平行四边行常见题型及解题思路
初二数学八下平行四边形所有知识点总结和常考题型练习题知识分享
初二数学八下平行四边形所有知识点总结和常考题型练习题平行四边形知识点一、四边形相关1、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。
推论：多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于•-)2(n 180°； 多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
2、多边形的对角线条数的计算公式设多边形的边数为n ，则多边形的对角线条数为2)3(-n n 。
二、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．2．平行四边形的性质：平行四边形的有关性质和判定都是从 边、角、对角线 三个方面的特征进行简述的． （1）角：平行四边形的对角相等，邻角互补； （2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等； （3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S ==⨯底高ah ； ②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②方法1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形ABDOC③方法2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ④方法3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形⑤方法4： 对角线互相平分的四边形是平行四边形 三、矩形1. 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2. 矩形性质①边：对边平行且相等； ②角：对角相等、邻角互补，矩形的四个角都是直角；③对角线：对角线互相平分且相等； ④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．3. 矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形； ②对角线相等的平行四边形； ③四个角都相等识别矩形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任意一个角为直角． ② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的对角线相等． ③ 说明四边形ABCD 的三个角是直角． 4. 矩形的面积① 设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形=ab ． 四、菱形1. 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
(完整版)平行四边形(知识点、经典例题、常考题型练习),推荐文档
（3）在图 2 的 AB 边上是否存在一点 M ，使得四边形 DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；
若不存在，请说明理由．
6
A
D
F
BE
C
图1
A
D
FP
BE
C
图2
【例 3】如图，在矩形 ABCD 中，已知 AD＝12，AB＝5，P 是 AD 边上任意一点，PE⊥BD 于 E，PF⊥AC 于 F，求 PE＋PF 的值。
A
E
B
D
G F
C
【巩固】如图，在平行四边形 ABCD 中，∠B，∠D 的平分线分别交对边于点 E、F，交四边形的对角线 AC 于点 G、H。求证：AH＝CG。
例 6. 已知：如图，在□ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线，AG∥DB 交 CB 的延长线于 G． (1) 求证：△ADE≌△CBF； (2) 若四边形 BEDF 是菱形，则四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．
1、下列说法中错误的是（ ）
A.四个角相等的四边形是矩形
B.四条边相等的四边形是正方形
C.对角线相等的菱形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
2、如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是 ( )
A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.菱形、矩形或正方形
3、下面结论中，正确的是（ ）
②如果 BAC 90 ，那么四边形 AEDF 是矩形；
③如果 AD 平分 BAC ，那么四边形 AEDF 是菱形；
④如果 AD BC 且 AB AC ，那么四边形 AEDF 是菱形.
其中，正确的有
.（只填写序号）
平行四边形及特殊平行四边形题型总结(解析版)
平行四边形及特殊平行四边形题型总结题型解读|模型构建|通关试练本专题主要通过上一专题三角形知识的学习路径，类比学习平行四边形，构建知识树；掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定.清楚平行四边形、特殊平行四边形(矩形、菱形、正方形)的特征以及彼此之间的关系.经历从平行四边形到矩形、菱形、正方形的研究过程，体验“从一般到特殊”的研究方法；通过猜想、验证、归纳的过程，掌握矩形、菱形、正方形的性质定理，感悟类比思想；在考试中能利用它们的性质和判定进行推理和计算，提高主动探究的习惯和意识.模型01中心对称与轴对称图形模型02平行四边形的性质与判定性质/图形平行四边形边两组对边平行且相等角对角相等、邻角互补对角线互相平分对称性中心对称图形判定方法：(1)与边有关的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(2)与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形(3)与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形模型03三角形的中位线中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.如图，在△ABC 中，∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，DE =12BC .◆与三角形中位线有关的结论：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.(1)三角形的三条中位线把原三角形分成4个全等的小三角形，每个小三角形的周长为原三角形周长的12，面积为原三角形面积的14；(2)三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.模型04菱形的性质与判定性质/图形菱形边四条边相等角对角相等、邻角互补对角线对角线互相垂直且平分对称性既是轴对称，又是中心对称判定方法：(1)先证平行四边形，再证一组邻边相等；(2)先证平行四边形，再证对角线互相垂直；(3)证四条边都相等的四边形；(4)证对角线互相垂直且平分的四边形；模型05矩形的性质与判定性质/图形矩形边对边平行且相等角四个角都是90°对角线相等且互相平分对称性既是轴对称，又是中心对称判定方法：(1)先证平行四边形，再证一个内角是直角；(2)先证平行四边形，再证对角线相等；(3)证三个角为直角；模型06正方形的性质与判定性质/图形正方形边四条边相等角四个角都是90°对角线对角线互相垂直、平分且相等对称性既是轴对称，又是中心对称判定方法：由菱形到正方形(1)有一个内角是直角的菱形是正方形；(2)对角线相等的菱形是正方形；由矩形到正方形：(1)邻边相等的矩形是正方形；(2)对角线互相垂直的矩形是正方形.模型01中心对称与轴对称图形考|向|预|测中心对称与轴对称图形该题型近年主要以选择形式出现，难度系数较小，在各类考试中基本为送分题型.解这类问题的关键是了解中心对称与轴对称图形的定义，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形. 这个点就是它的对称中心.答|题|技|巧第一步：首先判断一个图形绕着某一点旋转180°，看它是否能够和另一个图形重合；第二步：能够重合即为中心对称，否则看是否具有对称轴；第三步：根据选项做出选择；1(2022•苏州)如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是()A. B.C. D.【答案】B【 详解】解：A选项是原图形的对称图形，故A不正确；B选项是Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，故B正确；C选项旋转后的对应点错误，即形状发生了改变，故C不正确；D选项是按逆时针方向旋转90°，故D不正确；故选：B．2(2023•安徽)对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，下列图形属于中心对称图形的是()A. B. C. D.【答案】A【详解】解：A、是中心对称图形，故选项符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意．故选：A．模型02平行四边形的性质与判定考|向|预|测平行四边形的性质与判定该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，在各类考试中得分率较高.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定.清楚平行四边形、特殊平行四边形(矩形、菱形、正方形)的特征以及彼此之间的关系.能用平行四边形的判定定理和性质定理进行几何证明和计算是考试的重点.答|题|技|巧第一步：理解题意；第二步：根据题意，利用平行四边形的判定定理和性质定理进行几何证明和计算；第三步：注意是否引入其它知识点，例如三角形、平面直角坐标系、函数等；第四步：利用相关的性质和判定进行推理和计算.1如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处．若∠1=56°，∠2=40°，则∠A的度数为()A.68°B.70°C.110°D.112°【答案】D【详解】解：根据折叠可知，∠EDB=∠2=40°，∠EBD=∠ABD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠CDB=∠ABD，∴∠EBD=∠CDB=∠ABD，∵∠1=∠EBD+∠CDB，∴2∠EBD=56°，∴∠EBD=28°，∴∠ABD=28°，∴∠A=180°-∠ABD-∠2=180°-28°-40°=112°，故选：D．2(2023•山东)如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF．(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)若AB⊥BF，AB=16，BF=12，AC=24．求线段EF的长．【答案】(1)证明过程见解答；(2)16．【详解】(1)证明：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，OA=OC，∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，∴OE=OF，∵OB=OD，∴四边形BEDF是平行四边形；(2)解：∵AB⊥BF，AB=16，BF=12，∴AF=AB2+BF2=162+122=20，∵AC=24，∴AE=CF=AC-AF=4，∴EF=AC-AE-CF=24-4-4=16．模型03三角形的中位线考|向|预|测三角形的中位线该题型近年在中点型问题中考试较多，在各类考试中以辅助形式出现，很少有单独考某一个具体知识点的.解这类问题的关键是正确理解三角形中位线的性质，把握题中的关键信息.中位线的考法一般情况是描述出多个中点，另外根据题意条件学会构建出存在中位线的三角形也是至关重要的.答|题|技|巧第一步：分析题目中是一个中点还是多个中点的问题；第二步：单中点问题观察是否为直角三角形，多中点型问题注意中位线的应用；第三步：根据中位线的性质解题，注意是否需要重新构造中位线所在的三角形；第四步：结合其它相关几何知识解题；1(2023•陕西)如图，A，B两地被池塘隔开，小明先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N．若MN的长为18米，则A，B间的距离是()A.9米B.18米C.27米D.36米【答案】D【详解】解：∵点M，N分别是AC，BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴AB=2MN，∵MN=18米，∴AB=36米，故选：D．2(2023•河南)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB=90°，且AB=8，BC=14，则EF的长是()A.2B.3C.4D.5【答案】B【详解】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵BC=14，BC=7，∴DE=12∵∠AFB=90°，AB=8，∴DF=1AB=4，2∴EF=DE-DF=7-4=3，故选：B．模型04菱形的性质与判定考|向|预|测菱形的性质与判定该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在与圆结合或者利用相似求长度、类比探究题型，具有一定的综合性和难度.掌握菱形的性质与判定，菱形的面积公式，及一些特殊的菱形是解答本题的关键.注意菱形与平行四边形的区别，菱形与正方形的联系与区别，利用数形结合及方程的思想解题.答|题|技|巧第一步：理解题意；第二步：根据题意，利用菱形的判定定理和性质定理进行几何证明和计算；第三步：注意菱形面积的求解，菱形与动点问题、圆及平面直角坐标系的结合；第四步：利用相关的性质和判定进行推理和计算.1(2023·湖南)如图，菱形ABCD 中，连接AC ，BD ，若∠1=20°，则∠2的度数为()A.20°B.60°C.70°D.80°【答案】C【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形∴BD ⊥AC ,AB ∥CD ，∴∠1=∠ACD ,∠ACD +∠2=90°，∵∠1=20°，∴∠2=90°-20°=70°,故选：C ．2(2023·浙江)如图，在菱形ABCD 中，AB =1，∠DAB =60°，则AC 的长为()A.12B.1C.32D.3【答案】D【详解】解：连接BD 与AC 交于O ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AB =AD ，AC ⊥BD ，AO =OC =12AC ，∵∠DAB =60°，且AB =AD ，∴△ABD 是等边三角形，∵AC ⊥BD ，∴∠OAB =12∠BAD =30°，∠AOB =90°，∴OB =12AB =12，∴AO =AB 2-OB 2=12-12 2=123，∴AC =2AO =3，故选：D ．模型05矩形的性质与判定考|向|预|测矩形的性质与判定该题型近年主要以填空及综合性大题的形式出现，一般属于多解型问题，难度系数较大.矩形或其它特殊平行四边形的折叠问题注意折叠前后对应边相等、对应角相等，在多解题型中，准确画出折叠后的图形是我们解题的关键.结合矩形的相关性质及判定定理与推论和其它几何的相关知识点进行解题.答|题|技|巧第一步：确定试题考点方向，折叠、旋转、判定等；第二步：应用矩形相关的性质与判定进行解题第三步：注意矩形的折叠、旋转、矩形与坐标系结合等题型的解法；第四步：进行相关计算解决问题.1(2023•安徽)如图，在矩形ABCD 中，BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ．求证：AF =CE ．【答案】过程见详解；【详解】证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∴∠BAE =∠DCF ．又BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，∴∠AEB =∠CFD =90°．在△ABE 与△CDF 中，∠AEB =∠CFD ∠BAE =∠DCF AB =CD，∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE．2(2023•杭州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若∠AOB=60°，则ABBC=()A.12B.3-12C.32D.33【答案】D【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO，∵∠AOB=60°，∴△ABO是等边三角形，∴∠BAO=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=3AB，∴AB BC =33，故选：D．模型06正方形的性质与判定考|向|预|测正方形的性质与判定该题型主要以解答题的形式出现，综合性较强，有一定难度，本专题重点分析正方形与平面直角坐标系相结合、正方形的折叠等题型.结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力.答|题|技|巧第一步：确定正方形所考查知识点；第二步：利用正方形的特殊性分析题目信息，根据已知条件得出相关结论；第三步：结合各类模型中解题技巧和方法，综合运用；第四步：结合其它几何的相关知识点进行解题；1(2023•湖南)如图，点E、F为正方形ABCD边的点，CE⊥DF，点G、H分别为线段CE、DF的中点，连接GH ，若CF =2，GH =32，则AB 的长为．【答案】8【详解】解：连接CH 并延长交AD 于P ，连接PE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A =90°，AD ⎳BC ，∴∠DPH =∠FCH ，在ΔPDH 和ΔCFH 中，∠DPH =∠FCH∠DHP =∠FHC PH =FH，∴ΔPDH ≅ΔCFH (AAS )，∴PD =CF =2，CH =PH ，∵点G 为线段CE 的中点，∴PE =2HG =62，∵DF ⊥CE ，∴∠BCE +∠CEB =∠FCG +∠CFD ，∴∠CFD =∠CEB ，在ΔBCE 与ΔCDF 中，∠B =∠DCFBC =CD ∠BEC =∠CFD，∴ΔBCE ≅ΔCDF (ASA )，∴BE =CF =2，∵AB =AD ，∴AE =AP =22PE =6，∴AB =AE +BE =8，故答案为：8．2(2023•广东)如图，ABCD 是正方形，G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于E ，BF ⊥AG 于F ．求证:AE =BF ．【答案】证明见解析．【解析】解：∵ABCD 是正方形，∴AB =AD ,∠BAD =90°,∴∠BAF +∠DAE =90°,∵DE ⊥AG ，BF ⊥AG ，∴∠DEA =∠AFB =90°,∴∠DAE +∠ADE =90°,∴∠BAF =∠ADE ,在△ABF 与△DAE 中，∠BAF =∠ADE∠AFB =∠DEA AB =DA,∴△ABF ≌△DAE ,∴BF =AE.3(2023•北京)如图所示，DE 为ΔABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB =90°，若AB =6，BC =8，则EF 的长为()A.1B.2C.1.5D.2.5【答案】A 【详解】解：∵DE 是ΔABC 的中位线，BC =8，∴DE =12BC =4，D 是AB 的中点，∵∠AFB =90°，∴DF =12AB =3，∴EF =DE -DF =1，故选：A ．4(2023•江苏)如图，在矩形AOBC 中，点A 的坐标是(-2，1)，点C 的纵坐标是4，则B 、C 两点的坐标分别是()A.(32，3)、(-23，4)B.(32，3)、(-12，4)C.(74，72)、(-23，4) D.(74，72)、(-12，4)【详解】解：过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，过点C 作CF ∥y 轴，过点A 作AF ∥x 轴，交点为F ，延长CA 交x 轴于点H ，∵四边形AOBC 是矩形，∴AC ∥OB ，AC =OB ，∴∠CAF =∠BOE =∠CHO ，在△ACF 和△OBE 中，∠F =∠BEO =90°∠CAF =∠BOE AC =OB，∴△CAF ≌△BOE (AAS )，∴BE =CF =4-1=3，∵∠AOD +∠BOE =∠BOE +∠OBE =90°，∴∠AOD =∠OBE ，∵∠ADO =∠OEB =90°，∴△AOD ∽△OBE ，∴AD OE =OD BE ，即1OE =23，∴OE =32，即点B (32，3)，∴AF =OE =32，∴点C 的横坐标为：-(2-32)=-12，∴点C (-12，4)．故选：B ．5(2023•四川)如图，顺次连接四边形ABCD 各边中点得四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是()A.AB ∥DCB.AC =BDC.AC ⊥BDD.AB =DC【详解】解：依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，连接AC、BD，故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，根据矩形的判定(有一个角为直角的平行四边形是矩形)故当AC⊥BD时，∠EFG=∠EHG=90度．四边形EFGH为矩形．故选：C．6(2023•福建)如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点(不含端点)，∠MAN=45°下列三个结论：①当MN=2MC时，则∠BAM=22.5°；②2∠AMN-∠MNC=90°；③△MNC的周长不变．其中正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3【答案】D【详解】解：①：∵正方形ABCD中，∠C=90°，∴MN=MC2+NC2，∴MN2=MC2+NC2．当MN=2MC时，MN2=2MC2，∴MC2=NC2∴MC=NC．∴BM=DN易证△ABM≌△ADN(SAS)．∴∠BAM=∠DAN，∵∠MAN=45°，∴∠BAM=22.5°，故①正确；②：如图，将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE，则∠EAN =∠EAM -∠MAN =90°-45°=45°，则在△EAN 和△MAN 中，AE =AM ∠EAN =∠MAN AN =AN∴△EAN ≌△MAN (SAS )，∴∠AMN =∠AED ，∴∠AED +∠EAM +∠ENM +∠AMN =360°，∴2∠AMN +90°+(180°-∠MNC )=360°，∴2∠AMN -∠MNC =90°，故②正确；③：∵△EAN ≌△MAN ，∴MN =EN =DE +DN =BM +DN ，∴△MNC 的周长为：MC +NC +MN =(MC +BM )+(NC +DN )=DC +BC ，∵DC 和BC 均为正方形ABCD 的边长，故△MNC 的周长不变．综上①②③都正确．故选：D ．7(2023•贵州)如图所示，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC 、BD 的交点，过O 作OE ⊥OF ，分别交AB 、BC 于E 、F ，若AE =4，CF =3，则EF 的长为()A.3B.4C.5D.6【答案】C 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴OB =OC ，∠OBE =∠OCF =45°，AC ⊥BD ，又∵OE ⊥OF ，∴∠EOB +∠BOF =90°=∠BOF +∠COF ，∴∠EOB =∠COF ，∴△BEO ≌△CFO (ASA )，∴BE=CF=3，又∵AB=BC，∴AE=BF=4，∴Rt△BEF中，EF=BE2+BF2=32+42=5．故选：C．8(2023•南京)如图，在▱ABCD中，AE是∠BAD的平分线，AB=6，AD=4，则CE=．【答案】2【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=6，AD=4，∴CD⎳AB，CD=AB=6，∴∠DEA=∠BAE，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∴∠DAE=∠DEA，∴ED=AD=4，∴CE=CD-ED=6-4=2，故答案为：2．9(2023•深圳)如图所示，在RtΔABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=4，点D为线段AB上的一个动点，以BD为腰，作一个顶角为30°的等腰ΔBDE，其中P为DE的中点，连接CP，则线段CP的最小值为．【答案】6【详解】解：如图所示，连接BP，在等腰ΔBDE中，P是DE的中点，∴BP⊥DE，BP平分∠DBE，∴∠DBP=15°，即点P在∠DBE的角平分线上运动，∴当点D在CP上时，∠CPB=90°，根据垂线段最短可知，此时CP最短，又∵∠ABC=30°，∴∠CBP=45°，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=4，AB=23，∴BC=32=6，∴RtΔBCP中，CP=BC×sin∠CBP=23×2∴线段CP 的最小值为6．故答案为：6．10(2023•陕西)如图，△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，AC =4，BC =3，P 为AB 上一动点，且PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，则线段EF 长度的最小值是．【答案】125【详解】解：连接PC ．∵PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，∴∠PEC =∠PFC =∠C =90°；又∵∠ACB =90°，∴四边形ECFP 是矩形，∴EF =PC ，∴当PC 最小时，EF 也最小，即当CP ⊥AB 时，PC 最小，∵AC =4，BC =3，∴AB =5，∴12AC •BC =12AB •PC ，∴PC =125．∴线段EF 长的最小值为125；故答案为：125．11(2023•湖南)如图，在四边形ABCD 中，AD ⎳BC ，∠B =80°．(1)求∠BAD 的度数；(2)若AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，∠BCD =50°，求证：四边形AECD 是平行四边形．【答案】(1)100°；(2)答案见详解；【详解】(1)解：∵AD ⎳BC ，∴∠BAD +∠B =180°，∵∠B =80°，∴∠BAD =180°-∠B =180°-80°=100°，∴∠BAD 的度数是100°．(2)证明：∵AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，∠BAD =100°，∴∠DAE =∠BAE =12∠BAD =12×100°=50°，∵AD ⎳BC ，∴∠AEB =∠DAE =50°，∵∠BCD =50°，∴∠AEB =∠BCD ，∴AE ⎳CD ，∵AD ⎳EC ，AE ⎳CD ，∴四边形AECD 是平行四边形．12(2023•山东)在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交BE 的延长线于点F ．(1)求证：△AEF ≌△DEB ；(2)证明：四边形ADCF 是菱形；(3)若AB =6，AC =8，求菱形ADCF 的面积．【答案】(1)过程见详解；(2)过程见详解；(3)24【详解】((1)证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE =∠DBE ，∵E 是AD 的中点，∴AE =DE ，在△AEF 和△DEB 中，∠AFE =∠DBE ∠AEF =∠DEB AE =DE，∴△AEF ≌△DEB (AAS )；(2)证明：如图，由(1)知，△AFE ≌△DBE ，∴AF =DB ，∵AD 为BC 边上的中线，∴DB =DC ，∴AF =CD ，∵AF ∥BC ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵∠BAC =90°，D 是BC 的中点，∴AD =12BC =CD ，∴平行四边形ADCF 是菱形；(3)解：∵D 是BC 的中点，∴S 菱形ADCF =2S △ADC =S △ABC =12AB •AC =12×6×8=24．13(2023•重庆)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC的中点，CE ，DF 相交于点G ，连接AG ，求证：(1)CE ⊥DF ．(2)∠AGE =∠CDF ．【答案】(1)见解析过程；(2)见解析过程．【详解】证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC =CD =AD ，∠B =∠BCD =90°，∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴BE =12AB ，CF =12BC ，∴BE =CF ，在△CBE 与△DCF 中，BC =CD∠B =∠BCD BE =CF，∴△CBE ≌△DCF (SAS )，∴∠ECB =∠CDF ，∵∠BCE+∠ECD=90°，∴∠ECD+∠CDF=90°，∴∠CGD=90°，∴CE⊥DF；(2)延长CE交DA的延长线于H，∵点E是AB的中点，∴AE=BE，∵∠AHE=∠BCE，∠AEH=∠CEB，AE=BE，∴△AEH≌△BEC(AAS)，∴BC=AH=AD，∵AG是斜边的中线，∴AG=12DH=AD，∴∠ADG=∠AGD，∵∠AGE+∠AGD=90°，∠CDF+∠ADG=90°，∴∠AGE=∠CDF．1顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是() A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形【答案】D【详解】解：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，EF=12AC，FG=12BD，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，AC=BD，∴EF⊥FG，FE=FG，∴四边形EFGH是正方形，故选：D．2(2023·浙江杭州)菱形不一定具有的性质是()A.对角线互相平分B.是轴对称图形C.对角线相等D.对角线互相垂直【答案】C【详解】解：A、菱形的对角线互相平分，此选项正确，不符合题意；B、菱形是轴对称图形，此选项正确，不符合题意；C、菱形的对角线不一定相等，此选项错误，符合题意；D、菱形的对角线互相垂直，此选项正确，不符合题意；故选：C．3如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，添加以下哪个条件，能使平行四边形ABCD是矩形()A.AD⊥ABB.AB=BCC.AB∥CDD.∠A=∠C【答案】A【详解】∵四边形ABCD是平行四边形；且AD⊥AB∴四边形ABCD是矩形故选A4(2023•江西)如图，▱ABCD中，AB=22cm，BC=82cm，∠A=45°，动点E从A出发，以2cm/s 的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是()A.6sB.6s或10sC.8sD.8s或12s【答案】C【详解】解：在▱ABCD中，CD=AB=22cm，AD=BC=82cm，如图，过点D作DG⊥AB于点G，∵∠A=45°，∴△ADG是等腰直角三角形，AD=8，∴AG=DG=22过点F作FH⊥AB于点H，得矩形DGHF，∴DG=FH=8cm，DF=GH，∵EF=10cm，∴EH=EF2-FH2=6cm，由题意可知：AE=2tcm，CF=tcm，∴GE=AE=AG=(2t-8)cm，DF=CD-CF=(22-t)cm，∴GH=GE+EH=(2t-8)+6=(2t-2)cm，∴2t-2=22-t，解得t=8，当F点在E点左侧时，由题意可知：AE=2tcm，CF=tcm，∴GE=AE-AG=(2t-8)cm，DF=CD-CF=(22-t)cm，∴GH=GE-EH=(2t-8)-6=(2t-14)cm，∴2t-14=22-t，解得t=12，∵点E到达点B时，两点同时停止运动，∴2t ≤22，解得t ≤11．∴t =12不符合题意，舍去，∴EF 的长为10cm 时点E 的运动时间是8s ，故选：C ．5如图，矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、BC 于点E 、F ，连接CE ，则△DCE 的面积为()A.52B.32C.2D.1【答案】B【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴CD =AB =2，AD =BC =4，∠D =90°，∵EO 是AC 的垂直平分线，∴AE =CE ，设CE =x ，则ED =AD -AE =4-x ，在Rt △CDE 中，CE 2=CD 2+ED 2，即x 2=22+(4-x )2，解得：x =52，即CE 的长为52，DE =4-52=32，所以△DCE 的面积=12×32×2=32，故选B ．6如图，以正方形ABCD 的对角线AC 为一边作菱形AEFC ，则∠FAB =()A.20°B.30°C.50°D.22.5°【答案】D【详解】∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴∠CAB =12∠DAB =45°，∵四边形AEFC 是菱形，AF 是对角线，∴∠FAB =12∠CAB =22.5°．故选：D ．7如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，连接EC ，FD ，点G ，H 分别是EC ，FD 的中点，连接GH ，若AB =6，BC =10，则GH 的长度为()A.32B.292C.342D.2【答案】C【详解】解：连接CH 并延长交AD 于P ，连接PE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =90°，AD ∥BC ，∵E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，AB =6，BC =10，∴AE =12AB =12×6=3，CF =12BC =12×10=5，∵AD ∥BC ，∴∠DHP =∠FHC ，在△PDH 与△CFH 中，∠DPH =∠FCH ∠DHP =∠FHC DH =FH，∴△PDH ≌△CFH (AAS )，∴PD =CF =5，CH =PH ，∴AP =AD -PD =5，∴PE =AP 2+AE 2=52+32=34，∵点G 是EC 的中点，∴GH =12EP =342，故选：C．8如图，∠MEN =90°，矩形ABCD 的顶点B ，C 分别是∠MEN 两边上的动点，已知BC =10，CD =5，点D ，E 之间距离的最大值是．【答案】5+52．【详解】解：∵∠MEN =90°，F 是BC 中点，∴EF=1BC=5．2如图：ED≤EF+DF，当点D，E，F三点共线时，取等号．此时F是BC的中点，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，∴FD=CF2+CD2=52+52=52．∴ED最大=EF+DF=5+52．故答案为：5+52．9如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠E=．【答案】22.5°【详解】解：正方形对角线平分直角，故∠ACD=45°，已知DC⊥CE，则∠ACE=∠135°，又∵CE=AC，∴∠E=180°-135°=22.5°．2故答案为：22.5°．10如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=12，E为AD中点，F为CD边上任意一点，G，H分别为EF，BF中点，则GH的长是．【答案】5【详解】解：连接BE，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵E为AD中点，AD=12，∴AE=12AD=6，则在直角三角形ABE中，根据勾股定理可得：BE=AB2+AE2=10，∵G，H分别为EF，BF中点，∴GH=12BE=5；故答案为：5．11如图，四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC交AB于点E，BF平分∠ABC交CD于点F，求证：DE=BF．【答案】见解析【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，∠A=∠C，∠ADC=∠CBA．∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，∴∠ADE=12∠ADC，∠CBF=12∠CBA，∴∠ADE=∠CBF．∴△ADE≌△CBF ASA，∴DE=BF．12如图，在矩形ABCD中，O为BD的中点，过点O作EF⊥BD分别交BC，AD于点E，F．求证：四边形BEDF是菱形．【答案】证明见解析【解析】证明：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC∴∠1=∠2∵O为BD的中点∴BO=DO∵∠BOE=∠DOF∴△OBE≌△ODF(ASA)∴BE =DF∴四边形BEDF 是平行四边形又∵EF ⊥BD∴四边形BEDF 是菱形．13如图，已知正方形ABCD ，点E 、F 分别是AB 、BC 边上，且∠EDF =45°，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM ．(1)求证：△EDF ≌△MDF ；(2)若正方形ABCD 的边长为5，AE =2时，求EF 的长？【答案】(1)答案见解析；(2)297【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A =∠B =∠DCF =90°，AD =AB =BC =5，由旋转得：∠A =∠DCM =90°，DE =DM ，∠EDM =90°，∴∠DCF +∠DCM =180°，∴F 、C 、M 三点在同一条直线上，∵∠EDF =45°，∴∠FDM =∠EDM -∠EDC =45°，∴∠EDF =FDM ，∵DF =DF ，∴△EDF ≌△MDF (SAS )；(2)设CF =x ，∴BF =BC -CF =5-x ，由旋转得：AE =CM =2，∴BE =AB -AE =3，FM =CF +CM =2+x ，∵△EDF ≌△MDF ，∴EF =FM =2+x ，在Rt △EBF 中，BE 2+BF 2=EF 2，∴9+(5-x )2=(2+x )2，∴x =157，∴EF =2+x =297，∴EF 的长为297．14如图，在▱ABCD 中，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，DF 平分∠ADC ，交BC 于点F ，CE 与DF交于点P，连结EF，BP.(1)求证：四边形CDEF是菱形.(2)若AB=2，BC=3，∠A=120°，求BP的值.【答案】(1)见解析；(2)7.【详解】(1)∵在▱ABCD中，CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠DCE，∠BCE=∠DEC，∴∠DCE=∠DEC，∴DE=DC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠CDF，∠ADF=∠DFC，∴∠CDF=∠DFC，∴CF=DC=DE，∵ED∥FC，∴四边形CDEF是菱形；(2)作PH⊥BC于点H，∵∠BAD=120°，∴∠PCH=60°，∵四边形CDEF是菱形，AB=2，∴CE=2，∴CP=1，∴CH=12，PH=3 2，∵BC=3，∴BH=52，∴BP=322+52 2=7.15已知：如图，在正方形ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD，CD上的点，且AE=CF，连接BE、BF、EF．(1)求证：EM=FM；(2)若DE：AE=2：1，设S△ABE=S，求S△BEF(用含S的代数式表示)．【答案】(1)见解析；(2)83 S【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，又∵AE=CF，∴DE=DF，∴△DEF是等腰三角形，又∵∠ADB=∠CDB=45°，∴EM=FM；(2)∵DE：AE=2：1，∴设AE=CF=x，DE=DF=2x，AB=AD=3x，∴S△BCF=S△ABE=12×AE•AB=12•x•3x=32x2=S，∴x2=23S，同理可求得：S△DEF=12×DE•DF=12•2x•2x=2x2=2×23S=43S，∴S ABCD=AB2=3x2=9x2=9×23S=6S，∴S△BEF=S□ABCD-S△ABE-S△CBF-S△DEF=6S-S-S-43S=83S．。
初二数学八下平行四边形所有知识点总结和常考题型练习题
初⼆数学⼋下平⾏四边形所有知识点总结和常考题型练习题初⼆数学⼋下平⾏四边形所有知识点总结和常考题型练习题平⾏四边形知识点⼀、四边形相关1、四边形的内⾓和定理及外⾓和定理四边形的内⾓和定理：四边形的内⾓和等于360°。
四边形的外⾓和定理：四边形的外⾓和等于360°。
推论：多边形的内⾓和定理：n 边形的内⾓和等于180°；多边形的外⾓和定理：任意多边形的外⾓和等于360°。
2、多边形的对⾓线条数的计算公式设多边形的边数为n ，则多边形的对⾓线条数为。
⼆、平⾏四边形1．定义：两组对边分别平⾏的四边形是平⾏四边形．平⾏四边形的定义既是平⾏四边形的⼀条性质，⼜是⼀个判定⽅法．2．平⾏四边形的性质：平⾏四边形的有关性质和判定都是从边、⾓、对⾓线三个⽅⾯的特征进⾏简述的．（1）⾓：平⾏四边形的对⾓相等，邻⾓互补；（2）边：平⾏四边形两组对边分别平⾏且相等；（3）对⾓线：平⾏四边形的对⾓线互相平分；（4）⾯积：①；②平⾏四边形的对⾓?-)2(n 2)3(-nn S ==?底⾼ah A BD O C线将四边形分成4个⾯积相等的三⾓形．3．平⾏四边形的判别⽅法①定义：两组对边分别平⾏的四边形是平⾏四边形②⽅法1：两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形③⽅法2：⼀组对边平⾏且相等的四边形是平⾏四边形④⽅法3：两组对⾓分别相等的四边形是平⾏四边形⑤⽅法4：对⾓线互相平分的四边形是平⾏四边形三、矩形1. 矩形定义：有⼀个⾓是直⾓的平⾏四边形是矩形。
2. 矩形性质①边：对边平⾏且相等；②⾓：对⾓相等、邻⾓互补，矩形的四个⾓都是直⾓；③对⾓线：对⾓线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．3. 矩形的判定：满⾜下列条件之⼀的四边形是矩形①有⼀个⾓是直⾓的平⾏四边形；②对⾓线相等的平⾏四边形；③四个⾓都相等识别矩形的常⽤⽅法①先说明四边形ABCD 为平⾏四边形，再说明平⾏四边形ABCD 的任意⼀个⾓为直⾓．②先说明四边形ABCD 为平⾏四边形，再说明平⾏四边形ABCD 的对⾓线相等．A DB C O③说明四边形ABCD 的三个⾓是直⾓．4. 矩形的⾯积①设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形=ab ．四、菱形1. 菱形定义：有⼀组邻边相等的平⾏四边形是菱形。
人教八下平行四边形专题知识点 常考(典型)题型 重难点题型(含详细答案)
平行四边形专题知识点+常考题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录 (1)二、基础知识点 (2)1.平行四边形的定义 (2)2.平行四边形的性质 (3)3.平行四边形的判定定理 (7)4.三角形中位线定理 (10)三、重难点题型 (14)1.平行四边形的共性 (14)2.平行四边形间距离的应用 (16)3.与平行四边形有关的计算 (17)4.与平行四边形有关的证明 (19)二、基础知识点1.平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形。
平行四边形ABCD记作“□ABCD”注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形例1.如图，□ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证：BE=DF．答案：∵四边形ABCD为平行四边形∴AD∥CB，AD=CB∵DE⊥AB，BF⊥CD∴∠DEA=∠CFB∴△ADE≌△CFB∴AE=CF∵DC=AB∴BE=DF例2.在平面直角坐标系中，有A（0,1），B（-1,0），C（1,0）三点，若点D与A，B，C构成平行四边形，求D的坐标。
（3解）答案：如下图，有三种情况，坐标分别为：（0，－1）；（2,1）；（－2,1）2.平行四边形的性质性质1（边）：平行四边形的对边相等（AB=CD，AC=BD）证明：∵∠CAD=∠ADB ∠DAB=∠ADC AD=AD ∴△ACD≌△DBA（ASA）∴AB=CD AC=BD性质2（角）：平行四边形对角相等，邻角互补（∠A=∠D，∠C=∠B；∠A+∠C=∠B+∠D=180°）证明：∵△ACD≌△DBA（ASA）又∵∠CAB=∠CAD+∠DAB ∠CDB=∠CDA+∠ADB∴∠CAB=∠CDB∵AB∥CD∴∠B+∠BDC=180°性质3（对角线）：平行四边形对角线互相平分（AO=OC；BO=OD）证明：∵AD=BC ∠OAD=∠OCB ∠ODA=∠OBC∴△AOD≌△COB（ASA）∴AO=OC OB=OD注1：平行四边形对角线互相平分，但两对角线不一定相等解析：假设平行四边形对角线相等∴∠OAD=∠ADO=∠OBC=∠OCB∠OAB=∠OBA=∠OCD=∠CDO又∵∠DAB+∠CBA=180°∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°∴仅在平行四边形的四个角为直角时（即矩形），对角线相等注2：对角线不一定平分角解析：假设平行四边形对角线平分角，则∠ADB=∠BDC ∠ACD=∠ACB ∵∠DCB=∠BAD∴∠ACD=∠CAD又∵OD=OD∴△AOD≌△COD（AAS）∴AD=DC=BC=AB∴仅当平行四边形四条边相等时（即菱形），对角线平分角性质4：平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线交点。
2020-2021中考数学压轴题之平行四边形(中考题型整理,突破提升)含答案解析
2020-2021中考数学压轴题之平行四边形(中考题型整理,突破提升)含答案解析一、平行四边形1．（问题情景）利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法，此方法是我们解决几何问题的途径之一．例如：张老师给小聪提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=3，AD=6，问△ABC的高AD与CE的比是多少？小聪的计算思路是：根据题意得：S△ABC=12BC•AD=12AB•CE．从而得2AD=CE，∴12 AD CE请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题：（1）（类比探究）如图2，在▱ABCD中，点E、F分别在AD，CD上，且AF=CE，并相交于点O，连接BE、BF，求证：BO平分角AOC．（2）（探究延伸）如图3，已知直线m∥n，点A、C是直线m上两点，点B、D是直线n上两点，点P是线段CD中点，且∠APB=90°，两平行线m、n间的距离为4．求证：PA•PB=2AB．（3）（迁移应用）如图4，E为AB边上一点，ED⊥AD，CE⊥CB，垂足分别为D，C，∠DAB=∠B，AB=34，BC=2，AC=26，又已知M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN．求△DEM与△CEN的周长之和．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）34【解析】分析：(1)、根据平行四边形的性质得出△ABF和△BCE的面积相等，过点B作OG⊥AF于G，OH⊥CE于H，从而得出AF=CE，然后证明△BOG和△BOH全等，从而得出∠BOG=∠BOH，即角平分线；(2)、过点P作PG⊥n于G，交m于F，根据平行线的性质得出△CPF和△DPG全等，延长BP交AC于E，证明△CPE和△DPB全等，根据等积法得出AB=AP×PB，从而得出答案；(3)、，延长AD，BC交于点G，过点A作AF⊥BC于F，设CF=x，根据Rt△ABF和Rt△ACF的勾股定理得出x的值，根据等积法得出AE=2DM=2EM，BE=2CN=2EN， DM+CN=AB，从而得出两个三角形的周长之和．同理：EM+EN=AB详解：证明：（1）如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ABF=S▱ABCD，S△BCE=S▱ABCD，∴S△ABF=S△BCE，过点B作OG⊥AF于G，OH⊥CE于H，∴S△ABF=AF×BG，S△BCE=CE×BH，∴AF×BG=CE×BH，即：AF×BG=CE×BH，∵AF=CE，∴BG=BH，在Rt△BOG和Rt△BOH中，，∴Rt△BOG≌Rt△BOH，∴∠BOG=∠BOH，∴OB平分∠AOC，（2）如图3，过点P作PG⊥n于G，交m于F，∵m∥n，∴PF⊥AC，∴∠CFP=∠BGP=90°，∵点P是CD中点，在△CPF和△DPG中，，∴△CPF≌△DPG，∴PF=PG=FG=2，延长BP交AC于E，∵m∥n，∴∠ECP=∠BDP，∴CP=DP，在△CPE和△DPB中，，∴△CPE≌△DPB，∴PE=PB，∵∠APB=90°，∴AE=AB，∴S△APE=S△APB，∵S△APE=AE×PF=AE=AB，S△APB=AP×PB，∴AB=AP×PB，即：PA•PB=2AB；（3）如图4，延长AD，BC交于点G，∵∠BAD=∠B，∴AG=BG，过点A作AF⊥BC于F，设CF=x（x＞0），∴BF=BC+CF=x+2，在Rt△ABF中，AB=，根据勾股定理得，AF2=AB2﹣BF2=34﹣（x+2）2，在Rt△ACF中，AC=，根据勾股定理得，AF2=AC2﹣CF2=26﹣x2，∴34﹣（x+2）2=26﹣x2，∴x=﹣1（舍）或x=1，∴AF==5，连接EG，∵S△ABG=BG×AF=S△AEG+S△BEG=AG×DE+BG×CE=BG（DE+CE），∴DE+CE=AF=5，在Rt△ADE中，点M是AE的中点，∴AE=2DM=2EM，同理：BE=2CN=2EN，∵AB=AE+BE，∴2DM+2CN=AB，∴DM+CN=AB，同理：EM+EN=AB ∴△DEM与△CEN的周长之和=DE+DM+EM+CE+CN+EN=（DE+CE）+[（DM+CN）+（EM+EN）]=（DE+CN）+AB=5+．点睛：本题主要考查的就是三角形全等的判定与性质以及三角形的等积法，综合性非常强，难度较大．在解决这个问题的关键就是作出辅助线，然后根据勾股定理和三角形全等得出各个线段之间的关系．2．如图，△ABC是等边三角形，AB=6cm，D为边AB中点．动点P、Q在边AB上同时从点D出发，点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动．点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动，回到点D停止．以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN．将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ．设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0＜t＜3）．（1）当点N落在边BC上时，求t的值．（2）当点N到点A、B的距离相等时，求t的值．（3）当点Q沿D→B运动时，求S与t之间的函数表达式．（4）设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值．【答案】（1）（2）2（3）S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2；（4）t=1或【解析】试题分析：（1）由题意知：当点N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3；（2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，此时PD=DQ；（3）当0≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN．（4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时＜t＜，列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出t的值．试题解析：（1）∵△PQN与△ABC都是等边三角形，∴当点N落在边BC上时，点Q与点B重合．∴DQ=3∴2t=3．∴t=；（2）∵当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，∴PD=DQ，当0＜t＜时，此时，PD=t，DQ=2t∴t=2t∴t=0（不合题意，舍去），当≤t＜3时，此时，PD=t，DQ=6﹣2t∴t=6﹣2t，解得t=2；综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2；（3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t当点M在BC边上时，∴MN=BQ∵PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t∴3t=3﹣2t∴解得t=如图①，当0≤t≤时，S△PNQ=PQ2=t2；∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2，如图②，当≤t≤时，设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，∵MN=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t，∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3，∵△EMF是等边三角形，∴S△EMF=ME2=（5t﹣3）2．；（4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，此时＜t＜，t=1或．考点：几何变换综合题3．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．【答案】(1)见解析；（2）18°.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出∠FDC的度数，根据三角形内角和定理求出∠DCO，根据矩形的性质得出OD=OC，求出∠CDO，即可求出答案．【详解】（1）证明：∵AO=CO，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=54°∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．4．如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．（1）求证：AD=EC；（2）当∠BAC=Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）先证四边形ABDE是平行四边形，再证四边形ADCE是平行四边形即可；（2）由∠BAC=90°，AD是边BC上的中线，得AD=BD=CD，即可证明.【详解】(1)证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，∵AD是边BC上的中线，∴BD=DC，∴AE=DC，又∵AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形.(2) 证明：∵∠BAC=90°，AD是边BC上的中线.∴AD=CD∵四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形.【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边中线定理.根据图形与已知条件灵活应用平行四边形的判定方法是证明的关键.5．如图（1）在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为G 交AD于F（1）求证：AF＝DE；（2）连接DG，若DG平分∠EGF，如图（2），求证：点E是CD中点；（3）在（2）的条件下，连接CG，如图（3），求证：CG＝CD．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CG＝CD，见解析．【解析】【分析】（1）证明△BAF≌△ADE（ASA）即可解决问题．（2）过点D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点M，N．想办法证明AF＝DF，即可解决问题．（3）延长AE，BC交于点P，由（2）知DE＝CD，利用直角三角形斜边中线的性质，只要证明BC＝CP即可．【详解】（1）证明：如图1中，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90o，∴∠2+∠3＝90°又∵BF⊥AE，∴∠AGB＝90°∴∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠3在△BAF与△ADE中，∠1=∠3 BA=AD ∠BAF=∠D，∴△BAF≌△ADE（ASA）∴AF＝DE．（2）证明：过点D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点M，N．由（1）得∠1＝∠3，∠BGA＝∠AND＝90°，AB＝AD∴△BAG≌△ADN（AAS）∴AG＝DN，又DG平分∠EGF，DM⊥GF，DN⊥GE，∴DM＝DN，∴DM＝AG，又∠AFG＝∠DFM，∠AGF＝∠DMF∴△AFG≌△DFM（AAS），∴AF＝DF＝DE＝12AD＝12CD，即点E是CD的中点．（3）延长AE，BC交于点P，由（2）知DE＝CD，∠ADE＝∠ECP＝90°，∠DEA＝∠CEP，∴△ADE≌△PCE（ASA）∴AE＝PE，又CE∥AB，∴BC＝PC，在Rt△BGP中，∵BC＝PC，∴CG＝1BP＝BC，2∴CG＝CD．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．6．如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC上一定点，BE＝6，F为AB上一动点，把△BEF沿EF折叠，点B落在点B′处，当△AFB′恰好为直角三角形时，B′D的长为？465225【解析】【分析】分两种情况分析：如图1，当∠AB′F=90°时，此时A、B′、E三点共线，过点B′作B′M⊥AB，B′N⊥AD，由三角形的面积法则可求得B′M=2.4，再由勾股定理可求得B′N=3.2，在Rt△CB′N中，由勾股定理得，2222B N'+；如图2，当∠AFB′=90°+DN= 3.2 5.6时，由题意可知此时四边形EBFB′是正方形，AF=2，过点B′作B′N⊥AD，则四边形AFB′N为矩形，在Rt△CB′N中，由勾股定理得，2222B N'+；+DN=22【详解】如图1，当∠AB′F=90°时，此时A、B′、E三点共线，∵∠B=90°，∴2222++，AB BE=86∵B′E=BE=6，∴AB′=4，∵B′F=BF，AF+BF=AB=8，在Rt△AB′F中，∠AB′F=90°，由勾股定理得，AF2=FB′2+AB′2，∴AF=5，BF=3，过点B′作B′M⊥AB，B′N⊥AD，由三角形的面积法则可求得B′M=2.4，再由勾股定理可求得B′N=3.2，∴AN=B′M=2.4，∴DN=AD-AN=8-2.4=5.6，在Rt△CB′N中，由勾股定理得，B′D=2222+DN= 3.2 5.6B N'+ =4655；如图2，当∠AFB′=90°时，由题意可知此时四边形EBFB′是正方形，∴AF=2，过点B′作B′N⊥AD，则四边形AFB′N为矩形，∴AN=B′F=6，B′N=AF=2，∴DN=AD-AN=2，在Rt△CB′N中，由勾股定理得，B′D=2222+DN=22B N'+ =22；综上，可得B′D 4655或2【点睛】本题主要考查正方形的性质与判定，矩形有性质判定、勾股定理、折叠的性质等，能正确地画出图形并能分类讨论是解题的关键.7．已知AD是△ABC的中线P是线段AD上的一点（不与点A、D重合），连接PB、PC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，AD与EF交于点M；（1）如图1，当AB＝AC时，求证：四边形EGHF是矩形；（2）如图2，当点P与点M重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与△BPE面积相等的三角形（不包括△BPE本身）．【答案】（1）见解析；（2）△APE、△APF、△CPF、△PGH．【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理得出EG∥AP，EF∥BC，EF=12BC，GH∥BC，GH=12BC，推出EF∥GH，EF=GH，证得四边形EGHF是平行四边形，证得EF⊥AP，推出EF⊥EG，即可得出结论；（2）由△APE与△BPE的底AE=BE，又等高，得出S△APE=S△BPE，由△APE与△APF的底EP=FP，又等高，得出S△APE=S△APF，由△APF与△CPF的底AF=CF，又等高，得出S△APF=S△CPF，证得△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，推出S△PGH=12S△AEF=S△APF，即可得出结果．【详解】（1）证明：∵E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，∴EG∥AP，EF∥BC，EF＝12BC，GH∥BC，GH＝12BC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EGHF是平行四边形，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴EF⊥AP，∵EG∥AP，∴EF⊥EG，∴平行四边形EGHF是矩形；（2）∵PE是△APB的中线，∴△APE与△BPE的底AE＝BE，又等高，∴S△APE＝S△BPE，∵AP是△AEF的中线，∴△APE与△APF的底EP＝FP，又等高，∴S△APE＝S△APF，∴S△APF＝S△BPE，∵PF是△APC的中线，∴△APF与△CPF的底AF＝CF，又等高，∴S△APF＝S△CPF，∴S△CPF＝S△BPE，∵EF∥GH∥BC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，∴△AEF底边EF上的高等于△ABC底边BC上高的一半，△PGH底边GH上的高等于△PBC 底边BC上高的一半，∴△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，∵GH＝EF，∴S△PGH＝1S△AEF＝S△APF，2综上所述，与△BPE面积相等的三角形为：△APE、△APF、△CPF、△PGH．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．8．如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC．(1)试猜想AE与GC有怎样的关系(直接写出结论即可)；(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG．你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．(3)在(2)中，若E是BC的中点，且BC＝2，则C，F两点间的距离为．【答案】(1) AE＝CG，AE⊥GC；(2)成立，证明见解析；2．【解析】【分析】（1）观察图形，AE、CG的位置关系可能是垂直，下面着手证明．由于四边形ABCD、DEFG都是正方形，易证得△ADE≌△CDG，则∠1＝∠2，由于∠2、∠3互余，所以∠1、∠3互余，由此可得AE⊥GC．（2）题（1）的结论仍然成立，参照（1）题的解题方法，可证△ADE≌△CDG，得∠5＝∠4，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6＝∠7；由图知∠AEB＝∠CEH＝90°﹣∠6，即∠7+∠CEH＝90°，由此得证．（3）如图3中，作CM⊥DG于G，GN⊥CD于N，CH⊥FG于H，则四边形CMGH是矩形，可得CM＝GH，CH＝GM．想办法求出CH，HF，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】(1)AE＝CG，AE⊥GC；证明：延长GC交AE于点H，在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD＝DC，∠ADE＝∠CDG＝90°，DE＝DG，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE，CG，∠1＝∠2∵∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠AHG＝180°﹣(∠1+∠3)＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥GC．(2)答：成立；证明：延长AE和GC相交于点H，在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠DCB＝∠B＝∠BAD＝∠EDG＝90°，∴∠1＝∠2＝90°﹣∠3；∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG，∠5＝∠4；又∵∠5+∠6＝90°，∠4+∠7＝180°﹣∠DCE＝180°﹣90°＝90°，∴∠6＝∠7，又∵∠6+∠AEB＝90°，∠AEB＝∠CEH，∴∠CEH+∠7＝90°，∴∠EHC＝90°，∴AE⊥GC．(3)如图3中，作CM⊥DG于G，GN⊥CD于N，CH⊥FG于H，则四边形CMGH是矩形，可得CM＝GH，CH＝GM．∵BE ＝CE ＝1，AB ＝CD ＝2，∴AE ＝DE ＝CG ═DG ＝FG 5∵DE ＝DG ，∠DCE ＝∠GND ，∠EDC ＝∠DGN ，∴△DCE ≌△GND(AAS)，∴GCD ＝2，∵S △DCG ＝12•CD•NG ＝12•DG•CM ， ∴2×25， ∴CM ＝GH 45， ∴MG ＝CH 22CG CM -355， ∴FH ＝FG ﹣FG 5， ∴CF 22FH CH +22535()()55+2． 2．【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．9．正方形ABCD ，点E 在边BC 上，点F 在对角线AC 上，连AE ．(1)如图1，连EF ，若EF ⊥AC ，4AF ＝3AC ，AB ＝4，求△AEF 的周长；(2)如图2，若AF ＝AB ，过点F 作FG ⊥AC 交CD 于G ，点H 在线段FG 上(不与端点重合)，连AH ．若∠EAH ＝45°，求证：EC ＝2．+；（2）证明见解析【答案】（1）2542【解析】【分析】（1）由正方形性质得出AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠D＝90°，∠ACB＝∠ACD＝∠BAC＝∠ACD＝45°，得出AC＝2AB＝42，求出AF＝32，CF＝AC﹣AF＝2，求出△CEF 是等腰直角三角形，得出EF＝CF＝2，CE＝2CF＝2，在Rt△AEF中，由勾股定理求出AE，即可得出△AEF的周长；（2）延长GF交BC于M，连接AG，则△CGM和△CFG是等腰直角三角形，得出CM＝CG，CG＝2CF，证出BM＝DG，证明Rt△AFG≌Rt△ADG得出FG＝DG，BM＝FG，再证明△ABE≌△AFH，得出BE＝FH，即可得出结论．【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠D＝90°，∠ACB＝∠ACD＝∠BAC＝∠ACD＝45°，∴AC＝2AB＝42，∵4AF＝3AC＝122，∴AF＝32，∴CF＝AC﹣AF＝2，∵EF⊥AC，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EF＝CF＝2，CE＝2CF＝2，在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE＝2225+=，AF EF++=+；∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝252322542（2）证明：延长GF交BC于M，连接AG，如图2所示：则△CGM和△CFG是等腰直角三角形，∴CM＝CG，CG2，∴BM ＝DG ，∵AF ＝AB ，∴AF ＝AD ，在Rt △AFG 和Rt △ADG 中，AG AG AF AD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △AFG ≌Rt △ADG （HL ），∴FG ＝DG ，∴BM ＝FG ，∵∠BAC ＝∠EAH ＝45°，∴∠BAE ＝∠FAH ，∵FG ⊥AC ，∴∠AFH ＝90°，在△ABE 和△AFH 中，90B AFH AB AFBAE FAH ︒⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABE ≌△AFH （ASA ），∴BE ＝FH ，∵BM ＝BE +EM ，FG ＝FH +HG ，∴EM ＝HG ，∵EC ＝EM +CM ，CM ＝CGCF ，∴EC ＝HG．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．10．如图①，在矩形ABCD 中，点P 从AB 边的中点E 出发，沿着E B C --速运动，速度为每秒2个单位长度，到达点C 后停止运动，点Q 是AD 上的点，10AQ =，设PAQ ∆的面积为y ，点p 运动的时间为t 秒，y 与t 的函数关系如图②所示.(1)图①中AB = ，BC = ，图②中m = .(2)当t =1秒时，试判断以PQ 为直径的圆是否与BC 边相切?请说明理由:(3)点p 在运动过程中，将矩形沿PQ 所在直线折叠，则t 为何值时，折叠后顶点A 的对应点A '落在矩形的一边上.【答案】(1)8,18,20;(2)不相切，证明见解析；（3）t=12、5、173. 【解析】【分析】 （1）由题意得出AB=2BE ，t=2时，BE=2×2=4，求出AB=2BE=8，AE=BE=4，t=11时，2t=22，得出BC=18，当t=0时，点P 在E 处，m=△AEQ 的面积=12AQ×AE=20即可； （2）当t=1时，PE=2，得出AP=AE+PE=6，由勾股定理求出34PQ 为直径的圆的圆心为O'，作O'N ⊥BC 于N ，延长NO'交AD 于M ，则MN=AB=8，O'M ∥AB ，MN=AB=8，由三角形中位线定理得出O'M=12AP=3，求出O'N=MN-O'M=5＜圆O'的半径，即可得出结论；（3）分三种情况：①当点P 在AB 边上，A'落在BC 边上时，作QF ⊥BC 于F ，则QF=AB=8，BF=AQ=10，由折叠的性质得：PA'=PA ，A'Q=AQ=10，∠PA'Q=∠A=90°，由勾股定理求出22AQ QF '-，得出A'B=BF-A'F=4，在Rt △A'BP 中，BP=4-2t ，PA'=AP=8-（4-2t ）=4+2t ，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当点P 在BC 边上，A'落在BC 边上时，由折叠的性质得：A'P=AP ，证出∠APQ=∠AQP ，得出AP=AQ=A'P=10，在Rt △ABP 中，由勾股定理求出BP=6，由BP=2t-4，得出2t-4=6，解方程即可；③当点P 在BC 边上，A'落在CD 边上时，由折叠的性质得：A'P=AP ，A'Q=AQ=10，在Rt △DQA'中，DQ=AD-AQ=8，由勾股定理求出DA'=6，得出A'C=CD-DA'=2，在Rt △ABP 和Rt △A'PC 中，BP=2t-4，CP=BC-BP=22-2t ，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】（1）∵点P 从AB 边的中点E 出发，速度为每秒2个单位长度，∴AB=2BE ，由图象得：t=2时，BE=2×2=4，∴AB=2BE=8，AE=BE=4，t=11时，2t=22，∴BC=22-4=18，当t=0时，点P 在E 处，m=△AEQ 的面积=12AQ×AE=12×10×4=20； 故答案为8，18，20；（2）当t=1秒时，以PQ 为直径的圆不与BC 边相切，理由如下：当t=1时，PE=2，∴AP=AE+PE=4+2=6，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴PQ=2222106234AQ AP+=+=，设以PQ为直径的圆的圆心为O'，作O'N⊥BC于N，延长NO'交AD于M，如图1所示：则MN=AB=8，O'M∥AB，MN=AB=8，∵O'为PQ的中点，∴O''M是△APQ的中位线，∴O'M=12AP=3，∴O'N=MN-O'M=5＜34，∴以PQ为直径的圆不与BC边相切；（3）分三种情况：①当点P在AB边上，A'落在BC边上时，作QF⊥BC于F，如图2所示：则QF=AB=8，BF=AQ=10，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，CD=AB=8，AD=BC=18，由折叠的性质得：PA'=PA，A'Q=AQ=10，∠PA'Q=∠A=90°，∴22AQ QF'-，∴A'B=BF-A'F=4，在Rt△A'BP中，BP=4-2t，PA'=AP=8-（4-2t）=4+2t，由勾股定理得：42+（4-2t）2=（4+2t）2，解得：t=12；②当点P在BC边上，A'落在BC边上时，连接AA'，如图3所示：由折叠的性质得：A'P=AP，∴∠APQ'=∠A'PQ，∵AD∥BC，∴∠AQP=∠A'PQ，∴∠APQ=∠AQP，∴AP=AQ=A'P=10，在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP=22108-=6，又∵BP=2t-4，∴2t-4=6，解得：t=5；③当点P在BC边上，A'落在CD边上时，连接AP、A'P，如图4所示：由折叠的性质得：A'P=AP，A'Q=AQ=10，在Rt△DQA'中，DQ=AD-AQ=8，由勾股定理得：22108-，∴A'C=CD-DA'=2，在Rt△ABP和Rt△A'PC中，BP=2t-4，CP=BC-BP=18-（2t-4）=22-2t，由勾股定理得：AP2=82+（2t-4）2，A'P2=22+（22-2t）2，∴82+（2t-4）2=22+（22-2t）2，解得：t=173；综上所述，t为12或5或173时，折叠后顶点A的对应点A′落在矩形的一边上．【点睛】四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠变换的性质、勾股定理、函数图象、直线与圆的位置关系、三角形中位线定理、等腰三角形的判定、以及分类讨论等知识.11．如图，抛物线y=mx2+2mx+n经过A（﹣3，0），C（0，﹣32）两点，与x轴交于另一点B．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，写出点E的坐标，并求AC、BE的交点F的坐标（3）若抛物线的顶点为D，连结DC、DE，四边形CDEF是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由．【答案】（1）y=12x2+x﹣32；（2）F点坐标为（﹣1，﹣1）；（3）四边形CDEF是菱形．证明见解析【解析】【分析】将A、C点的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组求得该抛物线的解析式；根据（1）题所得的抛物线的解析式，可确定抛物线的对称轴方程以及B、C点的坐标，由CE∥x轴，可知C、E关于对称轴对称。
动点平行四边形题的解题思路
动点平行四边形题的解题思路 朋友们！今天咱们来聊聊那个老生常谈却又让人头疼的问题——动点平行四边形题。是不是每次看到这个题目就感觉像是在跟数学谈恋爱，但又总是谈得不欢而散？别急，我来给你支几招，保证让你轻松拿下这道难题。 你得明白，动点平行四边形题就像是一场捉迷藏的游戏，你得找到那个隐藏的“宝藏”——也就是那些不动的点，它们就像是一个个小目标，引导你走向解决问题的道路。别小看这些不动的点哦，它们可是你的得力助手，帮你画出平行四边形，让你的问题迎刃而解。 咱们得学会用“透视法”来看待这个问题。想象一下，如果把平行四边形放在一个透明的盒子里，那么盒子里的平行四边形就像是一幅画，你只需要通过盒子的玻璃窗就能看清楚它的全貌。同样地，问题的答案也藏在那些不动的点中，只要你能找到它们，就能清晰地看到问题的全貌。 再来说说“联想法”，这可是解决数学题的小能手哦！当你遇到一个看似无解的问题时，不妨试着从其他角度去联想，比如想想这个题目和生活中的哪些事物有相似之处。这样不仅能帮助你打开思路，还能让你的问题变得更加有趣。 别忘了“换位思考”，就像你在玩捉迷藏时，有时候需要换个位置才能找到目标一样，解决数学题也需要换个角度看问题。你可能需要站在旁观者的角度去审视这个问题，这样才能发现那些隐藏的线索。 我想说的是，解决动点平行四边形题就像是一场智力与耐心的较量。虽然这个过程可能会有些曲折，但只要你坚持不懈，相信你一定能够找到那个隐藏的宝藏。记住，每一次的挑战都是一次成长的机会，所以不要害怕失败，勇敢地去尝试吧！ 朋友们，这就是我今天要分享的关于动点平行四边形题的解题思路。希望我的分享能帮助你解开这个难题，让你在数学的世界里越走越远。加油！
平行四边形题型总结
平行四边形题型总结1. 平行四边形的定义平行四边形是指具有相对平行的对边的四边形。
在平行四边形中，相邻两边相互平行，相对两边长度相等，对角线互相平分，且对角线相互垂直。
2. 平行四边形的性质•对边互相平行•相邻两边相等•对角线互相平分•对角线相互垂直•两组对角线分别相等3. 平行四边形题型分类平行四边形题型可以分为以下几类：3.1. 长方形题型长方形是一种特殊的平行四边形，它具有所有平行四边形的性质，并且四个角都是直角。
在解决长方形题型时，可以利用长方形的性质进行计算。
3.2. 正方形题型正方形也是一种特殊的平行四边形，它具有所有平行四边形的性质，并且四个边长相等，四个角都是直角。
在解决正方形题型时，可以利用正方形的性质进行计算。
3.3. 矩形题型矩形也是一种特殊的平行四边形，它具有所有平行四边形的性质，并且两对对边分别相等，四个角都是直角。
在解决矩形题型时，可以利用矩形的性质进行计算。
3.4. 平行四边形周长与面积题型在解决平行四边形周长与面积题型时，可以利用平行四边形的性质及相关公式进行计算。
其中，平行四边形的周长等于所有边长之和，面积等于底边乘以高。
4. 解题方法与技巧4.1. 利用对边平行性质在解决平行四边形题型时，可以利用对边平行性质进行推导和计算。
根据对边平行性质，可以获得各种边长、角度之间的关系。
4.2. 利用对角线性质在解决平行四边形题型时，可以利用对角线性质进行推导和计算。
根据对角线性质，可以获得对角线长度、对角线之间的关系等信息。
4.3. 利用周长与面积公式在解决平行四边形周长与面积题型时，可以利用相关公式进行计算。
根据平行四边形的周长公式和面积公式，可以直接计算出所需结果。
4.4. 利用特殊平行四边形的性质在解决特殊平行四边形（如长方形、正方形、矩形）的题目时，可以利用其特殊性质进行计算。
特殊平行四边形的性质往往简化了计算过程，能够更快地得到答案。
5. 解题演示5.1. 长方形题型示例题目：长方形的长是5cm，宽是3cm，求长方形的周长和面积。
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平行四边行常见题型及解题思路
一、 基本知识储备
1、 直角三角型：直角三角型斜边的中线等于斜边的一半；另外两锐角和等于90°；勾股定理
2、 中位线定理：三角形两边中点的连线平行且等于第三边的一半
3、 三线合一：等腰三角形底边上的中线就是它的顶角平分线和底边上的高
4、 全等三角形证明：SSS SAS ASA AAS HL
5、
平行四边形的证明方法: // // ==
× ∠∠
二、 常见题型分析
（一）平行四边形判定定理的应用
1、下列条件不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ）．
A ．AB=CD ，AD=BC
B ．AB=AD ，BC=CD
C ．AB//C
D ，AB=CD D ．∠A=∠C ，∠B=∠D 2、已知，从①AB//CD ，②AB=CD ，③BC//AD ，④BC=AD 这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有 种．
（二）已知某两条短线段相等。
（相等线段加减同一条线段所得线段仍然相等，一般结合三角型全等解题）
1、已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点，且AE=CF.求证：DE=BF
2、平行四边形ABCD 中,E 、F 在对角线BD 上,BE=DF.求证:四边形AECF 是平行四边形
（三）已知线段中点，求证中点连线所组成的四边形为平行四边形或者求解四边形边长。
（中位线定理，一般结合平行四边形的判定方法）
1、在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过O 点作OE//AB 交CB 于E ，若BE=3cm ，则AD= ．
A
B
C D E
O
D
B
A
F C
E
A
E
F
2、求证：四边形中点连线组成的四边形是平行四边形。
3、如图，△ABC 中∠ACB ＝90o ，点D 、E 分别是AC ，AB 的中点，点F 在BC 的延长线上，且∠CDF ＝∠A 。
求证：四边形DECF 是平行四边形。
（四）已知角平分线，求证四边形为平行四边形或求解线段长度。
（一般结合两直线平行内错角相等得等腰三角形，）
1、□ABCD 中，若AB=2，BC=3，∠B 、∠C 的平分线分别交AD 于E 、F ，则EF= ．
2、如图，□ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，CF 平分∠BCD 交AD 于点F 求证：四边形AECF 是平行四边形.
3、已知，如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE//AB 交AC 于点E ，F 是AB 上一点，且BF=AE ．求证：BE 、DF 互相平分．
A
B
C
D
E
F
A
B D
C
F
E
A
B C
D E
F。