N*)．
(4)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为
qn .
等比数列的主要性质
设数列{an}是首项为a1，公比是q的等比数列，Sn是其前n项和．
1．若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和panqbn(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列．
2021届高考数学一轮知能训练第五章数列第2讲等差数列含解析
20212
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2021届高考数学一轮知能训练第五章数列第2讲等差数列含解析(可编辑) 2021届高考数学一轮知能训练第五章数列第2讲等差数列含解析
- 2 - 第2讲 等差数列
1．设等差数列{an｝的前n项和为Sn，若a2＋a5＋a8＝30，则下列一定为定值的是( ）
A．S6 B．S7 C．S8 D．S9
2．（2014年天津）设{an｝是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝( )
A．2 B．－2
C。12 D．－错误!
3．(2017年新课标Ⅲ)等差数列｛an}的首项为1，公差不为0。若a2,a3，a6成等比数列,则数列{an｝的前6项和为( ）
A．－24 B．－3 C．3 D．8
4．(2019年陕西西安八校联考）设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a6＝6,Sn是数列｛an}的前n项和,则( ）
A．S4
C．S4>S1 D．S4＝S1
5．(2019年河南洛阳统考)设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，且a1〉0，a3＋a10>0,a6a7〈0，则满足Sn〉0的最大自然数n的值为( )
A．6 B．7 C．12 D．13
6．已知数列｛an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1｜＋|a2|＋…＋|a6｜＝( ）
A．9 B．15 C．18 D．30
7．（多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和,且S7S10，则下列结论正确的是（ ）
A．d〈0
B．a9＝0
C．S11>S7
D．S8、S9均为Sn的最大值
8．（多选)已知两个等差数列｛an｝和错误!的前n项和分别为Sn和Tn，且错误!＝错误!，则使得错误!为整数的正整数n的值为（ )
A．2 B．3 C．4 D．14
新教材高考数学第一课时等差数列的前n项和公式及相关性质练习含解析选修2
1 第一课时 等差数列的前n项和公式及相关性质
课标要求 素养要求
1.探索并掌握等差数列的前n项和公式.
2.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系. 在探索等差数列的前n项和公式及相关性质的过程中，发展学生的数学运算和逻辑推理素养.
新知探究
在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇帝建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈.
问题 文中所提到的最高一层的石板一共有多少块？
提示 9＋2×9＋3×9＋…＋8×9＋9×9＝405(块).
1.等差数列的前n项和公式
求Sn的条件：已知n，a1，an或n，a1，d
(1)等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和公式 Sn＝n（a1＋an）2 Sn＝na1＋n（n－1）d2
(2)两个公式的关系：把an＝a1＋(n－1)d代入Sn＝n（a1＋an）2中，就可以得到Sn＝na1＋n（n－1）2d.
2.等差数列前n项和的性质 2 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列Snn也是等差数列，且公差为d2.
(2)若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.
(3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则anbn＝S2n－1T2n－1.
(4)若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，
S偶－S奇＝nd，S偶S奇＝an＋1an(S奇≠0).
(5)若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1(an＋1是数列的中间项)，S偶－S奇＝－an＋1，S偶S奇＝nn＋1(S奇≠0).
拓展深化
[微判断]
2019-2020年高中数学数列版块二等差数列等差数列的通项公式与求和完整讲义(学生版)
2019-2020年高中数学数列版块二等差数列等差数列的通项公式与求和完整讲义（学生版）
【例1】 等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】 数列的前项和，求它的通项公式．
【例3】 数列的前项和，，则数列的前项和_______.
【例4】 数列的前项和，则_______.
【例5】 设等差数列的前项的和为，且，，求.
【例6】 设等差数列的前项的和为，且，，求.
【例7】 有两个等差数列，，其前项和分别为，，若对有成立，求．
【例8】 在等差数列中，，，为前项和，
⑴求使的最小的正整数；
⑵求的表达式.
典例分析
【例9】 等差数列的前项和为，前项和为，则它的前项和为_______．
【例10】 等差数列中，，，问数列的多少项之和最大，并求此最大值．
【例11】 已知二次函数222103961100fxxnxnn，其中．
⑴ 设函数的图象的顶点的横坐标构成数列，求证：数列为等差数列；
⑵ 设函数的图象的顶点到轴的距离构成数列，求数列的前项和．
【例12】 等差数列前项的和为，其中，项数为奇数的各项的和为，求其第项及公差．
【例13】 设等差数列的公差为,，且，求当取得最大值时的值．
【例14】 已知等差数列中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【例15】 已知是等差数列，且，，求数列的通项公式及的前项和．
【例16】 在各项均不为0的等差数列中，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【例17】 设数列满足，，，且数列是等差数列，求数列的通项公式．
【例18】 已知22()2(1)57fxxnxnn，
⑴ 设的图象的顶点的纵坐标构成数列，求证为等差数列．
⑵ 设的图象的顶点到轴的距离构成，求的前项和．
2023届高三数学一轮复习专题 数列累加法构造等比等递推公式求通项及常用求和方法 讲义 (解析版)
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数列求解通项的方法总结
方法一、公式法
当已知数列的类型（如已知数列为等差或等比数列）时，可以设出首项和公差（公比），列式计算。
1、等差数列通项公式： dnaan)1(1
2、等比数列通项公式：
例1、设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式
（2）当d＞1时，记cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．
变式1、已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．
11nnqaa第 2 页 共 8 页
方法二、利用前n项和与通项的关系
已知数列{ a n}前n项和S n，求通项公式，利用
a n＝)1()2(11nSnSSnn
特别地，当n=1的值与S1的值相同时，合并为一个通项公式，否则写成分段的形式。
例2、（1）设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3．求{an}的通项公式；
（2）Sn为数列{an}的前n项和，己知an＞0，an2+2an=4Sn+3
（I）求{an}的通项公式.（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和．
变式2、（2015·四川）数列{an}（n=1，2，3…）的前n项和Sn，满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设数列的前n项和为Tn，求Tn．
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方法三、利用递推关系式与通项的关系
类型1、累加法 形如)(1nfaann
例3、（2014·全国卷）数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an+2.