天津市第一中学2019届高三上学期第二次月考数学(理)试题(pdf版)

ï î
y
³
-1
m ，则 M - m =
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
3．执行如图所示的程序框图，若输入 n = 10,则输出的S =
A． 5 11
C． 36 55
B． 10 11
D． 72 55
4．设{an }是首项为正数的等比数列，公比为 q ，则 “ q < 0 ”是“对任意的正整数
n, a2n-1 + a2n < 0 ”的
14．已知函数
f
(x)
=
ì| xí îx2|, -2mx
+
x £ m，其中
4m, x > m，
m
>
0 ，若存在实数 b
，使得关于
x
的方
程
f (x) = b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是________ _.
三、解答题：
15．在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 sin( A - B) = cosC
项和为 Sn
，且 a1
= 1, an
+
an+1
=
1 2n
(n
= 1, 2,3,L)
，则
S2n-1 = ___________.
12．在 DABC 中， A = 3p , AB = 6, AC = 3 2 ,点 D 在 BC 边上， AD = BD ，则 AD 的 4
长为 .
( ) 13．若不等式 p 2 - p 2x - çæ 1 ÷ö x < 1对一切 x Î (- ¥,-1]恒成立，则实数 p 的取值范围是 è2ø _______
B．向右平移个单位长度
6
C．向左平移 p 个单位长度 12
D．向右平移 p 个单位长度 12
6．设等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，且 S15
> 0, a8
+ a9
< 0 ,则使得 an
+
Sn n
< 0 的最小的
n为
A．10
B． 11
C． 12
D．13
7．已知函数 f (x) = sin( 2x + j) .若 f (x) £ f (p ) 对 x Î R 恒成立，且 f (p ) > f (p ) ，
x
Î çæ è
1 2
,1úûù
，函数 g(x) = a sin px - 2a + 2, (a > 0) ，若
ïïî-
1 3
x
+
1 6
,
x
Î
êëé0,
1 2
ù úû
6
存在 x1, x2 Î [0,1]，使得 f (x1) = g(x2 ) 成立，则实数 a 的取值范围是
A．[1 , 3] 24
B．[ 3 , 3] 42
奖级摸出红、蓝球个数获奖金额
一等奖
3红1蓝
200 元
二等奖
3红0蓝
50 元
三等奖
2红1蓝
10 元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
（Ⅰ）求一次摸球恰好摸到 1 个红球的概率；
（Ⅱ）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望 E( X ) ．
17．如图，已知菱形 ABCD 与直角梯形 ABEF 所在的平面互相垂直，其中 BE P AF ，
（Ⅰ）若 a = 3 2, b = 10 ，求 c ；
（Ⅱ）求 a cos C - c cos A 的取值范围． b
16．某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球，再从装有 1 个篮球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球，根据摸出 4 个球中红球与篮球的个数，设一、二、三等奖如下：
26
求 AG 的长.
18．已知正项数列{an }是公差为 2 的等差数列，数列{bn }满足 b1
= 1, b2
=
5 3
，且
bn+1
- bn
=
2 an an+1
（Ⅰ）求数列{an }， {bn }的通项公式
（Ⅱ）设 cn
=
1 (2 - bn ) × 2an
求数列
{cn
} 的前
n
项和
Tn
，并证明
1 2
C．[ 2 , 4] D．[1 , 4]
33
23
二、填空题：
9．已知复数 z 满足 z+ | z |= 3 + i ，则 z =
10．已知直线 l 的极坐标方程为 2r sin(q -π）= 4
2
，点
A
的极坐标为
A
æ çè
2
2,
7p 4
ö ÷ø
，则
点 A 到直线 l 的距离为 .
11．设数列{an}的前 n
6
2
则 f (x) 的单调递增区间是
A． êëékp
-
p 3
, kp
+
p 6
úûù(k
Î
Z)
B． êëékp
+
p 6
, kp
+
2p 3
úûù(k
Î
Z)
C． êëékp , kp
+
p 2
úûù(k
Î
Z)
D．
êëékp
-
p 2
, kp
úûù(k
Î
Z
)
8．已知函数
f
(x)
=
ì 2x3 ïï x + 1, í
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．函数 f ( x) = Asin (wx + f ) （其中 A > 0,w > 0, f < p ）的图象如
2
图所示，为了得到 y = cos 2x 的图象，则只要将 f ( x) 的图象
p
A．向左平移个单位长度
6
p
£ Tn
< 10 对一切 9
n Î N * 都成立
19．已知椭圆 C ：
x2 y2 +
a2 b2
= 1 （ a > b > 0 ）的离心率为
3
，以椭圆的四个顶点为顶点
2
的四边形的面积为 8.
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
1
（Ⅱ）如图，斜率为
的直线 l 与椭圆 C 交于 A ，
B
两点，点 P (2,1) 在直线 l 的左上方.
天津一中 2018-2019 高三年级第二次月考数学试卷（理）一、选择题：
1．设集合 M = {x | x2 = x} ， N = {x | lg x £ 0} ，则 M U N =
A．[0,1] B． (0,1]
C． [0,1)
D． (-¥,1]
ìy £ x
2．若变量 x 、 y 满足约束条件 ïíx + y £ 1 ，且 z = 2x + y 的最大值和最小值分别为 M 和
2
若 ÐAPB = 90° ，且直线 PA ， PB 分别与 y 轴交于 M ， N 点，求线段 MN 的长度.
20．设函数 f (x) = x , g(x) = x ln x - f (x) ex
AB ^ AF ， AB = BE = 1 AF = 2 ， ÐCBA = p ， P 为 DF 的中点.
2
3
（Ⅰ）求证： PE ∥平面 ABCD ；
（Ⅱ）求二面角 D－EF－A 的余弦值； uuur uuur
（Ⅲ）设 G 为线段 AD 上一点， AG = l AD ，若直线 FG 与平面 ABEF 所成角的正弦值为 39 ，

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天津市第一中学2022-2023学年高三上学期第三次月考数学试题(解析版)

天津一中2022-2023-1高三年级第三次月考数学试卷（答案）本试卷总分150分，考试用时120分钟。

考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合3{Z |Z}1A x x=∈∈-，2{Z |60}B x x x =∈--≤，则A B ⋃=（） A ．{2} B ．}{2,0,2- C ．{}2,1,0,1,2,3,4-- D ．}{3,2,0,2,4--【详解】{A x =∈2Z |x x --{2,1,0,1,2,3,4--．，b ，c 为非零实数，则“A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的基本性质可判定“a ＞b ＞c ”能推出“a +b ＞2c ”，然后利用列举法判定“a +b ＞2c ”不能推出“a ＞b ＞c ”，从而可得结论．【解答】解：∵a ＞b ＞c ，∴a ＞c ，b ＞c ，则a +b ＞2c ，即“a ＞b ＞c ”能推出“a +b ＞2c ”，但满足a +b ＞2c ，取a ＝4，b ＝﹣1，c ＝1，不满足a ＞b ＞c ，即“a +b ＞2c ”不能推出“a ＞b ＞c ”，所以“a ＞b ＞c ”是“a +b ＞2c ”的充分不必要条件，故选：A ．3、已知2log 0.8a =，0.12b =，sin 2.1c =，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b<c<a 【答案】B【详解】因为22log 0.8log 10<=，0.10122>=，0sin 2.11<<，所以a c b <<，故选：B 4、函数2sin ()1x xf x x -=+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值来确定正确选项. 【详解】由题意，函数2sin ()1x xf x x -=+的定义域为R ，且22sin()sin ()()()11x x x xf x f x x x -----===--++，所以函数()f x 奇函数，其图象关于原点对称，所以排除C 、D 项，2120212f πππ-⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以排除B 项．故选：A5、已知1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1221::2:3:4F F F M F M =，则双曲线E 的渐近线方程为（） A ．2y x =± B ．12y x =±C．y = D．y =【答案】C【解析】由题意，1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，且满足1221:||:2:3:4F F F M F M =，可得122F F c =，23F M c =，14F M c =，由双曲线的定义可知21243a F M F M c c c =-=-=，即2c a =，又由b ==，所以双曲线的渐近线方程为y =．故选：C ．6、设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若34S =，4566a a a ++=，则96S S = （）A ．32B ．1910 C ．53D ．196【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则456133a a a a S ++==，矛盾．所以，1q ≠，故()()33341345631111a q a q q a a a q S qq--++===--，则332q=，所以，()()()63113631151112a q a q S q S qq--==+⋅=--， ()()()9311369311191114a q a q S q q S qq--==++=--，因此，9363192194510S S S S =⋅=．故选：B ． 7、直线1y kx =-被椭圆22:15x C y +=截得最长的弦为（） A ．3 B ．52C ．2D【答案】B【解析】联立直线1y kx =-和椭圆2215xy +=，可得22(15)100k x kx +-=，解得0x =或21015kx k =+，则弦长21015kl k =+，令215(1)k t t +=≥，则10l === 当83t =，即k =，l 取得最大值55242⨯=，故选：B8、设函数()sin()(0)4f x x πωω=->，若12()()2f x f x -=时，12x x -的最小值为3π，则（）A ．函数()f x 的周期为3πB ．将函数()f x 的图像向左平移4π个单位，得到的函数为奇函数 C ．当(,)63x ππ∈，()f x的值域为D ．函数()f x 在区间[,]-ππ上的零点个数共有6个【答案】D【解析】由题意，得23T π=，所以23T π=，则23T πω==，所以()sin(3)4f x x π=-选项A 不正确；对于选项B ：将函数()f x 的图像向左平移4π个单位，得到的函数是 ()sin[3()]cos344f x x x ππ=+-=为偶函数，所以选项B 错误；对于选项C ：当时(,)63x ππ∈，则33444x πππ<-<，所以()f x的值域为，选项C 不正确；对于选项D ：令()0,Z 123k f x x k ππ=⇒=+∈，所以当3,2,1,0,1,2k =---时，[,]x ππ∈-，所以函数()f x 在区间[,]-ππ上的零点个数共有6个，D 正确，故选：D ．9、设函数()(),01,,10,1xx mf x x x m x ⎧≤<⎪⎪=⎨-⎪-<<+⎪⎩，()()41g x f x x =--.若函数()g x 在区间()1,1-上有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．(]11,1,4⎡⎫--⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]1,1,4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭C ．{}11,5⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．{}11,15⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭【答案】C 【详解】令()()410g x f x x =--=，则()41f x x =+，当01x ≤<时，41xx m=+，即4x mx m =+，即函数1y x =与24y mx m =+的交点问题，其中24y mx m =+恒过A 1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭.当10x -<<时，()411x x m x -=++，即1114mx m x -+=++，即函数3111x y =-++与24y mx m =+的交点问题分别画出函数1y ，2y ，3y 在各自区间上的图象：当2y 与3y 相切时，有且仅有一个零点，此时()411xx m x -=++，化简得：()24510mx m x m +++=，由()2251160m m ∆=+-=得：11m =-，219m =-（舍去）当直线2y 的斜率，大于等于直线1y 的斜率时，有且仅有一个零点，把()1,1B 代入24y mx m =+中，解得：15m =，则15m ³综上，m 的取值范围是{}11,5⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10、已知复数z 满足()2i i z -=，则5i z -=___________．【答案】3【解析】因为圆22:20(0)C x ax y a -+=>的标准方程为：()222x a y a -+=，所以圆必坐标为(,0)a ，半径为a ，由题意得：32a a += 解得：3a = ，故答案为：3.12、已知3π3sin 85α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．【答案】725-【解析】2πcos 2cos 22cos 1488ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦232cos 182ππα⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦223372sin 1218525πα⎛⎫⎛⎫=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：725- 13、直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的一条渐近线平行，l 过抛物线2:4C y x =的焦点，交C 于A ，B 两点，若||5AB =，则E 的离心率为_______．【详解】依题意，点F 的坐标为(1,0)，设直线l 的方程为1x my =+，联立方程组214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理得：2440y my --=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124y y m +=，124y y =-，则2212||()4(1)5AB y y m ++=，解得：12m =±，∴直线l 的方程为220x y +-=或220x y --=；直线的斜率为：2±．直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的一条渐近线平行，可得2b a =，所以22224b a c a ==-，1e >，解得e =故14、已知1a >，1b >，且lg 12lg a b =-，则log 2log 4a b +的最小值为_______．【答案】9lg2【解析】由已知，令lg 2log 2lg a m a ==，lg 4log 4lg b n b==，所以lg 2lg a m =，lg 42lg 2lg b n n ==，代入lg 12lg a b =-得：lg 24lg 21m n+=，因为1a >，1b >，所以lg 24lg 24log 2log 4()1()()5lg 2(lg 2lg 2)a b m nm n m n m n n m+=+⨯=++=++ 2lg 25lg 25lg 24lg 29lg 2n m≥+=+=．当且仅当4lg 2lg 2m n n m=时，即1310a b ==时等号成立． log 2log 4a b +的最小值为9lg2．故答案为：9lg2．15、在Rt ABC 中，90C ∠=，若ABC 所在平面内的一点P 满足0PA PB PC λ++=，当1λ=时，222PA PB PC+的值为；当222PA PB PC+取得最小值时，λ的值为．【答案】5；-1【解析】（1）如图5-26，以C 为坐标原点建立直角坐标系，因为0PA PB PC λ++=，所以点P 为ABC 的重心，设BC a =，AC b =，所以(),0A b ，()0,B a ，易得,33a b P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以222222222411499991199a b a b PA PBPC b a ++++=+5=．（2）设(,)P x y ,则(,),(,),(,)PA b x y PB x a y PC x y =--=--=--, 所以2,2,b x x a y y λλ-=⎧⎨-=⎩可得(2),(2),b x a y λλ=+⎧⎨=+⎩于是222222222||||()()||PA PB x b y x y a x y PC +-+++-=+()222222222x y bx ay a b x y +--++=+ 22222222(2)(2)2(2)2(2)2x y x y x y λλλλ+++-+-+=++()()222222222x y x y λλλλ+++=++ 2222(1)11λλλ=++=++…当1λ=-时取等号,所以222||||||PA PB PC +的最小值为1．故答案为：5；-1．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16、如图，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠，ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos cos cos 0B a C c A ++=．（1）求B ；（2）若2AB CD ==，ABC 的面积为2，求AD ．【答案】（1）34B π=；（2）4=AD ．【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式即可得到cos B=出B；（2）由三角形面积公式求出a，再利用余弦定理求出AC，即可求出cos CAB∠，依题意cos cosCAB CAD∠=∠，最后利用余弦定理得到方程，解得即可；【详解】（1）cos cos cos0B aC c A++=，cos sin cos cos sin0B B AC A C++=，()cos sin0B B A C++=，cos sin0B B B+=，因为0Bπ<<，所以sin0B>，所以cos B=34Bπ=．（2）因为ABC的面积2S=，所以1sin22==ABCS ac B，2=，所以a=由余弦定理得AC==所以222cos2AB AC BCCABAB AC+-∠==⋅因为AC平分BAD∠，所以cos cosCAB CAD∠=∠，所以2222cosCD AC AD AC AD CAD=+-⋅⋅∠，所以24202AD AD=+-⨯28160AD AD-+=，所以4=AD．17、如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，DF⊥平面ABEF，//CD EF，2DF=，22EF CD==，2EN NC=，2BM MA=．（1）求证：//MN平面ACF；（2）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值；（3）求平面ACF与平面BCE夹角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2；（3）45【详解】（1）证明：在EF上取点P，使2EP PF=，因为2EN NC=，所以//NP FC，于是//NP平面ACF，因为2BM MA=，四边形ABEF为正方形，所以//MP AF，所以//MP平面ACF，因为MP PN P =，所以平面//MNP 平面ACF ，因为MN ⊂平面MNP ，所以//MN 平面ACF ；（2）解：因为DF ⊥平面ABEF ，所以DF FA ⊥，DF EF ⊥，又因为四边形ABEF 为正方形，所以AF EF ⊥，所以FA 、FE 、FD 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， (2AD =-，0，2)，(2EB =，0，0)，(0EC =，1-，2)，设平面BCE 的法向量为(m x =，y ，)x ， 2020EB m x EC m y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1z =，(0m =，2，1)，所以直线AD 与平面BCE所成角的正弦值为||2||||22AD m AD m ⋅=⋅⋅ （3）解：(2FA =，0，0)，(0FC =，1，2)，设平面ACF 的法向量为(n u =，v ，)w ，2020FA n u FC n v w ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1w =-，(0n =，2，1)-，由（1）知平面BCE 的法向量为(0m =，2，1)，设平面ACF 与平面BCE 所成二面角的大小为θ，||33cos ||||55m n m n θ⋅===⋅⋅，4sin 5θ==．所以平面ACF 与平面BCE 所成二面角的正弦值为45． 18、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，且212PF F F ⊥，12tan PF F ∠=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l 交椭圆C 于,A B 两点，且线段AB 的中点为11,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若椭圆C 上存在点M ，满足234OA OB OM +=，试求椭圆C 的方程．【答案】（1）e =（2）22551164x y +=．【分析】（1）由212tan 2b a PF F c ∠==222a c b -=，建立关于e 的方程，即可得到结果；（2）设()()()112200,,,,,A x y B x yM x y ，由（1）可知224a b =，可设椭圆方程为22244x y b +=，根据234OA OB OM +=，可得120120234234x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，设1:(1)2AB y k x =--将其与椭圆方程联立，由韦达定理和点M 满足椭圆方程，可求出2b ，进而求出结果.【详解】（1）解：因为2212tan 22b b a PF F c ac ∠==26b =，即()226a c -=，则()261e -=，解得e =（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，由22234c e a ==，得2243a c =，所以222221134b a c c a =-==，所以224a b =设2222:14x y C b b+=，即22244x y b +=由于,A B 在椭圆上，则2221144x y b +=，2222244x y b +=，①由234OA OB OM +=，得120120234234x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，即120120234234x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 由M 在椭圆上，则2220044x y b +=,即212222144232344x x y y b ⎛⎫+= ⎪++⎛⎫ ⎪⎝⎝⎭⎭，即()()()222211121222441249464x y x x y y x y b +++++=，②将①代入②得：212124x x y y b +=，③线段AB 的中点为11,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1:(1)2AB y k x =--可知()22211244y k x x y b⎧=--⎪⎨⎪+=⎩ ()()22222148444410k x kk x k k b +-+++-+=212284121142k k x x k k ++==⨯⇒=+，所以222220x x b -+-=，其中0∆>，解得212b >，所以21222x x b ⋅=-，AB 方程为112y x =-又()2121212121111111122422b y y x x x x x x -⎛⎫⎛⎫=--=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，④ 将④代入③得：22221422425b b b b --+⋅=⇒=，经检验满足212b >，所以椭圆C 的方程为22551164x y +=. 19、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且455=S 455=S ，40342=+a a .数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足n n b T 413=+)(*N n ∈.（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；（2）若1)23(+⋅-=n n n n n a a a b c ，求数列}{n c 的前n 项和n R ；（3）设n n n b S d =，求证：11248-=+-<∑n n k k n d . 【答案】（1）32+=n a n ，14-=n n b ；（2）51524-+=n R n n ；（2）证明见详解．【详解】（2）；（3）124n n n n n b c b b ++=， 112(3)44n n n n n n b n n c b b +-++∴==，则12124)2(444--+=++<n n n n n n c ，122-+<n n ．设1122n n k k k S '-=+=∑， 11123422122nn k n k k n S '--=++∴==++⋯+∑ 213422222n n n S +'∴=++⋯+ 12111(1)121112422334122222221()2n n n n n n n n n S ---+++'∴=-+++⋯+=-+=--，1482n n n S -+'∴=- 综上，11248-=+-<∑n n k k n c ． 20、已知函数()e cos x f x x =，()cos (0)g x a x x a =+<，曲线()y g x =在π6x =处的切线的斜率为32．（1）求实数a 的值；（2）对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()'()0f x g x -≥恒成立，求实数t 的取值范围；（3）设方程()'()f x g x =在区间()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 内的根从小到大依次为1x 、2x 、…、n x 、…，求证：12n n x x +->π．【答案】（1）1a =-；（2）1t ≥；（2）证明见详解．【分析】（1）由'π362g ⎛⎫= ⎪⎝⎭来求得a 的值. （2）由()'()0f x g x -≥，对x 进行分类讨论，分离常数t 以及构造函数法，结合导数求得t 的取值范围.（3）由()'()f x g x =构造函数()e cos sin 1x x x x ϕ=--，利用导数以及零点存在性定理，结合函数的单调性证得12n n x x +->π.【详解】（1）因为()cos (0)g x a x x a =+<，则()'1sin g x a x =-，由已知可得'π131622g a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得1a =-．（2）由（1）可知()'1sin g x x =+，对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()'()0tf x g x -≥恒成立，即e cos 1sin x t x x ≥+对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，当2x π=-时，则有00≥对任意的R t ∈恒成立；当π02x -<≤时，cos 0x >，则1sin e cos x x t x+≥，令1sin ()e cos x x h x x +=，其中π02x -<≤， ()()2'2e cos e (cos sin )(1sin )e cos x x x x x x x h x x --+=2(1cos )(1sin )0e cos x x x x-+=≥且()'h x 不恒为零，故函数()h x 在π,02⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，则max ()(0)1h x h ==，故1t ≥．综上所述，1t ≥．（3）由()'()f x g x =可得e cos 1sin x x x =+，e cos 1sin 0x x x --=，令()e cos sin 1x x x x ϕ=--，则()'e (cos sin )cos x x x x x ϕ=--，因为()ππ2π,2π32x n n n +⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭N ，则sin cos 0x x >>，所以，()'0x ϕ<，所以，函数()ϕx 在()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 上单调递减，因为π2π3ππ2πe cos 2π33n n n ϕ+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 2π13n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭π2π31e 12n +=π2π3e 102+≥>，π2π202n ϕ⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭，所以，存在唯一的()ππ2π,2π32n x n n n +⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭N ，使得()0n x ϕ=，又1ππ2(1)π,2(1)π32n x n n +⎛⎫∈++++ ⎪⎝⎭()n +∈N ，则()1ππ2π2π,2π32n x n n n ++⎛⎫-∈++∈ ⎪⎝⎭N 且()10n x ϕ+=，所以，()()12π112πe cos 2πn x n n x x ϕ+-++-=-()1sin 2π1n x +---12π11e cos sin 1n x n n x x +-++=--112π11e cos e cos n n x x n n x x ++-++=-()112π1e e cos 0n n x x n x ++-+=-<()n x ϕ=，因为函数()ϕx 在()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 上单调递减，故12n n x x +-π>，即12n n x x +->π．。

2022届天津市静海区第一中学高三上学期第二次阶段检测数学试题(解析版)

2022届天津市静海区第一中学高三上学期第二次阶段检测数学试题一、单选题1．已知集合{}15A x x =≤<，{}3C x a x a =-<≤+，若CA C =，则a 的取值范围为（）A ．312a -<≤-B ．32a ≤-C ．1a ≤-D ．32a >-【答案】C 【分析】由C A C =得出C A ⊆，再分类集合C 是空集和不是空集求解a 的取值范围即可. 【详解】C A C =，C A ∴⊆，{}3C x a x a =-<≤+，当3a a -≥+时，即32a ≤-时，C =∅，满足C A ⊆，当C ≠∅时，有3135a a a a -<+⎧⎪-≥⎨⎪+<⎩，解得312a -<≤-，综上，a 的取值范围为1a ≤-，故选：C.2．设x ∈R ，则“20x -≥”是“11x +≤”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】首先求出不等式的解集，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】解：由20x -≥，解得2x ≤，由11x +≤，即111x -≤+≤，解得20x -≤≤，又[]2,0- (],2-∞，由20x -≥推不出11x +≤，故充分不成立，由11x +≤推得出20x -≥，即必要性成立，所以“20x -≥”是“11x +≤”的必要不充分条件. 故选：B3．函数y 2222x xx x--+=-的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据函数的定义域，奇偶性，单调性进行判断即可. 【详解】因为函数()2222x xx x f x --+=-的定义域为{|0}x x ≠，故排除C ；因为()()222202222x x x xxx x xf x f x ----+++-=+=--，且定义域关于原点对称，则其为奇函数，故排除B ；又()2222112221x x x x f x --⨯=+=+--，当0x >时，是单调减函数，故排除A . 故选：D.【点睛】本题考查函数图像的选择，涉及函数单调性，奇偶性的判断以及指数函数的单调性，属基础题.4．某校120名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频数分布直方图如图所示，其中阅读时间是810-小时的组频数和组频率分别是（）A ．15和0.125B ．15和0.25C ．30和0.125D ．30和0.25【答案】D【分析】由频率分布直方图求解.【详解】解：由频率分布直方图知：阅读时间是810-小时的组频率是0.12520.25⨯=，阅读时间是810-小时的组频数是1200.2530⨯=，故选：D5．已知7log 5a =，9log 7b =，0.11.11c =，则a ，b ，c 的大小为（） A ．c<a<b B ．a b c << C ．b a c << D ．c b a <<【答案】B【分析】先分析得到1,,1c a b ><，再利用作差法结合基本不等式判断,a b 大小即得解.【详解】解：0.1077991.11 1.111,log 5log 71,log 7log 91,c a b =>==<==<=2lg5lg7lg9lg5(lg7)lg7lg9lg7lg9a b ⋅--=-=⋅，因为2222222lg9lg5lg45lg49lg9lg5(lg7)(lg7)(lg7)(lg7)0222+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅--=-<-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：B.6．如图所示，ABCD —EFGH 为边长等于1的正方体，若P 点在正方体的内部且满足321432AP AB AD AE =++，则P 点到直线BC 的距离为（）A ．34B 5C ．45D 5【答案】B【分析】以D 为坐标原点，,,DA DC DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，由题意，计算出BC 和BP 的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式22BP BC d BP BC ⎛⎫⋅⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭即可求解. 【详解】如图，以D 为坐标原点，,,DA DC DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()0,0,0D ，()1,1,0B ，()1,0,1E ，()0,1,0C 所以()0,1,0AB =，()1,0,0AD =-，()0,0,1AE =， 231,,323214324AP AB AD AE =++⎛=⎫- ⎪⎝⎭，131,,342P ∴⎛⎫ ⎪⎝⎭211,,342P B ⎛⎫=--∴ ⎪⎝⎭，()1,0,0BC =-，23BP BC BC⋅∴=，2222211109342144BP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴=所以点P 到BC 的距离221094514494BP BC d BP BC ⎛⎫⋅⎪=-= ⎪ ⎪-=⎝⎭．故选：B.7．已知函数()sin 3f x x x =-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12()x x ，上具有单调性，则12x x +的最小值为（） A ．6πB ．3π C ．23π D ．43π 【答案】C【分析】根据12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12()x x ，上具有单调性，由12x x ，关于函数的对称中心对称求解.【详解】()sin 32sin 3f x x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，令,3x k k Z ππ-=∈,得函数的对称中心为,0,3k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又因为12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12()x x ，上具有单调性，所以1223k x x ππ=++，当0k =时，12x x +的最小值为23π. 故选：C.8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（） A ．22172x y -=B ．2262511x y -=C ．22154x y -=D ．22145x y -=【答案】C【分析】先根据圆的方程求出圆心和半径，结合渐近线和圆相切以及焦点可求方程. 【详解】圆22:650C x y x +-+=的圆心为()3,0C ，半径为2r =.由题意双曲线的渐近线的方程为0bx ay ±=2=；因为双曲线的右焦点为圆C 的圆心，所以3c =，2229b a c +==，所以2b =；又2225c a b =-=，所以双曲线的方程为22154x y -=.故选：C.9．已知函数()2x x f x e=，若关于x 的方程()()210f x mf x m ++⎤⎦-⎣=⎡恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（） A ．()0,2 B ．11,2e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．241,1e ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．241,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】利用导数研究()f x 的单调性和最值，画出函数图像，数形结合，即可求得. 【详解】因为()2x x f x e=，故可得()()2x x x f x e '-=，令()0f x '=，解得0x =或2x =，故可得()f x 在区间(),0-∞和()2,+∞单调递减，在区间()0,2单调递增. 且()()2400,2f f e ==，当x 趋近于正无穷时，()f x 趋近于零. 故其函数图像如下所示：令()t f x =，故关于x 的方程()()210f x mf x m ++⎤⎦-⎣=⎡，即为210t mt m ++-= 解得1t =-或1t m =-.当1t =-时，()1f x =-没有实数根；故要满足题意，只需()1f x m =-有三个实数根即可. 数形结合可知，只需()24012m f e <-<=，解得m ∈241,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，涉及方程与函数之间的相互转化，属综合中档题.二、填空题10．设复数z 满足()1234i z i +=-（i 为虚数单位），则z 的值为__________． 5【详解】分析：由条件()1234i z i +=-得到复数的代数形式，即可求得复数模长. 详解：因为()1234i z i +=-，所以3412i z i -=+=()()()()34121212i i i i --+-=12i --，所以5z =点睛：本题考查复数的四则运算，意在考查学生的计算能力．11．已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m =______.【答案】1-4【分析】化双曲线方程为标准方程，求得,a b 的值，依题意列方程，解方程求得m 的值. 【详解】双曲线方程化为标准方程得2211y x m-=-，故1,a b == 依题意可知2b a =2=，解得14m =-.【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线的虚轴和实轴，考查运算求解能力，属于基础题.12．5(12)x -展开式中3x 的系数为__________. 【答案】-80【解析】求出5(12)x -的展开式的通项即得解.【详解】5(12)x -的展开式的通项为155(2)(2)r r r r rr T C x C x +=-=-，令3r =，所以3x 的系数为335(2)80C -=-.故答案为：80-【点睛】方法点睛：求二项展开式的某一项的系数，一般利用二项展开式的通项求解.13．一盒子装有4件产品，其中有3件一等品，1件二等品.从中不放回地抽取两次，每次任取一件，设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B 为“第二次取到的是一等品”，则条件概率()|P B A 的值为______. 【答案】23【分析】根据条件概率的公式解题. 【详解】由已知可得，()34P A =，()321432P AB ⨯==⨯， ()()()122|334P AB P B A P A ===.故答案为：23.三、双空题14．已知正实数a ，b 满足22a b +=，则()()22411a b +⋅+的最小值为___________.22242214a b b a a b -+--+++的最小值为___________.【答案】 412+【分析】空1先把22a b +=两边平方，再对所求式子进行换元，利用二次函数求解最值，（或根据柯西不等式直接求解）；空2先分离常数，然后根据均值不等式求解. 【详解】空1方法一，由22a b +=得22444a ab b ++=，22444a b ab +=-，()()2222222221411441445442a b a b a b a b ab ab ⎛⎫+⋅+=+++=-+=-+ ⎪⎝⎭，当12ab =且22a b +=时，即112a b ==，时，()()22411a b +⋅+取得最小值4.空1方法二，由柯西不等式得()()()()()222224114112 4.ab a b a b +⋅+=+⋅+≥+=当112a b ==，时，()()22411a b +⋅+取得最小值4.故答案为：4.空2，22242214a b b a a b -+--+++22222414a a b b a b +++-=+++22(1)2148146a a b b a b ++++=++-++ 28282311414a b a b a b =++-+=-++++++()1212(1)(48184a b a b ⎛⎫=-+++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭ 12(4)14881146(1)a b a b +⎛⎫=-++++ ⎪++⎝⎭+12(4)11281146(1)a b a b +⎛⎫=-+++ ⎪++⎝⎭+(11128≥-++ 12=当5,12a b ==-.故答案为：12+15．在菱形ABCD 中，3AB =，60BAD ∠=，E ，F 分别为线段BC ，CD 上的点，2CE EB =，2CF FD =，点M 在线段EF 上，且满足5()6AM xAB AD x R =+∈，则x =___________；若点N 为线段BD 上一动点，则AN MN ⋅的取值范围为___________. 【答案】12； 373[,]164-【分析】根据菱形的性质，建立以AC 为x 轴，BD 为y 轴的直角坐标系，利用向量的坐标表示形式分别表示出,,AM AB AD →→→，根据它们的关系求得x 的值及M 的坐标；设(0,)N t ，表示出AN MN →→⋅的函数关系，根据二次函数的性质求得取值范围.【详解】根据菱形的性质，建立以AC 为x 轴，BD 为y 轴的直角坐标系，如图所示：则33(A ，3(0,)2B ，3(0,)2D -，333()2AB →=，333()2AD →=-，由题知，EF AC ⊥，且13BE BC =，设3()M y ，则3,)AM y →=，由56AM x AB AD →→→=+，则33533236353()262x y x ⎧+⎪⎪⎨⎪=+⋅-⎪⎩，解得12x =，12y =-，设(0,)N t ，33[,]22t ∈-，33()AN t →=，31()2MN t →=+则233193(()2224t AN MN t t t →→⋅=++=+-，33[,]22t ∈-则29373[,]24164t AN MN t →→⋅=+-∈-故答案为：12；373[,]164-.四、解答题16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos b A c =．（1）求B 的大小；（2）若3,2c a b +=，求ABC 的面积．【答案】（1）6π；（23【分析】（13sin cos A A B =，求得3cos B 即可求解；（2）由余弦定理可得2233a b a -+=，结合2a b +=，求得1a b ==，利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）因为3cos 2b A ac +=，由正弦定理可得3sin cos sin sin 2B A AC +=，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以3sin sin cos 2A AB =，因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以3cos 2B =，因为(0,)B π∈，所以6B π=.（2）因为6B π=，3c =，由余弦定理可得2233cos 223a b B a +-==⨯，整理得2233a b a -+=，又2a b +=，解得1a b ==，所以1113sin 132224ABCSac B ==⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．17．如图，在三掕台111ABC A B C 中,90,4BAC AB AC ︒∠===,111112A A A B AC ===,侧棱1A A ⊥平面ABC ,点D 是棱1CC 的中点.(1)证明:1BB ⊥平面1AB C (2)求点1B 到平面ABD 的距离;(3)求平面BCD 与平面ABD 的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 31030【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质,可得11AB BB ⊥,根据线面垂直的性质定理以及判定定理,可得1AC BB ⊥,再结合线面垂直判定定理,可得答案.(2)利用等体积法,由三棱雉1B ABD -的体积等于三棱雉1D ABB -,可得答案;(3)建立空间直线坐标系,求两个平面的法向荲,利用向量叫夹角公式,根据面面角与法向䵣夹角的关系,可得答案.【详解】（1）在平面11ABB A 内,过1B 作1B E AB ⊥,且1B E AB E ⋂=，则11112,2B E AA A B AE ====,在1ABB 中,112,B E AE BE B E AB ===⊥,易知190AB B ︒∠=,即11AB BB ⊥,1AA ⊥平面,ABC AC ⊂平面1,ABC AA AC ∴⊥,AC AB ⊥,且11,,AA AB A AB AA ⋂=⊂平面11,ABB A AC ∴⊥平面11ABB A ,1BB ⊂平面11111,,,ABB A AC BB AC AB A ACAB ∴⊥⋂=⊂平面1ACB ,1BB ∴⊥平面1ACB .（2）取1AA 的中点F ，连接1,DF DB ，则//DF AC ,即()111||||32DF AC AC =+=,且DF ⊥平面11ABB A , 在Rt DFA 中,222DF AF AD +=,则10AD =, 1AA ⊥平面ABC ,且AB ⊂平面1,ABC AA AB ∴⊥,1,AB AC AA AC A ⊥⋂=,且1,AC AA ⊂平面11,ACC A AB ∴⊥平面11ACC A ,AD ⊂平面11,ACC A AB AD ∴⊥,故a 1||||2102ABD S AB AD =⋅⋅=,由（1）易得11||42ABQSAB B E =⋅⋅=, 设1B 到平面ABD 的距离为h ,由三棱雉1B ABD -的体积等于二棱雉1D ABB -, 则111||33ABDABB h S DF S ⋅⋅=⋅⋅,即1||343105210ABB ABDDF S h S⋅⋅===.（3）以点A 为原点,分别以1,,AB AC AA 所在的直线为,,x y z 轴,建立空间直线坐标系，则1(0,0,0),(4,0,0),(0,4,0),(0,2,2)A B C C ,由点D 为1CC 的中点,则(0,3,1)D 在平面BCD 中,取(4,4,0),(4,3,1)BC BD =-=-,设该平面的法向量()111,,n x y z =, 则00n BC n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即111111111440,430x y y x x y z z x ⎧-+==⎧⎪⎨⎨-++==⎪⎩⎩,今11x =,解得111,1==y z , 故平面BCD 的一个法向量(1,1,1)n =,在平面ABD 中,取(4,0,0),(0,3,1)AB AD ==,设该平面的法向量()222,,m x y z =, 则00m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222222400,303x x y z z y ⎧==⎧⎪⎨⎨+==-⎪⎩⎩,今21y =,解得220,3x z ==-, 故平面ABD 的一个法向量(0,1,3)m =-,则cos ,||||11n m n m n m ⋅<>===⋅+, 故平面BCD 与平面ABD 18．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()112n n n S S a =-+， (1)求{}n a 的通项公式； (2)设()()1111n n n n a c a a ++=++，若数列{}n c 的前n 项和为n T ，且对任意的*N n ∈满足223n T λλ<+，求实数λ的取值范围. 【答案】(1)12n na = (2)(]1,,13⎡⎫+∞-∞-⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出{}n a 为等比和首项均为12的等比数列，利用等比数列通项公式求出答案；（2）变形得到1112121n n n c +=-++，利用裂项相消法求和得到11113213nn T +=-<+，结合223n T λλ<+恒成立，从而得到22133λλ+≥，求出实数λ的取值范围.【详解】（1）()112n n n S S a =-+整理为1n n S a =-+，当1n =时，111S a =-+，即111a a =-+，解得：112a =，当2n ≥时，111n n S a --=-+，1n n S a =-+与111n n S a --=-+相减得：1n n n a a a -=-+，即112n n a a -=，故{}n a 为等比和首项均为12的等比数列，所以1111222n n na -⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭；（2）()()111111112111*********n n nn n n n n n a c a a +++++===-++++⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故12223113111111212121212121nn n n T c c c c +=-+-++-++=++++++++1111111121213213n n ++=-=-<+++，因为对任意的*N n ∈满足223n T λλ<+，故只需22133λλ+≥，解得：13λ≥或1λ≤-，故实数λ的取值范围是(]1,,13⎡⎫+∞-∞-⎪⎢⎣⎭.19．已知圆C 经过坐标原点O ，圆心在x 轴正半轴上，且与直线3480x y +-=相切．（1）求圆C 的标准方程；（2）直线:2l y kx =+与圆C 交于A ，B 两点． ①求k 的取值范围；②证明：直线OA 与直线OB 的斜率之和为定值．【答案】（1）()2211x y -+=；（2）（ⅰ）3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；（ⅱ）具体见解析.【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；（2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案. 【详解】（1）由题意，设圆心为(),0(0)C a a >，因为圆C 过原点，所以半径r =a ，又圆C 与直线3480x y +-=相切，所以圆心C 到直线的距离|38|15a d a a -==⇒=（负值舍去），所以圆 C 的标准方程为：()2211x y -+=.（2）（ⅰ）将直线l 代入圆的方程可得：()()2214240k x k x ++-+=，因为有两个交点，所以()()2234216104k k k ∆=--+>⇒<-，即k 的取值范围是3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，由根与系数的关系：12212242141k x x k x x k -⎧+=-⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩，所以()1212121212122222OA OB x x y y kx kx k k k x x x x x x ++++=+=+=+2242212141k k k k --⋅+=+=+. 即直线OA ,OB 斜率之和为定值. 20．设函数()212x f x =-(1)若函数()()e xg x k x f x =--在R 上单调递增，求k 的最小值.(2)证明：当0x ≥时，()cos f x x ≥-；(3)若对于任意的0x ≥，不等式e sin cos 2ax x x ≥-+恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)[)1,+∞【分析】（1）根据题意，得到()e 10x g x k x '=--≥，转化为1e x x k +≥，通过导数求出1e xx +的最大值，进而得到k ；（2）问题转化为转化为2cos 102x x +-≥(0)x ≥，设2()cos 12x g x x =+-，分两次求导，讨论()g x 的单调性，进而得到()(0)0g x g ≥=，从而题目得证；（3）由（2）得，0x ≥时，sin x x ≥，21cos 2x x -≥-，则有21sin cos 22x x x x ++≥-+，构造2()e 12xx G x x =---，通过讨论()G x 的导数，得到()(0)0G x G ≥=，进而得到2e 1sin cos 22xx x x x ≥++≥-+，再分类讨论1a <与1a ≥，即可得到满足题意时，a 的取值范围.【详解】（1）()()e xg x k x f x =--21e 2xk x x =-+-，函数()()e xg x k x f x =--在R 上单调递增，()e 10x g x k x '=--≥，故1e x x k +≥，令1()ex x h x +=，2e (1)e ()(e )e x x x x x x h x -+'==- 当(,0)x ∈-∞，()0h x '>，()h x 单调递增；当,()0x ∈+∞，()0h x '<，()h x 单调递减； ()(0)1h x h ≤=，得[]max ()1h x =，则max11e x x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故1k ≥时，满足函数()()e xg x k x f x =--在R 上单调递增，故k 的最小值为1（2）若0x ≥时，()cos f x x ≥-，则()21cos 2x f x x =-≥-，转化为2cos 102x x +-≥(0)x ≥，设2()cos 12x g x x =+-，则()sin g x x x -'=，设()sin x x x ϕ=-，则()1cos x x ϕ'=-，当0x ≥时，()1cos 0x x ϕ'=-≥，即()sin x x x ϕ=-为增函数，所以()(0)0g x g ''≥=，()g x ∴在(0,)+∞时为增函数，所以，()(0)0g x g ≥=，得2cos 102x x +-≥，()21cos 2x f x x =-≥-，故当0x ≥时，()cos f x x ≥-成立.（3）由（2）得，0x ≥时，sin x x ≥，21cos 2x x -≥-，则有21sin cos 22x x x x ++≥-+，设2()e 12xx G x x =---，则()e 1x G x x '=--，设()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-，当0x ≥时，()e 10x h x '=-≥，所以()e 1x h x x =--为增函数，所以，()()(0)0G x h x h '=≥=，所以()G x 为增函数，所以，()(0)0G x G ≥=，所以2e 1sin cos 22xx x x x ≥++≥-+对任意的0x ≥恒成立，又0x ≥，1a ≥时，e e ax x ≥，所以1a ≥时，e sin cos 2ax x x ≥-+对任意的0x ≥恒成立；当1a <时，设()e sin cos 2ax m x x x =-+-，则()e cos sin ax m x a x x '=--，(0)10m a '=-<，所以存在实数00x >，使得任意()00,x x ∈，均有()0m x '<，所以()m x 为减函数，所以在()00,x x ∈时，()(0)0m x m <=，此时，e sin cos 20ax x x -+-<，e sin cos 2ax x x ≤-+，与题意不符，所以1a <时不符合题意. 综上，实数a 的取值范围为[)1,+∞.。

天津市第一中学2015届高三上学期第二次月考化学试题

天津市第一中学2015届高三上学期第二次月考化学试题第Ⅰ卷一、注意事项：1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

2．本卷共20题，1—10题每题3分，11—20题每题2分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

相对原子质量：Na:23 C:12 O:16 S：32 H:1 N:14 Cu：64 Fe：56 1．化学与社会、生产、生活密切相关，下列说法正确的是（）①光导纤维具有很强的导电能力，所以大量用于制造通信光缆②食盐可作为调味品和防腐剂③明矾常用作净水剂，是因为它具有消毒杀菌的作用④SiCl4在战争中常用作烟雾弹，是因为它水解时生成白色烟雾⑤氨常用作制冷剂，是因为其沸点较高，液氨很容易气化⑥将过量CO2气体通入C6H5ONa溶液中可生成C6H5OH和纯碱A．①②④⑤ B．①②④⑥ C．②④⑤ D．②④⑥2．下列物质：①氢氟酸；②浓H2SO4；③烧碱溶液；④Na2CO3固体；⑤石灰石；⑥浓HNO3，其中在一定条件下能与SiO2反应的有（）A．①②⑥B．全部C．①③④⑤ D．②③⑥3．下列溶液中的离子一定能大量共存的是（）A．在加入铝粉能产生氢气的溶液中：NH4+、Fe2＋、SO42-、NO3-B．能使酚酞变红色的溶液中：Na＋、K＋、S2－、SO32-C．室温下由水电离出的氢离子浓度c(H＋)＝1×10－14mol/L的溶液中：Ba2＋、NO3-、K＋、F －D．含大量Fe3＋的溶液中：NH4+、Na＋、C1－、HS－4．大功率镍氢动力电池及其管理模块，是国家“十五”863计划电动汽车专项中一项重要课题。

我国镍氢电池居世界先进水平，解放军潜艇将装备国产大功率镍氢动力电池。

常见镍氢电池的某极是储氢合金LaNi5H6（LaNi5H6中各元素化合价均为零），电池反应通常表示为：LaNi5H6+6NiO(OH)LaNi5+6Ni(OH)2，下列有关镍氢电池的说法，不正确．．．的是（）A．电池工作时，储氢合金作负极B．电池充电时，阳极发生氧化反应C．电池工作时，负极反应式：LaNi5H6 + 6OH-− 6e- == LaNi5 + 6H2OD．电池放电时，电子由正极通过外电路流向负极从以上表格中判断以下说法中正确的是（）A．在冰醋酸和水中这四种酸都没有完全电离B．在冰醋酸中高氯酸是这四种酸中最弱的酸C．在冰醋酸中硫酸的电离方程式为H2SO4 = 2H++SO42—D．水对于这四种酸的强弱没有区分能力，但醋酸可以区别这四种酸的强弱6．元素周期表中同周期或同主族元素，随着原子序数的递增，下列说法正确的是（）A．ⅦA族元素的氢化物沸点逐渐升高B．ⅥA族元素的原子核外最外层电子数逐渐增多C．碱金属元素的最高价氧化物的水化物的碱性逐渐增强D．第二周期元素（除稀有气体元素）的最高化合价数值逐渐增大7．N A代表阿伏加德罗常数的值。

天津市新华中学2022-2023学年高三上学期第二次月考地理试题(解析版)

【点睛】在极点，一天的太阳高度是一个定值，角度不变，和太阳直射点的纬度同一个角度，只是在一天中方位会变，角度不变，在出现极昼期间，极点的太阳高度会随太阳直射点的变化而变化。
土壤有机质包括腐殖质、生物残体等，大多以有机碳的形式存在。土壤有机碳密度是指单位面积内一定深度的土壤有机碳储量。海南岛某自然保护区内保存着较完整的热带山地雨林，下图示意该保护区内某块样地部分点位土壤表层（0-10cm）的有机碳密度（单位：kg/m²）。据此完成下面小题。
【6题详解】
近年来,京津冀在推进一体化发展，北京疏解非首都职能，将非首都职能包括IT业等大量吸引外来人口的产业向外转移,外来务工人口减少，导致北京外来人口增幅下降, B正确;因国务院定位的北京为全国政治中心，政府机构不会外迁, A错误;城规模扩大、公共服务升级,使城市服务更完善,会吸引外来人口，使北京外来人口增幅上升, C/D错误。故选B。
C.8日08时～14时D.9日08时～14时
11.与8日相比，9日（）
A.气温下降明显B.平均风速较大C.空气质量较差D.午后对流较强
【答案】9. A 10. A 11. D
【解析】
9题详解】
根据材料信息“2016年11月由于冷锋过境带来降水，并逐渐由降雨向降雪转变”可知，此次降水是由冷锋过境导致的，冷气团持续侵袭，导致气温降低，8日下午至9日，该地温度降低，降水转为降雪，A正确；气温降低，上升气流减弱，B错误；降雨转向降雪主要是气温的变化，与降水量变化无关，C错误；水汽含量不是影响降水转为降雪的主要原因，D错误。故选A。
作为城市商业的重要空间载体，商业中心已成为目前城市居民综合性消费游憩的重要场所，其配有购物中心、百货店及品牌专卖店等多元商业业态，可同时满足居民的购物、餐饮、消费娱乐等商业需求。为增强商业可持续发展能力，优化商业空间布局，上海制定并发布《上海市商业网点布局规划（2014~2020年）》，重点规划15个市级商业中心。下图示意上海市级商业中心分布。据此完成下面小题。

天津市第一中学2022届高三上学期第一次月考物理试题 Word版含答案

天津一中2021—2022学年度高三班级一月考物理学科试卷班级姓名成果本试卷分为第Ι卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟。

第Ι卷1至3页，第Ⅱ卷3至4页。

考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上，搭在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺当！第Ι卷（选择题，共44分）一、单项选择题（本题共8小题，每题3分，共24分。

每小题只有一个正确选项。

）1.关于惯性,下列说法正确的是( )2.A.高速运动的物体不简洁让它停下来,所以物体运动速度越大,惯性越大3.B.用相同的水平力分别推放在地面上的两个材料不同的物体,则难以推动的物体惯性大4.C.两个物体只要质量相同,那么惯性就肯定相同5.D.在月球上举重比在地球上简洁,所以同一个物体在月球上比在地球上惯性小2.一个小滑块以肯定的初速度滑上倾角为37°的光滑斜面,在第ls内与前3s内通过的位移相等,取初速度方向为正方向,g=10m/s2，则下列推断正确的是( )A.滑块在前3s内的平均速度为9m/sB.滑块在前3s内的平均速率为3m/sC.滑块在第3s内的平均速度为3m/sD.滑块在第3s内的平均速率为3m/s3.如图所示，A和B两物块的接触面是水平的，A与B保持相对静止一起沿粗糙斜面加速下滑，在A和B下滑过程中，斜面保持静止不动，下列说法错误的是( )A.斜面对B的作用力方向为竖直向上B.斜面对B的摩擦力方向为沿斜面对上C.B对A的摩擦力方向为水平向左D.地面对斜面的摩擦力方向为水平向左4.如图所示，一小球左端固连一根轻杆（轻杆另一端插在墙内），右端连接一根弹簧，上面用轻绳连接，下面用平台托住（不连接）。

初始时，轻绳处于竖直方向，绳上张力小于小球的重力，弹簧处于水平方向拉伸状态。

除弹簧外，一切形变都可忽视不计。

则下列说法正确的是( )A.撤去绳的瞬间，平台对小球的支持力增大，小球有瞬时向上的加速度B.撤去杆的瞬间，弹簧对小球的作用力不变，小球有瞬时向右的加速度C.撤去弹簧的瞬间，杆对小球的作用力不变，小球有瞬时向左的加速度D.撤去平台的瞬间，绳对小球的拉力增大，小球有瞬时向下的加速度5.在升降电梯内的地板上放一体重计，电梯静止时，某同学站在体重计上，体重计示数为50kg，电梯运动过程中，某一段时间内该同学发觉体重计示数为40kg，已知重力加速度为g，则在这段时间内，下列说法中正确的是( )A.该同学处于失重状态，他所受的重力变小了B.该同学对体重计的压力与体重计对该同学的支持力是一对平衡力C.电梯的加速度大小为g/5，方向肯定竖直向下D.电梯肯定在竖直向下运动6.在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于平衡状态，截面如图所示。

天津市第一中学2019届高三上学期第三次月考物理试题 PDF版含答案

天津一中 2018—2019—1 学年度高三年级三月考物理学科试卷本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共120 分。

考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上，答在试卷上的无效。

第Ⅰ卷（本卷共 8 道题，共 48 分）一、单选题：（每小题 6 分，共 30 分。

每小题中只有一个选项是正确的）1．在物理学的发展过程中，许多物理学家的科学发现推动了人类历史的进步，下列表述符合物理学史实的是（）A．牛顿提出了万有引力定律并准确地测出了引力常量B．安培最早引入了电场概念，并提出用电场线表示电场C．奥斯特发现了电流的磁效应并总结出了判断电流与磁场方向关系的右手螺旋定则 D．法拉第发现了电磁感应现象，宣告了电磁学作为一门统一学科的诞生2．两个等量同种电荷固定于光滑水平面上，其连线的中垂线上有 A、B、C 三点，如图所示。

一个比荷为 2C/kg 的小物块从该水平面内的 C 点静止释放，其运动的 v－t 图象如图所示，其中 B 点处为整条图线切线斜率最大的位置（图中标出了该切线）。

则下列说法中正确的是（）A．在 A、B、C 三点中，B 点电场强度最大，其电场强度 E＝1V/mB．由 C 到A 的过程中，物块的电势能先增大后减小C．由 C 到 A 的过程中，电势逐渐升高D．A、B 两点电势差U AB＝5 V3．地面附近空间中存在着纸面内水平方向的匀强电场（图中未画出）和垂直于纸面向里的匀强磁场（如图所示）。

一个带电油滴沿着一条与竖直方向成α角的直线 MN运动。

以下说法中不正确的是（）A．油滴一定做匀速直线运动B．油滴一定从 M到 N运动C．油滴一定受水平向左的电场力D．油滴一定受垂直 MN 斜向右上的洛伦兹力4．如图为法拉第做过的电磁旋转实验，图中A 是可动磁铁，B 是固定导线，C 是可动导线，D是固定磁铁。

图中灰色部分表示汞（磁铁和导线的下半部分都浸没在汞中），下部接在电源上。

天津市第一中学2021届高三上学期第二次月考地理试题 Word版含答案

2022-2021-1天津一中高三班级地理学科二月考检测试卷一、选择题（每题1.5分，共45分）右图是以极点为中心的东半球图。

此刻，曲线MN上各点太阳高度为0°，MN与EP相交于N点，该季节，北美大陆等温线向南凸出。

读图回答1～2题。

1.由图文信息可知( )A．M位于N的西北方向 B．悉尼正值少雨的季节C．此季节是南极考察的最佳时期D．这一天甲地日出时刻早于乙地2.图示时刻( )A．东经10°各地处于夜B．澳大利亚与巴西不在同一日C．全球属于夜的范围大于昼D．地球位于公转轨道远日点四周右图所示地区为完整的昼半球,读图完成3-4题。

3．下列关于图中标注的四个点的说法，正确的是（）A.X、Y、P三点的太阳高度相同B.Y、P两点的地方时相同C.X、Y两点的地方时相同D.A点太阳高度达到一年中最大值4．下列四幅图能够正确反映Y点位置的是（）读某区域等温线图（图中等值线a＞b），回答5-6题。

5．图中乙河流域的气候类型是（）A．亚热带季风气候B．温带海洋性气候C．地中海气候D．热带沙漠气候6．对于乙河流量大小及影响乙河流量缘由的组合叙述正确的是（）A．乙河全年流量稳定，受降水影响很小B．乙河7月为枯水期，受副热带高压把握C．乙河1月为汛期，受西风带把握D．乙河7月为汛期，受西风带把握读世界某区域示意图及印度洋沿赤道纵剖面图,回答7-8题。

7．当上面右图中a处的上升流最猛烈时,下列四幅图中能反映北印度洋地区季节的是（）8．关于下列地区地理特征的叙述,正确的是（）A．M地区的自然带呈现地带性分布规律 B．N地区处在板块消亡边界C．J地区分布有大面积的热带荒漠 D．K地区为热带草原气候黄河多年平均年输沙量达16亿吨，居世界大江大河之冠，而黄河多年平均径流量仅为500多亿立方米。

形成黄河水沙极不平衡，使黄河下游河道不断向“槽高、滩低、堤根洼”的“二级悬河”进展。

据此回答9~11题。

9．下列四幅图中，可表示黄河下游的是（实线为河流，虚线为潜水线，单位：米）（）10．黄河水输沙力量强大，主要取决于黄土高原（）。

天津市第一中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题(解析版)

2023届天津市第一中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．设全集R U =，集合{}{}22802345A x x x B =--<=∣，，，，，则()U A B =ð（） A ．{}2 B ．{}23，C ．{}45，D ．{}345，，【答案】C【分析】解不等式后由补集与交集的概念求解【详解】由题意得(2,4)A =-，则(){4,5}U A B ⋂=ð，故选：C2．已知,a b ∈R ，则“2a b >>”是“22a b ->-”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式的性质以及充分不必要条件的判断，即可求解. 【详解】若2a b >>时，则20,20a b ->->,因此22=2a b b ->--，若22a b ->-时，比如5,1a b ==，但不满足2a b >>，因此“2a b >>”是“22a b ->-”的充分不必要条件. 故选：A 3．函数2sin ()||2xf x x =+的部分图象大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可.【详解】因为2sin ()2xf x x =+，定义域为R 所以2sin()2sin ()()22x xf x f x x x --==-=--++所以()f x 为奇函数，且(0)0f =，排除CD 当()0,x π∈时，sin 0x >，即()0f x >，排除A 故选：B.4．已知函数()11e xm f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是偶函数，则m 的值是（） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】A【分析】先求出函数的定义域，然后根据偶函数的定义取特殊值求解【详解】函数的定义域为{}0x x ≠，因为函数()11e xm f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是偶函数，所以(1)(1)f f -=，所以11111e 1e m m -⎛⎫⎛⎫-+=⨯+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， e 11e 11em m--=+--，所以(e 1)21e m -=-，得2m =-，故选：A5．已知函数()f x 是(),-∞+∞上的偶函数，且()()11f x f x -=+，当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则()()20212022f f +的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．0【答案】A【分析】由偶函数可得()()f x f x -=，由()()11f x f x -=+可得对称性，再化简整理可得周期2T =，进而根据性质转换()()20212022f f +到[]0,1x ∈，再代入解析式求解即可.【详解】由题，因为偶函数，所以()()f x f x -=，又()()11f x f x -=+，所以()()()111f x f x f x -+=-=+,即()()2f x f x =+，所以()f x 是周期函数，2T =，故()()()()10202120221021211f f f f +=+=-+-= 故选：A6．已知函数()()||0.542π()2,log 3,log 5,cos 3x f x a f b f c f ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，则（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B【分析】直接由指数、对数的运算以及特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】0.52|log 3|log 3223a ===，4|log 5|log 22b ==2π1cos3222c ==a b c >>.故选：B ． 7．已知35a b =且211a b+=，则a 的值为（） A ．3log 15 B ．5log 15C ．3log 45D ．5log 45【答案】C【分析】令350a b k ==>，利用指对数互化，换底公式及对数的运算法则可得45k =，即得.【详解】令350a b k ==>，则35log ,log a k b k ==，351111log 3,log 5log log k k a k b k ====，又211a b+=， ∴2log 3log 5log 451k k k +==，即45k =， ∴3log 45a =. 故选：C.8．设函数e e ()sin 2x x f x x --=+，不等式()e (ln 1)0xf a x f x x -+++≤对0x >恒成立，则实数a 的最大值为（） A ．e 1- B ．1C ．e 2-D ．0【答案】D【分析】先由定义证()f x 为奇函数，结合均值不等式可证()1cos 0f x x '≥+≥，得()f x 在R 上单调递增，故结合奇偶性与单调性，恒成立转化为e ln 1x a x x x ≤---对0x >恒成立．令()e ln 1x g x x x x =---，用导数法求()g x 最小值，即有()min a g x ≤.【详解】因为e e ()sin 2x xf x x ---=-，所以()()f x f x -=-，所以()f x 为R 上的奇函数．因为e e ()cos cos 1cos 02x x f x x x x -+'=+≥=+≥，所以()f x 在R 上单调递增．不等式()e (ln 1)0x f a x f x x -+++≤可转化为()(ln 1)e xf x x f x a ++≤-，所以ln 1e x x x x a ++≤-，即e ln 1x a x x x ≤---对0x >恒成立．令()e ln 1x g x x x x =---，则ln ln ()e e ln 1e (ln )1x x x x g x x x x x +=---=-+-，令()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-．当0x >时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增；当0x <时，()0h x '<，()h x 在(,0)-∞上单调递减．所以0min ()(0)e 010h x h ==--=，即()0h x ≥，所以()0g x ≥，且当ln 0x x +=时，()g x 取最小值0，故0a ≤，即实数a 的最大值为0．故选：D.【点睛】1.通常函数不等式恒成立问题涉及奇偶性与单调性可先进行转化； 2.含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.一般将参数分离出来，构造函数用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起构造函数，用导数法对参数分类讨论.当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式.9．已知函数()()212f x x mx x =++∈R ，且()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，若函数()()2g x f x ax =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为（）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，讨论可求出2m =-，从而()2122f x x x =-+，若()()2g x f x ax =-有4个零点，则函数()y f x =与2y ax =有4个交点，画出图象，结合图象求解即可【详解】若0m ≥，则函数()212f x x mx =++在[]0,2上单调递增，所以()212f x x mx =++的最小值为12，不合题意，则0m <，要使函数()212f x x mx =++在[]0,2x ∈上的最大值为12．如果22m-≥，即4m ≤-，则()912222f m =+≤，解得522m -≤≤-，不合题意；若22m -<，即40m -<<，则2912,2211,242m m ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩解得52,22,m m ⎧-≤≤-⎪⎨⎪≥-⎩即2m =-，则()2122f x x x =-+．如图所示，若()()2g x f x ax =-有4个零点，则函数()y f x =与2y ax =有4个交点，只有函数2y ax =的图象开口向上，即0a >．当2y ax =与(2y x =-122x -+）有一个交点时，方程221202ax x x +-+=有一个根，0∆=得1a =，此时函数()()2g x f x ax =-有二个不同的零点，要使函数()g x =()2f x ax -有四个不同的零点，2y ax =与2122y x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭有两个交点，则抛物线2y ax =的图象开口要比2y x =的图象开口大，可得1a <，所以01a <<，即实数a 的取值范围为()0,1．故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查二次函数的性质的应用，考查数形结合的思想，解题的关键是由已知条件求出m 的值，然后将问题转化为函数()y f x =与2y ax =有4个交点，画出函数图象，结合图象求解即可，属于较难题二、填空题 10．复数i2i=+_________. 【答案】12i 55+【分析】根据复数的除法运算直接求解.【详解】解：()()()i 2i i 12i 2i 2i 2i 55-==+++-. 故答案为:12i 55+.11．已知函数()f x 的导函数，满足()()321f x xf x '=+，则()1f 等于_______________.【答案】5-【分析】求导，令1x =，可解得()1f '，进而可得()1f .【详解】由()()321f x xf x '=+，得()()2213f x f x ''=+，令1x =，得()()1213f f ''=+，解得()13f '=-，所以()()()312112315f f '=+=⨯-+=-，故答案为：5-.12．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________. 【答案】320m 20立方米【分析】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量. 【详解】设用水量为x 立方米，水价为y 元，则()3,01236612,1218729(18),18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=+-<≤⎨⎪+->⎩，整理得到：3,012636,1218990,18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，当012x ≤≤时，036y ≤≤；1218x <≤时，3672y <≤；故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米，令99090x -=，则20x =（立方米），故答案为：320m .13．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，当[0x ∈，1)时，2()f x x =，则23()2f =_______．【答案】14-【分析】根据题意，分析可得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，由此可得231()()22f f =-，结合函数的解析式计算可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，则(2)()()f x f x f x +=-=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，则23111()(12)()()2222f f f f =-+=-=-，又由当[0x ∈，1)时，2()f x x =，则2111()()224f ==，则2311()()224f f =-=-，故答案为：14-．14．已知函数()212-,02=1+1,>02xx f x x x ≤⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎪⎩，则不等式()313xf ->的解集为___________.【答案】()1,+∞【分析】分别在条件31>0x -，310x -≤下化简不等式，再求其解，由此可得不等式()31>3x f -的解集.【详解】当310x -≤时，即0x ≤时，()31131=22x x f ---⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以不等式()31>3xf -可化为3112>32x --⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以0x ≤且3111>2x --⎛⎫⎪⎝⎭，所以满足条件的x 不存在，即当0x ≤时，不等式无解，当31>0x -时，即>0x 时，()()2131=31+12xxf --，此时不等式()31>3x f -可化为()2131+1>32x-，得31>2x -或31<2x --，解得>1x ，所以不等式()31>3xf -的解集为()1,+∞，故答案为：()1,+∞.15．已知正数,a b 满足1,a b c +=∈R ，则222312a c bc b abc ab++++的最小值为__________．【答案】2【分析】把1a b +=平方得到2221,0,0a ab b a b ++=>>，代入结论构造基本不等式，再分析计算可求出最小值.【详解】解：由1a b +=，得2221,0,0a ab b a b ++=>>，则222312a c bc b abc ab++++ 222213221a a ab b c c b ab ⎛⎫++=++ ⎪+⎝⎭2214221a b c c b a ⎛⎫=+++ ⎪+⎝⎭221221c c ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭≥+()226212221c c =++-≥=+，当且仅当4a bb a =，即2b a =，()226211c c =++，即()2213c +=时取“等号”，所以当212,,133a b c ==时，222312a c bc b abc ab++++的最小值为2．故答案为：2三、解答题16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.(1)若cos A =cos(2)A C +的值；(2)若c =ABC a ，b 的值.【答案】(1)(2)2a =，3b =或3a =，2b =【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出C ，由同角三角函数的基本关系求出sin A ，即可求出sin 2A 、cos 2A ，最后利用两角和的余弦公式计算可得；（2）由面积公式及余弦定理得到方程组，解得即可.【详解】(1)解：因为2cos (cos cos )C a B b A c +=，由正弦定理得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，即2cos sin()2cos sin sin C A B C C C +==，因为(0,)C π∈，sin 0C >，所以1cos 2C =，由C 为三角形内角得3C π=；由cos A =，则sin A =所以sin 22sin cos 2A A A ===， 261cos 22cos 121164A A =-=⨯-=-，()cos 2cos 2cos sin 2sin A C A C A C +=-=1142-⨯=(2)解：因为ABC 的面积1sin 2S ab C ==6ab =①，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得227a b ab =+-，则2213a b +=②，由①②解得2a =，3b =或3a =，2b =17．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD BC ∥，且12AB AD AA ===，BD DC ==(1)求证：BD ∥平面11B CD .(2)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值. (3)求二面角111B CD C --的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(3)正弦值为1【分析】(1)由四棱柱的性质证明11//BD B D ，根据线面平行判定定理证明BD 平面11B CD ；(2)建立空间直角坐标系，求直线AB 的方向向量和平面11B CD 的法向量利用空间向量求解线面角；(3)求平面11C CD 的法向量，利用向量夹角公式求二面角111B CD C --的夹角的余弦值，再由同角关系求其正弦值.【详解】(1)在四棱柱1111ABCD A B C D -中，11BB DD ，11BB DD =，故四边形11BB D D 是平行四边形，所以11//BD B D ，因为BD ⊄平面11B CD ，11B D ⊂平面11B CD ，所以BD ∥平面11B CD ；(2)因为1AA ⊥平面ABCD ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以1AA AB ⊥，1AA AD ⊥，因为2AB AD ==，BD =所以222AB AD BD +=，=ABD ADB ∠∠，所以AB AD ⊥，=45ADB ∠，因为AD BC ∥，所以=45DBC ∠，又BD CD ==所以BDC △为等腰直角三角形，所以=4BC ，因为AB ，AD ，1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,4,0C ，()12,0,2B ，()10,2,2D 所以()2,0,0AB =，()1=0,4,2B C -，()11=2,2,0B D - 设平面11B CD 的法向量为(),,n x y z =∴111=0=0n B C n B D ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即42=02+2=0y z x y --⎧⎨⎩，令=1x ，则=1y ，=2z ，∴()1,1,2n =设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ，∴2sin =cos ,==2?6AB n AB nAB n⋅θ⋅所以直线AB 与平面11B CD .(3)平面11B CD 的法向量为()1,1,2n =，因为1AA ⊥平面ABCD ，11//AA DD ，所以1DD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1DD BD ⊥，又B D D C ⊥，1=DD DC D ⋂，1,DD DC ⊂平面11CD C ，所以BD ⊥平面11CD C ，所以BD 为平面11CD C 的法向量，所以平面11CD C 的法向量为()=2,2,0m BD -= ∴cos ,==0m nm n m n⋅，∴sin ,1m n = 所以，二面角111B CD C --的正弦值为1.18．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当],(0x ∈-∞时，()93x xm f x -=-． (1)求()f x 在(0,)+∞上的解析式；(2)当[1,2]x ∈时，1()23x x f x a +⋅+…恒成立，求实数a 的取值范围；(3)关于x 的方程1()3160x f x n -++⋅+=在[2,1]--上有两个不相等的实根，求实数n 的取值范围．【答案】(1)()93x xf x =-+(2)15,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ (3)227,93⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】(1)根据函数的奇偶性求出m 的值，进而求出函数的解析式即可；(2)利用分离参数法将原不等式转化为932()22x xa g x ⎛⎫⎛⎫≥--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[]1,2上恒成立，结合函数的单调性求出()max g x 即可；(3)令[]33,9xt -=∈，将原方程转化为直线13y n =-与函数()16h t t t=+的图象有两个交点．利用数形结合的思想即可求解.【详解】(1)依题意得()010f m =-=，解得1m =，经检验1m =，符合题意.当()0,x ∈+∞时，(),0x -∈-∞，则()93x xf x -=-，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()93x xf x f x =--=-+，即当()0,x ∈+∞时，()93x xf x =-+；(2)当[]1,2x ∈时，19323xxxx a +-+≤⋅+恒成立，即93222x xa ⎛⎫⎛⎫≥--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立．设()93222x xg x ⎛⎫⎛⎫=--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易知()g x 在[]1,2上是减函数，()()max 1512g x g ==-，所以152a ≥-，即实数a 的取值范围为15,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭； (3)方程()13160x f x n -++⋅+=在[]2,1--上有两个不相等的实根，即函数()()931316x xF x n --=+-⋅+在[]2,1--上有两个零点，令[]33,9xt -=∈，则关于t 的方程()231160t n t +-+=在[]3,9上有两个不相等的实根，由于2161613t n t t t+-==+，则直线13y n =-与()16h t t t=+的图象有两个交点．如图，因为()16h t t =+在[]3,4上单调递减，在[]4,9上单调递增，且()48h =，()2533h =，()9799h =，所以258133n <-≤，解得22793n -≤<-，即实数n 的取值范围为227,93⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．19．设函数()222ln f x ax a x =--，()1eex g x x =-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数． (1)讨论()f x 的单调性； (2)证明：当1x >时，()0g x >；(3)若不等式()()f x g x >在()1,x ∈+∞时恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 (3)1,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）求导后分0a ≤与0a >两种情况讨论即可；（2）构造函数()1e-=-x s x x ，求导分析单调性与最值，证明当1x >时，1e x x ->即可；（3）结合（1）（2）讨论()(),f x g x 1的大小关系，构造函数()()()h x f x g x =-，求导放缩判断单调性，进而证明即可. 【详解】(1)()f x 定义域为()0,∞+，()241ax f x x-'=．当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+内单调递减；当0a >时，由()0f x '=，得x =x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增．综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+内单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． (2)令()1e-=-x s x x ，则()1e 1x s x -=-．当1x >时，()0s x '>，()s x 单调递增，()()10s x s >=，所以1e x x ->，从而()1110e x g x x -=->． (3)由（2）得，当1x >时，()0g x >．当0a ≤时，1x >时，()()()221ln 0f x a x x g x =--<<，不符合题意．当104a <<1=>，由（1）得，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()()()10f x f g x <=<，不符合题意．当14a ≥时，令()()()h x f x g x =-，1x >． ()211e 4e x h x ax x x '=-+-2111x x x x >-+-()222111110x x x x x ->-+-=>()h x 在区间()1,+∞上单调递增．又因为()10h =，所以当1x >时，()()()0h x f x g x =->，即()()f x g x >恒成立．综上，1,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题主要考查了求导分情况讨论函数单调性的问题，证明不等式与恒成立的问题，需要根据题意，结合极值点与区间端点的关系分情况讨论导函数的正负，求得函数的单调性，从而证明不等式的问题.属于难题.20．已知0a >，设函数()(2)ln ,()=-+'f x x a x x f x 是()f x 的导函数． (1)若2a =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若()f x 在区间(1,)+∞上存在两个不同的零点()1212,x x x x <， ①求实数a 范围； ②证明：()221(e)(2e)(3)12e---'<-x f x a a a x ．注，其中e 2.71828=⋅⋅⋅⋅⋅⋅是自然对数的底数．【答案】(1)y x =(2)①>a【分析】(1)把1x =代入原函数与导函数得到切点及斜率，利用点斜式即可得切线方程； (2)①可设()()2ln ln f x xg x x a x x==+-，因为1x >，所以()g x 与()f x 零点相同，可根据()g x 的单调性与极值情况来确定a 的范围；②根据题意，巧设函数，利用放缩构造等思路结合导数，可分别求出22()x f x '与111x -的范围，然后相乘即可，详细过程见解析.【详解】(1)当2a =时，2()2(1)ln ,()2ln 3=-+=-+'f x x x x f x x x，所以(1)1,(1)1f k f '===．根据点斜式可得曲线()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为y x =．(2)①当1x >时，()0f x =等价于20ln +-=xx a x．设()2ln =+-x g x x a x ，则22ln 1(ln 1)(2ln 1)()2ln ln '-+-=+=x x x g x x x．当1x <<()0,()g x g x '<单调递减；当x >()0,()'>g x g x 单调递增；所以，当1x >时，min [()]==g x g a ，因为()f x 在区间(1,)+∞上存在两个不同的零点12,x x ，所以min [()]0<g x，解得>a当>a1=∈-a ax a ，则1ln 11<-=-a a x x a ，故()221201ln 111-=+->+-=>---a a a a a x a a a g x x a a x a a a ，又202ln 2⎛⎫=> ⎪⎝⎭a a g a ，所以()f x在区间和2⎫⎪⎭a 上各有一个零点．综上所述：>a②设()()[(3)2](2)ln (2)(2)=--+-=-+---F x f x a x a x a x a x a ，则2()2ln (2)2ln -=++=+'--x a aF x x a x a x x，它是[1,)+∞上的增函数．又(1)0F '=，所以()0F x '≥，于是()F x 在[1,)+∞上递增．所以()(1)0F x F ≥=，即(2)ln (3)2-+≥-+-x a x x a x a ，当1x =时取等号．因为11x >，所以()110(3)2=>-+-f x a x a ，解得11031<<--a x ．(1) 因为()2ln 3=-'+af x x x，所以()222222ln 3-'=+x f x x x a x ，结合()()22222ln 0=-+=f x x a x x 知()()2222222222232222-=-+=---+-'-a x ax f x a x a x x a a x ．处理1：设函数()ln xh x x =，则2ln 1()ln -='x h x x，所以当0x e <<时，()0,()h x h x '<递减，当x e >时，()0,()h x h x '>递增，所以()()ln =≥=xh x h e e x，所以2222ln -=≥x a x e x ．处理2：因为ln 1≤-x x ，所以ln 1⎛⎫≤- ⎪⎝⎭x xe e，即ln x x e ≤，当x e =时取等号，所以ln 022222-----⎛⎫=-+>-⋅+= ⎪⎝⎭a e a e a e a e a e f e e e ．由①可知，()f x 在[)2,x +∞上单调递增，且()20f x =，所以22-≤a ex ，即22-≥a x e ．因为22()2=--+a a g x t t 在[,)e ∞+上是减函数，且22-≥a x e ，且()()2222()(2)22()22--=-≤=--+='a a a e a e x f x g a x g e e e e．综上可知：()221()(2)(3) 12--'-<-x f x a e a e ax e．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

天津市第一中学2023-2024学年高三第四次月考数学试卷(解析版)

天津一中2023—2024-2高三年级第四次月考数学试卷本试卷总分150分，考试用时120分钟．考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知集合，则（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得集合，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由不等式，解得，所以，又由，所以.故选：C.2. 将收集到的天津一中2021年高考数学成绩绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列说法中不正确的是（）A. B. 高三年级取得130分以上的学生约占总数的65%C. 高三年级的平均分约为133.2D. 高三年级成绩的中位数约为125【答案】D 【解析】【分析】对于A ，由各个矩形面积之和为1即可列式求解；对于B ，求最右边两个矩形面积之和即可验算；对于C ，D 分别由平均数计算公式、中位数计算方法即可判断.{}{}2|3100,33A x x x B x x =--<=-≤≤A B = (2,3]-[)3,5-{1,0,1,2,3}-{3,2,1,0,1,2,3,4}---{}1,0,1,2,3,4A =-23100x x --<25x -<<{}1,0,1,2,3,4A =-{}33B x x =-≤≤{}1,0,1,2,3A B ⋂=-0.028a =【详解】对于A ，，故A 正确；对于B ，高三年级取得130分以上的学生约占总数的，故B 正确；对于C ，高三年级的平均分约为，故C 正确；对于D ，设高三年级成绩的中位数为，由于，所以，故D 不正确.故选；D.3. 已知，条件，条件，则是的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】结合绝对值的性质，根据不等式的性质及充分条件、必要条件的定义分析判断即可.【详解】因为，所以由得，故由能推出；反之，当时，满足，但是；所以是的充分不必要条件.故选：A .4. 函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】.()1100.0010.0090.0250.037100.028a =-⨯+++÷=⎡⎤⎣⎦()0.0280.03710100%65%+⨯⨯=()1050.0011150.0091250.0251450.0281350.03710133.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=x 0.010.090.250.350.500.350.370.72++=<<+=130140x <<0a >:p a b >2:q a ab >p q 0a >a b >2a ab ab >≥:p a b >2:q a ab >10,2a b =>=-212a ab =>=-122a =<-=p q ()21cos 31x f x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭【分析】根据函数奇偶性即可排除CD ，由特殊点的函数值即可排除A.【详解】，则的定义域为R ，又，所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD ，当时，，故排除A .故选：B.5. 已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，设，，，则a ，b ，c 的大小关系是（）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】结合偶函数的性质，函数单调性，只需比较对数、分数指数幂的大小即可得解.【详解】因为函数是上的偶函数，且在上单调递增，所以，即.故选：B.6. 多项式展开式中的系数为（）A. 985B. 750C. 940D. 680【答案】A 【解析】分析】由二项式定理即可列式运算，进而即可得解.【详解】多项式展开式中的系数为.故选：A.7. 已知斜三棱柱中，为四边形对角线的交点，设三棱柱的体积【2()(1)cos 31xf x x =-⋅+()f x ()()()22321cos 1cos 1cos 313131x x x xf x x x x f x -⎛⎫⨯⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=-⋅=-+⋅=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x πx =()ππ22π1cos π103131f ⎛⎫-=< ⎪++⎝⎭=-+()f x R ()f x [0,)+∞12e a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭12b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1ln 2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c <<b<c<ac<a<bb a c<<()f x R ()f x [0,)+∞()()1211ln 2ln 1e 22b f f f c f ff a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<==<<== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b<c<a ()52(71)52x x++2x ()52(71)52x x++2x 32350555C 712C 7159805985⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+=111ABC A B C -O 11ACC A 111ABC A B C -为，四棱锥的体积为，则（）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】如图，延长，连接，则、，进而得，即可求解.【详解】如图，延长，连接，则，所以，又O 为的中点，所以点到平面的距离是点到平面的距离的2倍，则，所以，即故选：A8. 已知函数（为常数，且）的一个最大值点为，则关于函数的性质，下列说法错误的有（）个.1V 11O BCC B -2V 21:V V =1:31:41:62:31OA 11,,OB OB A B 111123A BCC B V -=11122A BCC B V V -=12223V V =1OA 11,,OB OB A B 11111111,3A ABC A BCCB A ABC V V V V V ---=+=111123A BCCB V -=1AC 1A 11BCC B O 11BCC B 11111222A BCC B O BCC B V V V --==12223V V =2113V V =()sin cos f x a x b x =+,a b 0,0a b >>π3x =()sin 2cos 2g x a x b x =+①的最小正周期为；②的一个最大值点为；③在上单调递增；④的图像关于中心对称．A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的性质，求的关系，再根据辅助角公式化简函数，再利用代入的方法，判断函数的性质.【详解】函数，，平方后整理为，所以，，函数的最小正周期为，故①正确；当时，，此时函数取得最大值，故②正确；当时，，位于单调递增区间，故③正确；，故④错误，所以错误的只有1个.故选：B9. 已知双曲线的左焦点为，过作渐近线的垂线，垂足为，且与抛物线交于点，若，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】()g x π()g x π6()g x 2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭()gx 7π,012⎛⎫⎪⎝⎭,a b ()g x ()sin cos f x a x b x =+12b +=()20a =a π()sin 2cos 22sin 26g x x b x b x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭0b >()g x 2ππ2=π6x =πππ2662⨯+=()g x 2π,π3x ⎛⎫∈⎪⎝⎭π3π13π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭77ππ4π2sin 22sin 0121263g b b π⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221(0,0)x y a b a b-=>>1(,0)F c -1F P 212y cx =M 13PM F P =【分析】首先利用等面积法求出点坐标，再根据，求出坐标，再将坐标带入抛物线化简即可求解出双曲线离心率.【详解】据题意，不妨取双曲线的渐近线方程为，此时，，∴，且是直角三角形，设，则，，代入中，得，即；设,则，，由，则，，∴，则；又在抛物线上，，即，化简得，分子分母同时除以，，且，，.故选：B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10. 已知，且满足（其中为虚数单位），则_________．【答案】2【解析】【分析】根据复数相等得到关于的方程组，解该方程组即可.【详解】由题意，可得，P 13PM F P =M M 212y cx =by x a=-1F P b =1OF c =OP a =1OPF (,)p p P x y 11122OPF p S ab cy== p aby c ∴=b y xa =-2p a x c =-2(,a ab P c c-(,)M xy 2,a ab PM x y c c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 221,,a ab b ab F P c cc c c ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13PM F P = 223a b x c c+=⋅3ab ab y c c -=⋅2234,b a ab x y c c -==2234(,)b a abM c c -M 212y cx =22243()12ab b a cc c-∴=()()()2222222222221612316123a b b aca c a c a a c ⎡⎤=-⇔-=--⎣⎦422491640c a c a -+=4a 4291640e e ∴-+=1e >2e ∴===e ∴=,R a b ∈(12i)(i)3i a b ++=-i 22a b +=,a b (12i)(i)3i a b ++=-(2)(2)i 3i a b a b -++=-所以，解得，所以.故答案为：211. 著名的“全错位排列”问题（也称“装错信封问题”是指“将n 个不同的元素重新排成一行，每个元素都不在自己原来的位置上，求不同的排法总数．”，若将个不同元素全错位排列的总数记为，则数列满足，．已知有7名同学坐成一排，现让他们重新坐，恰有两位同学坐到自己原来的位置，则不同的坐法有_________种【答案】【解析】【分析】根据数列递推公式求出项，再结合分步计数原理求解.【详解】第一步，先选出两位同学位置不变，则有种，第二步，剩下5名同学都不在原位，则有种，由数列满足，，则，，，则不同的做法有种.故答案为：.12. 已知在处的切线与圆相切，则_________．【答案】或【解析】【分析】根据导数的几何意义，求得切线方程，再由直线与圆相切，列出方程，即可求解.【详解】由函数，可得，则且，所以函数在处的切线方程为，即，又由圆，可得圆心，半径为，2321a b a b -=⎧⎨+=-⎩1575a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩222a b +=n n a {}n a 120,1a a ==()12(1)(3)n n n a n a a n --=-+≥9242776C 2121⨯==⨯5a {}n a 120,1a a ==()12(1)(3)n n n a n a a n --=-+≥()()321312a a a =-+=()()432419a a a =-+=()()5435144a a a =-+=2144924⨯=9242()ln f x x x =-1x =22:()4C x a y -+==a -0x y -=2()ln f x x x =-1()2f x x x=-'(1)1f '=(1)1f =()f x 1x =11y x -=-0x y -=22:()4C x a y -+=(,0)C a 2r =因为与圆，解得.故答案为：.13. 元旦前夕天津-中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占，传统灯谜占，一中文化占，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，一中文化的概率分别为，，，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为______，若小伟同学运用“超能力”，抽到的5道题都是逻辑推理题，则这5道题目中答对题目个数的数学期望为______.【答案】 ①. ##②. 【解析】【分析】根据全概率公式求解概率，根据二项分布列的期望公式求解即可.【详解】设事件“小伟同学任意抽取一道题目作答，答对题目”，则.由题意小伟同学任意抽取一道逻辑推理题作答，则答对题目的概率为，根据二项式分布知，所以，即的数学期望为.故答案为：，14. 在中，设，，其夹角设为，平面上点满足，，交于点，则用表示为_________．若，则的最小值为_________．【答案】 ①. ②.【解析】【分析】由和三点共线，得到和，得出方程组，求得的值，得到，再由，化简得到，得出，结合基本不等式，即可求解.0x y -=C 2a =±±20%50%30%0.20.60.7X 0.5511201A =()0.20.20.50.60.30.70.55P A =⨯+⨯+⨯=0.2()5,0.2X B ~()50.21E X =⨯=X 10.551ABC ,AB a AC b ==u u u r r u u u r r θ,D E 2AD AB = 3AE AC =,BE DC O AO ,a b65AO DE DC BE ⋅=⋅ cos θ4355AO a b =+ ,,D O C ,,B O E 2(1)AO ta t b =+- ()33AO ua u b =+-2133t ut u =⎧⎨-=-⎩,t u 4355AO a b =+ 65AO DE DC BE ⋅=⋅ 2248209a b a b ⋅=+ 22209cos 48a b a bθ+=【详解】因为三点共线，则存在实数使得，又因为三点共线，则存在实数使得，可得，解得，所以，由，因为，可得，整理得，可得，所以又因为所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以.故答案为：15. 设函数，若函数与直线有两个不同的公共点，则的取值范围是______.【答案】或或【解析】【分析】对于，当可直接去绝对值求解，当时，分和,,D O C t (1)2(1)AO t AD t AC ta t b =+-=+-,,B O E u ()()133AO u AB u AE ua u b =+-=+-2133t u t u =⎧⎨-=-⎩24,55t u ==4355AO a b =+ 32,2,3DE AE AD b a DC AC AD b a BE AE AB b a =-=-=-=-=-=- 65AO DE DC BE ⋅=⋅ 436()(32)(2)(3)555a b b a b a b a +⋅-=-⋅-2248209a b a b ⋅=+ 2248cos 209a b a b θ=+ 22209cos 48a b a bθ+=22209a b+≥ 22209cos 48a b a b θ+=≥ 22209a b = 3b cos θ4355AO a b =+ 22()21f x x ax ax =-++()y f x =y ax =a 2a <-21a -<<-2a >221y x ax =-+0∆≤0∆>a <-a >论，通过和图像交点情况来求解.详解】由已知，即，则必过点，必过，对于，当时，，此时恒成立，所以，令，即，要有两个不同的公共点，则，解得或或，当时，或当时，和图象如下：此时夹在其两零点之间的部分为，令，得无解，则有两个根有两个根，即有两个解，，符合要求；当和图象如下：【221y x ax =-+()1y ax x =-22()21f x x ax ax ax =-++=()2211x ax ax x -+=-()1y ax x =-()()0,0,1,0221y x ax =-+()0,1221y x ax =-+280a ∆=-≤a -≤≤2210x ax -+≥()222()2121f x x ax ax a x ax =-++=+-+()221a x ax ax +-+=()22210a x ax +-+=()21Δ442020a a a ⎧=-+>⎨+≠⎩2a -≤<-21a -<<-2a <≤280a ∆=->a <-a >a <-221y x ax =-+()1y ax x =-221y x ax =-+-2221x ax ax ax -+-=-+()221a x -=()2211x ax ax x -+=-()2211x ax ax x ⇔-+=-()22210a x ax +-+=()2Δ4420a a =-+>a <-a >221y x ax =-+()1y ax x =-或令，根据韦达定理可得其两根均为正数，对于①，则，解得，对于②，则，解得，综上所述，的取值范围是或或.【点睛】方法点睛：对于方程的根或者函数零点问题，可以转化为函数图象的交点个数问题，图象直观方便，对解题可以带来很大的方便.三、解答题（本大发共5小题，共75分）16. 已知中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，．（1）求；（2）若，求的面积．【答案】（1（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理求关系，再利用余弦定理求出，再利用两角和的正弦定理计算即可；（2）利用三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】2210x ax -+=011⎧<<⎪⎪>3a >011⎧<<⎪⎪<3a <<a 2a <-21a -<<-2a >ABC sin cos sin 22C CB =2223a c b -=πsin 3B ⎛⎫+⎪⎝⎭1b =ABC ,,a b c cos B因为，所以，由正弦定理得，所以，即，所以，在中，，所以【小问2详解】由（1）得当时，，所以17. 已知四棱台，下底面为正方形，，，侧棱平面，且为CD 中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）求到平面的距离．【答案】（1）证明见详解（2）sincos sin 22C CB =sin 2sinC B =2c b =2222223347b a b c b b +=+===a 222cos 2a cb B ac +-===ABC sin B ==π11sin sin 322B B B ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭1b =2a c ==122ABC S =´´=1111ABCD A B C D -ABCD 2AB =111A B =1AA ⊥ABCD 12,AA E =1//A E 11BCC B 11ABC D 11BCC B E 11ABC D 15（3【解析】【分析】（1）直接使用线面平行的判定定理即可证明；（2）构造空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，再计算两个法向量的夹角余弦值的绝对值即可；（3）使用等体积法，从两个不同的方面计算四面体的体积即可求出距离.【小问1详解】由于，，故，而，故四边形是平行四边形，所以，而在平面内，不在平面内，所以平面；【小问2详解】如上图所示，以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面与平面的法向量分别是和，则有和，1EAD B 11∥A B AB CE AB ∥11CEA B 1111122CE CD AB A B ====11CEA B 11A E B C ∥1B C 11BCC B 1A E 11BCC B 1//A E 11BCC B 1A 11111,,A A A D A B,,x y z ()2,0,0A ()10,1,0D ()2,0,2B ()10,0,1B ()10,1,1C ()()()()11110,0,2,2,1,0,2,0,1,0,1,0AB AD BB B C ==-=--=11ABC D 11BCC B ()1,,n p q r = ()2,,n u v w =11100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 212110n BB n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，，从而，，.故我们可取，，而，故平面与平面所成角的余弦值是.【小问3详解】设到平面的距离为，由于，而，所以.所以到平面18. 已知椭圆的左右顶点为A ，B ，上顶点与两焦点构成等边三角形，右焦点（1）求椭圆的标准方程；（2）过作斜率为的直线与椭圆交于点，过作l 的平行线与椭圆交于P ，Q 两点，与线段BM 交于点，若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据上顶点与两焦点构成等边三角形求出即可；（2）设出直线方程，利用弦长公式求出求出，，利用点到直线的距离求出点到直线的距离和点到直线的距离，再根据列式计算即可.【小问1详解】2020r p q =⎧⎨-+=⎩200u w v --=⎧⎨=⎩0r v ==2p q =20u w +=()11,2,0n = ()21,0,2n =-11cos ,5n 11ABC D 11BCC B 15E 11ABC D L 111111332E AD B AD B V LS L AD AB L -==⋅⋅⋅= 111142333E AD B B AD E AEB ABCD V V S S --==⋅⋅=⋅= 43=L =E 11ABC D 22221(0)x y a b a b +=>>(1,0)F A (0)k k >l M F N 2AMN BPQ S S =△△k 22143x y +=k =,a b AM PQ N AM B PQ 2AMN BPQ S S =△△由已知在等边三角形中可得，则椭圆的标准方程为为；【小问2详解】设直线的方程为：，联立消去得，则，得，，设直线的方程为：，设，联立，消去得，易知，则，所以，由得，所以直线的方程为，即，联立得，所以点到直线的22,a c b ====22143x y +=l ()2y k x =+()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y ()2222341616120k x k x k +++-=221612234M k x k --=+226834M k x k-=+226834Mk AM x k -=-=-=+PQ ()1y k x =-()()1122,,,P x y Q x y ()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y ()22223484120k x k x k +-+-=0∆>221212228412,3434k k x x x x k k-+==++PQ ==()2212134k k +=+226834M k x k -=+222681223434M k k y k k k ⎛⎫-=⋅+= ⎪++⎝⎭BM ()2221234268234kk y x k k +=---+()324y x k=--()()3241y x k y k x ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩222463,4343k k N k k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭N AM点到直线，因为，所以，解得.【点睛】方法点睛：直线与椭圆联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式：计算一元二次方程根的判别式.第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出．第五步：根据题设条件求解问题中的结论．19. 已知数列满足对任意的，均有，且，，数列为等差数列，且满足，．（1）求，的通项公式；（2）设集合，记为集合中的元素个数．①设，求的前项和；②求证：，．【答案】（1），B PQ 2AMN BPQ S S =△△()221211122234k k +=⨯+k =∆0∆>{}n a *N n ∈212n n n a a a ++=12a =24a ={}n b 11b =2105b b a +={}n a {}n b {}*1N n n k n A k a b a +=∈<≤n c n A ()2n n n p b c =+{}n p 2n 2n P *N n ∀∈122121111176n n c c c c -++++< 2n n a =32n b n =-（2）①；②证明过程见解析【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质，结合等差数列的通项公式、等比数列的通项公式进行求解即可；（2）①根据不等式的解集特征，结合累和法、等比数列的前项和公式分类讨论求出的表达式，最后根据错位相减法进行求解即可；②运用放缩法，结合等比数列前项和公式进行运算证明即可.【小问1详解】因为数列满足对任意的，均有，所以数列是等比数列，又因为，，所以等比数列的公比为，因此；设等差数列的公差为，由；【小问2详解】因为，，所以由，因此有，即有，，当时，有于是有当为大于2的奇数时，()2122122n n P n n +=-⋅+-12322,n n k k +*<-≤∈N n n c n {}n a *N n ∈212n n n a a a ++={}n a 12a =24a ={}n a 212a a =1222n n n a -=⨯={}n b d ()210511932313132n b d d d b b n n a ⇒+++=⇒=⇒=+-=+-=2n n a =32n b n =-11,2322,nn n k n a b a k k k *+*+<≤∈⇒<-≤∈N N {}{}{}{}{}123452,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,22A A A A A ===== {}623,24,,43,A =1234561,1,3,5,11,21,c c c c c c ======234512233445562,42,82,162,322,c c c c c c c c c c +=+==+==+==+== 12,n n n c c ++= 2,N n n *≥∈112,n n n c c --+=1112,n n n c c -+--=n ()()()243122431122221n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-+-+=+++++，显然也适合，当为大于2的偶数时，，显然也适合.①，，，设，则有，两式相减，得，，；②设，显然，，当时，有，因此，12214211143n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+=-11c =n ()()()244222442222221n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-++-+=+++++ 122214211143nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+=-21c =()()()21,21,N 221,2,Nn n n n n n n k k p b c n n k k **⎧+=-∈⎪=+=⎨-=∈⎪⎩()()212342121321242n n n n n P P P P P P P P P P P P P --=++++++=+++++++ ()()132124212132321221222424222n nn n n n -⎡⎤⎡⎤=⨯++⨯+++-⋅+-+⨯-+⨯-++⋅-⎣⎦⎣⎦()()()123212122232212221234212n n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅+-+-+--⎣⎦ ()()12321212223221222n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ()()234221212223221222nn S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ 123212212222222n n n S n -+-=+++++-⋅ ()()2212121222212212n n n S n S n ++-⇒-=-⋅⇒=-⋅+-()2122122n n P n n +=-⋅+-()()11321k k k k c *+=∈+-N ()11332121k k k k c +=≤-+-()4213224k k k --⨯=-4,N k k *≥∈()()344213224042132212kk kkkk k--⨯=->⇒->⨯⇒<-()1133421221k k k k k c +=≤<-+-所以当时，，即，显然当时，有成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键由可以确定从第几项开始放缩，根据数列的通项公式的形式，得到，这样可以进行放缩证明.20. 已知函数．（1）讨论的单调区间；（2）已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点；①求证：；②求证：．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论，结合函数的定义域，即可求函数的单调区间；（2）①要证，即证，只需证，构造函数，，借助导数即可得证；②同①中证法，先证，则可得，利用、是方程的两根所得韦达定理，结合即可得证.【小问1详解】，，N k *∈4512321111111111143222k k k c c c c c -⎛⎫+++++<++++++ ⎪⎝⎭ 43123211111111122114312k k k c c c c c --⎛⎫- ⎪⎝⎭⇒+++++<+++⨯- 312321111171171171322326k k k c c c c c --⎛⎫+++++<+-<+= ⎪⎝⎭ 2k n =122121111176n n c c c c -++++< 171111632=+++()1133421221k k k k k c +=≤<-+-2()24ln f x x ax x =-+()f x [4,6]a ∈()f x ()1212,λλλλ<b ∈R ()y f x =y b =()123123,,x x x x x x <<1212x x λ+>31x x -<∆1212x x λ+>2112x x λ>-()()1112f x f x λ<-()()()12x g x f x f λ=--()10,x λ∈2232x x λ+<()()2312123122x x x x x x λλ=++<---1λ2λ220x ax -+=[4,6]a ∈()()222422x ax f x x a x x-+'=-+=0x >其中，，当时，即，此时恒成立，函数在区间单调递增，当时，即或当时，在区间上恒成立，即函数在区间上单调递增，当，得或当时，，时，，所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，综上可知，当的单调递增区间是；当的单调递增区间是和，单调递减区间是；【小问2详解】①由（1）知，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，、是方程的两根，有，，又的图象与有三个公共点，故，则，()22tx x ax =-+28a ∆=-0∆≤a -≤≤()0f x '≥()f x ()0,∞+0∆>a <-a >a <-()0f x ¢>()0,∞+()f x ()0,∞+a >()0t x =1x =1x =0x <<x >()0f x ¢>x <<()0f x '<()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭a ≤()f x ()0,∞+a >()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭[4,6]a ∈()f x ()10,λ()2,λ+∞()12,λλ1λ2λ220x ax -+=122λλ=12a λλ+=()y f x =y b =()123123,,x x x x x x <<112230x x x λλ<<<<<1112x λλ->要证，即证，又，且函数在上单调递减，即可证，又，即可证，令，，由，则恒成立，故在上单调递增，即，即恒成立，即得证；②由，则，令，，则，故在上单调递增，即，1212x x λ+>2112x x λ>-1112x λλ->()f x ()12,λλ()()1122f x f x λ<-()()12f x f x b ==()()1112f x f x λ<-()()()12x g x f x f λ=--()10,x λ∈()()()()212222422x ax x x f x x a x x xλλ-+--'=-+==()()()()()112211122222x x xx x g x x λλλλλλλ------'=+-()()()()()1221112222x x x x x x x λλλλλλ+--+-=-⋅-()()222211*********x x x x x x xx x λλλλλλλλ-+++--+=-⋅-()()()()()12221111222420x x x x x x x λλλλλλλ--=-⋅=>--()g x '()10,λ()()()()111102g x g f f λλλλ<=--=()()1112f x f x λ<-112230x x x λλ<<<<<2322x λλ-<()()()22x h x f x f λ=--()2,x λ∈+∞()()()()()122221222222x x xx x h x x λλλλλλλ------'=+-()()()()()2112222222x x x x x x x λλλλλλ+--+-=-⋅-()()221122212222222x x x x x x xx x λλλλλλλλ-+++--+=-⋅-()()()()()22112222222420x x x x x x x λλλλλλλ--=-⋅=>--()h x '()2,λ+∞()()()()222202h x h ff λλλλ>=--=即当时，，由，故，又，故，由，，函数在上单调递减，故，即，又由①知，故，又，故.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于先证，从而借助①中所得，得到.()2,x λ∈+∞()()22x f x f λ>-32x λ>()()3232f x f x λ>-()()32f x f x =()()3222f x f x λ>-2322x λλ-<122x λλ<<()f x ()12,λλ2322x x λ<-2232x x λ+<1212x x λ+>()()2312123122x x x x x x λλ=++<---2122λλ-==≤=31x x -<2232x x λ+<1212x x λ+>()()2312123122x x x x x x λλ=++<---。

天津市实验中学2024-205学年高三上学期第二次月考试题地理试题

2025届高三年级第二次质量调查地理学科试卷命题人：高三地理备课组审核人：高三地理备课组一、单选题(共20题, 每题3分, 共60分)下图为世界两岛屿位置示意图。

据此完成下列小题。

1. 乙岛位于甲岛的什么方向( )A. 西北B. 东北C. 西南D. 东南2. 关于两岛的描述正确的是( )A. 甲岛位于东半球B. 乙岛位于西半球C. 乙岛面积比甲岛面积小D. 乙岛东西方向长约57km定向越野运动是指运动员利用地图和指北针到访地图上所指示的各个点标，以最短时间按顺序到达所有点标并到终点者为胜。

某中学组织郊区定向越野活动，图为比赛用地图。

完成下面小题。

3. 关于图中各点标路段的说法正确的是( )A. 1—2路段全程上坡B. 3标点处可看见6标点处C. 3—4 路段实际路线长度短于 240米D. 4、5标点处海拔可能相同4. A桥处的河流流向( )A. 自西北向东南B. 自西南向东北C. 自东南向西北D. 自东北向西南下图为“部分地区昼夜分布示意图”(图中阴影部分表示黑夜，其他部分表示白昼)。

读图完成下列各题。

5. 此时北京时间是( )A. 6时B. 8时C. 12时D. 14时6. 下列关于图中的判断，正确的是 ( )A. 该图是以北极点为中心的极地俯视图B. 太阳直射点的坐标是(23°26', 180°)C. 该日是夏至日，甲、乙、丙三地中昼最长的是甲地D. 一年中甲、乙、丙三地昼夜长短变化幅度最小的是乙地下图为“伦敦时间12月22日6:00, B地(30°N, 90°E)垂直上方的俯视图”，图中的外圈为以B为中心的圆，此时C地太阳高度为0°。