立体几何大题求体积习题汇总

全国各地高考文科数学试题分类汇编：立体几何

1．[·重庆卷20] 如图1-4所示四棱锥P -ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π

3

，

M 为BC 上一点，且BM ＝1

2

.

(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P -ABMO

图1-4

2．[·北京卷17] 如图1-5，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．

(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；(2)求证：C 1F ∥平面ABE ；(3)求三棱锥E - ABC

3．[·福建卷19] 如图1-6所示，三棱锥A - BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .

(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A - MBC 的体积．

4．[·新课标全国卷Ⅱ18] 如图1-3，四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点．

(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥P -ABD的体积V＝

3

4，求A到平面PBC的距离．

5．[·广东卷18] 如图1-2所示，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图1-3折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.

(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M -CDE的体积．

图1-2图1-3 6．[·辽宁卷19] 如图1-4所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．

(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D -BCG的体积．

7．[·全国新课标卷Ⅰ19] 如图1-4，三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C . (1)证明：B 1C ⊥AB ；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC - A 1B 1C 1的高．

8．[·重庆卷20] 如图1-4所示四棱锥P -ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π

3

，

M 为BC 上一点，且BM ＝1

2

.

(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P -ABMO 的体积．

4

9、如图5所示，在三棱锥ABC P -

中，AB BC ==

⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ， 1AD =，

3CD =，2=PD ．

（1）求三棱锥ABC P -的体积；（2）证明△PBC 为直角三角形．

图5

B

P

A

D

10、如图，E 为矩形ABCD 所在平面外一点，⊥AD 平面ABE ，AE=EB=BC=2，F 为CE 是的点，且⊥BF 平面ACE ，

G BD AC =?

（1）求证：⊥AE 平面BCE ； （2）求三棱锥C —BGF 的体积。

11、如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，2AD AC DE AB ====1，且F 是CD

的中点．AF =（Ⅰ）求证：AF ∥平面BCE ； （Ⅱ）求证：平面BCE ⊥平面CDE ； (III) 求此多面体的体积．

12、在如图4所示的几何体中，平行四边形ABCD 的顶点都在以AC 为直径的圆O 上，AD CD DP a ===

，

AP CP ==，//DP AM ，且1

2

AM DP =

，,E F 分别为,BP CP 的中点. (I)证明：//EF 平面ADP ; (II)求三棱锥M ABP -的体积.

A B

C

D

E

F

13、在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是线段11A C 的中点,底面ABCD 的中心是F.

(1)求证:CE ⊥BD ；(2)求证:CE ∥平面1A BD ；(3)求三棱锥1D A BC -的体积.

14、矩形ABCD 中，AD AB =2，E 是AD 中点，沿BE 将ABE ?折起到'A BE ?的位置，使'

'

AC A D =，F G 、分别是BE CD 、中点.

（1）求证：F A '⊥CD ；

（2）设2=AB ，求四棱锥BCDE A -'的体积.

15、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD ABCD ⊥底面，且

2

P A P D A D ==

，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点.

（1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求证：平面PDC ⊥平面PAD . （3）求四棱锥P ABCD -的体积P ABCD V -.

16、如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =,14AA =，点D 是AB 的中点，

（1）求证：1AC BC ⊥；（2）求证：11CDB //平面AC ； （3）求三棱锥11C CDB -的体积。

17、如图1，在正三角形ABC 中，AB=3，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，AE=CF=CP=1。将AFE ?沿EF 折起到1A EF ?的位置，使平面1A EF 与平面BCFE 垂直，连结A 1B 、A 1P （如图2）。 （1）求证：PF//平面A

1EB ；

（2）求证：平面BCFE ⊥平面A 1EB ； （3）求四棱锥A 1—BPFE 的体积。

18、如图所示的长方体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，21=BB ，

M 是线段

11D B 的中点．

(1)求证：//BM 平面1D AC ； (2)求三棱锥11D AB C -的体积．

191、已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为4的正方形，PD ABCD ⊥平面，6,,PD E F =分别为,PB AB 中点。

(1)证明：BC PDC ⊥平面;

(2)求三棱锥P DEF -的体积。

20、如图6，在四面体PABC 中，PA=PB ，CA=CB ，D 、E 、F 、G 分别是PA ，AC 、CB 、BP 的中点． (1)求证：D 、E 、F 、G 四点共面； (2)求证：PC ⊥AB ；

(3)若△ABC 和PAB 都是等腰直角三角形，且AB=2，2=PC ，求四面体PABC 的体积．

21、如图所示，圆柱的高为2,AE 、DF 是圆柱的两条母线，过AD 作圆柱的截面交下底面于BC . （1）求证：//BC EF ；（2）若四边形ABCD 是正方形，求证BC BE ⊥； （3）在（2）的条件下，求四棱锥A BCE -的体积.

22、如图，平行四边形ABCD 中，1=CD ，

60=∠BCD ，且CD BD ⊥，正方形ADEF 和平面ABCD 垂直，H

G ,

是BE DF ,的中点．

（1）求证：CDE BD 平面⊥；（2）求证：//GH 平面CDE ； （3）求三棱锥CEF D -的体积．